Planètes extrasolaires

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction
Historique
- Apprendre
Caractéristiques
- Observer
Détection des planètes extrasolaires par la méthode des vitesses radiales
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
Courbes de vitesses radiales
- Observer
Limitations de la méthode des vitesses radiales
- Apprendre
- S'évaluer
Méthode de détection par transit
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
Limitations de la méthode par transit
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
Détection par mesure astrométrique
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
Performance de détection
- Observer
- Apprendre
- S'évaluer
Conclusion

Introduction

La découverte d'exoplanètes, planètes orbitant autour d'une étoile autre que le Soleil, a constitué l'un des principaux événements astronomiques de la fin du XXe siècle. Cette section aborde la quête des exoplanètes sous deux angles : les propriétés de ces exoplanètes, et les techniques instrumentales utilisées pour les détecter et les étudier.

Courbe de vitesse radiale de 51 Peg A

Mesure de vitesse radiale de l'étoile 51Peg, première exoplanète découverte autour d'une étoile de type solaire, en 1995, à l'Observatoire de Haute Provence par les astrophysiciens suisses Michel Mayor et Didier Queloz.

Crédit : Butler & Marcy

Historique

Apprendre

Prérequis

Effet Doppler, mécanique du point.

Objectifs

Ces pages présentent une grande découverte des années 90, les planètes extrasolaires, et décrivent :

les principales caractéristiques de ces objets ;
les différentes techniques mises au point afin de détecter la présence de planète(s) autour d'étoiles de type solaire, proche de la Terre.

Ces méthodes sont basées sur l'observation des perturbations produites sur le mouvement de l'étoile par ses compagnons planétaires, ou sur la baisse du flux stellaire occulté par un compagnon. C'est à partir de ces perturbations que l'on est capable d'obtenir certaines des caractéristiques de la planète.

Les premières tentatives

Les tentatives de détection de compagnons planétaires ont été nombreuses... dès le début du XXe siècle, par astrométrie, et non moins nombreuses furent les tentatives infructueuses. Une planète est par essence très peu massive par rapport à son étoile, et excessivement moins lumineuse...

Diverses détections ont été annoncées en 1988 puis démenties. Certaines ont été confirmées depuis (autour de $\gamma$ Ceph, $\varepsilon$ Eri)... En 1989, Latham et ses collègues identifièrent un compagnon d'environ dix fois la masse de Jupiter, autour de HD 114762. Mais ces auteurs évoquèrent alors la détection d'une naine brune et non d'une planète.

En 1992, trois planètes furent détectées sans ambiguïté par Wolszczan & Frail, autour du pulsar PSR 1257+12. Mais l'environnement d'un pulsar ne laisse guère espérer que des planètes brûlées par l'évolution de leur étoile.

Evolution du nombre d'exoplanètes détectées par année.

Crédit : Les exoplanètes

Autour de 51 Peg

En 1995, on retient la découverte de la première planète extrasolaire autour d'une étoile semblable à notre Soleil, par Michel Mayor et Didier Queloz, de l'Observatoire de Genève. Elle fut détectée à l'Observatoire de Haute-Provence, et immédiatement confirmée par Geoff Marcy et Paul Butler, des Universités de San Francisco et Berkeley, qui eux l'avaient observée à l'Observatoire Lick en Californie.

Ces mesures ont vraiment lancé l'un des grands sujets de l'astrophysique actuelle : la quête des exoplanètes. Depuis, plusieurs milliers de planètes ont été recensées. Ce nombre est en constante augmentation, les projets de recherche se multipliant, si bien que tenir un décompte précis est impossible.

La découverte de ces planètes apporte aux astrophysiciens des données permettant de mieux comprendre la formation des systèmes planétaires, avec d'autres exemples que notre système solaire.

Que voit-on ?

Plusieurs dizaines de planètes ont été vues directement, mais la plupart des découvertes sont basées sur des détections indirectes, soit la détection de l'influence gravitationnelle de la planète sur l'étoile soit la baisse de luminosité de l'étoile due au passage de la planète sur sa ligne de visée.

Méthodes de détection

A ce jour (2018), cinq méthodes ont permis de découvrir ou redécouvrir l'essentiel des exoplanètes :

Vitesse radiale de l'étoile hôte perturbée par la planète
Transit de la planète devant son étoile
Transit secondaire de la planète derrière son étoile
Variation de l'instant de transit
Effet de microlentille
Chronométrage (autour d'un pulsar)
Imagerie

Les méthodes de vitesse radiale et transit, les plus productives, sont décrites plus loin, ainsi que la méthode par astrométrie.

Un sujet à la mode

Les exoplanètes sont un sujet à la mode, pour les raisons que l'on devine aisément. Désolé si ces pages n'annoncent pas en temps réel les dernières découvertes !

Caractéristiques

Observer

Décompte des masses des exoplanètes, ou plus exactement des $m \sin i$ , l'inclinaison

n'étant pas une observable (septembre 2018). Deux échelles de masse permettent de distinguer les $m\sin i$ plus petits que la masse de Jupiter, et la distribution totale jusqu'à 15 masses de Jupiter.

Crédit : Les exoplanètes

Définition de l'angle entre la normale au plan orbital et l'axe de visée. Avec les paramètres usuels, le barycentre G du système est à l'intérieur de l'étoile.

Crédit : ASM

Masse

L'histogramme des masses montre que la très grande majorité des planètes découvertes sont des planètes géantes. Cela n'est pas dû au caractère unique de la présence de planètes telluriques dans notre système solaire, mais au fait que les méthodes de détection favorisent les fortes masses planétaires.

La limite à 13 fois la masse de Jupiter est une limite physique : au-delà, l'objet commence à brûler son deutérium, c'est alors une naine brune.

Stricto sensu, les masses ici considérées sont affectées d'un facteur de projection inconnu, égal au sinus de l'angle entre la normale au plan orbital et l'axe de visée. On parle non de masse , mais de $m \sin i$ .

Histogrammes des périodes orbitales des exoplanètes. Zoom sur les périodes courtes (en échelle linéaire), et aperçu général (avec le décompte en échelle logarithmique) (septembre 2018).

Crédit : Les exoplanètes

Histogrammes des demi-grands axes de l'orbite des exoplanètes. Zoom sur les demi-grands axes inférieurs à 1 UA, et aperçu général.(septembre 2018)

Crédit : Les exoplanètes

Demi-grand axe et période de l'orbite

L'histogramme des demi-grands axes montre qu'ont préférentiellement été découvertes des planètes orbitant très près de leur étoile, bien plus près que Mercure dans le cas du système solaire. Là encore, ce sont les méthodes de détection et la 3ème loi de Kepler qui favorisent cette situation. Une nouvelle classe d'objets a été mise en évidence : les planètes géantes chaudes.

L'histogramme des périodes orbitales aboutit à la même analyse.

Histogramme des excentricités des exoplanètes. (septembre 2018)

Crédit : Les exoplanètes

Excentricité de l'orbite

L'histogramme des excentricités orbitales dévoile une très grande variabilité de ce paramètre. Contrairement au cas du système solaire, où les planètes présentent des excentricités quasi nulles, les exoplanètes peuvent suivre des orbites très excentrées. Et contrairement aux effets précédents, ceci est un phénomène réel et non un biais observationnel, qui dénote une grande variété dans la formation et l'évolution des systèmes planétaires.

