Ellipses, paraboles et hyperboles


Observer

coniques.png
Diverses coniques, selon l'excentricité e : du cercle e=0, à l'ellipse 0<e<1, la parabole e=1 et l'hyperbole e>1.
Crédit : ASM

Coniques

Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.

projellipse1.pngprojellipse2.png
Une ellipse vue dans son plan, et projetée sur le plan du ciel, avec les axes principaux (en orange) et le foyer (croix). La projection du vrai demi-grand axe ne coïncide clairement pas avec le demi-grand axe de l'ellipse projetée. 0 correspond au centre (position conservée par projection), F au foyer occupé par la composante principale (non conservée), et P le périastre.
Crédit : ASM

Projection d'une orbite elliptique

Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.

Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan


Apprendre

objectifsObjectifs

Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.

Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
excentricitétrajectoire mouvementénergie mécanique
e=0 cercle lié minimale et <0
0<e<1 ellipse lié E <0
e=1 parabole libre E =0
e>1 hyperbole libre E >0

Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2 corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

r = {p\over 1+e \cos \theta}

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

defellipse.png
Eléments d'une ellipse : centre O, foyer F, grand axe 2a, péri- et apoastre.
Crédit : ASM
Péri et apoastre : vocabulaire
astrepériastre apoastre
Soleilpérihélieaphélie
Terre périgée apogée

Eléments de la trajectoire

Exemples


Simuler

De l'excentricité

Les animations ci-jointes permettent de visualiser l'évolution d'une conique en fonction de son excentricité

ellipsf.gif
Famille d'ellipses de demi-grand axe fixé, d'excentricité variable
Crédit : ASM
ellipsf2.gif
Famille de coniques de paramètre p fixé, d'excentricité variable de 0 (cercle) à 2.
Crédit : ASM

S'exercer

tordu1.png
Ellipse reconstruite dans le plan orbital.
Crédit : ASM
tordu2.png
Ellipse observée dans le plan du ciel, distinct du plan orbital
Crédit : ASM

qcmQCM

1)  Retrouver l'expression reliant le périastre r_p au demi-grand axe a de l'ellipse.




2)  Retrouver l'expression reliant l'apoastre r_a au demi-grand axe a de l'ellipse.




3)  Retrouver l'expression reliant le demi-grand axe a au paramètre p de l'ellipse.




4)  Retrouver sur la figure ci-jointe la seule figure possible correspondant à la reconstruction d'une orbite dans son plan orbital.




5)  Retrouver sur la figure ci-jointe la seule figure impossible correspondant à une orbite observée dans le plan du ciel, supposé distinct du plan orbital.





Réponses aux QCM

pages_conique/conique-sexercer.html

QCM