Loi de Poisson

De nombreux processus physiques correspondent à une situation où l'on compte des événements aléatoires indépendants. C'est par exemple le cas des désintégrations radioactives ou de l'émission de lumière par une source, de façon générale toute situation où l'événement se produit avec une probabilité constante par unité de temps. On veut connaître précisément la loi du phénomène pour calculer les fluctuations associées et les minimiser.

La loi de Poisson est ainsi utilisée pour rendre compte de phénomènes aléatoires qui vérifient les deux propriétés suivantes :

• Les occurrences du phénomène sont indépendantes.
• La probabilité d'apparition du phénomène dans un intervalle de temps ne dépend que de la durée de cet intervalle.

Un événement se produisant en moyenne avec une fréquence , on note P(k) la densité de probabilité pour qu'il se produise k fois durant le temps t (avec k ≥ 0). La loi de Poisson de paramètre donne :

où k! est la factorielle.

L'appliquette ci-dessous illustre la loi de Poisson : elle trace les valeurs obtenues au cours d'un certain nombre de tirages, pour une valeur de donnée.