Corps noir

Auteur: B. Mosser

Introduction
Le corps noir : définition
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
Spectre du corps noir
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
Loi de Wien
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
Température et couleur
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
- S'évaluer
La puissance du corps noir
- Apprendre
- S'exercer
- S'évaluer
Température effective
- Apprendre
- S'exercer
Spectre de corps noir et raies spectrales
- Observer
- Apprendre
Quelques applications
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
- S'évaluer
Conclusion

Introduction

La notion de corps noir est simultanément simple et complexe.

Simple, car la situation du corps noir représente une situation d'équilibre thermodynamique entre la matière et son rayonnement. Et l'Univers comme les étoiles sont de bons corps noirs. Complexe, par les pièges du langage - rien de moins noir qu'un corps noir - et par les multiples accrocs à l'équilibre précédemment cité : l'étude d'un spectre stellaire est justement intéressante par ses écarts au corps noir.

Spectres de corps noirs.

Crédit : ASM

Le corps noir : définition

Observer

Le corps noir est ... noir

D'où vient le terme corps noir? L'étude de quelques documents permet de comprendre cette dénomination. Notons tout d'abord que l'examen du spectre visible, qui ne comporte aucune partie noire et brillante, rappelle que le noir est, plutôt qu'une couleur, une absence de couleur.

Les raies en absorption de ce spectre apparaissent noires.

Crédit : ASM

Un corps absorbant apparaît noir.

Exemples

La photo d'une façade montre des murs violemment éclairés, et des fenêtres très sombres dès lors que les vitres sont ouvertes. Il apparaît que les photons solaires sont bien réfléchis dans un cas, mais dans l'autre ont singulièrement disparu. Diffusés dans la pièce derrière la vitre, bien peu de ces photons sont ressortis, et ceci explique le contraste de luminosité entre la façade et les fenêtres ouvertes.

Façade éclairée

Les fenêtres ouvertes de cette façade ne laissent rien voir de la pièce qu'elles pourraient découvrir. Contrairement aux murs ou aux vitres des fenêtres fermées, qui réfléchissent la lumière incidente, elles renvoient très peu de lumière visible, ce qui explique leur aspect noir.

Crédit : ASM

Les différents détecteurs, qui ont pour fonction de capter la lumière visible, apparaissent noirs : ils ne réfléchissent guère la lumière !

Détecteurs optiques

Assemblage de mosaïques CCD pour l'imagerie grand champ. Un détecteur se doit d'être absorbant, donc le plus noir possible.

Crédit : CFHT

La pupille protégeant la rétine apparaît noire. Les petites taches brillantes sont des réflexions parasites, qui indiquent que la transmission de la lumière vers les capteurs n'est pas de 100%.

Crédit : ASM

Les détecteurs optiques ont pour mission de rendre compte de l'information lumineuse. Cette opération nécessite l'absorption des photons. La figure de quelques détecteurs, dont la pupille de l'oeil humain, montre qu'effectivement ils apparaissent noirs.

Un corps noir peut être coloré

Une étoile, le Soleil par exemple, est présenté comme un corps noir. A basse résolution spectrale, le spectre du soleil se superpose à celui d'un corps noir de température 5777 K. Et pourtant rien n'est moins noir que le soleil. Il apparaît donc nécessaire de donner une définition précise de ce qu'est un corps noir... qui peut être coloré.

Le spectre du soleil à basse résolution

Observé à basse résolution, le spectre du soleil ressemble à celui d'un corps noir de température d'équilibre 5777 K. Mais pour déterminer cette température au degré près, il est nécessaire d'analyser finement les écarts à la loi du corps noir.

Crédit : ASM

Apprendre

Prérequis

Thermodynamique : équilibre et notion de température

Objectifs

Comprendre ce qui caractérise un corps noir

Le corps noir

On trouve comme définitions usuelles du corps noir :

Définition

Un corps noir est un corps idéal totalement absorbant à toute radiation électromagnétique.
Un exemple de corps noir consiste en une enceinte isotherme munie d'une toute petite ouverture

Ces définitions n'aident pas directement à comprendre pourquoi un corps tel une étoile est un corps noir. Le lien peut déjà apparaître, si l'on compare comme dans le chapitre structure interne le rapport de 2 durées : celle prise par un photon pour traverser directement un rayon stellaire, et celle mesurant qu'effectivement l'énergie produite au sein du soleil est évacuée en surface.

Un exemple : le soleil

La traversée directe du rayon solaire à la vitesse de la lumière prend à peine plus de 2 secondes, alors qu'il faut près d'un million d'années pour que l'énergie soit extraite du soleil. Cette durée est incomparablement plus longue, car le trajet de l'énergie est une marche au hasard entrecoupée d'incessantes absorptions et réémissions de photons.

Illustration de la marche des photons au sein du soleil

Le processus d'absorption-réémission permet de transporter l'énergie du centre du soleil jusque vers l'extérieur, tout en assurant un équilibre énergétique, qui va conduire au rayonnement de corps noir du soleil.

Crédit : ASM

En ce sens on comprend que le soleil est très absorbant pour ses propres photons. Son spectre a l'allure de celui d'un corps noir. Il est vrai que s'y superposent des raies d'absorption :

L'allure de corps noir rend compte de l'équilibre thermique global
Les raies du spectre rendent compte de la nature de la matière solaire dans les couches superficielles d'où s'échappent les photons.

Il en résulte qu'un corps noir est défini par l'équilibre intime entre sa matière et son rayonnement. Sa température d'équilibre explicite à elle seule la distribution spectrale de son rayonnement.

Qu'est-ce qu'un corps "pas noir" ?

Plusieurs phénomènes sont irréductibles au corps noirs :

Un miroir est par définition très réfléchissant, et ne peut donc pas être absorbant. Il n'y aucun équilibre entre un miroir et le flux lumineux qu'il réfléchit.
Le rayonnement émis par une lampe à vapeur spectrale obéit à des règles de quantification énergétique fixées par la nature du gaz qui émet le rayonnement. La position des raies d'émission dépend de la nature de l'élément, et pas de la température.

