Compléments de Physique

Auteurs: Benjamin Mollier, Laurence Tresse

Introduction

Dans ce chapitre vous trouverez des compléments détaillés sur deux thèmes de la Physique qui vous seront utiles pour améliorer votre compréhension des chapitres Astronomie qui sont disponibles sur le site.


Optique géométrique

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

introductionIntroduction

Lunettes, télescopes, appareils photos... comment fonctionnent ces instruments ? C'est la question à laquelle nous allons tenter de répondre tout au long de ce cours dédié à l'optique dite géométrique.

objectifsObjectifs

L'objectif de ce cours est de vous donner les bases d'optique qui vous permettront de comprendre comment fonctionnent une lunette astronomique, un télescope et un appareil photographique.

Ce cours est découpé en 7 chapitres :

prerequisPrérequis


Les bases de l'optique géométrique

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

objectifsDans ce chapitre...

... nous retracerons l'histoire des découvertes concernant la lumière. De l'Antiquité au XXe siècle, comment est-on passé d'une optique géométrique et corpusculaire à une optique ondulatoire, puis à une théorie plus complète, intégrant les deux descriptions ?

Nous établirons également quelques propriétés de la lumière, en décrivant ce qu'est une onde et présentant ce qu'est un photon.

Puis nous dessinerons les contours de l'optique géométrique, afin de fixer le cadre dans lequel nous travaillerons jusqu'à la fin de ce cours.

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Voici l'histoire de la lumière !
Crédit : B. Mollier

Pour la petite histoire...

Durant l'antiquité

L'histoire de l'optique commence dès l'Antiquité. Les notions de rayons lumineux ainsi que les lois de la réflexion sont déjà connues d'Euclide et de Ptolémée.

Le XVIIe siècle et la redécouverte des lois de la réflexion et de la réfraction

Il faudra cependant attendre plusieurs siècles et le mathématicien et physicien arabe Alhazen pour que soient énoncées les lois de la réfraction. Elles seront redécouvertes en Europe par le physicien hollandais W. Snell (1621) puis par le français René Descartes en 1637. Il est amusant de voir que ces lois sont appelées lois de Snell partout dans le monde, sauf en France, où elles sont appelées lois de Descartes. Vous avez dit chauvinisme ? Débat stérile puisqu'elles avaient été découvertes six siècles avant eux. De plus, elles avaient déjà été publiées en Europe par le britannique Roger Bacon au XIIIe siècle.

La théorie corpusculaire et les premiers instruments astronomiques

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Buste de Galilée, sur sa tombe dans l'église Santa Croce, à Florence
Crédit : B. Mollier

Les premiers instruments optiques pour l'astronomie apparaissent aux XVIIe siècle avec l'utilisation de la lunette par Galilée en 1609 puis l'amélioration du télescope par Isaac Newton en 1671. Le XVIIe siècle voit donc se développer l'optique géométrique ainsi qu'une description corpusculaire de la lumière, portée notamment par Newton. Les sources lumineuses émettent des particules de lumière qui sont réfléchies par les miroirs et traversent les milieux transparents à différentes vitesses. De cette description, Fermat tirera le principe de moindre temps pour expliquer les phénomènes de réfraction. La lumière emprunte le chemin le plus rapide pour aller de l'émetteur au récepteur. À cette même époque, Newton réalise les premières expériences de décomposition de la lumière et en déduit que la lumière blanche est composée de la superposition de lumières colorées.

Le XIXe siècle et la théorie ondulatoire

Parallèlement, le physicien néerlandais Christiaan Huygens développe, en 1678, une théorie ondulatoire de la lumière. Selon lui, elle serait constituée d'ondes sphériques émises en différents points. La lumière réelle en serait l'enveloppe. Avec sa théorie, il parvient à expliquer la réflexion et la réfraction.

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Ondelettes de Huygens, dans le cas de la diffraction par une fente. La lumière arrive par la gauche. Elle est dite plane car les surfaces des ondelettes sont des plans. En franchissant l'obstacle, la lumière se diffracte : les surfaces ne sont plus planes.
Crédit : ASM/B. Mollier

Ce modèle ne sera repris qu'au XIXe siècle, où la théorie ondulatoire permet à Thomas Young d'expliquer le phénomène d'interférence, ainsi qu'à Augustin Fresnel de développer la théorie de la diffraction. James Clerk Maxwell termine le travail en construisant une théorie de l'électromagnétisme. La lumière est désormais une onde électromagnétique, de fréquence de l'ordre de 10^{14} Hz pour sa partie visible, se propageant à la vitesse c = 3.10^8\ \text{m.s}^{-1}.

Le XXe siècle : et si c'était un peu des deux ?

Cependant, quelques phénomènes résistent encore à cette description : l'effet photoélectrique et l'émission du corps noir. Albert Einstein, dans un article publié en 1905, remet au goût du jour la théorie corpusculaire en introduisant la notion de photon, un grain de lumière, d'énergie E = h\nu, où \nu est la fréquence de l'onde électromagnétique précédemment introduite, et h une constante, qui portera le nom du physicien Planck. Dans cet article, il parviendra à expliquer l'un des phénomènes encore mystérieux, l'effet photoélectrique. Il est d'ailleurs amusant de rappeler que c'est pour cet article que le père de la relativité recevra le prix Nobel. Le second phénomène, l'émission du corps noir, sera alors résolu grâce à ce nouveau modèle, par Max Planck et Einstein.

Onde ou corpuscule ? En 1924, Louis de Broglie concilie les deux approches en parlant de dualité onde corpuscule. Les deux théories, loin de s'opposer, se complètent. Les dernières contradictions sont levées par la théorie de l'électrodynamique quantique esquissée par Richard Feynman, au cours des années 1950.


Qu'est-ce que la lumière ?

Auteur: Benjamin Mollier

Qu'est-ce que la lumière ?

introductionQu'est-ce que la lumière ?

Nous venons de voir que la description de la lumière a évolué au cours du temps : tantôt une onde, tantôt un corpuscule, tantôt les deux à la fois. Néanmoins, pour nombre de phénomènes que nous étudierons dans la suite de ce cours, la connaissance de la nature de la lumière n'est pas nécessaire. Afin de satisfaire la curiosité du lecteur, je vais toutefois présenter quelques propriétés de la lumière.

Qu'est-ce que la lumière ?
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Onde ou corpuscule ?
Crédit : B. Mollier

Les trois pages qui suivent sont inspirées du cours du professeur Tadashi Tokieda à l'Ecole de Cargese "Transit, eclipses, occultations et phénomènes rasants".


Qu'est-ce qu'une onde ?

introductionQu'est-ce qu'une onde ?

Dans une piscine, un farceur veut éclabousser son copain. Comment s'y prend-il ?

Comment éclabousser un ami ?
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Crédit : B. Mollier

Une poussée directe projette de l'eau... mais pas assez loin. Le copain est toujours sec.

Pas comme ça...
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Crédit : B. Mollier

Par contre, s'il excite une onde, en agitant régulièrement les bras, le tour est joué !

... mais avec une onde !
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Crédit : B. Mollier

Le train de vagues créé est une onde. Le farceur a communiqué de l'énergie à l'eau, en la mettant en mouvement de haut en bas, et celle-ci s'est propagée jusqu'au malheureux.

Tiens, c'est intéressant. Un enfant a oublié son canard en plastique dans la piscine. Notre victime pourra se consoler avec ce jouet, qui ira tout droit jusqu'à lui, porté par les vagues. Et bien... non. Dommage pour lui, mais si on observe le canard, certes il oscille de haut en bas, mais il n'avance pas dans la piscine.

Un canard enchainé ?
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Crédit : B. Mollier

C'est une propriété importante des ondes. Le transport d'énergie se fait sans transport de matière.

definitionDéfinition

Une onde est un phénomène de propagation ordonnée d'énergie, sans transport de matière.

definitionPropriétés

J'ai cité l'exemple des vagues à la surface de la piscine, mais il existe bien d'autres exemples d'ondes :

À noter que toutes les ondes précédemment mentionnées nécessitent un support pour se propager. L'espace étant vide, le son ne peut s'y propager. Les bruits d'explosions dans Star Wars ne sont donc que pure fiction.


L'onde lumineuse

introductionL'onde lumineuse : une onde électromagnétique

De la même façon que dans l'air on peut créer une onde sonore en perturbant mécaniquement le milieu, on crée une onde électromagnétique en secouant une charge électrique (un électron par exemple) dans le vide. C'est une onde lumineuse.

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Crédit : B. Mollier

Le dessin ici est trompeur, car l'onde est rayonnée dans toutes les directions. Dans la piscine, les vagues se propageaient tout autour de notre farceur, en faisant des ronds dans l'eau.

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Crédit : B. Mollier

Notre charge crée de la même manière des ondes sphériques autour d'elle. À noter cependant que la puissance rayonnée dépendra de la direction dans ce cas particulier.

Ondes-07.png
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueRemarque

À l'inverse des ondes citées jusqu'à présent, l'onde électromagnétique n'a pas besoin de support pour se propager. Elle peut se déplacer dans le vide. C'est d'ailleurs comme ça qu'on peut voir les étoiles. Cela a dérouté les physiciens pendant de nombreuses années, et ils avaient introduit un support, de nature inconnue, appelé éther pour expliquer la propagation des ondes lumineuses. C'était un fluide qui emplissait tout l'espace. Or, comme la Terre se déplaçait dedans, il devait exister des vents d'éther, se traduisant par une vitesse de propagation de la lumière différente selon la direction d'où elle venait. Deux physiciens, Michelson et Morlay, ont alors mis au point un instrument très précis, un interféromètre, pour mesurer la vitesse de la lumière dans plusieurs directions. Ils n'ont jamais trouvé de différence. Michelson a alors considéré son expérience comme un échec, remettant en cause sa précision. L'explication était tout autre. L'éther n'existait pas, et la vitesse de la lumière constante, qu'elle que soit la direction. Le principe de relativité restreinte était né sous la plume d'Einstein.


La vitesse de la lumière

definitionLa célérité de la lumière dans le vide

Une onde électromagnétique se propage dans le vide toujours à la même vitesse.

c\ = \ 299\ 792\ 458\ \text{m.s}^{-1}\text{,}

soit presque 8 tours de la Terre en une seconde !

Vous avez dit toujours ? Oui, toujours ! dans le vide.

remarqueRemarques

Vitesse de la lumière
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Dans le vide, la lumière se propage à la vitesse c = 299\ 792\ 458\ \text{m.s}^{-1}.
Crédit : B. Mollier

Les mesures de la vitesse de la lumière

ensavoirplusRömer

En 1676, à l'Observatoire de Paris, Olaus Römer, physicien danois, est le premier à émettre l'hypothèse du caractère fini de la vitesse de la lumière. Il explique ainsi les variations de la récurrence des éclipses du satellite jovien Io. Elles variaient en effet de plusieurs minutes par rapport aux éphémérides. De ses mesures, il déduit que la lumière se propage à 214\ 000\ \text{km.s}^{-1} (avec une erreur de l'ordre de 30 % par rapport à la valeur mesurée aujourd'hui).

ensavoirplusFizeau

En 1849, Fizeau mesure à son tour la vitesse de la lumière, à l'aide d'un dispositif constitué d'une roue dentée, située à Suresnes et d'un miroir situé à quelques kilomètres de là, à Montparnasse. La lumière passe entre deux dents à l'aller se réfléchit sur le miroir puis revient. L'exercice consiste alors à trouver la vitesse de la roue qui permet à la lumière réfléchie de passer entre les deux dents suivantes. La donnée de cette vitesse ainsi que de la distance de la roue au miroir donne la valeur de c.

ensavoirplusFoucault

Léon Foucault
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Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Foucault réalisera, un an après, une expérience proche, permettant de mesurer la vitesse dans différents milieux transparents, comme l'eau. Il en déduira que la lumière se propage moins vite dans l'eau que dans l'air, mettant un terme à la théorie corpusculaire, qui prédisait le résultat inverse.

ensavoirplusMichelson, Morlay, Einstein...

Albert Einstein
BoiteEinsteinExt.png
Crédit : B. Mollier

En 1887, Michelson et Morlay prouvent que la lumière se propage à la même vitesse dans toutes les directions et que le mouvement de la Terre dans l'espace n'influence pas cette valeur. Mais c'est Albert Einstein qui trouvera l'interprétation correcte de cette expérience : la vitesse de la lumière est constante et égale à c = 299\ 792\ 458\ \text{m.s}^{-1}, et ce, dans n'importe quel référentiel.

ensavoirplusComplément : La vitesse des neutrinos

En 2011, une équipe du CERN avait annoncé avoir enregistré des neutrinos (des particules neutres, très légères, et n'interagissant que très peu avec la matière) se déplaçant plus vite que la lumière. Cela rentrait en contradiction avec la théorie de la relativité restreinte, qui énonce qu'aucune particule, ne peut se déplacer plus vite que la lumière dans le vide. Après de nombreuses vérifications, un biais dans la mesure a été détecté. L'erreur de mesure était due à une mauvaise connexion d'une balise GPS.


La mesure de la vitesse de la lumière par Römer

exerciceExpérience de Olaüs Römer

En fonction de la position de la Terre (en A ou en B), il existe un décalage de 996 secondes dans les prédictions de l'heure de l'éclipse du satellite Io de Jupiter (en J).

Expérience de Römer
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Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Calculer la vitesse de la lumière.


Fréquence et longueur d'onde

definitionPériode et fréquence temporelles

Sautons à nouveau dans la piscine. Notre farceur crée une vague à chaque fois que ses bras font un mouvement de haut en bas puis de bas en haut. S'il agite doucement les bras, la durée entre deux vagues sera longue. Par contre, s'il les agite rapidement, cette durée se raccourcit.

Période
Periode.gif
La période temporelle est le temps qui s'écoule entre le passage de deux maxima.
Crédit : B. Mollier

Nous venons de mettre en évidence la période temporelle d'une onde (que l'on notera T). Dans le cas des vagues, elle est de l'ordre d'une seconde. Inversement, on voit passer une vague par seconde environ. Un peu plus si le temps entre deux vagues est plus court, un peu moins, s'il est plus long. C'est ce qu'on appelle la fréquence (notée f ou \nu). Elle est définit comme l'inverse de la période temporelle.

 \nu = \frac{1}{T}

Elle s'exprime en Hertz (Hz). 1\text{\ Hz} = 1\text{\ s}^{-1}.

definitionPériode spatiale et longueur d'onde

On s'intéresse maintenant non plus au temps séparant deux vagues, mais à la distance entre deux sommets de vagues. Cette distance est appelée longueur d'onde, et souvent notée \lambda. Elle s'exprime en mètre.

Longueur d'onde
LongueurOnde.png
La période spatiale est la distance qui sépare deux maxima.
Crédit : B. Mollier

Si notre farceur agite plus vite les bras, on sent bien qu'il y aura plus de vagues, et que la distance séparant deux d'entre elles sera plus courte. Il existe donc une relation entre la fréquence et la longueur d'onde.

\lambda = \frac{v}{\nu} = vT

On remarque donc que, à période T fixée, si la vitesse augmente, la longueur d'onde augmente. Les vagues fuient plus vite et donc la distance entre elles grandit.


Le spectre lumineux

introductionUn électron qui s'agite, qui s'agite...

Le farceur peut agiter plus ou moins vite les bras. Il en est de même pour notre charge électrique. On peut la secouer très doucement, de l'ordre du Hertz. Elle créera alors une onde radio. Si on l'excite très vite, de l'ordre de un million de milliards de fois par seconde, c'est une onde lumineuse visible qui naîtra. Encore plus vite, et ce seront des rayons X et \gamma qui seront générés.

definitionLes domaines de fréquences luminueuses

La fréquence des ondes lumineuses peut donc varier sur plusieurs ordres de grandeur, allant de la radio aux rayons \gamma en passant par le visible. Pourtant, ce sont tous la manifestation d'un même phénomène, la propagation d'une onde électromagnétique. Seule la fréquence varie.

Si ces ondes lumineuses ne sont pas toutes regroupées sous la même appellation, c'est en partie pour des raisons historiques (on ne savait pas encore que c'était la même chose), et en partie pour des raisons instrumentales, car les outils pour les détecter ne sont pas les mêmes. On utilise parfois des antennes, parfois des miroirs et des capteurs CCD, parfois des lames de silicium...

L'astronomie est un domaine très riche, où toutes ces fréquences sont intéressantes à étudier, car elles nous renseignent sur des phénomènes très variés et des objets très différents. Le tableau suivant présente les différents domaines de longueurs d'onde ainsi que les phénomènes les produisant.

Les différents domaines spectraux
Domaine spectralLongueur d'onde (en m)Fréquence (en Hz)InstrumentsSources
Ondes radio> 10< 10^{8}\ (100\ MHz)Réseau décamétrique de NançayNuages froids, aurores polaires.
Ondes radio> 10^{-3}< 10^{10} \sim 10^{11}Radiotélescope de NançayHydrogène neutre (raie à 21\ cm)...
Submillimétrique\sim 10^{-3} - 10^{-4}< 10^{11} \sim 10^{12}Observatoire du plateau de BuresFond diffus cosmologique, objets/poussières froids...
Infrarouge\sim 10^{-4}-10^{-6}\sim 10^{12}-10^{14}VLT, CHARA, Keck, SpitzerÉtoiles, planètes, poussières...
Visible\sim 800.10^{-9}-400.10^{-9}\sim 10^{14}Hubble, HARPS, Soho...Étoiles, Soleil, planètes, nébuleuses, trous noirs...
Ultraviolet\sim 10^{-7} - 10^{-9}\sim 10^{17}SohoSoleil, étoiles, trous noirs
Rayons X\sim 10^{-10}\sim 10^{18}XMM, Chandra...Étoiles binaires en interaction, trous noirs...
Rayons γ< 10^{-18}> 10^{26}FermiSursauts gamma, trous noirs
Le spectre électromagnétique
Spectre.jpg
Le spectre électromagnétique s'étend de la radio aux rayons gammas. À l'aide de différents instruments (de gauche à droite : Le réseau décamétrique de Nançay, le télescope décimétrique de Nançay, l'interféromètre submillimétrique du plateau de Bure, le satellite Planck, le satellite infrarouge Spitzer, le VLT, le télescope spatial Hubble, l'observatoire X européen XMM-Newton, le satellite gamma Fermi), permet d'observer des objets aussi divers que (de gauche à droite) des galaxies en collisions, le fond diffus cosmologique, la poussière dans une galaxie, des nébuleuses diffuses, le Soleil, la Voie Lactée.
Crédit : B. Mollier (+NASA / ESA / CNES / IRAM)
La Voie Lactée à différentes longueurs d'onde
MultiwavelengthMilkyWay.jpg
La Voie Lactée observée à différentes longueurs d'onde, de la radio (en haut) aux rayons gamma en bas.
Crédit : NASA

Propagation dans les milieux

introductionPropagation à travers un milieu

Lorsque la lumière se propage dans un milieu (air, eau, verre...), elle interagit avec celui-ci. Ce dernier modifie les propriétés de la lumière. Il peut changer sa vitesse, lui prendre de l'énergie (plus rare, lui en donner).

Dans certains milieux, tel le verre, la vitesse est plus importante pour le rouge que pour le bleu. Ce phénomène est appelé dispersion. Il est utilisé, depuis Newton, dans les prismes, pour décomposer la lumière.

Décomposition de la lumière
Prisme.jpg
Un prisme utilise la propriété dispersive du verre pour décomposer la lumière. Dans tous les phénomènes dispersifs dus à la réfraction, le rouge sera moins dévié que le bleu. C'est comme ça que l'on distingue les phénomènes réfractifs des phénomènes diffractifs.
Crédit : B. Mollier (fortement inspiré de la pochette de l'album "Dark side of the moon" des Pink Floyd.)

L'intensité lumineuse peut décroître dans les milieux. C'est le phénomène d'absorption (exemple : les lunettes de soleil). Elle peut également croître dans les milieux amplificateurs. Ces milieux sont utilisés dans les lasers.

definitionMilieu transparent, homogène, isotrope

Dans la suite, ce cours se limitera à l'étude des milieux homogènes transparents et isotropes (HTI).

definitionIndice optique d'un milieu HTI

Nous venons de le voir, dans un milieu HTI (MHTI), la lumière se propage moins vite que dans le vide. On définit l'indice n du milieu comme étant le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide sur sa vitesse v dans le milieu.

n\ =\ \frac{c}{v}

La vitesse dans un milieu HTI étant toujours inférieure à celle dans le vide, n est toujours supérieur à 1.

Propagation dans un MHTI
chap1-indice.jpg
La vitesse dans un milieu HTI étant toujours inférieure à celle dans le vide, l'indice n est toujours supérieur à 1.
Crédit : B. Mollier

Les MHTI étant généralement dispersifs, l'indice n dépend de la longueur d'onde.

Indices de différents milieux
MilieuxIndices
Vide1
Air1,00029
Eau1,33
Verre crown1,52
Verre flint1,67

Le milieu est d'autant plus réfringent qu'augmente n.

ensavoirplusVitesse de la lumière dans les milieux

La physique nous dit que la lumière va à la vitesse c partout, tout le temps. Or, on constate qu'elle va moins vite dans les MHTI. En fait, dans ce type de milieu, la lumière interagit avec les molécules composant celui-ci. Entre chaque molécule, les photons voyagent à c. Mais en interagissant, ils sont absorbés puis réémis, ils changent plusieurs fois de directions... Vu de loin, tout se passe comme si la lumière allait moins vite.


Un petit QCM

qcmIndices et longueurs d'onde

1)  La limite supérieure du domaine visible correspond à la longueur d'onde :




2)  Cette limite sépare :



3)  Dans milieu transparent, homogène et isotrope :



4)  L'eau (plusieurs réponses possibles) :






Mon premier indice...

exerciceIndices et célérité de la lumière

Une molécule d'eau est composée d'un atome d'oxygène et de deux atomes d'hydrogène : H_2O. Parfois, l'atome d'hydrogène est remplacé par son isotope stable, le deutérium. Ce dernier est composé d'un proton et d'un neutron. Il est deux fois plus lourd que l'hydrogène. Cette molécule HDO est alors appelée eau semi-lourde. L'eau lourde, quant à elle, est constituée de deux atomes de deutérium : D_2O.

L’eau lourde est utilisée dans certains réacteurs nucléaires comme modérateur de neutrons. Son but est ralentir les neutrons issus de réactions de fission nucléaire. Les neutrons ralentis ont alors une probabilité plus élevée de provoquer de nouvelles fissions de noyaux d'uranium, permettant ainsi la réaction en chaîne.

Question 1)

L'indice optique de l'eau légère est noté n(H_2O) = 1,3325. Calculer la vitesse de la lumière dans cette eau.

Question 2)

La vitesse de la lumière dans l'eau lourde v(D_2O) = 2,258.10^8 m.s^{-1}. Calculer son indice optique.

Question 3)

Laquelle de ces 2 eaux est la plus réfringente ? Où la lumière se déplace-t-elle le plus vite ?


Le photon

introductionL'effet photoélectrique

Tout ce que nous venons de dire permet de décrire beaucoup de phénomènes optiques, mais pas l'effet photoélectrique. Quel est ce phénomène qui échappe encore à notre description ?

L'effet photoélectrique se manifeste quand on éclaire un métal avec un rayonnement UV. Des électrons sont alors arrachés du métal à cause de cette lumière. Pour que les électrons soient arrachés, il faut leur communiquer de l'énergie en quantité suffisante. Sous un certain seuil d'énergie, les électrons ne pourront pas quitter la plaque de métal. Mais au-dessus d'un certain seuil, ils pourront "sauter la barrière" et quitter le métal.

Intuitivement, on peut se dire que plus l'intensité de la lumière est importante, plus grande sera l'énergie apportée aux électrons. Au dessus d'un certain flux lumineux, l'effet photoélectrique se manifestera. Il n'en est rien. Si on éclaire la plaque avec de la lumière rouge, verte ou bleue, quelle que soit l'intensité du flux, aucun électron n'est jamais émis. Par contre, dès qu'on descend en longueur d'onde, et qu'on atteint l'ultraviolet, l'effet photoélectrique apparaît. Même à faible flux lumineux ! Ça n'est pas intuitif du tout !

Effet photoélectrique
EffetPhotoelec01.jpg
L'effet photoélectrique ne dépend pas de l'intensité du flux lumineux, mais uniquement de la longueur d'onde. Cet effet ne s'explique pas en optique ondulatoire, mais uniquement en mécanique quantique.
Crédit : B. Mollier

definitionL'hypothèse du photon

Comment expliquer ceci ? Il faut revenir à l'hypothèse corpusculaire. La lumière est vue comme un flux de petits grains, qu'on appellera photons, chacun transportant une petite quantité d'énergie, un quantum d'énergie. En quoi ça change ? Et bien, d'une part l'énergie totale est proportionnelle au nombre de photon. Plus il y a de photons, plus on apporte d'énergie. Mais aucun photon, pris individuellement, ne possède l'énergie suffisante pour faire "sauter" un électron. Sauf en dessous d'une certaine longueur d'onde. Là chaque photon, même en très petit nombre, peut arracher un électron. On en déduit que l'énergie des photons est inversement proportionnelle à la longueur d'onde, ou, de manière équivalente, proportionnelle à la fréquence.

E = h\nu

La constante de proportionnalité h est appelée constante de Planck, et vaut h=6,62.10^{-34}\ J.s.

Effet photoélectrique
EffetPhotoelec02.png
L'électron ne peut changer de niveau que si le photon incident possède sensiblement la même énergie que le niveau à "sauter".
Crédit : ASM/B. Mollier

L'optique géométrique

Auteur: Benjamin Mollier

Propagation de la lumière dans les MHTI

introductionUne petite expérience...

Réalisons une expérience. Plaçons nous dans le noir et observons le pinceau lumineux rouge issu d'un laser hélium-néon. La poussière flottant dans la pièce diffuse la lumière de celui-ci, nous permettant d'observer la trajectoire du pinceau lumineux. On constate que celui-ci est rectiligne.

Les rayons lumineux traversant les rideaux, le matin, ont également l'air rectiligne.

En reproduisant ces expériences avec différentes sources et différents milieux, on constaterait toujours que la lumière se propage en ligne droite dans l'espace.

Étoile guide laser
Premiere_etoile_guide_laser_VLT.jpg
Un rayon laser sert d'étoile guide pour l'optique adaptative du VLT. Il se propage en ligne droite. On ne le voit sur cette image que parce que de la poussière en diffuse une partie.
Crédit : ESO

definitionPropriété

La lumière se propage en ligne droite dans un MHTI.

remarqueRemarque

Remarquons que ceci n'est plus vrai dès lors que le milieu n'est plus homogène. Nous aborderons brièvement ce phénomène dans le cas des mirages (chapitre suivant) et en toute fin pour les problèmes de turbulence atmosphérique.


L'approximation de l'optique géométrique

introductionIsoler un rayon lumineux ?

Reprenons le laser et observons son faisceau. Pouvons-nous réduire de la taille de celui-ci afin de n'obtenir qu'un seul rayon lumineux ?

Pour cela, plaçons un diaphragme devant ce premier. Si on diminue le rayon de celui-ci, le faisceau voit son diamètre diminuer. On observe sur un écran que la tache que fait le laser diminue, mais reste uniformément éclairée.

Mais lorsque le rayon du diaphragme atteint des valeurs de l'ordre du micromètre, le pinceau se met à diverger, la tache grossit et on voit apparaître des anneaux autour de celle-ci. Nous venons de mettre en évidence le phénomène de diffraction. On y reviendra tout à la fin. Cela constitue un écart à la théorie de propagation rectiligne de la lumière dans les MHTI.

Isolons un rayon lumineux
bog-isolons_un_rayon.png
Lorsque l'on diminue le diamètre du diaphragme, l'épaisseur du faisceau diminue d'abord, avant de diverger. C'est le phénomène de diffraction.
Crédit : ASM/B. Mollier

ensavoirplusQu'est-ce qu'une théorie en physique ?

Profitons-en ici pour préciser que nombre de théories en physique (mais aussi en chimie, en biologie...) ne sont valides que sous certaines hypothèses et sous certaines conditions. Elles sont valables dans des "boites", c'est-à-dire dans un cadre théorique donné. Si on sort de cette boite, la théorie n'est plus valide. Elle peut être remplacée par une loi plus générale, plus complète, souvent plus complexe, si, bien sûr, elle a été découverte. Un exemple "classique", est la théorie de la mécanique newtonienne qui fonctionne aux faibles vitesses. Mais dès que l'on se rapproche de la vitesse de la lumière, cette théorie ne fonctionne plus, et il faut passer à une théorie plus générale : la relativité restreinte d'Einstein.

definitionLe cadre de l'optique géométrique

Notre conclusion ici est que la propagation rectiligne de la lumière est une loi limite, valable quand les longueurs d'onde sont faibles devant les dimensions caractéristiques de notre système. C'est le cadre de l'optique géométrique.

conclusionEt maintenant...

On a vu que la lumière visible possède des longueurs d'onde caractéristiques inférieures au micron. Que ce soit dans les télescopes ou les appareils photos, les diamètres des diaphragmes sont bien supérieurs à la longueur d'onde de la lumière visible. Nous pourrons donc toujours utiliser cette approximation.


Le rayon lumineux

definitionLe rayon lumineux

Nous nous plaçons dans les conditions où la lumière se propage en ligne droite comme le ferait un ensemble de particules matérielles (les photons) libres. Les trajectoires de ces particules constituent les rayons lumineux.

La notion de rayon lumineux est illustrée par un pinceau lumineux cylindrique obtenu avec un petit diaphragme (mais r >> \lambda).

definitionPropriétés

Le retour inverse de la lumière
retour-inverse.jpg
Un rayon lumineux empruntera le même chemin pour aller de A à B que pour revenir de B à A. Il s'agit du principe de retour inverse de la lumière.
Crédit : ASM/B. Mollier

Exercices

exerciceÉclipse solaire

Une éclipse totale de Soleil a lieu le 13 novembre 2012. Vous pouvez consulter le site de l'IMCCE pour obtenir les suivantes. Pourquoi, lors de ces phénomènes, existe-t-il des zones d'ombre et de pénombre ? Examinons cela.

Question 1)

On considère une source ponctuelle. On place une pièce devant. Tracer l'ombre de la pièce.

Question 2)

On considère cette fois ci la source étendue que constitue le Soleil. Notre pièce est remplacée par la Lune. Tracer la zone d'ombre, c'est-à-dire la zone où aucun rayon issu du Soleil ne parvient. Tracer également la zone de pénombre, où une partie des rayons du Soleil est masquée par la Lune, et de pleine lumière, où aucun rayon n'est masqué par la Lune.


Conclusion

rappelNature de la lumière

Nous venons de voir que la lumière peut être vue parfois comme une onde, parfois comme une particule appelée photon.

rappelLe spectre électromagnétique

Les ondes radio, les microondes du four éponyme, la lumière, les UV nous donnant des coups de soleil, les rayons X pour photographier nos os brisés... sont tous des visages d'un même phénomène : l'onde électromagnétique.

Les longueurs d'onde de la lumière
lalumiere.JPG
Les différentes longueurs d'onde de la lumière, depuis les rayons gamma (courte longueur d'onde, grande énergie) jusqu'aux ondes radio (grande longueur d'onde, énergie faible). On notera que la lumière visible ne représente qu'une très faible portion de ce spectre.
Crédit : ASM/Alain Hui-Bon-Hoa et Gilles Bessou

rappelL'approximation de l'optique géométrique

Lorsque les grandeurs caractéristiques d'un système optique sont grandes devant la longueur d'onde, on peut négliger le phénomène de diffraction. On abandonne ainsi la description ondulatoire de la lumière, et on peut utiliser la notion de rayon lumineux. C'est le cadre de l'optique géométrique.

rappelLe rayon lumineux

Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite.

rappelIndice optique

Enfin, nous avons vu la définition de l'indice optique d'un MHTI. Il s'agit du rapport de la vitesse de la lumière dans le vide par celle dans ce milieu.

n = \frac{c}{v}

C'est une quantité supérieure à 1, dépendant du MHTI et de la longueur d'onde.


Les lois de Snell-Descartes

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

introductionIntroduction

Prenons n'importe quel système optique, un appareil photo, un télescope, ou même, beaucoup plus simple, une paire de lunettes ou un miroir de salle de bain. Qu'ont en commun tous ces objets ? Regardons de plus près. Ils sont tous constitués de lames de verre, de lentilles et de miroirs. Nous aurons longuement le temps de revenir, dans les chapitres qui suivent, sur les lentilles et sur les miroirs sphériques et paraboliques. Mais, dans un premier temps, nous allons nous intéresser au cas plus simple des miroirs plans, ainsi que de la propagation de la lumière à travers des surfaces planes. De ces premières études, tout le reste découlera naturellement.

Nous avons vu, au chapitre précédent, que la lumière se déplace en ligne droite dans un milieu transparent, homogène et isotrope. Mais que se passe-t-il lorsqu'elle passe d'un milieu THI à un autre ? Continue-t-elle son petit bonhomme de chemin comme si de rien n'était ? Change-t-elle de trajectoire ? ou est-elle même réfléchie ? Des lois simples décrivent le comportement des rayons lumineux à la traversée d'une surface séparant deux milieux transparents.

prerequisPrérequis

Crayon brisé
P1030088-2.jpg
Le crayon brisé. Un classique de la réfraction.
Crédit : B. Mollier

Les lois de la réflexion

Auteur: Benjamin Mollier

Quelques définitions

Commençons par quelques définitions.

definitionDéfinitions

Dioptre : on appelle dioptre la surface de séparation de deux milieux transparents à travers laquelle la lumière peut se réfracter, ou sur laquelle elle peut se réfléchir.

Miroir : on appelle miroir une surface formée d'un dépôt métallique, par exemple de l'argent ou de l'aluminium, déposé sur un support qui n'est pas lui-même traversé par la lumière. Il existe une différence majeure entre les miroirs "de salle de bain" et les miroirs utilisés dans les télescopes. En effet, le dépôt métallique est, dans le premier cas, déposé à l'arrière de la paroi en verre. Le verre protège alors le dépôt de l'usure et de l'oxydation. Cependant, avant et après la réflexion sur le dépôt métallique, la lumière traverse l'épaisseur de verre. Ce procédé ne peut être utilisé en astronomie. La traversée du verre cause des réflexions parasites, une perte de lumière et des aberrations chromatiques. Dans le cas des miroirs de télescope, le métal est donc déposé à l'avant de la paroi en verre. Celui-ci n'est alors plus protégé, obligeant à réaluminer régulièrement le miroir.

Différence entre un miroir de salle de bain et un miroir de télescope
DifferenceSdBTelescope.png
La couche métallique d'un miroir de salle de bain est située derrière le verre, afin de la protéger des rayures, de l'usure et de la corrosion. Elle est placée devant le verre dans un miroir de télescope afin d'éviter l'apparition de réflexions parasites, d'aberrations chromatiques, et de limiter la perte de flux.
Crédit : ASM/B. Mollier

Point d'incidence : c'est le point de contact I du rayon lumineux incident avec le dioptre ou le miroir.

Normale au dioptre : il s'agit de l'axe perpendiculaire au dioptre, passant par le point d'incidence.

Plan d'incidence : le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre est appelé plan d'incidence. Notez que ce plan est perpendiculaire au dioptre ou au miroir.

