Obtention pragmatique de développements

Auteurs: Alain Vienne, S. Renner

Séries du problème des 2-corps
Ex : Séries du problème des 2-corps
Séries du problème des 2-corps (Lagrange)
Ex : Séries du problème des 2-corps (Lagrange)
Description épicyclique du mouvement keplerien
Ex: Description épicyclique du mouvement keplerien
Sphère d'influence
Ex: Sphère d'influence

Séries du problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

Souvent, lorsque l'on considère le problème des 2 corps et quand l'excentricité de l'orbite est petite, on a besoin de l'approximation suivante:

$V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$

$\frac{r}{a}=(1+\frac{e^2}{2})-e\cos M - \frac{e^2}{2} \cos 2M +O (e^3)$

et sont les coordonnées polaires du corps, étant compté à partir du péricentre (anomalie vraie). est le temps ou plus précisément c'est l'anomalie moyenne $M=\frac{2\pi}{T} (t-t_0)$ avec la période, le temps et t_0 l'instant de passage au péricentre. et sont respectivement le demi-grand axe et l'excentricité de l'orbite.

Dans l'exercice qui est proposé ci-après, on utilisera en plus des anomalies moyennes et vraies, l'anomalie excentrique. L'animation qui est donnée ici visualise leur évolution dans le cas d'une excentricité de 0,7.

Evolution des 3 anomalies (respectivement vraie, excentrique et moyenne)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou

Si l'existence des développements ci-dessus est admise, l'astronome s'autrorise alors une démarche pragmatique pour les obtenir. Sa démarche n'a pas la rigueur du mathématicien. Dans le cas présenté ici, elle n'a pas non plus une grande efficacité si on souhaite "pousser" le développement plus loin en ordre.Elle a le seul avantage de pouvoir "se tirer d'affaire" dans le cas qui le préoccupe.

Dans l'exercice qui est proposé, on utilisera au besoin le développement de Taylor, l'intégration d'un développement, la substitution de développements.

Exercices reliés

Pour la recherche de la solution du problème des 2-corps, on peut voir cet exercice. Il y aussi celui qui utilse le théorème de Lagrange. D'autres exercices sur le problème de 2 corps existent sur ce site. On en trouvera, entre autres, sur l'équation de Kepler et son inversion, sur les solutions géométriques du problème de 2 corps, sur le problème de 2 corps perturbé et sur l'excentricité limite dans les développements du problème de 2 corps.

Ex : Séries du problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

Séries du problème des 2-corps

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Introduction

Quand on intègre le problème des 2-corps, la loi des aires permet d'écrire:

$M=(1-e^2)^{3/2} \int_0^V \frac{dv}{(1+e \cos v)^2}$

Question 1)

On utilisant cette relation et en négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3 en excentricité, montrer que l'on a:

$M=V-2e \sin V +\frac{3}{4}e^2 \sin 2V + O(e^3)$

Question 2)

On sait que $\frac{r}{a} = 1 - e \cos E$ et $M=E-e\sin E$ ( est l'anomalie excentrique). En déduire le développement de $\frac{r}{a}$ en puissance de et en fonction de (limité à l'ordre 2)

Question 3)

A partir du développement obtenu à la première question, déduire celui qui donne en fonction de (limité à l'ordre 2 en ).

Remarque

Dans cette dernière question, le calcul est fait "en crabe", il faut donc veiller à la discussion sur l'ordre en excentricité. Plus généralement, tous ces calculs supposent l'existence des développements recherchés. Cette supposition et l'unicité ont permis d'éviter de se soucier des conditions d'application des théorèmes utilisés.

Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Auteur: S. Renner

Date de création: 10 avril 2013

Dans le problème des 2 corps, lorsque l'excentricité de l'orbite est petite, on peut écrire :

$V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ ,

où est l'angle entre la direction du péricentre et la position du corps sur son orbite (anomalie vraie), est le temps ou plus précisément l'anomalie moyenne $M=\frac{2\pi}{T} (t-t_0)$ , avec la période, le temps et t_0 l'instant de passage au péricentre.

L'animation donnée ci-après montre l'évolution des anomalies vraie et moyenne (et excentrique) dans le cas d'une excentricité e=0.7 .

Evolution des 3 anomalies (respectivement vraie, excentrique et moyenne)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou

Dans l'exercice proposé, on établit le développement ci-dessus à l'aide du théorème d'inversion de Lagrange.