Histogramme de la métallicité des étoiles à exoplanètes. La métallicité est donnée en échelle logarithmique relative ; elle compare l'abondance de l'élément Fe dans l'étoile par rapport à celle dans le Soleil (0 = valeur solaire). (septembre 2018)

Crédit : Les exoplanètes

Métallicité de l'étoile hôte

L'histogramme de la métallicité de l'étoile hôte montre qu'une metallicité solaire favorise la présence d'une planète autour d'une étoile.

Quelques systèmes exoplanétaires. La couleur code le rang de la planète. La plupart de ces systèmes sont plus tassés et plus massifs que le système solaire.

Crédit : ASM

Systèmes planétaires

À ce jour, un grand nombre de systèmes planétaires ont été identifiés, présentant des caractéristiques différentes de notre système solaire. Les planètes les moins massives sont détectées par les perturbations qu'elles exercent sur les plus massives.

Détection des planètes extrasolaires par la méthode des vitesses radiales

Observer

Méthode des vitesses radiales

Considérons un système binaire constitué d'une étoile et d'une planète. Chacun des objets décrit une orbite elliptique dont le foyer est le centre de masse du système.

Effet Doppler dû à l'oscillation de l'étoile

Dans son mouvement, l'étoile tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne de l'observateur. Une raie spectrale est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur (direction indiquée par une flèche violette).

Crédit : ASM

Les raies spectrales stellaires qui nous parviennent (à travers un spectromètre) sont en conséquence tantôt décalées vers le bleu (longueur d'onde plus courte), tantôt vers le rouge (longueur d'onde plus grande), par effet Doppler.

Apprendre

L'orbite de la planète et l'axe de visée

L'angle

est défini entre la normale au plan de la trajectoire (vu par la tranche, trace rouge) et l'axe de visée.

Crédit : ASM

Cas particulier où l'angle

est nul. Pas de mouvement détectable.

Crédit : ASM

Cas particulier où l'angle

vaut $\pi / 2$ .

Crédit : ASM

Courbe de vitesse radiale de 51 Peg A

Mesure de vitesse radiale de l'étoile 51Peg.

Crédit : Butler & Marcy

Observables

Pour toute la suite :

On se limite au cas des orbites circulaires, de rayon .
On note la masse de la planète, et celle de l'étoile.

On suppose que, d'après les modèles stellaires, la mesure du spectre de l'étoile permet d'estimer sa masse . Mais une variable reste inconnue : l'inclinaison sous laquelle on voit le système orbital. Les principales caractéristiques de l'orbite de la planète peuvent être déduites de la mesure de décalage Doppler.

L'analyse du spectre de l'étoile modulé par effet Doppler fournit le graphe de la vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps, $v _{\mathrm{rad}}(t)$ . Ce type d'observation spectrométrique fournit deux observables :

La composante de vitesse de l'étoile $V _{\mathrm{\parallel}}$ , parallèle à l'axe de visée (car l'effet Doppler est sensible à la seule composante $V _{\mathrm{\parallel}}$ ).
La période de rotation du système.

Ces observables sont des caractéristiques liées à l'orbite du système. On ne sait toujours rien sur la planète elle-même. La $3^{eme}$ loi de Kepler appliquée au couple planète-étoile relie le rayon de l'orbite à la période de rotation :

$a^{3} = {{\cal G}M\over 4\pi^{2}}T^{2}$

En utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement (le système est isolé), on peut accéder à la masse de la planète :

$m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left({TM^{2}\over 2\pi{\cal G}}\right)^{1/3}$

où $m\sin i$ est la masse de la planète $m _{\mathrm{pla}}$ affectée du facteur géométrique $\sin i$ , inconnu. Le calcul complet est proposé en exercice.

Inclinaison

Statistiquement, la probabilité d'avoir une inclinaison dépend de l'ouverture du cône de demi-angle au sommet : elle vaut $\sin i$ . La probabilité de voir un système de face (i=0) est bien moindre que celle de le voir par la tranche (i=π/2). En effet, il y a une seule direction qui pointe de l'étoile vers la Terre, donc confondue avec l'axe de visée, mais une infinité qui lui sont perpendiculaires.

En moyenne, le paramètre $\sin i$ vaut $\pi/4$ ; ce calcul est proposé en exercice.

Simuler

Vitesse radiale

Animation des mouvements orbitaux planétaires et stellaires, et signature spectrale due à la vitesse radiale de l'étoile.

Effet Doppler dû au mouvement de l'étoile

Dans son mouvement (séquence animée), l'étoile en rotation autour du barycentre (croix rouge, fixe) tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne (courbe verte) de l'observateur (direction indiquée par la flèche bleu foncé), avec une vitesse donnée par la courbe du milieu (couleur modifiée selon une convention de type effet Doppler . Une raie spectrale (courbe du bas) est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur.

Crédit : ASM

S'exercer

L'angle

est défini entre la normale au plan de la trajectoire (vu par la tranche, trace rouge) et l'axe de visée.

Crédit : ASM

QCM

1) Un système présente l'orientation suivante. Dans quel cas le signal Doppler sera-t-il maximal ?
i=0

$i=\pi /2$
$i=\pi$

2) On détecte par la méthode des vitesses radiales un signal Doppler fixé. Dans quel cas la masse de la planète perturbatrice est la plus grande ?
$i=\pi /6$
$i=\pi /4$
$i=\pi /2$

Le paramètre m sin i

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

On s'intéresse à la distribution du facteur multiplicatif $\sin i$ qui intervient dans la détermination de la masse $m \sin i$ .

Question 1)

Rappeler la définition de l'angle $\i$ .

Question 2)

Statistiquement, trouve-t-on plus de systèmes avec i=0 ou bien $i = \pi/2$ ?

Question 3)

Montrer, en faisant un schéma, que la probabilité de voir un système sous une inclinaison est proportionnelle à $\sin i$ .

Question 4)

Calculer la valeur moyenne de $\sin i$ .

La vélocimétrie Doppler

Difficulté : ☆☆ Temps : 45 min

Cette technique permet la détection de planètes, via la perturbation en vitesse (vitesse réflexe) qu'elles induisent sur leur étoile.

On observe un système constitué d'une planète de masse , en orbite circulaire autour d'une étoile de masse . La composante de vitesse de l'étoile $V _{\mathrm{\parallel}}$ , parallèle à l'axe de visée, ainsi que la période de rotation du système découlent de l'observation. La masse de l'étoile est supposée connue.

Schéma du système

On note respectivement

les positions du barycentre du système, du centre de masse de la planète et du centre de masse de l'étoile.

Crédit : ASM

Question 1)

Définir la position du barycentre du système étoile-planète.

Montrer que, dans le référentiel barycentrique, les vitesses de l'étoile et de la planète satisfont à la relation :

$M{\mathbf V} + m{\mathbf v} = {\mathbf 0}$

Question 2)

Donner la relation liant $V _{\mathrm{\parallel}}$ au module de la vitesse de l'étoile et à l'angle entre l'axe de visée et la normale au plan de rotation du système. Faire un schéma.

Question 3)

Exprimer la 3ème loi de Kepler en fonction des variables et , puis montrer que la masse de la planète s'exprime en fonction des observables et $V _{\mathrm{\parallel}}$ par :

$m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left({M^{2}T\over 2\pi {\cal G}}\right)^{1/3}$

Question 4)

Quelle information inédite apporte cette relation?

