Magnitude

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction
Magnitude : introduction et définition
- Observer
- Apprendre
Magnitude apparente
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Magnitude monochromatique
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Magnitude absolue
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Bilan
- Apprendre
Eléments de photométrie énergétique
- Apprendre
- S'exercer
Conclusion

Introduction

Mesurer une grandeur énergétique n'est pas des plus simples. En fonction des besoins de l'astronomie et de l'astrophysique s'est développée la notion de magnitude.

Les pages qui suivent définissent cette échelle énergétique, et justifient son emploi en fonction des mesures effectuées.

La constellation de la Grande Ourse. La taille des points code la magnitude stellaire, la couleur le type spectral.

Crédit : BSC/ASM

Magnitude : introduction et définition

Observer

Grandeur des étoiles

Il n'y a pas de lien univoque entre la luminosité d'une étoile et sa taille. Dans le langage commun, une "grosse" étoile est une étoile lumineuse, et une "petite" une étoile moins lumineuse.

Historiquement est apparue la notion de grandeur, ici rendue par la représentation d'un champ stellaire.

Figure historique

Croquis d'un champ stellaire dans la Nébuleuse d'Orion (1771). Le cartouche définit le codage de la grandeur, ou luminosité, des étoiles

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Magnitude

Pour coder les magnitudes, souvent les cartes reprennent cette image (voir le cours corps noir pour la relation entre rayon et flux stellaires).

Magnitudes

La constellation d'Orion, avec représentation des magnitudes stellaires. Par convention, la magnitude d'une étoile est souvent représentée par un disque d'autant plus gros que la magnitude est faible (càd que l'objet est lumineux).

Crédit : ASM

Apprendre

Prérequis

Corps noir ; Energétique

Objectifs

La magnitude exprime une mesure photométrique dans un système d'unités approprié à l'usage astrophysique. On peut ainsi comparer les étoiles les unes par rapport aux autres d'un point de vue énergétique.

Historique

Le père de la magnitude est Hipparque (2e siècle avant J-C) : les étoiles les plus brillantes étaient classées dans la catégorie "étoiles de première grandeur", les autres se répartissaient ensuite sur 5 échelons, jusqu'aux "étoiles de sixième grandeur" qui étaient les plus faibles visibles à l'œil nu.

L'utilisation d'instruments capables de mesurer les intensités lumineuses plus précisément qu'à l'oeil nu permit de préciser et de développer la notion de magnitude : la définition historique de la magnitude a été traduite en une échelle logarithmique, car l'oeil est un récepteur logarithmique. La limite de détection à l'oeil nu, correspond à des étoiles de magnitude 6.

Magnitude apparente

Observer

Magnitude apparente

Etoile double du Bouvier

L'étoile centrale a une magnitude de 4,5, la seconde étoile a une magnitude de 7,2 et les étoiles du fond de ciel une magnitude comprise entre 15 et 18.

Crédit : CDS

La magnitude apparente mesure l'"éclat" apparent d'une étoile, c'est à dire la façon dont on la voit de la Terre.

Quelques magnitudes apparentes
Objet	Magnitude apparente
Soleil	-26,7
Lune	-12,7
Vénus	-4,4
Sirus	-1,4
Véga	0
Antarès	1
Etoile polaire	2
Limite de perception à l'oeil nu	6
Limite de perception aux jumelles	10
Limite de perception au sol	27
Limite de perception du télescope spatial Hubble	30

Plus un objet est brillant, plus sa magnitude est petite. Une différence de magnitude de 2.5 unités correspond à un contraste de luminosité de 10.

Apprendre

Magnitude apparente

Définition

La magnitude est une grandeur qui permet de mesurer la luminosité des astres.

La magnitude apparente d'une étoile est définie conventionnellement à partir de son flux par la relation :

$m\ =\ -2.5\ \log_{10} {E\over E _{\mathrm{0}}}$

où $E _{\mathrm{0}}$ représente le flux d'une étoile de référence de magnitude nulle.

Le facteur 2.5 et la base logarithmique décimale ont été choisis afin de respecter la définition historique.

La définition du flux ici introduit n'est pas primordiale, vu que la définition se contente d'introduire un rapport de cette grandeur. On peut se référer à un tableau récapitulatif des grandeurs photométriques utilisées.

La différence de magnitude de deux étoiles, et , s'exprime par :

$m _{\mathrm{A}}-m _{\mathrm{B}}\ =\ -2.5\ \log {E _{\mathrm{A}}\over E _{\mathrm{B}}}$

Elle est égale à 2.5 en valeur absolue si le rapport de leurs flux est 10.

D'autres échelles de magnitude

La magnitude apparente ne nous renseigne en rien sur la luminosité réelle de l'astre et ne donne aucune indication sur sa nature, car la définition de la magnitude apparente :

ne dépend pas a priori du récepteur utilisé,
ne dépend que de l'éclat apparent de l'objet et donc mélange une information propre à l'étoile (son flux) à la distance Terre-étoile,
ne tient pas compte de la couleur de l'étoile,
ne nécessite pas une définition précise de la grandeur photométrique mesurée, vu que seul le rapport de deux telles grandeurs entre en jeu.

