Structure thermique des atmosphères planétaires : Page pour l'impression

Dans cette partie, nous verrons comment s'établit la structure thermique dans les couches externes fluides (principalement gazeuses, ce que l'on appelle les atmosphères) des planètes, ainsi que les conséquences de l'existence d'une telle structure.

Prérequis

Il est possible de parcourir la partie Découvrir avec un simple bagage de Terminale scientifique ou d'amateur de vulgarisation scientifique. En revanche, la bonne compréhension des phénomènes en jeu et la capacité à calculer même approximativement les conditions moyennes au sein d'une atmosphère planétaire exigent un bagage en physique générale niveau licence, à savoir plus précisément :

Thermodynamique Connaissance du modèle du gaz parfait, des notions de pression, de température et de chaleur, du lien entre température et énergie cinétique microscopique, de la notion de capacité calorifique et de chaleur latente de changement d'état.
Mécanique Notions d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur, connaissance de la loi hydrostatique
Électromagnétisme Notion de spectre électromagnétique et des principaux domaines de fréquence et longueurs d'onde (visible et infrarouge notamment), de photon. Une connaissance préalable du modèle du corps noir pourra être utile, mais sera introduite dans ce cours et à ce titre n'est pas un prérequis obligatoire.

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Conditions à la surface

L'observation de la seule biosphère connue à jour (celle de la Terre) conduit les exobiologistes à poser comme nécessaire la présence d'eau liquide (ou au moins d'un liquide aux propriétés analogues comme l'ammoniac) à la surface d'une planète pour qu'une chimie prébiotique complexe, puis une activité biologique au sens propre, puisse s'y développer. Si bien que la notion d'habitabilité planétaire est de nos jours quasiment devenue un synonyme de présence possible d'eau liquide.

Or, si la disponibilité de l'eau dans l'Univers ne fait guère de doutes (la molécule H₂O étant l'une des plus répandues), la question de son apport sur les planètes telluriques fait encore l'objet de débats. Surtout, la permanence de son état liquide est encore plus difficile à obtenir, et nécessite une fourchette de conditions de pression et de température bien particulières (ainsi, à la pression atmosphérique terrestre, doit-on se trouver entre 0°C et 100°C pour que l'eau puisse demeurer liquide). Les conditions de pression et de température au sein des atmosphères planétaires de leur sommet jusqu'à l'éventuelle surface constituent donc l'un des facteurs essentiels conditionnant les phénomènes pouvant s'y dérouler (qu'ils soient de nature biologique, ou plus simplement chimique ou météorologique).

Classification des atmosphères planétaires

Typologie des atmosphères planétaires en fonction de la température (abscisse) et de la masse de la planète (ordonnée). Les atmosphères habitables correspondent à la zone centrale, où l'eau peut se trouver sous forme de glace, de vapeur et, de façon cruciale, liquide.

Crédit : Tiré de Forget & Leconte (2013)

Observables à distance

Une autre question cruciale est celle de la détectabilité de telles planètes dans notre voisinage galactique. Le seul moyen envisageable pour caractériser ces planètes consiste en l'étude spectroscopique (c'est-à-dire, décomposé selon ses différentes "couleurs") du rayonnement qui nous parvient. Ce rayonnement peut nous parvenir principalement par deux processus physiques distincts :

par la réflexion de la lumière (surtout visible) en provenance de l'étoile-hôte. Cette réflexion est fortement influencée par l'atmosphère entourant la planète, et tout particulièrement par les éventuels nuages. Or ces nuages sont constitués de particules solides et/ou liquides en suspension dans l'atmosphère (sur Terre, principalement des gouttes d'eau liquide ou des cristaux de glace d'eau), et ne peuvent être présents que si une telle condensation est possible, d'où l'importance de connaître les conditions de pression et de température au sein de ces atmosphères. De plus, certains composés gazeux peuvent absorber la lumière stellaire réfléchie dans certaines régions du spectre qui leur sont propres, permettant ainsi d'analyser à distance la composition chimique de l'atmosphère.
par l'émission thermique propre de la planète. Cette émission thermique est conditionnée par les températures des différentes couches de l'atmosphère et de la surface, ainsi que par la capacité de ses constituants à émettre et absorber efficacement ce rayonnement thermique. Son analyse spectroscopique nécessite donc une bonne compréhension des mécanismes en jeu dans cette émission. Ceci permet en retour de pouvoir mesurer à distance la composition et/ou la température au sein d'une atmosphère distante de plusieurs années-lumière...

Il existe trois modes de transport de la chaleur au sein des atmosphères planétaires, qui déterminent les variations de température au sein de ces atmosphères :

Rayonnement électromagnétique Il s'agit là du seul mode qui puisse opérer à travers le vide. Un objet chaud va se mettre à l'équilibre thermodynamique local avec le champ électromagnétique environnant et lui communiquer une partie de son énergie qui sera rayonnée dans tout l'espace (voir la page traitant du corps noir pour plus de détails). Ce rayonnement pourra être absorbé loin de là par un autre objet qui verra alors son énergie interne (et donc sa température) augmenter. Ce phénomène peut être expérimenté facilement dans la vie de tous les jours (lorsque l'on ressent la chaleur d'un feu de bois alors qu'on est situé à plusieurs mètres de là, hors du trajet des fumées).
Conduction C'est un mode de transport possible uniquement dans un milieu matériel. L'agitation thermique de la matière se transmet de proche en proche par simple contact (chocs) entre les molécules du milieu. Un exemple de la vie quotidienne serait un couvert métallique touchant une flamme à l'une de ses extrémités. Au bout d'un certain temps, l'autre extrémité sera à température suffisamment élevée pour qu'on ne puisse plus enlever le couvert sans se brûler. Ce mode de transport est surtout efficace à courte distance (comparable à celle entre les molécules et donc au contact), ce qui le rend peu important au sein des atmosphères planétaires (excepté dans les couches très peu denses où les molécules sont loin les unes des autres, et où les autres modes de transport d'énergie sont encore moins efficaces).
Convection C'est un mode de transport d'énergie qui n'est possible que dans de la matière fluide (ce qui est le cas au sein des atmosphères). La matière elle-même voyage et transporte son énergie interne avec elle, où elle peut être communiquée ensuite par simple contact à la matière environnante (conduction à courte distance). L'exemple caractéristique de la vie quotidienne est le chauffage de l'eau dans une casserole : l'eau est chauffée par conduction avec le fond de la casserole, ce qui entraîne la mise en place d'une circulation de liquide (courants de convection) permettant à cette chaleur d'être distribuée à l'ensemble de l'eau de la casserole de façon homogène.

Illustration des modes de transport de la chaleur

Dans cette situation de la vie quotidienne, les trois modes de transport de l'énergie sont illustrés : la chaleur (énergie thermique) voyage au sein du liquide par des mouvement de convection, la casserole est chauffée radiativement par la plaque et le manche métallique est un bon conducteur de chaleur vers la main.

Définition et intérêt

Une des plus importantes caractéristiques des atmosphères planétaires est leur épaisseur verticale. En toute rigueur, leur densité décroît continûment avec l'altitude jusqu'à rejoindre celle du milieu interplanétaire, si bien qu'il est difficile de leur attribuer une épaisseur bien définie. On peut néanmoins caractériser la rapidité avec laquelle cette densité décroît avec l'altitude (atmosphère plus ou moins bien "tassée" verticalement). Le lecteur intéressé par une définition quantitative pourra se reporter ici.

Cela définit ce que l'on appelle l'échelle de hauteur atmosphérique, qui représente la différence d'altitude entraînant une division de la pression atmosphérique (liée à la densité) par un facteur constant ( $e \approx 2,718$ )

Facteurs influant sur l'échelle de hauteur

Cette échelle de hauteur est le résultat du compromis entre deux phénomènes physiques : la gravitation qui tend à tasser les molécules de l'atmosphère vers le bas, et l'agitation thermique des molécules qui tend à les disperser dans tout l'espace, y compris vers le haut. À ce titre, et toutes choses égales par ailleurs, l'échelle de hauteur atmosphérique est :

d'autant plus grande que la température de l'atmosphère est élevée.
d'autant plus petite que la gravité de la planète est élevée ou le gaz constituant l'atmosphère est dense.

Échelles de hauteur des atmosphères du système solaire
Planète (ou satellite)	Vénus	Terre	Mars	Jupiter	Io	Saturne	Titan	Uranus	Neptune	Triton	Pluton
Échelle de hauteur (en km)	16	8,4	11	25	7,9	48	21	27	22	14	18

Dans le système solaire, les valeurs extrêmes vont de $8\,\mathrm{km}$ pour la Terre à environ $50\,\mathrm{km}$ pour Saturne. Ces valeurs sont en général très petites devant le rayon de la planète, si bien que l'on peut négliger la courbure de la planète et considérer l'atmosphère comme une succession de couches planes empilées de bas en haut. C'est ce que l'on appelle l'approximation plan-parallèle.

Détermination graphique de l'échelle de hauteur

Lecture graphique de l'échelle de hauteur atmosphérique. Sur le profil de pression standard de l'atmosphère terrestre, on repère l'altitude

à laquelle la pression est divisée par le nombre

(environ 2,718). Cette altitude définit l'échelle de hauteur au niveau de la surface, proche ici de $8\,\mathrm{km}$ .

