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Conservation de l'énergieDifficulté : ☆☆ Temps : 40 min
Vérifier l'homogénéité de la conservation de l'énergie énoncée par le théorème de Parseval-Plancherel.
Pour des raisons physiques, il est commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle bornée sur un intervalle de temps 
comme :
avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Montrer l'intérêt physique de cette notation, en s'appuyant p.ex. sur un signal purement sinusoïdale.
Pour d'autre raisons, il peut être commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle discrète d'une manière différente :
avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Réécrire la relation de Parseval-Plancherel, et montrer que
où 
et 
sont respectivement les écarts-types de la série temporelle et du spectre.
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S'exercer
la dimension de la variable 
, 
celle de la fonction 
. Et en déduire les dimensions de 
et 
![[x] = X \mathrm{\ et\ } [f] = Y](../pages_traiter/equations_analyse-tf/equation30.png)
, donc la définition de la TF donne :
![[u] = X^{-1} \hbox{ et } [\tilde f] = XY](../pages_traiter/equations_analyse-tf/equation31.png)
.
![\left [\int \left| f (x) \right|^{2} \ {\mathrm{d}} x \right] \ =\ Y^2\ X \ =\ (YX)^2 \ X^{-1} \ =\ \left [\int \left| \tilde s (u) \right|^{2} {\mathrm{d}} u \right]](../pages_traiter/equations_analyse-tf/equation32.png)
.
et de fréquence 
, la définition donne :
grand devant 
, si 
est différent de 
, l'intégrale tend vers 0, alors que pour 
, on retrouve :
![\mathrm{TF} (f) (\nu_0) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T {a\over 2} [\exp 2i\pi \nu_0 t + \exp -2i\pi \nu_0 t]\ \exp 2i\pi \nu_0 t \ {\mathrm{d}} t \ ={1\over T}\ \int_0^T {a\over 2} \ {\mathrm{d}} t \ = {a\over 2}](../pages_traiter/equations_analyse-tf/equation44.png)
est également non nul,
la normalisation en 
par rapport à la définition de la TF usuelle permet de retrouver dans le spectre l'amplitude du signal sinusoïdal.
à 
.
, et en tenant compte des propriétés de la TF, on a :
fréquences réelles entre les fréquences nulle et 
.
Avec le changement de notation : 
, et en tenant compte de 
:
