Dynamique atmosphérique : Page pour l'impression

Objectif

Les objectifs de ce chapitre sont, d'une part, d'acquérir quelques notions de base de dynamique des fluides et, d'autre part, d'explorer les différents régimes dynamiques qu'on peut observer sur les planètes de notre Système Solaire.

Prérequis

Les concepts abordés dans ce chapitre font appels à des notions de:

Algèbre linéaire : opérations sur les matrices, produit scalaire, produit vectoriel
Calcul différentiel : dérivée totale et particulaire
Mécanique classique : deuxième loi de Newton, force de Coriolis, force centrifuge
Mécanique des fluides : loi hydrostatique

Livres conseillés

I. de Pater and J. J. Lissauer "Planetary Sciences" Cambridge University Press, 2001.
A. Sanchez-Lavega "An Introduction to Planetary atmospheres" CRC Press, Taylor & Francis Group, 2011.
J. Holton "An Introduction to Dynamic Meteorology" Elsevier Academic Press, 2004.

On connait très peu de choses sur les atmosphères des exoplanètes connues. Or cette question est fondamentale, tant pour les planètes géantes gazeuses dont l'atmosphère constitue la majeure partie de la planète, que pour les planètes à surface solide où le rôle de l'atmosphère dans leur habitabilité est primordial. Une atmosphère étant une enveloppe fluide en mouvement, son étude passe par sa dynamique et la compréhension de sa circulation.

Il existe deux méthodes complémentaires pour mieux comprendre la circulation atmosphérique : l'observation et la théorie. Notre connaissance de la circulation des atmosphères des exoplanètes est limitée car les observations sont à l'heure actuelle très difficiles. C'est pourquoi le recours à la théorie de la circulation atmosphérique, en se basant sur la mécanique des fluides, sert de socle à l'étude des circulations atmosphériques des exoplanètes. L'utilisation de modèles informatiques pour la simulation d'une atmosphère permet d'étendre cette théorie à des cas plus complexes tenant compte des nuages, aérosols, surface, etc ...

Les observations de la circulation atmosphèrique d'exoplanètes existent mais sont très rares. Par exemple, on a pu mesurer pour la planète HD 189733b son spectre d'émission et en tirer une carte de température. On a aussi pu mesurer les vents en haute altitude (d'au plus 10 000 km/h) de la planète HD 209458b par effet Doppler des lignes d'absorption du monoxyde de carbone présent dans son atmosphère. Toutefois, ces exemples restent rares si bien qu'en comparaison les observations des atmosphères planètaires de notre système solaire semblent exister à profusion. La connaissance de la dynamique atmosphérique des exoplanètes passe donc aussi et surtout par l'étude comparée des atmosphères du sytème solaire. Toutefois, notre système solaire ne présente pas toute la gamme des types d'exoplanètes connues, et par exemple l'étude d'une planète gazeuse géante chaude en rotation synchrone avec son étoile sur une orbite de 3 jours, cas assez exotique au regard du sytème solaire, passera également par la théorie et les moyens de simulation ...

Conclusion

Atmosphère d'une exoplanète : les éléments du puzzle à résoudre !

Crédit : Th. Navarro

Détecter et connaître les grandes caratéristiques physiques d'une exoplanète (orbite, taille, masse) est la première étape dans la compréhension d'une exoplanète. Connaître son atmosphère est la suite logique et la science actuelle en est à ses balbutiements dans ce domaine. L'étude des planètes du système solaire, tellement plus accessibles, et l'utilisation de modèles de climats s'avèrent nos meilleurs atouts pour comparer et extrapoler notre savoir à toutes les planètes en général.

Carte de température de HD 189733b, qui varie entre 650° C côté nuit et 930°C côté jour. Le décalage entre l'emplacement du maximum de température et le midi solaire révèle le rôle de l'atmosphère dans le transport de chaleur.

Crédit : Téléscope spatial Spitzer

On a vu que la notion de température d'équilibre ou effective requiert plusieurs hypothèses. L'une d'entre elles est que l'énergie rayonnée par unité de surface de la planète vers l'espace est homogène, c'est-à-dire qu'elle est la même en tous points, depuis l'équateur jusqu'aux pôles.

Or, la figure 1 nous donne un exemple pour la Terre qui montre la limite de cette hypothèse. On peut y voir que l'énergie absorbée par la Terre provenant du Soleil (et donc principalement dans la bande visible du spectre lumineux) dépend de la latitude, comme attendu d'après la figure 2. On y remarque surtout que l'énergie émise par la Terre vers l'espace, principalement de la bande infrarouge, dépend aussi de la latitude et est différente de la courbe d'énergie reçue. Ceci est un simple constat, issu d'observations, qu'il va s'agir d'interpréter.

En comparant les valeurs des puissances émises et reçues dans la figure 1, on constate qu'il y a une perte d'énergie vers les pôles et un gain d'énergie vers l'équateur. En vertu du principe de conservation de l'énergie, et en supposant que la planète est dans un état stationnaire, on ne peut que conclure que de l'énergie est transférée de l'équateur vers les pôles. Ce transfert d'énergie est causé par le mouvement global de l'atmosphère de la planète (et des océans s'ils sont présents).

On verra plus loin dans le cours que cette différence en énergie est également le moteur de la circulation atmosphérique.

Objectif

Plus généralement, ce cours sur la dynamique atmosphérique va de pair avec celui sur la structure thermique des atmosphères. On y aborde ici les mouvements fluides à grande échelle, tandis que le cours sur la structure thermique aborde l'équilibre radiatif et les mouvements convectifs verticaux uniquement.

Bilan radiatif de la Terre

Figure 1 : Bilan d'énergie de la Terre sur une année (1987). Puissance reçue par la Terre depuis le Soleil dans le visible en haut de l'atmosphère en bleu, et émise par la Terre vers l'espace dans l'infrarouge (en rouge).

Crédit : Pidwirny, M. (2006). "Global Heat Balance: Introduction to Heat Fluxes". Fundamentals of Physical Geography, 2nd Edition. Date Viewed. http://www.physicalgeography.net/fundamentals/7j.html

Radiation solaire

Figure 2 : La radiation solaire arrive à des angles différents à la surface de la Terre selon la latitude. Pour une même quantité d'énergie émise par le soleil, la zone couverte est plus petite à l'équateur et s'agrandit aux pôles. Ainsi, la Terre reçoit plus d'énergie par unité de surface à l'équateur qu'aux pôles.

Crédit : Arianna Piccialli

Un exemple historique

Les échanges d'énergie à l'échelle globale d'une planète sont fondamentaux pour comprendre la circulation à grande échelle. Historiquement, la première description et compréhension de ces mouvements a été faite sur Terre au 18ème siècle.

L'exemple le plus célèbre de la preuve d'une circulation atmosphérique à grande échelle provient de l'observation des vents permettant la navigation sur les océans terrestres. Les vents dominants soufflent d'Est en Ouest aux latitudes tropicales (environ 30°S à 30°N, et qu'on appelle alizé). Une explication satisfaisante de l'origine de ces vents fut donnée par George Hadley en 1735 : il existe une circulation à l'échelle de la planète qui transporte des masses d'air depuis l'équateur jusqu'aux tropiques en formant une cellule, qu'on appelle cellule de Hadley tel qu'on peut le voir sur la Figure 1.

L'origine des alizés est la suivante : quand une masse d'air tombe vers la surface aux tropiques, elle retourne à l'équateur. Ce faisant elle subit la force de Coriolis : elle est donc déviée vers sa droite dans l'hémisphère Nord, ou vers sa gauche dans l'hémisphère Sud, c'est-à dire vers l'Ouest dans les deux cas. Inversement, une masse d'air qui part de l'équateur vers les tropiques subira une déviation vers l'Est et formera un courant jet en altitude au niveau des tropiques et orienté vers l'Est.

L'origine des alizés est ainsi comprise, mais quid de l'origine de la cellule de Hadley en elle-même ? Elle provient de la différence d'énergie reçue par la Terre en fonction de la latitude. La hauteur d'échelle atmosphérique est plus grande à l'équateur (ou, autrement dit, l'air est plus dilaté), ce qui cause un gradient horizontal de pression entre l'équateur et les pôles, de plus en plus marqué à mesure que l'on s'élève du sol (voir Figure 2). Ce gradient de pression provoque un mouvement d'air en altitude, de l'équateur vers les tropiques. Le reste de la cellule de Hadley se met en place pour "fermer" la circulation d'air, par simple conservation de la masse.

