Les outils mathématiques en astronomie

Introduction
Importance des approximations
- L'orbite de la planète Mars
- Ex: L'orbite de la planète Mars
- Précession du périastre
- Ex: Précession du périastre
Dimensions et unités
- Dimensions et unités physiques
- Equation aux dimensions
- En savoir plus: Analyse dimensionnelle
- Ex: analyse dimensionnelle
Obtention pragmatique de développements
- Séries du problème des 2-corps
- Ex : Séries du problème des 2-corps
- Séries du problème des 2-corps (Lagrange)
- Ex : Séries du problème des 2-corps (Lagrange)
- Description épicyclique du mouvement keplerien
- Ex: Description épicyclique du mouvement keplerien
- Sphère d'influence
- Ex: Sphère d'influence

Introduction

On trouvera dans cette section quelques rappels essentiels de Physique:

Notion de grandeur physique, équation aux dimensions
Approximations numériques
Utilisation de développements limités

On pourra reconstruire et caractériser l'orbite de la planète de la planète Mars, en utilisant les données d'observation historiques de Tycho Brahé, ou s'intéresser au phénomène de précession du périastre.

Ces deux applications permettent de se familiariser avec l'importance des approximations en astronomie ou en physique en général.

A l'aide de développements, on pourra s'intéresser à la description épicyclique du mouvement keplerien ou à la notion de sphère d'influence.

Importance des approximations

Auteur: S. Renner

L'orbite de la planète Mars

Auteur: S. Renner

Date de création: 17 février 2009

L'objectif de cet exercice est d'établir les caractéristiques de l'orbite de la planète Mars, en utilisant les données d'observation de Tycho Brahé, celles-là mêmes qui furent utilisées par Kepler.

On suppose que les mouvements des planètes s'effectuent dans le même plan, qui est celui de l'écliptique. La position des planètes est alors repérée par une coordonnée, la longitude écliptique. On choisit pour origine des longitudes la direction du point vernal (noté $\gamma$ ). La tableau ci-dessous rassemble les données concernant 5 couples d'observations de Mars, effectuées par Tycho Brahé. On y indique la longitude écliptique géocentrique du Soleil, notée l_S (c'est-à-dire l'angle, mesurée depuis la Terre, entre la direction du Soleil et celle du point vernal), et la longitude écliptique géocentrique de Mars, notée l_M (angle vu de la Terre entre la direction de Mars et celle du point vernal).

	DATE	${\bf l_S}$	${\bf l_M}$
1a	17/02/1585	339°23'	135°12'
1b	05/01/1587	295°21'	182°08'
2a	19/09/1591	185°47'	284°18'
2b	06/08/1593	143°26'	346°56'
3a	07/12/1593	265°53'	3°04'
3b	25/10/1595	221°42'	49°42'
4a	28/03/1587	16°50'	168°12'
4b	12/02/1589	333°42'	218°48'
5a	10/03/1585	359°41'	131°48'
5b	26/01/1587	316°06'	184°42'

Ex: L'orbite de la planète Mars

Auteur: S. Renner

Orbite de Mars

Difficulté : ☆ Temps : 2h30

Question 1)

L'observation de Mars en opposition a fourni la période qui sépare ces oppositions, ou période synodique notée $T_{syn}$ . Cette période est égale à 780 jours.

En déduire la valeur de la période sidérale de mars, que l'on notera T_M .

Question 2)

Calculer la durée qui sépare les 2 dates successives de chaque couple d'observations. Quelle conclusion peut-on en tirer?

Question 3)

Trouver la relation entre la longitude écliptique héliocentrique de la Terre L_T (angle entre la direction de la Terre et celle du point vernal mesurée depuis le Soleil) et la longitude géocentrique du Soleil l_S . Calculer L_T pour chacune des dates du tableau.

Question 4)

Représenter sur une feuille de papier millimétré l'orbite de la Terre par un cercle de centre (Soleil) et de rayon égal à 5 cm. Choisir la direction du point vernal selon une des lignes du papier.

Pour chacun des 5 couples d'observations, construire:

la première position T_ide la Terre sur son orbite et la direction T_ix de Mars telle qu'on l'observe depuis la Terre
la seconde position T'_i de la Terre sur son orbite et la direction T'_ix' de Mars

Montrer que le point M_i représentant Mars est à l'intersection des deux demi-droites T_ix et T'_ix'.

On déterminera ainsi les 5 positions de M₁, M₂, M₃, M₄ et M₅ de Mars.

Question 5)

Vérifier que ces 5 points ne sont pas sur un cercle centré sur le Soleil.

Dans ce qui suit, on admet que l'orbite de Mars est une ellipse de faible excentricité, dont la forme ne diffère pas significativement de celle d'un cercle, mais dont le centre n'est pas le Soleil.

