Fusion nucléaire : Page pour l'impression

Image en rayon X du Soleil. Quelle source d'énergie interne explique la luminosité du Soleil ?

Crédit : NASA

Energie interne

Le Soleil présente un âge bien plus avancé que le temps de Kelvin-Helmholtz. Il possède une source d'énergie interne qui explique son rayonnement.

Réaction détaillée de la fusion de 4 H en 1 He.

Crédit : ASM

Bilan de la fusion de 4 H en 1 He.

Crédit : ASM

Chaine proton-proton

Différentes étapes conduisent à la fusion de 4 protons en un noyau d'hélium, ne faisant intervenir que des paires de réactifs à chaque étape élémentaire.

L'étape limitante de la réaction consiste en la fusion de 2 protons vers un noyau de deutérium, avec émission d'un positron, donc un bilan réduit $\mathrm{p}^{+} \to \mathrm{n} + \mathrm{e}^{+}$ . L'interaction faible mise en jeu induit un très faible taux de réaction.

Cycle CNO.

Crédit : ASM

Cycle CNO

A plus haute température (car les noyaux impliquées sont plus lourds, donc plus chargés), le cycle CNO peut s'avérer plus rapide que la chaîne proton-proton. Il est à l'oeuvre dans les étoiles massives. Les noyaux C, N et O participent au cycle, mais n'apparaissent pas dans le bilan final, qui reste la transformation de 4 protons en 1 noyau d'hélium.

Apprendre

Objectifs

Définir dans quelles conditions microphysiques la fusion de l'hydrogène va s'amorcer.

Montrer que la fusion nécessite une température élevée, de l'ordre de $10^7 {\,\mathrm{K}}$ .

Après la phase de contraction

L'examen des constantes de temps dynamiques et de Kelvin Helmholtz a montré que l'effondrement d'un nuage est relativement bref, et que la puissance rayonnée ne va pas durer éternellement.

Seules les régions internes les plus chaudes peuvent être le siège de la fusion de l'hydrogène. Leur volume est limité.

Crédit : ASM

Energie disponible

La réaction qui de 4 protons conduit à un noyau d'hélium présente un bilan de perte de masse de $0.007 m _{\mathrm{p}}$ par proton. L'énergie nucléaire disponible, par fusion de l'hydrogène, est donc de $0.007 m _{\mathrm{p}} c^2$ , soit 7 MeV, par nucléon, et a priori de 0.007 M c^2 pour toute l'étoile.

En fait, seule la région centrale de l'étoile, la plus chaude, permet la fusion. Dans le cas d'une étoile comme le Soleil, seule une masse $\simeq M/10$ est concernée.

Constante de temps nucléaire

La durée de vie à ce régime, pour une étoile comme le Soleil, est alors :

$t _{\mathrm{nucl}} = {E\over L}$

L'application numérique, avec la luminosité solaire mesurée aujourd'hui $(\simeq 3.8\ 10^{26} {\,\mathrm{W}})$ , le taux de conversion par nucléon et la masse concernée donne :

$t _{\mathrm{nucl}} \simeq 0.007\ {M/10\ c^2\over L} \simeq 10^{10} {\,\mathrm{ans}}$

Une réaction chimique, dégageant typiquement 1 eV par nucléon, soit 1 million de fois moins que la fusion de l'hydrogène, conduirait à une durée de vie de $10^4 {\,\mathrm{ans}}$ seulement.

L'estimation de 10 milliards d'année pour le Soleil est très proche de ce que donne une modélisation plus poussée. Actuellement, avec un âge de 4.56 milliards d'années, le Soleil est à mi-parcours sur la séquence principale.

L'effet tunnel permet à un couple de protons de se rencontrer et d'interagir via l'interaction nucléaire forte, en outrepassant la barrière électrostatique.

Crédit : ASM

Distribution maxwellienne de vitesse, valable pour un gaz parfait. Valeur la plus probable, valeur moyenne et largeur de la distribution se valent, pour une énergie cinétique égale à 3/2 kT.

Crédit : ASM

Interagir

Au sein d'une étoile, l'hydrogène est totalement ionisé : la matière se présente sous la forme d'un gaz de protons et d'électrons essentiellement. La réaction entre 2 protons nécessite leur rencontre à très courte distance, car l'interaction nucléaire forte n'a qu'une très courte portée, de l'ordre du femtomètre. Ceci nécessite de vaincre la répulsion électrostatique.