Ex : Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Auteur: S. Renner

Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Introduction

Quand on intègre le problème des 2-corps, la loi des aires permet d'écrire:

$M=(1-e^2)^{3/2} \int_0^V \frac{dv}{(1+e \cos v)^2}$

Question 1)

On utilisant cette relation et en négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3 en excentricité, montrer que l'on a:

$M=V-2e \sin V +\frac{3}{4}e^2 \sin 2V + O(e^3)$

Question 2)

Utiliser le théorème d'inversion de Lagrange pour montrer que $V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ .

Description épicyclique du mouvement keplerien

Auteur: S. Renner

Date de création: 3 février 2010

Souvent en dynamique du système solaire, l'excentricité est très faible, et il est donc utile de considérer des approximations au premier ordre en excentricité, en particulier pour des systèmes vus dans des repères tournants. Cette approche est par exemple intéressante pour décrire la dynamique des anneaux planétaires, ou les effets de l'aplatissement d'une planète sur les orbites de satellites.

On propose ici un exercice qui porte sur la description du mouvement keplerien par des épicycles : le mouvement elliptique d'une particule P autour d'un foyer F est vu dans un repère centré sur un point G (le centre guide) en orbite circulaire uniforme autour de F (de rayon a égal au demi-grand axe de la particule, et de vitesse angulaire égale au moyen mouvement $n=2 \pi/T$ , où est la période orbitale de P).

L'exercice est largement inspiré du livre Solar System Dynamics (C.D. Murray & S.F. Dermott, 1999).

Ex: Description épicyclique du mouvement keplerien

Auteur: S. Renner

Description épicyclique du mouvement keplerien

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Introduction

Dans le problème à deux corps, on considère le mouvement d'une particule sur une ellipse de foyer et de demi-grand axe . On note le moyen mouvement de la particule, et son anomalie vraie.

Soit un point fictif tournant autour du foyer sur une orbite circulaire de rayon égal au demi-grand axe de , avec une vitesse angulaire égale au moyen mouvement de la particule. On note l'angle entre la ligne et la direction du péricentre de la particule (c'est donc l'anomalie moyenne de et on a n = dM/dt ).

Remarque

Les questions 5 à 8 correspondent exactement à la représentation de Ptolémée du mouvement du Soleil autour de la Terre : un mouvement circulaire de rayon R=a avec la Terre au foyer , et uniforme par rapport à (appelé l'équant). Le modèle de Ptolémée était donc du premier ordre en excentricité, et le triomphe de Kepler fut d'élaborer une théorie à l'ordre 2.

Question 1)

Ecrire les coordonnées x, y de dans le repère orthonormé ( $G$ , ${\bf \hat{x}}$ , ${\bf \hat{y}}$ ) tel que ${\bf \hat{x}}={\bf FG}/a$ .

Question 2)

A partir de la loi des aires, montrer que: $\displaystyle dM= \frac{(1-e^2)^{3/2}}{(1+e \cos f)^2} df$ .

Question 3)

Ainsi en intégrant on obtient: $\displaystyle M= (1-e^2)^{3/2} \int_0^{f} \frac{du}{(1+e \cos u)^2}$ . Montrer à l'aide de cette relation que $\displaystyle f-M \simeq 2 e \sin M + O(e^2)$ .

Question 4)

En déduire que par rapport à , la particule suit une orbite elliptique de demi-grand axe 2ae et de demi-petit axe . Dans quel sens s'effectue ce mouvement et avec quelle période?

Question 5)

Soit la distance entre et le centre de l'ellipse. Montrer que $\displaystyle R \simeq a (1 - \frac{1}{2} e^2 \sin ^2 M)$ .

Question 6)

Montrer qu'au premier ordre en excentricité, la trajectoire de est alors un cercle centré sur , et que l'angle $\widehat{POF}$ est confondu avec l'anomalie excentrique .

Question 7)

On note l'angle $\widehat{FF'P}$ , où est le second foyer (vide) de l'ellipse. Ecrire $\cos g$ et en déduire que $cos g \simeq \cos M + O(e^2)$ . On rappelle que FP+F'P=2a , et on utilisera le développement: $r/a \simeq 1 - e \cos M + (e^2/2)(1 \cos 2 M)$ (voir cet exercice).

Question 8)

Ainsi, le mouvement de la particule , vu du foyer , est uniforme avec une vitesse angulaire égale au moyen mouvement . Que peut-on dire des droites F'P et ?

Sphère d'influence

Auteur: S. Renner et A. Vienne

Date de création: 3 mars 2010

Nous allons définir la notion de sphère d'influence en s'intéressant au problème à trois corps Soleil + Jupiter + satellite, de masses respectives M>>m>>m' (qui constitue ce que l'on appelle un problème de Kepler perturbé).