Généralisation

Le mécanisme de la cellule de Hadley, connu depuis longtemps sur Terre, semble être universel dans les atmosphères des planètes, mais avec des caractéristiques différentes (extension en latitude, nombre de cellules) selon les propriétés physiques de l'atmosphère. Il est essentiel à la compréhension des mouvements à grande échelle d'une atmosphère et permet d'expliquer le transfert d'énergie de l'équateur vers les tropiques. Il est en réalité très complexe à comprendre dans les détails, et on trouve sur Terre d'autres mécanismes de transfert d'énergie au-delà des tropiques (voir Figure 1).

Circulation atmosphérique terrestre

Structure des mouvements atmosphériques globaux sur Terre.

Crédit : T. Navarro

Origine de la circulation de Hadley

La cellule de Hadley trouve son origine dans un mouvement d'air en altitude de l'équateur vers les tropiques dû à un gradient de pression.

Crédit : Thomas Navarro

Précision

La circulation de Hadley n'est pas une cellule de convection. Son origine est une différence de chauffage en latitude, suivant l'horizontale, et non un gradient thermique vertical qui génère une force de flotabilité qui s'oppose à la gravité comme dans le cas de la convection. Ainsi, pour déterminer les dimensions de la cellule de Hadley il faut connaître la vitesse de rotation de la planète et le gradient horizontal de pression, des phénomènes qui ne rentrent pas en jeu dans les causes de la convection.

La rotation de la planète est la clé de la circulation atmosphérique, comme on vient de le voir sur Terre avec le rôle de la force de Coriolis dans la formation de la cellule de Hadley. Ainsi, il est fondamental de garder en tête les périodes de rotation pour les planètes du système solaire.

L'obliquité, qui est l'angle entre l'axe de rotation et la perpendiculaire au plan de l'orbite autour du Soleil, nous renseigne sur les saisons. Dans le cas de Vénus, l'obliquité proche de 180° signifie que la rotation est rétrograde : Vénus tourne de l'Est vers l'Ouest, dans le sens opposé aux autres planètes.

Caractéristiques des planètes avec une atmosphère
Corps	Période de révolution (jours)	Période de rotation	Obliquité
Vénus	224.7	243.0 jours	177.4°
Terre	365.2	23h56	23.4°
Mars	687.0	24h37	25.2°
Jupiter	4335.3	9h50	3.1°
Saturne	10757.7	14h14	26.7°
Titan	10757.7	15.95 jours	26.7°

Les informations que nous possédons sur ces planètes proviennent d'observations, de résultats de modèles et des équations régissant l'atmosphère.

Méthodes d'étude des atmosphères planétaires

Les méthodes d'étude des atmosphères planétaires comprennent des moyens différents tels que la télédétection (en utilisant des telescopes sur la Terre ou des vaisseaux spatiaux); des mesures directes in situ obtenues par sondes, ballons, atterrisseurs; des études de laboratoire; et des modèles de circulation atmosphèrique. Les mesures des mouvements atmosphériques sont accomplies principalement par les moyens suivants :

Mesures directes du vent in situ en utilisant des anémomètres.
Suivi des ballons-sonde atmosphériques placés à différentes altitudes (Régulièrement utilisé sur Terre et deux fois sur Vénus) (Fig.1).
Suivi des atterrisseurs pour mesurer le vent (Sur Vénus, Mars, Jupiter, et Titan) (Fig. 2).
Suivi des nuages pour déterminer la vitesse du vent (Surtout sur Vénus) (Fig. 3).
Détermination indirecte de la vitesse du vent à partir des champs de température (Voir les équilibres dynamiques).
Mesures du décalage Doppler des raies spectrales pour déterminer la vitesse du vent (Surtout pour Vénus, Mars, et Titan).

Figure 1

Représentation artistique du ballon VEGA dans l'atmosphère de Vénus.

Crédit : http://space-sky.com/inflatables-in-space/

Figure 2

Vitesse du vent zonal sur Titan pendant la descente de la mission Huygens.

Crédit : M. K. Bird, et al., Nature 438, 800-802 (8 December 2005)

Figure 3

Exemples de nuages identifiés dans les images de Venus Express et utilisés pour déterminer la vitesse du vent su Vénus.

Crédit : Fig. 3 dans Khatuntsev et al, Cloud level winds from the Venus Express Monitoring Camera imaging, Icarus (2013); doi: 10.1016/j.icarus.2013.05.018

La Terre et Mars présentent des circulations à grande échelle très similaires typiques d'une planète en rotation rapide - les deux planètes ont des périodes de rotation similaires (Table). La différence principale est due à la présence des océans sur la Terre. En définitive, les deux atmosphères sont mises en mouvement par la différence d'énergie reçue sur la surface en fonction de la latitude.

La Terre

Circulation atmosphérique moyenne schématique sur Terre. Les cellules ne sont pas à l'échelle : elle font quelques dizaines de km d'altitude pour des milliers de km de largeur !

Crédit : T. Navarro

La circulation atmosphérique à grande échelle se caractérise par des cellules de circulation entre différentes latitudes. Si la cellule de Hadley rejoint l'équateur aux latitudes moyennes à environ 30 ° Nord et Sud comme vu auparavant, les cellules de Ferrel ne fonctionnent pas du tout sur le même mécanisme que les cellules de Hadley. Elles mettent en jeu des ondes planétaires baroclines qui dominent les mécanismes de transfert. Les cellules de Ferrel se situent entre les latitudes 30 et 60 ° dans chaque hémisphère, dans lesquelles on trouve un courant-jet. On trouve également une cellule polaire de latitude 60° au pôle dans chaque hémisphère, délimitée par le vortex polaire.

Cette structure en cellule est un comportement moyen de l'atmosphère, qui varie avec les saisons et surtout avec les conditions météorologiques locales, dépendant de nombreaux phénomènes transitoires et chaotiques. Par exemple le centre de la cellule a tendance à se déplacer de part et d'autre de l'équateur lorsque le point subsolaire varie en latitude selon la période de l'année. De plus, il n'existe pas non plus de courant ascendant ou descendant continu et clairement mesurable dans les branches des cellules pour un observateur momentané en un endroit donné. Il s'agit là d'un comportement moyen qui peut être dominé par des effets locaux ou temporaires (cycle jour/nuit, topographie, perturbation météorologique, etc ...). La manifestation la plus tangible de ces cellules à tout un chacun demeure néanmoins la présence de courants jets.

Mars

Tout comme la Terre, Mars possède également une cellule de Hadley. Du fait de l'atmosphère plus ténue de Mars (la pression au sol y est de seulement 6 mbar en moyenne, par rapport à 1000 mbar sur la Terre), les gradients de pression relatifs des pôles à l'équateur sont plus grands et la cellule de Hadley y est plus étendue. Pendant l'équinoxe on trouve deux cellules de Hadley centrées sur l'équateur comme sur Terre, mais durant le solstice, on ne trouve plus qu'un seule grande cellule de Hadley des moyennes latitudes de l'hémisphère d'été vers les moyennes latitudes de l'hémisphére d'hiver. Il faut noter que la différence notable de position de l’ascendance au moment du solstice entre la Terre et Mars vient de la faible inertie de la surface martienne (contrairement aux océans terrestres), qui fait que le maximum de température se déplace complètement dans l’hémisphère d’été alors qu’il reste dans les tropiques sur Terre.

Vénus

L'atmosphère de Vénus est caractérisée par une dynamique complexe: une super-rotation rétrograde domine dans la troposphère/basse mésosphère, tandis qu'une circulation solaire-antisolaire peut être observée dans la thermosphère. La super-rotation s'étend depuis la surface jusqu'au sommet des nuages avec des vents de seulement quelques mètres par seconde près de la surface et atteignant une valeur maximale de 100 $\textrm{ms}^{-1}$ au sommet des nuages (70 km), ce qui correspond à un periode de rotation de 4 jours terrestres. Les processus responsables du maintien de la super-rotation zonale dans la basse atmosphère et sa transition vers la circulation solaire-antisolaire dans la haute atmosphère sont encore méconnus.

En plus de la super-rotation zonale, une cellule de Hadley s'écoulant de l'équateur aux pôles avec des vitesses de moins de 10 $\textrm{ms}^{-1}$ a été observée au sommet des nuages. La circulation de Hadley ou méridienne sur Vénus joue un rôle important dans le transport d'air chaud vers les pôles et d'air froid vers l'équateur. Il s'agit d'une cellule dans chaque hémisphère et elle n'est pas limitée aux régions proches de l'équateur comme sur la Terre où la cellule de Hadley est limitée par la force de Coriolis, mais elle s’étend jusqu’aux pôles.

Vénus

Crédit : ESA/VMC/Venus Express

Titan

Il y a très peu mesures directes de la circulation atmosphérique de Titan, un satellite de Saturne, avec une période de rotation de 16 jours. Comme sur Vénus, une super-rotation est prévue dans la haute atmosphère; néanmoins, au contraire de Vénus, les saisons sur Titan jouent un rôle important dans la circulation générale. Les observations obtenues par la sonde Cassini-Huygens montrent la présence d'un seul jet très intense direct vers l'est avec des vitesses de 190 $\textrm{ms}^{-1}$ entre les latitudes 30 $^\circ$ -50 $^\circ$ dans l'hémisphère nord. L'existence d'une circulation de Hadley de l'équateur au pôle a été également prédite. L’hémisphère Nord est l’hémisphère d’hiver au moment des observations de Cassini. Les cellules de circulation prédites vont d’un pôle (été, ascendance) à l’autre (hiver, subsidence) pendant la majeure partie de l’année, avec une transition autour de l’équinoxe au cours de laquelle l’ascendance se déplace pour changer d’hémisphère, la cellule se réduisant sur l’hémisphère de printemps pendant qu’une autre se développe sur l’hémisphère d’automne, puis prend sa place.

Sur les planètes telluriques les vitesses du vent sont mesurées par rapport à la surface de la planète. Comme les géantes gazeuses et les géantes glacées ne disposent pas d'une surface solide, les vents sont généralement mesurés par rapport à la période de rotation de leur champ magnétique. Chacune des quatre planètes géantes (Jupiter, Saturne, Uranus, et Neptune) montrent une circulation zonale intense formée par un système de courants-jets qui alternent leur circulation (Est-Ouest) avec la latitude.

Géantes gazeuses

Les planètes géantes gazeuses de notre Système solaire, Jupiter et Saturne, sont composées essentiellement de gaz légers, comme l'hydrogène et l'hélium. On observe aussi la formation de nuages constitués de méthane, d'ammoniac, et du sulfure d'hydrogène.

Au niveau des nuages d'ammoniac, Jupiter possède environ 6-8 courants-jets par hémisphère, avec une vitesse maximale à l'équateur où le jet dirigé vers l'est atteint une vitesse zonale de $\sim 100-125$ m s^-1, et à 23° Nord les vents atteignent jusqu'à 180 m s^-1. Saturne possède 4-6 courants-jets par hémisphère, avec un très fort et large jet équatorial direct vers l'est à une vitesse maximale de $\sim 450$ m s^-1. Jupiter affiche également de nombreux tourbillons de courte durée et des tempêtes de longue durée comme la Grande Tache rouge.

Animation issue de 16 images de Jupiter prises par Voyager 1, espacées de 10h (durée du jour sur Jupiter) et traitées pour en produire une animation fluide.

Crédit : NASA / JPL / Björn Jónsson / Ian Regan

Géantes glacées

Les planètes géantes glacées de notre Système solaire, Uranus et Neptune, sont constituées principalement d'eau, méthane ou d'ammoniac.

Les deux planètes glacées montrent un jet équatorial dirigé vers l'ouest - avec une vitesse de $\sim 100$ m s^-1 et de $\sim{500}$ m s^-1 respectivement pour Uranus et Neptune - et deux jets intenses aux latitudes moyennes dirigés vers l'est avec une vitesse maximale de 200 m s^-1. Comme sur Jupiter, forts tourbillons, convection et tempêtes ont été observés sur Neptune. Au contraire, sur Uranus aucune tempête n'a été observée.

Comme toute équation de la physique, les équations régissant la dynamique atmosphérique doivent s'exprimer dans un système de coordonnées et un référentiel choisis arbitrairement. Un tel système naturellement adapté à une sphère, et donc à une planète, sont les coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , où est la distance au centre de la sphère, $\varphi$ est la l'angle de la longitude, et $\theta$ est l'angle de la latitude.

On définit également un repère local pour tout point de l'espace de coordonnées (x,y,z) , avec comme base le triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $\vec{i}$ est dirigé vers l'Est, $\vec{j}$ dirigé vers le Nord, et $\vec{k}$ selon la verticale locale vers le haut. Le référentiel d'étude est ce référentiel local, lié à la rotation de la planète, il s'agit donc d'un référentiel tournant, donc non galiléen.

Pour résumer, on travaille dans deux référentiels différents, ce qui donne trois systèmes de coordonnées différents :

Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées cartésiennes (axes ).
Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées sphériques (coordonnées $r,\varphi,\theta$ ).
Un référentiel local, de base $(\vec i,\vec j, \vec k)$ , qui est un système de coordonnées cartésiennes.

Système de coordonnées sphériques

Crédit : Arianna Piccialli

L'exercice suivant permet de se familiariser avec la manipulation mathématique des coordonnées et des repères. Les resultats serviront à établir l'équation fondamentale de la dynamique.

Exercice

Question 1)

Montrer que dans le référentiel de la planète, un point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ a pour coordonnées cartésiennes $\left( \begin{array}{c} r\cos\theta\cos\varphi \\ r\cos\theta\sin\varphi \\ r\sin\theta \end{array} \right)$

Question 2)

Exprimer $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ dans le repère de la planète en fonction des angles $\varphi$ et $\theta$

Question 3)

Montrer qu'une vitesse dans le référentiel local $\left( \begin{array}{c} u\\ v \\ w \end{array} \right)$ au point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ s'exprime par $\vec U = r\cos\theta\frac{d\varphi}{dt}\vec i+r\frac{d\theta}{dt}\vec j + \frac{dr}{dt}\vec k$ .

Question 4)

Exprimer $\frac{d\vec i}{dt}$ , $\frac{d\vec j}{dt}$ et $\frac{d\vec k}{dt}$ en fonction de (u,v,w) , $(r,\varphi,\theta)$ et $(\vec i,\vec j, \vec k)$ .

Pour résoudre les équations régissant une atmosphère, on se place dans le référentiel local, lui-même dans un référentiel tournant avec la planète. Ce référentiel n'est pas inertiel, c'est-à-dire qu'il est en accélération par rapport à un référentiel inertiel. Afin de poser le principe fondamental de la dynamique, il est essentiel de tenir de compte de l'accélération apparente du référentiel d'étude, sous la forme de pseudo-forces.

Précision

Traditionnellement et pour des raisons pratiques on parle de force, ou pseudo-force, en multipliant l'accélération apparente par la masse de l'objet. On parlera ici plutôt de l'accélération d'une force apparente afin de s'affranchir du terme de masse, qui disparaitra dans les équations finales.

Les deux forces apparentes à considérer dans le cas d'une atmosphère sont la force centrifuge et la force de Coriolis.

Produit vectoriel

L'expression mathématique des forces apparentes requiert l'emploi du produit vectoriel, défini ainsi:

Le produit vectoriel $\mathbf{C}$ des vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ s'écrit $\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ et correspond au vecteur orthogonal à la fois à $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ tel que le triplet $(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C})$ soit de sens direct. et que le module du produit soit $\| \mathbf{C}\| = \| \mathbf{A}\| \| \mathbf{B}\| \sin \alpha$ où $\alpha$ est l'angle direct de $\mathbf{A}$ vers $\mathbf{B}$ . Ainsi, si $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ sont colinéaires, leur produit vectoriel sera le vecteur nul.

$\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ et $\mathbf{C}$ forment une base directe puisque $\sin \alpha$ est positif. Si $\sin \alpha$ était négatif, la base serait dans le sens indirect.

Crédit : Thomas Navarro

Le produit vectoriel s'écrit avec des coordonnées dans un système cartésien uniquement :

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_az_b-z_ay_b \\ z_ax_b-x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b \end{array} \right)$

Cette relation n'est pas valable en coordonnées sphériques. Il faut faire la transformartion en coordonnées cartésiennes pour pouvoir utiliser cette relation.

Force centrifuge

La force centrifuge est la force apparente due au fait que le référentiel d'étude est en rotation, donc en accélération. En effet, l'orientation de la vitesse d'un point lié à la planète varie, mais pas son module. Ainsi, une particule au repos dans un référentiel galiléen aura une force apparente dans le référentiel de la planète.

On définit le vecteur rotation $\mathbf{\Omega}$ comme étant le vecteur orienté selon l'axe de rotation de la planète et de module $\|\mathbf{\Omega}\| = \Omega = \frac{2\pi}{T}$ avec la période de rotation de la planète. L'accélération de la force centrifuge s'exprime $\mathbf{a_{ce}}}=-\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ avec $\mathbf{l}$ le vecteur position depuis l'axe de rotation où la force s'applique. Dans un système de coordonnées sphériques, on a $\|\mathbf{l}\|=\|\mathbf{r}\|\cos{\theta}$ , avec $\mathbf{r}$ le vecteur position depuis le centre de la planète.