Question 5)

Substituer à l'observable la variable , et montrer que l'on aboutit à l'égalité suivante entre les variables et $m\sin i$ :

$a = {1\over V _{\mathrm{\parallel}}^{2}}{{\cal G}\over M}(m\sin i)^{2}$

Courbes de vitesses radiales

Observer

Série temporelle

La mesure de ce décalage spectral est traduite en une vitesse. Ce décalage, apparaissant comme un phénomène périodique et d'amplitude bien inférieure à ce que l'on attendrait d'une perturbation due à un compagnon stellaire, s'interprète comme la signature d'une perturbation due à la présence de la planète autour de l'étoile.

Vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps

Le décalage Doppler du spectre est mesuré puis traduit en vitesse radiale $V _{\mathrm{\parallel}}$ . On obtient une série temporelle de vitesse radiale, qui semble présenter des variations répétitives.

Crédit : Butler &Marcy

Sur une période

Vitesse radiale rapportée sur une période

Une longue série temporelle, plus longue qu'une période, donne accès à la période de rotation du système, ici visualisée par repliement : la variable temporelle est la phase, et non plus la date d'observation.

Crédit : Butler & Marcy

Lorsque l'orbite de la planète est quasi-circulaire, le graphe de la vitesse a la forme d'une sinusoïde. L'excentricité de l'orbite a pour effet de déformer cette sinusoïde.

Graphe de vitesse de HD 108147

L'excentricité de l'orbite, voisine de 0.5, et la géométrie de l'observation conduisent à une telle courbe de vitesse radiale. Le schéma du dessous représente les résidus entre les valeur observées et la courbe de vitesse modélisée.

Crédit : Observatoire de Genève

Système multiple

Lorsque l'étoile réagit à plusieurs compagnons planétaires, la complexité de la courbe de vitesse radiale s'accroît.

Dans certain cas, comme pour le système observé autour de HD 82943, on observe une résonance, avec pour ce système des périodes orbitales planétaires dans un rapport 1:2.

Graphe de vitesse de HD 168443

La courbe de vitesse radiale de l'étoile HD 168443présente 2 composantes, dues à 2 compagnons planétaires. Les orbites des deux planètes détectées autour de HD 168443 ont des périodes d'ordres de grandeur bien distincts et une excentricité élevée (0.53 et 0.23)

Crédit : Butler & Marcy

Graphe de vitesse de HD 82943

Les 2 périodes (respectivement 222 et 444 j) sont multiples l'une de l'autre, dans un rapport 2.

Crédit : Observatoire de Genève

Limitations de la méthode des vitesses radiales

Apprendre

Diagramme a-m sin i

Diagramme msini-a des exoplanètes et des planètes du système solaire. Au delà de 13 fois la masse de Jupiter, on considère qu'il ne s'agit plus de planètes, mais de naines brunes.

Crédit : ASM

Systèmes pouvant être détectés par cette méthode

La méthode des vitesses radiales ne permet d'obtenir qu'une limite inférieure de la masse des planètes, $m\sin i$ , car l'angle sous lequel le système est observé, , reste en général inconnu. Cela a bien sûr été un obstacle à l'interprétation du premier cas qui annonçait la découverte d'une d'exoplanète. Cependant, une centaine d'objets avec une masse $m _{\mathrm{pla}}$ les rangeant dans la catégorie des planètes ont été détectés, et, statistiquement, la masse réelle de la plupart d'entre eux est bien une masse planétaire. Cette méthode est biaisée, car elle favorise la détection des planètes massives et relativement proches de leur étoile. En effet :

Plus la planète est massive, plus l'étoile est perturbée, car $V _{\mathrm{\parallel}}\propto m$ .
Plus la planète est proche, plus la période est courte et $V _{\mathrm{\parallel}}$ important, car $V _{\mathrm{\parallel}}\propto T^{-1/3}$ .

Il est commode de réécrire $V _{\mathrm{\parallel}}$ sous la forme :

${ V _{\mathrm{\parallel}} \over 1 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}} = 28.4 \ \left({T\over 1\,\mathrm{an}}\right)^{-1/3}\left({m\sin i\over M _{\mathrm{J}}}\right)\left({M\over M _{\mathrm{\odot}}}\right)^{-2/3}$

où $M _{\mathrm{J}}$ et $M _{\mathrm{\odot}}$ sont, respectivement, les masses de Jupiter et du Soleil.

On rappelle, qu'avec les mêmes unités :

${T\over 1\,\mathrm{an}} = \left({a\over 1 {\,\mathrm{UA}}}\right)^{3/2}\left({M\over M _{\mathrm{\odot}}}\right)^{-1/2}$

où est exprimé en unité astronomique.

Limite de détection par la méthode des vitesses radiales

Cette méthode permet de détecter des variations de vitesse de $3 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ . Il faut également observer les étoiles longtemps pour avoir accès aux plus longues périodes. Les exoplanètes les moins massives n'ont pas été détectées par mesure Doppler, mais par la méthode des transits.

Crédit : ASM

Limite de détection

La limite de détection des instruments utilisés actuellement est de l'ordre de $V _{\mathrm{\parallel}} = 3 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ . Cela ne signifie qu'une planète similaire à la Terre autour d'une étoile de type solaire induisant une modulation de vitesse $V _{\mathrm{\parallel}} \simeq 0.1 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ reste largement indétectable.

Néanmoins, il ne suffit pas que la vitesse réflexe de l'étoile soit supérieure à cette limite pour détecter une planète. En effet, une planète de masse égale à la masse de Jupiter va induire un effet Doppler de cet ordre pour une distance étoile-planète de $a\simeq 100$ UA. Cependant, la période de révolution d'une telle planète est de 1000 ans, et il est donc exclu de l'observer ! Notons que la même planète située à la distance de Jupiter $(a = 5 {\,\mathrm{UA}})$ entraîne $V _{\mathrm{\parallel}} \simeq 11 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ , ce qui est largement observable.

Les mesures de vitesses radiales pour la recherche de planètes extrasolaires sont menées systématiquement depuis 1995. Ceci limite la détection aux planètes de période orbitale inférieure à 15 ans en 2010, 30 ans en 2025...

Jusqu'à ce jour, la plupart des planètes extrasolaires détectées l'ont été par cette méthode. Un exercice traite de cette limite de détection.

S'évaluer

Limite de détection

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Un exercice précédent a montré que la vitesse réflexe de l'étoile dépend de la masse et de l'orbite de la planète via la relation :

$a\ =\ {1\over V _{\mathrm{\parallel}}^{2}}{{\cal G}\over M}(m\sin i)^{2}$

Un graphe ( $m\sin i$ - rayon orbital ) est utile afin de déterminer quel type de planète est détectable par vélocimétrie Doppler. La masse de l'étoile étant de l'ordre d'une masse solaire, le champ de planètes détectables dépend essentiellement de la sensibilité des instruments de recherche.

Diagramme m sin i - a

Crédit : ASM

Données numériques
objet	masse (kg)
Soleil	$2\ 10^{30}$
Jupiter	$2\ 10^{27}$
la Terre	$6\ 10^{24}$
1 UA	$150\ 10^6$ km

Question 1)

Les mesures en 2000 atteignaient une précision en vitesse de l'ordre de $10 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ . En déduire la relation numérique entre les variables $m\sin i$ et correspondant à la limite de détection, et pour une étoile d'une masse solaire. Exprimer le résultat en UA et $M _{\mathrm{J}}$ .

[3 points]

Question 2)

Reporter la relation trouvée sur le diagramme masse-distance, avec comme unités la masse de Jupiter pour , et l'unité astronomique pour . Quelles planètes de notre système solaire sont détectables au vu de cette ancienne performance de $10 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ ) ?