Angle d'incidence : c'est l'angle i entre le rayon incident et la normale au plan.

Miroir plan
lois-snell-descartes-defintion.jpg
Crédit : ASM/B. Mollier
Dioptre plan
lois-snell-descartes-defintion2.jpg
Crédit : ASM/B. Mollier

Mise en évidence

introductionMatériel

Nous disposons d'un miroir plan (M) au centre d'un disque gradué. A l'aide d'une source délivrant un mince pinceau lumineux (un laser par exemple), nous éclairons (M) suivant l'axe I.

objectifsObjectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfléchi.

activiteSimulation

Réflexion application.png

qcmQCM

1)  Lorsque l'angle incident augmente,


2)  Le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale.


qcmQCM

1)  On constate que :








Énoncé des lois de la réflexion

Soit un rayon lumineux, issu de S, parvenant au point d'incidence I d'un miroir plan parfaitement réfléchissant.

definitionLois de la réflexion

La direction du rayon réfléchi IR est donnée par la première loi de Descartes :

Réflexion sur un miroir plan
loi-snell-descartes-reflexion.jpg
Crédit : B. Mollier

Exercices

Auteur: B. Mollier

exerciceDièdre

Difficulté :    Temps : 5 min

En laboratoire, pour renvoyer la lumière d'où elle vient (c'est-à-dire lui faire faire demi-tour), on utilise un dièdre. C'est un système composé de deux miroirs plans collés l'un à l'autre avec un angle de 90° (voir schéma ci-dessous).

Question 1)

Soit un rayon incident. Tracez le rayon réfléchi par le dièdre.

Dièdre
lsd-exo-diedre-01.png
Crédit : ASM / B. Mollier

Auteur: B. Mollier

exerciceDe l'utilité du dièdre

Difficulté : ☆☆   Temps : 5 min

Nous allons démontrer l'affirmation ci-dessus.

Question 1)

Soit un rayon incident arrivant avec un angle incident i_1 quelconque sur la première face du dièdre. Prouver que, quel que soit la valeur de i_1, le rayon réfléchit repartira parallèlement au rayon incident.


Les lois de la réfraction

Auteur: Benjamin Mollier

Mise en évidence (1/3)

introductionMatériel

On dispose de deux MHTI d'indice n_1 et n_2. Un rayon incident issu de S arrive sur le dioptre les séparant en I.

objectifsObjectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfracté.

activiteSimulation

Snell Descartes application.png

qcmQCM

1)  Combien de rayons issu de I observe-t-on ?



2)  Les angles incident i_1 et réfracté i_2 sont-ils égaux ?


qcmQCM

1)  Retrouve-t-on la première loi de Descartes concernant l'angle réfléchi ?


2)  Et l'angle réfracté ?




Mise en évidence (2/3)

introductionMatériel

On dispose de deux MHTI d'indice n_1 et n_2. Un rayon incident issu de S arrive sur le dioptre les séparant en I.

objectifsObjectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfracté.

rappelRappel

Nous venons de voir à la page précédente que :

activiteSimulation

qcmQCM

1)  On en déduit donc que :



remarqueRemarque

Lorsque les angles sont faibles, ils sont presque égaux à leur sinus (exprimé en radian). Donc lorsque i_1 et i_2 sont petits :

On retrouve le fait que la loi est presque linéaire pour les faibles angles.


Mise en évidence (3/3)

introductionMatériel

On dispose de deux MHTI d'indice n_1 et n_2. Un rayon incident issu de S arrive sur le dioptre les séparant en I.

objectifsObjectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfracté.

rappelRappel

Nous venons de voir aux pages précédentes que :

activiteSimulation

qcmQCM

1)  Que constatez-vous en augmentant n_1 ?






2)  Et que constatez-vous en augmentant cette fois-ci n_2 ?






3)  On en déduit alors que :




conclusionIl est temps de conclure.

exerciceExercice

On vient de voir que \sin(i_2) est proportionnel à \sin(i_1), proportionnel à n_1 et inversement proportionnel à n_2. Sur l'appliquette, calculer la pente de la courbe \sin(i_2) = k \times\sin(i_1). Comparez-la au rapport \frac{n_1}{n_2}.

Question 1)

Qu'en déduisez-vous ?


Lois de la réfraction

Résumons ce que nous venons de constater.

activiteSimulation

Considérons le rayon incident, issu de S, se propageant dans le MHTI d'indice n_1. Au point I appartenant au dioptre, il subit une déviation et une réflexion partielle. Le rayon réfracté se propage dans le MHTI, d'indice n_2, et le réfléchi, dans le MHTI d'indice n_1.

On énonce ainsi les lois de Snell-Descartes :

Réfraction au passage d'un dioptre
loi-snell-descartes-refraction.png
Crédit : B. Mollier

Conséquences

Le rayon réfracté se rapproche de la normale quand il passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent. À l'inverse, il s'en éloigne s'il passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent.

Écartement du rayon en fonction de la réfringence du milieu
loi-snell-descartes-2cas.jpg
Crédit : B. Mollier

Réfraction limite

Nous allons maintenant étudier un cas limite du phénomène de réfraction.

activiteSimulation

Démarrez l'appliquette sur les lois de Snell-Descartes, et placez vous dans le cas où n_1 > n_2. C'est par exemple le cas lorsqu'un rayon lumineux émerge de l'eau ou du verre pour se retrouver dans l'air.

exerciceExercice

Augmentez l'angle d'incidence.

Question 1)

Que se passe-t-il ?

definitionConclusion

Lors du passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, on constate que lorsque i_2 varie de 0 à 90°, i_1 ne varie que de 0 à i_{1\text{max}} = \arcsin(\frac{n_2}{n_1}). Tout rayon incident arrivant au niveau du dioptre avec un angle supérieur à celui-ci sera totalement réfléchi. Il ne sera pas réfracté ! C'est ce qu'on appelle le phénomène de réflexion totale. Nous allons le voir, ce phénomène est utilisé dans plusieurs systèmes optiques.


Exercices

Auteur: B. Mollier

exercicePetits calculs

Difficulté :    Temps : 10 min

On dispose d'un aquarium et d'un laser.

Question 1)

Le rayon issu du laser arrive avec un angle d'incidence de 50° à la surface de l'eau. Calculer l'angle réfléchi et l'angle réfracté.

Question 2)

On plonge cette fois-ci le laser dans l'eau (oui, il est étanche). L'angle d'incidence est de 35°. Calculez l'angle réfracté avec lequel émerge le rayon laser. Commentez.

exercicePrisme à réflexion totale

Difficulté :    Temps : 5 min

Dans certains instruments optiques, comme les jumelles par exemple, on utilise un prisme plutôt qu'un miroir, pour réfléchir les rayons lumineux. Ils ont l'avantage de ne pas s'oxyder et d'être plus solides.

Prisme à réflexion totale
lsd-exo-prisme.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Ces prismes possèdent un angle au sommet (A) de 90°. Le rayon lumineux entre par une petite face (AB sur le dessin), se réfléchit sur la grande face, ou base BC, puis ressort par l'autre face.

Question 1)

Calculer l'indice minimal du verre permettant une réflexion totale sur la base.

exerciceUn inconvénient du prisme...

Difficulté : ☆☆   Temps : 15 min

Lorsque le rayon incident arrive perpendiculairement à la face d'entrée, il ressort perpendiculairement à celle de sortie. Il a donc "tourné" de 90°. Mais cela fonctionne-t-il pour n'importe quel angle d'incidence ?

Question 1)

Pas de mystère, la réponse est non. Mais démontrez-le.


Exercice : le pentaprisme

exercicePentaprisme

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 45 min

L'inconvénient du prisme précédent est que dès que le rayon lumineux n'arrive plus perpendiculaire à la face d'entrée, l'angle de déviation n'est plus de 90°. Pour garantir un angle de déviation de 90° quel que soit l'angle d'incidence, on utilise un pentaprisme.

Pentaprisme
lsd-exo-pentaprisme.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Utilisation d'un pentaprisme
lsd-exo-pentaprisme2.jpg
Utilisation d'un pentaprisme pour l'alignement du banc d'interférométrie FLUOR, situé à l'observatoire du Mont Wilson, en Californie.
Crédit : E. Lhomé (avec son aimable permission)

Ce prisme est constitué de 5 faces. Les faces d'entrée et de sortie sont à 90° l'une de l'autre, comme dans le cas précédent. La face où le rayon se réfléchit est remplacée par 3 autres faces. Deux serviront à la réflexion, la dernière n'est pas utilisée. Le prisme est symétrique par rapport à l'axe AS.

Question 1)

Calculez la valeur que doit prendre l'angle \alpha pour garantir une déviation de 90° quel que soit l'angle d'incidence.

Pentaprisme
lsd-exo-pentaprisme02.png
Crédit : ASM/B. Mollier


Application : les fibres optiques

Nous avons vu précédemment le phénomène de réflexion totale. Ce phénomène, très intéressant, utilisé dans les jumelles, est à la base des réseaux de communication actuels, car il est utilisé dans les fibres optiques.

definitionQu'est-ce qu'une fibre optique ?

Une fibre optique peut être vue comme un tuyau de lumière. La lumière se propage dans celle-ci, sans s'échapper. On peut alors transporter de la lumière d'un point A à un point B comme on le ferait avec de l'eau.

Une fibre optique est composé d'un coeur, d'indice n_1, et d'une gaine, moins réfringente, d'indice n_2 < n_1.

Le coeur étant plus réfringent que la gaine, une réflexion totale sera possible. Pour que la lumière reste confinée dans le coeur et soit guidée par la fibre, il faut justement se situer dans ce cas de réflexion totale.

demonstrationComment obtenir une réflexion totale ?

A l'interface coeur-gaine, on obtient ainsi une condition sur l'angle d'incidence que doit avoir la lumière, pour rester confinée dans le coeur.

i_1 \ge \arcsin(\frac{n_2}{n_1})

Or, le rayon lumineux vient de l'extérieur. Il subit donc également une réfraction au passage de l'air vers le coeur à son entrée dans la fibre. En appliquant une fois de plus les lois de la réfraction, on obtient :

\sin\theta = n_1.\sin(\frac{\pi}{2}-i_1) soit \sin\theta = n_1\cos i_1.

d'où l'angle limite \theta_\text{L} pour que la lumière rentre dans la fibre et soit guidée :

\theta_\text{L} = \arcsin\sqrt{n_1^2-n_2^2}

activiteSimuler

Propagation d'un rayon lumineux dans un fibre optique application.png

Conséquences

\theta_\text{L} est appelé l'ouverture numérique de la fibre.


Construction géométrique

Laissons de côté, quelques instants, les calculs, pour faire un peu de dessin. Nous allons tenter de déterminer graphiquement la direction du rayon réfracté, sans employer de rapporteur.

demonstrationTracé de rayons

Après avoir tracé 2 cercles concentriques C_1 et C_2 de centre I, et de rayon n_1 et n_2 respectivement, repérons l'intersection M_2 du rayon incident avec le cercle C_2. Soit H le projeté de M_1 sur le dioptre. On définit M_2 le point d'intersection de la droite IH avec le second cercle. Étant donné que n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2=IH, la droite IM_2 indique la direction du rayon réfracté.

Construction à la règle et au compas
loi-snell-descartes-construction.png
Crédit : B. Mollier

Exercice : une histoire de pièce

Auteur: B. Mollier

exerciceUne histoire de pièce...

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 30 min

On jette une pièce au fond d'une piscine vide. Cette première se trouve à 80 cm du bord de la seconde. La profondeur de la piscine est de 2 m. Une personne, mesurant 1,70 m se trouve à 85 cm du bord.

lsd-exo-piece1.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Cette personne voit-elle la pièce au fond de la piscine ?

Question 2)

On remplit la piscine d'eau. Quelle doit être sa hauteur minimale pour apercevoir la pièce ?

Question 3)

Notre cerveau ne perçoit pas le changement de direction du rayon lumineux. Il a l'impression que celui-ci se déplace toujours en ligne droite. On a donc l'impression de voir la pièce moins profonde qu'elle ne l'est réellement. Quelle est alors la hauteur h' d'eau que l'on a l'impression de voir ?

lsd-exo-piece3.png
Crédit : ASM/B. Mollier


Applications : Milieux d'indice variable

Auteur: Benjamin Mollier

Milieux d'indice variable

Nous allons ici abandonner quelques instants le H de MHTI pour étudier des milieux à indice variable.

Nous avons tous déjà observé des phénomènes de mirage optique.

Nous allons voir que tous ces phénomènes impliquent des changements d'indice de l'atmosphère dus à des changements de température. Nous n'aborderons ces phénomènes que de manière qualitative.


Approche du phénomène

Un milieu d'indice variable peut-être vu comme la superposition d'une multitude de couches de MHTI d'indices différents. Si un rayon se propage des indices les plus grands vers les plus faibles, à chaque passage d'un milieu à un autre, il s'éloigne de la normale jusqu'à être réfléchi puis repartir vers les milieux à fort indice. Il se retrouve ainsi dans la situation inverse, en se rapprochant de plus en plus de la normale.

Indice variable
lois-snell-descartes-nvar.jpg
Crédit : B. Mollier

conclusionConclusion

Dans un milieu d'indice variable, le rayon tourne toujours sa courbure vers les indices élevés.


Les mirages

Muni de ce résultat, voyons si nous pouvons expliquer les mirages.

exempleSur la route des vacances...

En été, la route exposée au Soleil chauffe. Sa température devient plus élevée que celle de l'air environnant. Elle chauffe à son tour l'air ambiant, plus frais. On obtient alors un gradient de température au dessus de la route. La température diminue avec l'altitude, et augmente quand on se rapproche de la route. L'air chaud possède un indice de réfraction plus faible que l'air frais. (On peut voir ça de la manière suivante : pour un même volume, l'air chaud contient moins de particules que l'air froid, c'est pour ça qu'il est plus léger et fait s'envoler les montgolfières. Comme il y a moins de particules, il se rapproche plus du vide et donc son indice tend vers 1). La lumière tourne donc sa courbure vers le haut et les indices élevés. Un rayon issu du ciel se rapproche de la route, est lentement dévié puis finalement réfléchi et repart vers le haut et l'oeil de l'automobiliste. On voit donc le ciel en bas.

Mirage-01.png
Crédit : B. Mollier

exemple... en arrivant à la plage.

Dans le cas de la mer, le phénomène est inverse. La mer plus froide refroidit localement l'air. Il y a un gradient de température du plus froid au niveau de l'eau, au plus chaud en altitude. Un rayon partant d'une île, ou du Canigou, se réfléchit sur l'atmosphère et retombe vers l'observateur. L'île apparaît.

Mirage-02.png
Crédit : B. Mollier

La turbulence atmosphérique

definitionTurbulence atmosphérique

Nous venons de le voir, une variation de la température provoque une variation d'indice optique.

Or, lorsque la lumière issue d'une étoile arrive au niveau de la Terre, elle traverse différentes couches d'atmosphère à différentes températures. L'atmosphère est un milieu inhomogène !

Ces variations d'indice dévient les rayons lumineux issus de l'étoile. Mais elles ne les dévient pas de la même manière en fonction de là où ils passent. L'image de l'étoile est déformée !

lsd-turbulences.png
L'atmosphère contient de nombreuses bulles de température et donc d'indice optique différents. Ces bulles se déplacent au gré des vents. Elles dévient aléatoirement les rayons lumineux, provoquant le scintillement des étoiles. C'est la turbulence atmosphérique.
Crédit : ASM/B. Mollier

À l'oeil, on voit alors les étoiles scintiller. Au télescope, une succession de poses courtes révèle la présence de tavelures, c'est-à-dire plein de taches qui bougent. Toutes ces tavelures sont autant d'images de l'étoile, ayant traversé différentes parties de l'atmosphère.

Tavelures
speckles1.jpg
Tavelures (ou speckles en anglais), enregistrées par lors d'une pose courte (image de gauche, en vidéo inverse) ou longue (image de droite).
Crédit : ESO

Conclusion

rappelLois de Snell-Descartes

Après quelques définitions sur les dioptres et les miroirs nous avons vu les lois de Snell-Descartes.

rappelDéviation

Lorsque qu'un rayon lumineux passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, il se rapproche de la normale au dioptre.

Lorsque qu'un rayon lumineux passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, il s'éloigne de la normale au dioptre. Dans ce cas, à partir d'un certain angle critique, il est totalement réfléchi. Les fibres optiques exploitent ce phénomène appelé réflexion totale.

rappelMilieux d'indice variables

Mirages et turbulences atmosphériques sont dus à des inhomogénéités d'indice dans l'atmosphère, conséquences d'inhomogénéités de température.


Des objets et des images

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

Avant d'aborder des systèmes optiques plus complexes, il est temps de faire un point sur les notions de source de lumière, d'objet et d'image.

prerequisPrérequis

Base de l'optique géométrique.

Notion de rayon lumineux.

Loi de Snell-Descartes.

Illuminations à Chartres
Chartres.jpg
Illuminations sur la médiathèque de Chartres. L'image projetée est réelle car on peut la voir sur le bâtiment.
Crédit : B. Mollier

Sources et récepteurs

Auteur: B. Mollier

Les sources de lumière

Soleil
Soleil.jpg
Le Soleil est une source primaire, car il émet sa propre lumière. C'est une source étendue et à l'infini.
Crédit : NASA
Lune
Lune.jpg
Le Lune est une source secondaire, car elle réfléchit la lumière du Soleil. C'est une source étendue et à l'infini.
Crédit : NASA

definitionSources primaires ou secondaires

L'oeil voit les objets parce qu'ils nous envoient de la lumière. Il est nécessaire que cette dernière parte d'eux et arrive jusqu'à notre oeil. Certains objets, comme une lampe, une bougie ou une étoile, produisent leur propre lumière. On parle de source primaire. D'autres sources, comme un livre, un tableau, une photo... ne produisent pas de lumière. Pourtant nous parvenons à les voir. C'est parce qu'ils réfléchissent ou diffusent la lumière environnante. Si on éteint la lumière, ils deviennent invisibles. On parle alors de source secondaire, car ils réfléchissent la lumière d'une source primaire.

Exemples de sources
Sources primairesSources secondaires
Soleil, étoileLune, planètes
Lampe, bougieMur, plafond
Écran de téléviseurTableau, photo
Laser

Attention, un miroir, une lentille, ou tout autre instrument d'optique n'est pas considéré ici comme un objet. S'ils sont propres, ils sont parfaitement transparents et invisibles. Ils ne diffusent pas la lumière et on ne les voit pas.

definitionSources ponctuelles ou étendues

Un objet peut être ponctuel (on en voit donc qu'un point, comme une étoile par exemple) ou étendu (c'est alors un ensemble de point, comme la Lune).

definitionSources proches ou à l'infini

Un objet peut être à distance finie, proche de nous (l'oeil doit alors accommoder pour le voir net, mais nous y reviendrons au chapitre consacré aux instruments) ou à l'infini (tous les rayons lumineux issus d'un point nous arrivent parallèles entre eux. On n'a plus besoin d'accommoder pour le voir net).

Un objet à distance finie peut être défini par sa taille. Pour un objet à l'infini, cela n'a plus vraiment de sens. La Lune et le Soleil, tous deux à l'infini, nous apparaissent comme ayant la "même taille" (ce qu'on vérifie aisément lors des éclipses solaires), pourtant le Soleil est bien plus grand que la Lune. Mais comme il est beaucoup plus loin... Il est pertinent d'introduire une nouvelle notion, celle de taille angulaire (ou diamètre apparent). Il est défini comme étant l'angle sous lequel on voit l'objet :

\alpha = \frac{h}{d}

h étant la taille de l'objet, et d sa distance. Cette relation n'est valable que lorsque h est très petit devant d (h<<d).

Le diamètre apparent de la Lune vaut : \alpha_\text{L} = \frac{3,5.10^{6}\text{m}}{3,8.10^{8}\text{m}} \approx 10^{-2}\text{rad} = 0,5°° et celui du Soleil \alpha_\text{S} = \frac{1,4.10^{9}\text{m}}{1,5.10^{11}\text{m}} \approx 10^{-2}\text{rad} = 0,5\textdegree° d'où \alpha_{L} = \alpha_{S} et c'est pour cela qu'il y a des éclipses totales !


Les récepteurs

Un récepteur est constitué d'éléments photosensibles, c'est-à-dire d'éléments qui délivrent un signal en fonction de l'éclairement dans un domaine spectral donné.

La rétine de l'oeil, une photodiode ou un capteur CCD sont quelques exemples de récepteurs. La bonne vieille pellicule photo aussi. Mais contrairement aux autres ci-dessus, ce n'est pas un signal électrique qui est délivré, mais un réaction chimique qui "imprime" le négatif.

Ces récepteurs simples peuvent être couplés avec des systèmes optiques : l'objectif d'un appareil photo ou le cristallin de l'oeil par exemple.

Rétine
Retine.jpg
Image à très haute résolution de la rétine. Chaque "pixel" est une cellule de la rétine. Elles mesurent chacune environ 10\ \mu m.
Crédit : Observatoire de Paris/LESIA - 2005
Mégacam
megacam-cryo.jpg
Les 40 CCD de la caméra MEGACAM du télescope CFH.
Crédit : CFHT

Des objets et des images

Auteur: Benjamin Mollier

Des objets et des images

Servons nous d'un miroir plan, que nous avons étudié précédemment, pour définir les notions d'objet et d'image pour un système optique.


Objet réel, image virtuelle

Nous disposons d'une bougie et d'un miroir plan. On place celle-ci devant le miroir. On peut voir la bougie ainsi que son reflet, son image, à travers le miroir. Pour simplifier notre étude, nous assimilerons la bougie à un unique point lumineux A. La bougie constitue un objet par rapport au système optique "miroir". Les rayons lumineux issus de cet objet divergent au niveau du plan du miroir. Nous qualifierons cet objet, placé en amont du système optique, de réel. On peut le toucher (mais ça brûle...).

Reflet d'une bougie dans un miroir plan
oi-bougie-et-miroir.png
La bougie est un objet réel pour le miroir. Son image est virtuelle car elle ne peut pas apparaître sur un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionObjet réel

Tout objet placé en amont d'un système optique, dans le sens de propagation de la lumière, est un objet réel.

Intéressons nous maintenant à son reflet dans le miroir. Les rayons lumineux issus de la bougie sont réfléchis par la surface du miroir et semblent provenir d'un point point situé derrière le miroir. Le faisceau issu de ce point diverge. Il est impossible de faire l'image de ce point sur un écran. L'image est qualifiée de virtuelle.

definitionImage virtuelle

Toute image placée en amont du système optique est virtuelle.


Objet virtuel, image réelle

On troque notre bougie contre une lampe torche, dont le faisceau converge en un point A. Le point sera notre objet. Si on place un écran là où converge le faisceau, on voit une petite tache lumineuse.

Formation d'un objet virtuel
oi-lampe-et-miroir.png
Le point A est un objet virtuel pour le miroir. Il n'existe pas physiquement. Son image est réelle car on peut la faire apparaître sur un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionObjet virtuel

Si on intercale le miroir entre notre lampe et cet écran, la tache disparaît. Mais malgré le miroir, le faisceau semble converger vers cet écran, vers un point situé à l'arrière du miroir. Ce point est toujours notre objet, mais il est désormais virtuel, car situé en aval du système optique. On ne peut plus le toucher.

definitionImage réelle

Le faisceau réfléchi par le miroir converge en un point B. Si on place un écran au niveau de celui-ci, nous voyons s'y former une tache lumineuse. L'image est cette fois-ci réelle.


Résumé

Soit un système optique quelconque. Le sens de propagation de la lumière nous permettra de définir l'espace en amont du système optique (avant que la lumière n'y rentre) et en aval (une fois qu'elle y est ressortie).

oi-objets-images-reels-virtuels.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Exemples

Reflet d'une bougie dans un miroir plan
oi-bougie-et-miroir.png
La bougie est un objet réel pour le miroir. Son image est virtuelle car elle ne peut apparaître sur un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier
Formation d'un objet virtuel
oi-lampe-et-miroir.png
Le point A est un objet virtuel pour le miroir. Il n'existe pas physiquement. Son image est réelle car on peut la faire apparaître sur un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier
Poisson dans un aquarium
oi-exemple-poisson.png
Un poisson dans un aquarium constitue un objet réel pour le système optique "eau+vitre+air". Son image est par contre virtuelle. On ne peut pas la faire apparaître sur un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier
Poisson dans un aquarium : plus de rayons ?
oi-exemple-poisson2.png
Si on trace plusieurs rayons issus d'un même point (l'oeil par exemple), tous ne convergent par au même point. L'image du poisson est floue !
Crédit : ASM/B. Mollier
Bougie à travers un miroir : Plus de rayons ?
oi-bougie-et-miroir2.png
Dans le cas du miroir plan, tous les rayons issus d'un même point de l'objet convergent en un même point de l'image. Celle-ci sera nette.
Crédit : ASM/B. Mollier

Conditions de Gauss

Auteur: Benjamin Mollier

Stigmatisme

Nous venons de voir qu'en fonction des systèmes optiques, l'image d'un point est soit exactement un point (tous les rayons issus d'un point convergent en un seul point image), ou soit une tache (tous les rayons ne convergent pas tous en un seul point, mais dans une petite zone).

definitionStigmatisme

Lorsque, à travers un système optique, l'image de chaque point objet est un point, on dit que le système est rigoureusement stigmatique. On parle de stigmatisme approché si l'image d'un point est une petite tache. La notion de stigmatisme approché est assez subjective. Elle dépend également du récepteur utilisé pour voir l'image. On tolérera plus facilement un système avec un stigmatisme approché si le récepteur possède de gros pixels (surtout s'ils sont plus gros que la tache image) que s'il possède de petits pixels.

Poisson dans un aquarium : stigmatisme approché
oi-exemple-poisson2.png
Si on trace plusieurs rayons issus d'un même point (l'oeil par exemple), tous ne convergent par au même point. L'image du poisson est floue ! Le stigmatisme ne peut être qu'approché.
Crédit : ASM/B. Mollier
Bougie à travers un miroir : stigmatisme rigoureux
oi-bougie-et-miroir2.png
Dans le cas du miroir plan, tous les rayons issus d'un même point de l'objet convergent en un même point de l'image. Celle-ci sera nette. Le miroir plan est le seul système optique garantissant un stigmatisme rigoureux en tous points.
Crédit : ASM/B. Mollier

Aplanétisme

Un système est dit aplanétique si l'image d'un objet perpendiculaire à l'axe optique (l'axe de symétrie du système) est elle aussi perpendiculaire à ce dernier.

Cette définition ne vous parle pas pour l'instant, mais elle prendra tout son sens au chapitre suivant.

Aplanétisme
aplanetisme.png
L'objet AB est perpendiculaire à l'axe optique. Dans le cas du haut, l'image A'B' est elle aussi perpendiculaire à l'axe optique, le système est aplanétique. Dans le cas du bas, elle n'est pas perpendiculaire à l'axe, elle est tordue. Le système n'est pas aplanétique.
Crédit : ASM/B. Mollier

Conditions de Gauss

exempleMise en évidence

Soit un faisceau de lumière constitué de plusieurs rayons lumineux. Si on les fait traverser une lentille, on constate qu'ils convergent. Ils convergent, certes, mais pas tous au même point. Nous ne sommes pas en condition de stigmatisme rigoureux.

Si on diaphragme le faisceau lumineux, c'est-à-dire si on l'ampute de ses rayons extérieurs, on constate que la condition de stigmatisme est beaucoup mieux respectée.

Nous venons de mettre en évidence les conditions de Gauss.

definitionConditions de Gauss

Les conditions de Gauss, ou l'approximation de Gauss, sont obtenues lorsque les rayons lumineux possèdent un angle d'incidence très faible par rapport à l'axe optique, et en sont peu éloignés. Ils sont dits paraxiaux.

Conditions de Gauss
oi-gauss.png
Dans les conditions de Gauss, les rayons sont proches de l'axe optique (en bas à gauche) et peu inclinés (en bas à droite).
Crédit : ASM/B. Mollier

Dans ces conditions, les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme sont en général respectées.

Pour les obtenir, il suffit en général de placer un fort diaphragme en entrée du système.

remarqueRemarques

Dans les chapitres suivants, nous nous placerons dans ces conditions.

Si ces conditions permettent d'obtenir un bon stigmatisme et aplanétisme, elles ne sont en général pas recherchées par les opticiens. Le grand inconvénient de ces conditions est qu'à cause du diaphragme, on obtient peu de lumière et un champ de vue très restreint. C'est le contraire que l'on recherche en astronomie et en photographie. Toute la difficulté consiste donc à corriger toutes les aberrations optiques pour retrouver du stigmatisme et de l'aplanétisme. C'est pour cela qu'il y a tant de lentilles (une dizaine) dans un simple objectif photo.


Résumé

rappelSystème optique

rappelObjet

rappelObjet primaire/secondaire

Un objet n'est visible que s'il émet ou diffuse la lumière.

rappelponctuel/étendu

rappelObjet réel/virtuel

rappelImage

rappelImage ponctuelle/étendue

rappelImage réelle/virtuelle

rappelConditions de Gauss

On se placera par la suite dans les conditions de Gauss : les rayons entrant dans les systèmes optiques seront paraxiaux.


Les lentilles minces

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

Dans le chapitre précédent, nous avons vu les réflexions et la réfraction sur des dioptres et des miroirs plans. Mais il suffit de regarder n'importe quel instrument d'optique pour voir qu'ils ne sont pas uniquement composés de ce type d'optiques. Les notions précédemment abordées ne sont donc pas suffisantes pour décrire ces instruments.

Prenons un verre de lunette. Il n'est pas plan. Sa surface est courbe. Les objets à travers y paraissent déformés. Idem avec une loupe. Ce qu'on y voit à travers nous apparaît tantôt plus gros, tantôt flou, ou parfois même plus petit et renversé. Les rétroviseurs extérieurs d'une voiture comportent en général une partie courbe sur leur extrémité. La voiture qui nous suit y apparaît plus éloignée que dans le rétroviseur intérieur. Tous ces objets du quotidien, ainsi que d'autres instruments comme les appareils photos, les télescopes ou les microscopes, sont en fait constitués de lentilles (des dioptres dont la surface est courbe) ou des miroirs aux formes sphériques, paraboliques ou même hyperboliques.

Nous avons commencé à voir, au chapitre précédent, les phénomènes mis en jeux dans ces systèmes. Nous n'allons pas nous arrêter en si bon chemin. Dans les chapitres qui suivent, nous allons étudier ces nouveaux éléments, en commençant par les lentilles minces. Nous aborderons aussi la formation des images en optique. À partir de là, nous pourrons commencer à étudier des systèmes optiques plus complexe comme les lunettes astronomiques, les appareils photos, l'oeil...

prerequisPrérequis

Cadre de l'optique géométrique

Rayon lumineux

Objet et image, réel et virtuel

Stigmatisme et aplanétisme

Conditions de Gauss

Des lentilles, des tas de lentilles !
Lentilles.jpg
Crédit : B. Mollier

Définitions

Auteur: Benjamin Mollier

Lentilles sphériques

introductionQu'est-ce qu'une lentille ?

Qu'est-ce qu'on appelle une lentille ? Par lentille, j'entends bien sûr une lentille en optique, et non l'une des espèces de fabacées. Prenons en deux exemples. Dans une main, une loupe, dans l'autre, une paire de lunettes pour myope. Elles sont toutes les deux en verre, transparentes, et délimitées par au moins une surface courbe, parfois deux.

definitionDéfinition

Nous appellerons désormais une lentille sphérique une portion de MTHI (ici notre verre), limité par 2 dioptres dont l'un au moins est sphérique. Remarquons tout de suite qu'une lentille n'est par forcément sphérique. Il en existe, pour ne citer qu'elles, des cylindriques. Nous nous limiterons par contre, dans ce chapitre, aux lentilles sphériques.

Lunettes correctrices
lm-lunettes.jpg
Crédit : B. Mollier

Lentilles minces

Définition : les lentilles minces

Pour simplifier encore notre étude, nous nous limiterons au cas des lentilles dites minces. C'est-à-dire dont l'épaisseur est faible devant le rayon de courbure des dioptres.

Lentille mince
lm-lentille-mince-def.png
Une lentille est considérée comme mince lorsque son épaisseur e est petite devant le rayon de courbure des dioptres et devant la distance entre les centres C_1 et C_2.
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueConséquence

La première conséquence, illustrée ci-dessous, est que tout rayon lumineux passant par le centre d'une lentille, ne sera pas dévié. En effet, c'est comme s'il traversait une lame de verre d'épaisseur nulle.

Lentille mince
lm-rayon-au-centre.png
Les rayons lumineux passant par le centre de la lentille, supposée mince, ne sont pas déviés.
Crédit : ASM/B. Mollier

Lentilles convergentes, lentilles divergentes

exempleExpérience 1 : une lentille au Soleil

Réalisons une petite expérience. Mettons une loupe au Soleil. La lumière est focalisée en un point. Très amusant pour mettre le feu à une feuille de papier. Mais si on essaie avec le verre de lunette... On a beau déplacer celui-ci, aucune tache de lumière ne se forme. Les rayons du Soleil ne sont pas focalisés par celui-ci. Aurions-nous à faire à deux types de lentilles ?

exempleExpérience 2 : observation des rayons lumineux

Une deuxième expérience nous le confirme. Les lentilles de type loupe font converger la lumière. Les lentilles de type verre de lunettes pour la myopie font diverger les rayons lumineux.

definitionDéfinitions : lentilles convergentes et divergentes

Dans le cas de la loupe, les rayons arrivant parallèles en amont sont focalisés en sortie de la lentille. Ce premier type de lentille est appelé lentille convergente.

Dans le cas du verre de lunette, les rayons s'écartent les uns des autres après passage par la lentille. Ils divergent. Ces lentilles sont appelées lentilles divergentes.

complementDifférences entre les lentilles convergentes et divergentes

Si on regarde une coupe de ces lentilles, on voit d'où vient cette différence. On constate que les lentilles convergentes possèdent des bords plus fins que le centre. Pour les lentilles divergentes, c'est l'inverse, les bords sont plus épais que le centre.

Les différents types de lentilles
lm-types-lentilles.png
À gauche, les lentilles convergentes. À droite, les lentilles divergentes.
Crédit : ASM/B. Mollier

Lorsqu'un rayon arrivant au-dessus de l'axe de symétrie de la lentille (que nous appellerons axe optique) atteint la surface d'une lentille convergente, les lois de la réfraction nous disent qu'il est dévié vers l'axe optique. Le rayon se rapproche de celui-ci. Il converge.

Dans le cas d'un lentille divergente, le rayon incident est quant à lui dévié en s'écartant de l'axe optique.