Une autre manière de l'exprimer est de dire qu'il s'agit d'une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cos\theta = r\Omega^2\cos\theta$

La force centrifuge est regroupée avec la force de gravité, dont l'accélération vaut $\mathbf{g_m} = -g_m\vec k$ , l'indice faisant référence à la masse de la planète. On obtient une force dont l'accélération totale est $\mathbf{g} = -\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})+\mathbf{g_m}$ . Cette force dérive d'un potentiel, qu'on appelle le géopotentiel, somme de l'action de la gravité et de la force centrifuge.

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D que $\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ correspond bien à une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\Omega^2 \cos\theta$ . Comment s'exprime cette accélération dans le référentiel local ?

Question 2)

Par la suite on fait l'approximation que l'accélération due au géopotentiel est orientée selon l'axe $\vec k$ . Quelle erreur est faite pour la Terre ? pour Jupiter ?

Dans un référentiel en rotation, une autre force apparente est à prendre en compte lors d'un déplacement. Il s'agit de la force de Coriolis, qui tient compte du fait que le déplacement d'une particule génère une accélération apparente supplémentaire. Par exemple, le mouvement rectiligne d'une particule est apparement dévié pour un observateur situé dans un référentiel tournant.

L'accélération de la force de Coriolis s'exprime $\mathbf{a_{co}}}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}$ avec $\mathbf{U}$ le vecteur vitesse de la parcelle d'air considérée.

La vitesse $\mathbf{U}$ d'une parcelle d'air dans l'atmosphère est généralement orientée parallèlement à la surface locale, c'est-à-dire que sa composante radiale (c'est-à-dire sa composante verticale locale) est en général petite par rapport à au moins une des deux autres. En négligeant la composante radiale, on constate les choses suivantes :

A l'équateur l'accélération de Coriolis est orientée selon l'axe radial, c'est-à-dire vers le haut ou vers le bas.
Dans l'hémisphère Nord, sa projection sur le plan de la surface locale est orientée à droite du vecteur vitesse $\mathbf{U}$
Dans l'hémisphère Sud, sa projection sur le plan de la surface locale est orientée à gauche du vecteur vitesse $\mathbf{U}$

Ceci explique pourquoi certaines structures atmosphériques, tels les ouragans ou les anticyclones, tournent toujours dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord, et dans le sens contraire dans l'autre hémisphère.

Exercice de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D les 3 points ci-dessus.

Les écoulements atmosphériques peuvent être décrits en utilisant deux points de vue classiques, appelés eulérien ou lagrangien :

Description eulérienne

L'écoulement est suivi par un observateur depuis une position fixe. C'est le cas, par exemple, d'un atterrisseur sur Mars fixé au sol qui mesure la vitesse du vent, la température, ou la pression. Cette description est souvent préférée car elle est la plus pratique.

Description lagrangienne

Dans ce cas, les particules fluides sont suivies le long de leurs trajectoires. C'est la description la plus intuitive.

Dérivée particulaire

Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont liées à travers la dérivée particulaire, encore appelée dérivée totale, et qui s'écrit D/Dt . Soit $\textbf{A}[\textbf{r}(t)]$ une grandeur physique vectorielle de l'écoulement, dépendant du point d'observation $\textbf{r}=(x, y, z)$ et du temps . La variation de la grandeur $\textbf{A}$ s'écrit :

$\underbrace{\frac{D\textbf{A}}{Dt}}_\text{\textrm{Variation lagrangienne}}=\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}+\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{x}}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{y}}}+\frac{dz}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{z}}}\right)=\underbrace{\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}}_\text{\textrm{Variation eul\'{e}rienne}}+\underbrace{(\mathbf{U}\cdot{\nabla})\textbf{A}}}_\text{\textrm{Terme d'advection}}$

Où $\mathbf{U}=u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k}$ est la vitesse du fluide avec composants: u={dx}/{dt} , v={dy}/{dt} , w={dz}/{dt} .

Dans la cas où la grandeur est un champ scalaire $f[\textbf{r}(t)]$ , la relation est la même.

La dérivée particulaire décrit la variation avec le temps en suivant la particule en mouvement (point de vue lagrangien), en revanche $\partial{\textbf{A}}}/\partial{\mathrm{t}$ décrit la variation locale avec le temps en un point d'observation fixé (point de vue eulérien) .

L'équation fondamentale de la dynamique

Le mouvement d'une particule dans un fluide est décrit par la deuxième loi de Newton (conservation de la quantité de mouvement) qui lorsqu'elle est appliquée à la mécanique des fluides donne l'équation de Navier-Stokes. Dans un système en rotation l'équation du mouvement d'une parcelle de fluide est:

$\rho\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=\Sigma\mathbf{F}$ avec $\mathrm{D}/\mathrm{Dt}$ est la dérivée particulaire qui s'écrit $\mathrm{D}/\mathrm{Dt}={\partial{}}/\partial{\mathrm{t}}+\mathbf{U}\cdot{\nabla}$ , $\mathbf{U}$ la vitesse du fluide, $\Sigma\mathbf{F}$ la somme des forces s'appliquant sur la parcelle et $\rho$ la densité du fluide.

Soit en détaillant les forces :

$\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=\mathbf{a_{co}}+\frac{\mathbf{F_{p}}}{\rho}+\mathbf{g}+\mathbf{F_r}$

avec $\mathbf{a_{co}}$ l'accélération de la force de Coriolis, $\mathbf{F_p}$ les forces dues au gradient de pression, $\mathbf{g}$ l'accélération du géopotentiel, et $\mathbf{F_r}$ qui désigne l'accélération dues à la viscosité. Ce qui donne :

$\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}-\frac{1}{\rho}\nabla{p}+\mathbf{g}+\mathbf{F_r}$ (1)

où $\mathbf{\Omega}$ est le vecteur de rotation de la planète $\nabla{p}$ est le gradient de pression.

Exercice

Question 1)

Comment s'exprime l'accélération de la force de Coriolis $-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}$ dans le repère local ?

Les équations en coordonnées sphériques

On a $\frac{D\mathbf{U}}{Dt} = \frac{D(u\vec i)}{Dt} + \frac{D(v\vec j)}{Dt} + \frac{D(w\vec k)}{Dt}$ . Or il a été vu en exercice les expressions des dérivées temporelles des vecteurs $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ . Ceci nous permet d'établir les équations de Navier-Stokes dans le référentiel local, en notant que $\mathbf{g}=-g\vec k$ et $\mathbf{F_r}=F_{rx}\vec i + F_{ry}\vec j +F_{rz}\vec k$ :

Ce système d'équations décrit tous les types de mouvements atmosphériques à toutes les échelles. Ces équations sont compliquées à résoudre, mais dans bien des cas utiliser une approximation est suffisante pour modéliser de nombreux phénomènes atmosphériques dynamiques.

Exercice

Question 1)

Déduire les équations de Navier-Stokes en coordonnées sphériques à partir de l'équation fondamentale de la dynamique (Equation 1).

Approximations

Les équations de la dynamique sont très compliquées car elles forment un système non linéaire. Ceci signifie que la somme de deux solutions n'est pas forcément solution du problème, ce qui rend la résolution de ces équations très ardue, et à ce jour encore source de recherches. Cependant, en fonction des phénomènes étudiés et des caractéristiques de l'atmosphère planétaire, certains termes de ces équations peuvent en dominer d'autres. Pour estimer les différents termes dans les équations, on utilise la méthode de l'analyse d'échelle. Les ordres de grandeur des différents termes en jeu dans les équations fondamentales de la dynamique seront très différents selon l'échelle des écoulements que l'on souhaite étudier. Dans le tableau ci-dessous on compare les termes dominants sur les planètes à rotation rapide (la Terre) avec ceux sur les planètes à rotation lente (Vénus):

Termes dominants dans les équations de la dynamique
				$2\Omega\sin\theta{U}$	$2\Omega\sin\theta{W}$	$\mathbf{F_r}$
Terre	10^-5	10^-5	10^-8	10^-3	10^-6	10^-12
Vénus	10^-3	10^-5	10^-5	10^-5	10^-7	10^-12

avec le rayon de la planète. On a r=a+z , où est l'altitude depuis la surface.

