La métrique

Auteur: Andrea Cattaneo

Définition

Nous avons écrit que la présence de matière modifie la géométrie de l'espace. En fait, la propriété modifiée est la métrique, c'est-à-dire la loi qui donne la distance entre deux points.

La métrique euclidienne

Commencons par le cas simple de deux points A et B de coordonnées (x_1,y_1) et (x_2,y_2) , respectivement sur le plan cartésien (Fig. 1). La distance dl entre les deux points est donnée par le théorème de Pythagore :

${\rm d}l^2={\rm d}x^2+{\rm d}y^2$ (1),

où ${\rm d}x = x_2-x_1$ et ${\rm d}y = y_2-y_1$ .

Nous pouvons généraliser l'équation (1) au cas de deux points A=(x_1,y_1,z_1) et B=(x_2,y_2,z_2) dans l'espace en trois dimensions. En appliquant deux fois le théorème de Pythagore (Fig. 2), nous trouvons :

${\rm d}l^2={\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2$ (2).

Les équations (1) et (2) expriment la métrique euclienne, respectivement en deux et trois dimensions. La métrique euclidienne est la loi qui permet de calculer la distance dl entre deux points quelconques dans la géométrie d'Euclide.

Les équations (1) et (2) sont formulées en coordonnées cartésiennes orthogonales. On aurait pu considérer d'autres systèmes de coordonnées, par exemple, en deux dimensions, les coordonnées polaires. En coordonnées polaires (Fig. 2), un point A est identifié par deux coordonnées : la distance r de l'origine O et l'angle $\theta$ que la droite OA forme avec une droite de référence (en Fig. 1, l'axe x). Dans ce système de coordonnées, la distance ${\rm d}l$ entre les points $A=(r,\theta)$ et $B=(r+{\rm d}r,\theta+{\rm d}\theta)$ est déterminée par l'équation :

${\rm d}l^2 = {\rm d}r^2+r^2{\rm\,d}\theta^2$ (3),

qui exprime, encore une fois, le théorème de Pythagore, cette fois en coordonnées polaires (on note qu’en Fig.1 d*theta<0 ).

Cépendant, un changement de coordonnées n'est pas un changement de métrique. Les équations (1) et (3) ont des formes différentes, mais elles correspondent à la même métrique parce qu'elles donnent le même résultat pour la distance ${\rm d}l$ entre deux points*. Un changement de métrique est – nous le verrons bientôt – quelque chose de plus profond.

*Affirmer que les équations (1) et (3) donnent le même résultat pour la longeuer ${\rm d}l$ est correct dans la limite que ${\rm d}l$ est infinitésimale. Autrement, on ne peut pas traiter l'arc de cercle de longueur $r{\rm\,d}\theta$ comme un segment et l'on ne peut pas supposer qu'il soit perpendiculaire au segment de longueur ${\rm d}r$ .

La métrique sur une sphère

Pour comprendre comment la métrique peut différer de celle d'Euclide, considérons la géométrie sur une surface sphérique (par exemple, le globe terrestre; Fig. 2).

Un lieu sur la surface de la sphère est identifié par deux coordonnées : la co-latitude* $\theta$ et la longitude $\phi$ , étant donné que la distance r du centre de la Terre est la même pour tous les points. A $\phi$ , constante, une variation infinitésimale ${\rm d}\theta$ de la latitude correspond à un déplacement de ${\rm d}l=r{\rm\,d}\theta$ , si les angles sont exprimés en radians. A $\theta$ constante, une variation infinitésimale ${\rm d}\phi$ de la longitude correspond à un déplacement de ${\rm d}l = r\,\cos\theta{\rm\,d}\phi$ . Dans la limite où des arcs infinitésimaux peuvent être considérés comme rectilignes, le théorème de Pythagore donne :

${\rm d}l^2=r^2{\rm\,d}\theta^2+r^2\,\cos^2\theta{\rm\,d}\phi^2$ (4).