Pourquoi une lentille convergente est convergente et vice et versa ?
lm-lentilles-explication.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Résumé

definitionLentille convergente

lm-lmc.png
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionLentille divergente

lm-lmd.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Système centré focal

Auteur: Benjamin Mollier

Une petite expérience

exempleLentille convergente utilisée comme une loupe

Prenons une lentille convergente. Utilisons la d'abord comme une loupe. En observant un objet (un timbre, par exemple) dans la direction perpendiculaire à lui, on peut obtenir, en plaçant judicieusement la loupe, une image nette et agrandie du timbre. Nous nous trouvons donc dans des conditions de stigmatisme et d'aplanétisme au moins approché. Si on s'amuse à déplacer un écran derrière notre lentille pour obtenir une image de notre timbre, c'est peine perdue. Nous avons donc une image virtuelle, l'objet étant tout ce qu'il y a de plus réel.

exempleLentille convergente utilisée comme un projecteur

Remplaçons cette fois le timbre par un objet rétroéclairé (les opticiens aiment bien utiliser un F éclairé par l'arrière). Plaçons un écran suffisamment loin de lui. Si on déplace la lentille, on trouve deux positions où l'on obtient une image inversée du F, tantôt plus grande, tantôt plus petite. On a donc cette fois-ci une image réelle. Tiens, une lentille convergente peut produire les deux types d'images à partir d'un objet réel. Nous allons détailler cela dans la suite.


Foyers principaux

introductionFoyer principal image

Considérons un faisceau parallèle (objet à l'infini) et parallèle à l'axe optique (cas du Soleil à travers une loupe) et observons ce qui se passe. Dans le cas d'une lentille convergente, tous les rayons convergent en un point. Nous appellerons ce point foyer principal image. Ce point est l'image réelle d'un point situé à l'infini. Dans le cas d'une lentille divergente, tous les rayons divergent. Cependant, ils semblent tous provenir d'un point situé en amont de la lentille (il suffit de les prolonger). Nous appellerons également ce point foyer principal image. Il est l'image virtuelle d'un point situé à l'infini.

Qu'advient-il d'un faisceau parallèle au passage d'une lentille ?
LC-FPI.jpg
Crédit : B. Mollier

definitionDéfinition

Le foyer principal image est le point image d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique.

Foyer principal objet

Par retour inverse de la lumière, si on place une source ponctuelle au foyer image, les rayons ressortiront parallèles. La lentille étant symétrique, on peut la retourner. Il existe donc un point où si l'on place une source ponctuelle, les rayons issus de ce point seront parallèles entre eux et parallèles à l'axe optique. Ce point est appelé foyer principal objet. Il est le symétrique par rapport à la lentille de foyer principal image. Dans le cas d'une lentille convergente, ce point est le point objet réel donnant une image à l'infini. Dans le cas d'une lentille divergente, ce point est le point objet virtuel donnant une image à l'infini.

Foyer principal objet
LC-FPO.JPG
Le foyer principal objet est l'antécédent d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.
Crédit : B. Mollier

definitionDéfinition

Le foyer principal objet est l'antécédent d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.


Distance focale, vergence

definitionDistance focale image

On appelle distance focale image la distance séparant le centre de la lentille au foyer image. On la note f'. C'est une quantité algébrique, c'est-à-dire qu'on la compte positivement dans le sens de propagation de la lumière. f' est positif dans le cas d'une lentille convergente et négatif dans le cas d'une divergente.

Distance focale image
lm-distance-focale-image.png
En vert, on définit la distance focale image f' comme étant la distance du centre O de la lentille au foyer principal image F'. Notez le sens de la flèche. Dans le cas d'une lentille convergente, elle est dans le même sens que celui de la propagation de la lumière. Cette distance est alors positive. Dans le cas de la lentille divergente, cette flèche est dans le sens opposé à la propagation de la lumière. Cette distance est alors comptée négativement. Pour plus d'information sur ces notions de distances positives et négatives, lisez cette page.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionDistance focale objet

De la même manière, on définit la distance focale objet comme étant la distance séparant le centre de la lentille et le foyer principal objet. Les deux foyers F et F' étant symétriques par rapport au centre O, on obtient f = -f'.

Distance focale objet
lm-distance-focale-objet.png
On définit la distance focale objet  f comme étant la distance séparant le centre de la lentille et le foyer principal objet. Là encore, le sens des flèches à son importance. f est négative dans le cas d'une lentille convergente et positive dans le cas d'une lentille divergente.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionVergence

On définit la vergence comme étant l'inverse de la distance focale image.

V = \frac{1}{f'} = -\frac{1}{f}

Elle s'exprime en \text{m}^{-1} ou encore en dioptrie (noté \delta). Par exemple, une lentille divergente de distance focale f' = -10\text{\ cm} (correction pour une myopie sévère) possède une vergence de -10\ \delta. C'est le nombre annoncé dans les ordonnances pour les lunettes.


Grandeurs algébriques

Nous avons commencé à parler de distance négative et de grandeurs algébriques. Voici un petit aparté pour détailler ces notions.

definitionExcusez-moi m'dame, où est la boulangerie ?

Dans la rue, quelqu'un vous demande où se situe la boulangerie la plus proche. Vous lui indiquez qu'elle est à 100 m. Oui, mais cette indication ne précise pas si elle est à 100 m devant ou derrière. Certes, en général, c'est implicite, ou accompagné d'un geste pour préciser la direction à emprunter. Cependant, en physique, il y a rarement quelqu'un pour nous indiquer le sens. Comment s'en sortir ? Si la boulangerie se situe devant nous, nous dirons effectivement qu'elle est à 100 m. Et si elle est derrière, qu'elle est à -100 m. C'est ce qu'on appelle des grandeurs algébriques. Il reste cependant encore un problème à régler. Si on se retourne, ce qui était devant devient derrière et inversement. Il faut en fait choisir un sens pour orienter nos mesures. Reprenons notre rue. Si elle est à sens unique, le plus simple est de choisir le sens de circulation des voitures pour orienter notre axe. Les distances dans le sens de circulation seront positives, et celle dans le sens opposé seront négatives.

Mesures algébriques
lm-mesures-algebriques.jpg
La boulangerie est située devant ? Elle est à + 100 m. Elle est située derrière ? Elle est à - 100 m.
Crédit : B. Mollier

definitionGrandeurs algébriques en optique

En optique, ce sera pareil. Sauf que de circulation il n'est pas question. Mais nous prendrons pour orienter notre axe optique le sens de parcours des photons. Les distances orientées dans le même sens que l'axe optique seront comptées positivement (comme la distance focale image pour une lentille convergente), et celles dans le sens opposé seront comptées négativement (comme la distance focale objet pour une lentille convergente).


Foyers secondaires, plans focaux

Considérons un faisceau parallèle mais arrivant avec une incidence non nulle par rapport à l'axe optique. Dans le cas de la lentille convergente, ils convergent en point appartenant nécessairement à l'axe OA car tout rayon passant par le centre de la lentille n'est pas dévié. On s'aperçoit que ce point, que nous appellerons foyer secondaire image, est à la verticale du foyer principal image.

Exemple de foyer secondaire dans le cas d'un lentille convergente
lmc-foyers-secondaires.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Remarque : En fait, cette dernière remarque est vraie dans l'approximation de Gauss, qui garantit un aplanétisme approché.

Si l'inclinaison du faisceau varie, ce point (le foyer secondaire) parcourt ce que l'on nomme le plan focal de la lentille.

Pour une lentille divergente, on retrouve le même phénomène, sauf que les foyers secondaires images sont virtuels et situés en amont de la lentille. Comme précédemment, nous allons pouvoir définir un foyer secondaire objet, comme étant l'antécédent d'un point image situé à l'infini, en dehors de l'axe optique. L'ensemble des foyers secondaires objets constitueront le plan focal objet.

Exemple de foyer secondaire pour une lentille divergente
lmd-foyers-secondaires.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Dans les conditions de Gauss, les plans focaux sont perpendiculaires à l'axe optique. Dans la vraie vie, ce sont des surfaces non planes. Les plaques photos utilisées au foyer d'un télescope de Schmidt étaient sphériques.


Propriétés des rayons passant par les foyers, rayons utiles

Munis de ces outils, nous allons pouvoir définir quelques propriétés sur les rayons lumineux traversant des lentilles. Elles vont nous permettre d'aborder, au paragraphe suivant, la construction des images.

Résumé
lm-resume-rayons.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Constructions géométriques

Auteur: Benjamin Mollier

Objet réel à travers une lentille convergente

Auteur: Benjamin Mollier

Objet en amont du foyer principal objet

Traçons l'image d'un objet à travers une lentille convergente

On dispose d'un objet AB en amont de la lentille et du foyer objet. On cherche à tracer son image à travers la lentille.

  1. On trace le rayon issu de B et passant par O. Il n'est pas dévié.
  2. Il faut un deuxième rayon pour obtenir l'image de B. En effet, dans les conditions de stigmatisme approché, deux rayons suffisent à définir un point image. On a le choix entre deux autres rayons. On trace par exemple le rayon issu de B et parallèle à l'axe optique. Il ressort de la lentille en passant par le foyer principal image F'. Il croise le premier rayon en B', image de B par la lentille.
  3. Par acquis de conscience, traçons un troisième rayon, et vérifions qu'il passe bien par B'. Traçons le rayon issu de B et passant par le foyer principal objet F. Il ressort parallèle à l'axe optique. On vérifie ainsi qu'il passe effectivement par le point B'.
  4. Il nous reste à tracer l'image A' du point A. On ne peut utiliser la même méthode que le point B car tous ces rayons sont identiques et confondus avec l'axe optique. Comment s'en sortir alors ? Utilisons la propriété d'aplanétisme. On sait que AB est perpendiculaire à l'axe optique. L'image A'B' l'est également. A' est donc le point de l'axe optique à la verticale de B'. Le tour est joué.
Construction géométrique
lmc-or-ir.gif
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueRemarques


Objet entre le foyer principal objet et le centre O

Approchons notre objet de la lentille de façon à placer l'objet entre le foyer principal objet et le centre de la lentille. On reproduit la construction précédente. Cette fois-ci l'image est en amont de la lentille. Elle est virtuelle. Elle est dans le même sens que l'objet. Elle est également plus grande. On retrouve le cas de la loupe. Que nous donne le tracé cette fois-ci ?

Objet entre le foyer principal objet et le centre O
lmc-or-iv.png
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueOn constate que


Objet virtuel à travers une lentille convergente

Continuons à faire avancer l'objet de telle manière qu'il passe de l'autre côté de la lentille. Il est dorénavant virtuel. Comment arriver à un tel résultat. Facile. En utilisant une deuxième lentille. On place un objet réel devant cette seconde lentille. Elle produit une image réelle. Plaçons la première lentille entre la seconde et l'image, et le tour est joué. Que nous donne le tracé cette fois-ci ?

Objet virtuel
lmc-ov-ir.png
Crédit : ASM/B. Mollier

qcmOn constate que

1)  L'image A'B' est :


2)  L'image A'B' est :



Tracé de rayon, objet à l'infini à travers une lentille convergente

introductionEt si l'objet est à l'infini ?

Les cas traités précédemment concernaient des objets à distance finie. En astronomie, les objets sont situés à l'infini. Dans ce paragraphe, nous allons placer l'objet AB à l'infini. Il possédera un diamètre apparent \alpha.

demonstrationTracé de l'image

  1. Comme les fois précédentes, on commence par tracer le rayon issu de B et passant par O. Il n'est pas dévié.
  2. Nous ne pouvons utiliser le rayon parallèle à l'axe optique, car celui-ci n'existe pas dans ce cas. Tous les rayons issus de B sont parallèles les uns aux autres. Nous pouvons cependant tracer le rayon parallèle au premier passant par le foyer objet. Il ressortira parallèle à l'axe optique. On constate qu'il coupe le premier dans le plan focal. C'est normal. Nous avons défini le plan focal image comme ceci.
  3. Rappelons ici que tous les rayons parallèles au premier se croiseront dans le plan focal image.
Objet à l'infini
lmc-oi-ir.jpg
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueRemarque

Remarquons tout de suite que la taille de l'image (sur un détecteur CCD par exemple) est tout simplement le produit du diamètre apparent (en radians) par la focale de l'instrument.

A'B' = \alpha \times f'


Objet réel à travers une lentille divergente

Auteur: Benjamin Mollier

Objet réel à travers une lentille divergente

introductionCas de la lentille divergente

Changeons de lentille pour passer aux lentilles divergentes. La différence par rapport aux cas précédents est que les positions des foyers objets et images sont inversées. Recommençons la procédure précédente.

demonstrationTracé de l'image

  1. On trace le rayon issu de B et passant par O. Il n'est toujours pas dévié.
  2. On trace le rayon issu de B et parallèle à l'axe optique. Il ressort de la lentille en passant par le foyer principal image F'. Mais ce foyer est en amont de la lentille.
  3. Par acquis de conscience, traçons un troisième rayon, et vérifions qu'il passe bien par B'. Traçons le rayon issu de B et passant par le foyer principal objet F. Il ressort parallèle à l'axe optique. On vérifie ainsi qu'il passe effectivement par le point B'
  4. Il nous reste à tracer l'image A' du point A. On ne peut utiliser la même méthode que le point B car tous ces rayons sont identiques et confondus avec l'axe optique. Comment s'en sortir alors. Utilisons la propriété d'aplanétisme. On sait que AB est perpendiculaire à l'axe optique. L'image A'B' l'est également. A' est donc le point de l'axe optique à la verticale de B'.
Construction géométrique
lmd-or-iv.jpg
Crédit : ASM/B. Mollier

qcmOn constate que

1)  L'image A'B' est :


2)  L'image A'B' est :



Objet virtuel à travers une lentille divergente

qcmObjet virtuel à travers une lentille divergente

Bon, je pense que vous avez compris le principe. Je vous laisse les deux suivants en exercice.

1)  Tout d'abord, considérons le cas d'un objet virtuel AB et d'une lentille divergente. Trouvez le tracé correct.





Relations de conjugaison

Auteur: Benjamin Mollier

Relations de conjugaison

Ne vous inquiétez pas, on ne va pas être obligé de systématiquement tracer toutes nos images dès qu'on voudra obtenir la moindre position ou taille. Il existe des relations simples, nommées relations de conjugaison, permettant d'accéder à toutes ces données, connaissant uniquement la distance focale de la lentille.

Nous allons les démontrer à partir des constructions précédentes.

Dessins-optique-geo.png
Crédit : B. Mollier

Grandissement

Nous avons vu que la taille de l'image n'est pas nécessairement la même que celle de l'objet. Et celle-ci varie en fonction de la distance de l'objet et de la distance focale.

definitionGrandissement

Nous allons appeler grandissement le rapport des tailles de l'objet et de l'image.

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}

lmc-grandissement.png
Crédit : B. Mollier

En appliquant le théorème de Thalès, on trouve immédiatement que :

\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

remarqueRemarque

Connaissant la distance de l'objet et de l'image, il est donc possible de calculer la taille de l'image.

Si le grandissement est positif, alors l'objet et l'image sont dans le même sens ; s'il est négatif, l'image est inversée par rapport à l'objet.

Si le grandissement est supérieur à 1, ou inférieur à -1, alors l'image est plus grande que l'objet. S'il est compris entre -1 et 1, l'image sera plus petite.


Exercice : quelques grandissements

Auteur: B. Mollier

exerciceQuelques grandissements

Difficulté :    Temps : 5 min

Voici 3 constructions géométriques :

Construction 1
lm-grd-exo-1.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Construction 2
lm-grd-exo-2.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Construction 3
lm-grd-exo-3.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Calculez le grandissement dans les trois cas.


Relation de conjugaison de Newton

definitionGrandissement : origines aux foyers

Et si on ne connaît pas la position de l'image ? Nous allons utiliser les foyers. En appliquant cette fois-ci le théorème de Thalès deux fois de chaque côté de la lentille, on obtient :

\gamma = \frac{\overline{FO}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}

lmc-newton.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Et voilà, connaissant la distance focale et la distance de l'objet, on peut calculer le grandissement.

definitionRelation de conjugaison de Newton (origines aux foyers)

Remarquons qu'à partir de ces deux formules, on va pouvoir calculer la distance de l'image.

\overline{FA}.\overline{F'A'} = -f'^2

Nous venons d'établir la relation de conjugaison de Newton. Elle est aussi appelée relation de conjugaison avec origine au foyer, car les distances de l'objet et de l'image sont comptées à partir des foyers principaux.


Exercices : relations de conjugaison de Newton

Auteur: B. Mollier

exerciceQuelques grandissements (2)

Difficulté :    Temps : 5 min

On reprend les mêmes et on recommence !

Construction 1
lm-grd-exo-1.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Construction 2
lm-grd-exo-2.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Construction 3
lm-grd-exo-3.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Sachant que la distance focale est de 4 cm en valeur absolue dans les 3 cas, retrouvez les valeurs de grandissement précédemment établies.

Auteur: B. Mollier

exerciceFormule de Newton

On considère une lentille convergente de vergence V=10\ \delta. On place un objet à une distance D = 5\ cm en amont du centre de la lentille.

Question 1)

Calculez la position de l'image.

Question 2)

Est-elle réelle ou virtuelle ?

Question 3)

Calculez sa taille.


Relation de conjugaison de Descartes

demonstrationUne autre relation de conjugaison

Nous pouvons également obtenir une relation similaire, avec origine au centre de la lentille cette fois-ci. En partant de la formule du grandissement :

\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}  =  \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}} = \frac{\overline{F'O}+\overline{OA'}}{\overline{F'O}} = 1 + \frac{\overline{OA'}}{\overline{F'O}}

\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}  =  1 - \frac{\overline{OA'}}{\overline{OF'}}

definitionRelation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)

On obtient ainsi la relation de conjugaison de Descartes :

\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}

remarqueNotations

Remarque, on note parfois les distances \overline{OA} et \overline{OA'} respectivement p et p'.

\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}


Exercices : relations de conjugaison

Auteur: B. Mollier

exerciceLunettes pour myope

Difficulté : ☆☆   Temps : 10 min

Considérons une paire de lunettes correctrices pour la myopie. L'ordonnance indique une vergence de -2\ \delta.

LunettesMyope.jpg
Crédit : B. Mollier
Question 1)

Quelle est la distance focale image de la paire de lunettes ? Quelle est le type de lentilles utilisées ?

Question 2)

Muni de cette paire de lunettes, je lis un livre situé à 30 cm de mon visage. Quelle est la distance de l'image de cet ouvrage à travers les lunettes ?

Auteur: B. Mollier

exerciceCondition de formation d'image

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 20 min

On dispose d'un objet, d'un écran, et d'une lentille convergente de distance focale image f'.

Question 1)

Quelle doit être la distance minimale D entre l'objet et l'écran pour pouvoir y former son image ?


Conclusion

rappelLes lentilles

Nous venons donc de voir qu'il existe deux types de lentilles minces : des lentilles convergentes, une loupe par exemple, qui ont la propriété de faire converger un faisceau lumineux ; des lentilles divergentes, comme des verres correcteurs de myopie, qui font diverger un faisceau lumineux.

rappelÉléments cardinaux

Nous avons défini trois points particuliers d'une lentille : le centre O, centre de symétrie de celle-ci, par lequel aucun rayon lumineux n'est dévié ; le foyer principal image, image d'un point situé à l'infini sur l'axe optique ; le foyer principal objet, antécédent d'un point situé à l'infini sur l'axe optique. Ces points sont appelés éléments cardinaux de la lentille.

rappelDistance focale. Vergence

Les distances entre ces points sont appelées distances focales. Ce sont des données de la lentille. Elles caractérisent la vergence de la lentille, c'est-à-dire son pouvoir de dévier les rayons lumineux.

rappelTracés d'images

À l'aide de trois rayons, il nous est désormais possible de tracer l'image d'un objet à travers une lentille. Le rayon lumineux passant par le centre d'une lentille n'est pas dévié, celui arrivant parallèle à l'axe optique ressort en croisant le foyer principal image, et celui passant par le foyer principal objet ressortira de la lentille parallèle à l'axe optique.

rappelRelations de conjugaison

Enfin, nous avons quelques relations qui nous permettront de calculer des tailles d'images, les distances où elles se forment et pourquoi pas des champs de vue et des grossissements. Ce sera pour bientôt.

LunettesMyope.jpg
Crédit : B. Mollier

Les miroirs sphériques

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

Nous venons de voir quelques propriétés sur les lentilles. Nous allons pouvoir commencer à parler d'instruments astronomiques. Chouette ! Ah, mais, regardons un télescope... Horreur, de lentilles, il n'y a point ! À la place, un miroir ! Oui certes, mais nous les avons déjà vus. Quoique... celui-ci n'est pas plan... Et quand je me regarde dedans, je vois mon image grossie, parfois rétrécie, à l'envers ou à l'endroit. Non, ce miroir ne ressemble pas à ceux déjà rencontrés. Vous l'aurez compris, ce chapitre sera consacré aux miroirs dits sphériques.

Vous noterez assez vite la très forte ressemblance entre ce chapitre et le précédent.

La tête dans le tube !
OHP.jpg
Quand on regarde au fond du tube d'un télescope, on aperçoit un miroir. Ici, le fond du télescope de 152\ cm de l'observatoire de Haute-Provence.
Crédit : B. Mollier

Définitions

Auteur: Benjamin Mollier

Miroirs sphériques

definitionQu'est-ce qu'un miroir sphérique ?

Qu'est-ce qu'on appelle un miroir sphérique ? Comme son nom l'indique, c'est un miroir. C'est-à-dire une portion de verre recouverte d'une surface métallique réfléchissante. Mais nous venons de le voir dans l'introduction, il ne s'agit pas d'un miroir plan. En effet, celui-ci est découpé dans une portion sphérique de verre.

Portion de sphère
ms-portion-sphere.png
Un miroir sphérique est une portion de sphère (un morceau de boule de cristal creuse) sur laquelle est déposée une couche métallique réfléchissante.
Crédit : ASM/B. Mollier
Portion de sphère
ms-portion-sphere2.png
Un autre découpage possible.
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueRemarque

En pratique, les miroirs sont rarement taillés dans des portions de sphère. Ils sont découpés dans des paraboloïdes de révolution (miroirs paraboliques) ou dans des hyperboloïdes de révolution (miroirs hyperboliques). Cependant, en première approximation, nous pourrons les considérer comme sphériques.

Miroir parabolique
ms-paraboloide.png
En coupant une portion d'un paraboloïde de révolution, on obtient un miroir parabolique. C'est le cas de nombreux miroirs comme les miroirs primaires des télescopes, ou la parabole pour capter le satellite.
Crédit : ASM/B. Mollier
Miroir hyperbolique
ms-hyperboloide.png
En coupant une portion d'un hyperboloïde de révolution, on obtient un miroir hyperbolique. C'est le cas de certains miroirs secondaires de télescopes.
Crédit : ASM/B. Mollier

Miroir concave, miroir convexe

definitionDeux types de miroirs ?

On voit qu'il est possible d'aluminer soit l'intérieur, soit l'extérieur de la sphère. On obtient alors deux types de miroirs :

Miroir concave
ms-portion-concave.png
En aluminant l'intérieur de la sphère, on obtient un miroir concave.
Crédit : ASM/B. Mollier
Miroir convexe
ms-portion-convexe.png
En aluminant l'extérieur de la sphère, on obtient un miroir convexe.
Crédit : ASM/B. Mollier

exempleQuelques exemples

On retrouve ces miroirs dans la vie quotidienne. Les miroirs convexes par exemple, sont maintenant utilisés dans les rétroviseurs extérieurs des voitures, ou pour les miroirs que l'on dispose à la sortie des garages ou à certaines intersections où la visibilité est nulle. Les miroirs concaves se retrouvent dans certaines salles de bain ou miroirs de poche.

Miroir d'intersection
P1030051.jpg
Un miroir convexe, à la sortie d'un porche, afin de pouvoir voir si un véhicule arrive.
Crédit : B. Mollier
Miroir de salle de bain
ms-miroir-sdb.jpg
Deux exemples de miroirs de salle de bain (pris dans un vitrine rue de Babylone à Paris). À droite, un miroir plan, comme étudié au chapitre sur les lois de Snell-Descartes ; à gauche, un miroir concave. Notez l'inversion de l'image, à gauche, et la différence de mise au point.
Crédit : B. Mollier

Jouons avec une petite cuillère

introductionPrenons une petite cuillère...

Prenons une petite cuillère. Regardons-la attentivement. Son dos est convexe, son creux est concave. On a à notre disposition les deux types de miroirs.

exempleY aller avec le dos de la cuillère

Si nous nous regardons dans le dos de la cuillère que voyons nous ? Notre reflet, plus petit et à l'endroit. Rapprochons ou éloignons-la. On obtient toujours la même chose.

Dos de la cuillère
CuillereCvx.jpg
Sur le dos de la cuillère, convexe, l'image est droite.
Crédit : B. Mollier

Si on l'éclaire avec le faisceau lumineux d'une lampe torche et que l'on place un écran à proximité, on aura beau faire toutes les contorsions possibles, jamais nous n'arriverons à voir l'image de ce faisceau sur l'écran. Au contraire, il diverge.

Cela ne vous rappelle rien ? Ça ressemble un peu au comportement de la lentille divergente, non ? Alors peut-être qu'en retournant la cuillère, on retrouvera l'équivalent d'une lentille convergente...

exempleLe creux de la cuillère

Regardons nous maintenant dans le creux de celle-ci. Ah ? Cette fois, notre reflet est à l'envers. Rapprochons-la. Notre image grossit puis se retourne. Notre reflet est à l'endroit et grossit. Bon, d'accord, ça ne marche pas avec toutes les cuillères. Il faut en général se rapprocher beaucoup et se contenter de l'image de notre oeil. Dans ce cas, prenez un miroir de poche.

Creux de la cuillère
CuillereCcv.jpg
Dans le creux de la cuillère, concave, l'image est inversée.
Crédit : B. Mollier

Et si on reprend la lampe torche, cette fois, le faisceau converge et on peut en faire l'image sur un écran, comme une lentille convergente.

conclusionConclusion

On vient de mettre en évidence quelques propriétés des miroirs sphériques :


Résumé

definitionMiroir concave ou convergent

ms-ccv-2.png
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionMiroir convexe ou divergent

ms-cvx-2.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Un rayon passant par le centre

definitionGéométrie d'un miroir sphérique

Un miroir sphérique est découpé dans une sphère. Appelons C le centre de cette dernière.

Notons au passage le point S, sommet du miroir, c'est-à-dire l'intersection de l'axe optique (l'axe de symétrie du miroir) avec le miroir.

Centre et sommet d'un miroir sphérique
ms-centre-sommet.png
Le centre C du miroir est le centre de la sphère dans laquelle il est découpé. Il est en avant du miroir dans le cas du miroir concave, en arrière dans le cas convexe. Le sommet S du miroir est l'intersection de l'axe optique avec celui-ci.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionPropriété des rayons passant par le centre C

Tout rayon lumineux passant par le centre C du miroir est rayon de la sphère. Que se passe-t-il quand il atteint le miroir ? Il arrive perpendiculairement à la tangente au miroir. Donc, localement, tout se passe comme si le rayon lumineux incident tombait à la verticale d'un miroir plan. Possédant un angle d'incidence nul, il repart d'où il vient (cf lois de Snell-Descartes). Il repasse par le centre.

Rayon passant par le centre
ms-rayon-centre.png
Un rayon passant par le centre revient par le même chemin.
Crédit : ASM/B. Mollier

Bref, tout rayon incident passant par le centre C d'un miroir est confondu avec son rayon réfléchi.

definitionPropriété des rayons passant par le sommet S

Le sommet S appartient à l'axe de symétrie du système. Donc, si un rayon incident arrive en S, son rayon réfléchi sera son symétrique par rapport à l'axe optique.


Système centré focal

Auteur: Benjamin Mollier

Foyer principal image

Considérons un faisceau parallèle (objet à l'infini) et parallèle à l'axe optique (cas du Soleil arrivant sur un miroir ardent) et observons ce qui se passe. Dans le cas d'un miroir concave (donc convergent), tous les rayons convergent en un point. Comme pour les lentilles, nous appellerons ce point foyer principal image. Ce point est l'image réelle d'un point situé à l'infini. Dans le cas d'un d'un miroir convexe, tous les rayons divergent. Cependant, ils semblent tous provenir d'un point situé derrière le miroir (il suffit de les prolonger). Nous appellerons également ce point foyer principal image. Il est l'image virtuelle d'un point situé à l'infini.

definitionFoyer principal image

Le foyer principal image est le point image F' d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique.

remarqueRemarques

Ce point peut être réel (cas du miroir concave) ou virtuel (cas du miroir convexe).


Foyer principal objet

Par retour inverse de la lumière, si on place une source ponctuelle au foyer image, les rayons ressortiront parallèles. Il existe donc un point où si l'on place une source ponctuelle, les rayons issus de ce point seront parallèles entre eux et parallèles à l'axe optique. Ce point est appelé foyer principal objet. Il est confondu avec foyer principal image. Dans le cas d'un miroir concave, ce point est le point objet réel donnant une image à l'infini. Dans le cas d'un miroir convexe, ce point est le point objet virtuel donnant une image à l'infini.

definitionDéfinition

Le foyer principal objet est l'antécédent F d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.

remarqueRemarques

Ce point peut être réel (cas du miroir concave) ou virtuel (cas du miroir convexe).


Distance focale, vergence

definitionDistance focale

On appelle distance focale image la distance séparant le sommet S du miroir au foyer image F'. On la note f'. C'est une quantité algébrique, c'est-à-dire qu'on la compte positivement dans le sens de propagation de la lumière incidente. f' est négative dans le cas d'un miroir concave, et positif dans le cas d'un miroir convexe.

Remarquons tout de suite que, comme les foyers image et objet sont confondus, la distance focale objet f, distance entre le sommet S et le foyer principal objet F, est égale à la distance focale image f'. Nous parlerons alors indifféremment de distance focale image et objet sous le terme distance focale.

Distance focale
ms-df.png
En vert, on définit la distance focale f comme étant la distance du sommet S du miroir au foyer principal F. Notez le sens de la flèche. Dans le cas d'un miroir convexe, elle est dans le même sens que celui de la propagation de la lumière incidente. Cette distance est alors positive. Dans le cas du miroir concave, cette flèche est dans le sens opposé à la propagation de la lumière incidente. Cette distance est négative. Pour plus d'informations sur ces notions de distances positives et négatives, relisez cette page.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionVergence

Comme au chapitre précédent, on définit la vergence comme étant l'inverse de la distance focale image.

V = \frac{1}{f'} = \frac{1}{f}

Elle s'exprime toujours en \text{m}^{-1} ou encore en dioptrie (noté \delta).


Une propriété géométrique

On admet (cela se démontre) que le foyer F est au milieu du segment CS

2\times\overline{SF} = \overline{SC}

Relation entre le centre C et le foyer F
ms-SC-SF.png
F (et F') est au milieu du segment SC
Crédit : ASM/B. Mollier

Foyers secondaires

Considérons un faisceau de rayons parallèles mais arrivant avec une incidence par rapport à l'axe optique. Il converge en un point appartenant nécessairement au symétrique de l'axe SA. Tout rayon passant par le sommet S du miroir a pour image son symétrique par rapport à l'axe optique. On s'aperçoit que ce point, que nous appellerons foyer secondaire image, est à la verticale du foyer principal image.

Exemple de foyer secondaire dans le cas d'un miroir concave
ms-fsi.png
Tous les rayons qui sont parallèles entre eux convergent en un point, un foyer secondaire image, situé dans le plan focal image.
Crédit : ASM/B. Mollier

Remarque : En fait, cette dernière remarque est vraie dans l'approximation de Gauss, qui garantit un aplanétisme approché.

Si nous faisons varier l'inclinaison du faisceau, ce point (le foyer secondaire) parcourt ce qu'on nomme le plan focal du miroir.

Pour un miroir convexe, on retrouve le même phénomène, sauf que les foyers secondaires images sont virtuels et situés derrière le miroir. Comme précédemment, nous allons pouvoir définir un foyer secondaire objet, comme étant l'antécédent d'un point image situé à l'infini, en dehors de l'axe optique. L'ensemble des foyers secondaires objets constitueront le plan focal objet.

Exemple de foyer secondaire pour un miroir convexe
ms-fso.png
Tous les rayons issus d'un point appartenant au plan focal objet ressortent parallèles entre eux.
Crédit : ASM/B. Mollier

Dans les conditions de Gauss, les plans focaux sont perpendiculaires à l'axe optique. Dans la vraie vie, ce sont des surfaces non planes. Les plaques photos utilisées au foyer d'un télescope de Schmidt étaient par exemple sphériques.


Propriétés des rayons passant par les foyers, rayons utiles

Avec ce que nous venons de voir, nous allons pouvoir définir quelques propriétés sur les rayons lumineux se réfléchissant sur les miroirs. Elles nous permettront d'aborder, comme au chapitre précédent, la construction des images.

Résumé
ms-resume.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Comparaison avec les lentilles

Arrêtons nous quelques instants sur les similitudes qu'il existe entre lentilles minces et miroirs sphériques.

Une fois n'est pas coutume, commençons par la différence. Si la lumière passant à travers une lentille se propage toujours dans le même sens, celle se réfléchissant sur le miroir repart d'où elle vient. Pour la lentille, l'espace objet et image sont situés chacun d'un côté de la lentille. Ils sont confondus pour le miroir. Mais par une vue de l'esprit, nous allons nous apercevoir que formellement ces deux systèmes sont strictement équivalents.

Un peu de pliage

Reprenons un des dessins que nous avons faits au chapitre précédent. Celui de la lentille convergente par exemple. Plions-le le long de la lentille. Une fois plié, ce dessin ne ressemble-t-il pas comme deux gouttes d'eau à celui du miroir concave ? Et si on fait de même avec une lentille divergente, ne retrouve-t-on pas le miroir convexe ? Quand je vous disais que c'était la même chose.

Partons d'une lentille convergente...
ms-pliage1.png
On reprend le tracé d'une image à travers une lentille convergente construit au chapitre précédent.
Crédit : ASM/B. Mollier
... Plions le dessin...
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On plie le dessin le long de la lentille.
Crédit : ASM/B. Mollier
... On obtient un miroir concave
ms-pliage3.png
Une fois le dessin plié, les foyers se superposent, l'image passe de l'autre côté... On obtient un miroir concave.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionEspace objet/image réel/virtuel

On appelle espace image réelle la zone de l'espace où l'image formée sera réelle. Dans le cas d'une lentille mince, c'est la partie de l'espace située en aval de la lentille.

On définit de la même manière l'espace image virtuelle la partie où cette image sera virtuelle. Dans le cas d'une lentille, c'est la portion de l'espace située en amont de la lentille.

En continuant ainsi, on définit également l'espace objet réel, où l'objet est réel pour le système optique, et l'espace objet virtuel où celui-ci sera virtuel. Dans le cas d'une lentille, ils se situent respectivement en amont et en aval de la lentille.

Dans le cas des miroirs sphériques, au vu de notre pliage, espaces objet réel et virtuel sont inchangés. Par contre espaces image virtuelle et réelle sont intervertis.

Espaces objet/image réel/virtuel
ms-er-ev.png
Où trouver un objet ou une image réelle ? virtuelle ? Pour une lentille (et un miroir sphérique), l'espace objet réel est en amont de celle-ci, l'espace objet virtuel étant en aval. Pour une lentille, l'espace image réelle est en aval et l'espace image virtuelle en amont. Dans le cas d'un miroir sphérique, ces deux derniers espaces sont inversés.
Crédit : ASM/B. Mollier

Constructions géométriques

Auteur: Benjamin Mollier

introduction

introductionPhilosophie des pages à venir

Nous disposons de tous les outils et de l'expérience acquise avec les lentilles pour aborder les constructions géométriques avec les miroirs sphériques. Afin d'éviter un long copier-coller, ainsi qu'un inventaire à la Prévert de tous les cas possibles, comme au chapitre précédent, je me contenterai de donner le premier exemple et laisserai en exercice les cas suivants.