On peut alors appliquer les approximations suivantes:

L'épaisseur verticale de l'atmosphère est petite par rapport au le rayon de la planète. Par conséquence, on remplace la distance au centre de la planète par le rayon de la planète avec une erreur négligeable. Dans ce cas, les dérivées $\partial}/{\partial{r}$ deviennent $\partial}/{\partial{z}$ où est l'altitude.
Les trois composantes du terme de friction moléculaire $\mathbf{F_r}$ ont un ordre de grandeur de 10^-12m s^-2et peuvent être négligées pour tous les écoulements, sauf pour les mouvements turbulents à petite échelle près du sol.
Les vitesses verticales sont beaucoup plus petites que les vitesses horizontales, donc on néglige tous les termes contenant .
Dans le cas de mouvements à grande échelle, on suppose l'équilibre hydrostatique :

$\frac{\partial{p}}{\partial{z}}=-g\rho$

On obtient alors les équations primitives de la météorologie :

Mouvement horizontal:

$\frac{Du}{Dt}-2\Omega{v}\sin\theta-\frac{uv\tan\theta}{a}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$\label{Navier_stokes_2}\frac{Dv}{Dt}+2\Omega{u}\sin\theta+\frac{u^2\tan\theta}{a}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

Equilibre hydrostatique vertical:

$\frac{\partial{p}}{\partial{z}}=-g\rho$

À ce système d'équations on ajoute l'équation des gaz parfaits:

Equation d'état:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Avec $R=8.31~ \mathrm{J}\cdot \mathrm{mol}^{-1}\cdot \mathrm{K}^{-1}$ la constante universelle des gaz parfaits et la masse molaire du gaz qui constitue l'atmosphère, et dépend donc de sa composition. Pour l'air terrestre, on a $M = 29\times10^{-3}~ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{mol}^{-1}$

ainsi que l'équation de conservation de la masse:

Equation de continuité:

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}+\mathrm{div}(\rho\mathbf{U})=0$

Enfin, le premier principe de la thermodynamique:

Premier principe de la thermodynamique:

$\frac{c_p}{\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{Q}{T}$

Avec le forçage diabatique et $\theta$ la température potentielle : $\theta=T\left[\frac{p_0}{p}\right]^{\kappa}$ , où $\kappa=\frac{R}{M\cdot c_p}$ , c_p la chaleur spécifique à pression constante et p_0 une pression de référence.

On obtient ainsi 6 équations avec 6 inconnues ( $u,v,w,p,\rho,T$ ).

Ce système d'équations primitives est le plus complet utilisé pour l'étude de la circulation générale de l'atmosphère. C'est notamment celui utilisé par les modèles de circulation générale.

Les équilibres géostrophique et cyclostrophique sont deux approximations des équations primitives. Ils sont purement diagnostiques : ils ne contiennent pas de dérivées dans le temps, d'où l'impossibilité de faire des prédictions. Néanmoins, ils sont des outils puissants pour décrire différents écoulements observés dans les planètes.

L'équilibre géostrophique

L'approximation géostrophique est un développement des équations primitives utilisée aux moyennes latitudes sur les planètes à rotation rapide (Terre, Mars). On suppose l'équilibre entre la force de Coriolis et la force due au gradient horizontal de pression. La force centrifuge est négligée.

$2\Omega\sin\theta{v}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$2\Omega\sin\theta{u}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

D'après ces équations, lorsque cet équilibre est valide, la vitesse du vent est directement proportionnelle au gradient horizontal de pression. Notez que l'équilibre géostrophique cesse d'être valide autour des latitudes équatoriales.

Force en action en équilibre géostrophique

Crédit : Arianna Piccialli

Vent géostrophique

En combinant les deux composantes de la vitesse, on peut introduir le vent géostrophique comme :

$\mathbf{V_g} = u_g\vec i+v_g\vec j=\vec k\times\frac{1}{{\rho}f}\nabla{P}$

L'équilibre cyclostrophique

La circulation générale des planètes à rotation lente (Vénus, Titan), aussi bien que les vortex et les tourbillons sur toutes les planètes, peut être approximée par l'équilibre cyclostrophique. Cela suppose l'égalité entre la composante dirigée vers l'équateur de la force centrifuge et le gradient méridional de la pression. La force de Coriolis est négligée.

$\frac{uv\tan\theta}{r}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$\frac{u^2\tan\theta}{r}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ (1)

Forces en action en équilibre cyclostrophique

Crédit : Arianna Piccialli, adaptation de Schubert, 1983.

Vent cyclostrophique

L'équation du vent cyclostrophique peut alors être écrite comme :

$u=\sqrt{-\frac{r}{\rho\tan\theta}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

Exercice

Question 1)

Montrer à partir de l'équation (1) que l'équation du vent cyclostrophique peut être écrite comme :

$2u\frac{\partial{u}}{\partial{\xi}}=\left.-\frac{R}{\tan{\theta}}\frac{\partial{T}}{\partial{\theta}}\right|_{\mathrm{p}=\mathrm{const}}$

où : $\mathrm{R}=191.4$ J kg^-1 K^-1, et $\xi=-\ln{\frac{p}{p_{ref}}}$ est la coordonnée de pression logarithmique, avec $p_{ref}$ la pression au niveau de référence.

Définition

Le nombre de Rossby est un nombre sans dimension qui permet de caractériser les mouvements atmosphériques. Il est défini par:

$Ro = \frac{U}{2\Omega{L}}=\frac{\textrm{acc\'el\'eration horizontale}}{\textrm{acc\'el\'eration de Coriolis}}$

où est une vitesse caractéristique du système, $\mathbf{\Omega}$ est la vitesse angulaire de rotation de la planète, et est une longueur caractéristique du système.

Exercice

Question 1)

Quelle est la dimension du nombre de Rossby ?

Une valeur de nombre de Rossby très supérieure à l'unité indique que la force de Coriolis due à la rotation de la planète est négligeable par rapport à la force d'inertie, dans ce cas on parle d'équilibre cyclostrophique. Dans le cas contraire d'un nombre de Rossby inférieur à l'unité, l'équilibre est dit géostrophique.

Les équilibres dynamiques
$R_0 \ll 1$	Equilibre géostrophique	[Terre, Mars]
$R_0 \gg 1$	Equilibre cyclostrophique	[Vénus, Titan, Ouragans]

Exemples d'écoulements observés dans les planètes

Les valeurs du nombre de Rossby pour différents systèmes sont comparées sur le tableau ci-dessous :

Tableau 1: Valeurs du nombre de Rossby pour différents systèmes
Vénus	∼10³
Terre	∼1
Mars
Titan
Tourbillons de poussière	∼10²-10³
Tornades	∼10³
Ouragans

La Terre et Mars

La Terre et Mars présentent une circulation atmosphérique aux grandes échelles très similaire et typique des planètes à rotation rapide : les deux planètes ont en fait une période de rotation similaire (Voir Tableau). La principale différence entre eux vient de:

La présence d'océans sur la Terre.
Le cycle de CO₂sur Mars, qui produit la condensation/sublimation d'une grande masse de CO₂.

Un régime géostrophique des vents zonaux domine la circulation dans les deux planètes en dehors des latitudes tropicales. Aux latitudes moyennes, à la fois sur la Terre et sur Mars, la circulation est caractérisée par deux courant-jets, un dans chaque hémisphère.

Sur la Terre, ces jets sont des vents zonaux qui circulent de l'ouest vers l'est et leur vitesse augmente avec l'altitude jusqu'à la tropopause. Au-dessus de la tropopause ces jets affaiblissent, et puis ils augmentent encore avec l'altitude au-dessus de $\sim 25$ km jusqu'à $\sim 70$ km, où ils atteignent une vitesse de 60 m s^-1.

Sur Mars, en raison de l'atmosphère très ténue et de l'absence des océans, l'atmosphère réagit presque instantanément au chauffage solaire. C'est aussi la raison pour laquelle les courant-jets dépendent des variations saisonnières. Au solstice d'hiver dans l'hémisphère nord, le courant-jet est centré entre $\sim 40^{\circ}-50^{\circ}$ de latitude atteignant une vitesse maximale de 40 m s^-1 à 5 km. Il augmente encore à 35 km, où il atteint une vitesse de 110 m s^-1. A cette même époque, le courant-jet dans l'hémisphère sud est beaucoup plus faible.

Il faut noter que ces configurations des vents sont une moyenne temporelle et spatiale et ils sont vus rarement sur des journées individuelles. Les configurations des vents d'un jour à l'autre dévient considérablement de cette circulation globale.

Vénus et Titan

Vénus et Titan sont deux planètes à rotation lente, caractérisées respectivement par une période de rotation de 244 jours (Vénus) et 16 jours (Titan). Une description détaillée de leur circulation peut être trouvée ici. Les deux planètes sont caractérisées par des forts vents zonaux dans l'ensemble de l'atmosphère, une caractéristique appelée super-rotation. Sur Vénus, la super-rotation atteint une vitesse supérieure à 100 m s^-1 au sommet des nuages (vers 70 km d'altitude), correspondant à une période de rotation de 4 jours terrestres ( $\sim$ 60 fois plus rapide que Vénus elle-même). Différentes études ont montré que sur les planètes qui tournent lentement, comme Vénus et Titan, les forts vents zonaux au sommet des nuages peuvent être décrits par l’équilibre cyclostrophique. Ce qui donne une possibilité de reconstruire le vent zonal si le champ de température est connu.