S'exercer

QCM

1) Les taches solaires apparaissent noires par rapport à l'atmosphère environnante :
car elles sont plus chaudes
car elles sont plus froides
ça n'a rien à voir avec leur température

2) Un corps noir est sombre par définition
Vrai
Faux

Spectre du corps noir

Observer

Spectres de corps noirs

L'observation de spectres stellaires, à basse résolution spectrale montre que l'allure de ces spectres suit effectivement celle d'un corps noir.

Spectres de corps noirs

Spectres de corps noirs à différentes températures

Crédit : ASM

Spectres stellaires

Cela n'est vrai que pour l'allure du spectre : à plus haute résolution, il apparaît clairement que se superposent à l'enveloppe du corps noir des raies en absorption. Si le spectre de corps noir ne dépend que de la température d'équilibre du corps, les raies signent la présence des éléments constitutifs de l'atmosphère stellaire.

Le spectre des étoiles chaudes s'écarte significativement de la courbe du corps noir, en raison de l'ionisation de l'hydrogène par des photons de longueur d'onde inférieure à 360 nm.

Spectre stellaire

Spectre stellaire (type G2) à basse résolution. Il se superpose approximativement à un spectre de corps noir de température 5700 K, sauf dans le domaine UV.

Crédit : ASM

Spectre stellaire

Spectre d'une étoile chaude (type G1) à basse résolution. L'absorption intense en deçà de 360 nm, due à l'ionisation de l'hydrogène, ecarte le spectre de l'enveloppe du corps noir.

Crédit : ASM

Apprendre

Objectifs

Définir le rayonnement du corps noir
Le corps est finalement une entité physique idéale, dont le rayonnement ne se caractérise plus que par sa température d'équilibre
Les définitions des grandeurs énergétiques utiles sont rappelées à la page de photométrie énergétique.

La loi de Planck

La loi de Planck décrit l'émission d'un corps noir de température :

${{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) \ =\ {2 h c^{2} \lambda^{-5} \over \exp\displaystyle{hc\over \lambda\ k _{\mathrm{B}}T} -1}$

Interviennent dans cette relation la constante de Planck $h = 6.626\ 10^{-34} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{s}}$ , la constante de Boltzmann $k _{\mathrm{B}} = 1.381\ 10^{-23} {\,\mathrm{J}} { {\,\mathrm{K}}}^{-1}$ , et la célérité de la lumière dans le vide. Ceci indique que la loi de Planck est à l'intersection, respectivement, de la physique quantique, statistique et relativiste.

Dans le système d'unités international, ${{ \mathcal{B}}}$ s'exprime en ${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-3}{ {\,\mathrm{sr}}}^{-1}$ , ou en unité dérivée ${\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1} {\,\mathrm{sr}}^{-1}$ ; $\mathcal{B}$ est une luminance spectrale, càd une puissance rayonnée par unités d'angle solide, de surface et spectrale.

Courbes de lumière de corps noirs

Luminance monochromatique du corps noir, pour des températures correspondant à divers types stellaires

Crédit : ASM

Le dénominateur de la loi de Planck est caractéristique d'une loi statistique de Bose-Einstein, à laquelle obéit un gaz de photons. Comme tout vecteur d'interaction fondamentale (l'interaction électromagnétique), le photon est un boson, une particule de spin entier.

La fonction ${ \mathcal{B}}_\lambda (T)$ dépend de la température comme de la longueur d'onde. Elle est notée ainsi, et non ${ \mathcal{B}} (\lambda, T)$ , pour mettre en évidence la variable spectrale, ici la longueur d'onde. Cette dépendance spectrale peut également s'exprimer en fonction non de la longueur d'onde, mais de la fréquence. La loi de Planck se réécrit alors dans ce cas (justification donnée en exercice).

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2} \nu^{3}\over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

L'unité de ${{ \mathcal{B}}}_\nu (T)$ est alors : ${\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mathrm{Hz}}^{-1} {\,\mathrm{sr}}^{-1}$ .

Simuler

Courbe de rayonnement

A l'aide de l'appliquette ci-dessous, vous pouvez tracer un spectre de corps noir en fonction de sa température.

S'exercer

Luminances spectrales

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

On considère la luminance du corps noir, dans un domaine spectral de largeur $\delta \lambda$ autour de la longueur d'onde $\lambda$ . Exprimer les fréquence et intervalle de fréquence correspondant.

Question 2)

Exprimer la luminance du corps noir de 2 manières différentes, en fonction de ce qui précède.

Loi de Wien

Observer

La loi de déplacement de Wien

La représentation de la superposition de plusieurs spectres de corps noir permet de faire le lien entre la température du corps noir et la longueur d'onde où a lieu l'émission maximale. On peut vérifier que les maxima sont simplement alignés, dans un diagramme en échelle logarithmique.

On en déduit la relation reliant $\lambda _{\mathrm{max}}$ , abscisse du maximum, et la température , en tenant compte de l'échelle logarithmique de la figure : $\log\lambda _{\mathrm{max}}$ en relation affine avec $\log T$ implique que ces 2 termes sont fonction monomiales l'un de l'autre, en fait inverse l'un de l'autre.

Courbes de lumière de corps noirs stellaires

La couleur de chacun des luminances spectrales représentées rappelle la température de couleur de l'objet. Les maxima s'alignent sur une droite.

Crédit : ASM

Apprendre

Objectifs

Relier la température du corps et maximum de sa luminance spectrale

La loi de déplacement de Wien

Le calcul du maximum d'intensité de la courbe de luminance spectrale du corps noir passe par une dérivation de cette fonction. Sans calcul, la présence au dénominateur, sous l'exponentielle, du produit $\lambda T$ , qui seul introduit la température, implique que la condition d'extremum va être une fonction de ce produit $\lambda T$ .

