Température d'antenne
Difficulté : ☆☆☆
Temps : 45 min
Il a été vu que la luminance
spectrale du corps noir s'exprime,
en fonction de la fréquence
par :
Dans cet exercice, on se propose de montrer comment cela conduit les
radio-astronomes à exprimer une luminosité radio comme une température, et donc
à l'exprimer en Kelvin.
Les conditions d'observation de l'image, définies par la
diffraction, énoncent
que le faisceau élémentaire observable a une étendue
égale à , et que la mesure ne peut donner accès qu'à une
seule direction de polarisation. L'intégration sur et sur
permet de passer de la luminance spectrale à la puissance spectrale.
La surface représente ici la
surface collectrice, et l'angle solide sous lequel est vue la
source élémentaire.
Question 1)
Montrer que, dans le domaine des radiofréquences, la fréquence
d'observation , typiquement de l'ordre du GHz, vérifie
pour les températures, même froides, rencontrées dans l'Univers :
On donne , et .
On considère comme
objet un nuage moléculaire à 10 K, et un rayonnement aux longueurs d'onde supérieures à 1 cm.
AideSolution
Ce n'est qu'une application numérique !
L'énergie thermique est :
L'énergie d'un photon vaut .
L'inégalité stricte demandée est bien vérifiée.
Question 2)
En déduire l'approximation de la loi de rayonnement dans le domaine
radio :
AideSolution
On rappelle le développement limité : , pour
petit.
Avec l'approximation , valide vu l'hypothèse posée, on trouve :
Question 3)
Montrer que l'intégration de la luminance spectrale , vis à vis des variables angulaires et de surface, conduit à une densité spectrale de
puissance égale à
AideAideSolution
Faire le lien entre les termes de l'étendue de faisceau et les termes
énergétiques.
La densité spectrale de luminance vaut :
Intégrée sur la variable de surface et celle d'angle solide , on trouve, avec , une puissance monochromatique :
Question 4)
Déterminer alors la puissance reçue dans l'intervalle de fréquence
.
AideSolution
Il ne reste plus qu'à intégrer sur l'intervalle spectral, sans oublier
qu'une seule des deux polarisations est visible.
L'antenne n'est sensible qu'à une seule direction du champ électrique :
la moitié de l'énergie est donc perdue. En supposant la densité
spectrale de puissance uniforme sur l'intervalle de fréquence, on trouve
une puissance :
Cette valeur apparaît directement proportionnelle à la largeur de
l'intervalle spectral, fixée par la détection, et à la température de la
source.
C'est pourquoi les radioastronomes définissent la puissance
reçue par une température.
Cette température correspond directement à celle du corps s'il rayonne
comme un corps noir. Mais, toute énergie devenant ainsi une température
(température de bruit du
détecteur, ou de température d'antenne) par une simple règle de
proportionnalité, cette température ne peut pas être considérée, dans la
plupart des cas, comme une température thermodynamique.