Tornades et ouragans sur la Terre

D'autres systèmes cyclostrophiques à petite échelle sont les ouragans et les tornades (Figure 1); ils sont caractérisés par un centre de basse pression et de forts vents. En raison d'un nombre de Rossby élevé (Tableau 1), la force de Coriolis peut être négligée pour les tornades et les ouragans, et on suppose l'équilibre entre la force centrifuge et le gradient de pression.

Figure 1

Une tornade sur Terre observé par l'équipe VORTEX-99 le 3 Mai 1999 en Oklahoma.

Crédit : National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA).

Selon le glossaire de météorologie (AMS 2000), une tornade est une colonne d'air tournant violemment, en contact avec le sol et la base des nuages, et souvent (mais pas toujours) visible comme un nuage en forme d'entonnoir (Figure 1). La plupart des tornades ont des vitesses de vent entre 18 m s^-1 et 135 m s^-1. Son vortex a un diamètre typique de quelques centaines de mètres et tourne, en général, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord. Les tornades se produisent sur tous les continents, mais sont plus fréquentes dans les États-Unis, où le nombre moyen de tornades enregistrées est d'environ 1000 par an, avec la majorité d'entre eux sur les plaines centrales et dans les états du sud. Les tornades sont associées à des orages violents et sont alimentés par l'afflux d'air chaud et humide. En général, ils sont le résultat de l'instabilité produit par la différence de température et d'humidité entre la surface, où l'air est plus chaud, et les niveaux supérieurs de l'orage, où l'air est plus froid.

Ouragan est le nom utilisé pour indiquer les cyclones tropicaux qui se produisent dans l'Atlantique ou le Pacifique Est. Les ouragans sont marqués par une région centrale d'air descendants, l'oeil, enfermé par des orages forts associés à des vents et des pluies intenses. Comme pour le cas des tornades, l'énergie des ouragans est fournie principalement par libération de chaleur latente dans l'air humide. Les ouragans sur la Terre se forment dans les régions tropicales au-dessus des océans chauds, et ils s'affaiblissent lorsqu'ils arrivent sur terre, où la source d'énergie disparaît. Dans l'oeil d'un ouragan, le nombre de Rossby locale est toujours et peut arriver jusqu'à 100. Dans ce cas, l'équilibre devient cyclostrophique.

Les cyclones tropicaux sur la Terre et le vortex polaire de Vénus présentent des similitudes morphologiques et dynamiques, comme on peut voir dans la Figure 2. Le vortex de Vénus et les ouragans sont caractérisés par différentes échelles horizontales et durée de vie: le vortex de Vénus à un diamètre de 12000 km et il semble être permanent; les plus grands cyclones tropicaux observés sur la Terre ont un rayon de moins de 1000 km et durent environ une à deux semaines dans leur phase de maturité. La source d'énergie est aussi différente pour le vortex sur Vénus et les ouragans terrestres: la source d'énergie pour les ouragans est la libération de chaleur latente; le vortex polaire sur Vénus reçoit un apport d'énergie par le dépôt du rayonnement solaire au niveau des nuages et par l'émission thermique dans la basse atmosphère. Malgré leurs différences, les circulations du vortex de Vénus et des ouragans est très similaires: à partir du leur comparaison une meilleure compréhension de la dynamique de Vénus peut être atteinte.

Figure 2

(Gauche) Le vortex polaire de Vénus; (Droit) l'ouragan Frances sur la Terre.

Crédit : Limaye et al., 2009

Tourbillons de poussière sur la Terre et Mars

Les tourbillons de poussière, présents à la fois sur la Terre et Mars, sont caractérisés par des vitesses de vent de rotation élevées, des champs électrostatiques importants et sont rendus visibles par la présence de poussière et de sable soulevé. Ils sont distincts des tornades car les tornades sont associées à des orages tandis que les tourbillons de poussière se forment sous un ciel clair.

Sur la Terre (Figure 3), l'étude de tourbillons de poussière est fondamentale pour comprendre leur rôle dans la convection et l'érosion des zones arides. Les tourbillons de poussière se produisent généralement en été dans les régions désertiques plus chaudes. Ils sont des événements transitoires et la plupart ne durent que quelques minutes.

Figure 3

Tourbillon de poussière sur la Terre observé dans le désert de l'Arizona.

Crédit : NASA

Sur Mars (Figure 4), les tourbillons de poussière peuvent avoir un effet important sur le cycle global de poussière. Les tourbillons de poussière sur Mars ont d'abord été identifiés dans les images prises par l'orbiteur Viking comme des petits nuages avec des longues ombres coniques. En plus, des traces laissées au sol par des tourbillons de poussière ont été détectées dans des images de la Mars Orbiter Camera et ont été également observées au sol par des atterrisseurs. Les tourbillons de poussière martiens et terrestres semblent avoir une morphologie similaire. Cependant, les tourbillons de poussière martiens sont un ordre de grandeur plus grand que ceux terrestres, atteignant souvent quelques kilomètres d'altitude et des centaines de mètres de diamètre avec des bases étroites et des larges sommets.

Figure 4

Tourbillon de poussière sur Mars photographié par le rover Spirit.

Crédit : NASA

Tourbillon de poussière de 140 m de diamètre et 20 km de hauteur vu depuis l'orbite par l'intrument HiRISE.

Crédit : NASA / JPL / University of Arizona / HiRISE

Définition

Pour caractériser les différents types des instabilités atmosphériques on utilise le nombre de Richardson, un nombre sans dimension défini par:

$Ri=\frac{N^2}{S^2}$

Où $S=\left(\frac{\partial{u}}{\partial{z}}\right)$ est le cisaillement vertical du vent.

est nommée fréquence de Brunt-Väisälä définie comme la différence entre le gradient vertical de température $\left(\frac{dT}{dz}\right)$ et le gradient adiabatique $\Gamma$ :

$N^2=\frac{g}{T}\left[\left(\frac{dT}{dz}\right)-\Gamma\right]$

est la fréquence d'oscillation d'une particule soumise à un déplacement vertical. Pour N^2<0 l'atmosphère est instable et une particule déplacée de son état initial s'éloignera irréversiblement. Si N^2=0 , la stabilité est "neutre", la particule déplacée demeura à sa nouvelle altitude. Enfin, pour N^2>0 se produit une oscillation de la particule autour de son état initial.

Interprétation

: Instabilité verticale
Dans ce cas, correspondant à un valeur négative de la fréquence de Brunt-Väisälä , la couche atmosphérique est instable et la turbulence est soutenue par la convection.
: Instabilité de Kelvin-Helmholtz
Parfois on observe de la turbulence dans des couches atmosphèriques thermiquement stables. Cette turbulence, dite de Kelvin-Helmholtz, est crée dans des régions où il y a du cisaillement du vent. Un valeur positive de nombre de Richardson au-dessous d'une valeur critique est une condition nécessaire afin que l'instabilité de Kelvin-Helmholtz se puisse produire. L'écoulement de Kelvin-Helmholtz est le résultat du cisaillement de vitesse entre deux fluides glissant l'un par rapport à l'autre.
$Ri\gg 1$ : Atmosphère stable
Condition suffisante pour une écoulement stable.

Les ondes atmosphériques sont des perturbations des champs atmosphériques qui se propagent dans l'espace et/ou le temps. C'est un mécanisme important dans la dynamique des atmosphères car les ondes permettent de transporter des perturbations, transporter de l'énergie et de la quantité de mouvement d'une région à une autre.

Propriétés des ondes

On peut représenter de manière simplifiée une onde atmosphérique par une fonction sinusoïdale, en fonction d'une dimension spatiale de coordonnée et d'une dimension temporelle de coordonnée :

$\psi(x,t)=\psi_a\cos(k x-\omega t + \phi)$

Où $\psi_a$ est l'amplitude de l'onde; $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ est le nombre d'onde; $\lambda$ est la longueur d'onde (en mètres); $\omega=\frac{2\pi}{T}$ est la pulsation; est la période (en secondes). $\phi$ est la phase de l'onde, c'est-à-dire la valeur de la perturbation lorsque x=0 et t=0 . La longueur d'onde est définie comme étant la distance séparant deux crêtes consécutives d'une onde. Si (en mètres par seconde) est la vitesse de propagation de l'onde, on définit la fréquence (en hertz) par : $\nu=\frac{c}{\lambda}$ .