Crédit : Emmanuel Marcq

Définition

Là où la convection est le mode de transport dominant d'énergie dans une atmosphère, on constate une décroissance régulière de la température avec l'altitude selon un coefficient (en °C/km ou K/km) appelé gradient adiabatique. En effet, si l'on considère une masse de gaz au cours de son transport dans un courant de convection vertical, celle-ci devra lutter contre la pesanteur et donc fournir de l'énergie pour ce faire. Or, le seul "réservoir" d'énergie d'un gaz parfait réside dans sa capacité calorifique. Il y aura donc une conversion partielle de son énergie thermique (en fait, de son enthalpie puisqu'on y inclut le travail des forces de pression) vers de l'énergie potentielle de pesanteur, et donc une baisse de la température de la parcelle d'air d'autant plus grande que celle-ci aura acquis davantage d'altitude (voir ici pour la démonstration). Si une région de l'atmosphère est soumise à cette circulation et en négligeant les autres modes de transport d'énergie, la température y décroît alors avec l'altitude en suivant ce gradient adiabatique.

Gradient adiabatique humide

En pratique cependant, les atmosphères planétaires ne sont pas constituées que de gaz parfaits, mais comportent des gaz en équilibre avec leur propre phase condensée (liquide ou solide). C'est le cas par exemple sur Terre de la vapeur d'eau qui constitue une proportion variable de l'atmosphère terrestre et se trouve parfois en équilibre avec des gouttes d'eau liquide ou des cristaux de glace d'eau. Ou encore de Titan où c'est le méthane gazeux qui se trouve parfois au contact de gouttes de méthane liquide. En ce cas, il existe un réservoir d'énergie supplémentaire pour une parcelle d'atmosphère en mouvement ascendant, à savoir l'énergie libérée par le gaz condensable lorsqu'il se convertit en gouttelettes liquides ou en cristaux solides, ce que l'on appelle la chaleur latente de condensation. Ce réservoir supplémentaire d'énergie limite alors la baisse de température avec l'altitude vers une valeur plus faible. On parle alors de gradient adiabatique humide, que l'on distingue du gradient adiabatique sec en l'absence de condensation.

Troposphère

La couche atmosphérique où la convection est le mode dominant de transport d'énergie s'appelle la troposphère, caractérisée par la décroissance en température décrite ci-dessus. C'est la couche atmosphérique la plus profonde, au contact de la surface pour les planètes telluriques. Au-dessus de la troposphère, les densités plus faibles rendent le transport d'énergie par rayonnement comparativement plus efficace que la convection, car le milieu dilué devient davantage transparent au rayonnement thermique.

Comparaison des profils thermiques de la Terre et de Titan

Comparaison des profils thermiques des atmosphères de la Terre et de Titan (un satellite de Saturne). On y constate que le profil thermique y suit une pente constante entre la surface et 10 km d'altitude pour la Terre et 30 km pour Titan, ce qui définit l'étendue verticale de la troposphère pour les deux atmosphères. Ces pentes correspondant aux gradients adiabatiques, plus fort sur Terre que sur Titan car la gravité terrestre est plus forte.

Crédit : LASP, Université du Colorado

Définition

Le corps noir est un objet physique idéal qui absorbe tout le rayonnement électromagnétique qu'il reçoit (sa réflectivité est donc nulle à toutes les longueurs d'onde).

Propriétés

La propriété fondamentale du corps noir est que l'intégralité du rayonnement électromagnétique en provenance de cet objet est d'origine thermique. Le spectre de ce rayonnement ne dépend alors que de la température du corps noir en question. En particulier :

La puissance rayonnée par un corps noir sur l'ensemble du spectre dans un demi-espace et par unité de surface émettrice est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température absolue $P = \sigma T^4$ . La constante de proportionnalité $\sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W/m^2/K^4}$ est appelée constante de Stefan-Boltzmann. Cela implique qu'un doublement de la température absolue d'un corps noir entraîne une multiplication par 16 de la puissance émise !
Le spectre de ce rayonnement tend vers zéro aux deux extrémités du spectre (très courtes et très longues longueurs d'onde). Il présente un pic qui se décale vers les courtes longueurs d'onde selon l'inverse de la température absolue du corps noir : $\lambda_{\mathrm{max}} = A/T$ (loi de Wien). La constante $A \approx 2898\,\mathrm{\mu m \cdot K}$ est appelée constante de Wien.

Corps noirs approchés

Certains objets réels sont de bonnes approximations du corps noir idéal, du moins sur certains intervalles de longueur d'onde et dès que le rayonnement réfléchi y est négligeable devant l'émission thermique et en l'absence de processus d'émission autres que thermiques. C'est par exemple le cas de la plupart des objets du quotidien dans le domaine infrarouge moyen (pour les longueurs d'onde autour de $10\,\mathrm{\mu m}$ .), ou encore des étoiles dans le domaine visible.

Spectres de corps noir

Représentation des spectres thermiques émis par divers corps noir de température variable. Notez les échelles logarithmiques utilisées sur chacun des axes, nécessaires pour bien représenter les longueurs d'onde du pic et puissances spectrales, toutes deux très différentes selon la température.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

Domaines visibles et infrarouge thermique

Il est d'usage de distinguer deux intervalles spectraux différents lorsque les planètes ont une température notablement plus faible que leur étoile (ce qui est toujours le cas dans le système solaire, mais pas toujours pour les planètes extrasolaires !).

Domaine UV-visible-proche IR C'est dans ces longueurs d'onde que la grande majorité de la puissance stellaire est émise. Cela recouvre en général l'UV, le visible et une partie du proche infrarouge (inférieure à $5\,\mu\mathrm{m}$ ).
Domaine infrarouge thermique C'est le domaine de longueurs d'onde où les planètes émettent l'immense majorité de leur puissance. Cela concerne les longueurs d'onde supérieures à $5\,\mu\mathrm{m}$ et jusqu'à quelques dizaines de micromètres (d'autant plus que la planète est froide).

Définition

La température d'équilibre d'une planète est la température théorique de sa surface (si on suppose cette température uniforme) en l'absence d'atmosphère. C'est une grandeur théorique qui n'a pas vocation à être mesurée, contrairement à la température effective.

Bilan de rayonnement

La température d'équilibre se détermine à partir d'un simple bilan de rayonnement (visible et thermique). Cela revient à négliger les autres sources d'énergie que le rayonnement de l'étoile hôte (le Soleil pour la Terre par exemple) : géothermie, réactions chimiques ou nucléaires, transitions de phase, etc. Sont pris en compte :

Rayonnement reçu Il s'agit du rayonnement en provenance de l'étoile hôte. Il n'arrive que sur la face éclairée de la planète (côté jour), avec une inclinaison variable.
Rayonnement réfléchi C'est la part du rayonnement reçu par la planète qui est renvoyé vers l'espace. Le rapport entre la puissance reçue et la puissance réfléchie porte le nom d'albédo bolométrique.
Rayonnement thermique Il est émis par la totalité de la surface planétaire (côtés jour et nuit) qui se comporte en excellente approximation comme un corps noir dans l'infrarouge thermique. Ce rayonnement dépend donc de la température de surface.

La température de surface influe ici sur le rayonnement thermique. Elle est égale à la température d'équilibre lorsque le bilan est équilibré, à savoir : Puissance lumineuse reçue = Puissance lumineuse réfléchie + Puissance rayonnée thermiquement, ce qui est équivalent à Puissance lumineuse absorbée = Puissance rayonnée thermiquement.

Détermination de la température d'équilibre

Bilan de puissance pour une planète sans atmosphère : le flux reçu de l'étoile équilibre la somme du flux réfléchi par la planète et du flux rayonné thermiquement (en rouge), qui dépend fortement de la température de la planète. Ce bilan peut donc servir à déterminer cette température, appelée température d'équilibre.

Crédit : Emmanuel Marcq

Influence des différents paramètres

Taille de la planète Elle n'influe pas sur la température d'équilibre : les puissances reçues, réfléchies et rayonnées thermiquement varient toutes de façon proportionnelle à la surface de la planète, qui n'a donc pas d'influence sur la température d'équilibre.
Puissance rayonnée par l'étoile Toutes choses égales par ailleurs, la température d'équilibre croît avec la puissance totale rayonnée par l'étoile (l'étoile pouvant être considérée comme un corps noir, cette puissance totale dépend de la température à la surface de l'étoile et du rayon de l'étoile).
Distance entre l'étoile et la planète À puissance rayonnée par l'étoile donnée, une planète capte une proportion plus importante de ce rayonnement si elle se trouve à proximité de l'étoile, comme on pouvait s'y attendre.
Albédo de la planète Un albédo élevé signifie que la planète absorbe une plus faible partie du rayonnement stellaire incident, ce qui tend à diminuer la température d'équilibre. Ainsi, la température d'équilibre de la Terre est plus élevée que celle de Vénus bien qu'elle reçoive environ deux fois moins de puissance solaire, car l'albédo de Vénus très élevé résulte en une puissance solaire absorbée moindre pour Vénus.

