S'exercer

QCM

1) Le disque en rotation est observé sans aucune résolution spatiale (on ne voit qu'un point lumineux). Par rapport à un disque sans rotation, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

2) Le disque en expansion est observé sans aucune résolution spatiale. Par rapport à un disque sans expansion, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

3) Peut-on, sans imagerie, et avec la seule indication de l'élargissement des raies, décider s'il s'agit d'un disque en rotation ou en expansion ?
non
oui

Mesure de la période de rotation de Mercure

Difficulté : ☆☆ Temps : 1.5 heure

Le but de l'exercice est d'interpréter les observations radio de la planète Mercure, menées au radio-télescope d'Arecibo en 1965 (Dyce et al. 1965, Astronomical Journal 72, 351-359). Il s'agissait alors de mesurer la période de rotation propre de Mercure, et de déterminer si elle était égale ou non à la période de rotation orbitale.

demi-grand axe		0.39 UA
révolution sidérale		88 j
rayon		2420 km
diamètre du radiotél.		305 m
fréquence émise	$\nu_0$	430 MHz

Question 1)

Propagation : L'écho d'un signal radio émis par le télescope d'Arecibo et réfléchi par Mercure est réceptionné 616.125 s après son émission. En déduire la distance Terre-Mercure lors de l'observation, et représenter la position relative de ces 2 planètes et du Soleil. Les observations effectuées pourraient-elles être menées en lumière visible ?

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Question 2)

Le champ de vitesse : On repère un point de la surface visible de Mercure par ses coordonnées cartésiennes dans le repère Oxyz , où est le barycentre de la planète, pointe vers la Terre et est parallèle à l'axe de rotation de la planète. On note le rayon de la planète Mercure, T_0 sa période de révolution sidérale, et sa période de rotation propre.

Donner les coordonnées du point sub-terrestre [i.e. le point de Mercure qui voit la Terre au zénith].

Montrer que la composante radiale (colinéaire à l'axe Terre-Mercure) de la vitesse d'entraînement de rotation ne dépend que de l'une des composantes de la position de .

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Question 3)

L'analyse temps-fréquence de l'écho radar : Quelles régions de la surface contribuent au début ( $\Delta t =0$ ) et à la fin ( $\Delta t_0$ ) du signal d'écho. Déterminer la durée totale théorique $\Delta t_0$ de l'écho ? Représenter l'allure des lignes d'iso-retard $\Delta t$ sur la carte de Mercure [ 0yz ].

On note $\Delta \nu _{\mathrm{orb}}$ le décalage Doppler du signal réfléchi au point subterrestre. Quelles régions contribuent à l'élargissement Doppler extrêmal $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}±\Delta\nu_0$ du signal ? Représenter sur la carte de Mercure l'allure des lignes d'iso-fréquence $\Delta \nu$ (à $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}$ près).

Calculer, pour un point de Mercure de coordonnées $(x=\sqrt{R^{2}-y^{2}},y,z=0)$ , le retard $\Delta t$ de l'écho et son décalage spectral $\Delta\nu$ . Montrer que l'on a :

$\left( {\Delta t\over \Delta t_0} - 1\right)^{2} +\left( {\Delta \nu\over \Delta \nu_0}\right)^{2} \ = \ 1$

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Question 4)

L'écho : Le document ci-joint (Dyce et al. 1965) montre l'étalement en fréquence de l'écho en fonction du retard à la réception. Comparer le retard maximal théorique à celui enregistré, et interpréter le désaccord. En déduire, que la relation entre $\Delta t$ et $\Delta\nu$ se réduit, pour les mesures effectuées, à $\Delta\nu /\Delta\nu_0 = \sqrt{2 \Delta t / \Delta t_0}$ Comment interpréter les variations temporelles d'intensité du signal ?

Estimer , la période de rotation propre de Mercure.

On pose $T_0 = \alpha \ T$ . Quelle signification donner à $\alpha$ ? De quelle fraction simple $\alpha$ est-il proche ? Est-ce un hasard ?

Pourquoi les données présentant un plus fort retard ne sont-elles pas facilement exploitables ?

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Question 5)

La puissance de l'écho : Quelle fraction du signal Mercure intercepte-t-il ? [on se contentera d'un ordre de grandeur grossier, en supposant que le flux radar est homogène dans un champ d'angle solide égal au lobe principal de diffraction ; un calcul précis est hors de portée de la modélisation proposé].

Estimer, à l'aide d'un modèle simple, le nombre de photons incidents nécessaires pour réceptionner 1 photon en retour après réflexion au point subterrestre.

Une puissance d'émission de 2 MW vous étonne-t-elle ? [l'impulsion radar incidente est très brève : $100\, \mu\mathrm{s}$ ; on se contentera également d'un ordre de grandeur grossier]

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