Pour déterminer le rayon de ce cercle, on partira d'une première approximation qui est la moyenne des 5 rayons SM_i. On tracera le cercle ayant ce rayon sur une feuille de papier calque et on cherchera, par tâtonnement, à le faire passer au mieux parmi les 5 points M_i. Si le rayon du cercle est trop petit, la majorité des points se trouveront toujours à l'extérieur du cercle; inversement, s'il est trop grand, la majorité des points se trouveront toujours à l'intérieur. On modifiera donc le rayon de ce cercle, millimètre par millimètre, pour qu'il passe au mieux parmi les 5 points. Soit alors la valeur du rayon de ce cercle.

Autre possibilité: connaissant la période sidérale de Mars, calculer son demi-grand axe en UA (unité astronomique, égale à la distance moyenne Terre-Soleil, soit 149 597 871 km). Tracer le cercle correspondant à cette orbite et estimer une erreur en mm sur les positions de Mars.

Question 6)

Mesurer la distance du centre du cercle ainsi déterminé au point (Soleil). En déduire l'excentricité de l'orbite e=CS/a .

Calculer la valeur du petit axe de l'ellipse, et discuter la validité de l'approximation faite ici, qui a conduit à assimiler l'ellipse à un cercle de rayon .

Question 7)

Sachant que l'excentricité de la Terre est 0.016, l'approximation de l'orbite de la Terre par un cercle centré sur le Soleil est-elle justifiée?

Question 8)

Quelle est la distance minimale de Mars à la Terre lors d'une opposition? A quelle date de l'année ces oppositions favorables se produisent-elles? Quelle est la distance maximale de Mars à la Terre lors d'une opposition? A quelle date de l'année ces oppositions défavorables se produisent-elles?

Question 9)

Afin de vérifier la loi des aires, mesurer l'aire balayée par le rayon-vecteur Soleil-Mars entre le 6 août et le 7 décembre 1593 et celle balayée entre le 26 janvier et le 28 mars 1587. En déduire la valeur moyenne de l'aire balayée par jour dans chacun des deux cas. On pourra, pour cela, compter les carreaux du papier.

Précession du périastre

Auteur: S. Renner

Date de création: 06 janvier 2011

L'objectif de cet exercice est de quantifier la précession du périastre d'un satellite en orbite autour d'un corps central légèrement aplati aux pôles.

Il est conseillé de s'intéresser au préalable à la résolution du problème à 2 corps.

Ex: Précession du périastre

Auteur: S. Renner

Précession du périastre

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On considère le mouvement d'un satellite de masse $m$ par rapport à un corps central de masse $M$ et de rayon $R$ . On note $a$ le demi-grand axe du satellite, sa distance au corps central, et $e$ son excentricité supposée faible (<<1).

Sous l'effet de sa rotation, le corps central est légèrement aplati aux pôles. En conséquence, le potentiel gravitationnel pour un satellite évoluant dans le plan équatorial est donné par : $\displaystyle V(r)= - \frac{G M}{r} \Big{(} 1 + \alpha \frac{R^2}{r^2} \Big{)},$ où $\alpha$ est une constante <<1 qui caractérise l'applatissement. On peut montrer qu'alors l'équation du mouvement du satellite s'écrit: $\displaystyle \frac{d^2}{d\theta^2} \Big{(} \frac{1}{r} \Big{)} + \frac{1}{r} = \frac{GM}{C^2} + \frac{3 \alpha GM R^2}{C^2 r^2} \equiv K_1 + \frac{K_2}{r^2},$ où $\theta$ est la position angulaire du satellite sur sa trajectoire (anomalie vraie), et $C=r^2 \dot{\theta}$ le moment cinétique.

Question 1)

Comparer K_1 et $\frac{K_2}{r^2}$ , et en déduire que la trajectoire du satellite est peu modifiée sous l'effet de l'applatissement du corps central, par rapport au problème à 2 corps classique.

Question 2)

Montrer que la solution de l'équation du mouvement peut s'écrire: $\displaystyle r = \frac{q}{1+e \cos (1+ \epsilon) \theta},$ avec $\epsilon$ <<1, et exprimer et $\epsilon$ en fonction de $a$ , $e$ , $R$ et $\alpha$ .

Question 3)

Quelle est alors l'allure de la trajectoire? Exprimer l'avance $\Delta \theta$ du périastre de la trajectoire, c'est-à-dire l'angle dont les axes de l'ellipse ont tourné après une révolution du satellite.

