astronomie pour DEA
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Integrateur Numerique   (1/7)

Rappels de cours

On s'intéresse aux méthodes à un pas, définies par la relation de récurrence y_(n+1) = y_n + h*Phi(x_n , *y_n ;  h) pour une certaine fonction Phi.

Définition

La méthode définie par la récurrence est dite d'ordre p si pour toute équation différentielle y' = f(x,y) avec la condition initiale y(a) = eta intégrable, dont la solution est y(x)   figures/isin.png   C^1*[a,b], on a y(x+h) - y(x) - h * Phi(x,y(x) ; h) = thetasym*((h^(p+1)))

Pour augmenter l'ordre, on peut utiliser la méthode de Taylor : dans l'équation y' = f(x,y), on considère que f est différentiable jusqu'à l'ordre p. On peut alors écrire y(x+h) = y(x) + h y'(x) + (h^2/2) *y''(x)+...+(h^(p-1)/(p-1)! ) * (y^(p-1)*((x)))+ ((h^p)/(p!) )* (y^((p))*((x))+thetasym*((h^(p+1))) )
Lorsque l'on prend Phi(x,y;h) = f(x,y(x))+(h/2)*(  f'(x,y(x))  )   + ... +  h^( (p-1) ) / (p!) )  *   f^((p-1))*((x,y(x)) (1)
  • f'=f_x+f_y *f
  • f''=f_(xx) + f_(xy) * f +( f_(yx) + f_(yy) * f ) * f + f_y * (f_x+f_y *f)
  • ...
On obtient une méthode d'ordre p.

Le gros inconvénient de cette méthode, c'est qu'elle exige de calculer des dérivées successives de f(x,y(x)) à chaque itération.

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