Des définitions plus circonstanciées permettent de préciser la notion de magnitude. On introduit la magnitude absolue , qui indique la luminosité d'un objet rapporté à une distance de 10 parsec.

De même, la définition précédente néglige toute information sur la couleur de l'objet. Pour cela, on introduit la magnitude monochromatique et les indices de couleur.

Simuler

Décompte en fonction de la magnitude

Plus un détecteur est sensible, plus il va pouvoir observer d'objets, pour 2 raisons :

Accès aux objets intrinsèquement peu brillants, et qui passent inaperçus quand bien même ils ne sont guère éloignés
Observation des objets moins lumineux, car éloignés

Décompte d'étoiles en fonction de lamagnitude

Le tableau ci-joint dénombre les objets stellaires en fonction de leur magnitude apparente. Plus précisément, en fonction de la magnitude , décompte du nombre dN/dm d'étoiles de magnitude comprise dans l'intervalle [m-0.5, m+0.5] , et total cumulé N(m) jusqu'à la magnitude .

Traitement

On cherche à estimer la relation N(m) , et à montrer qu'elle est du type :

$N(m) \propto 10^{\beta \, m}$

Tracer le graphe donnant le nombre d'étoiles observables jusqu'à une magnitude apparente donnée , puis $\log_{10} N/ {\mathrm{d}} m$ en fonction de (mode d'emploi si nécessaire)
Montrer que la relation proposée est vérifiée
Déterminer $\beta$ graphiquement, et montrer que $\beta$ est voisin de 0.6
Voir la solution

Décompte des cibles stellaires jusqu'à la magnitude 12. La loi en $10^{-0.6}$ n'est plus vérifiée à grande distance, l'absorption interstellaire et la taille finie de l'épaisseur du bras galactique conduisant à un déficit de magnitudes faibles.

Crédit : ASM

S'exercer

QCM

1) Le posemètre d'un instrument compte 216000 coups/s pour un cible de magnitude 6. Combien de coups/s sont attendus pour une cible de magnitude 11.
216000
21600
2160
216

2) Le posemètre a compté 340000 coups/s. Quelle est la magnitude la cible ?
4.5
5.0
5.5

Luminosité et éclairement

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

La luminosité correspond à la puissance totale rayonnée par l'étoile. Lorsque cette puissance est considérée par unité de surface, on parle de puissance surfacique. On définit l'éclairement d'une étoile comme la puissance reçue d'une étoile par unité de surface, au sommet de l'atmosphère terrestre.

Question 1)

La luminosité intrinsèque d'une étoile de type solaire étant $L _{\mathrm{\odot}}$ , en déduire l'éclairement de cette étoile située à une distance de la Terre.

Question 2)

Calculer la puissance surfacique reçue sur Terre d'une étoile de type solaire située à la distance de Proxima de Centaure, de parallaxe annuelle $\alpha$ = 0.76". On donne $L _{\mathrm{\odot}} = 3.86\ 10^{26} {\,\mathrm{W}}$ .

Question 3)

De même, calculer la puissance surfacique $E _{\mathrm{S}}$ du Soleil reçu sur Terre.

Magnitude apparente

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Question 1)

Rappeler la définition de la magnitude apparente d'une étoile.

Question 2)

Deux étoiles ont des éclairements apparents $E _{\mathrm{A}}$ et $E _{\mathrm{B}}$ . Exprimer leur différence de magnitude.

Question 3)

Comparer les flux d'objets de magnitudes -26.7 (soleil), -2.55 (Jupiter), +6 (étoiles juste visibles à l'oeil nu), +27 (magnitude limite accessible au sol).

Performance de détection liée à la taille du récepteur

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

En vision nocturne, le diamètre de notre pupille vaut de l'ordre de 6 mm, et la magnitude limite visible à l'oeil nu est m=6 .

On rappelle l'expression de , la magnitude apparente d'un objet :

$m = -2.5\log E/ E _{\mathrm{0}}$

avec $E _{\mathrm{0}} = 2.87\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$ pour le domaine visible.

Question 1)

Exprimer , le flux (puissance par unité de surface) rayonné traversant la pupille, en fonction de et , respectivement la puissance totale reçue et le diamètre de la pupille.

Question 2)

Calculer et pour une étoile de magnitude 6.

Question 3)

Montrer qu'avec un collecteur de diamètre , l'oeil a accès aux magnitudes jusqu'à :

$m(D) = m_0 + 5 \log {D}$

avec exprimé en m. Identifier m_0

Question 4)

Calculer , pour $D = 6 {\,\mathrm{cm}},\ D = 60 {\,\mathrm{cm}},\ D = 6 {\,\mathrm{m}}.$

Question 5)

Comment procède-t-on pour observer les objets de magnitude supérieure?

Compter les étoiles

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le but de cet exercice est de compter les étoiles en fonction de leur magnitude. Pour se faire, on pose deux hypothèses :

toutes les étoiles présentent la même magnitude absolue, .
la répartition des étoiles autour du soleil est uniforme, .