[3 points]

Question 3)

Même question, si l'on parvient à détecter des amplitudes en vitesse de $1 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}$ .

[1 points]

Question 4)

Montrer que Saturne, de période orbitale sidérale de l'ordre de 30 ans, ne pourrait tout de même pas être détecté avant l'année 2025.

[1 points]

Question 5)

Montrer que cette technique d'observation comporte un biais, car elle favorise la détection de planète ayant des paramètres orbitaux particuliers.

[1 points]

Méthode de détection par transit

Observer

Détection par transit

Occultation détectée par la campagne d'observation OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment ; Warsaw Telescope (1.3 m) installé à l'Observatoire de Las Campanas au Chili). L'aperçu de la courbe de lumière, et le zoom autour du transit montre combien la signature de ce dernier est ténue. Le champ stellaire localise la cible, de faible magnitude (V = 16). Le temps est donné en unité de la période orbitale.

Crédit : OGLE

Occultation de HD209458 par sa planète, vue par le télescope spatial Hubble. Le profil d'assombrissement du centre au bord de l'étoile occasionne la concavité du fond du transit.

Crédit : HST

Occultation de HD209458 par sa planète, vue dans le filtre étroit de la raie Lyman alpha de l'hydrogène. L'augmentation du flux est due à la composante planétaire, et dénote vraisemblablement une atmosphère planétaire étendue.

Crédit : HST

Transit

Le passage répété d'une planète devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l'étoile. La forme de la figure de transit dépend du diamètre relatif de la planète par rapport à celui de l'étoile, de l'inclinaison du système par rapport à la ligne de visée, de l'épaisseur et de la composition de l'éventuelle atmosphère de la planète.

Mesures orbitales

On retire des observations : la période orbitale, le demi-grand axe, et surtout l'inclinaison de l'orbite (voisine de 90°). Cette dernière n'est pas mesurable par la méthode des vitesses radiales.

L'atmosphère planétaire

Potentiellement, la comparaison des mesures spectroscopiques de l'étoile avant et pendant le transit peut donner accès à la composition de l'atmosphère planétaire.

Le transit de l'étoile HD 209458 a conduit à la détection d'une atmosphère planétaire étendue, qui explique l'allure de la courbe d'occultation dans la raie Lyman alpha de l'hydrogène.

Apprendre

Transit d'une planète devant son étoile

Crédit : ASM

Méthode de détection d'éléments chimiques dans une atmosphère

Crédit : HST

Baisse de flux

Le passage récurrent d'une planète devant son étoile parente provoque une diminution périodique du flux reçu de l'étoile si le système est observé sous un angle adéquat, i.e. si la planète traverse la ligne de visée de l'observateur.

La diminution relative du flux émis par l'étoile dans la direction de l'observateur lors du transit de la planète est :

${\Delta F _{\mathrm{*}}\over F _{\mathrm{*}}} = \left({ R _{\mathrm{p}}\over R _{\mathrm{*}}}\right)^{2}$

où $R _{\mathrm{p}}$ est le rayon de la planète et $R _{\mathrm{*}}$ celui de l'étoile. On suppose ici que le flux était uniforme à la surface de l'étoile (le détail du calcul est traité en exercice).

Ordres de grandeurs

Les systèmes les plus facilement détectables, avec une planète de type Jupiter chaud, ont un rayon de l'ordre de 10 à 20% du rayon stellaire d'une étoile froide de la séquence principale. Ils induisent des baisses de flux de l'ordre de quelques pourcents.

La variation relative de flux pour un système de type Soleil-Jupiter est de 1%, et de $10^{-4}$ pour un système tel que Soleil-Terre.

Possibilité de mesure de la masse de la planète

L'intérêt d'observer le transit d'une planète déjà détectée par la méthode des vitesses radiales est qu'on peut ainsi déterminer sa masse réelle. En effet, un transit ne se produit que si la ligne de visée de l'observateur est à peu près dans le plan orbital du système, i.e. pour $i \simeq {\pi/2}$ . La masse $m\sin i$ est donc dans ce cas égale à la masse réelle . Le transit permet également de déterminer le rayon de la planète, le rayon de l'étoile étant estimé par une autre méthode.

Sondage atmosphérique

Une information essentielle pourra également être apportée par cette méthode : la présence ou non d'une atmosphère autour de la planète, reliée à la pente de l'extinction du flux, progressive en présence d'une atmosphère. Cette détection est extrêmement importante, car on peut connaître la composition de cette atmosphère en comparant les mesures spectroscopiques de l'étoile avant et pendant le transit. Il est en principe possible de rechercher des signes d'activités exobiologiques en détectant des composants gazeux dont l'abondance est un indice de la présence d'organismes vivants... mais hors de portée des moyens actuels.

Simuler

Occultations

Animation reliant la courbe de lumière à l'évolution temporelle de la géométrie du système. L'inclinaison du plan orbital planétaire est un paramètre crucial. La signature photométrique diffère selon que l'inclinaison est très proche ou voisine de 90 degrés, ou trop éloignée.

Transit planétaire, avec une inclinaison proche de 90 degrés. La signature photométrique reste ténue. Le rapport des luminosités stellaire et planétaire est tel que l'occultation de la planète par l'étoile reste n'est pas observable.

Crédit : ASM

Transit planétaire. L'inclinaison, voisine de 90 deg, ne conduit qu'à une occultation partielle, et donc une très faible signature photométrique.

Crédit : ASM

Pas de transit planétaire, l'inclinaison différant trop de 90 deg. Aucune occultation, et donc aucune signature photométrique.

Crédit : ASM

S'exercer

Transit de HD 209458

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

HD 209458 est une des nombreuses étoiles hébergeant une exoplanète. On cherche à caractériser le transit de cette dernière. Les notations sont les mêmes que celles des pages précédentes.

Question 1)

Retrouver l'expression de la diminution relative de luminosité :

${\Delta I\over I} = \left({ R _{\mathrm{p}}\over R _{\mathrm{*}}}\right)^2$

On suppose le flux (équivalent à une luminosité, ou puissance, surfacique) stellaire $F _{\mathrm{*}}$ uniforme :

$F _{\mathrm{*}} = I/\pi R _{\mathrm{*}}^{2}$ .

Question 2)

Calculer le rayon de la planète HD 209458b, au vu des mesures reportées ci-dessous.

Quelques données pour HD 209458
Masse de l'étoile	$M _{\mathrm{*}}$	1.03 $\ M _{\mathrm{\odot}}$
Rayon de l'étoile	$R _{\mathrm{*}}$	1.2 $\ R _{\mathrm{\odot}}$
Rayon de Jupiter	$R _{\mathrm{J}}$	0.1 $\ R _{\mathrm{\odot}}$
Rayon de Jupiter	$R _{\mathrm{J}}$	$7.1\ 10^7 {\,\mathrm{m}}$
Masse de Jupiter	$M _{\mathrm{J}}$	$2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}$
Variation relative du flux		1.58%

Question 3)

Calculer la masse volumique $\rho$ de l'exoplanète, sachant que sa masse vaut $m = 0.62 M _{\mathrm{J}}$ . Quelle remarque vous inspire ce résultat ?

Limitations de la méthode par transit

Observer

Fraction d'un champ stellaire observée par le satellite CoRoT. Au total, plusieurs milliers de cibles sont suivies simultanément.

Crédit : CoRoT/CNES

Détecter et identifier un transit nécessite une grande précision photométrique, telle que l'apporte CoRoT, la première mission dédiée à ce thème de recherche.