En notant $\lambda _{\mathrm{max}}$ la longueur d'onde du maximum de luminance spectrale, il apparaît donc :

$\lambda _{\mathrm{max}}\ T\ = \ \mathrm{cste}$

Le calcul de cette constante donne :

$\lambda _{\mathrm{max}}\ T \ =\ 2.89\ 10^{-3} {\,\mathrm{K}} {\,\mathrm{m}}$

Température et couleur

Cette relation fait le lien entre une température et une longueur d'onde, et crée un lien entre une température et une couleur, ce qui permet de définir la température liée à la couleur de l'objet.

Température et maximum d'émission
objet ( $\equiv$ corps noir)	température (K)	$\lambda_M$	domaine spectral
étoile type O	50 000	60 nm	UV
soleil	6 000	0.5 ${\,\mu\mathrm{m}}$	visible
Terre	300	10 ${\,\mu\mathrm{m}}$	IR
nuage moléculaire $\mathrm{H}_2$	20	0.15 mm	submm
fond cosmologique	3	1 mm	mm

S'exercer

QCM

1) Un objet rayonnant comme un corps noir, donc la courbe de luminance spectrale présente un maximum à $30 {\,\mu\mathrm{m}}$ a une température de :
30 K
100 K
300 K

2) Un objet rayonnant comme un corps noir de température 10000 K présente un maximum de luminance spectrale à :
3 nm
30 nm
300 nm

3) Le spectre ci-contre correspond à une température de :
100 K
1000 K
indécidable

Crédit : ASM

Température et couleur

Observer

Température et couleur

La relation entre température et longueur d'onde du maximum d'émission, permet de définir une relation entre température et couleur, via la correspondance entre longueur d'onde et couleur.

On dispose ainsi d'un thermomètre : une étoile bleue est plus chaude qu'une étoile rouge.

Lien entre température de corps noir et couleur

Crédit : ASM

Couleur des étoiles

La couleur apparente d'une étoile ne va pas exactement correspondre à la température de son maximum d'émission. En effet, la couleur perçue par le détecteur va intégrer une bonne part de l'énergie rayonnée, et pas seulement celle au maximum d'émission.

Il ne faut pas oublier que la perception des couleurs dépend intimement de la détection : derrière un filtre rose, on voit la vie en rose ! Les couleurs restituées par une image en couleur, obtenue par composition de 3 images dans 3 filtres différents, vont le plus souvent être très vives (pour des raisons esthétiques) que celles vues à l'oeil nu.

On peut néanmoins dégager quelques impressions générales :

Une étoile de température effective 10000 K, qui rayonne essentiellement dans le proche UV, apparaîtra blanche, à l'oeil nu, cette impression résultant de la superposition de toutes les couleurs du spectre.
Il faut vraiment qu'une étoile soit très froide pour apparaître rougeâtre. Une étoile froide apparaît plutôt orange.
IL faut de même qu'une étoile soit très chaude pour apparaître bleutée.
Une étoile apparaît rarement de couleur tirant sur le vert, ou alors uniquement par contraste avec un objet voisin très rouge (ou bien lorsque le rayonnement n'est pas de type corps noir, mais monochromatique dans une raie d'émission telle celle de l'oxygène, suite à un processus d'excitation qui n'a rien à voir avec le corps noir)

Couleurs

Couleurs dans l'amas NGC6093

Crédit : HST

Couleurs

Couleurs dans Orion. Les étoiles bleues sont bien plus chaudes que les rouges. Attention, toute couleur ne se traduit pas en température : la nébuleuse d'Orion, M42, doit sa couleur rose à une raie de l'hydrogène.

Crédit : CFHT

Couleur des étoiles

La couleur des étoiles perçue par l'oeil ne correspond pas à ce que détermine leur température via la loi de Wien : l'oeil intègre à sa façon toutes les couleurs présentes dans le spectre visible. La perception des couleurs est très variable d'un individu à l'autre, et souvent subjective.

Crédit : ASM

Apprendre

Objectifs

Définir la température pour un corps assimilable à un corps noir

Température et couleur

La loi de Wien associe, via la relation précédente, une couleur à une température, par la relation entre la longueur d'onde $\lambda _{\mathrm{max}}$ et une couleur.

Température et maximum d'émission
objet ( $\equiv$ corps noir)	température (K)	$\lambda_M$	couleur de température
étoile type O	50 000	60 nm	UV
soleil	6 000	0.5 ${\,\mu\mathrm{m}}$	visible
Terre	300	10 ${\,\mu\mathrm{m}}$	IR thermique

Attention, ceci n'a de sens que pour un corps dont le rayonnement est de type corps noir. La mer, même bleue, n'est pas à 8000 K !

S'exercer

QCM

1) Une étoile rouge est plus chaude qu'une étoile bleue
Vrai
Faux
Ça dépend

2) Une étoile rouge rayonne plus qu'une étoile bleue
Vrai
Faux
Ça dépend

3) Une étoile rouge ne rayonne pas dans le bleu
Vrai
Faux
Ça dépend

S'évaluer

Corps noir ou pas ?

Difficulté : ☆☆ Temps : 5 min

Question 1)

Le pull de votre voisin est jaune, quelle est sa température ?

[1 points]

Question 2)

La question précédente est-elle bien posée ?

[1 points]

Question 3)

Tracer l'allure du spectre de ce pull, à très basse résolution spectrale. Ne pas oublier que votre voisin en bonne santé a une température corporelle de 37º C.

[2 points]

La puissance du corps noir

Apprendre

Puissance totale rayonnée

Objectifs

Etablir le bilan de la puissance rayonnée par un corps noir stellaire.

Quelle puissance rayonne une étoile de température d'équilibre , assimilable à un corps noir de température , supposée sphérique de rayon ? La réponse nécessite d'intégrer la luminance spectrale du corps noir sur toute sa surface, dans toutes les directions, à toute longueur d'onde.

