Diverses coniques, selon l'excentricité
: du cercle
, à l'ellipse
, la parabole
et l'hyperbole
.
Crédit :
ASM
Coniques
Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.
Une ellipse vue dans son plan, et projetée sur le plan du ciel, avec les axes principaux (en orange) et le foyer (croix). La projection du vrai demi-grand axe ne coïncide clairement pas avec le demi-grand axe de l'ellipse projetée. 0 correspond au centre (position conservée par projection), F au foyer occupé par la composante principale (non conservée), et P le périastre.
Crédit :
ASM
Projection d'une orbite elliptique
Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.
Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan
Objectifs
Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.
Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
excentricité | trajectoire | mouvement | énergie mécanique |
| cercle | lié | minimale et |
| ellipse | lié | |
| parabole | libre | |
| hyperbole | libre | |
Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2
corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.
Trajectoires
Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.
En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du
problème à 2 corps a pour équation paramétrique :
Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement
du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.
Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.
- L'excentricité définit la nature
de la conique.
- Le paramètre est une longueur reliée au demi-grand axe et à l'excentricité .
Eléments d'une ellipse : centre
, foyer
, grand axe
, péri- et apoastre.
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ASM
Péri et apoastre : vocabulaire
astre | périastre | apoastre |
Soleil | périhélie | aphélie |
Terre | périgée | apogée |
Eléments de la trajectoire
- Le rayon vecteur est défini par rapport au foyer de
l'ellipse définissant le centre de force, et non par rapport au centre .
- Le point le plus proche du foyer est le
périastre ; le point le plus
éloigné l'apoastre.
- Le demi-grand axe vérifie , avec et les
rayons des péri- et apoastres
- Le paramètre de l'ellipse vérifie
- La distance du centre au foyer vaut
Exemples
- Dans le système solaire, plus un objet est massif, plus sa trajectoire tend à être circulaire ; les astéroïdes ont des trajectoires généralement plus elliptiques que la plupart des planètes.
- Les comètes de longue période ont des trajectoires très elliptiques.
- Les comètes de très longue période ont des trajectoires souvent indéterminées, en fait très sensibles aux perturbations gravitationnelles.
De l'excentricité
Les animations ci-jointes permettent de visualiser l'évolution d'une conique en fonction de son excentricité
Famille d'ellipses de demi-grand axe fixé, d'excentricité variable
Crédit :
ASM
Famille de coniques de paramètre
fixé, d'excentricité variable de 0 (cercle) à 2.
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ASM
Ellipse reconstruite dans le plan orbital.
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ASM
Ellipse observée dans le plan du ciel, distinct du plan orbital
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ASM
QCM