Ex : projection de Mollweide

Question 1)

Nous allons commencer par étudier la fonction:

$f (\theta)=\arcsin \left( \frac{2\theta+\sin(2\theta)}{\pi}\right)$ ,

sur l'intervalle $I=[-\pi/2,\pi/2]$ .

Montrer que est définie et continue sur et qu'elle est impaire.

Solution

Question 2)

Montrer que est dérivable sur $]-\pi/2, \pi/2[$ , puis en prolongeant par continuité sur .

Aide Solution

Question 3)

En déduire que est strictement croissante de dans lui-même et donc qu'il existe une fonction réciproque, notée . Déterminer les propriétés principales de et en particulier que $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$

Solution

Question 4)

On remarque que pour $\phi$ donné, $g(\phi)$ est la solution de l'équation (*).

En déduire l'image des points, ou des ensembles de points suivants, par la projection de Mollweide :

points de latitude nulle.
pôles.
deux méridiens de longitude $\lambda = \pm \pi/2$ .
deux méridiens de longitude $\lambda = \pm \pi$ .
parallèle de latitude $\phi$ .

Solution

Question 5)

La fonction n'est pas définie analytiquement. On va montrer ici qu'on peut estimer $g(\phi)$ par la méthode de Newton-Raphson. Soit $h_\phi$ la fonction définie sur $[-\pi/2,\pi/2]$ par :

$h_\phi(\theta)=2\theta+\sin(2\theta)-\pi\sin \phi$ .

Résoudre l'équation (*) revient donc à résoudre $h_\phi(\theta)=0.$

Montrer que si $h_\phi(\theta)=0$ alors $h_{-\phi}(-\theta)=0$ et que si $\phi\in[0,\pi/2]$ alors la solution de $h_\phi(\theta)=0$ est dans $[0,\pi/2]$ . De même montrer que h_0(0)=0 et $h_{\pi/2}(\pi/2)=0$ .

Solution

Question 6)

Ainsi on peut se limiter à résoudre $h_\phi(\theta)=0$ pour $\phi\in]0,\pi/2[$ . On sait déjà que la solution se trouve dans $]0,\pi/2[$ d'après la question 3. Montrer que, pour $\phi\in]0,\pi/2[$ , est définie continue dérivable et strictement croissante sur $[0,\pi/2[$ et que sa dérivée est définie continue, strictement positive et strictement décroissante sur $[0,\pi/2[$ .

Solution

Question 7)

Soit $\theta_S$ la solution de $h_\phi(\theta)=0$ . Soit $\theta_0 \in [0,\theta_S[$ . On note $S(\theta_S,0)$ et $A_0(\theta_0,h(\theta_0))$ les points de la courbe représentative $\mathcal{H}$ de dans un repère orthonormé. On note $B_1(\theta_1,0)$ , le point d'intersection de la tangente en A_0 à $\mathcal{H}$ avec l'axe des abscisses. Montrer que $\theta_1=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)}$ et que $\theta_0 < \theta_1 < \theta_S$ .

Aide Solution

Question 8)

Montrer que la suite définie par $\theta_0=0$ et $\theta_{n+1}=\theta_n-\frac{h_\phi(\theta_n)}{h_\phi'(\theta_n)}$ converge vers $\theta_S$ .

Convergence de la méthode de Newton-Raphson

La convergence de cette suite dépend fortement du choix de $\theta_0$ . La figure ci-dessous montre le nombre d'itérations nécessaires pour attendre un précision relative de l'ordre de $10^{-12}$ sur $\theta_S$ en fonction de $\theta_0$ et $\phi$ . On voit que pour certains choix la convergence est très mauvaise voire impossible. Par contre avec $\theta_0=0$ , la méthode converge pour toute valeur de $\phi$ même si ce n'est pas le choix optimal.