Question 1)

Déterminer la magnitude apparente d'une étoile à la distance .

Question 2)

Dénombrer le nombre d'étoiles N(d) dans une sphère de rayon autour du soleil.

Question 3)

A partir des deux relations précédemment établies, montrer que le nombre d'étoiles jusqu'à la magnitude évolue comme :

$N(m) = \alpha\ 10^{\beta m}$

Identifier le coefficient $\beta$ de l'exposant

Question 4)

Estimer $\alpha$ , sachant que l'on peut dénombrer environ 6000 étoiles à l'oeil nu, càd de magnitude inférieure à 6.

Question 5)

Ce résultat apparaît-il en accord avec le nombre d'étoiles plus brillantes que la magnitude 0

S'évaluer

Différence de magnitude

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Deux étoiles d'un système double présentent une différence de magnitude $\Delta m = m_2-m_1$ . Exprimer le rapport de leurs luminosités L_1 et L_2

[2 points]

Question 2)

Faire l'application numérique pour $\Delta m$ = 1, $\Delta m$ = 10

[1 points]

Le projet OWL

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le projet OWL (overwhelmingly large telescope) de l'ESO s'est attaché à étudier le concept d'un télescope avec un collecteur de diamètre $a= 100 {\,\mathrm{m}}$ . Devant l'accumulation de points durs techniques, le concept a été remplacé en 2006 par un projet moins démesuré, avec un collecteur de diamètre 42 m.

Question 1)

Estimer le gain attendu en magnitude limite observable avec un télescope de 100 m, par rapport à un télescope de 10 m.

[1 points]

Question 2)

Ce télescope étant muni d'une optique adaptative, il donnera accès à une résolution angulaire proche de la limite de diffraction $(1.22\ \lambda / a)$ . Calculer cette limite pour le visible.

[1 points]

Magnitude monochromatique

Observer

Couleur

Les étoiles présentent des couleurs différentes, ce qu'il va falloir retranscrire sur leur magnitude.

Constellation d'Orion

La constellation d'Orion, avec reproduction des couleurs par superposition de 3 clichés enregistrés dans des bandes spectrales différentes.

Crédit : CFHT

Magnitude monochromatique et indice de couleur

Les étoiles rayonnent pratiquement comme des corps noirs. Elles ont un maximum d'intensité lumineuse qui varie avec la température de leur couche externe. L'échelle de magnitude UBVRI (UV, Bleu, Visible, Rouge, Infrarouge), correspond aux magnitudes d'une étoile dans une gamme de longueur d'onde de l'UV à l'IR.

Filtres BVRI

La mesure précise des magnitudes monochromatiques nécessite l'emploi de filtres dans un système bien prédéfini.

Crédit : ESO/Cyril Cavadore

Imager dans différents domaines spectraux permet de distinguer des objets avec une couleur particulière.

Quatre images du ciel profond dans 4 couleurs différentes, du proche UV au rouge. Un des objets du champ - en fait une galaxie très lointaine - n'est visible que dans le rouge : sa magnitude dans l'UV et le bleu est trop grande.

Crédit : HST

Indice de couleur

Les variations de luminosité d'un objet permettent de remonter à la couleur de cet objet... à moins que le milieu interstellaire ne soit pas transparent.

La nébuleuse d'Orion, vue en visible en proche infrarouge. Les différences d'aspect sont ici essentiellement dues à des effets d'absorption par la matière interstellaire.

Crédit : HST

Apprendre

Indice de couleur

Comme on peut le voir sur l'image de la constellation d'Orion, les étoiles ne sont pas de la même couleur. Il est nécessaire de tenir compte de la dépendance en fonction de la couleur.

On définit l'éclairement monochromatique, comme étant le rapport de l'éclairement dans un domaine spectral précis à la largeur de ce domaine, l'intervalle spectral $\delta E$ étant divisé selon la longueur d'onde $\lambda$ .

On obtient ainsi :

$\mathcal{E} = { {\mathrm{d}} E\over {\mathrm{d}}\lambda}$

si l'intervalle spectral est décrit par la longueur d'onde.

On définit la magnitude monochromatique $m _{\mathrm{X}}$ en comparant la densité spectrale de flux $\mathcal{E}$ à une référence $\mathcal{E} _{\mathrm{X}}$ :

$m _{\mathrm{X}} = -2.5\log { \mathcal{E}\over \mathcal{E} _{\mathrm{X}}}$

$\mathcal{E}$ et $\mathcal{E} _{\mathrm{X}}$ sont exprimés en ${\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1}$ .