Ex: Sphère d'influence

Auteurs: S. Renner, A. Vienne

Sphère d'influence

Difficulté : ☆☆ Temps : 3h

Introduction

On considère le système gravitationnel formé du Soleil $S$ de masse $M_\odot \equiv 1$ , de Jupiter de masse $m$ petite devant 1 ( m=1/1047 ) et d'un troisième corps de masse $m_{A}$ petite devant $m$ (par exemple un astéroïde ou une sonde spatiale). On note la constante de gravitation universelle, $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{SJ}$ , $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{SA}$ , et $\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{r}$ .

Question 1)

Ecrire les équations du mouvement héliocentrique de (c'est-à-dire de $\overrightarrow{r}$ ).

Question 2)

Quelle est la nature du mouvement de si la quantité $m_{A}$ est négligeable?

Question 3)

On suppose désormais que le mouvement de est circulaire (c'est-à-dire que m_A est négligeable et que est constant). Montrer que l'équation du mouvement héliocentrique de (c'est-à-dire de $\overrightarrow{p}$ ) est $\frac{d^{2}\overrightarrow{p}}{dt^{2}}=\overrightarrow{A_{0}} + \overrightarrow{A_{1}} \textrm{, avec } \overrightarrow{A_{0}}=-K\frac{\overrightarrow{p}}{p^{3}} \textrm{ et } \overrightarrow{A_{1}}=-Km \Big{(} \frac{\overrightarrow{\Delta}}{\Delta^{3}}+ \frac{\overrightarrow{r}}{r^3} \Big{)}$ .

Question 4)

Montrer que l'équation du mouvement jovicentique de (c'est-à-dire de $\overrightarrow{\Delta}$ ) est $\frac{d^{2}\overrightarrow{\Delta}}{dt^{2}}= \overrightarrow{B_{0}}+ \overrightarrow{B_{1}} \textrm{, avec } \overrightarrow{B_{0}}=-Km\frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta^{3}} \textrm{ et } \overrightarrow{B_{1}}=-K \Big{(} \frac{\overrightarrow{p}}{p^{3}}-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3} \Big{)}$ .

Question 5)

Dans la suite, on cherche à étudier la surface $(S)$ définie par $\frac{\left\Vert \overrightarrow{A_{1}}\right\Vert } {\left\Vert \overrightarrow{A_{0}}\right\Vert } =\frac{\left\Vert \overrightarrow{B_{1}}\right\Vert } {\left\Vert \overrightarrow{B_{0}}\right\Vert }$ . On va voir notamment qu'elle a presque la forme d'une sphère, appelée sphère d'influence de Jupiter. Justifier cette appellation en expliquant ce qui se passe pour le mouvement de lorsque celui-ci est respectivement très à l'intérieur ou très à l'extérieur de cette sphère.

Question 6)

On pose $\displaystyle u=\frac{\Delta}{r}$ et $\varphi=\textrm{angle}(\overrightarrow{JS},\overrightarrow{JA})$ . Montrer que l'on a $A_{1}=\frac{Km}{\Delta^{2}}\sqrt{1-2u^{2}\cos\varphi+u^{4}}$ .

Question 7)

Montrer que l'on a $B_{1}=\frac{K}{r^{2}}\sqrt{1+\Big{(}\frac{r}{p}\Big{)}^{4}-2\Big{(} \frac{r}{p}\Big{)}^{3} \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^{2}}}$ .

Question 8)

En exprimant $\displaystyle \Big{(} \frac{p}{r} \Big{)}^{2}$ et $\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^{2}}$ en fonction de $\varphi$ et , montrer que $B_{1}=\frac{K}{r^{2}}\frac{\sqrt{1+(1-2u\cos\varphi+u^{2})^{2} -2(1-u\cos\varphi)\sqrt{1-2u\cos\varphi+u^{2}}}}{1-2u\cos\varphi+u^{2}}$ .

Question 9)

En déduire que l'équation de la surface (S) peut s'écrire $m^{2}=f(u,\varphi)$ , et donner l'expression de $f(u,\varphi)$ .

Question 10)

Puisque est petit devant 1, on peut considérer que, sur la surface (S) , est également petit. Montrer que le développement de $f(u,\varphi)$ suivant les puissances de , limité à son terme de plus bas degré vaut $\displaystyle u^{5}\sqrt{1+3\cos^2\varphi}$ . Justifier alors le mot sphère dans l'expression sphère d'influence qui désigne la surface (S) .

Question 11)

Calculer le rayon de la sphère d'influence de Jupiter sachant que $r=5.2$ UA.