Le calcul aboutit à la puissance :

$\mathcal{P} \ = \ 4\pi R^{2} \ \sigma T^4$

avec la constante de Stefan : $\sigma = 5.669\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{K}}^{-4}$ .

Puissance totale rayonnée

On peut justifier rapidement la présence des termes $R^{2}$ et T^4 dans cette puissance totale rayonnée. En effet, l'intégration de la luminance spectrale, spatiale, angulaire et spectrale :

$\mathcal{P} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {{ \mathcal{B}}_\nu (T) } \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {2 h \over c^{2}} {\nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1} \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu$

implique, pour la dépendance en fonction du rayon, un terme proportionnel à la surface stellaire, variant donc comme $R^{2}$ , et pour le terme de température, un terme proportionnel à T^4 , mis en évidence par le changement de variable $x = h\nu / kT$ , qui conduit à :

${\cal P} \propto \ \left({kT\over h}\right)^4 \ \int_0^\infty\!\! {x^{3} \over \exp\displaystyle{x} -1} \ {\mathrm{d}} x$

Les termes non explicités dans cette équation ne dépendent pas de la température, pas plus que l'intégrale sur la variable , qui n'est plus qu'un simple nombre $(\pi^4 / 15)$ .

La loi en T^4 entraîne une grande diversité dans la vie des étoiles. Deux étoiles de rayons analogues mais avec des températures variant du simple au quintuple (4000 - 20000 K p.ex.) vont avoir des luminosités dans un rapport de 625, donc déjà des couleurs et luminosités très différents. Mais il s'ensuit également des conséquences très fortes sur leurévolution.

S'exercer

Rayon stellaire

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45min

La puissance rayonnée par une étoile, assimilée à un corps noir de rayon et température , varie comme :

${L\over L_\odot} \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^\alpha \ \left({T\over T_\odot}\right)^\beta$

avec $R_\odot$ , $T_\odot$ et $L_\odot$ respectivement les rayon, température effective et luminosité du soleil.

Question 1)

Rappeler les valeurs de $\alpha$ et $\beta$

Question 2)

Une naine blanche présente une luminosité 100 fois inférieure à celle du Soleil, pour une température $T _{\mathrm{NB}}$ . Estimer son rayon $R _{\mathrm{NB}}$ , en fonction des données solaires et de $T _{\mathrm{NB}}$ .

Question 3)

Calculer $R _{\mathrm{NB}}$ pour = 30000 K, $R_\odot = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}$ et $T_\odot = 5800 {\,\mathrm{K}}$ .

Question 4)

Représenter sur le diagramme ci-joint les lignes iso-rayon, pour les étoiles de respectivement 0.1, 1 et $10~R_\odot$ .

Diagramme HR

Diagramme HR : température en abscisse, luminosité (par rapport à la luminosité solaire) en ordonnée, avec en pointillé les lignes iso-luminosité et iso-température (pour les températures $T_\odot$ et $10\ T_\odot$ )

Crédit : ASM

Question 5)

Situer sur ce diagramme une supergéante rouge de rayon $10^{2}\ R_\odot$ et une naine blanche de rayon $10^{-2}\ R_\odot$ , de température respective 4000 et 30 000 K.

S'évaluer

Mesure de la température effective

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La loi de Stefan permet de calculer la température d'un corps noir à partir de sa luminosité et de sa taille. La difficulté est que ces deux termes dépendent de la distance de l'objet. L'exercice se propose de voir comment pallier cette difficulté, dès lors que l'on peut connaître, par interférométrie, le rayon angulaire de l'étoile. Par la suite, on note $\ell=L/d^2$ le flux relatif de l'étoile et $\theta$ le rayon angulaire de l'étoile.

Question 1)

Comment $\theta$ s'exprime-t-il en fonction du rayon et de la distance ?

[1 points]

Question 2)

Réécrire la relation de luminosité du corps noir en fonction des observables $\ell$ et $\theta$ . En déduire que l'on peut relier la température de corps noir à des grandeurs directement mesurables.

[2 points]

Température effective

Apprendre

Objectifs

Le corps correspond à un équilibre entre un corps de température et un rayonnement de corps noir à cette même température.

Thermalisation

L'exemple du soleil permet de définir la température effective d'un corps noir, ou température d'équilibre, ou température de brillance.

Le parcours de l'énergie au sein du soleil est, jusqu'aux couches supérieures, une succession ininterrompue d'absorption et de réémission des photons initialement produits par les réactions nucléaires au centre de l'étoile, dans le domaine $\gamma$ , jusqu'aux photons finalement émis, majoritairement dans les domaines UV, visible et IR.

Arrivés dans la photosphère, les photons peuvent quitter le soleil, avec une distribution énergétique qui est celle du corps noir, de température donnée, que l'on appelle température effective.

Equilibre

En raison de l'équilibre entre le rayonnement de corps noir et la matière du corps noir, il y a concordance entre cette température et celle du milieu émetteur. D'après le second principe de la thermodynamique, les couches atmosphériques plus profondes qui ont fourni l'énergie ne peuvent être qu'à une température plus élevée. Il s'ensuit un certain nombre de conséquences :

La température effective correspond à la température minimale rencontrée dans la partie supérieure de l'atmosphère stellaire
Le niveau de l'atmosphère que l'on voit, par définition celui dont sont issus les photons, est de température très voisine à la température effective.
Les niveaux inférieurs sont opaques, vu que le processus de thermalisation entre matière et rayonnement y est à l'oeuvre

S'exercer

Equilibre thermique d'une planète

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

On s'intéresse au bilan radiatif d'une planète en orbite circulaire de rayon autour de son étoile. On suppose l'espace interplanétaire vide, ce qui entraîne la conservation du flux stellaire intégrée sur toute surface entourant l'étoile. La rotation propre de la planète est suffisamment rapide pour que l'on puisse considérer sa température $T _{\mathrm{P}}$ comme uniforme sur toute la surface. On néglige toute autre source d'énergie que stellaire.