La barrière de potentiel pour une distance de 1 fm entre les 2 protons, peut se traduire en température : de l'ordre de $10^9 {\,\mathrm{K}}$ . Traduite en masse stellaire, ceci nécessiterait un minimum de 30 fois la masse du Soleil.

Deux phénomènes se conjuguent pour faciliter la fusion :

L'effet tunnel conduit à tromper les électrons sur la distance exacte qui les sépare. Il exprime l'incertitude de Heisenberg : les 2 protons fonçant l'un sur l'autre ne peuvent pas avoir une position très précisément définie.
La distribution de vitesse des protons est maxwellienne, donnée par la théorie cinétique du gaz parfait : si l'énergie cinétique moyenne est $3/2 k _{\mathrm{B}} T$ , une proportion non négligeable de protons est sensiblement plus rapide.

Ces points sont quantifiés en exercice.

Fusion de l'hydrogène

En pratique, la température limite de fusion de l'hydrogène est de l'ordre de 10 millions de Kelvin. Pour des températures plus faibles, seule la fusion du deutérium peut s'amorcer.

$T _{\mathrm{fusion,\ H}} \ \simeq \ 10^7 {\,\mathrm{K}}$

La fusion par le cycle pp domine lorsque la température n'excède pas $10^7 {\,\mathrm{K}}$ . Au delà de $2 \ 10^7 {\,\mathrm{K}}$ , le cycle CNO est prépondérant.

Fusion de noyaux lourds

Plus les noyaux sont lourds, plus leur fusion nécessite une température élevée. En fonction du nombre de charge de l'élément considéré :

$T _{\mathrm{fusion,\ Z}} \ \simeq \ Z^2\ T _{\mathrm{fusion,\ H}}$

S'exercer

Energie potentielle d'interaction proton-proton.

Crédit : ASM

Température de fusion

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Cet exercice a pour but de quantifier, dans un cadre classique, la température minimale qui doit régner au centre d'une étoile pour que s'amorcent les réactions nucléaires. Il se base sur la figure donnant le potentiel d'interaction entre 2 protons.

Question 1)

Mener un bilan d'énergie, pour déterminer l'énergie cinétique minimale conduisant à la fusion.

[1 points]

Question 2)

En déduire l'expression de la température minimale pour que la fusion puisse avoir lieu.

[2 points]

Question 3)

Faire l'application numérique. On donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI, et $r _{\mathrm{min}} = 1 {\,\mathrm{fm}} = 10^{-15} {\,\mathrm{m}}$ . Qu'en pensez-vous ?

[2 points]

Question 4)

Comment s'écrit cette température s'il s'agit de faire fusionner non pas 2 protons, mais 2 noyaux d'une élément de charge .

En déduire que la température de fusion des éléments lourds nécessite une température bien plus élevée que celle pour l'hydrogène.

[1 points]

Du rôle de l'effet tunnel et de la distribution des vitesses

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 60 min

Sans effet tunnel, la fusion de l'hydrogène nécessiterait des températures très élevées (et p.ex. non atteintes dans l'intérieur du Soleil). Cet exercice a pour but de décrire le rôle de l'effet tunnel dans le cadre d'un modèle très simplifié. On note la position d'un proton par rapport à un autre et la quantité de mouvement du proton incident. L'effet tunnel relie les incertitudes sur la position et la quantité de mouvement d'une particule par la relation :

$\Delta r \Delta p \sim \hbar$

Question 1)

Relier la distance minimale d'approche des 2 protons à la quantité de mouvement incidente, puis à la température du milieu.

[1 points]

Question 2)

Faire l'application numérique dans le cas d'une distance d'approche de 1 fm, nécessaire pour arriver à une interaction forte entre les protons.

[1 points]

Question 3)

Dans le problème étudié, la loi de distribution des vitesses permet de confondre et avec leurs incertitudes. On se place dans ce cadre là pour traiter cette question.

On suppose que le proton incident ne sait pas localiser l'autre proton, avec une incertitude dépendant de sa quantité de mouvement incidente précédemment calculée (notée simplement ).

Déterminer alors cette incertitude de position.

[3 points]

Question 4)

Faire l'application numérique (on donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI). En déduire que la température du milieu peut être plus basse pour aboutir à la fusion.

[2 points]

Question 5)

La distribution des quantités de mouvement assure qu'il existe une population avec des protons 3 fois plus rapide que la valeur moyenne. En déduire la température minimale pour la fusion.

[1 points]