Photométrie standard
domaine spectral	indice de couleur	$\lambda\ ( {\,\mu\mathrm{m}})$	$\Delta\lambda ( {\,\mu\mathrm{m}})$	Référence $( {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1})$
UV	U	0.36	0.068	$4.35\ 10^{-8}$
bleu	B	0.44	0.098	$7.20\ 10^{-8}$
visible	V	0.55	0.089	$3.92\ 10^{-8}$
rouge	R	0.70	0.22	$1.76\ 10^{-8}$
proche IR	I	0.90	0.24	$8.3\ 10^{-9}$
proche IR	J	1.25	0.30	$3.4\ 10^{-9}$
IR	H	1.65	0.35	$7.0\ 10^{-10}$
IR	K	2.20	0.40	$3.9\ 10^{-10}$
IR	L	3.40	0.55	$8.1\ 10^{-11}$
IR	M	5.0	0.3	$2.2\ 10^{-11}$

L'indice de couleur X-Y est la différence des magnitudes monochromatiques et . On codifie la couleur selon le standard UBVRI, correspondant aux intervalles spectraux définis ci-dessus.

Indices de couleur
Objet	$m _{\mathrm{v}}$	B-V
soleil	-26.7	0.65
Sirius	-1.45	0.00
Véga	0.00	0.00
Antarès	1.00	1.80
Mimosa	1.26	-0.24
Adhara	1.50	-0.22

La magnitude et l'indice de couleur de Véga sont nuls, non pas par hasard, mais par choix : Véga a été choisi comme standard de référence.

Les étoiles chaudes (bleues) ont un indice de couleur B-V négatif, alors que les étoiles plus froides (rouges) ont un indice positif élevé.

Simuler

Analyse multispectrale

Le centre galactique dans diverses couleurs

L'analyse multispectrale est indispensable pour caractériser complètement un objet : ce qui apparaît en émission dans un domaine spectral peut être absorbant dans un autre.

Température et indice de couleur

L'indice de couleur, corrigé de toute absorption, permet de remonter à la température de l'objet.

Magnitude et indice de couleur

A l'aide du tableau, identifier les températures d'un lot d'étoiles.

S'exercer

Magnitude visible... à l'oeil

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

La magnitude apparente en fonction de l'indice de couleur , notée $m _{\mathrm{X}}$ , est reliée à la densité spectrale de flux $\mathcal{E}$ , reçue dans la gamme de couleur centrée sur la longueur d'onde $\lambda$ et de largeur $\Delta\lambda$ , par :

$m _{\mathrm{X}} = -2.5\log { \mathcal{E}\over \mathcal{E} _{\mathrm{X}}}$

avec les constantes données dans la partie de cours. On assimile l'oeil à un récepteur de diamètre $D=6 {\,\mathrm{mm}}$ . La magnitude $m _{\mathrm{v}}$ maximum détectable à l'oeil est $m _{\mathrm{v}} = 6$

Question 1)

A quel domaine de longueur d'onde l'oeil humain est-il sensible ? A quelle puissance $\mathcal{P}$ minimale l'oeil est-il sensible ?

Question 2)

À combien de photons l'oeil réagit-il, sachant qu'une image se forme en $\tau = 1/20$ de seconde?

S'évaluer

Magnitude et temps de pose

Difficulté : ☆ Temps : 45 min

Détecter une source lumineuse, quelqu'elle soit, nécessite la collecte d'un nombre suffisant de photons, ce qui requiert un temps de pose adapté à la magnitude. On se place dans des conditions d'observation en bande V (largeur spectrale $\Delta\lambda$ ), avec une chaîne de rendement total $\eta$ . Ce rendement tient compte de la collecte des photons jusqu'à leur transformation en photo-électrons. On note le diamètre collecteur.

Question 1)

Rappeler l'expression qui relie l'éclairement monochromatique à la magnitude de la source. Quelles grandeurs de la chaîne de collecte interviennent pour traduire cet éclairement monochromatique en puissance ?

[1 points]

Question 2)

Montrer que le nombre de photons à collecter s'exprime, en fonction des données et du temps de pose $\Delta t$ .

$N = \eta \ E _{\mathrm{V}} \Delta \lambda\, \pi \left({a\over 2}\right)^2\, \Delta t \, {\lambda \over h c} \ 10^{-0.4\, m}$

[2 points]

Question 3)

Faire l'application numérique avec les données concernant la bande V, pour une source de magnitude 10, un télescope de la classe 8 m, une pose de 1 s, un rendement de 10%.

[1 points]

Question 4)

Que devient le temps de pose pour une source de magnitude 20 ? Quel temps de pose faut-il viser pour collecter 1000 photons sur une source de magnitude 25 ? Et pour collecter 100 photons/pixel sur une source (supposée uniforme) de magnitude 25 étendue sur 100 pixels ?

[2 points]

Magnitude absolue

Observer

De l'intérêt d'un paramètre absolu

La magnitude apparente, comme son nom l'indique, n'est qu'apparente pour un observateur donnée. Elle dépend de la source et de son identité, mais aussi de l'observateur : ce point est gênant si l'on s'intéresse à l'objet pour ses seules propriétés. Pour faire de la physique et ainsi s'affranchir de l'effet de distance, on utilise la notion de magnitude absolue.

Ce diagramme HR mesure, sur l'axe des ordonnées, la luminosité stellaire en magnitude absolue.

Crédit : ASM

Apprendre

Magnitude absolue

La magnitude absolue est la magnitude conventionnelle qu'aurait l'étoile si sa distance était ramenée, par définition à 10 pc.