Le champ physique représenté par $\psi(x,t)$ est une variable atmosphérique. Il peut s'agir de la température, pression, le vent, etc ... La dimension de l'amplitude $\psi_a$ est donc la même que celle de la variable représentée par la perturbation $\psi$ .

Caractéristique d'une onde

Au bout d'une durée correspondant à une période

, l'onde aura aura la même allure.

Crédit : A. Piccialli

Notation exponentielle

Une manière plus compacte et efficace pour représenter une onde est la notation exponentielle. On écrit la perturbation sous sa forme complexe de la manière suivante :

$\Psi(x,t)=\Psi_ae^{i(kx-\omega t)}$

Avec le nombre imaginaire i^2=-1 . La perturbation réelle est définie comme étant la partie réelle de sa forme complexe :

$\psi=Re(\Psi)$

En utilisant la relation trigonométrique bien connue $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta$ , on obtient que l'amplitude complexe $\Psi_a$ vaut :

$\Psi_a=\psi_a e^{i\phi}$

L'amplitude complexe $\Psi_a$ contient ainsi l'information à la fois sur l'amplitude $\psi_a$ et la phase $\phi$ de l'onde. Cette notation est très pratique car elle permet notamment de dériver ou d'intégrer une onde par rapport à l'espace ou au temps. Par exemple :

$\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{\partial Re(\Psi)}{\partial x} = Re\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right) = Re(ik\Psi)$

Ainsi, dériver par rapport à la coordonnée spatiale revient à multiplier l'onde complexe par . De même, une dérivation temporelle revient à multiplier par $-i\omega$ .

De la même manière, on peut montrer que trouver une primitive de l'onde complexe revient à diviser par , donc à multiplier par $-\frac{i}{k}$ . De même, multiplier par $\frac{i}{\omega}$ permet de trouver une primitive par rapport à .

Méthode des perturbations

À partir des équations primitives, il est possible de trouver les ondes susceptibles de se propager dans l'atmopshère en utilisant la méthode des perturbations. Il s'agit d'écrire chaque champ (par exemple avec la pression ) comme étant la somme d'une valeur fixe p_0 solution des équations et d'une petite perturbation : p=p_0+p' . Ceci permet de linéariser les équations primitives en obtenant une équation pour les petites pertubations. Ces pertubations correspondent à des ondes que l'on peut ainsi étudier au moyen d'un cadre formel.

Onde sonore

L'onde la plus évidente est l'onde sonore dont le calcul va être détaillé ci-dessous. On définit les petites perturbations comme étant des ondes se propageant horizontalement et verticalement :

$\Psi = \Psi_a e^{i(kx+mz-\omega t)}$

avec et les nombres d'ondes horizontaux et verticaux respectivement. On fait l'approximation que la rotation et la gravité sont négligeables dans le cas qui nous intéresse. De plus, on suppose un fluide au repos, où la dérivée lagrangienne est égale à la dérivée eulérienne. Ainsi dans les équations primitives la force de Coriolis s'annule, tout comme la force centrifuge. En posant $p'=c_s^2\rho'$ avec c_s la vitesse du son, les équations du mouvement horizontal et de l'équation de continuité s'écrivent ainsi :

$\rho_0\frac{\partial u'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial x}$

$\rho_0\frac{\partial v'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial y}$

$\rho_0\frac{\partial w'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial z}$

$\frac{1}{c_s^2}\frac{\partial p'}{\partial t} = - \rho_0\left( \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} +\frac{\partial w'}{\partial z} \right)$

Soit, en utilisant les propriétés de la notation exponentielle :

$-i\omega \rho_0 U_a = -ikP_a$

$-i\omega \rho_0 V_a = 0$

$-i\omega \rho_0 W_a = -imP_a$

$-i\omega P_a= c_s^2\rho_0(ikU_a+imW_a)$

Par identification, on obtient :

$\omega^2=c_s^2(k^2+m^2)$

qui nous donne la relation entre longueur d'onde et période d'une onde sonore.

Généralisation

Le traitement des ondes atmosphériques est un sujet complexe; dans la page qui suit, nous allons donner un aperçu général des principaux types d'ondes en comparant différentes planètes, mais sans entrer dans le détail.

Une analyse plus détaillée des phénomènes ondulatoires peut être trouvé dans la liste suivante des livres:

A. Sanchez-Lavega "An Introduction to Planetary atmospheres" CRC Press, Taylor & Francis Group, 2011.
J. Holton "An Introduction to Dynamic Meteorology" Elsevier Academic Press, 2004.

Les ondes atmosphériques peuvent se manifester de diverses manières: comme oscillations de la température, de la densité et de la vitesse du vent, ou à travers des structures régulières de nuages. Ils peuvent être classés sur la base de facteurs différents: (1) mécanismes de restauration; (2) échelles de temps et d'espace; (3) ondes stationnaires ou qui se déplacent.

Classement des ondes

Ondes de gravité:
Le mécanisme de restauration des ondes de gravité est la poussée d'Archimède. Elles sont créées: (1) par la topographie (ondes orographiques), lors du passage d'une masse d'air au-dessus d'un relief montagneux; ou (2) par des instabilités dues à la présence d'orages ou de fronts d'air. Ils sont très communs dans les mésosphères des planètes telluriques. Sur Terre, les ondes de gravité révèlent souvent leur présence à travers des formations nuageuses, comme dans le cas des ondes orographiques. À des altitudes plus élevées, des images des nuages polaires mésosphériques, aussi connus sous le nom de nuages noctulescents, montrent souvent des structures ondulatoires probablement dues à la propagation vers le haut des ondes de gravité. Dans l'atmosphère martienne, des ondes de gravité ont été observées dans des images de nuages mésosphériques de glace de CO₂ obtenues par la High Resolution Stereo Camera à bord de la mission européenne Mars Express et elles sont produites par la topographie (montagnes et cratères). Plusieurs missions spatiales ont détecté des ondes de gravité dans l'atmosphère de Vénus à la fois comme des oscillations sur le champ de température et comme des structures sur la couche de nuages. Elles sont probablement causées par des mouvements convectifs ou par des instabilité de de Kelvin-Helmholtz. Dans la haute atmosphère des planètes géantes (Jupiter, Uranus, et Neptune), des ondes de gravité ont été détectées par des oscillations dans les profils verticaux de température. Elles sont probablement la manifestation d'ondes de gravité générées près de la tropopause se propageant vers le haut.
Ondes de Kelvin-Helmholtz:
Ces ondes sont un type d'ondes de gravité produites par l'instabilité de Kelvin-Helmholtz (Figure 2).
Ondes de Rossby:
Les ondes de Rossby ou ondes planétaires sont caracterisées par une grande longueur d'onde. Elles sont dues à la variation de la force de Coriolis selon la latitude, quand une masse d'air se déplace à latitudes plus ou moins élevées. Sur la Terre, les ondes de Rossby sont des phénomènes permanents dans les latitudes moyennes et sous-polaires. Souvent, des cyclones et des anticyclones se forment dans les crêtes de l'onde. De la même façon, des ondes de Rossby se forment dans l'atmosphère vers les régions polaires de Mars. Dans les planètes géantes Jupiter et Saturne, il y a une grande variété d'ondes atmosphériques à l'extérieur de la région équatoriale qu'on suppose être des ondes de Rossby. Sur Saturne, un système ondulatoire hexagonal existe autour du pôle Nord, qui pourrait être une onde de Rossby. On peut voir divers exemples d'ondes de Rossby sur différentes planètes dans la figure ci-contre.
Ondes de marées thermiques:
Les ondes de marées thermiques sont des ondes d'échelle planétaire excitées par les variations de l'insolation du sol dues au cycle jour-nuit. Ces ondes se manifestent sur le champ de pression et sur les composants du vent et elles évoluent avec le temps solaire local. Les ondes de marée thermique dans l'atmosphère de Mars ont une amplitude beaucoup plus élevée que sur la Terre car le forçage thermique sur Mars est très fort à cause de l'absorption dans le proche infra-rouge du $\textrm{CO}_2$ atmosphérique, l'absorption du rayonnement infra-rouge émis par la surface, la présence de la poussière dans l'atmosphère et le fait que l'atmosphère y soit plus ténue. L'effet des marées thermiques sur la circulation zonale et méridienne moyenne est donc très important dans l'atmosphère martienne. Sur Vénus, l'absorption du rayonnement solaire se produit essentiellement dans la couche de nuages et des études ont proposé que les marées solaires jouent un rôle important dans la super-rotation de Vénus à ce niveau.

Figure 1

Crédit : A. Piccialli

Figure 2

Ondes de Kelvin-Helmholtz observés au-dessus de Rome.