Réponses aux exercices

pages_develop-appli/exo-series-2corps.html

Exercice ' Séries du problème des 2-corps'

Question 1
Aide :
Développer d'abord $\frac{1}{(1+e \cos v)^2}$ et intégrer le développement obtenu. Mutiplier enfin par celui de $(1-e^2)^{3/2}$ . Dans ces calculs, on prend soin de se limiter à l'ordre 2.
Question 2
Aide :
Utiliser le développement de Taylor de $\cos x$ en au voisinage de , c'est-à-dire, écrire: $\cos E = \cos (M+(E-M))$ .

Aide :
Le développement de $\cos E$ n'est utile que jusque l'ordre 1 !

Aide :
Ne pas oublier de linéariser $\sin ^2 M$ .

Solution :
$\frac{r}{a}=(1+\frac{e^2}{2})-e\cos M - \frac{e^2}{2} \cos 2M +O (e^3)$
Question 3
Aide :
Faire d'abord l'ordre 0 puis l'ordre 1 et enfin l'ordre 2.

Aide :
A l'ordre 0:

Aide :
A l'ordre 1, il suffit d'avoir $\sin V$ à l'ordre 0 (obtenu précédemment).

Aide :
A l'ordre 2, il suffit d'avoir $\sin V$ à l'ordre 1 et $\sin 2V$ à l'ordre 0 (obtenus précédemment).

Aide :
L'ordre 1 pour $\sin V$ est obtenu de la manière suivante: $\sin V \approx \sin (M+2e\sin V) \approx \sin M + 2e \sin V \cos M \approx \sin M + 2e \sin M \cos M = \sin M + e \sin 2M$ . Attention à la discussion sur l'ordre à chaque étape du calcul.

Solution :
$V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$

pages_develop-appli/exo-series-2corps-lagrange.html

Exercice ' Séries du problème des 2-corps (Lagrange)'

Question 1
Aide :
Développer d'abord $\frac{1}{(1+e \cos v)^2}$ et intégrer le développement obtenu. Mutiplier enfin par celui de $(1-e^2)^{3/2}$ . Dans ces calculs, on prend soin de se limiter à l'ordre 2.
Question 2
Solution :
D'après la question précédente, on a donc : $V=M + e ( 2 \sin V - \frac{3}{4}e \sin 2V + ...)$ .

Le théorème d'inversion de Lagrange permet d'écrire : $V = M + \Sigma_{j=1}^\infty \frac{e^j}{j!} \frac{d^{j-1}}{dM^{j-1}} \Big{[} 2 \sin M - \frac{3}{4} e \sin 2M + ... \Big{]}^j$ .

On obtient ainsi $V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ en développant la formule ci-dessus au second ordre.

pages_develop-appli/exo-epicycle-kepler.html

Exercice 'Description épicyclique du mouvement keplerien'

Question 1
Solution :
$x=r \cos (f-M) -a$ , $y=r \sin (f-M)$
Question 2
Solution :
On lira tout d'abord l'énoncé de cet exercice.

Loi des aires : , avec $h= n a^2 \sqrt{1 - e^2}$ .

D'autre part: $r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos f}$ .

Pour trouver l'expression demandée, on développe donc $dM = \frac{n r^2}{h} df$ .
Question 3
Solution :
La réponse est donnée dans cet exercice.
Question 4
Solution :
Ainsi $x \simeq - ae \cos M$ , $y \simeq 2ae \sin M$ et $\frac{x^2}{(ae)^2} + \frac{y^2}{(2ae)^2} \simeq 1$ .

Lorsque est en orbite circulaire autour de , est en orbite autour de dans le sens opposé. La période est la même $T=2 \pi / n$ .
Question 5
Solution :
$R^2 = r^2 + (ae)^2 + 2 aer \cos f$ donc $R \simeq a ( 1 - \frac{1}{2}e^2 \sin^2 f) \simeq a ( 1 - \frac{1}{2}e^2 \sin^2 M)$ .
Question 6
Solution :
A l'ordre , la trajectoire de est ainsi un cercle de centre et l'angle $\widehat{POF}=E$ anomalie excentrique.
Question 7
Solution :
$r^2 = (2a-r)^2 + 4 (ae)^2 - 4 ae (2a-r) \cos g$

Donc $\cos g = \frac{1 - r/a + e^2}{e(1-r/a)+e}$ .

D'après le développement de , $\cos g \simeq \cos M - \frac{1}{8} e^2 (\cos M - \cos 3M) + O(e^3)$ .

