Ex: Les racines des polynômes de Legendre

Notez que a racines. Elles sont non disctinctes car il s'agit de et chacune d'elles étant d'ordre .

Les racines étant d'ordre m, on a et pour tout , où

Appliquer le théorême de Roll au polynôme sur l'intervalle

On a donc qui s'annulle en , et (ces trois racines sont distinctes)

Appliquer le théorême de Roll au polynôme sur l'intervalle , puis sur . On a donc les racines , , et (ces quatres racines sont distinctes). Rédigez ensuite la récurrence. Une rédaction propre n'est pas si aisée. Faites la avec soin et choissisez bien vos notations (par exemple, bien différencier l'indice du polynôme et l'indice de la récurrence).