Objet en amont du foyer principal objet d'un miroir concave

Traçons l'image d'un objet obtenue avec un mirroir concave

On dispose d'un objet AB en amont d'un miroir concave et de son foyer objet. On cherche à tracer son image réfléchie.

  1. On trace le rayon issu de B et passant par C. Il revient par le même chemin.
  2. Il nous faut un deuxième rayon pour obtenir l'image de B. En effet, dans les conditions de stigmatisme approché, deux rayons suffisent à définir un point image. On a le choix entre trois autres rayons. On trace par exemple le rayon issu de B et parallèle à l'axe optique. Il se réfléchit sur le miroir en passant par le foyer principal image F'. Il croise le premier rayon en B', image de B par le miroir.
  3. Par acquit de conscience, traçons un troisième rayon, et vérifions qu'il passe bien par B'. Traçons le rayon issu de B et passant par le foyer principal objet F. Il ressort parallèle à l'axe optique. On vérifie ainsi qu'il passe effectivement par le point B'
  4. Et de 4 ? On trace le rayon issu de B et se réfléchissant au sommet S. On trace alors son symétrique par rapport à l'axe optique. Et oui, il passe également par B'. Ouf !
  5. Il reste à tracer l'image A' du point A. On ne peut utiliser la même méthode que le point B car tous ces rayons sont identiques et confondus avec l'axe optique. Comment s'en sortir alors ? Utilisons la propriété d'aplanétisme. Par construction, AB est perpendiculaire à l'axe optique. L'image A'B' l'est également. A' est donc le point de l'axe optique à la verticale de B'. Le tour est joué.
Construction géométrique
ms-ccv-or-ir.png
Crédit : B. Mollier

remarqueRemarques


Objet en aval du foyer principal objet d'un miroir concave

Comme promis, bah... c'est à vous de jouer ! Ah zut, il n'a pas oublié. Et non !

Auteur: B. Mollier

exerciceObjet en aval du foyer principal objet d'un miroir concave

Difficulté :    Temps : 10 min

On reprend le schéma de la page précédente, mais on rapproche l'objet AB du miroir.

Miroir concave
ms-ccv-or-iv-enonce.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Au niveau de quel point (A'_1, A'_2 ou A'_3) se situe l'image de cet objet AB ?

Question 2)

L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Inversée ou non ?


Objet réel devant un miroir convexe

Auteur: B. Mollier

exerciceObjet réel devant un miroir convexe

Difficulté : ☆☆   Temps : 10 min

On place un objet devant un miroir convexe.

Miroir convexe
ms-cvx-or-iv-enonce.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Quelle est la taille de l'image A'B' par rapport à celle de l'objet AB ?


Les relations de conjugaison

Auteur: Benjamin Mollier

Les relations de conjugaison

Comme pour les lentilles, nous allons démontrer une série de relation de conjugaison, qui nous permettront d'effectuer des calculs de position et de taille d'image.

Nous les démontrerons à partir des constructions géométriques. Puis nous les comparerons à celles obtenues pour les lentilles minces. Oui, je cherche à vous convaincre que ces deux systèmes optiques sont équivalents.


Grandissement

definitionGrandissement

La définition du grandissement \gamma dans le cas d'un miroir sphérique est la même que pour les lentilles minces. Il s'agit du rapport entre la taille de l'image A'B' et celle de son antécédent AB.

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}

Grandissement dans le cas d'un miroir sphérique concave
ms-grandissement.png
Crédit : ASM/B. Mollier

demonstrationExpression du grandissement avec origine au sommet

En appliquant le théorème de Thalès, on trouve immédiatement que :

\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}

remarqueRemarque

Connaissant la distance de l'objet et de l'image par rapport au sommet S, il est donc possible de calculer la taille de l'image.


Exercice : grandissement

Auteur: B. Mollier

exerciceGrandissement

Difficulté :    Temps : 10 min

Voici trois nouvelles constructions :

Construction 1
ms-ccv-or-iv-reponse.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Construction 2
ms-cvx-or-iv-reponse.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Construction 3
ms-ccv-or-ir.png
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

Calculez le grandissement dans chacun des trois cas.


Relation de conjugaison de Newton

definitionGrandissement : origines aux foyers

Et si on ne connaît pas la position de l'image ? Nous allons utiliser les foyers. En appliquant cette fois-ci le théorème de Thalès deux fois avec deux rayons différents, on obtient :

\gamma = \frac{\overline{FS}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'S}}

En introduisant les distances focale objet f et image f', on obtient :

\gamma = -\frac{f}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'}

ms-relations-newton.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Et voilà, connaissant la distance focale et la distance de l'objet, on peut calculer le grandissement.

definitionRelation de conjugaison de Newton (origines aux foyers)

Remarquons qu'à partir de ces deux formules, on va pouvoir calculer la distance de l'image.

\overline{FA}.\overline{F'A'} = f'^2 = f^2

Nous venons d'établir la relation de conjugaison de Newton. Elle est aussi appelée relation de conjugaison avec origine au foyer, car les distances de l'objet et de l'image sont comptées à partir des foyers principaux.

remarqueRemarque

Au signe - près, elle est identique à celle des lentilles minces.

Aurait-on pu retrouver cette relation justement à partir de celle établie au chapitre sur les lentilles ? Oui, si on se souvient qu'il suffit de "plier" notre dessin pour passer des lentilles aux miroirs. Le pliage change le signe de \overline{F'A'}. Ce qui explique la perte du signe - dans la relation de conjugaison de Newton.


Exercice : formule de Newton

Auteur: B. Mollier

exerciceNarcissisme

Et si on s'admirait devant un miroir ? On dispose d'un petit miroir de poche, de distance focale f = -1\ m. On place notre visage à 20\ cm de ce dernier.

Question 1)

Quelle est la taille de notre reflet ?

Question 2)

Quelle est sa position ?


Relation de conjugaison de Descartes

demonstrationUne autre relation de conjugaison

Nous pouvons également obtenir une relation similaire, avec origine au sommet du miroir cette fois-ci. En partant de la formule du grandissement :

\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}  =  -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = \frac{\overline{F'S}+\overline{SA'}}{\overline{F'S}} = 1 + \frac{\overline{SA'}}{\overline{F'S}}

-\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}  =  1 - \frac{\overline{SA'}}{\overline{SF'}}

definitionRelation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)

On obtient ainsi la relation de conjugaison de Descartes :

\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{1}{f'}

remarqueNotations

Remarque, on note parfois les distances \overline{SA} et \overline{SA'} respectivement p et p'.

\frac{1}{p'} + \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}

Là encore, les 2 relations de Descartes pour les lentilles et les miroirs ne se distinguent que par un signe -. Le pliage, qui affecte tout ce qui se passe "à droite" de la lentille, change le signe de toutes les grandeurs algébriques situées en son aval. On change donc p' en -p' et f' en -f'...


Exercice : relation de conjugaison de Descartes

exerciceNarcissisme (2)

Admirons nous encore !

Question 1)

Recalculez la distance de notre reflet en appliquant cette fois-ci la relation de conjugaison de Descartes.


Relation de conjugaison avec origine au centre

Si vous vous souvenez de la relation donnée quelques pages plus tôt : 2 \times \overline{SF} = \overline{SC}, on peut trouver d'autres relations de conjugaison.

definitionRelation de conjugaison avec origine au centre

Partant de la relation de conjugaison de Descartes, avec origine au sommet, on obtient d'abord :

\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}

Puis en appliquant les relations de Chasles \overline{SA} = \overline{SC}+\overline{CA} et \overline{SA'} = \overline{SC}+\overline{CA'}, on montre que :

\frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}}

remarqueRemarque

On a établi plusieurs relations de conjugaison. vous n'êtes pas obligé de toutes les connaître. Une suffit. Apprenez celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l'aise. De toutes façons, les autres se déduiront de la vôtre, ou se retrouvent à l'aide de petits dessins.


Résumé

Un petit résumé des relations de conjugaison précédemment établies.

Comparaison entre lentilles et miroirs
Lentilles mincesMiroirs sphériques
grandissement\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}
\gamma = \frac{\overline{FO}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}\gamma = \frac{\overline{FS}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'S}}
Relation de Newton\overline{FA}.\overline{F'A'} = -f'^2\overline{FA}.\overline{F'A'} = f'^2
Relation de Descartes\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{1}{f'}
pas d'équivalent\frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}}

Complément : le cas limite du miroir plan

Que se passe-t-il si on prend un miroir sphérique et qu'on fait tendre son rayon de courbure vers l'infini ? Il devient plat.

Nous devrions donc pouvoir retrouver les propriétés du miroir plan à partir de celle du miroir sphérique, en faisant tendre CS vers l'infini.

La première conséquence est que la distance focale tend également vers l'infini, puisqu'elle vaut la moitié de \overline{SC}.

Miroir plan
ms-miroir-plan.png
Un miroir plan est un miroir sphérique de rayon de courbure infini.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionGrandissement

\overline{FS} et \overline{FA} tendent vers l'infini. Or comme \overline{FA} = \overline{FS} + \overline{SA}, la longueur \overline{SA} devient très vite négligeable devant les deux autres. D'où \overline{FA} \approx \overline{FS} et donc le grossissement tend vers 1.

\gamma = 1

On retrouve bien le fait que notre image dans un miroir a la même taille et est dans le même sens.

definitionPosition de l'image

Où se situe l'image ? Prenons la relation de conjugaison de Descartes. Si la distance focale tend vers l'infini, alors \frac{1}{f'} = 0. On a donc :

\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = 0

soit

\overline{SA'} = -\overline{SA}.

L'objet et l'image sont équidistants du miroir.

conclusionConclusion

En faisant tendre le rayon de courbure vers l'infini, nous venons de démontrer que le miroir plan possède un grandissement de 1, et que image et objet sont équidistants du miroir, autrement dit, ils sont symétriques l'un de l'autre.


Conclusion

rappelLes miroirs

Nous venons de voir qu'il existait 2 types de miroirs sphériques : des miroirs concaves, comme un miroir de poche par exemple, qui ont la propriété de faire converger un faisceau lumineux ; des miroirs convexes, comme un rétroviseur, qui ont la propriété de faire diverger un faisceau lumineux.

rappelÉléments cardinaux

Nous avons défini quatre points particuliers pour un miroir. Ces points sont appelés éléments cardinaux du miroir.

rappelDistance focale. Vergence

Les distances entre les points F et S sont appelées distances focales. Ce sont des données du miroir. Elles caractérisent la vergence du miroir, c'est-à-dire son pouvoir de dévier les rayons lumineux.

rappelTracés d'images

À l'aide de quatre rayons, il nous est désormais possible de tracer l'image d'un objet se reflétant sur le miroir. Le rayon lumineux passant par le centre revient sur lui-même, celui arrivant parallèle à l'axe optique ressort en croisant le foyer principal image, et celui passant par le foyer principal objet ressortira parallèle à l'axe optique. Enfin, le rayon frappant le miroir au sommet aura pour image son symétrique par rapport à l'axe optique.

rappelRelations de conjugaison

Enfin, nous avons quelques relations qui nous permettront de calculer des tailles d'images, les distances où elles se forment et pourquoi pas des champs de vue et des grossissements. Ce sera pour bientôt.

ensavoirplusBONUS : Le miroir plan

Et on vient de voir en prime qu'un miroir plan est un miroir sphérique de rayon de courbure infini.


Des instruments d'optique

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

Il est maintenant temps d'utiliser ces miroirs et ces lentilles afin de construire des systèmes optiques.

definitionDifférents types de systèmes optiques

Tous les systèmes optiques n'ont pas nécessairement pour but de former des images. Certains n'ont pour fonction que de focaliser et transporter la lumière. Les phares par exemple. Nous ne nous intéresserons pas ici à de tels systèmes, et ne nous focaliserons (calembour) que sur ceux formant des images.

On peut distinguer 2 types de systèmes optiques :

introductionDans ce chapitre...

... nous aborderons d'abord un système objectif : l'appareil photo. Il nous permettra d'introduire quelques notions d'optique comme le champ de vue, l'ouverture, la profondeur de champ.

Puis nous aborderons l'oeil et l'oculaire, préalables à l'étude de tous les systèmes subjectifs. On y introduira les notions de grossissement et de puissance.

Enfin, nous aborderons les systèmes subjectifs utilisés en astronomie : la lunette et le télescope.

prerequisPrérequis

Appareil photo
P1030083.jpg
La première section sera consacrée à l'appareil photo.
Crédit : B. Mollier
Oeil
instru-mon-oeil.jpg
La deuxième section sera consacrée à l'oeil.
Crédit : A. Proust
L'oculaire
Oculaire.jpg
La troisième section sera consacrée à la loupe et à l'oculaire.
Crédit : B. Mollier
Lunette astronomique
instru-lunette.jpg
La quatrième section sera consacrée aux lunettes.
Crédit : B. Mollier
Télescope
Paranal.jpg
La dernière section sera consacrée aux télescopes.
Crédit : B. Mollier

L'appareil photo

Auteur: Benjamin Mollier

L'appareil photo

Commençons donc par l'appareil photo. Pourquoi débuter par lui ? Car c'est un système optique très simple. Basiquement, c'est une lentille (l'objectif) placée devant un écran (le capteur ou la pellicule). C'est tout !

Modélisation d'un appareil photo
instru-ap-simplifie.png
Un appareil photo peut être modélisé par une lentille placée devant un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

Bon, je vous embobine un peu. Si on démonte un appareil photo, c'est beaucoup plus compliqué que ça. Mais la modélisation une lentille + un écran suffit largement pour comprendre son fonctionnement.


Description d'un appareil photo

Qu'est-ce qu'un appareil photo ? Je l'ai dit juste avant, c'est une lentille et un écran. Plus exactement, un objectif qui va former l'image du sujet sur notre capteur.

definitionDescription d'un réflex

Je vais brièvement décrire le boîtier réflex classique, avec objectif amovible et capteur 24x36.

L'objectif est un tube dans lequel on trouve un grand nombre de lentilles (parfois une dizaine). Elles servent à faire l'image du sujet sur le capteur, d'en faire la mise au point correcte, de zoomer éventuellement, et d'assurer une bonne correction des aberrations optiques et chromatiques. Je vous l'avais déjà dit, on ne travaille pas, en photo, dans les conditions de Gauss, car on perdrait trop de lumière.

On trouve aussi un diaphragme permettant de régler la quantité de lumière rentrant dans l'appareil (réglage de l'ouverture et de la profondeur de champ).

Dans le boîtier, on trouve un miroir basculant. Il renvoie la lumière vers le viseur pour permettre le cadrage, puis bascule pour la laisser rentrer dans la chambre pendant la prise de vue.

On trouve derrière l'obturateur, qui ne s'ouvre que pendant la prise de vue, pour laisser la lumière imprimer le capteur ou la pellicule. La quantité de lumière arrivant sur le capteur est bien sûr proportionnelle au temps d'exposition, c'est-à-dire la durée d'ouverture de l'obturateur.

Enfin, derrière l'obturateur, on trouve la pellicule sur les anciens appareils argentiques, ou un capteur CCD, sur les appareils photo numériques (abrégé APN). La dimension classique du capteur est (ou était) 24x36 mm. Même si elle n'est plus utilisée dans tous les APN, surtout les compacts, elle sert encore de référence pour les calculs de focale.

Par défaut, quand je parlerai d'APN, ce sera un réflex avec un capteur de 24x36 mm.

SLR_cross_section.jpg
Coupe transversale d'un appareil photo reflex. - 1. Objectif - 2. Miroir abaissé (image visible dans l'oculaire / le viseur) - 3. Obturateur focal - 4. Capteur/Film - 5. Verre dépoli - 6. Condenseur - 7. Pentaprisme - 8. Oculaire/Viseur
Crédit : Colin M.L. Burnett, GFDL/CC BY-SA 3.0
Reflex_camera.jpg
Coupe d'un appareil photo réflex - 1. Lentille frontale de l'objectif - 3. Diaphragme - 4. Obturateur - 5. Pellicule - 10. Viseur - 12. Bague de mise au point
Crédit : Anuskafm, GFDL/CC BY-SA 3.0

La focale d'un objectif

Objectif à focale variable 18-55\ mm, téléobjectif de 200\ mm, grand angulaire de 25\ mm... qu'est-ce que tout ça ?

Des chiffres ?
P1030082.jpg
Que veulent dire ces chiffres 15-85\ mm ?
Crédit : B. Mollier

definitionFocale

C'est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît. Surtout quand on se souvient de ses cours sur les lentilles minces.

Ce qu'on appelle focale d'un objectif photo n'est rien d'autre que la distance focale image.

Une focale de 25\ mm veut dire que notre objectif est équivalent à une lentille mince convergente de distance focale image 25\ mm. Quand au téléobjectif de 200\ mm, il sera équivalent à une lentille mince convergente de vergence moindre, puisque sa distance focale sera de 200\ mm.

definitionFocale variable

Quant aux objectifs à focale variable (18-55\ mm par exemple) et au zoom universel (18-200\ mm), en jouant sur le déplacement de lentilles à l'intérieur, on peut faire varier leur distance focale. C'est l'avantage d'avoir un système à plusieurs lentilles par rapport à une unique lentille pour laquelle cette grandeur est fixe.


Grand angulaire, téléobjectif

definitionAngle de champ

La focale de l'objectif nous donne une information sur l'angle embrassé par l'appareil.

L'angle de champ est l'angle couvert par l'appareil photo. Si c'est angle est grand, on photographie une grande zone, un vaste paysage par exemple. S'il est petit, on ne photographie qu'un détail, par exemple un animal perdu dans le paysage.

definitionLien entre angle de champ et focale

L'angle de champ et la focale sont reliés entre eux. Ils dépendent de la taille du capteur. La référence est le capteur de 24x36. S'il est de taille différente, on calculera des focales équivalentes ramenées au format 24x36 (cf page suivante).

Pour qu'une partie du paysage soit photographiée, il faut que son image arrive sur le capteur. Les bords du capteur définissent donc la limite de ce qui est photographiable. Ce dernier projette un cône virtuel en avant de l'appareil photo. Tout ce qui est dans ce cône apparaîtra lors de la soirée diapo. Ce qui est en dehors sera perdu à jamais...

La distance entre le capteur et l'objectif est typiquement la distance focale. On est donc en mesure de calculer l'angle de champ connaissant la taille du capteur et la focale.

Angle de champ
instru-angle-champ.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Pour les curieux, son expression est \alpha = 2\times\arctan(\frac{d}{2f'}), où d est la diagonale du capteur, f' la focale.

Angle de champ et focale
Pour un capteur de 24x36 mm
FocaleAngle de champ (environ)
17 mm105°
28 mm75°
35 mm65°
50 mm45°
80 mm30°
105 mm23°
135 mm18°
200 mm12°
300 mm

definitionGrand angulaire, téléobjectif

On classe les objectifs en 2 catégories. Les grands angulaires possédant une courte focale et un grand champ, et les téléobjectifs possédant une longue focale et un petit champ.

La limite entre les deux catégories est pour une focale d'environ 50\ mm qui offre un champ comparable à celui d'un oeil humain.

Grands angulaires et téléobjectifs
instru-grdang-tele.png
En vert, la classe des objectifs grand-angle, en bleu, celle des téléobjectifs. En rouge, l'objectif de 50\ mm dont l'angle de champ est équivalent à celui de l'oeil.
Crédit : ASM/B. Mollier
Objectif de 25 mm
obs-025mm.jpg
Grande coupole de l'observatoire de Meudon prise avec un objectif de 25\ mm.
Crédit : B. Mollier
Objectif de 70 mm
obs-070mm.jpg
Grande coupole de l'observatoire de Meudon prise avec un objectif de 70\ mm.
Crédit : B. Mollier
Objectif de 120 mm
obs-120mm.jpg
Grande coupole de l'observatoire de Meudon prise avec un objectif de 120\ mm.
Crédit : B. Mollier
Objectif de 300 mm
obs-300mm.jpg
Grande coupole de l'observatoire de Meudon prise avec un objectif de 300\ mm.
Crédit : B. Mollier

Pourquoi voit-on plus gros un objet avec un téléobjectif ?

introductionUn gros zoom

Pourquoi voit-on plus gros un objet avec un téléobjectif ? un zoom dirons nous de manière abusive ?

L'angle de vue étant plus réduit, on met une portion de l'espace plus petite sur la même surface de capteur, on l'a agrandi.

Un arbre vu au grand angle et au téléobjectif
Zoom.jpg
Plus la focale est longue, plus l'image d'un objet (l'arbre ici) est grande et prend de la place sur le capteur.
Crédit : ASM/B. Mollier

Exercice : la focale équivalente

Auteur: Benjamin Mollier

exerciceFocale équivalente

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Nous venons de voir que l'angle de champ dépend de la taille du capteur. Or, de nombreux APN possèdent maintenant des capteurs plus petits. Nous allons prendre l'exemple d'un APN du commerce (dont je ne citerai pas la marque) possédant un capteur mesurant 14,8\times22,2\ mm.

Boîtier avec petit capteur
P1030083.jpg
Sur ce boîtier, le capteur est de petite taille. Il ne fait pas 24\times36\ mm comme les argentiques, mais 14,8 \times 22,2\ mm.
Crédit : B. Mollier
Question 1)

J'adapte dessus un objectif de 28\ mm de focale. Rappelez quel serait l'angle de champ avec un capteur 24\times36\ mm.

Question 2)

Quelle valeur prend cet angle avec notre capteur plus petit ?

Question 3)

Calculez quelle focale donnerait le même angle de champ avec un capteur 24\times36\ mm. C'est ce qu'on appellera la focale utile (ou équivalente).

Question 4)

Calculer la focale utile sur notre nouveau boîtier si j'adapte un téléobjectif de 300\ mm. Commentez.

Question 5)

À l'inverse, si je désire obtenir une focale utile de 28\ mm, quel objectif dois-je acheter ? Concluez.


Ouverture

introductionExposition

L'exposition, en photographie, désigne la quantité de lumière, le nombre de photons, enregistré par le capteur.

Elle dépend de trois paramètres :

Dans le cadre de ce cours d'optique, nous ne nous intéresserons qu'au cas de l'ouverture. De nombreux ouvrages consacrés à la photographie traitent du reste.

introductionL'ouverture

S'il est un paramètre important en photographie, c'est bien l'ouverture. On contrôle cette quantité à l'aide d'un diaphragme. Plus on ferme le diaphragme, plus on diminue l'ouverture.

Si ce réglage a un impact direct sur la quantité de lumière qui rentre dans l'appareil, il en a aussi sur la qualité de la photo. Réduire l'ouverture augmente la zone de netteté de l'image (on parle de profondeur de champ), peut réduire certaines aberrations (en se rapprochant des conditions de Gauss), mais gare au vignétage !

Cette quantité s'exprime étrangement en f sur un nombre. Nous allons voir pourquoi.

definitionAngle d'ouverture

L'angle d'ouverture A mesure le rapport entre le diamètre D de l'objectif (du collecteur de lumière en général) et sa focale f' :

A = \frac{D}{f'}

Angle d'ouverture
instru-ouverture.png
L'angle d'ouverture A mesure le rapport entre le diamètre D de l'objectif (du collecteur de lumière en général) et sa focale f' : A = \frac{D}{f'}
Crédit : ASM/B. Mollier

remarqueAttention

Ne pas confondre l'angle de champ, qui dépend de la taille du capteur, et l'angle d'ouverture, qui dépend du diamètre de l'objectif.

definitionNombre d'ouverture

Le nombre d'ouverture (noté N.O.) ou plus simplement ouverture est la quantité inverse N.O. = \frac{1}{A}

On la note f/N.O.

Par exemple, si je possède un objectif de 28\ mm de focale, avec un diaphragme de 10\ mm de diamètre, l'angle d'ouverture vaut 0,36 et son ouverture vaut 2,8. On parle donc d'objectif ouvert à f/2,8.

Plus le chiffre est petit, plus l'objectif est ouvert, plus la quantité de lumière qui rentre est importante. À l'inverse, plus ce chiffre est grand, plus l'objectif est fermé, et moins la quantité de lumière qui rentre est importante.

Pour résumer, un objectif ouvert à f/2,8 veut simplement dire que le diamètre du diaphragme est 2,8 fois plus petit que la focale.


Exercices sur l'ouverture

exerciceOuverture

Question 1)

Je possède un téléobjectif de 300\ mm de focale, dont le diamètre est 5\ cm. Quelle pourra être l'ouverture maximale ?


Profondeur de champ

definitionProfondeur de champ

Nous avons vu, lors du cours sur les lentilles, qu'il n'existe qu'un seul plan antécédent du plan du détecteur. Autrement dit, notre photo ne sera nette qu'à une distance très précise de l'appareil photo.

Cependant, lorsque l'on regarde une photo, celle-ci nous apparaît nette sur une certaine distance, parfois très courte, parfois très grande.

Cette zone nette s'appelle la profondeur de champ. Plus celle-ci est grande, plus la photo sera nette longtemps. À l'inverse, plus la profondeur de champ est petite, plus courte sera la distance sur laquelle la photo sera nette.

Faible profondeur de champ
instru-ap-ptt-prof-chp.jpg
Avec une grande ouverture, la profondeur de champ est réduite. Les épis en arrière-plan sont flous.
Crédit : B. Mollier
Faible profondeur de champ
instru-ap-grd-prof-chp.jpg
Avec une faible ouverture, la profondeur de champ est augmentée. Les épis en arrière-plan sont cette fois-ci plus nets.
Crédit : B. Mollier

ensavoirplusLien avec l'ouverture

Si l'ouverture est importante, les rayons issus d'un point empruntent beaucoup de chemins différents. Si l'image de cet objet n'est pas sur le capteur, mais en avant ou en arrière, alors tous ces rayons tombent sur le capteur en une largeur zone, une grosse tache (regardez l'intersection des faisceaux avec le capteur dans l'image en bas). L'image est floue.

Mais si on réduit l'ouverture, on diminue le nombre de rayons entrant dans l'appareil, et on réduit ainsi la taille de la tache où ils convergent.

À la limite, si on ferme au maximum le diaphragme, on ne sélectionne plus qu'un seul rayon par point. L'image est alors nette à toutes les distances. On peut même se passer de la lentille. C'est le principe du sténopé. Par contre, comme très peu de lumière entre, il faut poser très longtemps.

Ouverture et profondeur de champ
instru-ap-profondeur.png
Plus l'ouverture est grande, plus la profondeur de champ est réduite. Premier plan et arrière plan sont flous. À l'inverse, plus on diminue l'ouverture, plus la profondeur de champ augmente. Premier plan et arrière plan apparaissent nets.
Crédit : ASM/B. Mollier

Résumé

rappelModélisation

L'appareil photo peut être modélisé par une simple lentille placée devant un écran.

rappelFocale

La focale d'un objectif est la distance focale de la lentille équivalente.

Une courte focale entraîne un grand angle de champ. Ce type d'objectif est appelé grand angle. Ces derniers possèdent une focale inférieure à 35\ mm.

Une longue focale entraîne un angle de champ réduit. Ce type d'objectif est appelé téléobjectif. Ces derniers possèdent une focale supérieure à 85\ mm.

rappelOuverture

L'ouverture mesure le rapport entre le diamètre du diaphragme et la focale.

Pour ouvrir un objectif, on ouvre le diaphragme : on augmente son diamètre. On augmente la quantité de lumière rentrant dans l'appareil, et on diminue la profondeur de champ.

En réduisant le diamètre du diaphragme, on ferme l'objectif. On réduit la quantité de lumière rentrant dans l'appareil, et on augmente la profondeur de champ.


Exercice bilan : compact numérique

Auteur: B. Mollier

exerciceCompact numérique

Ci-dessous, vous pouvez voir la photo d'un compact numérique. De nombreuses informations sont inscrites sur sa face avant. Que signifient-elles ?

Le compact numérique
instru-compact.jpg
Un appareil photo compact. Sur l'objectif, on peut lire plusieurs chiffres comme 1:3.3-4.9 / 4.1 - 49.2 ainsi que 25 mm WIDE.
Crédit : B. Mollier
Question 1)

Vous pouvez lire sur l'objectif 25 mm WIDE, ainsi que 1:3.3-4.9 et enfin 4.1 - 49.2. Que signifient ces chiffres ?

Question 2)

Lorsque la focale du zoom optique est réglée sur la plus courte distance, 4,1\ mm, le compact offre une focale équivalente de 25\ mm. Déduisez-en la taille du capteur.

Question 3)

Quelle est alors la focale équivalente en position de zoom maximal ?


L'oeil

Auteur: Benjamin Mollier

L'oeil

Restons sur un système optique simple, l'oeil. Lui aussi peut être modélisé par une simple lentille placée devant un écran.

L'étude préalable de l'oeil est nécessaire pour aborder les instruments subjectifs. Ce sera l'occasion de nous familiariser avec cet organe.

Mon oeil !
instru-mon-oeil.jpg
Crédit : A. Proust

Description

definitionDescription

De façon schématique, l'oeil est de forme sphérique. Il est constitué :

L'oeil
insrtu-oeil.jpg
Coupe d'un oeil humain.
Crédit : B. Mollier

definitionModélisation

On le modélisera donc par un diaphragme placé devant une lentille de distance focale variable, le tout devant un écran.

Modèle de l'oeil
instru-oeil-modele.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Quelques caractéristiques de l'oeil

Auteur: B. Mollier

exerciceAngle de champ d'un oeil

Difficulté :    Temps : 10 min

Un oeil moyen mesure 2,5 cm de diamètre.

Question 1)

La zone sensible de la rétine s'étend sur environ 2-2,5 cm de diamètre. Donnez approximativement l'angle de champ de l'oeil.

Question 2)

Cependant, la zone permettant la perception des détails fins correspond à une image formée sur la fovéa, une zone très riche en récepteurs, au voisinage de l'axe optique. Cette zone mesure un demi millimètre de diamètre. Donnez l'ordre de grandeur de l'angle de champ correspondant à la fovéa.

exerciceOuverture de l'oeil

Difficulté :    Temps : 5 min

Le diamètre de l'iris varie, selon la luminosité, de 2\ mm à 1\ cm.

Question 1)

Calculez les ouvertures minimale et maximale de l'oeil.


Exercice : accomodation

Auteur: B. Mollier

exerciceDistance focale de l'oeil

Un oeil moyen mesure 2,5 cm de diamètre.

Question 1)

Quel doit être la distance focale image du cristallin pour former l'image d'un objet situé à l'infini, sur la rétine ?

Question 2)

Et quelle doit être la valeur de cette distance focale pour lire un livre à 25 cm de l'oeil ?

Question 3)

Que peut-on en conclure ?


Accomodation

definitionPunctum remotum

Pour voir net il faut que l'image d'un objet se forme sur la rétine. Un oeil n'accommodant pas (un oeil au repos), voit net un objet à une distance D_m appelée punctum remotum, notée PR.

definitionL'accomodation

Lorsque l'objet se rapproche, son image s'éloigne du cristallin. L'oeil ayant une taille fixe, l'image ne se forme plus sur la rétine. Comment faire alors ? On peut augmenter la vergence du cristallin. Celui-ci, plus convergent, ramène l'image sur la rétine. C'est l'accommodation (voir l'exercice page précédente).

definitionPunctum proximum

Cependant, on ne peut augmenter indéfiniment la vergence. Approchez-vous de l'écran. Au bout d'un moment, vous avez mal aux yeux et n'arrivez plus à voir cet écran net. La distance minimale à laquelle on peut encore voir un objet est appelée punctum proximum, notée PP.

definitionOeil emmétrope

Pour un oeil normal adulte, dit oeil emmétrope, le punctum remotum est situé à l'infini, et le punctum proximum à 25 cm.

Oeil emmétrope
instru-oeil-emetrope.png
Crédit : ASM/B. Mollier

Les défauts de vision

L'oeil humain peut être affecté de nombreux défauts de vision.

definitionLa myopie

L'oeil myope est trop long ou le cristallin trop convergent. L'image d'un objet à l'infini se forme en avant de la rétine. Le punctum remotum est situé à une distance finie, variant avec la gravité de la myopie.

Myopie
instru-oeil-myope.png
L'oeil myope est trop long ou le cristallin trop convergent. L'image se forme en avant de la rétine (à gauche). L'ajout d'une lentille divergente éloigne l'image qui se forme alors sur la rétine (à droite).
Crédit : ASM/B. Mollier

Le PP est également plus proche. Un myope peut lire de plus près et est un peu moins sensible à la presbytie.

Pour corriger ce défaut, il faut donc diminuer la vergence de l'oeil en plaçant devant une lentille divergente.

definitionL'hypermétropie

À l'inverse, un oeil hypermétrope est trop court ou le cristallin n'est pas assez convergent. L'image d'un objet à l'infini se forme en arrière de la rétine. L'oeil doit constamment accommoder pour ramener l'image au niveau de la rétine, ce qui provoque une fatigue.

Hypermétropie
instru-oeil-hypermetrope.png
L'oeil hypermétrope est trop court ou le cristallin pas assez convergent. L'image se forme derrière la rétine (à gauche). L'ajout d'une lentille convergente rapproche l'image, qui se forme à nouveau sur la rétine (à droite).
Crédit : ASM/B. Mollier

Le PR est situé derrière l'oeil ! Si si ! On plaisante à ce sujet en disant qu'un hypermétrope peut voir derrière lui. Vous l'aurez compris, le PR se situe dans l'espace image. C'est-à-dire qu'il est possible, pour un oeil hypermétrope de former l'image d'objets virtuels.

Le PP est plus éloigné que la normale.

Domaine de vision nette
instru-oeil-comparaison.png
En haut l'oeil emmétrope. Le PR est à l'infini et le PP à environ 25\ cm. Au milieu l'oeil myope. Le PR n'est plus à l'infini : on voit mal de loin. Le PP s'est rapproché de l'oeil. Un myope peut lire de plus près. En bas, un oeil hypermétrope. le PR est passé dans l'espace objet virtuel, il est situé derrière le cristallin. Le PP s'est éloigné : on voit mal de près.
Crédit : ASM/B. Mollier

La correction est alors nécessaire pour voir de près, et pour diminuer la fatigue quand on regarde loin. Comme il faut augmenter la vergence du cristallin, on utilise des lentilles convergentes.

definitionLa presbytie

La presbytie se rapproche de l'hypermétropie, mais à une cause toute autre. Elle est liée au vieillissement de l'oeil qui ne parvient plus à accommoder correctement. La vergence du cristallin n'augmente plus et il devient impossible de voir de près. Par contre, la vision de loin reste inchangée. Le PR reste à l'infini alors que le PP s'éloigne progressivement.

Il faut donc corriger la vision de près à l'aide de verres convergents, mais les retirer pour regarder au loin. On peut utiliser des verres dits progressifs, qui sont des verres dont la vergence augmente vers le bas de la lentille.

definitionAstigmatisme

Comme son nom l'indique, pour un oeil astigmate, la condition de stigmatisme n'est plus respectée.

L'oeil ne possède pas une symétrie de révolution. Il faut utiliser des lentilles non sphériques pour corriger ce défaut.