Il faut lier l'éclairement apparent de l'étoile à sa distance à la Terre, ce que l'on fait avec la luminosité de l'étoile, mesurant la puissance totale rayonnée par l'étoile :

$E\ =\ {L\over 4\pi d^{2}}$

Le flux d'une étoile varie comme l'inverse du carré de la distance, donc dans un système de magnitude donné, la relation entre magnitudes absolue et apparente s'écrit :

$m-M = 5\log d-5$

Magnitudes apparente et absolue
Objet			(pc)
soleil	-26.7	4.9
Sirius	-1.45	1.4	2.7
Véga	0.00	0.5	8.1
Antarès	1.00	-4.8	130
Mimosa	1.26	-4.7	150
Adhara	1.50	-5.0	200

Module de distance

La quantité m-M porte le nom de module de distance. En reliant la distance à une différence de magnitude, ce module indique la distance en échelle logarithmique.

Module de distance
Objet	module de distance	distance au Soleil (pc)
référence	0	10
L'amas des Hyades	3.3	48
Les Nuages de Magellan	18.5	50 000
La galaxie d'Andromède	24.1	890 000

Le module de distance est nul, par définition, pour une distance de 10 pc ; il vaut 5 pour une distance de 100 pc, 10 pour une distance de 1000 pc.

Correction de l'absorption

Pour passer de la magnitude apparente à la magnitude absolue, on est amené à corriger, en plus de la distance, les effets dus à une éventuelle absorption interstellaire. Cette absorption est provoquée par divers éléments (poussières, gaz) présent sur la ligne de visée. Alors, la magnitude absolue s'exprime en fonction de la magnitude apparente par :

$M = m - 5\log d + 5 - A$

Le terme d'absorption ne peut être que positif ; ne pas en tenir compte conduit à surestimer la magnitude absolue, càd à sous-estimer la luminosité de l'objet.

Magnitude bolométrique

A l'opposé de la magnitude monochromatique, la magnitude bolométrique mesure l'énergie rayonnée sur l'ensemble du spectre électromagnétique. Mesurer une telle magnitude n'est pas chose aisée, et s'obtient le plus souvent par extrapolation à partir de la magnitude absolue mesurée dans quelques bandes spectrales.

Simuler

Détermination de la magnitude absolue

Etoiles proches et brillantes

On cherche à estimer les magnitudes absolues des étoiles les plus brillantes du ciel, leur distance étant mesurée par ailleurs.

Rappeler le lien entre les magnitudes apparente, absolue et la distance
Calculer à l'aide du TabloGraphe (mode d'emploi si nécessaire) la magnitude absolue .
Tracer le diagramme HR de ce lot d'étoiles : appartiennent-elles majoritairement à la séquence principale ?

S'exercer

Magnitude absolue ; magnitude/distance

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Rappeler la définition de la magnitude absolue d'un objet. Quelle relation lie la magnitude relative à la magnitude absolue et à la distance de l'étoile, exprimée en parsec?

Question 2)

La magnitude apparente visible du soleil est de -26.7. Que vaut sa magnitude absolue?

Question 3)

Que vaudrait la magnitude apparente du Soleil à la distance de Proxima du Centaure (1.33 pc)? A la distance du centre galactique (8 kpc)?

Question 4)

L'oeil humain peut distinguer les magnitudes inférieures à 6. Jusqu'à quelle distance une étoile de type solaire reste-t-elle visible à l'oeil nu?

S'évaluer

Magnitude absolue et absorption

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

Question 1)

Rappeler la relation définissant la magnitude absolue, tenant compte de l'absorption .

[1 points]

Question 2)

Ne pas tenir compte de l'absorption revient-il à surestimer ou sous-estimer la magnitude absolue d'un objet?

[1 points]

Question 3)

Ne pas tenir compte de l'absorption revient-il à surestimer ou sous-estimer la distance d'un objet?

[1 points]

Question 4)

Sans tenir compte de l'absorption, on déduit pour une Céphéïde, d'après la relation magnitude absolue-période, une distance au soleil = 20 kpc. Comment est corrigée cette distance si l'on tient compte d'un coefficient d'absorption de 0.2 magnitude ? Conclure.

[1 points]

Bilan

Apprendre

Bilan

La magnitude apparente, qui mesure l'éclat apparent de l'étoile, est le paramètre observable ; mais elle ne renseigne pas sur le paramètre intrinsèque de celle-ci, qui est sa luminosité. Cette grandeur est retranscrite par la magnitude absolue.

Une étoile de magnitude absolue donnée apparaît à une magnitude apparente d'autant plus grande (= moins lumineuse) qu'elle est plus éloignée.

Enfin, s'il est possible d'attribuer une magnitude absolue à une étoile, à partir de critères d'observation, on peut déterminer sa distance en mesurant sa magnitude apparente et en la comparant à la magnitude absolue.