La planète réfléchit une fraction du rayonnement solaire, et en absorbe une fraction (1-A) , où est l'albédo. On peut, en première approximation à basse résolution spectrale, considérer ce spectre comme la superposition du spectre de 2 corps noirs, dont on cherche à déterminer les températures. On note $\ell _{\mathrm{r}}$ la composante énergétique directement réfléchie, et $\ell _{\mathrm{a}}$ la composante absorbée puis rerayonnée.

Question 1)

Montrer que la puissance interceptée par la planète vaut :

$\ell _{\mathrm{P}} = L\ {R^{2}\over 4 \ a^{2}}$

où représente le rayon planétaire.

Question 2)

Calculer le rapport $\ell _{\mathrm{P}} / L$ dans le cas de Jupiter et de la Terre.

Objet	(UA)	(km)
Jupiter	5.2	71000
Terre	1	6400

Pour mémoire $\L_\odot = 4\ 10^{26} {\,\mathrm{W}}$ .

Question 3)

La planète étant à l'équilibre thermodynamique, exprimer $\ell _{\mathrm{r}}$ et $\ell _{\mathrm{a}}$ en fonction de la luminosité totale $\ell _{\mathrm{P}}$ et de l'albédo .

Question 4)

Quelle est la température $T _{\mathrm{r}}$ associée au rayonnement réfléchi $\ell _{\mathrm{r}}$ , assimilé à un rayonnement de corps noir ?

Question 5)

Montrer que la température associée à la composante $\ell _{\mathrm{a}}$ , voisine de la température d'équilibre de la planète, est alors:

$T _{\mathrm{P}}\ =\ (1-A)^{1/4} \left({ R_\star \over 2 a }\right)^{1/2} T_\star$

Question 6)

Faire l'application numérique pour une exoplanète avec une albédo ${A}\simeq 0.5$ et un demi-grand axe $a=0.05 {\,\mathrm{UA}}$ . Pour l'étoile, on prendra : $T_\star = 5500 {\,\mathrm{K}}$ et $R_\star = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}$ .

Question 7)

En déduire la longueur d'onde $\lambda _{\mathrm{P}}$ correspondant au maximum de l'émission planétaire. A quel domaine spectral cette température correspond-elle?

Spectre de corps noir et raies spectrales

Observer

Raie de Balmer de l'hydrogène superposées au spectre stellaire visible d'une étoile chaude de type A.

Crédit : ASM

Spectres stellaires

Un spectre stellaire présente, superposées à un spectre continu de type corps noir, des raies en absorption. Leur présence conduit à répartir l'énergie différemment du spectre du corps noir, dont on retrouve néanmoins la trace dans l'allure générale du spectre à basse résolution.

Le spectre du corps noir est insuffisant pour rendre compte de l'aspect de Jupiter à ces différentes longueurs d'onde, mais fournit une explication pour les variations de la magnitude moyenne. C'est à 3.40 micromètres, minimum de luminosité entre le spectre solaire réfléchi et le spectre du corps noir jovien, que Jupiter apparaît le plus sombre.

Crédit : NASA

Raies et continu

La plupart des spectres des objets astrophysiques résultent de la somme des contributions spectrales superposées au corps noir. Sur la mosaïque d'images infrarouges de Jupiter ci-jointe, contributions spectrales et de corps noir s'entremêlent.

À 1.60 micromètres, le rayonnement de corps noir (le spectre solaire réfléchi) domine. À 3.41 micromètres, minimum entre les corps noirs jovien et solaire réfléchi, la contribution prépondérante provient de l'émission stratosphérique de l'ion $\mathrm{H}_3^{+}$ . À plus haute longueur d'onde, le spectre de corps noir de Jupiter prend de l'importance, et révèle les inhomogénéités de la troposphère jovienne.

Apprendre

Spectres stellaires

Un spectre stellaire présente, superposé à un spectre continu de type corps noir, des raies en absorption.

La température d'équilibre correspond à la température de la photosphère, d'où s'échappent les photons, qui correspond à un minimum local de température.

La température d'équilibre correspond à la température de la photosphère, d'où s'échappent les photons.

Crédit : ASM

Spectres planétaires

Un spectre planétaire présente, superposé à un spectre continu de type corps noir, des raies en absorption ou en émission. Contrairement à un spectre stellaire, le spectre planétaire voit 2 sources chaudes : son étoile et sa structure interne.

Le minimum de température correspond à la tropopause.

Les raies en absorption signalent un déficit énergétique par rapport au corps noir, et signent la présence d'un absorbant dans la troposphère : région où la température décroît avec l'altitude. Cet élément a ponctionné une partie de l'énergie dans la raie considérée. Dans cette région plus profonde que la tropopause, l'énergie est redistribuée à toute longueur d'onde, suite aux multiples interaction matière-rayonnement.

Les raies en émission signalent un surcroît énergétique par rapport au corps noir, et signent la présence d'un absorbant dans la stratosphère : région où la température croît avec l'altitude. Cet élément a ponctionné une partie de l'énergie solaire incidente dans la raie considérée, et la réémet.

Les raies en absorption proviennent de la troposphère.

Crédit : ASM

Les raies en émission proviennent de la stratosphère.

Crédit : ASM

Quelques applications

Observer

Fond cosmologique

L'observation spectroscopique du rayonnement du fond cosmologique met en évidence un rayonnement de corps noir, le corps noir cosmologique. Sa température d'équilibre est de l'ordre de 3 K (2.728 K pour être très précis).

La loi de déplacement de Wien associe cette température à un maximum d'émission dans les longueurs d'onde millimétrique.

Le corps noir cosmologique

Le spectre du rayonnement du fond cosmologique est de type corps noir. Mesure de l'instrument FIRAS du satellite CoBE (Cosmic Background Explorer) de la NASA. L'échelle spectrale est donnée en fréquence (unité = $10^{11} {\,\mathrm{Hz}}$ ).