Une remarque importante est que cette définition repose sur l'hypothèse irréaliste d'une température de surface homogène sur l'ensemble de la planète, donc avec une redistribution parfaite de l'énergie. Cette température est donc un outil théorique plus qu'une température physiquement mesurable. Le lecteur intéressé par une approche plus quantitative (mais identique conceptuellement) pourra se reporter ici.

Définition

La température effective est une mesure de la puissance émise thermiquement par une planète. Elle se définit comme la température du corps noir (idéal) émettant la même puissance totale (en comptant toutes les longueurs d'onde) que la planète par unité de surface. Contrairement à la température d'équilibre, c'est une grandeur expérimentalement mesurable.

Comparaison entre température effective et température d'équilibre

Nous connaissons assez bien le système solaire pour pouvoir mesurer les températures effectives des planètes et les comparer aux températures d'équilibre théoriques. Le résultat est résumé sur le tableau ci-dessous :

Températures caractéristiques dans le système solaire
Planète (ou satellite)	Mercure	Vénus	Terre	Lune	Mars	Jupiter	Saturne	Titan	Uranus	Neptune
Température d'équilibre (°C)	161	-42	-19	-2	-63	-163	-192	-191	-215	-227
Température effective (°C)	161	-42	-19	-2	-63	-149	-178	-191	-214	-214
Température moyenne de surface (°C) **	161 **	462	15	-2 **	-58 **	N/A	N/A	-179	N/A	N/A

** : On suppose la conductivité thermique très grande, d'où une température de surface uniforme sur la planète.

Pour la plupart des planètes extrasolaires (hormis les plus grosses et les plus chaudes), seule la température d'équilibre peut être estimée (en supposant un albédo donné par un modèle théorique). Les ordres de grandeur de ces deux températures sont comparables lorsque la source d'énergie principale de l'atmosphère est le rayonnement de l'étoile hôte, comme c'est le cas dans le système solaire. Pour les planètes telluriques (et le satellite de Saturne Titan), ces deux températures sont mêmes égales car les sources d'énergie interne à la planète ont un effet négligeable sur l'atmosphère, ce qui n'est pas le cas pour les géantes gazeuses.

Comparaison entre température effective et température de surface

On constate également sur le tableau précédent que pour les corps possédant une surface solide, la température moyenne de la surface est toujours au moins égale à la température effective (égale pour un corps sans atmosphère comme la Lune ou bien Mercure, supérieure pour ceux possédant une atmosphère). Ce phénomène est appelé effet de serre et sera expliqué plus en détail à la page suivante.

Origine

Le phénomène essentiel à l'origine de l'effet de serre au sein d'une atmosphère réside dans la différence d'absorption des rayonnements infrarouge thermique (en provenance de la planète) et visible/UV (en provenance de l'étoile) par les constituants de l'atmosphère. Les constituants gazeux d'une atmosphère (en excluant les particules solides ou liquide en suspension comme les poussières ou les cristaux et gouttelettes des nuages) sont en général transparents pour la lumière visible émise par leur étoile. En revanche, certains de ces gaz (comme la vapeur d'eau H₂O, le dioxyde de carbone CO₂ ou encore le méthane CH₄) absorbent très bien le rayonnement infrarouge d'origine thermique émis par la planète.

Mécanisme

Cette différence d'absorption entre les rayonnements conduit à une séparation entre les régions :

où l'énergie rayonnée en provenance de l'étoile (en visible) est absorbée : au niveau de la surface pour les planètes telluriques, dans l'atmosphère profonde pour les planètes géantes.
où l'énergie rayonnée en provenance de la planète (en infrarouge) est émise vers l'espace. Ce rayonnement thermique infrarouge est émis à une altitude d'autant plus élevée que l'atmosphère est opaque aux infrarouges : il faut que les couches émettrices puissent rayonner directement vers l'espace.

Or, le bilan d'énergie de la planète impose que ce soit la couche rayonnant vers l'espace qui soit à la température effective permettant un équilibre entre la puissance reçue et celle absorbée. Il faut donc que l'énergie absorbée en profondeur puisse être transportée jusqu'à cette altitude de rayonnement. Comme l'atmosphère profonde située entre ces deux niveaux est opaque aux infrarouges, le rayonnement n'est pas le mode le plus efficace de transport, et c'est la convection qui prend le relais. Cette atmosphère profonde, s'étendant depuis l'altitude d'émission infrarouge jusqu'en bas (surface ou intérieur planétaire pour les géantes) n'est autre que la troposphère définie précédemment. Afin que ce transport d'énergie par convection puisse avoir lieu, il faut que la température de surface soit plus élevée que celle au sommet de la troposphère selon le gradient adiabatique. La température au sommet de la troposphère étant égale à la température effective, la température de surface est en conséquence plus élevée, ce qui est la définition même de l'effet de serre.

Effet de serre et profil thermique

Effet de serre modéré (à gauche) et intense (à droite). L'augmentation de l'opacité infrarouge de l'atmosphère (à droite) force le rayonnement thermique à provenir de couches plus élevées (à partir du pointillé rouge). La troposphère, zone où la convection assure le transport d'énergie vers le haut (flèches blanches) et où le profil de température est linéaire, s'étend donc plus profondément. Cela conduit à une température de surface plus élevée : l'effet de serre a augmenté (mais le profil de température dans la zone supérieure radiative reste inchangé ! Le bilan radiatif global et donc la température effective restent identiques.)

Crédit : Emmanuel Marcq

Ce sont les couches atmosphériques situées au-dessus de la troposphère, où la convection joue un rôle négligeable.

Mésosphère

La couche atmosphérique située au-dessus de la troposphère est (en général, voir page suivante) appelée mésosphère. Le transport d'énergie s'y fait exclusivement par rayonnement. La température y décroît avec l'altitude en tendant vers une valeur appelée température de peau atmosphérique. Cette décroissance s'y effectue de façon beaucoup plus modérée que dans la troposphère située en dessous et soumise au gradient adiabatique.

Thermosphère

Au sommet de la mésosphère, l'atmosphère devient complètement transparente à tous les rayonnements (les rayonnements visible ou IR thermique ne peuvent donc y déposer leur énergie) et extrêmement ténue (la convection est donc inefficace). Le transport d'énergie y est donc assuré faute de mieux par des processus de conduction qui sont eux-mêmes très inefficaces à grande distance. Cette zone connaît donc d'énormes contrastes de température verticaux et horizontaux car l'énergie qui y est déposée par les particules énergétiques de l'espace interplanétaire ou les rayonnements X et γ de l'étoile s'évacue très difficilement, ce qui conduit à l'appellation de thermosphère. La température y décroît avec l'altitude, comme montré plus en détail ici.

Stratosphère

Certaines atmosphères planétaires possèdent une couche supplémentaire appelée stratosphère située entre la troposphère et la mésosphère. Cette couche est une couche radiative (la convection n'y joue aucun rôle dans le transport vertical de la chaleur) et connaît une inversion de température : la température y croît avec l'altitude ! Cette inversion est causée par une absorption partielle de la lumière et/ou des UV stellaires assez haut dans l'atmosphère, si bien que cette énergie ne peut pas s'évacuer par convection et seulement difficilement par radiation. Il se crée alors une anomalie chaude qui déforme le profil de température, allant jusqu'à l'inversion de température.

Dans le système solaire, Vénus et Mars ne possèdent pas de stratosphère (ces atmosphères principalement constituées de CO₂ rayonnent très efficacement en infrarouge le peu de puissance absorbé à haute altitude, si bien que les anomalies de températures n'altèrent pas la forme du profil thermique). La Terre en possède une, causée par l'absorption des UV solaires par l'ozone (O₃), sous-produit du dioxygène (O₂) d'origine biologique. Les planètes géantes en possèdent également (causée par des composés hydrocarbonés absorbant les UV) ainsi que Titan (par absorption des UV solaires sur les particules du brouillard photochimique produit dans la haute atmosphère).

Profils thermiques des trois atmosphères telluriques du système solaire

Profils thermiques de Mars, Vénus et de la Terre. Les profils thermiques des atmosphères de Mars et de Vénus ne comportent pas de stratosphère, tandis que l'atmosphère terrestre en comporte une, située d'après ce graphique entre 10 et 50 km d'altitude.

Crédit : Laboratory for Atmospheric and Space Physics, traduit et adapté par E. Marcq

Nous allons à présent aborder les lois quantitatives permettant de modéliser simplement les profils verticaux de température au sein des atmosphères planétaires. Cela nécessite quelques rappels sur le rayonnement thermique, dit de "corps noir".

Spectre du corps noir

L'intensité lumineuse $B_{\lambda}(T)$ , définie comme la puissance émise par unité de surface émettrice, par angle solide autour de la direction du rayon et par unité de longueur d'onde $\lambda$ émise par tout corps noir idéal de température , est donnée par la loi de Planck :

$B_{\lambda}(T) = \frac{2 h c^2}{\lambda ^5} \frac{1}{\exp \left( \frac{hc}{\lambda kT} \right) -1}$

où , et désignent respectivement les constantes fondamentales de Planck, de la vitesse de la lumière et de Maxwell-Boltzmann. Cette fonction possède des propriétés mathématiques aux conséquences importantes pour la suite du cours.