Remarque

La luminosité et l'éclat apparente des objets tels que les planètes, les satellites et autres petits corps peuvent aussi être exprimées via la notion de magnitude. Comme la luminosité visible provient en grande partie de la réflexion du flux solaire, la magnitude de tels objets est très complexe, car elle dépend des distances objet-Soleil et objet-Terre, de la surface du corps, de la présence ou non d'une atmosphère, etc...

Eléments de photométrie énergétique

Apprendre

Avertissement !

Plusieurs échelles énergétiques cohabitent en astrophysique, certaine classiques (eV et multiples...), d'autres spécifiques (Jansky, magnitude, K ...). Si d'une part les termes en usage en astronomie ne correspondent pas nécessairement aux définitions radiométriques, rien ne garantit dans un document donné l'adéquation exacte entre le sens local et la définition plus générale !

Pour s'y retrouver, il faut le plus souvent veiller à la cohérence d'un terme par rapport à sa définition donnée, et s'appuyer sur son unité.

Définitions

Définitions, à propos du rayonnement d'une étoile :

La luminosité correspond à la puissance totale rayonnée. Comme toute puissance, elle se mesure en watts (SI).
Lorsque cette puissance est considérée par unité de surface, on parle d'éclairement, ou de flux.
Si la dépendance en fonction de la couleur apparaît, on définit la densité spectrale d'éclairement ou éclairement monochromatique, mais il faut préciser si l'intervalle spectral est divisé selon la longueur d'onde du photon, ou bien selon sa fréquence... ou selon toute autre unité spectrale.
La notion de luminance ou d'intensité rend compte de l'émission par unité d'angle solide. C'est elle qui intervient dans la loi de rayonnement du corps noir.

Définitions de grandeurs photométriques
Grandeur	(terme en radiométrie)	Définition	Unité $^\star$
Puissance, luminosité	(flux)	Puissance	W
Radiance	(émittance)	Puissance émise par unité de surface normale à la propagation	${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-2}$
Eclairement, flux	(irradiance)	Puissance reçue par unité de surface normale à la propagation	${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-2}$
Luminance, brillance	(radiance)	Puissance par unité de surface normale à la propagation, et par unité d'angle solide	${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{sr}}^{-1}$
Eclairement monochromatique		Puissance par unité de surface et par unité spectrale	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1}$
Intensité, luminance monochromatique		Puissance transportée par unité spectrale, par unité d'angle solide, et par unité d'élément de surface	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{sr}}^{-1} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1}$

$^\star$ avec comme unité spectrale la longueur d'onde exprimée en micromètre.

S'exercer

Conversions

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Reprendre les unités du tableau définissant les grandeurs photométriques, et les redéfinir dans le cas où l'unité spectrale choisie pour le rayonnement est la fréquence, en Hertz, et non le micromètre.

Conclusion

Magnitude apparente, monochromatique... toutes ces définitions prennent leur importance pour rendre compte des observations et donner accès à des mesure telle la magnitude absolue, corrigée de la distance d'observation, et propriété intrinsèque de l'objet.

Quasar de magnitude 24.5 (amplifié gravitationnellement), avec un décalage spectral z = 4.0, observé à un âge correspondant aux premiers 10% de l'âge de l'Univers.

Crédit : ESO

Réponses aux QCM

pages_magnitude-apparente/magnitude-apparente-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 3)
Question 2
Solution : réponse 3)

pages_magnitude-absolue/magnitude-absolue-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 3) ( En effet, selon que l'objet est en-deçà ou bien au-delà de 10 pc )
Question 2
Solution : réponse 1) ( En effet, B<V dans ce cas )
Question 3
Solution : réponse 2) ( En effet, et l'objet est intrinsèquement moins lumineux. )
Question 4
Solution : réponse 2) ( En effet )

Réponses aux exercices

pages_luminosite/magnitude-apparente-sexercer.html

Exercice 'Luminosité et éclairement'

Question 1
Aide :
$L _{\mathrm{\odot}}$ est une puissance et une puissance surfacique

Solution :
La luminosité $L _{\mathrm{\odot}}$ est uniformément répartie sur la sphère de rayon :

$E = { L _{\mathrm{\odot}}\over 4\pi d^{2}}$
Question 2
Solution :
Calcul de :

Comme une parallaxe de 1" correspond à une distance de 1 pc, alors une étoile ayant une parallaxe de 0.76" est à une distance de 1.3 pc, soit $2.7\ 10^5 {\,\mathrm{UA}}$ .

Calcul de :

$E = { L _{\mathrm{\odot}}\over 4\pi d^{2}} = 1.9\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$
Question 3
Aide :
$1 {\,\mathrm{UA}} = 1.5 \ 10^{11} {\,\mathrm{m}}$

Solution :
$E _{\mathrm{S}} = { L _{\mathrm{\odot}}\over 4\pi d^{2}} = 1365 {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$

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Exercice 'Magnitude apparente'

Question 1
Aide :
Définition magnitude apparente d'une étoile.

Solution :
La magnitude apparente s'écrit :

$m = -2.5\log {E\over E _{\mathrm{0}}}$

où $E _{\mathrm{0}}$ est l'éclairement apparent de référence.
Question 2
Aide :
Revoir la définition de la magnitude apparente d'une étoile.