Exercice : correction de la myopie

Auteur: B. Mollier

exerciceCorrection de la myopie

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Nous allons chercher à corriger un défaut de myopie à l'aide d'une paire de lunettes. On place une lentille divergente (en bleu) devant l'oeil myope (en noir), dont la rétine (en jaune) est trop loin. On considère un point B situé à l'infini.

Correction de l'oeil myope
instru-oeil-myope-exo01.png
Schéma-énoncé du problème. Le but sera de tracer l'image du point B situé à l'infini à travers les lunettes et l'oeil.
Crédit : ASM/B. Mollier
Question 1)

En imprimant ou recopiant le schéma ci-dessus, tracer l'image de l'objet AB situé à l'infini à travers l'oeil seul. On ne s'occupera pas, dans cette question, de la lentille divergente en bleue. Cette image est-elle située sur la rétine ?

Question 2)

Pour tracer l'image de notre objet AB à travers les lunettes et l'oeil, nous allons procéder par étapes. Tout d'abord, nous allons tracer l'image A'B' de l'objet à travers la lentille divergente. Puis, dans un second temps, nous allons considérer cette image A'B' comme étant un objet pour la lentille convergente, et en tracer son image A''B''.

Tracer l'image A'B' de l'objet à travers la lentille divergente. Où est-elle ? Est-elle réelle ? virtuelle ? droite ? inversée ?

Question 3)

Tracer maintenant l'image A''B'' de l'objet A'B' à travers la lentille convergente. Où est située cette image ? Est-elle réelle ? virtuelle ? droite ? inversée ?


Associations de lentilles (1)

introductionEt si on utilisait plusieurs lentilles ?

Nous avons uniquement considéré, jusqu'à présent, des systèmes optiques simples, ne comportant qu'une seule lentille. Certes, on peut déjà réaliser un certain nombre de dispositifs optiques : loupe, paire de lunettes, oeil. On est cependant vite limité.

Si on veut pouvoir augmenter la convergence d'un dispositif, en améliorer sa qualité d'image en corrigeant les aberrations, on est amené à associer plusieurs lentilles.

Dans l'exercice précédent, par exemple, on a utilisé une deuxième lentille pour corriger un défaut de vision.

definitionType de doublet

En utilisant deux lentilles, ce qu'on appellera un doublet, nous allons distinguer deux cas, même si le premier se révélera un cas particulier du second.

conseilConstruction géométrique

Pour la construction géométrique, et pour les calculs également, la méthodologie est simple. Nous venons de la voir dans l'exercice précédent.


Associations de lentilles (2)

definitionLentilles accolées

Commençons par le cas le plus simple, les deux lentilles accolées. On fait l'hypothèse ici que les deux lentilles sont minces, qu'on les a approchées le plus près possible (que nous permet leur géométrie) de façon à ce qu'on puisse négliger la distance entre les deux centres O_1 et O_2 de celles-ci, devant toutes les grandeurs caractéristiques du système optique. Bref, O_1 et O_2 sont confondus.

Dans ce cas particulier, notre lentille est équivalente à une seule lentille de vergence

V = V_1+V_2

Autrement dit, sa distance focale image f' peut être déduite par :

\frac{1}{f'} = \frac{1}{f'_1} + \frac{1}{f'_2}

ensavoirplusDémonstration

Pour vous en convaincre, voici la démonstration. Si on applique la relation de conjugaison de Descartes aux deux lentilles L_1 et L_2, on obtient :

\frac{1}{\overline{O_1A'_1}} - \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{f'_1} et \frac{1}{\overline{O_2A'}} - \frac{1}{\overline{O_2A'_1}} = \frac{1}{f'_2}

Et on en tire donc :

\frac{1}{\overline{OA'_2}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'_1} +  \frac{1}{f'_2}

Remarques :


Exercice bilan : correction de l'hypermétropie

Auteur: B. Mollier

exerciceCorrection de l'hypermétropie

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Après la myopie, l'hypermétropie. Nous allons tenter de déterminer la vergence d'une lentille de contact correctrice pour l'hypermétropie.

Question 1)

On considère un oeil hypermétrope de distance focale image variant entre 2,27 cm et 2;5 cm. Sa profondeur est de 2,3cm

On place un objet (un livre par exemple) à 25\ cm de l'oeil. Où se situe son image ? Est-elle sur la rétine ?

Question 2)

Quelle devrait être la distance focale pour que l'image se forme sur la rétine ?

Question 3)

On souhaite corriger cette hypermétropie par des lentilles de contact. Comme leur nom l'indique, elles sont au contact de l'oeil. On pourra donc considérer le système lentille de contact + cristallin comme un doublet de deux lentilles accolées. Calculer la vergence de la lentille de contact permettant de former l'image du livre sur la rétine. Quelle est la nature de cette lentille ?


Résumé

rappelModélisation

L'oeil, comme l'appareil photo, peut être modélisé par une lentille (le cristallin) placée devant un écran (la rétine). La vergence de cette lentille est variable. L'iris joue le rôle d'un diaphragme.

rappelDéfauts de vision

L'oeil peut être affecté de nombreux défauts de vision dont les principaux sont la myopie (l'image d'un objet à l'infini se forme en avant de la rétine), l'hypermétropie (l'image d'un objet proche se forme derrière la rétine), la presbytie (l'oeil n'accommode plus assez) et l'astigmatisme (l'oeil perd sa symétrie de révolution).

rappelLentilles accolées

Deux lentilles accolées sont équivalentes à une seule lentille dont la vergence résultante est la somme des deux vergences de chacune des lentilles.


La loupe et l'oculaire

Auteur: Benjamin Mollier

L'oeil et la loupe

Nous allons étudier, dans cette section, le système optique oeil + loupe. C'est, vous l'aurez reconnu, un doublet de deux lentilles convergentes.

Pourquoi étudier le système oeil + loupe ? Parce que tous les instruments d'optique subjectifs possèdent un oculaire, qui est équivalent à une loupe. Étudier ce système nous permettra de nous familiariser avec les notions de grossissement, de puissance, de netteté de l'image...


L'intérêt d'une loupe, d'un oculaire

definitionIntérêt de la loupe

Pour observer les détails d'un objet, il est nécessaire de le rapprocher le plus possible de notre oeil, au PP. Cependant, cela entraîne une fatigue de l'oeil, et, avec l'âge, ce point s'éloigne.

Utiliser une lentille convergente, une loupe, va nous permettre d'obtenir une image de taille angulaire plus grande que l'objet. On grossit l'image !

De plus, en plaçant l'objet au foyer de la loupe, l'image est à l'infini. L'oeil n'a pas besoin d'accommoder et ne se fatigue plus.

definitionIntérêt de l'oculaire

L'oculaire, qui est une sorte de loupe, permet de rendre subjectif l'objectif d'une lunette ou d'un télescope. Il renvoie l'image issue de ces derniers à l'infini, afin d'être vue par l'oeil, sans se fatiguer.

En fonction de leur focale, les oculaires permettent d'agrandir l'image de l'objet et de réduire ou d'augmenter l'angle de champ.


Rappel sur l'angle apparent

introductionAngle apparent

L'oeil est sensible à l'angle apparent d'un objet. En effet, il ne fait pas la distinction entre un objet proche et petit et un objet grand et lointain. Certes, le cerveau y arrive en interprétant diverses informations, comme la vision en 3 dimensions, ainsi que le paysage dans son ensemble, mais fermez un oeil, vous verrez que c'est tout de suite moins évident.

L'autre exemple est celui de la Lune et du Soleil, qui n'ont pas la même taille, mais qui ont le même diamètre apparent.

Le but d'une loupe, d'un oculaire, puis des systèmes comme les lunettes et les télescopes, est d'augmenter l'angle apparent.

definitionAngle apparent d'un objet à l'infini

Pour un objet à l'infini, l'angle apparent est directement l'angle sous lequel on voit l'objet. Pour mémoire, le diamètre apparent de la Lune et du Soleil est de 0,5°.

definitionAngle apparent d'un objet proche

S'il est proche, ce diamètre est donné par le rapport de sa taille par sa distance à l'oeil.

$$ \alpha = \arctan{\frac{AB}{d}}\approx\frac{AB}{d} $$

remarqueRemarque

Pour un objet proche, l'angle apparent dépend bien sûr de la distance à laquelle il se trouve.


Exercice : angle apparent

exerciceTour Eiffel

Question 1)

Quel est l'angle apparent de la tour Eiffel vue depuis l'esplanade du Trocadéro ?

Question 2)

Sur l'esplanade, de nombreux vendeurs à la sauvette peuvent vous proposer des tours Eiffel miniatures. À quelle distance doit-on se situer d'une petite tour Eiffel de 20\ cm pour obtenir le même angle apparent ?


L'image d'un objet à travers une loupe

introductionUtiliser une loupe

Je rappelle qu'une loupe est une lentille convergente. Pour fonctionner en "loupe", il faut placer l'objet entre le foyer principal objet et la lentille.

demonstrationConstruction de l'image

Construisons l'image d'un objet à travers une loupe.

Image à travers une loupe
instru-loupe.png
Crédit : ASM/B. Mollier

demonstrationAngle apparent de l'image

L'image est plus grosse et plus éloignée. Quel est alors son angle apparent ?

\alpha' = \arctan \frac{A'B'}{d'} \approx \frac{A'B'}{d'}

Cet angle dépend de la distance entre la loupe et l'objet, ainsi que de la loupe et l'oeil.

demonstrationCas limite : l'objet est au foyer

Plaçons nous plutôt dans le cas le plus reposant pour l'oeil (ainsi que le plus simple mathématiquement) : l'image rejetée à l'infini. Pour cela, il suffit de placer le foyer principal objet sur l'objet qu'on veut observer.

Objet au foyer
instru-loupe-obj-inf.png
L'objet est placé au foyer, l'image est à l'infini.
Crédit : ASM/B. Mollier

L'expression de l'angle apparent est alors immédiate

\alpha' = \arctan \frac{AB}{f'} \approx \frac{AB}{f'}

L'angle apparent dépend maintenant de la distance focale de la loupe, et uniquement de celle-ci. Plus cette distance est courte, plus grand sera l'angle apparent. On aimerait dire que, plus la loupe est convergente, plus elle grossit notre image. Mais que veut vraiment dire grossir ?


Le grossissement

definitionLe grossissement

On a à notre disposition deux diamètres apparents, l'un avec, l'autre sans la loupe (ou l'instrument subjectif en général).

On peut définir naturellement le grossissement G comme étant le rapport de ces deux quantités :

G = \frac{\alpha'}{\alpha}

Plus un instrument est grossissant (c'est-à-dire plus G est grand) plus grand sera le diamètre apparent de l'image.

Grossissement d'un objet à l'infini
instru-loupe-grosst-inf.png
Le grossissement est le rapport de l'angle apparent de l'image sur l'angle apparent de l'objet.
Crédit : ASM/B. Mollier
Grossissement d'un objet à distance finie
instru-loupe-grosst-fini.png
Le grossissement est le rapport de l'angle apparent de l'image sur l'angle apparent de l'objet.
Crédit : ASM/B. Mollier

attentionAttention

Ne pas confondre grossissement et grandissement !


Le grossissement commercial

introductionPosition du problème

Petit problème : pour un objet à distance d finie, le diamètre apparent \alpha dépend de la position de l'oeil. Or il serait bon d'avoir un grossissement ne dépendant que de l'instrument. Cela nous permettra de les comparer entre eux.

Le microscope ou la loupe sont des exemples de système optique grossissant des objets à distance finie.

definitionLe grossissement commercial

On définit alors le grossissement comme étant le grossissement que l'on obtient si l'objet est placé au PP, c'est-à-dire à 25 cm de l'oeil.

G_c = \frac{\alpha'}{\alpha(25\ \text{cm})} avec \alpha = \frac{AB}{25\ \text{cm}} = AB \times 4\delta


La puissance

definitionLa puissance

On définit également, pour le cas des objets à distance finie, la puissance de l'instrument, comme étant le rapport de diamètre apparent de l'image, sur la taille AB de l'objet :

P = \frac{\alpha'}{AB}

remarqueRemarques

Remarquons que G = P \times d

En astronomie, la distance d tend vers l'infini. La puissance est donc toujours nulle.

Si l'image est à l'infini, donc l'objet au foyer principal objet, la puissance est simplement la vergence de l'instrument : P(\text{au\ foyer}) = V = \frac{1}{f}


Latitude de mise au point

L'image formée par la loupe doit être située entre le PP et le PR pour être vue nette. Sa distance est comprise entre d_m et D_m.

definitionLatitude de mise au point

La latitude de mise au point est l'intervalle des positions de l'objet par rapport à la loupe tel que l'image soit visible par l'oeil de façon nette.

definitionProfondeur d'accommodation

La profondeur d'accommodation est la longueur de cet intervalle. C'est également la distance séparant les conjugués du PP et du PR par loupe. Elle dépend bien sûr de la position de l'oeil par rapport à la loupe.

demonstrationCalcul de la latitude de mise au point

Plaçons l'oeil au foyer principal image et déterminons la latitude de mise au point. La distance entre le foyer principal image et les PP et PR vaut respectivement :

\overline{F'PP} = -d_m et \overline{F'PR} = -D_m.

D'après la relation de conjugaison de Newton, la position des antécédents des PP et PR sont respectivement :

\overline{FA(PP)} = -\frac{f'^2}{d_m} et \overline{FA(PR)} = -\frac{f'2}{D_m}

On en déduit la latitude de mise au point :

latitude de mise au point = [-\frac{f'^2}{d_m}-f',-\frac{f'^2}{D_m}-f']

et la profondeur d'accommodation :

\Delta p = f'^2 (\frac{1}{d_m}-\frac{1}{D_m}) \approx \frac{f'^2}{d_m}

conclusionConclusion

La profondeur d'accommodation est proportionnelle à la distance focale. Plus une lentille est convergente, plus elle grossit l'image de l'objet, mais moins il est facile d'obtenir une image nette.


L'oculaire

De nombreux instruments sont équipés d'oculaires : télescopes, lunettes, microscopes...

Cet instrument comprend plusieurs lentilles, mais joue le rôle d'une loupe. Il est cependant plus puissant, corrige les aberrations optiques et chromatiques, possède un champ plus grand. Il peut parfois être équipé d'un réticule pour mesurer des tailles angulaires, des parallaxes ou viser...


Résumé

rappelLa loupe

Une loupe est une lentille convergente. Elle sert à grossir les objets. Une utilisation optimale consiste à placer son foyer sur l'objet visé. Son image est alors rejetée à l'infini. L'oeil n'a pas besoin d'accommoder et se fatigue moins.

rappelLe grossissement

Le grossissement est le rapport de l'angle apparent de l'image sur celui de l'objet :

G = \frac{\alpha'}{\alpha}

rappelLe grossissement commercial

Dans le cas d'objets placés à distance finie, on définit le grossissement commercial G_c comme étant le cas particulier du grossissement d'un objet situé à 25\ cm de l'oeil.

G_c = \frac{\alpha'}{\alpha(25\ \text{cm})}

rappelLa puissance

On a également défini la puissance P comme étant le rapport entre la taille de l'objet et le diamètre apparent de l'image.

P = \frac{\alpha'}{AB}


La lunette astronomique

Auteur: Benjamin Mollier

La lunette astronomique

Il est désormais temps de l'utiliser, ce fameux oculaire. Commençons par le mettre à la sortie d'une lunette astronomique.


Description de la lunette astronomique

definitionLa lunette astronomique

Une lunette astronomique est constituée de deux lentilles :

Dans le cas d'une lunette astronomique, les deux lentilles sont convergentes, et l'image de l'astre sera inversée.

La lunette astronomique
instru-lunette01.jpg
Une lunette est constituée de deux lentilles convergentes en entrée (objectif) et sortie (oculaire).
Crédit : B. Mollier

definitionLa lunette de Galilée

La lunette de Galilée se distingue par la nature de la lentille oculaire. Cette dernière est ici divergente. L'image en sortie sera droite.

À focale équivalente, la lunette de Galilée sera plus courte. Nous verrons pourquoi.

Lunette astronomique - Lunette de Galilée
instru-lunette02.png
En haut, une lunette astronomique avec 2 lentilles convergentes. En bas, une lunette de Galilée avec un objectif convergent et un oculaire divergent.
Crédit : ASM/B. Mollier

Principe de fonctionnement

definitionL'objectif

L'objectif capte la lumière provenant de l'astre, et en fait l'image A'B' à son foyer.

Plus la focale de l'objectif sera grande, plus l'image sera également grande. Et si on se rappelle de la section sur l'appareil photo, on se souviendra que son angle de champ sera d'autant plus petit que cette focale est grande.

Principe de fonctionnement
instru-lunette03.png
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionL'oculaire

L'image intermédiaire A'B' étant en général petite, il faut la regarder avec une loupe : l'oculaire. Ce dernier grossit l'image et la rejette à l'infini.

Et si on fait appel au cours sur la loupe, on se souviendra que l'image finale A''B'' est d'autant plus grande que la focale de l'oculaire est courte.

remarqueRemarques

definitionSystème afocal

Dans une lunette (et, nous le verrons également, un télescope) l'objet est à l'infini et l'image aussi. Ce système n'a donc pas de foyer. Il est dit afocal.

Comment réaliser un tel système ? L'image intermédiaire est, par définition, au foyer principal image de l'objectif. Pour projeter l'image finale A''B'' à l'infini, nous avons placé le foyer principal objet sur l'image intermédiaire.

Bref, pour fabriquer un système afocal, il suffit de superposer le foyer principal image de l'objectif avec le foyer principal objet de l'oculaire.


Grossissement

Nous allons calculer le grossissement d'une lunette astronomique en fonction des focales de son objectif et de son oculaire. Nous vérifierons ainsi si l'hypothèse émise à la page précédente est juste.

demonstrationCalcul du grossissement

Par définition de grossissement G

G = \frac{\alpha'}{\alpha}

Il vient assez immédiatement que

\alpha = \arctan{\frac{A'B'}{f'_1}} \approx\frac{A'B'}{f'_1} et \alpha' = \arctan{\frac{AB}{f'_2}}\approx\frac{A'B'}{f'_2}

D'où G = \frac{f'_1}{f'_2}

definitionGrossissement d'une lunette

Le grossissement d'une lunette se détermine à partir du rapport des focales de l'objectif (f'_1) et de l'oculaire (f'_2)

G = \frac{f'_1}{f'_2}

remarqueRemarques

L'image sera d'autant plus grande que la focale de l'objectif sera grande et celle de l'oculaire petite. On trouve bien le résultat qui était attendu.

Ce résultat est valable également pour la lunette de Galilée.

Grossissement
instru-lunette04.png
Le grossissement d'une lunette est égale au rapport des focales de l'objectif et de l'oculaire.
Crédit : ASM/B. Mollier

Exercice : grossissement

Auteur: B. Mollier

exerciceObservation de Jupiter

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

On souhaite observer Jupiter à l'aide d'une lunette de 600\ mm de focale (il s'agit ici de la focale de l'objectif).

Jupiter
IMG_0234.jpeg
Jupiter, photographiée au télescope de 60\ cm de la table équatoriale, à l'observatoire de Meudon. On y voit la grande tache rouge (bande rouge du haut), ainsi qu'une tempête (bande rouge du bas).
Crédit : P. Kervella
Question 1)

Calculer le diamètre apparent de cette planète à l'opposition.

Question 2)

Vous disposez de 3 oculaires de 10\ mm, 20\ mm et 25\ mm de focale respectivement. Lequel devez-vous utiliser pour obtenir le meilleur grossissement ?

Question 3)

Calculez alors le diamètre apparent de Jupiter dans cet oculaire.

Question 4)

La grande tache rouge mesure à peu près 1/6 du diamètre de Jupiter. Sera-t-elle visible dans cet instrument ?


Champ d'une lunette astronomique

Ce qui va suivre ne s'applique pas aux lunettes de Galilée.

definitionChamp d'une lunette astronomique

Le champ de la lunette est l'ensemble des points de l'espace visibles dans l'instrument. Comme dans le cas de l'appareil photo, cet espace est un cône. Les objets à l'intérieur de celui-ci seront visibles, ceux à l'extérieur, non.

Grand champ
obs-gra-champ.jpg
La grande coupole de l'observatoire de Meudon. Le champ de vue est grand ici.
Crédit : B. Mollier
Champ réduit
obs-petit-chp.jpg
La grande coupole de l'observatoire de Meudon. Le champ de vue est réduit.
Crédit : B. Mollier

remarqueChamp de l'oculaire

L'image en sortie sera-t-elle petite ? (c'est-à-dire qu'on pourra l'embrasser en entier sans bouger l'oeil), ou au contraire sera-t-elle grande ? (il faudra alors bouger son oeil pour tout voir, ce qui n'est pas forcément agréable). C'est ce qu'on appellera le champ de l'oculaire.

Pour l'instant, nous ferons l'hypothèse que le champ de l'oculaire est celui de l'oeil, c'est-à-dire 50°.

Champ de l'oculaire réduit
obs-petit-chp-occulaire.jpg
Lorsque le champ de l'oculaire est réduit (inférieur à 50°), on peut voir toute l'image sans bouger l'oeil.
Crédit : B. Mollier
Champ de l'oculaire grand
obs-grd-chp-occulaire.jpg
Lorsque le champ de l'oculaire est trop grand (supérieur à 50°) comme ici, on ne peut pas voir toute l'image sans bouger l'oeil. C'est fatiguant et peu agréable. (Cliquez sur l'image pour agrandir)
Crédit : B. Mollier

definitionExpression du champ de la lunette astronomique

Le champ C d'une lunette astronomique (et d'un télescope) est le rapport du champ de l'oculaire C_O par le grossissement G :

C = \frac{C_O}{G}

remarqueRemarques

Le champ est inversement proportionnel au grossissement. Pour une lunette donnée, et donc une focale fixée, le champ diminue avec la focale de l'oculaire. Plus l'oculaire est court, plus le champ est réduit.

La démonstration de ce résultat est ici.


Champ d'une lunette astronomique, démonstration

Le champ d'une lunette est limité par le diaphragme de champ

Champ d'une lunette
ChampLunette.jpg

L'expression du champ d'une lunette est très proche de celle d'un appareil photographique : où d est le diamètre du diaphragme de champ, au niveau du plan focal image de l'objectif, f_objectif la distance focale image de l'objectif.

La démonstration de ce résultat est très simple, puisqu'il suffit d'écrire la définition de la tangente de l'angle


Exercice : observer la Lune

Auteur: B. Mollier

exerciceObservation de la Lune

Par une nuit de pleine Lune, on désire observer l'astre sélène. On possède une lunette de 1200\ mm de focale, ainsi qu'un oculaire de 10\ mm de focale et de 50° de champ.

Question 1)

Calculez le grossissement de cet instrument.

Question 2)

À partir du champ de l'oculaire, calculez l'angle de champ de la lunette. Pourra-t-on voir la Lune en entier dans l'oculaire ? Et la Galaxie d'Andromède (M31) ?


Diaphragme d'ouverture - Pupilles

Dans les quelques pages à venir, nous allons rentrer dans des détails un peu plus techniques. Je les donne pour satisfaire la curiosité du lecteur, mais ils ne rentreront pas aux programmes de l'examen.

definitionDiaphragme d'ouverture

Considérons un instrument possédant un certain nombre de lentilles. Faisons avec l'image d'un point A situé sur l'axe optique.

Diaphragme d'ouverture
instru-lunette-champ1.png
La lentille M_3 est celle qui limite le plus la taille du faisceau. Le faisceau rouge, prenant appui sur la monture M_1 est vignété par M_3. Le faisceau bleu, prenant appui sur la monture M_2 est vignété par M_1 et M_3. La lentille M_3 joue le rôle de diaphragme d'ouverture.
Crédit : ASM/B. Mollier

Ce point émet un faisceau lumineux. Certains rayons de ce faisceau ressortiront de l'instrument, d'autres seront interceptés par la monture d'une des lentilles.

Pour connaître la quantité de lumière qui ressort de l'instrument, il faut chercher la monture qui limite la taille du faisceau (sur notre image, c'est la monture M_3).

On nommera cette monture diaphragme d'ouverture.

exempleExemples de diaphragme d'ouverture

Sur une lunette et un télescope, où on cherche à avoir le plus de lumière, on construit l'instrument de telle sorte que le diaphragme d'ouverture soit la première lentille (ou le miroir primaire). Comme c'est l'optique la plus grande, il serait dommage qu'elle ne serve à rien si c'est une autre monture plus petite qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture.

En photographie, la problématique est différente. L'ouverture étant liée au temps de pose et à la profondeur de champ, on cherche à la contrôler en fonction de l'effet recherché. C'est donc un diaphragme physique, avec un diamètre ajustable, placé dans l'objectif, qui servira de diaphragme d'ouverture.

definitionPupille d'entrée, pupille de sortie

Pour rechercher quelle monture limite la largeur de notre faisceau, une méthode consiste à rechercher l'antécédent de ces montures par rapport à toutes les précédentes.

Un rayon qui passera chacun des conjugués m_k traversera toutes les montures réelles M_k. Trouver le diaphragme d'ouverture M_k revient à chercher le conjugué m_k dont le diamètre est le plus petit.

Pupille d'entrée
instru-lunette-champ2.png
On cherche les antécédents des montures M_2 à travers M_1 et M_3 à travers M_2 et M_1. M_1 est son propre antécédent. On cherche ensuite lequel de ces antécédents limite le plus le faisceau issu de A. Ici, c'est m_3. m_3 est appelé pupille d'entrée, et son image M_3 est appelée diaphragme d'ouverture.
Crédit : ASM/B. Mollier

Ici, c'est m_3. m_3 est appelé pupille d'entrée et M_3 diaphragme d'ouverture.

remarqueRemarque

La pupille d'entrée est le conjugué du diaphragme d'ouverture dans l'espace objet.

De la même manière, on définit la pupille de sortie comme étant le conjugué du diaphragme d'ouverture dans l'espace image.

Pour profiter pleinement d'un instrument, il faut que la pupille de sortie et la pupille de l'oeil soient confondues.

Ce n'est pas nécessairement une lentille qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture. Ça peut-être un vrai diaphragme, comme dans le cas de l'appareil photo.

On peut également placer un vrai diaphragme physique, en entrée, pour jouer le rôle à la fois de diaphragme d'ouverture et de pupille d'entrée. (En effet, s'il est placé en amont de la première lentille, il est son propre antécédent).


Diaphragme de champ - Lucarne

introductionDans ce pragraphe...

... je m'étendrai un peu plus sur la notion de champ d'une lunette, et j'introduirai les notions de diaphragme de champ et de lucarne.

definitionDiaphragme de champ

On considère cette fois-ci un point B, hors de l'axe optique. Intéressons-nous au rayon issu de B et passant par le centre de la pupille d'entrée et donc au centre du diaphragme d'ouverture et de la pupille de sortie. Il est appelé rayon moyen ou rayon principal.

Diaphragme de champ
instru-lunette-ouverture2.png
L'antécédent m_2, appelé lucarne d'entrée, est celui qui limite le plus l'angle de champ.
Crédit : ASM/B. Mollier

Faisons bouger B jusqu'à ce que le rayon rayon principal soit intercepté par un des conjugués m_k (ici m_2).

Par définition, ce conjugué est appelé lucarne d'entrée, et son antécédent associé M_k (ici M_2) est appelé diaphragme de champ.

definitionChamp moyen

Le rayon touchant le bord du diaphragme de champ est noté B_m. Il délimite le champ moyen de l'instrument. Le champ moyen est le disque de centre A et de rayon AB_m.

C'est grosso-modo la portion visible de l'image. (Mais pas tout à fait)

Champ moyen
obs-champ-moyen.jpg
Le cercle bleu représente le champ moyen. Il délimite à peu près la zone visible.
Crédit : B. Mollier

Champ de pleine lumière - Champ de contour

Que voit-on réellement dans l'oculaire ?

definitionChamp de pleine lumière

Considérons maintenant un autre du point B, de telle sorte que le rayon qui en est issu passe par le bord de la lucarne d'entrée et la pupille d'entrée (en vert sur la figure). Il délimite également un champ, plus petit que le précédent appelé champ de pleine lumière.

Champ pleine lumière
instru-lunette-ouverture3.png
Le faisceau lumineux issu d'un point situé dans le champ pleine lumière passera la pupille d'entrée sans être vignété par la lucarne.
Crédit : ASM/B. Mollier

Le faisceau lumineux issu d'un point situé dans le champ de pleine lumière passera la pupille d'entrée sans être vignété par la lucarne.

Le faisceau lumineux issu d'un point situé en dehors de ce champ sera en partie, voir totalement, vignété par la lucarne d'entrée. Au delà de ce cercle de pleine lumière, la luminosité commence à décroître.

Champ pleine lumière
obs-champ-pleine-lumiere.jpg
Le cercle vert délimite le champ de pleine lumière. Au delà de ce cercle, la luminosité décroît.
Crédit : B. Mollier

definitionChamp de contour

La luminosité décroît jusqu'au cercle de diamètre B_t.B_t est un point particulier : les rayons qui en sont issus passent par le bord supérieur de la lucarne d'entrée puis par le bord inférieur de la pupille d'entrée. Bref, le faisceau issu de B_t passant par les lucarne et pupille d'entrée se résume à un seul rayon lumineux.

Champ de contour
instru-lunette-ouverture4.png
Tout objet situé en dehors de ce champ de contour sera invisible dans la lunette.
Crédit : ASM/B. Mollier

Il délimite le champ de contour. Ce champ inclut les deux autres champs définis précédemment.

Pur résumer, dans le champ de pleine lumière, toute la lumière rentrant dans la lunette en ressort. En dehors du champ de contour, plus aucune lumière ne ressort de l'instrument. Entre les deux, une partie de la lumière entrante est stoppée quelque part dans la lunette.

Champ de contour
obs-champ-contour.jpg
Le cercle rouge représente le champ de contour. Au delà de ce cercle, plus aucune lumière n'est visible.
Crédit : B. Mollier
Les trois champs
obs-champs.jpg
En vert, le champ de pleine lumière, qui est inclus dans le champ moyen (en bleu) qui est inclus dans le champ de contour (en rouge).
Crédit : B. Mollier

conclusionCe que l'on voit

Visuellement, on observe un cercle au bord flou, où la lumière décroît progressivement du centre vers le bord. Ce n'est pas agréable à l'oeil.

Le jeu consiste donc à confondre ces trois champs, afin d'obtenir un bord net. Il faut pour cela déplacer le diaphragme de champ de façon à ce que son conjugué, la lucarne d'entrée, soit dans le même plan que l'objet observé. Dans le cas d'un instrument astronomique, il faut que la lucarne d'entrée soit à l'infini.

Cercle oculaire flou
obs-champ.jpg
Ici, le cercle oculaire est flou, ce qui est désagréable à l'oeil. Les trois champs ne sont pas superposés. La lucarne d'entrée n'est pas dans le plan de l'objet (la coupole ici).
Crédit : B. Mollier
Cercle oculaire net
obs-petit-chp.jpg
Ici, le cercle oculaire est net, ce qui est plus agréable à l'oeil. Les trois champs se superposent. La lucarne d'entrée est dans le plan de l'objet (la coupole ici).
Crédit : B. Mollier

Résumé

rappelDescription d'une lunette

Une lunette est l'association de deux lentilles. Un objectif convergent et un oculaire convergent (lunette astronomique) ou divergent (lunette de Galilée).

rappelSystème afocal

Une lunette est un système afocal, c'est-à-dire que le faisceau issu d'un objet à l'infini ne converge pas en sortie de l'instrument. C'est à l'oeil de faire l'image de cet objet. La lunette est un instrument subjectif.

Pour réaliser un système afocal, il faut superposer le foyer principal image de l'objectif avec le foyer principal objet de l'oculaire.

rappelGrossissement

Le grossissement d'une lunette est le rapport des focales de l'objectif et de l'oculaire,

G = \frac{f'_1}{f'_2}

Le grossissement sera d'autant plus grand que la focale de la lunette est grande, et celle de l'oculaire réduite.

rappelAngle de champ

L'angle de champ de la lunette est proportionnel à celui de l'oculaire (qui est en général de 40-50°) et inversement proportionnel au grossissement :

C = \frac{C_O}{G}

ensavoirplusDiaphragmes

Il existe deux types de diaphragmes :


Exercice bilan : la grande lunette de Meudon

Auteur: B. Mollier

exerciceLa grande lunette de Meudon

La Grande coupole de l'observatoire de Meudon abrite une des plus grandes lunettes de la planète. Il s'agit en fait de deux lunettes montées en parallèle. L'une mesurant 83\ cm de diamètre, l'autre 62\ cm. Elles possèdent toutes deux une focale de 16\ m.

Grande lunette
meudon04.gif
La Grande Lunette de l'Observatoire de Meudon. Héliogravure de Dujardin publiée en 1896 dans les Annales de l'Observatoire d'Astronomie Physique de Paris, Sis Parc de Meudon - Volume 1 planche IX.
Crédit : Observatoire de Paris
Question 1)

La lunette et son oculaire sont réglés de sorte à obtenir un système afocal. La focale de la lunette est de 16,16\ m, celle de l'oculaire est de 4\ cm. Calculez le grossissement.

Question 2)

Quel est le diamètre apparent de Saturne, avec et sans ses anneaux, à l'opposition ? Quel sera alors son diamètre dans la lunette ?

Question 3)

La division de Cassini est-elle visible à la lunette ?

Question 4)

En supposant que l'angle de champ de l'oculaire est de 50°, calculez l'angle de champ de la lunette. Saturne est-elle visible en entier ?

Question 5)

Calculez l'ouverture de la lunette. Comparez cette valeur à celle des télescopes professionnels modernes.


Le télescope

Auteur: Benjamin Mollier

Le télescope

Nous allons terminer ce chapitre par l'étude des télescopes.

Le télescope est devenu l'instrument roi de l'astronomie. Nous verrons pourquoi.

Ce dernier chapitre sera assez court, car toutes les notions d'optique ont déjà été abordées. De plus, nous verrons que son étude est très semblable à celui d'une lunette. Il sera d'ailleurs possible de le modéliser par une lunette astronomique.

Une fois terminé ce chapitre, nous quitterons le cadre de l'optique géométrique pour aborder rapidement quelques phénomènes d'origine ondulatoire, comme la diffraction et les interférences.

Les télescopes du VLT
Paranal.jpg
Observatoire de l'ESO sur le mont Paranal, au Chili. Les deux premières coupoles abritent des télescopes de 8,2\ m de diamètre !
Crédit : B. Mollier

Description d'un télescope

S'il existe plusieurs types de télescopes, ils ont tous un point commun : un grand miroir !

definitionMiroir primaire

La pièce essentiel d'un télescope est son miroir primaire. C'est un miroir sphérique (ou parabolique) situé au fond du tube du télescope.

Il joue le rôle de collecteur de lumière. Plus son diamètre est grand, plus il sera lumineux. Un grand miroir a un autre avantage, qui sera exposé au dernier chapitre.

definitionMiroir secondaire

Un miroir, c'est bien joli, mais comment voir la lumière qui se réfléchit dessus. Bah oui, si je le mets à son foyer, je cache l'entrée du miroir, et donc, pas de lumière.

On doit donc utiliser un second miroir pour "dégager" la lumière du tube. Là, les options sont multiples, et définissent le type de télescope auquel nous avons à faire.

Soit le miroir est un petit plan incliné de 45° par rapport à l'axe optique, et la lumière s'échappera par le côté du tube. C'est un télescope de type Newton. Oui, c'est le télescope qu'avait utilisé Newton en 1671.