Crédit : CoRoT/CNES

Les transits, ici événements très fins de profondeur relative 4%, se superposent à un flux stellaire éminemment variable.

Crédit : CoRoT/CNES

Transit profond de seulement 0.4% observé par CoRoT (planète CoRoT-Exo-7b, de rayon égal à 1.8 fois celui de la Terre).

Crédit : CoRoT/CNES

Observer beaucoup d'étoiles

La probabilité de détection d'une planète étant faible, un programme de détection par transits doit nécessairement suivre simultanément un grand nombre de cibles, ce que permet la photométrie.

Observer longtemps

Un transit seul n'apporte pas d'information, et peut être confondu avec un événement non planétaire. Les séquences d'observation de CoRoT durent 5 mois, et la répétition de trois événements est attendue.

Observer précisément

Distinguer un transit planétaire des multiples autres sources possibles de variation du flux stellaire n'est pas toujours simple. Les planètes les moins massives détectées, par transit et donc sans l'ambiguïté du facteur de projection $\sin i$ , ont été observées par le satellite CoRoT puis Kepler.

Apprendre

Le rayon planétaire étant négligé devant le rayon stellaire, l'angle séparant le plan orbital de l'axe de visée doit être inférieur à une valeur limite pour qu'il y ait occultation.

Crédit : ASM

La probabilité de transit

est obtenue par le rapport de l'aire balayée par la planète à l'aire de la sphère de rayon égal au demi-grand axe planétaire : $2R \ 2\pi a / 4\pi a^2 = R/a$ .

Crédit : ASM

Probabilité de transit

La méthode de détection par transit n'est opérante que s'il y a ... transit. Pour qu'un transit ait lieu, il faut que la planète traverse la ligne de visée de l'observateur. La probabilité d'un tel événement vaut $R _{\mathrm{*}}/a$ , $R _{\mathrm{*}}$ étant le rayon stellaire, et le demi-grand axe de l'orbite planétaire. Ce résultat est démontré par un calcul complet en exercice ; un schéma permet de retrouver rapidement le résultat.

Si le rayon stellaire est égal au rayon solaire, alors la probabilité de détecter un transit vaut $p \simeq 0.1$ pour $a = 0.01 {\,\mathrm{UA}}$ , c'est-à-dire pour les planètes détectées à ce jour qui sont sur les orbites les plus serrées. Cette probabilité décroît avec l'augmentation du demi-grand axe.

Précision photométrique

Le deuxième facteur limitant est photométrique. En effet, depuis le sol il est difficile d'obtenir une précision photométrique meilleure que 1 % (c'est-à-dire $\Delta F _{\mathrm{*}}/ F _{\mathrm{*}} = 10^{-2}$ ) en raison de l'agitation atmosphérique. Les observations depuis l'espace, en revanche, permettent d'atteindre une précision aussi bonne que $10^{-4}$ , et donc de détecter des planètes de type tellurique.

Limite de détection par la méthode des transits

La détection des planètes les moins massives nécessite une excellente précision photométrique. La probabilité de détection décroît fortement avec l'évolution du demi-grand axe.

Crédit : ASM

Observation de transits

Il s'ensuit que, pour être efficace, les projets de détection d'exoplanètes par transit doivent observer un très grand nombre de cibles, avec la meilleure précision photométrique possible. De plus, pour éviter tout effet stroboscopique, il faut observer continûment. L'espace est l'endroit idéal pour ceci, comme l’ont démontré les mission CoRoT et Kepler.

Confirmation des observations

Plusieurs artefacts observationnels peuvent imiter la signature d'un transit planétaire. Les plus courants sont l'observation d'un système stellaire double, ou d'une binaire à éclipses présente dans le champ d'observation de l'étoile principale. Dans ces deux cas, la baisse de flux peut être faible et confondue avec celle d'une hypothétique planète. Une vérification a posteriori s'impose pour déterminer les éventuels faux positifs, menée le plus souvent en vélocimétrie Doppler, et parfois par imagerie en optique adaptative.

S'exercer

Limitation de la méthode du transit

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Avant les missions spatiales CoRoT et Kepler, peu de transits avaient été observés ; leur nombre a ensuite explosé. L'exercice se propose de déterminer la probabilité d'un tel événement, fonction du rayon de l'étoile $R _{\mathrm{*}}$ et du rayon orbital de la planète , et d'établir $p = R _{\mathrm{*}}/a$ .

Crédit : ASM

Question 1)

L'angle de visée est défini comme l'angle entre la normale au plan de révolution de l'orbite et la ligne de visée. Exprimer l'angle maximum i_0 pour lequel une éclipse peut être observée, en fonction de $R _{\mathrm{*}}$ et , en supposant le rayon planétaire négligeable.

Question 2)

En vous aidant des propriétés de symétrie du système, déterminer de quelle(s) variable(s) dépend .

Question 3)

La probabilité de détecter un transit est égale à la probabilité que la ligne de visée ne se trouve pas dans le demi-cône d'axe perpendiculaire au plan de l'orbite et de demi-angle au sommet i_0 . Calculer la mesure de l'angle solide d'un hémisphère et d'un cône de demi-angle au sommet .

Question 4)

Exprimer en fonction de $R _{\mathrm{*}}$ et .

Question 5)

Application numérique pour le cas l'exoplanète 51 Peg.

Données : $R _{\mathrm{*}} = R _{\mathrm{\odot}} = 7\ 10^5$ km, et $a = 0.05 {\,\mathrm{UA}}$ .

Détection par mesure astrométrique

Observer

Astrométrie

Il est possible de détecter le mouvement de l'étoile perpendiculairement à la ligne de visée, c'est-à-dire sur la sphère céleste, et d'en déduire les caractéristiques de la planète et de son orbite.

Déplacement astrométrique du Soleil dû à Jupiter

Déplacement du Soleil sous l'effet des mouvements planétaires (Jupiter et Saturne principalement), vu à une distance de 10 pc. L'amplitude de ce déplacement est de 500 microsecondes d'arc ( $\mu as$ ). Le déplacement dû à la Terre présenterait une amplitude de $0.3\,\mu\mathrm{as}$ à la même distance.

Crédit : NASA

Apprendre

Objectifs

L'astrométrie s'intéresse à la position des astres sur la sphère céleste. Cette technique peut être sensible à la modulation de la position d'une étoile légèrement perturbée par la présence d'une planète.

Astrométrie

On se limite au cas d'une orbite circulaire, mais bien sûr cette méthode s'applique aussi à la détection de planètes sur des orbites elliptiques. Le mouvement de l'étoile projeté sur le plan du ciel, c'est-à-dire sur le plan perpendiculaire à la ligne de visée, est une ellipse de demi-grand axe $a _{\mathrm{*}}$ . Comme la distance à l'étoile est grande devant $a _{\mathrm{*}}$ , la déviation angulaire correspondante est $\alpha = a _{\mathrm{*}}/d$ , ou encore :

$\alpha = {a _{\mathrm{*}}\over d} = {m\over M}{a\over d}$

avec $\alpha$ exprimé seconde d'arc, le rayon de l'orbite de la planète (en UA) et la distance Soleil-étoile. La masse de l'étoile et sa distance à la Terre étant connues par ailleurs, on peut déduire de la périodicité du mouvement, et donc la masse de la planète de la mesure de $\alpha$ .

En pratique, la variation de la position d'un astre sur la sphère céleste n'est pas mesurée de façon absolue, mais différentiellement par rapport à un objet du champ, angulairement proche mais très lointain en distance, dont la position reste fixe.