L'équation (4) est fondamentalement différente des équations (1) et (3). Les équations (1) et (3) donnent la distance entre deux points sur le plan, donc une surface plate. L'équation (4) donne l'élément infinitésimal de distance sur une sphère, donc une surface courbe.

Pour mieux comprendre cette différence, considérons la distance l entre le pôle Nord et le pôle Sud de la Terre : l est le diamètre terrestre si on voit les pôles comme deux points dans l'espace en trois dimensions et le méridien terrestre si on voit les pôles comme deux points sur la surface terrestre. La métrique (2) correspond au premier cas, l=2r . La métrique (4) correspond au deuxième cas, $l=\pi r$ . La métrique (4) est non-euclidienne parce qu'elle mesure les distances sur une surface courbe.

Pour résumer, l'équation (1) donne la métrique sur une surface plate. L'équation (2) donne la métrique dans un espace plat (en espace qui obéit à la géométrie d'Euclide). La notion de distance sur une surface peut être généralisée à des surfaces courbes. C'est comme ça que l'on passe de la métrique (1) à la métrique (4). De la même manière, la notion de distance dans l'espace en trois dimensions (équation 2) peut être généralisée à des espaces courbes, qui correspondent à des métriques plus complexes et n'obéissant pas à la géométrie d'Euclide.

Forme générale

Pour un système de coordonnées quelconque, la distance spatiale ${\rm d}l$ entre le point de coordonnées (x_1,x_2,x_3) et le point de coordonnées $(x_1+{\rm d}x_1,x_2+{\rm d}x_2,x_3+{\rm d}x_3)$ est donnée par la formule :

${\rm d}l^2=\Sigma_{i,j}g_{ij}{\rm\,d}x_i{\rm\,d}x_j=g_{11}{\rm\,d}x_1^2+g_{12}{\rm\,d}x_1{\rm\,d}x_2+g_{13}{\rm\,d}x_1{\rm\,d}x_3+g_{21}{\rm\,d}x_2{\rm\,d}x_1+g_{22}{\rm\,d}x_2^2+g_{23}{\rm\,d}x_2{\rm\,d}x_3+g_{31}{\rm\,d}x_3{\rm\,d}x_1+g_{32}{\rm\,d}x_3{\rm\,d}x_2+g_{33}{\rm\,d}x_3^2$ (5).

La matrice $g_{ij}$ dans l'équation (5) définit la métrique. Dans un système de coordonnées cartesiennes orthogonales, x_1=x , x_2=y et x_3=z . Dans ce système de coordonnées, la métrique euclidienne prend la forme très simple $g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$ et $g_{ij}=0$ pour $i\ne j$ .

Forme diagonale

Dans d’autres géométries ou d'autres systèmes de coordonnées, la métrique prend des formes plus compliquées. Heureusement, on peut toujours trouver un système de coordonnées astucieux dans lequel les termes $i\ne j$ disparaissent localement. On peut démontrer que cette propriété se déduit de la symétrie de la métrique, c'est-à-dire du fait que la distance entre A et B doit être égale à la distance entre B et A. Pour cette raison, nous ne considérerons que des métriques de la forme (dite diagonale) :

${\rm d}l^2=g_{11}{\rm\,d}x_1^2+g_{22}{\rm\,d}x_2^2+g_{33}{\rm\,d}x_3^2$ (6).

Des formes plus complexes sont rarement considérées, même dans les cours de maîtrise.

En coordonnées sphériques (Fig. 2), x_1=r , $x_2=\theta$ et $x_3=\phi$ . Nous laissons au lecteur l'exercice de calculer les valeurs des coefficients $g_{11}$ , $g_{22}$ , $g_{33}$ pour la métrique euclidienne dans un tel système de coordonnées.

* : La latitude utilisée en géographie est l’angle avec le plan équatorial. Elle est nulle à l’équateur. En géométrie et en physique, on utilise plutôt la co-latitude, qui est l’angle avec l’axe polaire. Elle est nulle au pôle nord.