Loi de Wien

Elle donne la position du maximum en $\lambda$ de $B_{\lambda}(T)$ à température donnée, comme illustré précédemment.

$\lambda_{\mathrm{max}} \approx \frac{hc}{2,821\;k T} \approx \frac{2898\,\mathrm{\mu m \cdot K}}{T }$

Autrement dit, plus le corps est chaud, et plus il émet principalement à des longueurs d'ondes courtes et ce de façon inversement proportionnelle. Cela justifie la séparation du spectre lumineux en :

lumière UV-visible-proche IR : émise par les objets d'une température de quelques milliers de Kelvins. Ainsi, pour le Soleil, $\lambda_{\mathrm{max}}$ est voisin de $0.5\,\mu\mathrm{m}$ (soit dans le vert).
infrarouge thermique : émis par les objets d'une température de quelques dizaines à quelques centaines de Kelvins, comme les planètes du système solaire. Ainsi, pour la Terre, $\lambda_{\mathrm{max}}$ est voisin de $10\,\mu\mathrm{m}$ .

La séparation entre les deux domaines est prise de façon conventionnelle autour de $5\,\mu\mathrm{m}$ . Dans le contexte exoplanétaire, une remarque importante s'impose dès maintenant : la plupart des exoplanètes actuellement connues sont extrêmement chaudes, avec des températures excédant souvent $1000\,\mathrm{K}$ , si bien que la limite entre infrarouge thermique et lumière stellaire est décalée vers de plus courtes longueurs d'onde, voire devient complètement dénuée de sens. Cela empêche notamment d'appliquer tels quels les modèles atmosphériques conçus dans le système solaire qui distinguent ces deux catégories.

Loi de Stefan

Lorsque l'on ne s'intéresse pas au détail du spectre émis par le corps noir, il est souvent intéressant de calculer le flux (c'est à dire la puissance par unité de surface émettrice) total émis par le corps noir dans un demi-espace (par exemple, pour une surface planétaire, vers le haut). Pour cela, il suffit d'intégrer la loi de Planck sur sa variable spectrale $\lambda$ , et sur les $2\pi\,\mathrm{sr}$ d'angle solide en question. Le calcul donne alors le résultat suivant, connu sous le nom de loi de Stefan-Boltzmann :

$F = \sigma T^4$

où $\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15h^3c^2} \approx 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W/m^2/K^4}$ est connu sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann. La puissance émise par un corps noir dépend donc énormément de sa température (une augmentation relative de $1\%$ de sa température entraîne ainsi une augmentation d'environ $4\%$ du flux émis).

Émissivité

Le corps noir est un modèle abstrait que l'on ne rencontre pas dans la vie courante. Le spectre thermique $S_{\lambda}(T)$ émis par un corps donné se trouvant à l'équilibre thermodynamique à la température peut alors s'exprimer comme $S_{\lambda}(T) = \varepsilon_{\lambda}\times B_{\lambda}(T)$ où $\varepsilon_{\lambda}$ est une grandeur sans dimension appelée émissivité (qui dépend de la température, mais de façon moins marquée que la fonction de Planck $B_{\lambda}(T)$ si bien que par souci d'alléger les notations, on ne la note pas en général $\varepsilon_{\lambda}(T)$ comme on le devrait en toute rigueur).

Loi de Kirchhoff

Considérons un corps noir en contact radiatif avec un corps réel à travers un filtre laissant seulement passer les radiations à la longueur d'onde $\lambda$ . On sait qu'une fois l'équilibre thermodynamique atteint, ces deux corps en contact radiatif auront la même température . Si l'on note $a_{\lambda}$ la fraction du rayonnement incident absorbée par le corps réel, que l'on appelle absorbance, il en renvoie la fraction complémentaire $\left( 1 - a_{\lambda} \right)$ . Un bilan net des flux (nul à l'équilibre) à travers le filtre donne alors la relation $B_{\lambda}(T) = \varepsilon_{\lambda} B_{\lambda}(T) + \left(1 - a_{\lambda} \right) B_{\lambda} (T)$ , ce qui se simplifie en $a_{\lambda} = \varepsilon_{\lambda}$ . C'est la loi de Kirchhoff, que L'on résume souvent en "les bons absorbeurs sont les bons émetteurs".

Illustration de la loi de Kirchhoff

Crédit : EM

Conséquences

Comme l'absorbance est comprise entre et quelle que soit la longueur d'onde, l'émissivité l'est aussi. Il en résulte qu'aucun corps ne peut rayonner plus efficacement que le corps noir à longueur d'onde et température donnée.
Le corps noir ayant par définition une émissivité constante avec la longueur d'onde et égale à , son absorbance est aussi égale à l'unité quelle que soit la longueur d'onde, ce qui justifie son nom de corps noir au sens où il ne réfléchit aucun rayonnement incident.
À l'inverse, un réflecteur parfait qui n'absorberait aucun rayonnement serait également dans l'impossibilité d'émettre quelque rayonnement thermique que ce soit. Une application dans la vie courante de ce phénomène est l'aspect métallique et réfléchissant des objets traités pour éviter les pertes thermiques radiatives : couvertures de survie, bouteilles Thermos : en augmentant leur réflectivité, on abaisse leur absorbance, et donc leur émissivité aussi.

Cette page développe de façon quantitative les notions vues de façon qualitative ici.

Détermination du flux incident sur la planète

Puissance lumineuse émise par l'étoile : elle s'obtient au moyen de la loi de Stefan-Boltzmann, de la température et de la superficie de la photosphère de l'étoile (sa "surface" visible) : $\mathcal{P}_{*} = 4 \pi {R_*}^2 \times \sigma {T_*}^4$
Flux reçu au niveau de l'orbite de la planète : en supposant le milieu interplanétaire transparent, la puissance émise par l'étoile se dilue (mais sans absorption) sur des sphères concentriques à l'étoile de plus en plus grandes. En notant la distance de l'étoile à la planète, on obtient alors un flux (puissance par unité de surface réceptrice) $F = \frac{\mathcal{P}_*}{4 \pi d^2} = \left( \frac{R_*}{d} \right)^2 \sigma {T_*}^4$

Bilan de puissance

Puissance reçue par la planète : l'étoile étant en général assez éloignée de la planète ( $d \gg R_*$ ), les rayons qu'elle émet peuvent être considérés comme parallèles. La façon la plus simple de calculer cette puissance reçue consiste donc à multiplier le flux par la surface interceptant toute la lumière reçue par la planète à angle droit des rayons. Cette surface consiste donc ici en un disque du rayon de la planète, d'où $\mathcal{P}_i = F \times \pi R^2$
Puissances réfléchies et absorbées par la planète : en vertu de la définition de l'albédo bolométrique , la proportion réfléchie de la puissance incidente, la partie absorbée représente donc le complémentaire, soit $\mathcal{P}_{\mathrm{abs}} = \left( 1 - A \right) \mathcal{P}_i$ .
Puissance rayonnée thermiquement par la planète : en supposant que la surface de la planète à une température uniforme $T_{\mathrm{eq}}$ se comporte comme un corps noir aux longueurs d'ondes considérées, cette puissance rayonnée vaut alors $\mathcal{P}_{\mathrm{th}} = \sigma {T_{\mathrm{eq}}}^4 \times 4 \pi R^2$ puisque l'ensemble de la planète rayonne.

Expression de la température d'équilibre

Le bilan radiatif à l'équilibre imposant l'égalité entre la puissance rayonnée par la planète et la puissance absorbée par la planète, on obtient alors l'équation suivante :

$\pi R^2 \left(1 - A \right) F = 4 \pi R^2 \sigma {T_{\mathrm{eq}}^4$

qui se résout directement, après simplification du rayon de la planète (ce qui signifie qu'en première approximation, la température d'une planète ne dépend pas de sa taille) en :

$T_{\mathrm{eq}} = \left[ \frac{\left(1 - A\right) F}{4 \sigma} \right]^{1/4} = \sqrt{\frac{R_*}{d}} \left( \frac{1-A}{4} \right)^{1/4} T_*$

ce qui permet de constater que cette température décroît avec la distance à l'étoile, et est proportionnelle à celle de l'étoile. Ainsi, toutes choses égales par ailleurs, pour une étoile naine rouge d'une température moitié de celle du Soleil, il faut pour conserver une température d'équilibre donnée se rapprocher de l'étoile d'un facteur quatre : on peut d'ores et déjà affirmer que les zones habitables autour des petites étoiles de faible température (naines rouges) sont très proches de ces dernières. Notons au passage que la température d'équilibre d'une planète est bornée par celle de son étoile, plus précisément comprise entre $0\,\mathrm{K}$ (à très grande distance) et $0,7 \times T_*$ à la limite où l'orbite de la planète est tangente à son étoile (et la planète de rayon négligeable devant l'étoile).

