L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques
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- Algèbre

Ex: Filtrage de Wiener

Auteurs: Arnaud Beck, Jérôme Thiébaut
Auteur: Jérôme Thiébaut
calcotron

exerciceFiltrage de Wiener

Difficulté : ☆☆   Temps : 40mn

Question 1)

L'image reçue par le CCD est une collection de pixels que l'on rassemble sous la forme d'un vecteur Y. Ce vecteur resulte de l'image initiale, X, qui a été convoluée par le télescope auquel s'ajoute un vecteur bruit noté N. La convolution se modélise par l'application d'une matrice A sur le vecteur X. Ainsi on a: Y=AX+N. Dans l'espace de Fourier, cette relation s'ecrit: Y_k=A_k*X_k +N_kk=((k_x* k_y)) représente la fréquence spatiale en deux dimensions. Dans cet espace, la matrice A_k est diagonale de valeur propre lambda_k. Le spectre de puissance de l'image suit souvent une loi de puissance, c'est à dire <X_k^2> =C_0* k^(-alpha)et le bruit est souvent un bruit blanc c'est à dire qu'il à la même intensité quelquesoit la fréquence spatiale, <N_k^2> =C, où C et C_0sont des constantes. Montrer que l'inversion simple de cette relation (qui consiste à appliquer la matrice A^(-1)sur les données Y afin de retrouver X) conduit, au delà d'une certaine fréquence, à une amplification du bruit.

Galaxie spirale M100
im1.jpg
Image convoluée bruitée
im2.jpg

Solution

Question 2)

On cherche donc maintenant à déconvoluer l'image mais aussi à filtrer le bruit. Pour cela, on va chercher le filtre R à appliquer sur les données Y qui va minimiser l'écart quadratique moyen entre la vraie image X et l'image filtrée accent(X;~)=R*Y. On cherche donc à minimiser la quantité S=<(accent(X;~)-X)^2> par rapport à R. En postulant que le bruit et le signal sont décorrélés et que le bruit est non biaisé (pas d'erreur systématique), montrer que R=(A^T*C_N^(-1)*A+C_X^(-1))^(-1)*A^T*C_N^(-1) ,où C_X=<X^T*X> et C_N=<N^T*N>sont les matrices de variance-covariance du signal et du bruit.

AideSolution

Question 3)

Dans l'espace de Fourier, les matrices de variance-covariance sont diagonales également et se réduisent aux spectres de puissances. Montrer que le filtre de Wiener R_k inverse les basses fréquences et coupe les plus grandes où le bruit domine.

Image déconvoluée filtrée
im4.jpg

Solution

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