Méthode à pas variable (Runge-Kutta 4)
Méthode à pas variable (Runge-Kutta 4)
La figure suivante nous montre l'intérêt du pas variable.
Idée : faire les calculs deux fois :
- on calcul une première fois
(noté 
) à partir de 
par une méthode de Runge-Kutta 4 (RK4).
- on recommence avec un pas
en faisant deux fois le calcul : on calcul 
par RK4 à partir de 
; puis, par RK4 on calcule 
(noté 
) à partir de 
sera donc plus précis.
-
Si le pas
est trop grand, c'est à dire que 
est fort différent de 
: 
Alors, on diminue le pas et on recommence cette étape.
-
Si le pas
est adapté, c'est à dire 
Alors, on passe à l'étape suivante et la prochaine fois, le pas sera augmenté.
C'est de cette façon que se fait l'adaptation du pas.
Nous allons maintenant donner et démontrer l'équation pour l'adaptation du pas :
où
-
est le nouveau pas,
-
est le pas précédemment calculé,
-
est l'erreur en objectif,
-
est l'erreur réalisée.
-
Démonstration
-
Écrivons l'équation de RK4 :
que nous écrivons : 
où 
ne varie pas beaucoup.
L'erreur réalisée est 
et l'erreur objectif est 
.
En combinant les deux équations précédentes, nous obtenons : 
.
Pour se garder une marge d'erreur, nous multiplions ce résultat par 0.9.
Introduction