Équation hydrostatique en géométrie plan-parallèle

Cette équation relie l'augmentation de la pression en descendant avec la masse volumique locale (autrement dit, elle exprime le fait que l'origine physique de la pression au sein des atmosphères est le poids de la colonne de gaz située à la verticale). La différence de pression entre le haut et le bas d'une couche d'épaisseur (la direction verticale étant bien définie en géométrie plan-parallèle) dépend donc de la masse contenue dans un volume de section horizontale et d'épaisseur , d'où, par équilibre des forces verticales s'exerçant sur ce volume $-S P(z+dz) + S P(z) = \rho dV g = \rho g S dz$

Équilibre hydrostatique

Schéma des forces appliquées à une tranche d'air à l'équilibre.

Crédit : Emmanuel Marcq

Une simplification par fait donc apparaître $dP = - \rho g dz$ : la pression décroît bien avec l'altitude, selon la masse volumique et la gravité locales.

Reformulation de l'équation d'état du gaz parfait

La forme habituelle de cette équation PV = nRT , où $R \approx 8,314\,\mathrm{J/mol/K}$ désigne la constante des gaz parfaits, P la pression, V le volume occupé, n le nombre de moles et T la température n'est pas vraiment adaptée à une formulation locale (intensive, dirait-on en thermodynamique). Il vaut mieux la présenter sous la forme $P = \frac{n}{V} RT$ , où l'on voit apparaître la densité molaire (homogène à des $\mathrm{mol/m^3}$ ) locale. Or, cette grandeur est proportionnelle à la masse volumique selon la relation $\frac{n}{V} = \frac{\rho}{M}$ où désigne la masse molaire. Il est alors possible d'exprimer la masse volumique du gaz parfait en fonction des conditions de pression et température locales, ainsi que de la masse molaire du gaz constituant : $\rho = \frac{MP}{RT}$ .

Échelle de hauteur

On suppose ici que l'atmosphère est constituée d'un gaz parfait de masse molaire , et que l'atmosphère est de surcroît isotherme à la température selon l'altitude. L'utilisation de l'équation d'état du gaz parfait au sein de l'équilibre hydrostatique donne, par substitution de $\rho$ , $\frac{dP}{P} = - \frac{dz}{H}$ avec $H = \frac{RT}{Mg}$ désignant une grandeur homogène à une altitude. On l'appelle échelle de hauteur, et son interprétation est plus claire en intégrant l'équation différentielle où elle apparaît, avec la condition à la limite inférieure P(z=0) = P_0 :

$\[ P(z) = P_0 \exp \left( - \frac{z}{H} \right)$

L'échelle de hauteur représente donc la hauteur caractéristique avec laquelle la pression décroît avec l'altitude pour tendre vers dans l'espace interplanétaire à grande distance de la planète (mais l'approximation plan-parallèle, ainsi que la thermodynamique usuelle à l'équilibre cessent d'être valides à quelques dizaines d'échelles de hauteur au-dessus de la surface).

Dans le cas d'une atmosphère non isotherme, la résolution formelle est un peu plus complexe, mais l'idée générale d'une décroissance localement exponentielle selon une échelle de hauteur locale dépendant de la température locale reste valable.

Autre interprétation de l'échelle de hauteur

On peut reformuler la constante des gaz parfaits selon $R = k \mathcal{N}$ où désigne la constante de Maxwell-Boltzmann et $\mathcal{N}$ la constante d'Avogadro, puis simplifier dans l'expression de . On obtient alors mgH = kT où $m = M/\mathcal{N}$ désigne la masse d'une molécule de gaz : une molécule de gaz à la hauteur caractéristique possède donc une énergie potentielle de pesanteur du même ordre que son énergie cinétique microscopique (thermique) moyenne. On comprend donc bien pourquoi représente le compromis entre l'agitation thermique qui tend à disperser les atmosphères ( est croissant avec ), et le poids qui a tendance à tasser les atmosphères vers le bas : décroît avec (atmosphère dense) et (gravité forte).

Cadre du modèle

Dans un modèle purement radiatif d'une colonne d'atmosphère (sans convection ni conduction), il est relativement facile d'estimer l'effet de serre causé par une atmosphère (transparente en lumière visible et partiellement opaque au rayonnement infrarouge thermique) entourant une planète tellurique.

On supposera que la surface possède une émissivité égale à en infrarouge thermique, et que celle de l'atmosphère (directement reliée à son absorbance via la loi de Kirchhoff) est prise constante et égale à $\varepsilon_a$ dans tout le domaine infrarouge thermique (c'est ce que l'on appelle l'approximation grise). L'atmosphère est considérée ici isotherme à la température T_a . On négligera aussi les flux d'énergie éventuels provenant de l'intérieur de la planète, et on supposera que l'étoile émet de façon négligeable dans l'infrarouge thermique, situé loin de son maximum d'émission dans le visible (ou le proche IR pour les plus froides d'entre elles).

Bilans de flux

Représentation des flux rayonnants

Représentation schématique des flux (bleu pour le domaine stellaire visible-UV-proche IR, rouge pour le domaine infrarouge thermique).

Crédit : Emmanuel Marcq

La situation est très simple pour les flux stellaires. $\bar{F}$ désigne le flux moyen à la surface de la planète, qui se déduit du flux à incidence normale appelé constante solaire (ou stellaire) par l'égalité des puissances : $\pi R^2 F = 4 \pi R^2 \bar{F}$ (voir le raisonnement définissant la température d'équilibre pour plus de détails, désigne ici le rayon planétaire). On en déduit immédiatement $\bar{F} = F/4$ : un facteur 2 s'explique aisément par le fait que seul un hémisphère est éclairé, et l'autre facteur 2 par la moyenne du cosinus de l'angle d'incidence intervenant dans le calcul local du flux.

En vertu de la définition de l'émissivité, l'atmosphère rayonne donc $\varepsilon_a \sigma {T_a}^4$ dans chacun des demi-espaces inférieur (vers la surface) et supérieur (vers l'espace). En vertu de la loi de Kirchhoff, cette émissivité est égale à son absorbance, si bien que la fraction complémentaire $\left( 1 - \varepsilon_a \right)$ du rayonnement en provenance de la surface (considérée comme un corps noir) réussit à la traverser, le reste étant absorbé (on néglige les processus de diffusion ici ; seules les émissions et absorptions sont prises en compte).

Le bilan des flux à la surface donne alors à l'équilibre radiatif (synonyme d'égalité entre la somme des flux entrants et la somme des flux sortants) : $\bar{F} + \varepsilon_a \sigma {T_a}^4 = A \bar{F} + \sigma {T_{\mathrm{surf}}}^4$ , tandis que celui au niveau de la couche atmosphérique donne $\sigma {T_{\mathrm{surf}}}^4 = \left(1 - \varepsilon_a \right) \sigma {T_{\mathrm{surf}}}^4 + 2 \sigma \varepsilon_a {T_a}^4$ . Nous avons donc deux équations pour les deux inconnues T_a et $T_{\mathrm{surf}}$ , et la résolution du système donne alors : $T_{\mathrm{surf}} = \left( \frac{2}{2 - \varepsilon_a} \right)^{1/4} T_{\mathrm{eq}}$ et $T_a = \left( \frac{1}{2 - \varepsilon_a} \right)^{1/4} T_{\mathrm{eq}}$ où l'on aura reconnu la température d'équilibre $T_{\mathrm{eq}} = \left[\frac{(1-A) F}{4 \sigma} \right]^{1/4} = \left[\frac{(1-A) \bar{F}}{\sigma} \right]^{1/4}$ définie précédemment.

Discussion

Dans la limite transparente où $\varepsilon_a \to 0$ , $T_{\mathrm{surf}} \to T_{\mathrm{eq}}$ et $T_a \to T_0 = 2^{-1/4} T_{\mathrm{eq}} \approx 0.84 \, T_{\mathrm{eq}}$ : la surface retrouve alors la température d'équilibre, ce qui est normal pour une atmosphère à la fois transparente en lumière stellaire et en infrarouge thermique (atmosphère radiativement inerte ne causant aucun effet de serre). La température atmosphérique tend alors vers une valeur $T_0 < T_{\mathrm{eq}}$ appelée température de peau et typique des couches quasi-transparentes en approximation grise.
Dans la limite opaque où $\varepsilon_a \to 1$ , $T_{\mathrm{surf}} \to 2^{1/4} T_{\mathrm{eq}} \approx 1.19\,T_{\mathrm{eq}}$ et $T_a \to T_{\mathrm{eq}}$ : le rayonnement s'échappant vers l'espace provient alors uniquement de l'atmosphère, qui se met donc à la température d'équilibre. La surface reçoit donc du rayonnement infrarouge atmosphérique en plus du seul rayonnement stellaire (qui pris isolément la maintiendrait déjà à une température de $T_{\mathrm{eq}}$ ), si bien que sa température s'élève : c'est ce que l'on appelle l'effet de serre, plafonnant dans ce modèle à une seule couche atmosphérique isotherme à une augmentation de la température absolue (mesurée en Kelvins) de $19\,\%$ .

Limite du modèle à une seule couche

Le modèle vu précédemment a l'inconvénient de ne pas pouvoir excéder une augmentation de température à la surface de $19\,\%$ . Ceci est insuffisant dans le cas des atmosphères très épaisses comme celle de Vénus, où le rapport $T_{\mathrm{surf}}/T_{\mathrm{eq}}$ excède $320\,\%$ ! Cela signifie que de telles atmosphères ne peuvent se modéliser par une unique couche isotherme, même totalement absorbante aux rayons infrarouges. Il existe différents modèles plus complexes permettant de mieux rendre compte des effets de serre intenses.