Diagramme masse-distance, montrant les performances de la détection astrométrique, fonction de la précision de mesure (respectivement 10, 1 et 0.05 milliseconde d'arc). Les triangles rouges marquent les exoplanètes déjà détectées.

Crédit : ASM

Systèmes pouvant être détectés par cette méthode

Les mesures faites à l'heure actuelle depuis le sol ont une précision d'une milliseconde d'arc (mas), et devraient atteindre 10 $\mu as$ dans le futur proche sur des champs d'observation réduits. Il ne sera donc pas possible de détecter des planètes semblables à la Terre, orbitant dans des zones habitables (i.e. $a \simeq 1$ UA), puisque les étoiles observées sont à une distance d'au moins quelque parsecs de la Terre. L'astrométrie est plus adaptée à la détection de planètes géantes et de rayon orbital grand.

S'exercer

Petite révision sur la formation d'image

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Un astronome extraterrestre regarde notre système solaire à une distance de 10 AL de notre Soleil. On souhaite dimensionner le télescope dont il aurait besoin pour distinguer Jupiter autour du Soleil.

On suppose le pouvoir de résolution de l'appareil limité par la seule diffraction : la tache de diffraction vaut angulairement $1.22\ \lambda/D$ radian, où est le diamètre du télescope.

Pour la suite, on prendra $\lambda = 0.5 {\,\mu\mathrm{m}}$ .

Question 1)

Déterminer la distance angulaire maximale $\alpha$ entre le soleil et Jupiter $(a = 5.2 {\,\mathrm{UA}})$ .

Question 2)

Déterminer , le diamètre minimum du collecteur nécessaire.

Question 3)

Cela est-il suffisant?

Astrométrie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Le mouvement apparent d'une étoile voisine du soleil, corrigé de la parallaxe annuelle, est a priori rectiligne uniforme en l'absence de perturbation. On cherche à quantifier l'influence d'un compagnon planétaire.

On observe un système binaire composé d'une étoile de masse $M _{\mathrm{*}}$ et d'une planète de masse ( avec $m\ll M _{\mathrm{*}}$ ) de rayon orbital .

Question 1)

Justifier le caractère rectiligne et uniforme du mouvement stellaire, en l'absence de compagnon.

Question 2)

Exprimer l'amplitude de la perturbation angulaire maximale $\alpha$ de la position de l'étoile, située à une distance du Soleil.

Question 3)

Retrouver l'expression :

$a = { M _{\mathrm{*}}\over m}d\alpha$

Question 4)

A quelle distance se situe l'étoile si sa parallaxe annuelle vaut 0.1" ?

Question 5)

Quelles planètes du système solaire, supposé vu à 10 pc, pourrait-on détecter, si l'on est capable de mesurer des variations de position à 0.01" ou 0.001" près ?

Compléter le diagramme ci-joint, positionnant les objets en fonction de leur masse et de leur demi-grand axe , en définissant la frontière qui marque la limite de détectabilité (rappel $M _{\mathrm{J}} = 2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}$ ).

Diagramme a-msin i

Crédit : ASM

Question 6)

A terme, on imagine être capable de mesurer des écarts de position $\alpha$ avec une précision de l'ordre de 50 millionièmes de seconde d'arc. En déduire le domaine observable dans le diagramme $m\sin i - a$ , pour un système à 10 pc et $M _{\mathrm{*}} \simeq 1 \ M _{\mathrm{\odot}}$ .

Question 7)

Quelles planètes du système solaire deviennent ainsi détectables ?

Performance de détection

Observer

GQ Lupi A et son compagnon froid b.

Crédit : ESO

Une exoplanète attrapée au vol

Alors que les méthodes de détection par transit et vélocimétrie Doppler donnent de plus en plus de résultats, plusieurs objets ont été détectés en imagerie directe. Cette population comprend des planètes flottantes ou des naines brunes sans qu'il soit facile/possible de faire la différence.

Un des premier objets décourts est GQ Lupi b qui orbite autour de l'étoile QG Lupi A. A une distance d'environ 100 UA, 270 fois moins brillant que GQ Lupi A, GQ Lupi b a une masse entre une et 30 fois la masse du Jupiter. Ni les observations, ni leur modélisation ne permettent de conclure à l'heure actuelle sur la nature exacte de cet objet.

Apprendre

Observables

L'examen des différentes méthodes de détection montre qu'elles ne donnent pas accès aux mêmes observables, et qu'elles ne subissent pas les mêmes biais observationnels. Ces différentes méthodes (et il y en a d'autres) sont donc complémentaires : le sujet astrophysique est d'ailleurs suffisamment important pour motiver de nombreux projets observationnels, au sol ou spatiaux.

Performance de détection

La méthode des vitesses radiales favorise la détection des planètes massives et proches de l'étoile, alors que l'astrométrie favorise les planètes massives et de grands rayons orbitaux. Là encore, les méthodes apparaissent complémentaires.

Planètes détectables

Les triangles rouges marquent les exoplanètes déjà détectées. Les limites en violet concernent la détection par transit, en vert par mesure Doppler, en bleu par astrométrie.

Crédit : ASM

Détections

L'existence de spectromètres performants et stables a favorisé jusqu'à ce jour la détection par vitesse radiale. L'accroissement du nombre de projets de recherche par transit fait augmenter le nombre de telles détections.

Nombre d'exoplanètes détectées par les différentes méthodes (octobre 2018)
Méthode	Planètes	Systèmes planétaires
Vitesse radiale	771	574
Transit	2847	2127
Microlentille	82	79
Imagerie	100	82
Chronométrage	29	23

S'évaluer

Discours de la méthode

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Question 1)

Distinguer les différentes techniques en fonction de leurs biais respectifs portant sur 1) la masse de la planète 2) son demi-grand axe 3) l'inclinaison orbitale.

[3 points]

Question 2)

Quelle technique est à votre avis la plus facilement spatialisable ?

[1 points]

Conclusion

L'étude des exoplanètes, champ de l'astrophysique en pleine effervescence, appartient de plain-pied à ces domaines scientifiques qui éveillent en chacun un intérêt qui n'est pas que purement scientifique.

De nombreux grands projets sont développés pour mieux détecter ou, plus difficile, voir directement les exoplanètes (ce qui demande alors d'éteindre la lumière stellaire avec une excellente efficacité, et motive des projets instrumentaux alliant interférométrie et coronographie).

Deux grands projets spatiaux ont apporté une moisson importante d'observations par transits. Le suivi au sol des candidats exoplanétaires doit se poursuivre avec des observations au sol pour vérifier qu'il s'agit bien de planètes vues en transit et non d'autres objets.

Mission CoRoT du CNES.
Mission Kepler de la NASA

Différents observatoires ont mené des campagnes intensives de recherche d'exoplanètes par vitesse radiale :

Spectromètre HARPS au 3.6-m de l'ESO au Chili,
Spectomètre équivalent télescope Keck,
HARPS nord, clone de l'instrument HARPS sud.

Lister tous les projets en cours et oeuvrant prochainement est une tâche ardue tant la discipline progresse rapidement. On note :

Projet SPHERE pour imager avec un grand contraste de l'environnement stellaire,
Mission spatiale TESS de la NASA pour la recherche d'exoterres,
Caractérisation des atmosphères exoplanétaires avec la mission JWST de la NASA,
Mission spatiale PLATO de l'ESA pour la caractérisation des systèmes étoiles-planètes
...

Courbe de transit d'une exoplanète détectée par la mission CoRoT.

