Principe de la méthode de Runge-Kutta (RK2)

Les méthodes à deux étages (E=2)

En partant de l'équation (2), on trouve
Phi(x,y;h)=gamma_1 * f(x,y)+gamma_2 * f(x+alpha_1*h,y+beta_(1,1)*k_1*h)

,
en utilisant le développement de Taylor sur le second terme, on obtient
Phi(x,y ; h) = gamma_1 * f(x,y) + gamma_2 * ( f(x,y)+alpha_1*h*f_x*((x,y)) + beta_(1,1)*h* f(x,y) *f_y*((x,y)) + thetasym*((h^2)) )

finalement en regroupant les termes, on a
Phi(x,y;h) = (gamma_1 + gamma_2) * f(x,y)+h * gamma_2 * ( alpha_1*f_x + beta_(1,1)*f*f_y ) + thetasym*((h^2))

Pour que la méthode soit d'ordre 2, on fait l'analogie avec l'équation (1) et on trouve que :

on obtient le système suivant
système(gamma_1 + gamma_2 = 1 ; alpha_1 *gamma_2 =1/2 ; beta_(1,1) *gamma_2 =1/2)

(3)
Ce système à deux caractéristiques importantes propres à toutes les méthodes de Runge-Kutta :

ce sont des équations non linéaires,
le système est sous-déterminés (plus d'inconnues que d'équations) et admet donc une infinité de solutions.

Retournons à présent au système (3), il s'agit de résoudre 3 équations à 4 inconnues, il y a donc une infinité simple (4-3=1) de solutions.
On en conclut qu'il y a une infinité de formules de Runge-Kutta à 2 étages et elles sont toutes d'ordre 2.

Exemple

Méthode de Heun

Si on regarde notre système (3), cette méthode correspond au cas où gamma_2 = 1/2

et donc,

. Cette méthode se formule comme suit :
y_(n+1) = y_n +(h/2) * ( f(x_n,*y_n) + f(x_n+h,y_n *n+hf(x_n,*y_n)) )

Point de vue géométrique

On veut connaître y_(n+1)

connaissant ((x_n,*y_n))

On considère la pente en , c'est-à-dire la tangente. On la prolonge pour avoir la valeur en . Ceci correspond à la méthode d'Euler.
On considère ensuite la pente en . On prend la parallèle de cette pente passant par . On la prolonge pour obtenir la valeur en .
La méthode de Heun correspond à la moyenne de ces deux pentes. On prend le nouveau point comme l'image de sur la droite obtenue.