Crédit : NASA

Spectre planétaire

L'allure d'un spectre planétaire montre une courbe "à 2 bosses". Les 2 maximas locaux piquent à 0.5 et $10 {\,\mu\mathrm{m}}$ , soit à des températures effectives de 6000 et 300 K approximativement.

Les 2 contributions du spectre ont clairement 2 origines distinctes :

La composante visible correspond à la réflexion du spectre stellaire réfléchi par la planète
La composante infrarouge rend compte du spectre de corps noir planétaire. La planète est à l'équilibre thermique entre 2 sources : l'apport énergétique de l'étoile (source chaude), et le rayonnement vers le ciel (source froide).

Spectre planétaire, à basse résolution

Deux composantes de type corps noir constituent le rayonnement des spectres planétaires à basse résolution spectrale : le spectre solaire réfléchi, et le spectre thermique.

Crédit : ASM

Apprendre

Fond cosmologique

Dans le cadre de la théorie du big-bang, l'Univers est en expansion et se refroidit. Il est passé dans le passé par des phases plus chaudes, et a connu diverses étapes, correspondant à des ruptures d'équilibre.

Pour des température de plus 3000 K, la matière et le rayonnement était à l'équilibre, suite à l'interaction entre les électrons, libres, et les photons. Aux températures plus faibles, la recombinaison des électrons avec les protons pour former l'hydrogène atomique a occasionné le découplage de la matière et du rayonnement.

Ce dernier garde une distribution énergétique de corps noir, mais s'est refroidi suite à l'expansion de l'univers. Il présente aujourd'hui une température, très homogène, de 2.728 K.

Spectres planétaires

En première approximation, on peut distinguer 2 composantes dans un spectre planétaire :

Le spectre solaire directement réfléchi
Le spectre infrarouge, rayonnée par la planète en fonction de sa température d'équilibre

Stricto sensu, le rayonnement n'est plus un rayonnement de corps noir. En fait, les 2 composantes sont proches de 2 corps noirs, l'un à la température du rayonnement stellaire, l'autre à la température d'équilibre planétaire.

Spectre planétaire, à basse résolution

Deux composantes de type corps noir constituent le rayonnement d'un spectre planétaire observé à basse résolution spectrale.

Crédit : ASM

S'exercer

Température d'antenne

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Il a été vu que la luminance spectrale du corps noir s'exprime, en fonction de la fréquence par :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2} \nu^{3}\over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

Dans cet exercice, on se propose de montrer comment cela conduit les radio-astronomes à exprimer une luminosité radio comme une température, et donc à l'exprimer en Kelvin.

Les conditions d'observation de l'image, définies par la diffraction, énoncent que le faisceau élémentaire observable a une étendue $S \Omega$ égale à $\lambda^{2}$ , et que la mesure ne peut donner accès qu'à une seule direction de polarisation. L'intégration sur et sur $\Omega$ permet de passer de la luminance spectrale à la puissance spectrale.

La surface représente ici la surface collectrice, et $\Omega$ l'angle solide sous lequel est vue la source élémentaire.

Question 1)

Montrer que, dans le domaine des radiofréquences, la fréquence d'observation $\nu$ , typiquement de l'ordre du GHz, vérifie pour les températures, même froides, rencontrées dans l'Univers :

$h\nu \ll k_B T$

On donne $h = 6\ 10^{-34}\ \mathrm{SI}$ , et $k_B= 1.3\ 10^{-23} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{K}}^{-1}$ . On considère comme objet un nuage moléculaire à 10 K, et un rayonnement aux longueurs d'onde supérieures à 1 cm.

Question 2)

En déduire l'approximation de la loi de rayonnement dans le domaine radio :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ 2 c^{-2}\ \nu^{2}\ k_BT$

Question 3)

Montrer que l'intégration de la luminance spectrale ${ \mathcal{B}}_\nu$ , vis à vis des variables angulaires et de surface, conduit à une densité spectrale de puissance égale à 2 k T

Question 4)

Déterminer alors la puissance reçue dans l'intervalle de fréquence $\Delta \nu$ .

S'évaluer

Spectre d'une exoplanète

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Spectre exoplanétaire simulé à basse résolution spectrale.

Crédit : ASM

Question 1)

Interpréter la figure ci-jointe, simulant un spectre exoplanétaire.

[1 points]

Question 2)

Estimer les températures effectives associées à ce spectre.

[2 points]

Question 3)

Cette planète est supposée de type tellurique, de rayon égal à celui de la Terre et située à 1 UA de son étoile, laquelle est de type à peu près solaire. Comparer sa température d'équilibre à celle de la Terre. Subit-elle un effet de serre important ?

[1 points]

Conclusion

L'application des lois concernant le corps (loi du rayonnement, loi de Wien, loi de Planck) est très souvent féconde... mais il faut tout d'abord retenir de ces pages les conditions physiques dans lesquelles peut s'appliquer le modèle du corps noir : le rayonnement doit traduire l'équilibre thermique de l'objet considéré. Sans cette hypothèse, l'application des lois précédentes reste vaine, et peut conduire à de gros contresens (que l'on retrouve souvent dans la littérature, lorsque la notion de température de couleur est utilisée tellement loin de son domaine de validité qu'elle en perd tout son sens).

En première approximation, les étoiles rayonnent comme des corps noirs... mais les nombreuses raies d'absorption peuvent conduire à un profil de rayonnement bien déformé. Le rayonnement du fond cosmologique est quant à lui un excellent corps noir.

Corps noir volatile certes, mais corps noir physique ?

