Ressources libres - Lumières sur l’Univers
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- Température

sexercerS'exercer

calcotron

exerciceTempérature d'antenne

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 45 min

Il a été vu que la luminance spectrale du corps noir s'exprime, en fonction de la fréquence par :

{{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2} \nu^{3}\over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}

Dans cet exercice, on se propose de montrer comment cela conduit les radio-astronomes à exprimer une luminosité radio comme une température, et donc à l'exprimer en Kelvin.

Les conditions d'observation de l'image, définies par la diffraction, énoncent que le faisceau élémentaire observable a une étendue S \Omega égale à \lambda^{2}, et que la mesure ne peut donner accès qu'à une seule direction de polarisation. L'intégration sur S et sur \Omega permet de passer de la luminance spectrale à la puissance spectrale.

La surface S représente ici la surface collectrice, et \Omega l'angle solide sous lequel est vue la source élémentaire.

Question 1)

Montrer que, dans le domaine des radiofréquences, la fréquence d'observation \nu, typiquement de l'ordre du GHz, vérifie pour les températures, même froides, rencontrées dans l'Univers :

h\nu \ll k_B T

On donne h = 6\ 10^{-34}\ \mathrm{SI}, et k_B= 1.3\ 10^{-23} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{K}}^{-1}. On considère comme objet un nuage moléculaire à 10 K, et un rayonnement aux longueurs d'onde supérieures à 1 cm.

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Question 2)

En déduire l'approximation de la loi de rayonnement dans le domaine radio :

{{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ 2 c^{-2}\ \nu^{2}\ k_BT

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Question 3)

Montrer que l'intégration de la luminance spectrale { \mathcal{B}}_\nu, vis à vis des variables angulaires et de surface, conduit à une densité spectrale de puissance égale à 2 k T

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Question 4)

Déterminer alors la puissance reçue dans l'intervalle de fréquence \Delta \nu.

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