Modèles à plusieurs couches

Une première idée est d'ajouter, au-dessus de la première couche atmosphérique complètement opaque au rayonnement thermique de la planète, une ou plusieurs couches (la dernière couche immédiatement avant l'espace pouvant être partiellement transparente). Ces différentes couches atmosphériques peuvent alors chacune adopter des températures différentes, et former ainsi un profil de température décroissant avec l'altitude. Il faut ainsi environ une centaine de couches opaques pour rendre compte de la température de surface de Vénus.

L'étude d'un modèle à deux couches atmosphériques fait l'objet d'un petit projet .

Modèles radiatifs continus

Une vision plus réaliste mais ne faisant toujours intervenir que des échanges d'énergie par rayonnement consiste à découper l'atmosphère en un mille-feuille constitué d'une infinité de couches atmosphériques infiniment fines (d'un point de vue radiatif). En restant dans l'approximation grise en infrarouge thermique et transparente en lumière visible, il est même possible (mais hors-programme au niveau licence) de démontrer l'expression du profil de température en fonction de la profondeur optique $\tau$ en infrarouge thermique : $T^4(\tau) = \frac{{T_{\mathrm{eq}}}^4}{2} \left( 1 + \frac{3}{2} \tau \right)$ . Notons que dans ce modèle, on obtient $T_{\mathrm{surf}}^4 = {T_{\mathrm{eq}}}^4 \left(1 + \frac{3}{4} \tau_{\mathrm{surf}} \right) > T^4 \left( \tau_{\mathrm{surf}} \right)$ : le seul équilibre radiatif tend à créer une discontinuité de température au niveau de la surface, ce qui déclencherait alors des processus de convection pour y remédier. Un tel contraste thermique est néanmoins observable à la surface des planètes telluriques éclairées par le Soleil, comme une plage sur Terre par beau temps (le sable peut alors être brûlant et l'air frais), ou mieux encore dans les déserts de Mars.

Néanmoins, dans les atmosphères épaisses ou pour expliquer l'existence des stratosphères, l'absorption de la lumière stellaire par l'atmosphère doit être prise en compte (par exemple, seuls quelques pourcents de la lumière solaire atteint directement la surface de Vénus). Des expressions analytiques deviennent alors délicates à trouver, mais des modèles numériques peuvent être utilisés pour déterminer les profils de température dans une colonne d'atmosphère (ce que l'on appelle un modèle 1D radiatif). On peut également profiter de la puissance de calcul des ordinateurs pour abandonner d'autres approximations : il est par exemple indispensable d'abandonner l'approximation grise en infrarouge thermique si l'on veut simuler le spectre du rayonnement thermique émis par la planète.

Gradient adiabatique sec

Lorsqu'une parcelle de gaz se déplace verticalement de façon adiabatique, sa température varie sous l'effet des variations de pression. Si l'on considère un déplacement élémentaire entre l'altitude et z+dz d'une masse d'un gaz de capacité calorifique à pression constante Cp, d'entropie S et de volume V à la pression P et à la température T, un bilan de son enthalpie H donne dH = m C_p dT = T dS + V dP = V dP puisque dS=0 (déplacement adiabatique). La variation de pression étant reliée au déplacement vertical selon la loi hydrostatique $dP = - \rho g dz = -\frac{m}{V} g dz$ , on obtient alors $dT = -\frac{g}{C_p} dz = \Gamma dz$ en posant $\Gamma = -\frac{g}{C_p}$ , appelé gradient adiabatique (sec). La détente adiabatique d'une parcelle de gaz ascendante conduit donc à un refroidissement proportionnel à la différence d'altitude selon le gradient adiabatique.

Une autre façon, peut-être plus intuitive, de considérer ce phénomène est d'interpréter la relation intermédiaire obtenue mC_p dT = - mg dz : la variation d'enthalpie du gaz (son "énergie thermique" en tenant compte des forces de pression) est directement reliée à sa variation d'énergie potentielle. Faire monter une parcelle de gaz lui coûte de l'énergie potentielle, ce qui est prélevé sur l'énergie thermique interne de ce gaz en l'absence de chaleur communiquée depuis l'extérieur.

Gradient adiabatique humide

Certaines atmosphères comportent des espèces chimiques condensables. L'exemple par excellence est la vapeur d'eau sur Terre, qui peut se condenser en glace ou un eau liquide. On rencontre aussi ce cas de figure sur Titan avec cette fois le méthane, ou encore dans les atmosphères des géantes gazeuses au niveau de leurs couches nuageuses. Le bilan précédent doit alors être modifié pour tenir compte de la libération de chaleur latente causée par le changement d'état qui peut arriver lorsque l'espèce condensable est saturée.

Le nouveau bilan d'enthalpie est alors donné par $dH = VdP + L dm_{\mathrm{vol}}$ où désigne l'enthalpie massique de condensation et $dm_{\mathrm{vol}}$ la masse d'espèce volatile qui se condense au cours du déplacement au sein de la parcelle de gaz. On arrive alors à l'expression suivante pour le nouveau gradient adiabatique $\Gamma'$ (dit gradient adiabatique humide) : $\Gamma' = \frac{\Gamma}{1 + \frac{L}{C_p} \frac{\partial e_{\mathrm{vol}}}{\partial T}}$ où $e_{\mathrm{vol}}$ désigne la fraction massique du volatil au sein de la parcelle de gaz. On constate alors que $\Gamma'$ est plus faible que $\Gamma$ en valeur absolue : la libération de chaleur latente par liquéfaction ou condensation compense partiellement le refroidissement dû à l'ascension.

Gradients adiabatiques au sein des atmosphères du système solaire
	Vénus	Terre	Mars	Jupiter	Saturne	Uranus	Neptune	Titan
$\Gamma \, (\mathrm{K/km})$	-10.5	-9.8	-4.5	-2	-0.71	-0.67	-0.85	-1.3
$\Gamma' (\mathrm{K/km})$		-5						-0.5

Nécessité du phénomène de convection

La comparaison entre le profil thermique à un instant donné et le gradient adiabatique au même endroit permet de connaître la stabilité de l'atmosphère vis-à-vis des phénomènes de convection. Supposons pour bien comprendre un profil thermique isotherme. Si un mouvement local amène une parcelle de gaz à un niveau plus élevé de façon assez rapide pour qu'aucun échange thermique n'ait lieu (par conduction ou rayonnement), celle-ci va se refroidir en suivant le gradient adiabatique, et sera donc plus froide et plus dense que ses environs immédiats. Cette parcelle aura donc tendance à retomber jusqu'à son niveau de départ, puisqu'un gaz plus froid est également plus dense toutes choses égales par ailleurs : par exemple, pour un gaz parfait, $\rho = \frac{MP}{RT}$ . On est donc en présence d'une atmosphère stable.

À l'inverse, si le profil thermique décroît plus fortement avec l'altitude que ce qu'indique le gradient adiabatique, cette parcelle de gaz sera certes refroidie si elle est soumise à un déplacement ascendant adiabatique, mais elle se retrouvera tout de même légèrement plus chaude que l'atmosphère environnante, et donc moins dense. Elle pourra donc continuer son mouvement ascendant jusqu'à ce qu'elle rencontre une zone stable où le profil thermique décroît moins vite que le gradient adiabatique. Une telle zone où des mouvements de convection à grande échelle peuvent se développer à partir d'une petite perturbation est dite instable. L'effet à long terme de ces mouvements de convection va conduire à un mélange qui homogénéisera le profil vertical de température jusqu'à retrouver une situation marginalement stable, c'est-à-dire avec un profil thermique suivant exactement le gradient adiabatique.

Stabilité du profil thermique

Sur l'image de gauche, le profil thermique décroît rapidement avec l'altitude (dégradé de couleur rouge vers bleu). Si une masse d'air (délimitée par l'ellipse pleine) est amenée de façon adiabatique à un niveau supérieur, son refroidissement adiabatique est insuffisant par rapport aux alentours et elle reste plus chaude que ses environs. Elle peut alors continuer à monter, le profil thermique est instable. Sur l'image de droite, le profil thermique décroît très lentement avec l'altitude. La même masse d'air montant alors plus haut se retrouve plus froide que ses environs, et retombe alors à son niveau de départ. Le profil thermique est convectivement stable.

Crédit : Emmanuel Marcq

Troposphère

Les profils thermiques purement radiatifs tels que ceux modélisés ici ont tendance à voir leur pente $\frac{dT}{dz} = \frac{dT}{d\tau} \times \frac{d\tau}{dz}$ croître en valeur absolue à mesure que la profondeur optique infrarouge $\tau$ croît en s'enfonçant dans l'atmosphère profonde. Sous couvert d'hypothèses raisonnables concernant la composition du gaz considéré parfait (pour C_p ) et la croissance de $\tau$ selon le niveau de pression dans l'atmosphère, il est possible (mais hors-programme) de montrer que la pente du profil radiatif excède, en valeur absolue, le gradient adiabatique pour $\tau$ voisin de l'unité. Les régions atmosphériques situées en dessous ( $\tau > 1$ ) deviennent donc instables vis-à-vis de la convection qui s'y développe, et le profil thermique se met alors à suivre non plus la valeur donnée par le seul équilibre radiatif, mais le gradient adiabatique. On appelle cette couche atmosphérique troposphère. Les couches situées au-dessus ( $\tau < 1$ ) sont quant à elles stables vis-à-vis de la convection, et l'équilibre radiatif y est valable : on se trouve alors dans la stratosphère ou la mésosphère, selon l'existence ou non d'une inversion de température.

