Ex: relations de Kramers-Kronig

Auteurs: Alain Vienne, Stéphane Erard

Auteur: Stéphane Erard

Relations de Kramers-Kronig

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

Les équations de Maxwell dans un milieu matériel font intervenir un vecteur induction électrique défini comme :

$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$

où $\vec{E}$ est le champ électrique appliqué, $\vec{P}$ la polarisation électrique du milieu (qui décrit la réaction du milieu à l'application du champ électrique externe) et $\epsilon_0$ une constante physique appelée permittivité du vide.

Les propriétés du milieu lui-même sont décrites par un certain type de relation entre le champ électrique et la polarisation. Dans un grand nombre de cas (milieu isotrope, champ faible...) cette relation peut s'écrire :

$\vec{P} = \epsilon_0 \chi_{e} \vec{E}$

où $\chi_{e}$ (la susceptibilité électrique) est a priori un tenseur d'ordre 2 dépendant du temps et de la position.

La solution des équations de Maxwell dans le milieu met en évidence l'indice de réfraction complexe de ce milieu :

$\eta(\omega) = \sqrt{1 + \chi(\omega)}$

où $\chi(\omega)$ est la représentation en fréquence de $\chi_e(t)$ , c'est-à-dire sa transformée de Fourier.

Question 1)

On considère un milieu linéaire, tel que :

$\vec{P}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(t, t') \vec{E}(t') dt'$

Que représente la fonction G ?

Aide Solution

Question 2)

Déduire en utilisant le théorème de convolution une relation entre les représentations en fréquence du champ électrique et de la polarisation, puis entre G et $\chi(\omega)$ .

Solution

Question 3)

En supposant constantes les propriétés du milieu, comment peut-on simplifier la fonction G ?

Aide Aide Solution

Question 4)

On considère la fonction $\frac{\chi(\tilde{\omega}) }{(\tilde{\omega} - \omega)$ de la variable complexe $\tilde{\omega}$ , où $\omega$ est réel. Montrer qu'elle est analytique dans la partie supérieure du plan complexe.