Télescope Newton
Telescope-Newton.png
Le miroir secondaire renvoie la lumière sur le côté du tube. C'est un télescope de type Newton.
Crédit : B. Mollier

Soit le miroir est un petit miroir plan ou sphérique, perpendiculaire à l'axe optique, renvoyant la lumière vers le fond du tube. Il faut alors percer le miroir primaire pour recueillir cette dernière en sortie de tube. Ce télescope est de type Cassegrain.

Télescope Cassegrain
Telescope-Cassegrain.png
Le miroir secondaire renvoie la lumière vers le fond du tube. C'est un télescope de type Cassegrain.
Crédit : B. Mollier

Il en existe d'autres types, combinaison de ces deux télescopes.

definitionOculaire

Comme pour une lunette, on a la possibilité de rajouter un oculaire en sortie de télescope pour l'observation à l'oeil.

Miroir primaire
Miroir-primaire-VLT.jpg
Le miroir primaire du VLT, de 8,2\ m de diamètre tout de même ! Le petit miroir au centre est un miroir tertiaire, qui permet de renvoyer la lumière sur les côtés. Il peut aussi être escamoté pour passer en mode Cassegrain.
Crédit : B. Mollier
Miroir secondaire
Miroir-secondaire-VLT.jpg
Le miroir secondaire du VLT. Vous reconnaissez ici un miroir convexe.
Crédit : B. Mollier

Équivalence entre télescope et lunette

Va-t-on être obligé de refaire tout ce qu'on vient de voir sur les lunettes dans les cas des télescopes ? La réponse est heureusement non. En effet, formellement, un télescope et une lunette sont la même chose.

Souvenez-vous qu'un miroir sphérique est en fait une lentille pliée. L'objectif du télescope (le miroir primaire) est donc un objectif de lunette plié.

Équivalence lunette et télescope
instru-telescope-lunette.png
Formellement, un télescope est équivalent à une lunette de même focale.
Crédit : ASM/B. Mollier

L'ajout d'un miroir secondaire revient à plier une seconde fois notre schéma optique.

Muni de ce résultat, on montre très facilement que, formellement, un télescope est équivalent à une lunette de même focale.

Les résultats concernant le grossissement, le champ de vue, l'ouverture... restent valables pour un télescope.


Grossissement

definitionGrossissement d'un télescope

Le grossissement d'un télescope est égal au rapport de la focale f_1 de l'objectif par la focale f_2 de l'oculaire.

G = \frac{f_1}{f_2}


Les avantages du télescope (1)

Si pendant de nombreuses années, lunettes et télescopes se sont côtoyés dans les observatoires, cela fait bien 50 ans que l'on ne fabrique plus que des télescopes. Pour quelles raisons le monde scientifique a-t-il progressivement abonné la lunette au profit du télescope ? En voici quelques-unes.

definitionFacilité de la construction

Un grand télescope est plus facile à construire qu'une grande lunette.

Pour capter le plus de lumière possible, il faut que la pupille d'entrée soit la plus grande possible. Pour la lunette, la quantité de lumière reçue est proportionnelle à la surface de la lentille de l'objectif ; pour le télescope, elle est proportionnelle à la surface du miroir primaire.

Pour la lunette, il faut donc construire une grande lentille. Plus elle est grande, plus il est difficile de la garantir sans défaut (aberrations optiques, bulles dans le verre). De plus, étant en verre massif, elle est de plus en plus lourde. Les plus grosses lunettes atteignent péniblement le mètre de diamètre.

Il est plus simple de polir un miroir de grande taille. Pour les petits miroirs, on utilise, comme pour les lunettes, des blocs de verre massif. C'est la même chose, me direz vous. Oui, mais quand leur taille augmente, on utilise des miroirs fins, taillés dans d'autres matériaux et reposant sur une structure rigide ou mobile, donnant au miroir sa forme. Enfin, pour des diamètres supérieurs à 10\ m, on segmente le miroir. Il n'est plus monolithique, mais composé de plusieurs pièces hexagonales, assemblées comme un puzzle. Les télescopes actuels mesurent 10\ m de diamètre. Et on ne s'arrêtera pas là. Des projets de télescopes de 30\ m à 42\ m sont en cours de réalisation.


Les avantages du télescope (2)

definitionAberrations chromatiques

Si on se souvient du premier chapitre, on a vu que l'indice optique des verres dépendait de la longueur d'onde. Or, une lentille, faite en verre, possède une distance focale dépendant de l'indice optique. Plus l'indice optique est élevé, plus sa vergence augmente. Sa distance focale dépend donc de la longueur d'onde. Les rayons rouges, verts et bleus ne convergeront donc pas au même endroit. Une lunette présente donc des aberrations chromatiques.

Abbérations chromatiques
instru-aberrations-chrom.png
Le verre est un milieu dispersif. Par conséquent, la vergence d'une lentille dépend de la longueur d'onde. Les rayons rouge, vert et bleu ne sont alors plus déviés de la même manière et ne convergent plus au même foyer. On obtient en sortie la superposition d'image de tailles et de couleurs différentes. Ce sont des aberrations chromatiques.
Crédit : ASM/B. Mollier

Ces aberrations deviennent très vite problématiques lorsqu'on veut atteindre une grande précision.

Un télescope ne présente pas de telles aberrations, l'angle de réflexion d'un rayon lumineux sur une surface métallique ne dépendant pas de la longueur d'onde.

definitionPerte de lumière

Pour arriver jusqu'à l'oculaire, la lumière entrant dans une lunette doit traverser le verre de l'objectif. Le verre n'étant pas totalement transparent, il s'ensuit une perte de luminosité. Celle-ci est d'autant plus grande que l'objectif de la lunette est grand et par conséquent épais.

Si la réflexion sur un miroir n'est certes pas totale, il est facile de la porter à plus de 99%. Une réflexion entraînera moins de perte de photons qu'une transmission à travers du verre. Et quand on sait que dans les télescopes modernes, la lumière peut se réfléchir sur une vingtaine de miroir avant d'être exploitée par un instrument scientifique, on comprend mieux l'intérêt du miroir par rapport à la lentille.


Les avantages et inconvénients en astronomie amateur

Les pages précédentes présentaient les avantages du télescope en astronomie professionnelle. Néanmoins, en astronomie amateur, la lunette à encore toute sa place. Voici une petite liste non exhaustive des avantages et inconvénients des deux instruments.

exempleAvantages de la lunette

Les inconvénients de la lunette astronomique

exempleLes avantages du télescope

exempleLes inconvénients du télescope


Résumé

rappelDescription d'un télescope

Un télescope est constitué d'un miroir primaire, qui collecte la lumière ; d'un miroir secondaire, qui renvoie la lumière vers l'oculaire et modifie éventuellement la focale du primaire.

Il existe de nombreux types de télescopes, les principaux étant le télescope de Newton, où l'oculaire est placé sur le haut et côté du tube, et le télescope Cassegrain où l'oculaire est placé à la base du tube.

rappelGrossissement d'un télescope

Comme pour une lunette, le grossissement d'un télescope est le rapport des focales de l'objectif et de l'oculaire,

G = \frac{f_1}{f_2}

Le grossissement sera d'autant plus grand que la focale du télescope est grande, et celle de l'oculaire réduite.

rappelChamp d'un télescope

L'angle de champ d'un télescope est proportionnel à celui de l'oculaire (qui est en général de 40-50°) et inversement proportionnel au grossissement :

C = \frac{C_O}{G}

rappelLunette ou télescope ?

Si l'astronomie professionnelle a clairement fait le choix du télescope pour des raisons de diamètre et d'aberrations chromatiques, l'astronome amateur pourra encore choisir entre les deux, en fonction de ses besoins.

La lunette est idéale pour le débutant et pour l'observation planétaire.

Le télescope est réservé à l'astronome plus expérimenté, au photographe, ainsi qu'à l'observation du ciel profond.


Conclusion

Nous venons de voir dans ce chapitre qu'avec quelques notions d'optique géométrique, on pouvait comprendre le fonctionnement de nombreux intruments d'optique.

Vous êtes maintenant familier avec les notions de bases de l'optique géométrique, la réflexion et la réfraction. Vous connaissez les lentilles et les miroirs. Et avec cela, vous avez étudié l'appareil photo, l'oeil, la lunette et le télescope.

Vous savez ce qu'est une focale, un grossissement, une ouverture et un angle de vue.

Et c'est fini ? Non, ce n'est que le début. Le dernier chapitre vous initiera à quelques notions d'optique ondulatoire comme la diffraction et les interférences. Et les plus curieux d'entre vous pourront continuer l'année prochaine avec la formation proposée dans le DU Fenêtre sur l'Univers.


Quand l'optique géométrique ne suffit plus

Auteur: Benjamin Mollier

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons sortir un peu du cadre de l'optique géométrique pour aborder rapidement les problèmes de diffraction et définir la résolution d'un télescope. Nous verrons quelles solutions existent pour améliorer celle-ci en l'absence et en présence de turbulence atmosphérique.

Ce dernier chapitre ne se veut absolument pas un cours d'optique ondulatoire, ni même une présentation détaillée des phénomènes de diffraction et d'interférences, mais juste une introduction à ces phénomènes ou une mise en bouche. Les plus curieux pourront approfondir le sujet en lisant la suite dans le cours Fenêtre sur l'Univers.

prerequisPrérequis

Rébus
Rebus05.jpg
Crédit : B. Mollier

Diffraction et résolution

Auteur: Benjamin Mollier

Mise en évidence des limites de l'optique géométrique

introductionFaisceau parallèle et système afocal

Considérons un faisceau de lumière collimaté, c'est-à-dire un faisceau parallèle, arrivant sur un système afocal (une lunette astronomique par exemple). Pour simplifier notre étude, nous supposerons que les deux lentilles ont la même focale. (Quel grossissement a cette lentille ?).

Après la première lentille, la lumière converge au foyer principal image, puis diverge pour traverser la seconde lentille d'où elle ressort en faisceau parallèle, de même taille qu'en entrée.

Système afocal
strioscopie01.png
On injecte un faisceau de lumière parallèle dans un système afocal de grossissement 1. À droite, ce qu'on voit projeté sur un écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

introductionImage d'une plume

Plaçons maintenant une plume dans le faisceau incident. Encore pour des raisons de simplicité, on la placera au foyer principal objet de la première lentille.

Recherchons la position de son image. Une petite construction nous la donne assez vite.

Image d'une plume
strioscopie02.png
Image d'une plume à travers le système afocal.
Crédit : ASM/B. Mollier

attentionAttention !

Les rayons lumineux utilisés pour tracer son image sont uniquement des traits de construction, ils ne sont en rien ici physiques. La plume étant éclairée par l'arrière par un faisceau parallèle, seuls ces rayons ressortent effectivement de la lunette. L'image de la plume ne sera que son ombre se dessinant dans le faisceau.

L'ombre de la plume
strioscopie03.png
La plume projette son ombre sur l'écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

introductionUn pastille au foyer des deux lentilles

Plaçons une petite pastille au foyer commun des deux lentilles de manière à intercepter le faisceau lumineux. Totalement bloqué, aucune lumière ne ressort de la lentille. L'ombre de notre plume disparaît. Vrai ? Vérifions en plaçant un écran.

Une pastille au foyer
strioscopie04.png
On place une pastille aux foyers des lentilles, de façon à stopper le faisceau. Nous devrions donc ne plus rien voir sur l'écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionUne image !

Contre toute attente, on observe quelque chose en sortie. Ce sont les contours de la plume ! Mais d'où vient cette lumière ?

Strioscopie
strioscopie05.png
Aussi étonnant que cela paraisse, on obtient bien une image à l'écran. Les contours de la plume se dessinent sur celui-ci. Cette expérience s'appelle strioscopie.
Crédit : ASM/B. Mollier

Si on reste dans le cadre de l'optique géométrique, les rayons lumineux sont censés se propager en ligne droite. Ils ne sont pas déviés au passage de la plume, celle-ci imprimant son ombre dans le faisceau. Ils sont stoppés par la pastille.

Si des rayons ressortent de la lunette, c'est qu'ils sont passés à côté de la pastille. L'hypothèse des trajectoires rectilignes des rayons lumineux ne tient pas. Nous venons de mettre en évidence une limite de l'optique géométrique.


La diffraction

introductionMise en évidence de la diffraction

Ce n'est pas la première fois que nous sommes confrontés à la diffraction. Souvenez vous du chapitre 1 lorsque l'on cherchait à isoler un rayon lumineux.

Qu'avions-nous vu ? En réduisant progressivement la taille du diaphragme, le diamètre du faisceau diminuait, puis, mystérieusement recommençait à croître. En dessous d'un certain diamètre du diaphragme, le faisceau diverge. Ce phénomène est appelé diffraction.

Isoler un rayon lumineux ?
bog-isolons_un_rayon.png
Il est impossible d'isoler un rayon lumineux à cause de la diffraction.
Crédit : ASM/B. Mollier

definitionApparition de la diffraction

La diffraction est cette tendance naturelle qu'a la lumière à diverger dès qu'on cherche à la confiner (au passage d'un diaphragme par exemple).

La diffraction est due à la nature ondulatoire de la lumière. Si on reprend le modèle d'ondelette de Huygens, on parvient à sentir le phénomène. Lorsque l'ouverture est grande, l'onde plane incidente ressort quasiment plane. Le phénomène de diffraction est négligeable. Par contre, si l'ouverture est faible, l'onde transmise est presque sphérique.

Ondelettes de Huygens
DiffractionHuyghens01.pngDiffractionHuyghens02.png
Si l'ouverture est large devant la longueur d'onde, l'onde sortante est plane. Si l'ouverture est petite, l'onde sortante est sphérique. Il y a diffraction.
Crédit : ASL/B. Mollier

Plus l'ouverture est petite, plus la diffraction sera importante. En fait, l'angle de divergence du faisceau est inversement proportionnel à la taille de l'ouverture. Notez bien ce résultat, il est important en astronomie.

La diffraction se manifeste lorsque la lumière croise un objet dont les dimensions sont comparables à sa longueur d'onde (plus généralement des variations d'opacité sur des échelles de l'ordre de la longueur d'onde, comme des bords francs par exemple).

definitionFigure de diffraction

Voici quelques exemples de figures de diffraction. On les obtient en cherchant à faire l'image d'une source ponctuelle située à l'infini (une étoile) avec une lentille devant laquelle on place un diaphragme.

Exemples de figures de diffraction
Diffraction04.jpg
À gauche, la figure de diffraction donnée par une ouverture carrée. À droite, celle donnée par une ouverture circulaire. Cette dernière s'appelle "tache d'Airy".
Crédit : ASM/B. Mollier

On voit que le modèle de Huygens permet uniquement de sentir le phénomène, mais pas de l'expliquer totalement. En effet, il n'explique pas la présence d'anneau autour de la tache d'Airy.

Phénomène de diffraction
Diffraction03.jpg
À gauche, une photo d'un village à la tombée de la nuit. À droite, la même photo, mais on a refermé le rideau. On voit alors apparaître des taches de diffraction au niveau des réverbères, car les mailles du rideau sont très petites. On reconnaît la figure de diffraction caractéristique d'une ouverture carrée.
Crédit : D. Pickel (avec son aimable autorisation)

La strioscopie : comment ça marche ?

demonstrationEn optique géométrique... ça ne marche pas.

En optique géométrique, les rayons se propagent en ligne droite. Ils ne changent pas de direction au passage de la plume. Ils sont donc toujours parallèles à l'axe optique lorsqu'ils atteignent l'objectif. Ils passent donc tous par le foyer et sont, en théorie, arrêtés par la pastille. Aucune image n'est visible en sortie. Et pourtant...

En optique géométrique...
oo-strioscopie-explication01.png
En optique géométrique, tous les rayons étant parallèles à l'axe optique, ils se croisent au foyer image et sont stoppés par la pastille.
Crédit : ASM/B. Mollier

demonstrationEn optique ondulatoire, ça fonctionne !

Il faut donc abandonner l'optique géométrique.

Au contact de la plume, la lumière rencontre des bords francs et des fibres de petites dimensions. La diffraction fait diverger une partie des rayons. Ces derniers ne sont plus parallèles à l'axe optique. Ils ne passent donc plus par le foyer de l'objectif. Ils contournent alors la pastille, et ressortent imprimer l'écran.

En optique ondulatoire...
oo-strioscopie-explication02.png
Les rayons frôlant les bords de la plume (et seulement eux) sont diffractés, et parviennent à contourner la pastille. Les contours de la plume apparaissent sur l'écran.
Crédit : ASM/B. Mollier

La diffraction n'apparaissant qu'aux bords de la plume (ou de n'importe quel objet), seuls les rayons issus des bords sont déviés. Ils sont les seuls à contourner la pastille et à imprimer l'écran. On voit les bords de la plume !


La diffraction dans un télescope

definitionLa diffraction existe toujours !

Et au télescope ? La diffraction existe-t-elle ? Non, me direz vous. La pupille d'entrée d'un télescope est grande. Bien plus grande que la longueur d'onde de la lumière. Vous auriez en partie raison.

Mais en fait, la diffraction se manifeste tout le temps. Elle est certes d'autant plus visible que les ouvertures sont petites, mais elle est quand même présente aux grandes ouvertures.

definitionL'image d'une étoile

Autrement dit, l'image d'une étoile à travers un télescope, ne sera jamais ponctuelle. Ce sera une petite tache, d'autant plus grande que le diamètre du télescope est petit.

Image d'une étoile à travers un télescope
Diffraction-telescope.jpg
À cause de la diffraction, l'image d'une étoile n'est pas ponctuelle. C'est une tache entourée d'anneaux. Cette figure est appelée tache d'Airy. La taille de la tache et des anneaux est d'autant plus grande que le diamètre du télescope est petit.
Crédit : ASM/B. Mollier

On montre que le diamètre angulaire de la tache image de l'étoile est inversement proportionnel au diamètre du télescope ou de la lunette :

\theta = \frac{2,44 \lambda}{D}

remarqueCommentaires


Taille de la tache d'Airy

Auteur: B. Mollier

exerciceTaille de la tache de diffraction

Question 1)

Calculez la taille angulaire de la tache de diffraction d'un télescope amateur de 10\ cm de diamètre, observant dans le visible.

Question 2)

Calculez la taille angulaire de la tache de diffraction d'un des UTs du VLT, dont le miroir primaire mesure 8,2\ m, observant dans la bande K. Sera-t-il possible d'observer Bételgeuse (\alpha\ Ori) ?

VLT
Miroir-primaire-VLT.jpg
Le miroir primaire du VLT mesure 8,2\ m de diamètre.
Crédit : B. Mollier
Bételgeuse
Betelgeuse.jpg
Image de Bételgeuse prise par le télescope spatial Hubble.
Crédit : NASA/ESA


La résolution d'un télescope

introductionTout n'est pas visible au télescope

Au lieu de voir des étoiles ponctuelles à travers un télescope, on voit des taches. La diffraction brouille les images astronomiques. Pour un diamètre donné d'un télescope, tous les détails ne seront pas visibles. Si les plus gros pourront être vus, les plus fins, seront flous, et donc non visibles à l'oeil ou à l'appareil photo.

Plus le diamètre sera grand, plus fins seront les détails visibles. On voit ici le deuxième intérêt d'avoir un grand télescope, en plus de la quantité de lumière collectée.

Résolution d'une étoile double
Doubles.gif
Plus le diamètre du télescope augmente, plus la tache d'Airy diminue. Au dessus d'un certain diamètre, l'étoile apparaît double !
Crédit : ASM/B. Mollier

exempleRésoudre une étoile double

On cherche à observer une étoile double. Une étoile double est en fait un couple de deux étoiles. Elles peuvent être liées gravitationnellement. Elles tournent alors l'une autour de l'autre, et sont donc proches physiquement. C'est une étoile binaire. Plus de la moitié des étoiles de la galaxie vivent ainsi en couple. Albireo est un système binaire.

Cela peut aussi être uniquement un effet de perspective. Elles nous apparaissent proches l'une de l'autre, mais en fait, l'une est beaucoup plus proche de nous que la seconde. C'est un hasard si elles sont alignées. Alcor et Mizar, dans la constellation de la grande Ourse, sont un exemple d'étoiles binaires visuelles. Elles sont en fait séparées de 3 années-lumière !

Si ces étoiles sont très écartées dans le plan du ciel, pas de souci, on verra deux taches. Mais si elles sont très proches, leur tache commence à se mêler et on ne parvient plus à les distinguer l'une de l'autre.

Résolution d'une étoile double
Double.jpg
Crédit : ASM/B. Mollier

Ce n'est pas la peine d'augmenter le grossissement en changeant d'oculaire ! Il n'y est pour rien. La diffraction ne dépend que de la taille du télescope. Il faut donc augmenter son diamètre pour augmenter sa résolution.

definitionRésolution d'un télescope

La résolution d'un télescope est sa capacité à distinguer de fins détails.

On définit un critère quantitatif pour calculer la résolution d'un télescope. Il s'agit du critère de Rayleigh.

L'oeil parvient à distinguer une binaire à partir du moment où le centre de la première tache est au niveau du bord de la seconde.

Critère de Rayleigh
Double02.png
On distingue les deux étoiles lorsque le premier anneau sombre (surligné en rouge) se superpose au centre de la seconde tache d'Airy (croix verte).
Crédit : ASM/B. Mollier

On distingue donc une binaire à partir du moment où l'écartement \alpha entre les deux étoiles est supérieur au rayon \theta/2 de la tache de diffraction.

\alpha > \frac{1,22\lambda}{D}

La résolution du télescope est donnée par la valeur limite \frac{1,22\lambda}{D}. Il est impossible de distinguer des détails plus petits que cet angle.


Exercice : résolution d'un télescope

Auteur: B. Mollier

exerciceExercice

L'étoile NX de la constellation des voiles (hémisphère sud) est en fait une étoile double. La séparation angulaire entre les deux composantes est de 0,7 seconde d'angle.

Constellation des voiles
Vela_IAU.png
Crédit : UAI/Sky & Telescope
nx Vel
nx_Vel.jpg
L'étoile nx Vel.
Crédit : Aladin
Question 1)

Quelle est la taille minimale du miroir primaire nécessaire pour pourvoir résoudre cette étoile double ? On l'observera dans le visible.


Accroître la résolution (1)

On vient de voir que la résolution d'un instrument est limitée par son diamètre. Changer de grossissement ne change pas la résolution. Que faire pour l'accroître ?

exempleChanger de longueur d'onde

On peut changer de longueur d'onde. En diminuant la longueur d'onde, on augmente la résolution.

Cependant, ça ne convient pas forcément à tous les cas. En effet, les techniques d'acquisition d'image ne sont pas les mêmes en radio, en infrarouge, dans le visible ou dans l'UV.

On n'observe pas non plus les mêmes objets ou phénomènes en fonction de la longueur d'onde. Aux grandes longueurs d'onde, on observe les objets froids et les phénomènes peu énergétiques. Aux petites longueurs d'onde, on observe les objets chauds et les phénomènes énergétiques.

exempleAugmenter le diamètre

Que nous reste-t-il ? Augmenter le diamètre du télescope. Les plus grands télescopes actuels mesurent 10\ m de diamètre environ, et obtiennent des résolutions théoriques de l'ordre de la milliseconde d'angle (une pièce de 1 euro au Mali, vue depuis Paris).

Pour pouvoir voir des exoplanètes, il faut de plus grands diamètres encore. L'Europe projette de construire au Chili un télescope de 39,3\ m de diamètre.

Les grands télescopes
e-elt11.jpg
L'European Extremely Large Telescope (E-ELT), avec un miroir large de 39,3\ m à côté des VLTs, parmi les plus grands télescopes actuels (8,2\ m).
Crédit : ESO

L'interférométrie

Auteur: Benjamin Mollier

Accroître la résolution (2)

Pour augmenter encore la résolution, il faudrait augmenter encore la taille des miroirs des télescopes. Mais à l'heure actuelle, des miroirs de 100 et a fortiori 300\ m ne sont pas envisageables. Comment faire ? La réponse est surprenante.

Il suffit d'utiliser deux télescopes espacés de 100, 200 ou 300\ m, et de mélanger (on dit faire interférer) la lumière qui en est issue ! Incroyable, mais 2 petits télescopes distants de 300\ m ont le même pouvoir de résolution qu'un unique télescope de 300\ m !

Deux petits valent mieux qu'un grand
InterferometriePrincipe.jpg
La résolution de deux télescopes espacés de 100\ m est la même qu'un unique télescope de 100\ m de diamètre.
Crédit : B. Mollier

Principe de l'interférométrie (1)

Comment ça marche ?

introductionQuand deux houles se croisent

La lumière peut être vue comme une onde au même titre que la houle. Si je pose une bouée sur l'eau, elle oscille avec la houle.

Houle d'ouest
Houle01.gif
La houle fait osciller les deux bouées. Comme elles sont espacées d'est en ouest d'une longueur d'onde, elles oscillent en phase.
Crédit : ASM/B. Mollier

Si deux houles se croisent, à certains endroits les vaguent s'additionnent, et l'amplitude d'oscillation de la bouée augmente. Les crêtes des deux vagues arrivent en même temps, ainsi que les deux creux. On parle d'interférences constructives.

Houle du nord
Houle02.gif
La houle fait osciller les deux bouées. Comme elles sont espacées du nord au sud d'une demi-longueur d'onde, elles oscillent en opposition de phase.
Crédit : ASM/B. Mollier

À d'autres endroits, au contraire, à une crête de la première houle correspond un creux de la seconde. Les vagues s'annulent. La bouée n'oscille pas à ces endroits. On parle d'interférences destructives.

Les deux houles se croisent
Houle03.gif
Au niveau de la bouée 1, les houles sont en phase. Les amplitudes s'additionnent. La bouée 1 oscille deux fois plus. Au niveau de la bouée 2, les houles sont en opposition de phase. Les amplitudes s'annulent. La bouée 2 n'oscille plus.
Crédit : ASM/B. Mollier

Principe de l'interférométrie (2)

introductionInterférences lumineuses

Si, par un jeu astucieux de miroirs, et/ou de fibres optiques, on arrive à faire parvenir au même endroit la lumière issue des deux télescopes, on créera aussi des interférences.

Interférences lumineuses
interferences01.png
Si on fait passer une onde plane (une "houle") à travers deux trous (ou deux télescopes), on obtient des interférences en sortie.
Crédit : ASM/B. Mollier

Sur l'image issue des deux télescopes, on verra des zones claires, où les lumières s'additionnent. On parle de franges d'interférence claires. Ce sont les zones où les interférences sont constructives.

On verra également des zones sombres, sans lumière, où les interférences sont destructives. On appelle ces zones des franges sombres.

Interférences lumineuses
interferences02.png
Certaines zones sont alternativement blanches et noires. Les "vagues" ont une forte amplitude, les interférences sont constructives. D'autres sont tout le temps grises. Les interférences y sont destructives.
Crédit : ASM/B. Mollier

Principe de l'interférométrie (3)

definitionUne image à un seul télescope

Comment exploiter ces interférences ? Revenons d'abord au cas à un seul télescope pour bien comprendre ce qui se passe. Si la diffraction n'existait pas, on verrait notre étoile comme un tout petit disque (en jaune sur les images). Or, la diffraction est là, et on ne peut pas faire sans. À la place, on obtient une tache, plus grosse que le petit disque.

Si on augmente la taille du télescope, la taille de la tache diminue. Si le télescope est suffisamment grand, la tache d'Airy est alors plus petite que l'image théorique (donnée par l'optique géométrique) de l'étoile. Notre étoile est résolue !

Augmenter la résolution
Interf01.gif
Pour accroître la résolution, on augmente le diamètre du télescope jusqu'à ce que la tache de diffraction devienne plus petite que l'image de l'étoile donnée par l'optique géométrique.
Crédit : B. Mollier

Principe de l'interférométrie (4)

definitionPrincipe de l'interférométrie

Passons à deux télescopes. L'image ressemble alors à une grosse tache avec des franges claires et des franges sombres. L'image théorique du disque est perdue au milieu de la frange centrale.

Comment augmenter encore la résolution ?
Interf2.gif
Pour accroître la résolution, on écarte les télescopes jusqu'à ce que la largeur de la frange centrale devienne plus petite que l'image de l'étoile donnée par l'optique géométrique.
Crédit : B. Mollier

Si on écarte les télescopes, l'épaisseur des franges diminue. Il y a de plus en plus de franges, et elles sont de plus en plus fines.

Et au bout d'un moment, l'épaisseur de la frange centrale devient plus petite que la taille du disque. L'image de l'étoile déborde de la frange centrale, et bave sur les franges sombres autour. Il y a de la lumière qui apparaît sur ces franges sombres.

Plus on augmente l'écartement des télescopes, plus on diminue l'épaisseur des franges, plus l'étoile déborde sur les côtés, plus il y a de lumière dans les franges sombres.

Quand les franges disparaissent, l'étoile est résolue ! Il existe une relation simple pour trouver le diamètre angulaire de l'étoile en fonction de l'écartement B (on parle de base) des télescopes :

\theta = \frac{\lambda}{B}


L'interférométrie, ça marche ! (1)

Et ça marche ?

exempleLes premières expériences

Oui. La première expérience d'interférométrie stellaire a été réalisée au début du vingtième siècle par Michelson. À l'entrée du télescope de 100 pouces du mont Wilson (photos), il a fixé une poutre sur laquelle étaient installés deux périscopes d'écartement variable.

Le télescope de 100 pouces du Mont Wilson
P1060043.jpg
Le télescope de 100 pouces (Mont Wilson) au sommet duquel Michelson avait fixé une poutre et deux périscopes. Il effectua avec les premières mesures de diamètre stellaire. C'est aussi sur ce télescope que Hubble observa la fuite des galaxies.
Crédit : B. Mollier
Interféromètre stellaire de Michelson
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L'interféromètre que Michelson installa au sommet du télescope de 100 pouces du Mont Wilson. À ne pas confondre avec l'interféromètre qu'il mit au point avec Morley pour mesurer la vitesse de la lumière.
Crédit : B. Mollier

Il obtenait en sortie de télescope une tache d'Airy barrée de franges d'interférence. En écartant les miroirs sur la poutre, il faisait varier la base de l'interféromètre jusqu'à disparition des franges. Il en déduisit ainsi le diamètre apparent de Bételgeuse et d'une dizaine d'autres étoiles.

La technique tomba cependant dans l'oubli jusqu'aux années 1970, où l'astronome français Antoine Labeyrie réalisa le premier interféromètre à deux télescopes. Sur le plateau de Calern, ainsi qu'à l'observatoire de Meudon, il parvint à obtenir les premières franges d'interférences en utilisant deux petits télescopes. La principale difficulté étant que la lumière issue des deux télescopes doit avoir parcouru exactement la même distance depuis l'étoile.


L'interférométrie, ça marche ! (2)

exempleLes instruments d'aujourd'hui

Peu importe, ça a marché ! La faisabilité était établie, et la voie vers les grands instruments d'aujourd'hui était ouverte.

De nos jours, plusieurs grands interféromètres fonctionnent et donnent de nombreux résultats. Je citerai le VLTI, l'interféromètre européen installé au Chili. Il peut recombiner 4 télescopes de 1,8\ m ou 4 télescopes de 8,2\ m sur des bases allant de 16 à 220\ m. On peut également citer l'interféromètre CHARA, installé sur le mont Wilson (oui, là où Michelson a construit son premier interféromètre stellaire), qui recombine 6 télescopes de 1\ m de diamètre sur des bases allant de 33 à 330\ m. C'est encore actuellement le plus grand interféromètre visible et infrarouge.

Le VLTI
P1010957.jpg
Au sommet du mont Paranal, on trouve 4 grands télescopes de 8,2\ m de diamètre ainsi que 4 petits télescopes de 1,8\ m (petite boule au premier plan). Ils constituent actuellement le réseau interférométrique le plus puissant.
Crédit : B. Mollier

L'interférométrie, ça marche ! (3)

exempleLes futurs projets

L'avenir est riche en projets. Les plus "simples", sont des interféromètres classiques où on augmenterait la taille des bases. L'interféromètre NPOI de la Navy américaine possédera des bases de 600\ m mais avec des télescopes de 60\ cm seulement.

Plus ambitieux, les projets d'hypertélescopes du même Antoine Labeyrie. Il s'agira de tapisser une cuvette naturelle (un cratère, une vallée...) de miroirs, de suspendre le recombineur à une nacelle au dessus pour obtenir un télescope virtuel de quelques kilomètres de diamètre.

Enfin, des projets d'interféromètres spatiaux sont à l'étude. Ils permettraient de s'affranchir de l'atmosphère, et d'atteindre de très grandes bases (de quelques centaines de mètres à ... jusqu'où on pourra aller).


Turbulences et optique adaptative

Auteur: Benjamin Mollier

La turbulence atmosphérique

Un télescope de 42\ m pour voir des exoplanètes, c'est bien joli, mais sa résolution n'est que théorique. On a oublié un détail. L'atmosphère !

Effet de la turbulence sur la qualité des images
ngc7469blue.jpg
La galaxie NGC 7469, observée avec et sans optique adaptative (PUEO, CFHT).
Crédit : CFHT

La turbulence atmosphérique

L'atmosphère n'est pas homogène. Elle est composée de multiples bulles de température et d'humidité différentes. Leurs indices optiques sont donc différents. Les rayons lumineux issus d'une étoile subissent des réfractions différentes et aléatoires en fonction de la zone d'atmosphère traversée.

À cause de l'atmosphère, les rayons lumineux n'arrivent plus parallèles entre eux au niveau du sol, mais avec des angles d'incidence aléatoires !

Conséquences sur l'image d'une étoile

En l'absence d'atmosphère, tous les rayons arrivent parallèles entre eux. Si on pointe un télescope vers une étoile, les rayons convergent donc en un seul point : le foyer du télescope.

Mais en présence de turbulence, les rayons ne convergent plus en un point, mais dans une zone, plus ou moins grande en fonction de l'intensité de la turbulence.

Effet de la turbulence atmosphérique
Turbulences.png
À cause de la turbulence, les rayons ne convergent plus au foyer du télescope.
Crédit : ASM/B. Mollier

On n'observe plus une jolie petite tache de diffraction, mais une grosse tache granuleuse, variant aléatoirement dans le temps.

definitionParamètre de Fried

La taille de la tache image, en présence de turbulence, est plus grosse que la tache d'Airy. Tout se passe comme si notre télescope avait rétréci et fournissait une tache de diffraction beaucoup plus grosse que prévue.

On définit alors une quantité r_0, homogène à un diamètre, appelé paramètre de Fried. Il s'agit du diamètre qu'aurait un télescope qui fournirait, en l'absence de turbulence, une tache d'Airy de même taille que notre télescope en présence de turbulence.

Ce diamètre r_0 est en général de l'ordre de 10\ cm, dans le visible. Dans certains sites de très bonne qualité (dans les déserts, en altitude... bref, là où on construit les nouveaux observatoires) il est plus grand, mais n'excède jamais 50\ cm. Dans l'infrarouge, il est plus grand, de l'ordre de 60\ cm.

Pour résumé, en présence de turbulence, un grand télescope de 8,2\ m possède la même résolution qu'un télescope de... 10\ cm ! Aïe. À quoi bon construire de grands télescopes ?