Notons qu'il existe quand même une troposphère dans les atmosphères des planètes telluriques trop peu opaques au rayonnement infrarouge thermique pour avoir $\tau > 1$ (par exemple Mars, et dans une moindre mesure la Terre). En ce cas, l'instabilité de départ est causée par la discontinuité de température au niveau de la surface planétaire (voir ici), qui donne naissance à des mouvements de convection s'étendant jusqu'à une altitude équivalente à une échelle de hauteur environ.

Profil thermique radiatif-convectif

En pointillé, le profil thermique purement radiatif. En dessous d'une certaine altitude (marqué par un point noir), ce profil devient convectivement instable et la convection prend le relais pour transporter l'énergie (aidant ainsi au refroidissement de la surface). la couche atmosphérique située sous ce point s'appelle alors la troposphère, et celle au-dessus mésosphère (il n'y a pas de stratosphère dans ce profil).

Crédit : Emmanuel Marcq

Couches atmosphériques des planètes telluriques du système solaire

Crédit : LASP, Emmanuel Marcq (traduction)

Condition d'existence d'une stratosphère

Les profils thermiques les plus simples ne comportent qu'une troposphère surmontée d'une mésosphère, et le profil thermique y décroît toujours avec l'altitude. Mais il existe parfois au sein de la zone purement radiative une anomalie, une zone où la température croît avec l'altitude. Une telle zone est appelée stratosphère. Pour qu'une telle couche existe au sein d'une atmosphère, il faut qu'elle absorbe elle-même une partie du flux stellaire (dans le domaine visible, UV ou proche IR) et qu'elle soit relativement mauvaise émettrice en infrarouge thermique afin que l'énergie reçue par absorption du flux stellaire ne soit pas immédiatement perdue par rayonnement infrarouge thermique. Si l'on néglige les processus de diffusion lumineuse (ce qui est une hypothèse souvent vérifiée dans le domaine infrarouge thermique en l'absence de nuages, mais assez inexacte pour la lumière stellaire à plus courte longueur d'onde), le critère quantitatif pour l'existence d'une stratosphère est d'avoir une région verticale d'épaisseur optique $\Delta \tau_v$ en lumière stellaire et $\Delta \tau$ en infrarouge thermique tels que $\Delta \tau_v > \Delta \tau$ .

Dans le système solaire, la Terre possède une stratosphère due à la présence d'ozone, qui est un très bon absorbant de la lumière UV du Soleil. Comme, à l'altitude où cette absorption a lieu, l'atmosphère est froide et sèche, et que l'atmosphère terrestre est pauvre en $\mathrm{CO}_2$ , il y a peu d'absorption du rayonnement infrarouge, et donc aussi une faible émissivité infrarouge ( $\mathrm{H_2O}$ et $\mathrm{CO}_2$ étant les gaz à effet de serre principaux au sein des atmosphères telluriques). Les conditions d'existence d'une stratosphère sont donc réunies. En revanche, les atmosphères de Vénus et de Mars, constituées principalement de $\mathrm{CO}_2$ qui est un excellent émetteur infrarouge, ne possèdent pas de stratosphère. Dans le système solaire extérieur, on trouve également des stratosphères, dues à la présence de méthane ( $\mathrm{CH}_4$ ) au sein de ces atmosphères qui absorbe bien dans l'infrarouge proche émis par le Soleil. Dans le cas de Titan, la stratosphère est due non seulement au méthane, mais aussi à l'absorption de la lumière solaire par les particules du brouillard photochimique qui l'entoure à haute altitude.

Thermosphère

Positions respectives de la source de chaleur (

) et du puits radiatif mésosphérique (

). Le profil conductif s'établit alors entre les deux avec transport par conduction de la chaleur verticalement selon $\vec{\jmath}_Q$ entre les deux, imposant le gradient thermique positif dT/dz > 0

.

Crédit : Emmanuel Marcq

Au sommet de la mésosphère, vers un niveau de pression de $1\,\mathrm{Pa}$ , l'atmosphère devient trop peu dense pour être efficacement absorbante au rayonnement infrarouge et ainsi échanger de l'énergie de façon radiative. Le seul phénomène encore capable de transporter l'énergie devient alors la conduction thermique, obéissant à la loi de Fourier : $\vec{\jmath}_Q = - k \overrightarrow{\nabla{T}}$ où désigne la conductivité thermique du milieu et $\vec{\jmath}_Q$ le flux de chaleur ainsi transporté. La structure thermique dans cette couche est alors dictée par la position des sources et des puits de chaleur :

la source est située à haute altitude, là où les particules énergétiques issues du vent stellaire ainsi que les photons de haute énergie (X ou $\gamma$ ) dissocient les molécules et/ou ionisent les atomes en leur arrachant des électrons.
le puits est situé à la base de la mésosphère, là où l'atmosphère redevient assez dense pour que la chaleur qui y arrive soit rayonnée efficacement vers l'espace sous forme de rayonnement infrarouge thermique

Les positions respectives de ces puits et de ces sources causent un profil thermique croissant avec l'altitude, et pouvant atteindre des températures très élevées la journée car la conductivité thermique d'un tel milieu dilué est très faible, la chaleur peut donc y être piégée de façon très efficace. On nomme donc cette couche thermosphère. Sur Terre, la dissociation des molécules de $\mathrm{O}_2$ par les UV solaires est une source de chaleur intense (ces molécules très fragiles vis-à-vis des rayonnements dissociants et/ou ionisants sont nombreuses dans l'atmosphère terrestre), si bien que les températures thermosphériques peuvent atteindre des valeurs très élevées, supérieures à $1000\,\mathrm{K}$ . Pour les planètes géantes du système solaire, la source d'énergie est principalement due au chauffage par effet Joule dans l'ionosphère (friction des électrons libres). En revanche, dans les atmosphères telluriques riches en $\mathrm{CO_2}$ comme celles de Vénus et Mars, la dissociation des molécules est relativement difficile et le dioxyde de carbone est un radiateur efficace même à faible pression, ce qui entraîne des maxima de température diurne bien plus faible, pouvant même disparaître complètement pendant la nuit. On appelle alors parfois cette couche cryosphère lorsque ce phénomène se produit.

Définitions

Voici quelques questions sur les définitions des grandeurs employées

1) Que désigne la température d'équilibre d'une planète ?
C'est la température du corps noir qui rayonne la même puissance que la planète (par unité de surface)
C'est la température uniforme d'un objet sans source d'énergie interne qui absorbe la même puissance que la planète (par unité de surface) et qui réémet cette même puissance vers l'espace comme un corps noir.

Auteur: EM

Effet de serre

Diagrammes

Difficulté : ☆

1) Parmi les trois diagrammes ci-dessus, lequel ou lesquels correspondent à une situation d'effet de serre ?
A
B
C
A et B
B et C
A et C

Auteur: EM

Profils thermiques

Profils verticaux de température

Difficulté : ☆

1) Comment nomme-t-on les différentes couches atmosphériques colorées sur les trois profils thermiques ci-dessus (du plus foncé au plus clair)
Troposphère - Mésosphère - Thermosphère - Exosphère
Troposphère - Stratosphère - Mésosphère - Thermosphère
Troposphère - Stratosphère - Thermosphère - Exosphère
Stratosphère - Mésosphère - Thermosphère - Exosphère

Auteur: EM

Une autre interprétation de l'échelle de hauteur

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Question 1)

Exprimer la masse d'une colonne d'atmosphère de surface en fonction de la pression à la surface P_0 et de l'accélération de la gravité . Faire l'application numérique approchée dans le cas de la Terre.

[3 points]

Question 2)

On considère à présent une boîte rectangulaire de surface et de hauteur au sein de laquelle la pression est partout égale à P_0 et la température partout égale à . Cette boîte contient en outre la même masse de gaz que la colonne d'atmosphère considérée à la question précédente.

Exprimer la masse volumique $\rho$ du gaz contenu dans la boîte en fonction de , puis en fonction de P_0 .

[1 points]

Question 3)

En utilisant l'équation d'état du gaz parfait, exprimer alors en fonction notamment de et de la masse molaire du gaz.

[2 points]

Question 4)

En déduire une nouvelle interprétation de l'échelle de hauteur atmosphérique.