Donc $\cos g \simeq \cos M + O(e^2)$ et $g \simeq M$ à l'ordre .
Question 8
Solution :
Elles sont parallèles.

pages_develop-appli/exo-sphere-influence.html

Exercice 'Sphère d'influence'

Question 1
Solution :
Si O est l'origine d'un repère galiléen on a, avec $M_\odot \equiv 1$ : $\frac{d^2 \overrightarrow{OS}}{dt^2} = - K m \frac{ \overrightarrow{JS}}{JS^3} - K m_A \frac{ \overrightarrow{AS}}{AS^3} = K m \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + K m_A \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3}$ .

De même : $m \frac{d^2 \overrightarrow{OJ}}{dt^2} = - K m \frac{ \overrightarrow{SJ}}{SJ^3} - K m m_A \frac{ \overrightarrow{AJ}}{AJ^3} = - K m \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + K m m_A \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3}$ et $m_A \frac{d^2 \overrightarrow{OA}}{dt^2} = - K m_A \frac{\overrightarrow{SC}}{SC^3} - K m m_A \frac{\overrightarrow{JA}}{JA^3} = - K m_A \frac{\overrightarrow{p}}{p^3} - K m m_A \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3}$ .

Donc $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = \frac{d^2 \overrightarrow{SJ}}{dt^2} = \frac{d^2 \overrightarrow{OJ}}{dt^2} - \frac{d^2 \overrightarrow{OS}}{dt^2} = - K (m+1) \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} - K m_A \Big{(} \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} \Big{)}$ .
Question 2
Solution :
L'équation devient : $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = - K (m+1) \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3}$ . C'est le problème de Kepler et le mouvement de est une conique de foyer parcourue selon la loi des aires.
Question 3
Solution :
$\frac{d^2 \overrightarrow{p}}{dt^2} = - K (m_A+1) \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - K m \Big{(} \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} \Big{)}$ et donc $\frac{d^2 \overrightarrow{p}}{dt^2} = - K \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - K m \Big{(} \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} \Big{)}$
Question 4
Solution :
De même on trouve $\frac{d^2 \overrightarrow{\Delta}}{dt^2} = - K m \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} - K \Big{(} \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} \Big{)}$ .
Question 5
Solution :
Voir ce cours de mécanique céleste page 327.
Question 6
Solution :
$\left\Vert \overrightarrow{A_{1}}\right\Vert = Km \left\Vert \frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta^{3}} + \frac{\overrightarrow{r}} {r^{3}} \right\Vert = \frac{Km}{\Delta^2} \sqrt{\Big{(} \frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta} + \frac{u^2\overrightarrow{r}} {r} \Big{)}.\Big{(} \frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta} + \frac{u^2\overrightarrow{r}} {r} \Big{)} }$
Question 7
Solution :
$\left\Vert \overrightarrow{B_{1}}\right\Vert = K \left\Vert \frac{\overrightarrow{p}}{p^{3}} - \frac{\overrightarrow{r}} {r^{3}} \right\Vert = \frac{K}{r^2} \left\Vert \frac{r^2}{p^2} \frac{\overrightarrow{p}}{p} - \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right\Vert = \frac{K}{r^2} \sqrt{\frac{r^4}{p^4} - 2 \frac{r^3}{p^3} \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^2} +1}$
Question 8
Solution :
La relation se déduit de $\displaystyle \Big{(} \frac{p}{r} \Big{)}^{2} = \Big{(} \frac{\overrightarrow{r}+\overrightarrow{\Delta}}{r} \Big{)}^2 = 1 - 2u \cos \phi + u^2$ et $\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^{2}} = \frac{\overrightarrow{r}.(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{\Delta})}{r^2}=1 - u \cos \phi$ .
Question 9
Solution :
$m^2 = u^4 \frac{\sqrt{1 + (1 - 2u \cos \phi + u^2)^2 - 2(1-u\cos \phi) (1 - 2u\cos \phi + u^2)^{1/2} }}{(1 - 2u \cos \phi + u^2)^2 (1 - 2u^2 \cos \phi + u^4)^{1/2}} = f(u,\phi)$
Question 10
Solution :
On pose $\frac{f(u,\phi)}{u^4}=\frac{N(u,\phi)}{D(u,\phi)}$ . On remarque que $N(0,\phi)=0$ et $D(0,\phi)=1$ . Donc en développant $N^2(u,\phi)$ jusqu'au terme , on obtient $N^2(u,\phi) \simeq u^2 (1 + 3 \cos^2 \phi )$ .
Question 11
Solution :
, $0.054 \leq u \leq 0.062$ , $0.28 \leq \Delta \leq 0.32$ UA.