Heureusement, il existe une technique pour corriger cette turbulence, et rendre la vue perçante à ces gros télescopes.


L'optique adaptative

Pour corriger la turbulence, on utilise un système nommé optique adaptative. Il s'agit d'un miroir déformable qui compense la turbulence atmosphérique.

Comment ça marche ?

Le problème est, qu'avec la turbulence, les rayons n'arrivent plus parallèles entre eux, se réfléchissent avec des tas d'angles différents, et ne convergent plus en un point.

L'astuce consiste à utiliser un miroir déformable, qui change localement l'inclinaison de la surface réfléchissante. L'angle d'incidence du rayon lumineux est modifié de façon à ce que le rayon réfléchit passe par le foyer du télescope.

Principe de fonctionnement de l'optique adaptative
AO01.png
En l'absence de turbulence, le rayon incident arrive à la verticale du miroir, et son rayon réfléchi passe par le foyer (à gauche). Mais à cause de la turbulence, l'incidence du rayon change. Le rayon réfléchi ne passe plus par le foyer (au centre). Grâce à l'optique adaptative, on change l'inclinaison du miroir de façon à ce que le rayon réfléchi passe de nouveau par le foyer (à droite).
Crédit : ASM/B. Mollier

Ce miroir est placé après le miroir primaire (c'est parfois le miroir secondaire). Il doit compenser la turbulence atmosphérique en temps réel ! Il faut donc analyser la déformation de l'image, calculer la correction à apporter et déformer le miroir en quelques fractions de seconde ! Impressionnant ! Mais ça fonctionne.

L'optique adaptative
AO02.png
On déforme le miroir de façon à ce que tous les rayons réfléchis passent par le foyer.
Crédit : ASM/B. Mollier
Ta da !!
AO_correction.jpg
Sans optique adaptative (à gauche), l'étoile double n'est pas résolue. Avec l'optique adaptative (à droite), le système d'optique adaptative permet de distinguer les 2 composantes de l'étoile double.
Crédit : ESO

Conclusion

rappelLa diffraction

Lorsque la taille des obstacles rencontrés par la lumière est comparable à sa longueur d'onde, l'optique géométrique ne s'applique plus. Les rayons ne se propagent plus en ligne droite. C'est la diffraction.

rappelLa tache d'Airy

À cause de la diffraction, l'image d'une étoile n'est pas ponctuelle, mais a la forme d'une tache circulaire, entourée d'anneaux. C'est la tache d'Airy. Sa taille est inversement proportionnelle au diamètre du télescope.

rappelLa résolution d'un télescope

La résolution du télescope est sa capacité à distinguer de petits détails. Elle est donnée par la relation :

R = \frac{\lambda}{D}

Tout détail plus petit que ce diamètre apparent ne sera pas résolu. La résolution est inversement proportionnelle au diamètre du télescope.

rappelL'interférométrie

Pour gagner en résolution, on utilise une autre technique : l'interférométrie. Son principe consiste à utiliser plusieurs télescopes au lieu d'un seul. La résolution de 2 télescopes espacés de 300\ m est la même qu'un unique télescope de 300\ m.

rappelL'optique adaptative

La turbulence atmosphérique dégrade considérablement la qualité des images en faisant chuter drastiquement la résolution des instruments. Il existe cependant une technique, appelée optique adaptative, qui restaure en grande partie la qualité des images. Son principe repose sur la correction en temps réel de la turbulence, en déformant un miroir pour focaliser tous les rayons lumineux au foyer.


Conclusion

Ainsi s'achève ce cours d'optique. Les télescopes et les appareils photos n'auront plus de secret pour vous désormais. J'espère qu'il vous aura plu.

Pour toute suggestion sur son contenu, n'hésitez pas à nous contacter.

Paranal
Paranal_NB.jpg
Observatoire européen du mont Paranal, au Chili.
Crédit : B. Mollier

Les Quatre Forces Fondamentales de la Nature

Auteur: Laurence Tresse

Introduction du module

remarqueTeneur du module

Un constat : la matière est confinée (les choses vivantes ou non, les océans, l’air, les planètes, les étoiles, les galaxies,…voire aussi l'univers). Quelles sont les lois physiques qui permettent un tel état de la matière ? Dans ce module, nous allons appréhender les quatre forces fondamentales présentes dans la nature : elles sont responsables du confinement de la matière.

objectifsObjectif du module

L'objectif de ce module est de vous permettre d'acquérir les bases physiques pour décripter la structuration des objets célestes, voire de l'univers.

prerequisQuelques notions prérequises


Terminologie

attentionNotons dès maintenant que c'est bien le terme de matière qui est utilisé !

Au cours de l’histoire, la nature exacte de la matière a changé avec les découvertes scientifiques et théoriques. Pour être précis, la physique et l’astrophysique s’attachent désormais à décrire les manifestations des propriétés de la matière, plutôt que de sonder la nature réelle de la matière. Par exemple, elle peut se manifester sous différents états (solide, liquide, gazeux ou plasma), sous diverses formes d’énergie (mécanique (cinétique+potentielle), chimique, électrique, nucléaire, lumineuse, etc.), sous un aspect corpusculaire ou ondulatoire, sous un contenu dit « noir » (matière noire, énergie noire), mais aussi sous forme d’antimatière (c’est-à-dire qui se manifeste avec des propriétés opposées à la matière).

remarqueQue désigne-t-on par corps matériel ?

Nous utiliserons le terme corps matériel pour désigner une entité confinée de matière, c'est-à-dire de la matière maintenue dans un espace restreint, cet espace pouvant être infime ou immense. Cette entité est la manifestation de relations d'interdépendance via les forces d'interaction. Lorsqu'un corps est dit élémentaire, cela traduit le fait observationnel qu'il n'est pas divisible.


Introduction

Auteur: Laurence Tresse

Préambule

introductionQu'est-ce qui maintient la matière assemblée dans l'espace ?

Il doit exister des forces d’action entre deux corps matériels dissociés physiquement dans l’espace qui permettent de les maintenir dans un certain volume. Les interactions à distance sont ainsi quantifiées via leur force d’action. Elles font interagir des propriétés physiques bien spécifiques de la matière comme sa masse, sa charge électrique, etc.


Les quatre forces fondamentales d'interaction de la matière

Dans la nature, les forces fondamentales sont classées en quatre catégories (cette division ne signifie pas qu’elles sont distinctes l’une de l’autre).

Les Quatre Interactions Fondamentales dans la Nature
four_forces.jpg
Crédit : ASM/Laurence Tresse
Interaction fondamentaleAction à distance entre de la matière ayant
Gravitationnelleune masse
Electromagnétiqueune charge électrique
Fortedes quarks
Faibledes quarks et des leptons

Interaction de Gravitation

Auteur: Laurence Tresse

Introduction

Dans cette partie, nous allons aborder la force la plus commune, la gravitation, et que vous avez très probablement déjà étudiée dans votre cursus. C'est une force qui est en fait très particulière par rapport aux trois autres forces.


Définition

Auteur: Laurence Tresse

Masse et interaction de gravitation

definitionCaractéristique de la matière : sa masse

Les masses sont liées entre elles via l’interaction de gravitation. L'unité de base de la masse est le kilogramme (kg).

Ses effets sont le plus familier à l’homme via la pesanteur, c’est-à-dire le poids des corps matériels. Elle provoque les marées, elle confine l’atmosphère autour de la Terre, elle maintient les planètes et les astéroïdes autour du Soleil, elle concentre le gaz, les étoiles, et la poussière des galaxies, elle forme les structures à grandes échelles de l’univers (groupes, amas, superamas)…

attentionLoi de conservation

La masse* est une quantité conservée dans tout phénomène de transformation de la matière.

* En fait, de part l'équivalence masse-énergie (la célèbre formule E=m*c^2), il est approprié de dire que c'est la masse-énergie qui est conservée.


Force de gravitation

definitionExpression de la force de gravité

Tout corps de matière ayant une masse M, crée un champ de gravité autour de lui dans une sphère de rayon R, accent(g;->)=-(G*M/R^2)*accent(u;->). G est la constante de gravitation dont la mesure vaut unité(((6,67384plusoumoins0,00080))*10^(-11);m^3*kg^(-1)*s^(-2)), et accent(u;->) le vecteur unitaire partant de la masse M. Dans ce champ, tout autre corps de matière va subir cette attraction gravitationnelle. La force d’interaction subie par une masse msituée à une distance d de la masse M vaut : accent(F_M;->)=-m*(G*M/d^2)*accent(u;->).

force_masses.jpg
La force de gravitation subie par chacune des masses est symétrique, et leurs valeurs sont égales, F_M=F_m=G*m*M/d^2. Elle agit à toutes les distances. Si d diminue d'un facteur 10, la force augmente d'un facteur 100.
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Gravité et accélération

remarqueUn champ de gravitation est localement équivalent à un repère soumis à une accélération uniforme

Autrement dit, la masse m subit l’accélération a=G*M/d^2. Ceci a pour conséquence l’égalité de la masse grave (ou pesante, soit de la masse m_g qui subit la gravité g), et de la masse inerte (soit de la masse m_i ayant un mouvement uniformément accéléré a), m_g*g=m_i*a. Dans les faits expérimentaux, elle sont vérifiées égales à~10^(-13) près (prévu pour un lancement en 2015, le satellite français Microscope devrait permettre une précision 100 fois meilleure, soit à 10^(-15) près).


Exercices : Les Lois de Newton

Auteur: Laurence Tresse

Les trois lois de Newton

loisnewton.jpg
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Elles forment les bases de la mécanique classique. Elles relient les forces qui agissent sur un corps matériel ayant une masse et le mouvement qui en est induit.

definitionPremière loi de Newton ou principe de l'inertie

Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Si un corps ne subit pas de force, alors sa vitesse est constante : soit le corps est au repos (vitesse nulle) ou soit il se déplace en ligne droite avec une vitesse constante (vitesse non nulle).

definitionDeuxième loi de Newton

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

L'accélération accent(a;->) d'un corps est parallèle et directement proportionelle à la force nette appliquée accent(F;->) sur le corps, elle est dans la même direction que la force nette, et elle est inversement proportionnelle à la masse m du corps, soit accent(F;->)=m*accent(a;->).

definitionTroisième loi de Newton

Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

Lorsqu'un premier corps exerce une force F_1 sur un deuxième corps, le deuxième corps exerce simultanément une force accent(F_2;->)=-accent(F_1;->) sur le premier corps. Ainsi accent(F_1;->) et accent(F_2;->) sont égales et opposées en direction.


Exercice : Les lois de Newton (début)

exerciceLa pesanteur

Difficulté :   

Question 1)

A quelles unités de base du Système International (SI) est homogène la force d’interaction de gravitation, F=G*m*M/d^2, sachant que la constante de gravitation, G, est exprimée unité(en;m^3*kg^(-1)*s^(-2)) ?

Question 2)

Si F=1 Newton (N) à quoi correspond un Newton dans le système SI, et quelle est sa signification ?

Question 3)

Quelle est la valeur de la force qui augmente la vitesse de unité(3,6;km*h^(-1))par seconde d’un corps matériel ayant une masse de unité(1;kg) ?

Question 4)

Lorsque l’on vous demande votre poids, répondez-vous correctement ?


Exercice : Les lois de Newton (suite)

exerciceL'accélération

Difficulté :   

Question 1)

Combien vaut la force d’attraction gravitationnelle à la surface de la Terre subie par une pomme de unité(102;g), et par une personne ayant une masse corporelle de unité(60;kg) ?

Question 2)

Que vaut la force d'attraction de la pomme subie par la Terre ?

Question 3)

Que vaut l’accélération de la pomme, et celle de la personne, due à la force de gravité de la Terre ? Qu'en déduisez-vous ?

Question 4)

Que vaut l'accélération de la Terre due à la force de gravité de la pomme et de la personne ? Qu'en déduisez-vous ?

Question 5)

A votre avis, pourquoi les corps matériels à la surface terrestre ne s'enfoncent-ils pas dans le sol ?


Exercice : Les lois de Newton (fin)

exerciceL'inertie

Difficulté :   

Question 1)

Dans quelle condition, un corps matériel peut-il se mouvoir sans qu'il subisse une force ?


Exercices : Le Principe Fondamental de la Dynamique

Auteur: Laurence Tresse

Le principe fondamental de la dynamique

definitionEnoncé

Le Principe Fondamental de la Dynamique, qui dérive de la deuxième loi de Newton, énonce que l'accélération d'un corps est la résultante des forces qu'il subit : Sigma*accent(F;->)=m*accent(a;->).

exempleAppplication

Dans l'exercice précédent, nous avons négligé le fait que la Terre est légèrement aplatie au niveau des pôles, et la rotation autour de son axe, sans compter qu'elle est aussi une sphère avec un relief très varié... Etudions dans le prochain exercice leur prise en compte, en appliquant le principe fondamental de la dynamique, afin de mesurer localement la pesanteur terrestre.

Les variations locales de la pesanteur terrestre
pesanteur_terrestre.jpg
La variation locale du champ de pesanteur terrestre illustré avec les données datant de juillet 2003 de la mission spatiale GRACE - du bleu foncé (le plus faible) au rouge foncé (le plus fort). La gravité standard à la surface de la Terre vaut, par convention, g_terre=unité(9,80665;m*s^(-2)), elle prend en compte le rayon moyen de la Terre et la vitesse angulaire de la Terre à l'équateur. La sphère colorée représente ainsi les différences locales par rapport à la gravité standard de la Terre modélisée comme un ellipsoïde en rotation ayant une répartition de masse homogène.
Crédit : University of Texas Center for Space Research and NASA

Exercice : Le principe fondamental de la dynamique (début)

exerciceUne pesanteur non uniforme à la surface terrestre...

Difficulté : ☆☆  

Question 1)

Quelle est l'expression vectorielle du poids (dit aussi force de pesanteur) subi par une masse m au repos à la surface de la Terre ?

Question 2)

La pesanteur est-elle dirigée exactement vers le barycentre de la Terre ?

Question 3)

Que vaut-elle aux pôles et à l'équateur pour une personne de unité(60;kg) ? Quel est l'avantage de lancer un engin spatial de 300 tonnes (m~=unité(300*10^3;kg)) à proximité de l'équateur ?

Question 4)

Si la Terre tounait 20 fois plus vite sur elle-même, que se passerait-il pour les habitants situés sur l'équateur ?


Exercice : Le principe fondamental de la dynamique (suite)

exerciceMise en orbite...

Difficulté : ☆☆  

Question 1)

Quelle est l'expression de la vitesse d'un corps matériel en orbite avec un mouvement circulaire uniforme à une altitude D autour d'une masse M ? Est-elle dépendante de la masse du corps en mouvement ?

Question 2)

Quelle est la vitesse minimale de mise en orbite d'un objet qui décolle de la surface terrestre ?

Question 3)

Si la vitesse est inférieure à la vitesse minimale de mise en orbite, que fait le corps ?


Exercice : Le principe fondamental de la dynamique (fin)

exerciceSe libérer de la pesanteur...

Difficulté : ☆☆☆  

Pour se libérer totalement de la pesanteur, la vitesse doit être au moins égale à : v_libération=sqrt(2*G*M/D).

Question 1)

Combien vaut la vitesse de libération pour la Terre, Jupiter et le Soleil ?

Question 2)

Dans le cas d'un décollage vertical, quelle serait l'accélération (constante et linéaire) nécessaire pour faire passer un engin d'une vitesse nulle à la vitesse de libération terrestre (cf. question 1) sur une distance de 1000 km ? A combien de g_terre cela correspond-t-il ?

Question 3)

Pourquoi place-t-on les sondes spatiales d'abord en orbite basse D~=unité(2000;km) avant de les propulser plus loin pour aller explorer le système solaire ?

Question 4)

Quelle est l'expression de la vitesse de libération de l'influence gravitationnelle du Soleil à partir de la surface de la Terre ? Combien vaut-elle ?


Exercices : Autres Applications de la Gravité

Auteur: Laurence Tresse

La pression

definitionDéfinition

La pression, P, est la force, F, rapportée à la surface, S, sur laquelle elle s'applique, P=slash(F;S). Dans le système d'unités SI, un pascal (Pa) correspond à une force de unité(1;N) appliquée sur une surface de unité(1;m^2), et, est donc homogène à l'unité de base kg.m-1.s-2.

exempleLa pression atmosphérique

L'atmosphère terrestre confinée par la force de gravité
atmosphere_terre.jpg
L'atmosphère terrestre est une couche de matière gazeuse confinée par la gravité de la Terre. Sa densité devient plus faible avec l'augmentation de l'altitude. Bien qu'il n'y ait pas une limite précise entre l'atmosphère et l'espace, en aéronautique ses effets sont considérés en dessous de 100 km d'altitude (dit aussi la ligne de Kármán). La navette spatiale internationale (ISS) est en orbite à une altitude d'environ 400 km, le Télescope Spatial Hubble (HST) l'est à 590 km ; ils orbitent dans la thermosphère.
Crédit : ASM/Laurence Tresse (Globe terrestre de Coronelli, BnF)

Exercice : La pression atmosphérique

exerciceLa pression atmosphérique terrestre

Difficulté :   

Question 1)

La masse totale de l'atmosphère terrestre vaut ~unité(5*10^(18);kg) (soit 5 gigatonnes). Sachant que la superficie du globe terrestre vaut ~unité(5*10^8;km^2), combien vaut la masse moyenne au-dessus d'un mètre carré ?

Question 2)

En prenant la gravité standard de la Terre (g_terre=unité(9,807;m*s^(-2))), à quelle pression atmosphérique cela correspond-t-il ?

Question 3)

La pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer vaut unité(1;atm)=unité(101325;Pa) (valeur standard officielle). A votre avis pourquoi votre résultat précédent diffère de cette valeur ?


Exercice : La sphère d'influence gravitationnelle

definitionDéfinition

La sphère d'influence gravitationnelle (dite aussi sphère de Hill ou sphère de Roche) est le volume dans lequel un corps massif a une influence sur un autre corps massif (en le satellisant, en le déformant voire en l'accrétant). Pour un corps de masse m à une distance d d'un corps plus massif de masse M, le rayon de sa sphère de Hill vaut r_H=d\, \sqrt[3]{\frac{m}{3M}}.

exerciceLa sphère de Hill ou de Roche

Difficulté :   

Question 1)

Calculer le rayon de la sphère de Hill de la Terre dans le champ de gravité du Soleil. Qu'en déduisez-vous pour la Lune ? pour la planète la plus proche Mars ?

Question 2)

L'influence gravitationnelle du système solaire est estimée à 125000 U.A. Qu'en déduisez-vous pour l'étoile la plus proche du système solaire, Proxima du Centaure, située à 270000 U.A. environ ?


La Gravitation : Une Force Toute Relative !

Auteur: Laurence Tresse

Tout est relatif...

Les interactions fondamentales font intervenir la distance entre les corps matériels. Là où tout se complique, c'est que la distance n'est pas une mesure absolue...

remarqueSeule la vitesse de la lumière est constante !

space-time-flat.jpg
En mécanique classique, un évènement est décrit dans une structure à 3 dimensions. En relativité, il est décrit dans une structure à 4 dimensions. Cette quatrième dimension implique que nous ne pouvons mesurer des évènements simultanés (Delta*t=0) que dans le même référentiel (x, y, z).
Crédit : ASM/Laurence Tresse

En mécanique classique, la vitesse mesurée d'un corps matériel vaut v=slash(Delta*x;Delta*t) (une bille roulant dans un TGV à l'arrêt). Si ce corps matériel se déplace dans un repère en mouvement (une bille roulant dans un TGV ayant une vitesse constante, v_0) par rapport au lieu de mesure (le quai), alors la vitesse mesurée devient relative au repère. Elle vaut v dans le repère inertiel (au repos ou avec une vitesse constante, c'est-à-dire la même dans le TGV au repos ou à vitesse constante), mais elle vaut (v+v_0)/(1+v*slash(v_0;c^2)) dans tout autre repère de mesure (la composition des vitesses n'est plus additive comme en mécanique classique où on aurait écrit v+v_0). Cela traduit que la vitesse ne peut jamais être mesurée supérieure à la vitesse de la lumière (qui est une constante c=unité(299792458;m*s^(-1))), quelque soit le repère de mesure. Les évènements ne sont plus décrits dans une structure à trois dimensions, où leur distance d est mesurée classiquement par d^2=Delta*x^2+Delta*y^2+Delta*z^2 quelque soit le temps t (espace-temps absolu), mais dans une structure à quatre dimensions, où la séparation des évènements s fait intervenir la distance parcourue par la lumière dans un laps de temps Delta*t, s^2=Delta*x^2+Delta*y^2+Delta*z^2-c^2*Delta*t^2 (espace-temps relativiste).

Notons que la définition du mètre est : la longueur de la distance parcourue dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299792458 seconde.


Le facteur de Lorentz

definitionAppelé aussi le facteur gamma

Hors du repère inertiel, dans un espace-temps relativiste, il s'ensuit que la longueur d'un objet sera mesurée plus petite, L=(x_2-x_1)/gamma (x_2 et x_1 mesurés au même moment) , ou que le temps écoulé sera mesuré plus long, Delta*t=gamma*(t_2-t_1) (t_1 et t_2 mesurés au même endroit), avec le facteur gamma (ou facteur de Lorentz) sans dimension gamma=1/sqrt(1-beta^2) avec (gamma>=1) et beta=v/c avec (beta<=1).

exempleQuelle vitesse pour des effets relativistes perceptibles ?

Les effets relativistes deviennent perceptibles pour v>0,3*c (donc pas pour un TVG...mais pour des corps matériels atteignant des vitesses relativistes telles que les particules dans des accélérateurs).

Vitesse (km.h-1)beta=slash(v;c)Facteur γLongueur mesurée (1 m)Temps écoulé (1 s)
574,8 vitesse record du TGV0,0000005 1,000000000000040,99999999999996 1,00000000000004
27700 vitesse de la station spatiale internationale0,000031,0000000003 0,99999999971,0000000003
252800 vitesse de la sonde Helios (objet le plus rapide fait par l'humain)0,0002 1,000000030,99999997 1,00000003
1990000 vitesse de la Voie Lactée0,021,000002 0,999998 1,000002
0,3*c0,31,050,951,05
0,9*c0,92,30,42,3

La force de gravité en relativité restreinte

complementConséquence de la relativité sur l'intensité de la force de gravité

Dans l'espace-temps relatif, la force de gravité devient m*gamma*G*slash(M;d^2). L'accélération de la masse m apparait plus grande dans le repère inertiel de la masse M (autrement dit, le poids de la masse m apparait plus fort) . Nous voyons immédiatement que si un corps se déplace avec une vitesse proche de c, la force sur ce corps matériel devient infinie ! Ainsi un corps matériel ayant une masse ne peut atteindre la vitesse de la lumière ; dans ce cas, la relativité est dite restreinte (v<<c).


La Gravitation : Une Force Complexe

Auteur: Laurence Tresse

La gravitation vue par la relativité générale

attentionLa présence d'une masse courbe l'espace-temps !

curved_spacetime.jpg
L'espace-temps courbé par la présence d'une masse telle que la Terre.
Crédit : NASA

La vraie nature physique de la force gravitationnelle est en fait bien plus complexe. Nous verrons plus loin que cette théorie a été englobée dans une théorie plus large, la relativité générale qui s’applique à de la matière ayant une vitesse proche ou égale à la vitesse c (la lumière est alors déviée au passage d’un corps massif voire absorbée par un objet extrêmement massif comme un trou noir). En fait, une masse déforme l’espace-temps en le courbant (courbure de slash(1;r^2)), ce n’est plus un espace-temps plat comme en relativité restreinte mais un espace-temps courbé par la présence de corps massifs. Un autre corps matériel (avec une masse plus faible ou sans masse) va suivre cet espace-temps déformé. On peut imager cet effet comme une bille d’acier que l'on pose sur un drap plat ; elle creuse le drap, à son voisinage une autre bille moins massive tombera en tournoyant dans ce creux formé. Si ce drap est invisible, on a l’impression d’une attraction entre les deux billes, qui est en fait une fausse impression, car ce ne sont pas les corps qui s’attirent, mais c’est la masse d’un corps matériel qui déforme la structure espace-temps (le drap), déformation qui sera subie inéluctablement par tout autre corps matériel (moins massif ou sans masse). L’un et l’autre effet ne sont pas distinguables.

remarqueEn relativité générale, la gravitation n’est pas une force d’interaction entre deux corps...

Elle est la manifestation d’un espace courbé par la présence de corps massifs.

La théorie de la relativité générale s'applique principalement lorsque le potentiel de gravité est fort,G*M/d>0,1*c^2. Pour terminer, elle est vérifiée expérimentalement, mais pas sur des échelles extrêmement petites (échelles quantiques), où d’autres forces d’interaction dominent les phénomènes physiques.


Exercice : Les effets relativistes de la gravitation

exerciceLieux privilégiés de la gravité relativiste

Difficulté :   

Le potentiel de gravitation rapporté à c^2 est dit fort lorsque G*M/d/c^2>0,1. Dans ce cas, les effets de la relativité générale sont perceptibles.

Question 1)

Calculer l'ordre de grandeur du potentiel de gravité rapporté à c^2 à la surface de la Terre, du Soleil, d'une étoile à neutrons et d'un trou noir. Qu'en déduisez-vous ?


Interaction Electromagnétique

Auteur: Laurence Tresse

Indroduction

Afin que les corps matériels environnants ne soient pas réduits à leurs constituants collés au sol via la pesanteur, une interaction plus forte que la gravitation doit retenir ses constituants dans un espace restreint. De ce fait, la matière pourvue d’une masse peut aussi être dotée d’une charge électrique. Plus les corps matériels sont massifs, plus la gravitation impose des formes sphériques (planètes, étoiles, galaxies). En revanche, la charge électrique permet une cohésion interne des corps moins massifs, et leur donner n'importe quelle forme.


Définition

Auteur: Laurence Tresse

Charge électrique et interaction électromagnétique

definitionCaractéristique spécifique de la matière : sa charge électrique

Les charges électriques sont liées entre elles via l’interaction électromagnétique. L'unité de base de la charge électrique est le coulomb (C).

Ses effets sont constamment mis à profit dans la vie quotidienne via l’électricité ou la gastronomie, par exemple. Elle permet la cohésion de la matière, elle la structure et la transforme en divers états (solide, liquide, gaz), ses combinaisons multiples font émerger la diversité des corps matériels (vivants ou non) avec des propriétés physiques nombreuses.

attentionLoi de conservation

La charge électrique est conservée dans tout phénomène de transformation de la matière.


Force électrique

definitionExpression de la force électrique

Tout corps de matière ayant une charge électrique Q (positive ou négative), crée un champ électrique autour de lui dans une sphère de rayon R, accent(E;->)=k_C*(Q/R^2)*accent(u;->). k_C est la constante de Coulomb égale à unité(8,988*10^9;N*m^2*C^(-2))et accent(u;->) le vecteur unitaire partant de la charge Q. Dans ce champ, un autre corps de matière chargée électriquement va subir ce champ électrique attractif ou répulsif. La force d’interaction subie par une charge électrique q située à une distance d de la charge électrique Q vaut : accent(F_Q;->)=q*(k_C*Q/d^2)*accent(u;->).

force_electro.jpg
La force électrique subie par chacune des charges électriques est dipolaire (répulsive entre charges ++ ou --, et attractive entre charges +-, et leurs valeurs sont égales, F_Q=F_q=k_C*q*Q/d^2.
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Force électromagnétique

remarqueElectricité et magnétisme

Pour des charges électriques immobiles, on parle d'interaction électrostatique. Des charges électriques en mouvement créent un courant électrique, lui-même créant un champ magnétique, d'où le terme d'interaction électromagnétique. La matière n'ayant pas de charge électrique ne subit pas ce champ électromagnétique.

Champ électromagnétique
champ-magnetique.jpg
Lorsque des particules ayant une charge électrique (q) sont en mouvement (accent(v;->)), elles créent un champ magnétique accent(B;->) (dit aussi induction magnétique) en sus du champ électrique accent(E;->). Ainsi ces particules sont soumises à la force magnétique en sus de la force électrique. Ces deux forces sont couplées sous le terme de force ou interaction électromagnétique accent(F;->), perpendiculaire au plan formé par les deux champs. Dans un champ électromagnétique, une particule possédant une charge électrique va subir la force, dite de Lorentz : F=F_e+F_m=q*E+q*v*B*sin(alpha)avec E le champ électrique (exprimé en N.C-1), B le champ magnétique (exprimé en Tesla), v la vitesse des particules, et α l'angle entre le champ B et la direction des particules.
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Exercice : La force électromagnétique

exerciceInduction magnétique

Difficulté :   

Question 1)

En vous aidant de l'illustration ci-avant, quelle est l'expression de la force électromagnétique pour des particules chargées au repos ? Et que vaut l'induction magnétique ?

Question 2)

En vous aidant de l'illustration ci-avant, dans le cas d'un mouvement rectiligne, alpha=unité(90;degrés), quelle est l'expression de la force électromagnétique ?

Question 3)

Dans quelles unités du Système International (SI) est exprimé le Tesla, unité de l'induction magnétique ?

Question 4)

A votre avis, comment la force électromagnétique influe-t-elle la trajectoire initialement rectiligne des particules ?


Exercice : Le rapport de force entre l'électromagnétisme et la gravitation

exerciceInteractions entre l'électron et le proton

Difficulté :   

L'électron est une particule de matière chargée en masse, m=unité(9,109*10^(-31);kg), et chargée en électricité, q=-1.6*10^(-19)*C. Le proton est une particule de matière avec m=unité(1,673*10^(-27);kg) et ayant la même quantité de charge électrique que l'électron mais positive q=unité(1,6*10^(-19);C).

Question 1)

Calculer le rapport en masse entre le proton et l'électron.

Question 2)

Calculer le rapport de la force électrique sur la force gravitationnelle entre ces deux particules.

Question 3)

A de faibles distances de séparation, en l'absence de toutes autres forces extérieures, en déduisez-vous que l'électron va tomber sur le proton ? Pourquoi ?


Atomes, Ions et Molécules

Auteur: Laurence Tresse

L'électromagnétisme : une force qui donne forme à la matière !

remarqueAgencement de la matière chargée électriquement

La cohésion, la forme et l'état de la matière (sous forme solide, liquide, gaz) est due à la force électromagnétique qui agence les atomes de manière ordonnée selon des règles bien définies. Ces atomes peuvent s'assembler en molécules, qui peuvent à leur tour s'assembler ; ces édifices de matière chargée électriquement sont tous liés par l'interaction électromagnétique comme nous allons le voir.

atomes_molecules.jpg
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Les atomes

definitionSes constituants

L'atome est constitué de Z (nombre entier positif) électrons (totalisant une charge électrique négative, -Z*e) orbitant autour d'un noyau (de charge positive, Q=+Z*e) avec e la charge élémentaire valant e=unité(1,6*10^(-19);C). L'atome est électriquement neutre. Il peut contenir plus d'une centaine d'électrons.

L'électron (symbole e-) est une particule élémentaire (on ne peut pas le casser en de plus petites entités de matière), de masse très faible, m=unité(9*10^(-31);kg) et de charge électrique -e.

Le noyau atomique (>unité(1,7*10^(-27);kg)) concentre l'essentiel de la masse (soit unité(99,9;%)) d'un atome dans un espace aussi restreint que unité(10^(-10);m). Les électrons, bien plus légers en masse, ne tombent cependant pas sur le noyau (plus de part la force électromagnétique ici attractive que de part la force de gravitation, voir l'exercice précédent). En effet, leur mouvement autour du noyau est régi par la physique quantique, et non pas par la physique classique où une planète en mouvement orbital ne tombe pas sur son étoile. La physique quantique introduit la notion de probabilité dans les phénomènes physiques ; non seulement la probabilité qu'un électron rentre spontanément dans le noyau est nulle pour la majorité des noyaux (excepté dans le cas de la capture électronique abordé plus loin), mais aussi la probabilité d'être sur une certaine orbite doit respecter le Principe de Pauli (voir plus loin).

remarqueLe classement des atomes

Le tableau périodique des éléments
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Le numéro atomique Z des atomes croit de gauche à droite, de haut en bas. Il correspond à un élément chimique donné.
Crédit : Keith Enevoldsen

L'atome est classé selon son numéro atomique Z. Ce numéro correspond à un élément chimique, noté par exemple X ou ZX. L'atome le plus simple (l'hydrogène, 1H) est constitué d'un seul électron (q=-e) et d'un noyau de charge Q=+e, l'atome le plus dense, existant à l'état naturel (le plutonium, 94Pu) est constitué de 94 électrons (q=-94*e) et d'un noyau de charge Q=+94*e. Les éléments chimiques sont regroupés selon dans "le tableau périodique des éléments" (dit aussi tableau de Mendeleïev).

L'état naturel des atomes se trouve sous forme soit gazeuse (1H, 2He, 7N, 8O, 9F, 10Ne, 17Cl, 18Ar, 36Kr, 54Xe et 86Ra), soit liquide (35Br, 80Hg) ou soit solide.


Exercice : Les composants chimiques de la matière

exerciceLes composants d'une étoile

Difficulté :   

Leur composition chimique est décrite par leur quantité (en masse) en hygrogène, en hélium et en éléments plus lourds que ces deux éléments. Cette troisième quantité est nommée métallicité en astronomie, de symbole Z), et elle ne doit pas être confondue avec le numéro atomique (Z). Elle est reliée à l'époque de formation de l'étoile : plus l'époque est jeune, plus la métallicité est faible dans le sens où les éléments lourds dans l'univers jeune n'ont pas encore été synthétisés en grande quantité au sein des étoiles.

Le Soleil est aujourd'hui composé de 73,46 % d'hydrogène et de 24,85 % d'hélium. Sa métallicité Z_soleilest de 1,69 % avec principalement 0,77 % d'oxygène, 0,29 % de carbone, 0,16 % de fer, 0,12 % d'azote. Il est riche en métaux.

Question 1)

En vous aidant du tableau période des éléments, écrire les éléments chimiques du Soleil sous la forme ZX, X désignant le symbole de l'élément chimique et Z le numéro atomique.

Question 2)

Les étoiles pauvres en métaux (métallicité<<Z_soleil) sont observées dans le halo de notre Galaxie, soit hors des bras spiraux de notre Galaxie. Que peut-on en déduire sur leur époque de formation ?


Les ions

definitionLes cations et les anions

Lorsque l'on arrache ou ajoute un ou plusieurs électrons à l'atome, le système devient un ion, c'est-à-dire un système électriquement chargé, appelé aussi un cation pour un ion de charge positive, et un anion pour un ion de charge négative. Par exemple, l'ion sodium, 11Na+, est un atome de sodium 11Na ayant perdu un électron (soit 10 électrons orbitants autour d'un noyau de charge Q=+11*e), l'ion chlorure, 17Cl-, est un atome de chlore 17Cl ayant gagné un électron (soit 18 électrons orbitants autour d'un noyau de charge Q=+17*e).


Exercice : Les ions dans l'eau

exerciceL'eau de mer est fortement ionisée

L'eau dissout les sels en les décomposant en cations et anions. Par exemple, l'eau de mer contient les ions suivants : le sodium (Na+), le chlorure (Cl-), l'ion magnésium (Mg2+), l'ion calcium (Ca2+), l'ion potassium (K+). Elle contient environ 3,5 % de sels dissous, tandis que l'eau douce en contient moins de 0,05 %.