Crédit : ASM

Réponses aux QCM

pages_absorbant/absorbant-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 2) ( En effet, aussi bizarre que cela puisse apparaître. )

pages_loi-de-wien/loi-de-wien-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 3)
Question 3
Solution : réponse 3) ( En effet, ce n'est pas un spectre de corps noir ! )

pages_temperature-couleur/temperature-couleur-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 3) ( En effet, cela dépend de la taille de l'étoile )
Question 3
Solution : réponse 2) ( En effet )

pages_flux-noir/flux-noir-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 1) ( Et même plombier )
Question 2
Solution : réponse 1) ( En effet )
Question 3
Solution : réponse 1) ( ...et à condition que la géante soit plutôt rouge )
Question 4
Solution : réponse 2)

Réponses aux exercices

pages_corps-noir/spectre-corps-noir-sexercer.html

Exercice 'Luminances spectrales'

Question 1
Aide :
La relation entre fréquence et longueur d'onde du rayonnement s'écrit : $\lambda = c/\nu$

Aide :
La relation entre $\lambda$ et $\nu$ donne celle entre les intervalles spectraux ${\mathrm{d}} \lambda$ et ${\mathrm{d}} \nu$ , par différentiation.

Solution :
La relation entre fréquence et longueur d'onde du rayonnement s'exprime : $\lambda = c/\nu$ . On en déduit :

${\mathrm{d}}\lambda = {\mathrm{d}}\left({c\over\nu}\right) = - c\ { {\mathrm{d}}\nu\over \nu^{2}}$

Le signe négatif rappelle que les échelles en longueur d'onde et fréquence sont inversées. Par la suite, avec une définition adéquate des bornes de l'intervalle, on écrit :

${\mathrm{d}}\lambda \ = \ c\ { {\mathrm{d}}\nu\over \nu^{2}} \mathrm{\ ou\ } {\mathrm{d}}\nu \ = \ c\ { {\mathrm{d}}\lambda\over \lambda^{2}}$
Question 2
Aide :
La luminance correspond à la luminance spectrale intégrée sur un intervalle spectral

Aide :
La conservation de l'énergie conduit à égaler les expressions trouvées pour la luminance, fonction de $\lambda$ ou $\nu$ .

Aide :
Rappel

${{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) = {2 h c^{2} \lambda^{-5} \over \exp\displaystyle{hc\over \lambda\ k_BT} -1}$

Solution :
La luminance, intégrée sur l'intervalle spectral, s'écrit donc de 2 façons différentes, qui doivent rendre compte de la même énergie dans l'intervalle spectral considéré :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T)\ {\mathrm{d}} \nu \ = \ {{ \mathcal{B}}}_\lambda (T)\ {\mathrm{d}}\lambda$

d'où

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) = {{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) { {\mathrm{d}}\lambda\over {\mathrm{d}} \nu} = {{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) {\lambda^{2}\over c} = {2 h c \lambda^{-3} \over \exp\displaystyle{hc\over \lambda\ k_BT} -1} = {2 h c^{-2} \nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

La correspondance est établie.

pages_corps-noir/flux-noir-sexercer.html

Exercice 'Rayon stellaire'

Question 1
Aide :
Voir la définition de la puissance rayonnée par un corps noir sphérique de rayon et de température

Solution :
La puissance du corps noir étant proportionnelle à $R^{2}$ et , il sort simplement :

$L \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^2 \ \left({T\over T_\odot}\right)^4$
Question 2
Aide :
Il s'agit d'une simple application de la question précédente

Solution :
L'égalité des luminosités se traduit par :

$10^{-2} \ = \ \left({R _{\mathrm{NB}}\over R_\odot}\right)^2 \ \left({T _{\mathrm{NB}}\over T_\odot}\right)^4$

On en déduit :

$R _{\mathrm{NB}}\ =\ {R_\odot \over 10} \ \left({T _{\mathrm{NB}}\over T_\odot}\right)^{-2}$
Question 3
Solution :
L'application numérique de la question précédente donne

$R _{\mathrm{NB}} \simeq 0.0037\ R_\odot \simeq 2600 {\,\mathrm{km}}$
Question 4
Aide :
Le diagramme est en échelle log-log. Plutôt que de représenter les valeurs de température 1000, 10000 K par les logarithmes décimaux 3 et 4 selon une échelle linéaire, il présente 1000 et 10000 en échelle logarithmique.

Avec une telle échelle, une loi de puissance $y = \beta\ x^\alpha$ se traduit linéairement par

$\log y = \alpha \ \log x + \log \beta$

Aide :
Une ligne iso-rayon relie dans le diagramme des étoiles de températures et luminosités variables, mais rayons identiques.

Solution :
On s'intéresse à la ligne iso-rayon de rayon solaire. Elle est caractérisée par l'équation reliant température et luminosité s'exprimant :

${L\over L_\odot} \ = \ \left({T\over T_\odot}\right)^4$

L'exposant 4 se traduit par une pente de 4 dans le diagramme log-log. La droite de pente 4 relie par exemple les points $(T/T_\odot, L/L_\odot) = (1, 1)$ et $(T/T_\odot, L/L_\odot) = (10, 10^4)$ . Attention : la pente apparaît négative car l'axe des températures est orienté vers la gauche dans le diagramme HR usuel.

Diagramme HR
Diagramme HR avec lignes iso-rayon $(R/R_\odot = 0.1\ ;\ 1.0\ ;\ 10\ ;\ 100)$
Crédit : ASM
Question 5
Solution :
L'application de l'expression donnant la luminosité

${L\over L_\odot} \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^2 \ \left({T\over T_\odot}\right)^4$

conduit, pour la géante rouge, à :

$L \simeq 2.2\ 10^{3}\ L_\odot$

et pour la naine blanche :

$L \simeq 7.2\ 10^{-2}\ L_\odot$

Diagramme HR
Crédit : ASM

pages_corps-noir/flux-noir-sevaluer.html

Exercice 'Mesure de la température effective'

Question 1
Aide :
L'approximation des petits angles est amplement justifiée.
Question 2
Aide :

pages_corps-noir/temperature-effective-sexercer.html

Exercice 'Equilibre thermique d'une planète'

Question 1
Aide :
Faire un schéma, et estimer la surface interceptée par la planète

Solution :
Au niveau de la planète, le flux stellaire est dilué sur une sphère de surface $4\pi a^2$ . La section occultée par la planète, avec $R\ll a$ , correspond à celle d'un disque de surface $\pi R^2$ .

