S'exercer

Température de fusion

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Cet exercice a pour but de quantifier, dans un cadre classique, la température minimale qui doit régner au centre d'une étoile pour que s'amorcent les réactions nucléaires. Il se base sur la figure donnant le potentiel d'interaction entre 2 protons.

Question 1)

Mener un bilan d'énergie, pour déterminer l'énergie cinétique minimale conduisant à la fusion.

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Question 2)

En déduire l'expression de la température minimale pour que la fusion puisse avoir lieu.

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Question 3)

Faire l'application numérique. On donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI, et $r _{\mathrm{min}} = 1 {\,\mathrm{fm}} = 10^{-15} {\,\mathrm{m}}$ . Qu'en pensez-vous ?

Solution [2 points]

Question 4)

Comment s'écrit cette température s'il s'agit de faire fusionner non pas 2 protons, mais 2 noyaux d'une élément de charge .

En déduire que la température de fusion des éléments lourds nécessite une température bien plus élevée que celle pour l'hydrogène.

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Du rôle de l'effet tunnel et de la distribution des vitesses

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 60 min

Sans effet tunnel, la fusion de l'hydrogène nécessiterait des températures très élevées (et p.ex. non atteintes dans l'intérieur du Soleil). Cet exercice a pour but de décrire le rôle de l'effet tunnel dans le cadre d'un modèle très simplifié. On note la position d'un proton par rapport à un autre et la quantité de mouvement du proton incident. L'effet tunnel relie les incertitudes sur la position et la quantité de mouvement d'une particule par la relation :

$\Delta r \Delta p \sim \hbar$

Question 1)

Relier la distance minimale d'approche des 2 protons à la quantité de mouvement incidente, puis à la température du milieu.

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Question 2)

Faire l'application numérique dans le cas d'une distance d'approche de 1 fm, nécessaire pour arriver à une interaction forte entre les protons.

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Question 3)

Dans le problème étudié, la loi de distribution des vitesses permet de confondre et avec leurs incertitudes. On se place dans ce cadre là pour traiter cette question.

On suppose que le proton incident ne sait pas localiser l'autre proton, avec une incertitude dépendant de sa quantité de mouvement incidente précédemment calculée (notée simplement ).

Déterminer alors cette incertitude de position.

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Question 4)

Faire l'application numérique (on donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI). En déduire que la température du milieu peut être plus basse pour aboutir à la fusion.

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Question 5)

La distribution des quantités de mouvement assure qu'il existe une population avec des protons 3 fois plus rapide que la valeur moyenne. En déduire la température minimale pour la fusion.

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