Crédit : CNES

Une technique prometteuse pour l'observation directe d'une planète est l'interférométrie annulante, où l'étoile est éteinte par interférométrie (ou là) destructive, quand la planète apparaît en revanche en opposition de phase.

Le flux de l'étoile, positionnée sur une frange d'interférence destructive, apparaît éteint par rapport à celui de la planète.

Crédit : ASM

Réponses aux QCM

pages_vitesse-radiale-extrasolaire/vitesse-radiale-extrasolaire-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 1) ( En effet )

Réponses aux exercices

pages_exoplanete/vitesse-radiale-extrasolaire-sexercer.html

Exercice 'Le paramètre m sin i'

Question 1
Aide :
Revoir le cours !

Solution :
C'est l'angle entre la normale au plan orbital et l'axe de visée.
Question 2
Aide :
Faire un schéma. A quelle condition sur le plan orbital a-t-on ou $i=\pi /2$ ?

Aide :
Y'a-t-il autant de plans avec ou $i=\pi /2$ ?

Solution :
Il y a un seul plan perpendiculaire à la ligne de visée (), mais une infinité qui la contiennent ( $i=\pi /2$ ).
Question 3
Aide :
Il faut estimer toutes les directions , et pour cela estimer l'angle solide compris entre les cônes centrés sur l'axe de visée et d'ouverture et .

Solution :
La probabilité est mesurée par l'ouverture du cône de demi-angle au sommet . Son angle solide est $2\pi (1 - \cos i)$ . Le rayon d'ouverture du cône, proportionnel à $\sin i$ , permet d'estimer comment la probabilité cherchée varie avec .

La différentielle de l'angle solide aboutit au même résultat.

On retrouve intuitivement que le cas est peu probable.
Question 4
Aide :
La définition d'une valeur moyenne conduit à :

$\langle\sin i \rangle \ = \ \displaystyle{ \int_0^{\pi/2} \ p(i)\ \sin i\ d i \over \int_0^{\pi/2} \ p(i)\ d i }$

avec la loi de probabilité associée.

Solution :
Avec $p(i)=\sin i$ la loi de probabilité, la définition de la valeur moyenne de la variable $\sin i$ conduit à :

$\langle\sin i \rangle \ = \ \displaystyle{ \int_0^{\pi/2} \sin i\ \sin i\ d i \over \int_0^{\pi/2} \sin i\ d i }$

Le numérateur vaut $\pi/4$ , car il est égal à la moyenne sur le même intervalle, de largeur $\pi/2$ , de $\cos^2 i$ , et que la somme des carrés des sinus et cosinus vaut 1.

Le dénominateur vaut 1.

La valeur moyenne est donc :

$\langle\sin i \rangle \ = \ {\pi\over 4} \ \simeq\ 0.785$

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Exercice 'La vélocimétrie Doppler'

Question 1
Aide :
Définir la position du barycentre.

Aide :
Le barycentre du système obéit à:

$(m+M)\ {\mathbf{OG}} = m\ {\mathbf{OP}} + M\ {\mathbf{OE}}$

Différencier cette relation pour obtenir l'information en vitesse.

Solution :
Par définition du barycentre, $(m+M){\mathbf{OG}} = m{\mathbf{OP}} + M{\mathbf{ OE}}$ , avec O, un point fixe quelconque d'un repère galiléen. PG est la distance de la planète au centre de masse.

Dans le référentiel du centre de masse :

${\mathbf 0}\ =\ m\ {\mathbf{GP}} + M\ {\mathbf{GE}} \iff {\mathbf 0}\ =\ m\ { d{\mathbf{GP}}\over d t} + M\ { d{\mathbf{GE}}\over d t} \iff {\mathbf 0}\ =\ m\ {\mathbf v} + M\ {\mathbf V}$
Question 2
Aide :
Commencer par faire le schéma, pour estimer $V _{\mathrm{\parallel}}$ dans les cas nul ou angle droit.

Solution :
La relation entre , le module de ${\mathbf V}$ et $V _{\mathrm{\parallel}}$ s'écrit :

$V _{\mathrm{\parallel}} = V\sin i$
Question 3
Solution :
La troisième loi de Kepler appliquée à la planète s'écrit :

${T^{2}\over a^{3}} = {4\pi^{2}\over { {\mathcal{G}}}M}$

Par ailleurs, la définition du périmètre de l'orbite donne le demi-grand axe en fonction de la période et de la vitesse :

$a = {Tv\over 2\pi}$

On en déduit :

$v = \left({2\pi{\cal G}M\over T}\right)^{1/3}$

Et on en tire :

${\mathbf 0} = m{\mathbf v} + M{\mathbf V} \iff m\sin i = {M V _{\mathrm{\parallel}}\over v} \iff m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left({M^{2}T\over 2\pi{\cal G}}\right)^{1/3}$
Question 4
Aide :
Reformulation de la question : quelle grandeur non directement observable peut finalement être ainsi mesurée ?

Solution :
A partir des observables, $V _{\mathrm{\parallel}}$ et , et de la masse stellaire déduite des modèles stellaires, on a accès, au facteur $\sin i$ près, à la masse de la planète... inaccessible par ailleurs.
Question 5
Aide :
Commencer par réécrire la 3ème loi de Kepler.

Solution :
La 3ème loi de Kepler... toujours elle, permet d'écrire :

${T^{2}\over a^{3}} = {4\pi^{2}\over { {\mathcal{G}}}M} \iff T = 2\pi\left({a^{3}\over {\cal G}M}\right)^{1/2}$

$\Rightarrow m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left[{M^{2}\over 2\pi{\cal G}}2\pi\left({a^{3}\over {\cal G}M}\right)^{1/2}\right]^{1/3} = V _{\mathrm{\parallel}}\left({Ma\over {\cal G}}\right)^{1/2}$

$\Rightarrow a = {1\over V _{\mathrm{\parallel}}^{2}}{{\cal G}\over M}(m\sin i)^{2}$

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Exercice 'Limite de détection'

Question 1
Aide :
Faire le calcul en SI, puis passer aux unités demandées.
Question 2
Aide :
Les axes du diagramme sont en échelle logarithmique décimale. Il faut prendre le logarithme de l'équation précédente pour tracer des droites sur le diagramme. En échelle log-log, l'origine du repère est en (a=1, et msin i=1).
Question 3
Question 4
Aide :
Les observations ont vraiment débuté en 1995.
Question 5

pages_exoplanete/methode-transit-sexercer.html

Exercice 'Transit de HD 209458'

Question 1
Aide :
Estimer la différence de luminosité avec et sans éclipse, fonction de la surface stellaire visible, variable, et du flux surfacique, fixe.

Solution :
$\Delta I = I - I^{'}$ avec $I = F _{\mathrm{*}}\pi R _{\mathrm{*}}^2$ , et $I^{'} = F _{\mathrm{*}}\pi( R _{\mathrm{*}}^2 - R _{\mathrm{p}}^2)$ . Donc :

$\Delta I = I - I^{'} = F _{\mathrm{*}}\pi R _{\mathrm{*}}^{2} - F _{\mathrm{*}}(\pi( R _{\mathrm{*}}^2 - R _{\mathrm{p}}^2)) = F _{\mathrm{*}}\pi R _{\mathrm{p}}^2 \Rightarrow {\Delta I\over I} = \left({ R _{\mathrm{p}}\over R _{\mathrm{*}}}\right)^2$
Question 2
Aide :
Il s'agit d'une simple application numérique

Solution :
$R _{\mathrm{p}} = R _{\mathrm{*}}\left({\Delta I\over I}\right)^{1/2} \simeq 1.5 \ R _{\mathrm{J}}$
Question 3
Solution :
En reliant la masse à la masse volumique et au volume, on trouve :

$\rho = {3m\over 4\pi{ R _{\mathrm{p}}}^3} \simeq 250 {\,\mathrm{kg}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-3}$

Cette planète est bien moins dense que Saturne ( $\rho _{\mathrm{S}} \simeq 700 {\,\mathrm{kg}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-3}$ ). C'est une géante gazeuse. Et si l'on trouvait un océan suffisamment grand, la planète y flotterait ...

