astronomie pour DEA
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Liste des chapitres

Integrateur Numerique   (4/7)

Principe de la méthode de Runge-Kutta (RK2)

Les méthodes à deux étages (E=2)

En partant de l'équation (2), on trouve
Phi(x,y;h)=gamma_1 * f(x,y)+gamma_2 * f(x+alpha_1*h,y+beta_(1,1)*k_1*h),
en utilisant le développement de Taylor sur le second terme, on obtient
Phi(x,y ; h) = gamma_1 * f(x,y) + gamma_2 * (     f(x,y)+alpha_1*h*f_x*((x,y))  +  beta_(1,1)*h* f(x,y) *f_y*((x,y)) + thetasym*((h^2))      )
finalement en regroupant les termes, on a
Phi(x,y;h) = (gamma_1 + gamma_2) * f(x,y)+h * gamma_2 * (   alpha_1*f_x + beta_(1,1)*f*f_y   ) + thetasym*((h^2))
Pour que la méthode soit d'ordre 2, on fait l'analogie avec l'équation (1) et on trouve que :
  • gamma_1 + gamma_2 = 1
  • gamma_2 * (   alpha_1* f_x + beta_(1,1)*f*f_y   ) = (1/2)*(f_x + f_y *f)
on obtient le système suivant
système(gamma_1 + gamma_2 = 1 ; alpha_1 *gamma_2 =1/2 ; beta_(1,1) *gamma_2 =1/2) (3)
Ce système à deux caractéristiques importantes propres à toutes les méthodes de Runge-Kutta :
  • ce sont des équations non linéaires,
  • le système est sous-déterminés (plus d'inconnues que d'équations) et admet donc une infinité de solutions.
Retournons à présent au système (3), il s'agit de résoudre 3 équations à 4 inconnues, il y a donc une infinité simple (4-3=1) de solutions.
On en conclut qu'il y a une infinité de formules de Runge-Kutta à 2 étages et elles sont toutes d'ordre 2.

Exemple

Méthode de Heun
Si on regarde notre système (3), cette méthode correspond au cas où gamma_2 = 1/2 et donc, gamma_1 = 1/2, alpha_1=1 et beta_(1,1)=1. Cette méthode se formule comme suit :
y_(n+1) = y_n +(h/2) * (     f(x_n,*y_n) + f(x_n+h,y_n *n+hf(x_n,*y_n))     )

Point de vue géométrique

On veut connaître y_(n+1)en x_(n+1)=x_n+h connaissant ((x_n,*y_n)) et f(x,y)=y'.
  1. On considère la pente en x_n, c'est-à-dire la tangente. On la prolonge pour avoir la valeur en x_(n+1). Ceci correspond à la méthode d'Euler.
  2. On considère ensuite la pente en x_(n+1). On prend la parallèle de cette pente passant par ((x_n,*y_n)). On la prolonge pour obtenir la valeur en x_(n+1).
  3. La méthode de Heun correspond à la moyenne de ces deux pentes. On prend le nouveau point y_(n+1) comme l'image de x_(n+1) sur la droite obtenue.
figures/euler2.png

Méthode de la tangente améliorée
A nouveau, en regard avec notre système (3), cette méthode correspond au cas où gamma_2 = 1 et donc, gamma_1 = 0, alpha_1=1/2 et beta_(1,1)=1/2. Cette méthode se formule de la façon suivante :
y_(n+1)=y_n + h f(h/2 +x_n*,y_n+(h/2)*f(x_n,*y_n) )


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