Ex: Description épicyclique du mouvement keplerien

Auteurs: Alain Vienne, S. Renner

Auteur: S. Renner

Description épicyclique du mouvement keplerien

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Introduction

Dans le problème à deux corps, on considère le mouvement d'une particule sur une ellipse de foyer et de demi-grand axe . On note le moyen mouvement de la particule, et son anomalie vraie.

Soit un point fictif tournant autour du foyer sur une orbite circulaire de rayon égal au demi-grand axe de , avec une vitesse angulaire égale au moyen mouvement de la particule. On note l'angle entre la ligne et la direction du péricentre de la particule (c'est donc l'anomalie moyenne de et on a n = dM/dt ).

Remarque

Les questions 5 à 8 correspondent exactement à la représentation de Ptolémée du mouvement du Soleil autour de la Terre : un mouvement circulaire de rayon R=a avec la Terre au foyer , et uniforme par rapport à (appelé l'équant). Le modèle de Ptolémée était donc du premier ordre en excentricité, et le triomphe de Kepler fut d'élaborer une théorie à l'ordre 2.

Question 1)

Ecrire les coordonnées x, y de dans le repère orthonormé ( $G$ , ${\bf \hat{x}}$ , ${\bf \hat{y}}$ ) tel que ${\bf \hat{x}}={\bf FG}/a$ .

Solution

Question 2)

A partir de la loi des aires, montrer que: $\displaystyle dM= \frac{(1-e^2)^{3/2}}{(1+e \cos f)^2} df$ .

Solution

Question 3)

Ainsi en intégrant on obtient: $\displaystyle M= (1-e^2)^{3/2} \int_0^{f} \frac{du}{(1+e \cos u)^2}$ . Montrer à l'aide de cette relation que $\displaystyle f-M \simeq 2 e \sin M + O(e^2)$ .

Solution

Question 4)

En déduire que par rapport à , la particule suit une orbite elliptique de demi-grand axe 2ae et de demi-petit axe . Dans quel sens s'effectue ce mouvement et avec quelle période?

Solution

Question 5)

Soit la distance entre et le centre de l'ellipse. Montrer que $\displaystyle R \simeq a (1 - \frac{1}{2} e^2 \sin ^2 M)$ .

Solution

Question 6)

Montrer qu'au premier ordre en excentricité, la trajectoire de est alors un cercle centré sur , et que l'angle $\widehat{POF}$ est confondu avec l'anomalie excentrique .

Solution

Question 7)

On note l'angle $\widehat{FF'P}$ , où est le second foyer (vide) de l'ellipse. Ecrire $\cos g$ et en déduire que $cos g \simeq \cos M + O(e^2)$ . On rappelle que FP+F'P=2a , et on utilisera le développement: $r/a \simeq 1 - e \cos M + (e^2/2)(1 \cos 2 M)$ (voir cet exercice).

Solution

Question 8)

Ainsi, le mouvement de la particule , vu du foyer , est uniforme avec une vitesse angulaire égale au moyen mouvement . Que peut-on dire des droites F'P et ?

Solution