Question 4)

Déterminer:

a) l'avance du périgée d'un satellite artificiel d'altitude h=1000 km autour de la Terre ( $R= 6378$ km, $\alpha=542 \times 10^{-6}$ ).

b) l'avance du périastre du satellite Pan ( a=133583 km et période orbitale T=0.575 jours) autour de Saturne ( R=60268 km, $\alpha=8149 \times 10^{-6}$ ).

c) l'avance du périhélie de Mercure ( a=0.387 UA $\simeq 58 \times 10^{6}$ km, $T \simeq 88$ jours) autour du Soleil ( R=696000 km, $\alpha = 10^{-5}$ ). La précession observée du périhélie de Mercure s'élève en fait à 43''/ siècle. Commenter.

Dimensions et unités

Auteur: Stéphane Erard

Dimensions et unités physiques

Les formules mathématiques utilisées en Astronomie définissent des relations entre grandeurs physiques. Ces grandeurs ont une dimension physique, et sont mesurées dans une certaine unité.

La dimension est inhérente à une grandeur physique, sa valeur est fonction de l'unité utilisée. On distingue sept types de grandeurs physiques, ou dimensions, indépendantes. Toute quantité physique peut s'exprimer comme combinaison de ces grandeurs de base.

Le système officiel en vigueur est le SI (Système International d'unités) ou MKSA, qui définit les unités de mesure des sept grandeurs indépendantes (voir par exemple la définition de la seconde). Différents systèmes d'unités ont été utilisés au cours de l'histoire, et d'autres systèmes sont en usage dans des domaines particuliers. En Astronomie, on utilise couramment des unités en rapport avec les phénomènes étudiés, par exemple l'unité astronomique, l'année-lumière, le parsec, ou le décalage vers le rouge pour les distances.

Table 1
Grandeur de base	Dimension	Unité S. I.	Symbole S. I.
Longueur	L	mètre	m
Masse	M	kilogramme	kg
Temps	T	seconde	s
Intensité de courant	I	Ampère	A
Température	Θ	Kelvin	K
Quantité de matière	N	mole	mol
Intensité lumineuse	J	candela	cd

Deux autres grandeurs sont utilisées en complément de celles-ci. Elles sont dépourvues de dimension physique (elles peuvent être comprises comme des rapports de longueurs ou de surfaces), mais peuvent s'exprimer dans différentes échelles. En pratique, on préfère l'échelle qui n'introduit pas de coefficient dans les fonctions trigonométriques (en radians, par opposition aux degrés pour les angles plats).

Table 2
Grandeur dérivée	Dimension	Unité S. I.	Symbole S. I.
Angle plan	1	radian	rad
Angle solide	1	stéradian	sr

Ecrire une équation aux dimensions consiste à remplacer dans une formule les grandeurs par leurs dimensions et à négliger les coefficients de proportionnalité.

Exemple

La définition de la vitesse donne la dimension physique de cette grandeur :

$v= \frac{dx}{dt}$

L'équation aux dimensions est :

$[V] = LT^{-1}$

et la vitesse se mesure en m/s dans le Système International.

Equation aux dimensions

On peut toujours multiplier ou diviser des grandeurs quelconques entre elles, mais on ne peut additionner que des grandeurs physiques de même dimension — l'inverse reviendrait littéralement à additionner les torchons et les serviettes.

Les équations ou formules doivent donc être homogènes : chaque membre (et chaque terme) d'une équation doit avoir la même dimension physique. La vérification de l'homogénéité d'une formule ou d'un résultat de calcul doit être un réflexe en physique : c'est un moyen efficace pour éliminer les erreurs de calcul, et éviter les non-sens.

Exemple

Le principe fondamental de la dynamique donne la dimension physique de la force :

$f = m \frac{d^2r}{dt^2}$

L'équation aux dimensions est :

$[F]= MLT^{-2}$

et l'unité SI de la force est le $kg\;m\;s^{-2}$ (couramment appelée Newton).

Les constantes qui apparaissent dans les lois physiques ont également une dimension. On peut dériver celle-ci en posant l'équation aux dimensions. La valeur numérique dépend encore une fois du système d'unités utilisé.

Exemple

L'attraction universelle (loi de Newton) s'écrit :

$F= \frac{Gmm'}{r^2}$

où G est la constante de gravitation. La dimension de G est donc

$[G]= [F]L^2M^{-2}=L^3T^{-2}M^{-1}$

La valeur numérique doit se mesurer expérimentalement, et dépend du système d'unités adopté.

Les fonctions mathématiques n'acceptent que des arguments sans dimension, ou dédimensionalisés. En pratique, ce sont des nombres purs ou des rapports de quantités de même grandeur.

Exemple

L'équation de Boltzmann donne la population d'un niveau d'énergie atomique ou moléculaire en fonction de la température :

$N_i \propto e^{- \frac{E_i}{kT}}$

La quantité kT est donc homogène à une énergie.

