Ex: Etoile à neutron

Auteurs: Marc Fouchard, Jérôme Thiébaut

Auteur: Jérôme Thiébaut

Etoile à neutron

Difficulté : ☆ Temps : 45 min

On assimile l'étoile à neutron à un gaz parfait de neutrons contenu dans une sphère. La densité d'états (ou fonction de distribution) de l'impulsion rho(p) est la suivante: $rho*(p) dp = frac(V;pi^2*planck^3)*p^2*dp$ , où V est le volume et planck la constante de Planck réduite.

Question 1)

On définit la densité de particule n: $n=frac(1;V)*intégrale(rho(p);p;0;p_f)$ où p_f est l'impulsion de Fermi, c'est à dire l'impulsion maximale. Exprimer n en fonction de p_f .

Solution

Question 2)

Exprimer l'impulsion de Fermi en fonction de la masse du neutron, m, celle de l'étoile, M, et du rayon de l'étoile, R.

Aide Solution

Question 3)

On définit la densité d'énergie, epsilon : $epsilon=frac(1;V)*intégrale(frac(p^2;2*m)*rho(p);p;0;p_f)$ . calculer epsilon en fonction de p_f .

Solution

Question 4)

L'énergie du gaz E vallant $frac(4;3)*pi*R^3*epsilon$ , l'exprimer en fonction de l'impulsion de Fermi puis en fonction des caractéristiques de l'étoile et de la masse du neutron.

Solution

Question 5)

L'énergie gravitationnelle de l'étoile est $E_g=-frac(3*G*M^2;5*R)$ , où G est la constante de gravitation. L'équilibre est atteint lorsque l'énergie totale (celle du gaz plus celle gravitationnelle) de l'étoile est minimum. Calculer le rayon R_étoile qui minimise l'énergie en fonction de la masse de l'étoile et des constantes m, G et planck . Calculer ce rayon pour le soleil.

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