Solution :
$m _{\mathrm{A}}-m _{\mathrm{B}} = -2.5\log {E _{\mathrm{A}}\over E _{\mathrm{B}}}$

Question 3
Solution :

$m _{\mathrm{A}}-m _{\mathrm{B}}\ =\ -2.5\ \log {E _{\mathrm{A}}\over E _{\mathrm{B}}} \iff {E _{\mathrm{A}}\over E _{\mathrm{B}}}\ =\ 10^{-(m _{\mathrm{A}}-m _{\mathrm{B}})/2.5}$

Tableau de comparaison
Objet A	Objet B	Rapport des éclairements apparents ( $E _{\mathrm{A}}/E _{\mathrm{B}}$ )
Soleil	Jupiter	$4.57\ 10^9$
	étoile $m _{\mathrm{v}}$ = 6	$1.2\ 10^{13}$
	limite de détection	$3\ 10^{21}$
Jupiter	étoile $m _{\mathrm{v}}$ = 6	$10^{3}$
étoile $m _{\mathrm{v}}$ = 6	Limite de détection	$2.5\ 10^{8}$

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Exercice 'Performance de détection liée à la taille du récepteur'

Question 1
Aide :
Par définition, l'éclairement découle de la luminosité :

$E = {L\over S}$

Solution :
Par définition, l'éclairement découle de la luminosité :

$E = {L\over S} = {4L\over\pi D^{2}}$
Question 2
Solution :
La définition de la magnitude, $m = -2.5\log {E\over E _{\mathrm{0}}}$ , conduit à :

$E = 2.87\ 10^{-8} .10^{-6/2.5} = 1.14\ 10^{-10} {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$

D'où la luminosité :

$L = {\pi D^{2}\over 4}\ E = 3.23\ 10^{-15} {\,\mathrm{W}}$
Question 3
Solution :
On applique la définition, avec le flux identiquement égal à $L/\pi(D/2)^2$ .

$m(D) = -2.5\log {E\over E _{\mathrm{0}}} = -2.5\log {L\over E _{\mathrm{0}}}{4\over\pi D^{2}} = 17,1 + 5\log D$
Question 4
Solution :
L'application numérique donne :

$m _{\mathrm{lim}}$

6 cm 11

60 cm 16

6 m 21

(mais un télescope de 6 m n'est pas conçu pour se rincer l'oeil).
Question 5
Solution :
Pour qu'une étoile soit visible, il faut que suffisamment de photons émis par celle-ci arrivent à l'observateur pendant un laps de temps. Pour voir des objets peu lumineux, il est alors nécessaire d'augmenter le temps de pose des instruments de mesure.

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Exercice 'Compter les étoiles'

Question 1
Aide :
Revoir le cours, et la définition de la magnitude absolue.

Solution :
Par définition de la magnitude absolue :

$m = M + 5 \log d - 5$
Question 2
Aide :
Le volume d'une sphère de rayon est... allons, un petit effort

Aide :
...

${4\pi\over 3}\ d^3$

Solution :
Le volume de la sphère de rayon multiplié par la densité stellaire donne le nombre d'étoiles :

$N(d) = n \ {4\over 3} \pi d^{3}$
Question 3
Aide :
Eliminer la variable des équations précédentes

Aide :
D'après ce qui précède, le rayon , exprimé en parsec, s'exprime en fonction des magnitudes par

$d = 10 . 10^{(m-M)/5}$

Solution :
De $N(d) = n \ \displaystyle{4\over 3} \pi d^{3}$ et $d = 10 . 10^{(m-M)/5}$ , il sort immédiatement :

$N(m) \propto 10^{0.6 (m-M)} = \alpha\ 10^{0.6m}$
Question 4
Solution :
Il s'agit pour $\alpha$ de vérifier :

$6000 = \alpha 10^{3.6} \mathrm{\ soit\ } \alpha \simeq 1.5$
Question 5
Solution :
Le facteur $\alpha$ s'identifie à , nombre d'étoiles de magnitude inférieure à . Si l'on se réfère au tableau, recensant les objets les plus brillants, l'ordre de grandeur est correct.

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Exercice 'Magnitude visible... à l'oeil'

Question 1
Aide :
L'oeil est sensible à la lumière... visible, du bleu au rouge. La réponse est maximale dans les couleurs verte et jaune, faible dans le rouge et le bleu. Les données du tableau Apprendre doivent être adaptées. Pour tenir compte du fait que l'oeil a un domaine de réception plus large que l'intervalle spectral dans la bande photométrique standard V, on prendra un intervalle équivalent de largeur $0.127 {\,\mu\mathrm{m}}$ .