Le rapport de ces 2 aires vaut :

${\pi R^2 \over 4\pi a^2} ={R^2 \over 4a^2}$

d'où le résultat proposé.

Avec l'hypothèse $R\ll a$ , la surface interceptée par la planète est voisine de $\pi R^2$ .
Crédit : ASM
Question 2
Aide :
Calculette !

Solution :
Les applications numériques donnent :

Objet (UA) (km) $\ell _{\mathrm{P}}/L$

Jupiter 5.2 71000 $2.1\ 10^{-9}$

Terre 1 6400 $4.6\ 10^{-10}$
Question 3
Aide :
L'énergie se conserve !

Solution :
La conservation de l'énergie impose

$\ell _{\mathrm{P}} = \ell _{\mathrm{r}} + \ell _{\mathrm{a}}$

Toute l'énergie reçue sera rerayonnée, soit directement, soit après thermalisation. D'après la définition de l'albédo, il s'ensuit le partage :

$\ell _{\mathrm{r}} = A \ \ell _{\mathrm{P}} \mathrm{\ et\ } \ell _{\mathrm{a}} = (1-A) \ \ell _{\mathrm{P}}$
Question 4
Aide :
Aucun calcul à mener !

Solution :
Le rayonnement directement réfléchi correspond au rayonnement solaire. Sa température de corps noir est donc $T _{\mathrm{r}} = T_\odot$ .
Question 5
Aide :
Associer $T _{\mathrm{P}}$ au rayonnement de type corps noir $\ell _{\mathrm{a}}$ .

Solution :
Le rayonnement thermique de la planète correspond, par hypothèse, à un rayonnement de corps noir de température $T _{\mathrm{P}}$ .

Il vérifie :

$\ell _{\mathrm{a}} = 4\pi R^2\ \sigma T _{\mathrm{P}}^4$

Par ailleurs :

$\ell _{\mathrm{a}} = (1-A) \ {R^2\over 4 a^2} L = (1-A) \ {R^2\over 4 a^2}\ 4\pi R_\star^2\ \sigma T_\star^4$

On en déduit :

$T _{\mathrm{P}}^4 = (1-A) \ { R_\star^2\over 4 a^2}\ T_\star^4$

D'où le résultat à démontrer :

$T _{\mathrm{P}} = (1-A)^{1/4} \ \left( { R_\star \over 2 a}\right)^{1/2}\ T_\star$
Question 6
Aide :
Re-calculette !

Solution :
L'application numérique donne environ 1000 K.
Question 7
Aide :
Aller voir la loi de Wien

Solution :
La loi de Wien donne :

$\lambda _{\mathrm{max}} \ T\ = \ 2.89\ 10^{-3} {\,\mathrm{K}} {\,\mathrm{m}}$

On en déduit que le maximum de rayonnement se situe aux alentours de $3 {\,\mu\mathrm{m}}$ .

pages_corps-noir/spectres-thermiques-sexercer.html

Exercice 'Température d'antenne'

Question 1
Aide :
Ce n'est qu'une application numérique !

Solution :
L'énergie thermique est :

$kT \simeq 1.3 \ 10^{-22} {\,\mathrm{J}}$

L'énergie d'un photon vaut $h \nu = h {c / \lambda} = 6 \ 10^{-34} \times 3\ 10^{10} \simeq 1.8 \ 10^{-23} {\,\mathrm{J}}$ .

L'inégalité stricte demandée est bien vérifiée.
Question 2
Aide :
On rappelle le développement limité : $\exp x \simeq 1+x$ , pour petit.

Solution :
Avec l'approximation $\exp\displaystyle{h\nu\over kT} -1 \simeq \displaystyle{h\nu\over kT}$ , valide vu l'hypothèse posée, on trouve :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2}\ \nu^{3}\over \displaystyle{h\nu\over k_BT}} \ = \ 2 c^{-2}\ \nu^{2}\ k_BT$
Question 3
Aide :
Faire le lien entre les termes de l'étendue de faisceau et les termes énergétiques.

Aide :
Intégrer simultanément la densité spectrale de luminance sur la surface collectrice , et sur tout l'angle solide $\Omega$ , avec la propriété admise : $S \ \Omega = \lambda^{2}$ .

Solution :
La densité spectrale de luminance vaut :

$2 c^{-2} \nu^{2} k T = 2 {k T \over \lambda^{2}}$

Intégrée sur la variable de surface et celle d'angle solide $\Omega$ , on trouve, avec $S\ \Omega = \lambda^2$ , une puissance monochromatique :

${ {\mathrm{d}} L\over {\mathrm{d}} \nu}= 2 {k T \over \lambda^{2}}\ S\Omega= 2\ {k T}$
Question 4
Aide :
Il ne reste plus qu'à intégrer sur l'intervalle spectral, sans oublier qu'une seule des deux polarisations est visible.

Solution :
L'antenne n'est sensible qu'à une seule direction du champ électrique : la moitié de l'énergie est donc perdue. En supposant la densité spectrale de puissance uniforme sur l'intervalle de fréquence, on trouve une puissance :

$L = {{\ifmmode{1\over 2}\else {$1\over 2$}\fi}}{ {\mathrm{d}} L\over {\mathrm{d}} \nu} \ \Delta\nu = k T \ \Delta\nu$

Cette valeur apparaît directement proportionnelle à la largeur de l'intervalle spectral, fixée par la détection, et à la température de la source.

C'est pourquoi les radioastronomes définissent la puissance reçue par une température. Cette température correspond directement à celle du corps s'il rayonne comme un corps noir. Mais, toute énergie devenant ainsi une température (température de bruit du détecteur, ou de température d'antenne) par une simple règle de proportionnalité, cette température ne peut pas être considérée, dans la plupart des cas, comme une température thermodynamique.