[1 points]

Auteur: EM

Zone d'habitabilité du système TRAPPIST-1

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Voici un tableau résumant les caractéristiques des planètes connues (en 2017) du système TRAPPIST-1. L'étoile centrale est une naine rouge ultrafroide ( R_star = 0,114*R_sun et T_star = 0,44*T_sun = 2550*K )

Caractéristiques des planètes du système TRAPPIST-1
Nom	Masse ()	Rayon ()	Distance à l'étoile (UA)
b	0.79	1.086	0.01111
c	1.63	1.056	0.01522
d	0.33	0.772	0.02145
e	0.24	0.918	0.02818
f	0.36	1.045	0.0371
g	0.566	1.127	0.0451
h	0.086	0.715	0.0596

Question 1)

Compléter la colonne $T_{\mathrm{eq}}$ du tableau en supposant que toutes ces planètes ont le même albédo bolométrique que la Terre. On donne pour la Terre T_(eq*earth) = 255*K et A_earth = 0,306 .

[4 points]

Question 2)

Même question dans le cas où on considère un albédo nul pour ces planètes. Commenter.

[2 points]

Question 3)

Les limites de la zone d'habitabilité dans le système solaire sont de 0,95 UA (bord interne ; plus près, le flux stellaire trop important entraîne un effet de serre divergent pour la vapeur d'eau) et 1,37 UA (bord externe ; plus loin, même l'effet de serre d'une atmosphère riche en CO₂ ne permet plus de maintenir des températures de surface au-dessus de 0°C). Calculer les limites correspondantes pour le système TRAPPIST-1. Quelles planètes pourraient alors être habitables ?

[2 points]

Question 4)

Compléter le tableau ci-dessus en indiquant, pour chaque planète (supposées d'albédo terrestre) ainsi que pour l'étoile TRAPPIST-1, la longueur d'one du maximum de son émission thermique. Comparer avec la situation du système solaire.

[1 points]

Auteur: EM

Temps radiatif dans une atmosphère

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

On considère une atmosphère transparente en lumière visible et partiellement opaque aux IR thermiques (absorbance et émissivité 0 < epsilon < 1 ), et de température uniforme T_a à l'équilbre radiatif. À l'instant intial, on perturbe la température de cette atmosphère d'une quantité Delta*T_0 << T_a . Delta*T varie ensuite en fonction du temps.

Question 1)

Pourquoi peut considérér que l'absorbance et l'émissivité de l'atmosphère sont égales (pour une longueur d'onde donnée) ?

[1 points]

Question 2)

Exprimer le surcroît de flux thermique Delta*F émis par une colonne atmosphérique de surface dans tout l'espace. On se limitera à l'ordre 1 en Delta*T .

[2 points]

Question 3)

Exprimer la capacité calorifique (à pression constante) de cette colonne d'atmosphère en fonction notamment de la capacité calorifique massique c_p , de la pression de surface P_0 et de la gravité de surface .

[1 points]

Question 4)

Montrer alors que Delta*T obéit à l'équation différentielle suivante : ((P_0*c_p)/(8*g*epsilon*sigma*T_a^3))*((partDelta*T)/(partt)) + Delta*T = 0

[2 points]

Question 5)

Résoudre alors cette équation en faisant apparaître une constante de temps appelée temps radiatif t_r .

[1 points]

Question 6)

Application numérique : on donne pour la Terre et pour Mars les valeurs suivantes.

Caractéristiques
	Terre	Mars
[K]	242	181
	0,77	0,18
[Pa]	10⁵	640
[m/s²]	9,8	3,7
[J/K/kg]	1000	800

Calculer t_r pour ces deux planètes.

[1 points]

Question 7)

Estimer alors l'amplitude thermique diurne de température sur Terre et sur Mars.

[2 points]

Auteur: Emmanuel Marcq

Exercice

Vous venez d'être embauché par un célèbre réalisateur Hollywoodien en tant que conseiller scientifique pour son prochain film de science-fiction. L'action se déroulera sur une lune tellurique nommée Pandore d'une planète géante appelée Polyphème en orbite autour de l'étoile $\alpha\,\mathrm{Cen}$ . Toutes les données numériques pertinentes se trouvent ci-dessous.

Données numériques pertinentes

Étoile (α Centauri) :

Masse : 1,1 masse solaire
Rayon : 1,27 rayon solaire
Classe spectrale : G2V
Température photosphérique : 5790 K

Polyphème :

Masse : 0,44 masse jovienne
Rayon : 0,75 rayon jovien
Période de rotation : 15 h
Période de révolution : 1,4 année terrestre
Rayon de l'orbite : 1,32 UA
Albédo visible : 0.4

Pandore :

Rayon : 0,78 rayon terrestre
Masse : 0,43 masse terrestre
Rayon de l'orbite : 264000 km
Période de rotation (synchrone avec révolution) : 31,5 h
Albédo visible : 0,3
Pression atmosphérique à la surface : 1,22 bar
Température moyenne de surface : 27°C
Composition atmosphérique (% en masse) : $\mathrm{N_2}$ (81 %), $\mathrm{O_2}$ (16 %), $\mathrm{CO_2}$ (2 %), $\mathrm{Ar}$ (1 %), $\mathrm{H_2O}$ (variable), $\mathrm{Ne}$ , $\mathrm{CO}$ , $\mathrm{CH_4}$ , $\mathrm{H_2S}$ , $\mathrm{O_3}$ , $\mathrm{OCS}$ , $\mathrm{SO_2}$ (traces).
Capacité calorifique à pression constante : 1012 J/kg/K

Question 1)

Quelle est la puissance lumineuse totale émise par l'étoile hôte ?
Calculer alors la constante stellaire au niveau de l'orbite de Polyphème.

Question 2)

Calculer la température d'équilibre ${T_{\mathrm{eq}}}'$ de la planète géante
La température effective ${T_{\mathrm{eff}}}'$ de Polyphème sera-t-elle supérieure ou inférieure à ${T_{\mathrm{eq}}}'$ ? Justifier.
Bonus : proposer une composition possible des nuages visibles de Polyphème, situés à une altitude où la température est voisine de ${T_{\mathrm{eq}}}'$ .

Question 3)

Calculer la température d'équilibre $T_{\mathrm{eq}}$ de Pandore. La comparer à celle du point triple de l'eau, égale à $273.15\,\mathrm{K}$ . Que vaut alors $T_{\mathrm{eff}}$ ?
Quel est le nom du phénomène responsable de l'écart entre la température de surface et $T_{\mathrm{eff}}$ ? En donner une explication qualitative.

Question 4)

On se propose à présent d'estimer l'opacité infrarouge de l'atmosphère de Pandore à l'aide d'un modèle simple. L'atmosphère est supposée parfaitement transparente en lumière visible et absorbe la totalité des rayonnements infrarouges thermiques. La température de l'atmosphère, supposée uniforme, sera notée T_a .

Faire un schéma en représentant de façon distincte les flux visible et IR thermique montants et descendants
Exprimer le flux thermique s'échappant vers l'espace en fonction notamment de $T_{\mathrm{eff}}$ .
Effectuer un bilan des flux au niveau de la surface.
En déduire alors les expressions de et en fonction de $T_{\mathrm{eff}}$ .
Effectuer l'application numérique et comparer avec la valeur de donnée dans l'énoncé. Que constate-t-on ? Proposer une explication.

Question 5)

Afin d'améliorer ce modèle, on ajoute une seconde couche atmosphérique partiellement opaque aux IR thermiques au-dessus de la première couche (qui reste complètement opaque à ces mêmes IR thermiques). On note la température de la couche supérieure T_1 et celle de la couche profonde T_2 . La couche 1 absorbe une fraction $0 < \varepsilon_1 < 1$ du rayonnement IR thermique. Ces deux couches sont toujours considérées parfaitement transparentes en lumière visible.

Faire un nouveau schéma représentant les différents flux.
En effectuant trois bilans respectivement au niveau de l'espace, de la couche semi-transparente aux IR et à la surface, déterminer un système de trois équations à trois inconnues , et . On fera apparaître l'expression de $T_{\mathrm{eff}}$ dans ce système.
Résoudre ce système d'équations. En déduire la valeur de $\varepsilon_1$ , puis celles de et .
Sur Terre, une modélisation analogue ne nécessite qu'une seule couche semi-transparente aux IR sans couche profonde ( $\varepsilon_{\mathrm{Terre}} \simeq 0.8$ ). Comparer l'intensité de l'effet de serre sur Terre et sur Pandore.

Question 6)

Compte tenu de la composition atmosphérique, s'attend-on à trouver une stratosphère sur Pandore ? Si oui, quelle serait l'espèce chimique responsable ?

Question 7)

Calculer la masse molaire moyenne de l'atmosphère ainsi que la gravité de surface.
En déduire l'échelle de hauteur atmosphérique au niveau de la surface.
La limite de l'atmosphère (exobase) se situe à une pression de $10^{-9}\,\mathrm{bar} = 10^{-4}\,\mathrm{Pa}$ . Estimer l'altitude de cette exobase (on considérera constant pour ce calcul).

Question 8)

Calculer le gradient adiabatique sec $\Gamma$ . Le gradient adiabatique humide sera-t-il inférieur ou supérieur en valeur absolue ?

Question 9)

Représenter l'allure du profil thermique moyen de Pandore. On considérera que la troposphère s'étend sur une échelle de hauteur , et on fera figurer l'échelle de hauteur, les différentes couches atmosphériques et les températures à leurs limites quand cela est possible.