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L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques

L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques

Fonction d'une variable réelle : dérivabilité

Théorème des accroissements finis

• Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

• Ex: Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

• Les racines des polynômes de Legendre

• Ex: Les racines des polynômes de Legendre

• Projection de Mollweide

• Ex : projection de Mollweide

Ex: Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Auteurs: Alain Vienne, Marc Fouchard

Auteur: Alain Vienne

Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Soit un polynôme à coefficients réels de la forme:

f(r)=r^8 + a_6 r^6 + a_3 r^3 + a_0

On sait que a_0 < 0 et qu'il existe au moins 2 solutions distinctes strictement positives.

Question 1)

Calculer f'(r) et étudier le polynôme $g(r)=\frac{f'(r)}{r^2}$ dans le cas où $a_6 \ge 0$

Question 2)

En déduire que a_6 est strictement négatif

Question 3)

Montrer que s'annule en un point $\beta$ positif

Question 4)

g'(r) peut donc s'écrire $g'(r)=40 r^2 (r-\gamma ) (r+\gamma )$ (avec $\gamma$ positif). Monter que $g(\gamma ) \le 0$ .

Question 5)

Monter que $g(- \gamma ) > 0$ .

Question 6)

Montrer que s'annule en $\beta_1$ , $\beta_2$ et $\beta_3$ tels que $\beta_1<-\gamma < \beta_2 < + \gamma < \beta_3$

Question 7)

Etudier les 2 cas $\beta_1 < \beta_2 < 0 < \beta_3$ et $\beta_1 < 0 < \beta_2 < \beta_3$ . Monter que le premier cas est impossible et que le deuxième cas conduit à une ou trois racines positives

Question 8)

Conclure.