Ex : loi de Wien

Auteurs: Marc Fouchard, Jérôme Thiébaut

Auteur: Marc Fouchard

Loi de Wien

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en Kelvin est aussi strictement positive, montrer que $E(\lambda)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Solution

Question 2)

Montrer que les limites de $E(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers 0 et vers $+ \infty$ sont toutes les deux égales à zéro. Ce résultat peut être admis ici.

Aide Solution

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour $E(\lambda)$ sur $\left\rbrack 0 ; +\infty \right \lbrack$ .

Solution

Question 4)

En effectuant le changement de variable $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ , montrer qu'étudier le signe de $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ revient à étudier celui de $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ .

Solution

Question 5)

En déduire une condition sur , de la forme f(u)=u , pour que $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Solution

Question 6)

On peut monter par le théorème du point fixe dans ${\mathbf R}$ que admet un point fixe et que la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers ce point fixe (voir Loi de Wien et théorème du point fixe). En prenant u_0=5 trouver une valeur $\tilde{u}_S$ qui soit une valeur approchée de u_S à $10^{-7}$ prêt.

Solution

Question 7)

En déduire la relation $\lambda_{\rm max}\cdot T =A$ où $c=299\,792\,458~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}$ , $h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s}$ et $k = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}$ . Cette relation correspond à la loi du déplacement de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de $\tilde{u}_S$ dans le calcul de la constante .

Solution