Question 1)

Donner le numéro atomique et le nombre d'électrons des ions contenus dans l'eau de mer, et dire s'ils sont un cation ou un anion.

Question 2)

Expliquer pourquoi l'ajout de sel dans l'eau douce augmente sa conductivité électrique.


Les molécules

definitionL'assemblage des atomes grâce aux forces intramoléculaires

Les atomes peuvent se lier entre eux en partageant des électrons (en général les plus externes à l'atome), dits des électrons de valence, pour former des molécules. Ces forces intramoléculaires peuvent être covalentes (dans ce cas, elles ont des angles de liaisons bien spécifiques, donc des molécules ayant une forme bien définie), ioniques (entre un métal et non métal, le sel NaCl), ou métallique (entre métaux).

remarqueL'assemblage des molécules grâce aux forces intermoléculaires

A l'approche de deux atomes (seuls ou dans une molécule), la répartition des charges électriques dans ces systèmes électriquement neutres est perturbée. En modifiant le barycentre des charges électriques positives et négatives, elles créent de faibles dipôles électriques, donc soumis à l'électromagnétisme. Les forces en action, dites forces de van der Waals, permettent les liaisons intermoléculaires, qui sont moins fortes que les liaisons intramoléculaires, mais qui assurent la cohésion des liquides et des solides. Ces forces peuvent être vues comme une force résiduelle de la force électromagnétique qui confine les atomes.

attentionLes atomes et les molécules sont des systèmes confinés électriquement neutres

mais, comme nous venons de le voir, c'est toujours la force électromagnétique qui les relient à distance !


Exercice : Les forces de van der Waals

exerciceLa vapeur d'eau

Difficulté :   

Question 1)

A votre avis, lorsque de l'eau (assemblage de molécules H2O) est chauffée progressivement dans des conditions ordinaires (c'est-à-dire que la distance moyenne des molécules est augmentée), obtient-t-on de la vapeur composée de molécules H2O libres ou d'atomes d'hydrogène et d'oxygène libres ? Pourquoi ?


Les Quanta

Auteur: Laurence Tresse

L'électron, pas si libre que ça !

L'électron est une particule élémentaire de matière, c'est-à-dire incassable. Lorsqu'il est confiné et orbite dans un atome, il doit respecter des règles...

definitionLa case quantique d'un électron dans l'atome

La force électrique dépend de la distance au noyau des électrons. Cette distance n'est pas aléatoire mais quantique : chaque portion de distance (case quantique) représente une certaine région de probabilité radiale dans laquelle un électron peut se mouvoir autour du noyau. Ces cases quantiques sont stratifiées en une couche électronique (n>=1), contenant des sous-couches appelées structures fines (0<=l<=n-1), et des sous-sous-couches appelées structures hyperfines (-l<=m_l<=l). Les nombres entiers, n , l et m_l définissent ainsi une case quantique. Nous n'aborderons pas ici la physique qui sous-tend ce comportement quantique.

definitionL'état quantique d'un électron dans une case quantique

La règle à respecter : un électron ne peut pas être dans la même case quantique (c'est-à-dire sur une même orbite atomique, autrement dit ayant les mêmes nombres quantiques n, l et m_l) qu'un autre électron, sauf si son état quantique décrit par son spin (s) est différent.

Le spin d'un électron peut prendre deux valeurs, s=slash(1;2) ou -slash(1;2). Donc concrètement cela signifie que deux électrons, au plus, peuvent occuper une orbite atomique donnée.

remarqueRemarque

Une particule élementaire ayant un spin demi-entier fait partie de la famille des fermions.


Le principe de Pauli

definitionLe principe de Pauli est un principe d'exclusion des fermions

Il interdit aux fermions d'avoir les mêmes nombres quantiques (n, l, m_l et s) dans un système confiné.

attentionUne molécule a une valence nulle

Une molécule est une combinaison d'atomes dont toutes les cases quantiques sont occupées par deux électrons, autrement dit où tous les états quantiques (n, l, m_l, s) sont occupés par un électron. On dit aussi qu'une molécule a une valence nulle, contrairement aux atomes et aux ions.


Exercice : Le principe de Pauli

exerciceLes états quantiques de l'hydrogène et de l'oxygène

Difficulté : ☆☆  

Le principe de Pauli interdit aux électrons d'avoir les mêmes nombres quantiques (n, l, m_l et s) dans un atome. L'atome d'hydrogène 1H confine un électron sur une couche électronique (n=1) autour de son noyau, et l'atome d'oxygène 8O confine huit électrons répartis sur deux couches électroniques (n=1et n=2) autour de son noyau.

Question 1)

Un électron peut-il être ajouté sur la couche électronique (n=1) de l'atome d'hydrogène ?

Question 2)

Combien d'électrons peuvent-ils être ajoutés à l'atome d'oxygène ? Quels ions en découlent-il ?

Question 3)

Plutôt que de leur ajouter des électrons, ces atomes peuvent partager des électrons (électrons de valence) tout en respectant le principe de Pauli. Quelles molécules peuvent-elles être crées avec deux atomes H et deux atomes O ?


Interaction Forte

Auteur: Laurence Tresse

Les nucléons du noyau atomique

rappelLa cohésion des atomes et des molécules

Nous avons vu que la cohésion de l'atome est due à la force électromagnétique qui domine plus que largement la force gravitationnelle d'un facteur ~ 10^(35), et qui confine ainsi ses électrons (de charge électrique -Z*e) et son noyau (de charge électrique +Z*e) dans une sphère de diamètre aussi restreint que ~ unité(10^(-10);m). Nous avons vu également que les liens qui se forment entre atomes et molécules (électriquement neutres) sont dus aussi à l'interaction électromagnétique : lorsque ces systèmes neutres se rapprochent, la distribution spatiale de leur charge électrique positive et négative est modifiée créant ainsi un dipôle électrique.

definitionLes protons et les neutrons

Alors que l'électron est une particule élémentaire (non sub-divisible, de taille ~ unité(10^(-18);m)) de la matière, le noyau emprisonne d'autres particules appelées nucléons de masse ~ unité(1,7*10^(-27);kg) ; des protons de charge électrique +e en même quantité Z que le nombre d'électrons d'un atome afin d'assurer sa neutralité, et parfois des neutrons de charge électrique nulle. Ils sont restreints dans le noyau, soit dans un volume encore plus réduit que l'atome, c'est-à-dire sur des distances de ~ 1*10^(-15) à ~ unité(3*10^(-15);m).


Couleur et interaction forte

definitionLes trois quarks des nucléons

Quelle force est suffisamment attractive pour compenser la répulsion électrostatique des protons qui tend à les faire s'échapper du noyau, mais aussi pour confiner les neutrons insensibles à la force électromagnétique et de masse bien trop faible pour être sensibles à la gravité ? Pour saisir pleinement la nature de cette force, il a fallu découvrir que les nucléons (de taille ~ unité(0,8*10^(-15);m)) étaient cassables en trois particules encore plus petites, des quarks (de taille ~ unité(10^(-18);m)), considérés comme des particules élémentaires de la matière tout comme l'électron, mais ayant en sus une couleur (rouge, verte ou bleue).

definitionCaractéristique spécifique de la matière : sa couleur

Les couleurs sont liées entre elles via l'interaction forte (ou interaction forte de couleur). Elles peuvent prendre trois valeurs (dites charges de couleur) : bleue, verte ou rouge.

Ses effets ne sont pas aussi immédiatement perçus comme ceux de la force de gravitation ou électromagnétique, mais elle est fondamentale étant à la base de la cohésion des noyaux, donc des atomes et des molécules, c'est-à-dire de l'édifice de la matière. Elle est aussi responsable du fait simple mais crucial pour l'espèce vivante que le Soleil brille. Elle est utilisée par l'homme (centrales, propulseurs, médecine mais aussi armes nucléaires).

attentionLoi de conservation

La somme des couleurs est conservée dans tout phénomène de transformation de la matière.


Force forte

definitionComportement de la force forte

Tout corps de matière ayant une couleur (c'est-à-dire les quarks) doit être lié à une autre couleur par la force forte. Contrairement aux deux autres forces (gravitationnelle et électromagnétique) augmentant lorsque la distance diminue (en slash(1;d^2)), la force forte agit comme s'il y avait ressort entre les quarks : elle diminue avec la distance pour n'avoir quasiment plus d'effet lorsque les quarks s'approchent (ressort au repos), et augmente extrêmement fortement lorsque les quarks s'éloignent (ressort étiré) au point que les quarks restent toujours confinés à des distances de ~unité(10^(-15);m) (~taille d'un nucléon). Ainsi les quarks n'existent que liés en triplet, ces systèmes liés sont appelés des baryons.

force_forte.jpg
La force forte subie par chacun des quarks est tripolaire. La somme des couleurs des trois quarks reste toujours blanche. Un nucléon (proton ou neutron) est toujours blanc (comme un atome est neutre).
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Exercice : Les baryons

exerciceUne forteresse gigantesque pour trois quarks...

Difficulté :   

La taille des nucléons (protons ou neutrons) est de l'ordre de ~unité(10^(-15);m). Chaque nucléon contient trois particules élémentaires (les quarks de taille <unité(10^(-18);m)) dont leur couleur est liée par la force forte. Deux quarks à une distance de unité(10^(-15);m), ressentent une force équivalente à celle d'une masse d'une tonne à la surface de la Terre. A des distances plus courtes, la force subie par les quarks décroit fortement au point de ne plus ressentir de force forte.

Question 1)

Les nucléons sont-ils des baryons ?

Question 2)

En faisant l'hypothèse qu'un nucléon est sphérique (soit un volume V=(4/3)*pi*R^3), quelle est la fraction d'espace libre minimale pour les trois quarks ?

Question 3)

Donner l'ordre de grandeur de la force forte subie par deux quarks distants de unité(10^(-15);m).

Question 4)

A quelle accélération d'un nucléon (de masse~=unité(2*10^(-27);kg)) cette force correspondrait-t-elle ?

Question 5)

Qu'en déduisez-vous sur le confinement des quarks ?


Une matière très gluante !

definitionL'interaction nucléaire forte

L'intéraction forte implique que les trois quarks ne peuvent pas s'échapper l'un de l'autre, et qu'un nucléon reste toujours blanc. Cela dit, il existe un effet résiduel de leur interaction forte, cet effet est appelé l'interaction nucléaire forte. Cette force résiduelle permet aux nucléons blancs d'interagir (tout comme la force électromagnétique résiduelle qui permet aux atomes et molécules électriquement neutres d'interagir), elle est attractive.

force-forte-nucleaire.jpg
Schéma de deux baryons (systèmes composés de 3 quarks comme un proton ou un neutron) en interaction de manière attractive. La force d'intération forte résiduelle, dite la force nucléaire forte, permet aux baryons d'interagir à distance. Elle varie en slash(1;d^7). En agissant sur une portée typique de la taille d'un nucléon (unité(10^(-15);m)), elle confine les nucléons dans un espace restreint de ~unité(10^(-14);m), appelé le noyau, telle de la super-glue.
Crédit : ASM/Laurence Tresse

remarqueRapport de forces...

La force nucléaire forte est ~100 plus élevée que la force électromagnétique pour deux protons distants de unité(10^(-15);m). Si la distance des protons augmente à unité(10^(-14);m), la force nucléaire forte décroit d'un facteur 105 alors que la force électrique seulement de 102, soit un facteur 1000 de différence ! Le noyau atomique constitue ainsi la base très solide de l'édifice de toute la matière.


Exercice : La force forte et la force nucléaire forte

exerciceUne différence notable...

Difficulté :   

Question 1)

Qu'est-ce qui distingue l'interaction forte de l'interaction nucléaire forte ?


Les isotopes

definitionDéfinition

Nous avons vu que les atomes sont des systèmes électriquement neutres, et leur noyau ont une charge électrique +Z*e liée à leur nombre Z de protons de charge électrique +e. Ainsi ajouter ou enlever des neutrons de charge électrique nulle dans le noyau atomique ne changera pas la neutralité de l'atome. Les noyaux ayant le même nombre de protons, mais un nombre différent de neutrons sont appelés des isotopes.

remarqueNotation des isotopes

Le nombre de nucléons est designé par \hbox{A}, dans la notation d'un élément \hbox{X} de matière ({}^A_Z X) le nombre de neutrons est alors (\hbox{A}-\hbox{Z}). Par exemple, le noyau d'hydrogène 1H a trois isotopes principaux : ^1_1\hbox{H} (0 neutron), le deutérieum ^2_1\hbox{H} (1 neutron) et le tritium ^3_1\hbox{H} (2 neutrons), le noyau de carbone a quatre isotopes principaux : ^{11}_6\hbox{C} (5 neutrons), ^{12}_6\hbox{C} (6 neutrons), ^{13}_6\hbox{C} (7 neutrons) et ^{14}_6\hbox{C} (8 neutrons).


Exercice : Les isotopes du calcium

exerciceLe calcium Ca

Question 1)

Le calcium, Ca, est un élément chimique ayant plusieurs isotopes, dont le plus courant contient 20 neutrons, et les autres 22, 23, et 24 neutrons. Ecrire ces isotopes sous la forme ^{A}_{Z}Ca.

Question 2)

L'ion calcium est un élément essentiel dans notre organisme pour réguler son acité générale (pH). Il contient 20 neutrons et 18 électrons. L'écrire sous la forme ^{A}_{Z}Ca^{q}q est la charge électrique de l'ion.


Interaction Faible

Auteur: Laurence Tresse

Saveur et interaction faible

Nous avons vu que les noyaux sont des systèmes de nucléons liés par la force forte nucléaire, donc extrêmement stables, c'est-à-dire peu susceptibles de se détacher sans intervention extérieure. Cela dit, on observe dans la nature des nucléons qui se séparent de manière spontanée pour former d'autres noyaux. Pour expliquer la manifestation de cette désintégration spontanée de certains noyaux (dits radioactifs) en d'autres noyaux, une autre force à distance doit être invoquée moins élevée que la force forte nucléaire, et elle doit agir sur les quarks. On l'appelle la force nucléaire faible. Elle agit sur une propriété de la matière autre que sa masse, sa charge électrique, ou sa charge de couleur : sa saveur.

definitionCaractéristique de la matière : sa saveur

Les saveurs, contrairement aux trois autres forces à distance, ne sont pas liées de manière attractive ou répulsive par une force, mais elles sont transmutées par la force nucléaire faible. Elle agit à distance en convertissant la saveur d'un quark en une autre saveur. En particulier, pour les quarks, la saveur d'isospin, I, peut prendre deux valeurs, I=1/2 ou I=-1/2.

Sa manifestation la plus courante est la radioactivité β qui transforme la saveur I=1/2 d'un quark en la saveur I=-1/2, ou vice-versa.

attentionLoi de conservation violée

La saveur n'est pas conservée par la force nucléaire faible !

La force nucléaire faible ne lie pas la matière de manière attractive ou répulsive, mais elle la transmute !

remarqueLes quarks Up et Down

Un quark qui a I=slash(1;2) est appelé un quark Up (haut), il est noté u, et un quark qui a I=-slash(1;2) est appelé un quark Down (bas), il est noté d. Par exemple, le proton est constitué de 2 quarks u et 1 quark d. Le neutron est constitué de 2 d et 1 u.


Force nucléaire faible

definitionComportement de la force nucléaire faible

La force nucléaire faible peut ainsi transformer spontanément un neutron en proton en convertissant un quark d en un quark u. On voit tout de suite que cette transformation ne peut se faire qu'en faisant intervenir d'autres particules puisque principalement la charge électrique est différente. Elle fait donc intervenir l'émission d'un électron (de charge électrique négative) et d'une autre particule élémentaire qui est l'antineutrino électronique (\bar{\nu_e}) (de charge électrique nulle, et de masse si faible que seule une limite supérieure a pu être mesurée à ce jour).

force-faible.jpg
La force nucléaire faible est une force transmutative à distance, qui change spontanément la saveur d'un quark. Elle agit sur des distances de l'ordre de la taille des quarks,~unité(10^(-18);m), et varie de 1/d^5 à 1/d^7. Lors de la transmutation, d'autres particules de matière sont crées, qui permettent d'assurer la conservation de la masse-énergie, de la charge électrique, mais aussi du couple de saveur (u, d).
Crédit : ASM/Laurence Tresse

La radioactivité

remarqueLa radioactivité béta moins

Une des manifestations courantes de la force nucléaire faible est la radioactivité β- (β- est une façon de noter l'électron e-) qui transforme un neutron en proton (voir l'illustration précédente). Elle ne change pas le nombre de nucléons A, mais la charge électrique du noyau, Z, donc l'élément obtenu sera un noyau différent, ^A_ZX^A_{Z+1}Y + e^-.

definitionLa probabilité de désintégration d'un noyau

La probabilité de désintégration radioactive décroit de facon exponentielle dans le temps. Si on a N_0 noyaux d'une même espèce à un moment donné, il en restera N(t)=N_0*exp(-lambda*t) à un temps t ultérieur. Lorsque N(t)=N_0/2, on parle de demi-vie d'un élément (t_(slash(1;2))=ln(2)/lambda avec lambda>0 la constante de décroissante exponentielle) ou de période radioactive. Le nombre de désintégrations par seconde est mesuré en becquerel (Bq). Les périodes peuvent être de quelques secondes, de quelques minutes (le carbone-11 utilisé en médecine {}^{11}_6\hbox{C}, 20 minutes), de quelques jours, de quelques années (le carbone-14 utilisé pour la datation, {}^{14}_6\hbox{C}, 5730 ans), de l'âge du soleil (l'uranium-238 contenu dans le sol terrestre, {}^{238}_{92}\hbox{U}, unité(4,5*10^9;ans)), voire supérieures à l'âge de l'univers (le calcium, {}^{40}_{20}\hbox{Ca}, >unité(13,7*10^9;ans)). De manière artificielle, on peut aussi créer de nouveaux éléments radioactifs.

radiation-symbole.jpg
Symbole signifiant la présence de radioacticité. 1000 Bq/g est la limite réglementaire de la radioactivité des substances radioactives naturelles imposant une déclaration d’activité (décret du 20 juin 1966).

Exercice : La charge électrique des quarks

exerciceLa force nucléaire faible transmute les quarks

Difficulté :   

Un quark u a une charge électrique de +(2/3)*e, un quark d de -(1/3)*e.

Question 1)

Quelle est la charge électrique du proton constitué de 2 quarks u et 1 quark d ?

Question 2)

Quelle est la charge électrique du neutron constitué de 1 quark u et 2 quarks d ?

Question 3)

La charge électrique d'un nucléon est-elle conservée lorsqu'un quark change de saveur sous l'action de la force faible ?


La force nucléaire faible : l'émission d'antimatière !

Lors de la transmutation d'un élément en un autre sous l'action à distance de l'interaction faible, des antiparticules peuvent être émises.

definitionParticules d'antimatière

Une particule élémentaire a une particule élémentaire jumelle de même masse, mais de charge électrique opposée, qui est appelée antiparticule. On parle ainsi d'antiparticules de matière (ou particules d'antimatière), et de paires de particule-antiparticule ou matière-antimatière. Une antiparticule est sujette aux mêmes forces que leur particule jumelle. Comme l'univers est composé de particules, la durée de vie d'une antiparticule est très faible, car en interagissant avec sa particule jumelle, elles s'annihilent toutes les deux en se transformant en énergie en respectant la loi de conservation de la masse-énergie.

exempleQuelques particules d'antimatière

L'antiélectron (ou positron, e+) est l'antiparticule de l'électron (e-, même masse, mais de charge électrique opposée). Il ne doit pas être confondu avec le proton (p de charge +e) qui est 200 fois plus massique !

L'antineutrino (accent(nu;barre)) est quasiment similaire au neutrino (nu) de charge électrique nulle. Ayant une masse quasi nulle (seule une limite supérieure leur est attribuée), ils ont une probabilité extrêmement faibles d'interaction : ils traversent la matière sur de très grandes distances en n'étant quasiment pas affectés.

L'antiquark (accent(q;barre)) est l'antiparticule du quark (q), de même masse, mais de charge électrique, de saveur et couleur opposées.


Exercice : L'antimatière

exerciceUn univers d'antimatière

Difficulté :   

Question 1)

A quoi ressemblerait un univers composé d'antimatière ?


Exemples courants de transmutation de la matière

exempleL'interaction faible peut se manisfester sous plusieurs formes

remarqueParticularité de l'interaction faible

Contrairement à l'interaction forte, l'interaction faible n'agit pas seulement sur les quarks, comme le couple (u, d) pour lequel la saveur est conservée, mais aussi sur les couples électron-antineutrino électronique ou antiélectron-neutrino électronique pour lesquels la saveur est aussi conservée.

force_faible_betadecay.jpg
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Exercice : L'émission de neutrinos

exerciceL'activité terrestre détectable par ses neutrinos...

Difficulté : ☆☆  

Un corps humain de unité(70;kg) contient unité(140;g) d'atomes de potassium qui a trois isotopes : {}^{39}_{19}K, {}^{40}_{19}K \hbox{et}\; {}^{41}_{19}K, et en particulier il contient unité(0,02;g) d'atomes {}^{40}_{19}K qui est un élément radioactif. Cet atome présente à 89 % une radioactivité β-, et à 11 % une radioactivité β+ ou une capture électronique. Son taux de désintégration est d'environ 4400 atomes par seconde.

Question 1)

Donnez le nombre de neutrons de chacun des isotopes de potassium.

Question 2)

Ecrivez les trois réactions (β-, β+ et capture électronique) en vous aidant du tableau des éléments.

Question 3)

Combien de neutrinos et d'antineutrinos électroniques sont émis chaque jour par un seul corps humain ? et par 7 milliards d'humains ?

Question 4)

Si on considère ceux produits par les roches terrestres (environ 2*10^14 par jour), et ceux par les centrales nucléaires (de~10^10 à 10^11 par jour), combien en sont émis par l'activité naturelle et artificielle terrestre ?

Question 5)

Comparer au nombre de ceux-ci produit par le Soleil (~ 10^18 par jour)


Arrêtons-nous quelques secondes pour un peu de terminologie....

Auteur: Laurence Tresse

Les particules élémentaires

remarqueDe la matière incassable...

Elles sont les plus petits constituants de la matière découverts à ce jour, c'est-à-dire non sub-divisibles en de plus petites entités. Elles sont des quanta de matière. Jusqu'içi, nous avons vu les électrons, les neutrinos et les quarks.

remarqueDe la matière connectée à distance...

Elles interagissent à distance selon leur masse, leur charge électrique, leur charge de couleur, leur saveur.

Les quanta d'antimatière (ou antiparticules élémentaires) ont la même masse, mais une charge électrique, une charge de couleur et une saveur opposée à leur particule jumelle de matière, elles subissent donc les mêmes forces.

remarqueDe la matière confinée fortement...

Un système constitué de trois quarks est un baryon, donc ce sont les nucléons (proton ou neutron) mais bien sûr pas les électrons, ni les neutrinos. Alors que la force forte confine toujours trois quarks, elle peut aussi confiner un quark et un antiquark, ce système est un méson.


L'état quantique des particules élémentaires

remarqueLeur état quantique détermine leur fonction...

Décrit par le spin, il détermine si les particules élémentaires sont soumises ou non au principe d'exclusion de Pauli qui ne s'applique qu'aux particules à spin demi-entier (par exemple, les électrons, les neutrinos, les quarks). Dans ce cas, les particules élémentaires sont des fermions, ils sont à la base de l'édifice de la matière. Nous verrons dans la deuxième partie, que d'autres particules élémentaires existent avec des spins entiers, ce sont des bosons, ils sont médiateurs des forces à distance entre les fermions, et permettent ainsi à la matière de se structurer.


Le groupe d'appartenance des particules élémentaires

remarqueLa force forte détermine leur groupe d'appartenance...

Les particules élémentaires qui subissent la force forte font partie de la famille des hadrons (par exemple les quarks).

Les particules élémentaires qui ne subissent pas la force forte font partie de la famille des leptons (par exemple les électrons, les neutrinos). Le nombre de leptons est conservé dans les réactions comme la radioactivité β-/β+ qui crée un couple de lepton-antilepton.


Tableaux récapitulatifs

Fermions (particules élémentaires de spin demi-entier)Masse Charge électrique Charge de couleur Saveur
Electron (e-)X XaucuneX
Neutrino électronique (νe)XaucuneaucuneX
Quark (q)XXXX
Forces subies par les fermionsElectronNeutrino Quark
Gravitéouiouioui
Electromagnétiqueouinonoui
Faibleouiouioui
Fortenon (lepton)non (lepton)oui (hadron)
Forces subies par les baryons (composés de 3 quarks)ProtonNeutron
Gravitéouioui
Electromagnétiqueouinon
Faibleouioui
Forteouioui

Conclusion

Auteur: Laurence Tresse

Exercice : Le rapport de force entre les quatres interactions

exerciceIntensité des forces

Difficulté :   

Question 1)

Les quatre interactions fondamentales reliant à distance la matière constituée de fermions ont un ordre de grandeur caractéristique qui permet de les interclasser selon leur force relative de l'une par rapport à l'autre. Considérer le cas de deux particules identiques, séparées par une distance d, et écrire l'expression du produit Forcetimesd^2 rapporté à la grandeur hc/2*pi=unité(3,16*10^(-26);N*m^(-2))(ce qui donnera un facteur sans dimension) pour la force de gravitation et pour la force électromagnétique.

Question 2)

En tenant compte de l'aide, donner l'ordre de grandeur numérique des quatres constantes de couplages, alpha_F=F*d^2/3,16*10^(-26), dans le cas de deux protons de masse unité(1,67*10^(-27);kg), et de charge électrique, unité(1,6*10^(-19);C).

Question 3)

Interclasser les quatre forces selon leur constante de couplage. Quelle force se distingue nettement ?


Sommaire des quatre forces fondamentales

rappelTableau récapitulatif des quatre forces fondamentales

Interaction fondamentaleAction de typeAction entre (fermions)Agit sur Force relativeDistance d'actionDépendance à la distance, d
Forte attractifquarkscouleur1courte (unité(10^(-15);m))1 (nucléaire)
Electromagnétique répulsif ou attractifparticules chargéescharge électrique~10^(-2) (1/137)longue (infini) slash(1;d^2)
Faible transmutatifquarks, leptonssaveur 10^(-5)très courte (unité(10^(-18);m)) de slash(1;d^5) à slash(1;d^7)
Gravitationnelle attractiftoutes les particulesmasse6*10^(-39)longue (infini) slash(1;d^2)

L'édifice de la matière grâce aux forces

force_recap.jpg
Schéma illustratif des corps de matière interagissant à distance sous l'influence des quatre forces fondamentales. Ils sont constitués de particules élémentaires de matière regroupées sous le terme de fermions. Dans la prochaine partie, nous allons aborder la seconde famille de particules élémentaires de matière, elles transmettent les forces entre les fermions, ce sont des bosons médiateurs qui se manifestent sous forme de rayonnement.
Crédit : ASM/Laurence Tresse

Addenda

Auteur: Laurence Tresse

Unification des forces ?

remarqueLe modèle standard

Un des objectifs des théoriciens est de réunir les quatre forces en une seule. Actuellement, les quatre forces sont basées sur des théories vérifiées expérimentalement.

La mécanique classique a été englobée par la mécanique quantique qui décrit les phénomènes aux échelles infimes. Les forces faibles et électromagnétiques peuvent être couplées en une seule force, dite électrofaible. Elle est aussi vérifiée expérimentalement : lorsque les particules élémentaires se deplacent à des vitesses très élevées, elles ressentent les deux forces comme une seule force combinée, à des vitesses moindres, elles ressentent les forces de manière séparées. Le couplage entre la force faible et forte est fondé théoriquement, mais il reste à être vérifié expérimentalement. Quant à la théorie quantique des champs, elle prend en compte à la fois les effets quantiques et relativistes.

La mécanique classique a été englobée également par la relativité générale qui prend en compte les effets gravitationnels et relativistes, mais pas sur des échelles quantiques.

Le lien entre la théorie quantique des champs et la relativité générale reste à ce jour à l'état d'étude.

toe.jpg
Crédit : ASM/Laurence Tresse

De la matière noire toujours inexpliquée

attentionLimites du modèle standard...

Un des problèmes pour vérifier divers modèles tentant de réunir les forces fondamentales est qu'ils mettent en jeu des énergies considérables, non réalisables en laboratoire. En effet, dans ces conditions les forces seraient vues par les particules comme une force unique, et lorsque les énergies en jeu sont moindres, les particules subiraient les forces de manière séparée. La cosmologie est un domaine privilégié d'étude pour tester les modèles, car elle met en jeu ces énergies en particulier lors des premières secondes de l'univers. Un autre problème est que les lois de la physique à ces énergies peuvent être complètement différentes de celles que nous connaissons...

La composition de l'univers reste à être élucidée, en particulier il est regroupé sous le terme "matière noire" de la matière baryonique (composée de trois quarks) et principalement non-baryonique qui nous est inconnue, mais dont les effets sont visibles dans les structures à grandes échelles de l'univers. A un moment, les neutrinos présents dans l'univers étaient des particules favorites, mais récemment la mesure supérieure de leur masse est si faible qu'ils ne sont plus considérés comme des candidats sérieux à la masse manquante (26%) dans l'univers.


QCM

Auteur: Laurence Tresse

QCM : tester vos connaissances générales

qcmLes quatre forces fondamentales

Une seule bonne réponse est possible.

Difficulté :   

1)  La force nucléaire faible est-elle responsable de la transformation d'un neutron en proton ?


2)  L'électron est-il un baryon ?


3)  La force de gravité gouverne-t-elle le mouvement des planètes ?


4)  La force de gravité maintient-elle le profil de votre corps ?


5)  La force forte retient-elle trois quarks ensemble ?


6)  Est-ce que le neutron subit la force électromagnétique ?


7)  Est-ce que les trois quarks d'un neutron sont sujets à la force électromagnétique ?


8)  Est-ce des molécules électriquement neutres peuvent être soumises à la force électromagnétique ?


9)  Le proton est-il une particule élémentaire ?


10)  L'électron est-il soumis à la force gravitationnelle ?


11)  Peut-on observer un quark libre ?


12)  Le poids est-il une masse ?


13)  Deux électrons dans un atome peuvent-ils occuper la même orbite ?


14)  La force faible est-elle la plus faible des 4 forces fondamentales ?


15)  Un électron est-il un lepton ?


16)  La déformation de l'espace-temps est-elle due à la présence de charge électrique ?


17)  Un lepton est-il soumis à la force forte ?


18)  La pesanteur est-elle une accélération ?


19)  Les états liquide et solide sont-il dus à la force de gravité ?


20)  Une antiparticule a-t-elle une masse négative ?


21)  La pesanteur terrestre en un point donné du globe terrestre est-elle exactement égale à la force de gravité M_terre*G/R_terre^2 ?


22)  Les quatre forces sont-elles vérifiées expérimentalement de manière séparée ?



QCM : tester vos connaissances approfondies

qcmLes quatre forces fondamentales

Une seule bonne réponse est possible.

Difficulté : ☆☆  

1)  L'attraction entre deux corps matériels de masse m et M est proportionnelle à la distance d en :



2)  Un baryon est composé de :



3)  L'uranium a pour numéro atomique Z=92. Combien de neutrons et de protons contient l'isotope {}^{238}_{92}U :




4)  Le cation de manganèse {}_{25}Mn^{2+} contient :



5)  Un baryon a une charge de couleur :



6)  L'émission β- emet :




7)  Soit N_0 le nombre de noyaux radioactifs d'un élément chimique à l'instant t_0 et N le nombre à l'instant t. La période radioactive t de ce noyau atomique est définie lorsque :



8)  Un noyau dit radioactif se désintègre spontanément selon la loi :




9)  Lorsqu'un noyau atomique {}^{A}_{Z}X capte un électron e^{-}, quel est le produit obtenu ?



10)  Lorsqu'un repère a une vitesse relativiste (v>0,3*c), le temps mesuré hors ce repère est :



11)  Lorsque des particules chargées sont en mouvement, l'expression de la force électromagnétique est :




12)  Un quark est soumis :




13)  Selon le Principe de Pauli, une case quantique d'un atome peut contenir :




14)  Le fermion et le boson sont :


15)  Un Pascal correspond à :



16)  Entre la Terre et la Lune, il existe un point P où l'attraction terrestre est égale à l'attraction de la Lune. Quelle égalité est-elle vérifiée en ce point ?






Réponses aux QCM

pages_kezako-lumiere/bog-qcm-ondes.html

QCM 'Indices et longueurs d'onde'

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QCM

pages_lsd-reflexion/lsd-rfx-mise-en-evidence.html

QCM

pages_lsd-refraction/lsd-rfr-mise-en-evidence.html

QCM

pages_lsd-refraction/lsd-rfr-mise-en-evidence.html

QCM

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QCM

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QCM

pages_lmc/lm-ov-ir.html

QCM 'On constate que'

pages_lmd/lmd-or-iv.html

QCM 'On constate que'

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QCM 'Objet virtuel à travers une lentille divergente'

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QCM 'Les quatre forces fondamentales'

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QCM 'Les quatre forces fondamentales'


Réponses aux exercices

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Exercice 'Expérience de Olaüs Römer'


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Exercice 'Éclipse solaire'


pages_lois-snell-descartes/lsd-rfx-exercices.html

Exercice 'Dièdre'


pages_lois-snell-descartes/lsd-rfx-exercices.html

Exercice 'De l'utilité du dièdre'


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Exercice


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Exercice


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Exercice 'Petits calculs'


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Exercice 'Prisme à réflexion totale'


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Exercice 'Une histoire de pièce...'


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Exercice 'Quelques grandissements'


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Exercice 'Quelques grandissements (2)'


pages_lentilles-minces/lm-grd-exo2.html

Exercice 'Formule de Newton'


pages_lentilles-minces/lm-rc-exos.html

Exercice 'Condition de formation d'image'


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Exercice 'Objet en aval du foyer principal objet d'un miroir concave'


pages_miroirs-spheriques/ms-cvx-or-iv.html

Exercice 'Objet réel devant un miroir convexe'


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Exercice 'Compact numérique'


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Exercice 'Correction de l'hypermétropie'


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Exercice 'Tour Eiffel'


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Exercice 'Observation de Jupiter'


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Exercice 'Observation de la Lune'


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Exercice 'La grande lunette de Meudon'


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Exercice 'Taille de la tache de diffraction'


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Exercice 'L'accélération'


pages_forces/force-gravitation-masse-excercice-2-a.html

Exercice 'Une pesanteur non uniforme à la surface terrestre...'


pages_forces/force-gravitation-masse-excercice-2-b.html

Exercice 'Mise en orbite...'


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Exercice 'Se libérer de la pesanteur...'


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Exercice 'La sphère de Hill ou de Roche'


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Exercice 'Lieux privilégiés de la gravité relativiste'


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Exercice 'Induction magnétique'


pages_forces/force-electromagnetique-charge-exercice-2.html

Exercice 'Interactions entre l'électron et le proton'


pages_forces/force-electromagnetique-ions-exercice.html

Exercice 'L'eau de mer est fortement ionisée'


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Exercice 'Les états quantiques de l'hydrogène et de l'oxygène'


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Exercice 'Une forteresse gigantesque pour trois quarks...'


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Exercice 'Intensité des forces'