Crédit : Angelo Zinzi

Auteur: EM

Modèle simplifié d'une tornade

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

On modélise une tornade par une circulation tangentielle $v_{\theta}(r)\vec{u}_{\theta}$ autour d'un centre. Le rayon caractéristique de la tornade est défini par tel que : pour r<R , $\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = 2 \omega \vec{k}$ et pour r>R , $\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ .

Question 1)

À l'aide du théorème de Stokes, donner l'expression de $v_\theta(r)$ en tout point de l'espace. Exprimer en particulier la vitesse maximale $v_{\mathrm{max}}$ en fonction de $\omega$ et de . Où est-elle atteinte ?

[2 points]

Question 2)

En pratique, est inférieur au kilomètre et $v_{\mathrm{max}}$ de l'ordre de 100 m/s. Quelle approximation est la plus justifiée : cyclostrophique ou géostrophique ?

[1 points]

Question 3)

Exprimer alors une équation différentielle portant sur la pression P(r) . On considèrera par la suite que $P(r \to \infty) = P_0$ .

[2 points]

Question 4)

On considère la masse volumique $\rho$ de l'atmosphère constante. Intégrer alors cette équation différentielle et exprimer $\Delta P = P(r=0) - P_0$ en fonction de $\omega$ , $\rho$ et , puis de $\rho$ et $v_{\mathrm{max}}$ . Justifier le signe de $\Delta P$ .

[3 points]

Question 5)

Application numérique Exprimer $\rho$ à la surface pour la Terre et pour Mars à l'aide de la loi des gaz parfaits. À l'aide des données du cours, calculer alors $\Delta P/P_0$ pour une tornade terrestre avec $v_{\mathrm{max}} = 80\,\mathrm{m/s}$ . En supposant la même valeur de $\Delta P/P_0$ sur Mars, estimer alors $v_{\mathrm{max}}$ sur Mars.

[1 points]

Auteur: EM

Estimation de la circulation dans une dépression.

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On considère une dépression martienne de rayon $R = 500\,\mathrm{km}$ et de différence de pression en son centre avec la pression moyenne à la surface de Mars $\Delta P = -0.03\,\mathrm{mbar}$ . Cette dépression se situe à la latitude $\lambda = +45^\circ$ . On se placera par la suite dans le cadre de l'approximation géostrophique. La température moyenne sur Mars est voisine de $T_0 = 215\,\mathrm{K}$ , la pression moyenne de surface voisine de $P_0 = 6\,\mathrm{mbar}$ , l'accélération de la gravité y vaut $g=3.7\,\mathrm{m/s^2}$ et la masse molaire de l'atmosphère y est de $M = 43.4\,\mathrm{g/mol}$ .

Question 1)

Calculer la masse volumique $\rho$ de l'atmosphère à la surface de Mars.

[1 points]

Question 2)

Calculer la valeur du paramètre de Coriolis $f = 2 \Omega \sin \lambda$ .

[1 points]

Question 3)

Estimer l'ordre de grandeur du gradient radial de pression dans cette dépression.

[1 points]

Question 4)

En appliquant la relation géostrophique, estimer la norme de la vitesse du vent tangentiel à la distance R/2 du centre de la dépression. Quelle sera sa direction ?

[2 points]

Question 5)

Vérifier a posteriori la validité de l'approximation géostrophique.

[1 points]

Question 6)

Les frottements à la surface entraînent une déviation du vent à proximité d'un angle valant $\alpha \approx 10^\circ$ par rapport aux isobares (considérés ici comme des cercles concentriques). Exprimer le flux de masse gazeuse entrant par la surface latérale de la dépression, de périmètre $2\pi R$ et s'étendant verticalement sur une échelle de hauteur . En déduire alors la vitesse moyenne verticale du vent au sein de la dépression et son signe (ascendant ou descendant).

[2 points]

Auteur: EM

Courant jet sur Terre

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

On considère les températures moyennées (zonalement, c'est-à-dire en longitude) au niveau de la surface pour les mois de janvier () et juillet () à différentes latitudes sur Terre.

Moyenne zonale des températures
Latitude	[°C]	[°C]
30°N	+12	25
45°N	0	20
60°N	-12	15

Question 1)

Estimer le gradient de température sur la direction nord-sud à 45°N en janvier et en juillet. On donne le rayon terrestre $a = 6378\,\mathrm{km}$ .

[2 points]

Question 2)

Difficile et facultatif Des différences horizontales de température (selon ici) se traduisent par des différences horizontales d'échelle de hauteur atmosphérique $H(y) = \frac{R T(y)}{Mg}$ . En supposant les pression au niveau uniformes selon , montrer que les pressions à l'altitude $\delta z \ll H$ sont telles que : $\frac{\partial P(z+\delta z)}{\partial y} = -P(z) \delta z \frac{\partial (1/H)}{\partial y}$

[2 points]

Question 3)

Difficile et facultatif Le léger (d'ordre 1 en $\delta z$ ) gradient horizontal de pression ainsi créé engendre un léger vent géostrophique $\delta u$ . Montrer que $\delta u = - \frac{g}{fT} \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) \delta z$ .

[2 points]

Question 4)

L'équation obtenue précédemment se généralise sous la forme $\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{g}{fT} \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right)$ et s'appelle équation du vent thermique. Calculer le cisaillement vertical du vent zonal $\frac{\partial u}{\partial z}$ en utilisant cette équation. On donne la vitesse angulaire de la rotation sidérale terrestre $\Omega = \frac{2 \pi}{T_{\mathrm{sid}}} \approx 7.3 \cdot 10^{-5} \,\mathrm{rad/s}$ .

[1 points]

Question 5)

En considérant le vent nul à la surface et la température constante avec l'altitude, estimer alors la vitesse du vent zonal au sommet de la troposphère à une altitude $H = 8\,\mathrm{km}$ (soit environ une échelle de hauteur) en hiver puis en été. Dans quelle direction souffle ce vent (appelé courant jet) ?

[2 points]

Exercice

Question 1)

Dans la figure suivante, on voit que l'énergie absorbée dans le visible dépend de la latitude (courbe bleue). Sachant que la puissance émise par le Soleil et reçue par la Terre est de 1361 W/m2 au total, quelle est l'équation régissant la relation entre la puissance reçue sur Terre et la latitude ?

Quelle serait l'allure de cette figure pour une planète ne possédant pas d'atmosphère ?

Bilan d'énergie

Question 2)

Dans la figure suivante, on a fait figurer le vent à deux altitudes différentes (300 et 925 Pa). Comment interprétez-vous l'orientation et l'intensité des vents ? Quel lien faites-vous avec les zones où les nuages sont absents ou présents ? Les zones arides et boisées sur Terre ?

Vents et nuages terrestres

Crédit : Thomas Navarro

Question 3)

Quel est le lien entre variation particulaire et la variation totale d'un grandeur ? Comment interpréter le cas où le fluide est au repos (vitesse du fluide nulle) ?

Question 4)

Un ami vous affirme que le sens de rotation d'un vortex créé par de l'eau s'écoulant d'un lavabo dépend de l'hémisphère dans lequel on se trouve. Il en veut pour preuve que ce sens est toujours le même dans sa salle de bains et que ses nombreuses expériences de voyage de par le monde ne permettent pas de mettre ce fait en doute. Qu'en pensez-vous ?

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Vous vous trouvez sur un manège tournant et souhaitez lancer un balle à votre ami situé de l'autre côté du manège. Si le manège tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, Devez-vous lancer la balle à droite, à gauche, ou dans la direction de votre ami pour qu'elle lui arrive directement dans les bras ?

Vue de haut : vous êtes un bonhomme bleu avec un ami orange sur un manège gris. manege/manege1.png

Question 2)

Contrairement à vous, votre ami a eu mal au coeur et est descendu du manège pour s'asseoir sur un banc. Vous souhaitez néanmoins toujours lui lancer une balle, ce que vous tentez au moment où vous êtes le plus proche de lui. Devez-vous lui lancer la balle à droite, à gauche ou dans sa direction.

Vue de haut : vous êtes toujours un bonhomme bleu sur un manège gris mais votre ami orange n'est plus sur le manège. manege/manege4.png .

Question 3)

Il est possible de recréer une gravité artificielle dans un vaisseau spatial en le mettant en rotation autour d'un axe central. Les astronautes peuvent ainsi profiter d'une gravité telle que ressentie à la surface de la Terre dans un anneau qui tourne autour de son centre. Afin qu'ils ne ressentent pas de gêne lorsqu'ils se déplacent dans l'anneau, quelle doit être le diamètre minimal de l'anneau ?