Límite de Roche

El límite de Roche de un planeta es la distancia a partir de la cual la fuerza de marea sobre un satélite es más importante que las fuerzas de cohesión del satélite. La importancia del razonamiento de Roche, que retomaremos aquí, reside en la hipótesis simplificadora siguiente: aunque el satélite natural tenga una forma patatoidal generalmente, se puede suponer que está compuesto por dos esferas ( y ) de radio mantenidas unidas a partir de una interacción gravitacional. Se denota esta fuerza de cohesión como .


Suponemos que un satélite de masa puede ser simulado como dos esferas de masa y radio . Este satélite orbita alrededor de un planeta de masa ( ), y radio . La distancia entre los centros de masa del planeta y el satélite es , con .


Algunos datos útiles

Objeto	Masa (kg)	Radio (m)	Masa volúmica ( )
Sol			1400
la Tierra			5450
Luna			3500
Saturno			630
Cometa			200
Satélites de Saturno	Distancia (km)	Radio (km)	Masa (kg)
Mimas	186 000	196
Enceladus	238 000	260
Tethys	295 000	530
Dionisio	377 000	560
Los anillos de Saturno	Radio interno (km)	Radio Externo (km)	Tamaño (km)
Anillo D	60 000	72 600	12600
División Guerin	72 600	73 800	1200
Anillo C	73 800	91 800	18000
División Maxwell	91 800	92 300	500
Anillo B	92 300	115 800	23500
División Cassini	115 800	120 600	4800

1) Demostrar que la tercera ley de Kepler aplicada al satélite puede escribirse como:

con la pulsación del movimiento. ayuda ayuda solución

2) Enunciar las fuerzas de interacción gravitacional y ejercidas por el astro masivo sobre y . ayuda solución

3) El estudio del movimiento en el referencial giratorio introduce una aceleración de frenado. Determinarla y expresar el término de inercia que va a sumarse en el balance de fuerzas expresado en el referencial giratorio. Para simplificar los cálculos se considera que el baricantro del sistema planeta-satélite es el mismo que le baricentro del planeta. ayuda solución

4) Se denotan como y a las contribuciones totales (gravitacional e inercial) sobre y . Dar el nombre de la fuerza definida como la diferencia de y ? y calcularla. ayuda solución

5) Calcular la fuerza de cohesión entre y . Previamente, estimar su origen. ayuda solución

6) Determinar el límite de Roche , distancia a la cual los términos de cohesión y de marea se equilibran. Expresarlo en función de y de , las masas volúmicas respectivas del planeta y el satélite. ayuda solución

7) Calcular el límite de Roche para el caso del sistema Tierra-Luna. Comparar el límite de Roche de la Tierra con la distancia Tierra-Luna. solución

8) Responder a la misma pregunta para Saturno y su satélite Mimas, suponiendo que el satélite, en formación entre sus anillos, tiene una masa volúmica idéntica a la de Saturno. Calcular el límite de Roche en ese caso. Compararlo al radio de los anillos y al radio de los satélites de Saturno. solución

9) Responder a la misma pregunta para el Sol visitado por un cometa en su perihelio. Comparar con el perihelio del cometa Halley (supondremos que la expresión de la aceleración de frenado encontrado en el caso de una órbita circular mantiene un orden de magnitud apropiado, incluso si no se puede aplicar a priori). solución