Solution :
Dans le domaine visible, par définition, la relation entre magnitude et éclairement monochromatique s'écrit :

$m _{\mathrm{v}} = -2.5\log { \mathcal{E}\over \mathcal{E} _{\mathrm{v}}} \iff \mathcal{E} = \mathcal{E} _{\mathrm{v}}\ 10^{-m/2.5}$

On a la même relation avec l'éclairement (intégré sur la bande spectrale) :

$E = E _{\mathrm{v}}\ 10^{-m/2.5}$

La valeur de l'éclairement $E _{\mathrm{v}}$ de référence se calcule par:

$E _{\mathrm{v}} = 3.92\ 10^{-8}\ 0.127 = 5.0 \ 10^{-9} {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$

La réponse de l'oeil humain couvre un intervalle de presque 400 nm, mais avec une très faible réponse dans le bleu et le rouge ; ceci justifie la valeur de 127 nm introduite ici.

Le calcul de l'éclairement devient alors simplement :

$E = E _{\mathrm{v}}\ 10^{-m/2.5} = 5.0\ 10^{-9}\ 10^{-6/2.5} = 2\ 10^{-11} {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$

Il en découle la puissance $\mathcal{P}$ :

$\mathcal{P} = E\ S = E\ \pi\ \left({D\over 2}\right)^2 = 2\ 10^{-11}\pi (3\ 10^{-3})^{2} = 5.6\ 10^{-16}\ {\,\mathrm{W}}$
Question 2
Aide :
Energie $\Xi$ d'un photon de longueur d'onde $\lambda$ :

$\Xi = {hc\over\lambda}$

où est la constante de Planck $(h = 6.626\ 10^{-34} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{s}})$ , et la célérité de la lumière dans le vide.

Solution :
L'énergie reçue pendant de seconde vaut :

$E = \mathcal{P} \tau = \mathcal{P} /20 = 2.8\ 10^{-17} {\,\mathrm{J}}$

L'énergie d'un photon de longueur d'onde $\lambda = 0.55 {\,\mu\mathrm{m}}$ étant:

$\Xi = {hc\over\lambda} = 3.6\ 10^{-19} {\,\mathrm{J}}$

On en déduit le nombre de photons correspond à cette énergie intégrée pendant de seconde sur la rétine :

$n = {E\over\Xi} \simeq 78\ \mathrm{photons}$

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Exercice 'Magnitude et temps de pose'

Question 1
Aide :
Voir le cours.
Question 2
Aide :
L'unité de l'éclairement monochromatique permet d'imaginer le résultat.

Aide :
L'énergie d'un photon vaut $h\nu = h c/\lambda$ .
Question 3
Aide :
Se prendre par la main et se lancer dans l'application numérique.
Question 4

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Exercice 'Magnitude absolue ; magnitude/distance'

Question 1
Aide :
Définition de la magnitude absolue

Solution :
La magnitude absolue est la magnitude conventionnelle qu'aurait l'étoile si sa distance était égale à 10 pc :

$M = -2.5\log\left[{E\over E _{\mathrm{0}}}.\left({d\over 10}\right)^{2}\right]= -2.5\log {E\over E _{\mathrm{0}}} - 5\log d + 5 \iff$

$m-M = 5\log d-5$

et est le module de distance de l'étoile.
Question 2
Aide :
Rappel : $1 {\,\mathrm{pc}} \simeq 2 \ 10^5 {\,\mathrm{UA}}$

Solution :
L'application du résultat précédent conduit à :

$M = m - 5\log {1\over 2\ 10^5} + 5 = 4.8$
Question 3
Aide :
Revenir aux définitions

Solution :
Magnitude du Soleil s'il était à une distance de 1.33 pc de la Terre :

$m' = -2.5\log\left[{E\over E _{\mathrm{0}}}\left({d\over 1.33}\right)^{2}\right] = m - 5\log {d\over 1.33} = 0.48$

Magnitude du Soleil s'il était à une distance de 8 kpc de la Terre :
Question 4
Solution :
La magnitude d'une étoile vue à une distance peut s'exprimer ainsi :

$m' = m - 5\log {d\over d^{'}} \iff d' = 10^{-(m-m')/5}$

La distance limite $d _{\mathrm{l}}$ à laquelle une étoile de type solaire reste visible à l'oeil nu est :

$d _{\mathrm{l}} = 10^{-(-26.7-6)/5} = 3\ 467\ 370 {\,\mathrm{UA}},\ \mathrm{ soit}\ 17 {\,\mathrm{pc}}$

ce qui reste dans l'environnement très proche du Soleil.

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Exercice 'Conversions'

Question 1
Aide :

Identifier pour chaque unité la dépendance spectrale en $\mu m$ .

Solution :

Les solutions sont données en tableau :

Grandeur	Définition	Unité	Remarque
Puissance, luminosité	Puissance	W	pas de changement !
Eclairement, flux	Puissance par unité de surface normale à la propagation	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2}$	Non plus
Eclairement monochromatique	Puissance par unité de surface et par unité spectrale	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{Hz}}^{-1}$
Intensité, luminance monochromatique	Puissance transportée par unité spectrale, par unité d'angle solide, et par unité d'élément de surface	${\,\mathrm{W}} {m}^{-2} {\,\mathrm{sr}}^{-1} {\,\mathrm{Hz}}^{-1}$

	$m _{\mathrm{lim}}$
6 cm	11
60 cm	16
6 m	21