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Exercice 'Limitation de la méthode du transit'

Question 1
Aide :
Faire un schéma, basé sur la figure de l'énoncé.

Solution :
Le triangle étoile-diamètre planétaire permet d'écrire, le rayon de la planète étant supposé très petit :

$\tan i_0 = { R _{\mathrm{*}}\over a}$
Question 2
Solution :
Le problème est à symétrie de révolution. La position de la ligne de visée autour de l'étoile ne joue aucun rôle, la seule variable pertinente est l'angle .
Question 3
Aide :
Définition de la mesure d'un angle solide (unité stéradian):

$\Psi = \intop\!\!\intop\sin\theta d\theta d\phi$

avec $\theta$ et $\phi$ les angles d'Euler.

Dans le cas étudié, il y a symétrie de révolution autour de l'axe de révolution du système.

Solution :
Mesure de l'angle solide d'un hémisphère :

$\Psi _{\mathrm{hem}} = \intop _{\mathrm{\theta=0}}^{\pi\over 2}\intop _{\mathrm{\phi=0}}^{2\pi}\sin\theta d\theta d\phi = 2\pi$

Mesure de l'angle solide d'un cône de demi-angle au sommet :

$\Psi _{\mathrm{cone}} = \intop _{\mathrm{\theta=0}}^{j}\intop _{\mathrm{\phi=0}}^{2\pi}\sin\theta d\theta d\phi = 2\pi(1-\cos j)$
Question 4
Aide :
La probabilité mesure la non-appartenance au cône précédemment défini.

Solution :
$p = 1-{\Psi _{\mathrm{cone}}\over\Psi _{\mathrm{hem}}} = 1-{2\pi (1-\cos\ j_0)\over 2\pi} = \cos\ j_0$

Les angles et sont complémentaires : $i_0 + j_0 = \pi /2$ . On en tire :

$p = \sin i_0$

Comme de plus le rayon stellaire est petit devant le rayon de la trajectoire de l'exoplanète, l'angle est petit, et l'on peut le confondre avec son sinus ou sa tangente.

$p \simeq \tan i_0 = { R _{\mathrm{*}}\over a}$
Question 5
Solution :
Application numérique directe :

$p = {7.10^5\over 0.05\ 150\ 10^6} \simeq 0.09$

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Exercice 'Petite révision sur la formation d'image'

Question 1
Aide :
Rappel : 1 AL = 63 000 UA.

Solution :
$\alpha = {5.2 {\,\mathrm{UA}}\over 10 {\,\mathrm{AL}}} = 8.25\ 10^{-6} {\,\mathrm{rad}} = 1,7''$
Question 2
Aide :
Un objet est résolu spatialement si sa taille angulaire est supérieure à la taille de la tache de diffraction.

Solution :
Le diamètre minimum du collecteur est atteint lorsque la tache de diffraction est égale la distance angulaire maximum $\alpha$ entre le soleil et Jupiter :

$\alpha = 1,22\ {\lambda\over D} \iff D = 1.22\ {\lambda\over\alpha} = {1.22 \ 0.5\ 10^{-6}\over 8.25\ 10^{-6}} = 7.4 {\,\mathrm{cm}}$

Pour tout télescope de diamètre supérieur, l'astronome extraterrestre peut résoudre Jupiter autour du Soleil.
Question 3
Aide :
S'intéresser au rapport des flux respectifs du Soleil et de Jupiter.

Solution :
Le rapport des flux est tellement disproportionné qu'il faut un meilleur pouvoir séparateur de l'instrument ou une plus grande distance entre les 2 objets pour espérer voir la planète.

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Exercice 'Astrométrie'

Question 1
Aide :
Un mouvement rectiligne uniforme est un mouvement non perturbé par quoi que ce soit.

Solution :
L'étoile observée est isolée, et donc elle obéit au principe de Galilée.
Question 2
Aide :
Faire un schéma.

Solution :
$\tan\alpha = {a _{\mathrm{*}}\over d}\simeq\alpha$

avec $a _{\mathrm{*}}$ étant la distance du centre de l'étoile au centre de masse du système (étoile-planète)
Question 3
Aide :
Définir le centre de masse.

Aide :
Etablir $M _{\mathrm{*}} a _{\mathrm{*}} = ma$

Solution :
D'après la définition du barycentre $a _{\mathrm{*}}=am/ M _{\mathrm{*}}$ . Alors :

$\alpha = {a\over d}{m\over M _{\mathrm{*}}} \iff a = { M _{\mathrm{*}}\over m}\ \alpha\ d$
Question 4
Aide :
Le parsec est défini comme étant la distance d'une étoile ayant une parallaxe de 1".

Solution :
Une étoile ayant une parallaxe de 0.1" est, par définition, à 10 pc.
Question 5
Aide :
Traduire la relation établie précédemment entre et , et l'exprimer dans le système d'unités (UA, masse de Jupiter).

Aide :
Le produit $d\alpha$ , avec en pc et $\alpha$ en seconde d'arc, donne directement une distance en UA.

Solution :
On traite l'équation :

$a\ =\ { M _{\mathrm{*}}\over m}\ d\alpha$

en tenant en compte que le produit $d\alpha$ , avec en pc et $\alpha$ en " donne une distance en UA directement, par définition. En prenant $M _{\mathrm{*}}$ directement en masse jovienne ( $M _{\mathrm{*}}\simeq 1000\ M _{\mathrm{J}}$ ), on obtient dans le système d'unités (UA, $M _{\mathrm{J}}$ ), pour $\alpha=0.01"$ :

$a \ = \ {1000\over m} \ 10 \ 0.01 \ = \ 100 /m\ = \ 100 \ m^{-1}$

En échelle logarithmique, cette équation définit une droite de pente -1 ; elle passe par le point $(m, \ a) \ = \ (10, \ 10)$ .

Pour une précision de 1 mas (1 millième de seconde d'arc), la courbe obtenue est définie par :

$a \ = \ 10 /m\ = \ 10 \ m^{-1}$

Parallèle à la précédente, elle contient le point $(m, \ a) \ = \ (1, \ 10)$ .

Comme le montre le diagramme ci-joint, aucune planète du système solaire n'est ainsi détectable à ce niveau de précision astrométrique.

Diagramme a-msin i
Crédit : ASM
Question 6
Aide :
C'est la même chose que précédemment. Seule l'application numérique change.

Solution :
Par rapport au cas précédent, le gain en précision d'un facteur 20 déplace la limite vers les faibles masses, passant p.ex. par le point $(m, \ a) \ = \ (0.05, \ 10)$ .

Planètes détectables
Crédit : ASM
Question 7
Aide :
Si les graphes ont été dressés, la réponse n'est plus qu'une question de domaine.

Solution :
Planètes détectables : Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Seules les planètes géantes sont donc détectables, pas la Terre !

Planètes détectables
Crédit : ASM