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ex: Chemin optique d'un photon dans le Soleil |
Chemin optique d'un photon dans le SoleilDifficulté : ☆ Temps : 45 min
On considère une particule se déplaçant en trois dimensions de façon aléatoire par pas de longueur d. Ecrire sa position en coordonnées sphériques après le premier pas. La distance d est appelée libre parcours moyen.
Ecrire les coordonnées après N pas en fonction des directions successives. Quelle est la distance au point de départ ?
Simplifier cette expression, sachant que les directions successives sont aléatoires et indépendantes.
On donne la densité 
et le coefficient d'absorption massique 
, qu'on suppose uniformes au premier ordre. Calculer le libre parcours moyen.
Connaissant le rayon du Soleil 
, combien de diffusions un photon produit au centre du Soleil subit-il en moyenne avant d'arriver en surface ? Quelle est la longueur du trajet réellement parcouru dans le Soleil ? Combien de temps faut-il au photon pour effectuer le trajet ?
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![r^2 = x^2+ y^2 + z^2 = d^2 \biggl[(\sum_{i=1}^{N}cos \phi_{i} \; sin \theta_{i})^2+ (\sum_{i=1}^{N}sin \phi_{i} \; sin \theta_{i})^2 + (\sum_{i=1}^{N} \; cos \theta_{i})^2) \biggl]](../pages_proba/equations_proba/equation50.png)
et 
étant aléatoires et indépendantes, le second terme s'annule en moyenne. On a donc :
![r^2 = d^2 \biggl[\sum_{i=1}^{N}cos^2 \phi_{i} \; sin^2 \theta_{i} + \sum_{i=1}^{N}sin^2 \phi_{i} \; sin^2 \theta_{i} + \sum_{i=1}^{N} \; cos^2 \theta_{i}) \biggl]](../pages_proba/equations_proba/equation58.png)
soit
![r^2 = d^2 \sum_{i=1}^{N}[(cos^2 \phi_{i}+sin^2 \phi_{i}) \; sin^2 \theta_{i} + \; cos^2 \theta_{i}]](../pages_proba/equations_proba/equation59.png)
ou encore
, soit 
années-lumière.
m/s. Le trajet prend donc un temps 
an, près d'un million d'années — à comparer aux 8 minutes requises pour pourcourir la distance Soleil-Terre dans le vide.