On peut en déduire la dimension physique de la constante de Boltzmann k :

La dimension d'une énergie est donnée par exemple par $E = \frac{1}{2}m v^2$

On a donc $E = ML^2T^{-2}$ (l'unité SI est le $kg\;m^2\;s^{-2}$ , couramment appelée Joule)
La dimension de la constante de Boltzmann est donc $[k] = ML^2T^{-2}K^{-1}$ . La valeur de k est donnée en J/K en SI.

Les équations aux dimensions permettent également de dériver les ordres de grandeur de phénomènes physiques, éventuellement en utilisant des modèles dérivés d'hypothèses simples.

Exemple

L'équation barométrique dérive d'un modèle basique d'atmosphère isotherme. Elle donne la pression P en fonction de l'altitude z sous ces hypothèses très simplifiées :

$P(z) = P_0\; e^{-\frac{Mgz}{RT}}$

où P_0 est la pression au sol, M la masse molaire moyenne, R la constante des gaz parfaits, g l'accélération de la pesanteur, et T la température (supposée constante) de l'atmosphère.

La quantité h = RT/Mg est donc homogène à une distance — c'est l'altitude à laquelle la pression est réduite d'un facteur 2,7 dans ce modèle. Elle est appelée échelle de hauteur, et donne une estimation de l'épaisseur de la basse atmosphère des planètes.

On peut l'évaluer dans la troposphère terrestre :

$M \sim 28 \ 10^{-3} kg \, mol^{-1}$ (masse molaire de l'azote, principal constituant)

T ~ 280 K (température au sol)

$g \simeq 10\; ms^{-2}$

$R \simeq 8\; JK^{-1}mol^{-1}$

Ce qui donne pour l'échelle de hauteur h ~ 8 km.

De façon similaire, chaque grandeur possède une dimension tensorielle : scalaire, vecteur, ou tenseur d'ordre supérieur. La dimension tensorielle se préserve de la même façon que la dimension physique (chaque terme d'une équation doit avoir la même dimension tensorielle).

Exemple

Le principe fondamental de la dynamique peut s'écrire de manière vectorielle, et donne la direction de la force :

$\vec{f} = m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

On peut aussi l'écrire de manière scalaire en utilisant les normes :

$f = m \frac{d^2r}{dt^2}$

Les tenseurs d'ordre 2 sont utilisés pour décrire des quantités qui en chaque endroit dépendent aussi de la direction. Des exemples de tenseurs d'ordre 2 sont donnés par le tenseur métrique de la relativité générale, ou par les tenseurs de contrainte et de déformation en mécanique des milieux continus.

En savoir plus: Analyse dimensionnelle

L'analyse des dimensions d'un problème complexe permet de prédire la forme d'une loi physique, dans le cas fréquent où elle s'exprime comme produit des grandeurs qui interviennent.

Théorème de Vaschy-Buckingham

Si une loi physique s'écrit comme une relation entre n grandeurs indépendantes ayant k dimensions physiques indépendantes : $\Psi(a_1;a_2;\dots;a_n) = 0$

on peut l'exprimer comme une relation entre (n-k) nombres sans dimensions : $\Phi(C_1;C_2;\dots;C_{n-k}) = 0$

ceux-ci étant des produits de puissances des grandeurs de départ : $C_i = \prod a_j^{\alpha_j}$

En particulier, si (n-k) = 2 on peut toujours écrire C_1 = f(C_2)

Ex: analyse dimensionnelle

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

On étudie les oscillations d'un pendule à l'aide d'une simple analyse dimensionnelle. Enumérer les paramètres physiques qui interviennent dans ce problème.

Question 2)

Combien de grandeurs et de dimensions indépendantes interviennent dans le problème ? Combien de nombres sans dimension peut-on construire avec celles-ci ?

Question 3)

Dériver ces nombres sans dimension.

Question 4)

Ecrire une relation décrivant le problème. Commenter.

Obtention pragmatique de développements

Auteurs: Alain Vienne, S. Renner

Séries du problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

Souvent, lorsque l'on considère le problème des 2 corps et quand l'excentricité de l'orbite est petite, on a besoin de l'approximation suivante:

$V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$

$\frac{r}{a}=(1+\frac{e^2}{2})-e\cos M - \frac{e^2}{2} \cos 2M +O (e^3)$

et sont les coordonnées polaires du corps, étant compté à partir du péricentre (anomalie vraie). est le temps ou plus précisément c'est l'anomalie moyenne $M=\frac{2\pi}{T} (t-t_0)$ avec la période, le temps et t_0 l'instant de passage au péricentre. et sont respectivement le demi-grand axe et l'excentricité de l'orbite.

Dans l'exercice qui est proposé ci-après, on utilisera en plus des anomalies moyennes et vraies, l'anomalie excentrique. L'animation qui est donnée ici visualise leur évolution dans le cas d'une excentricité de 0,7.

Evolution des 3 anomalies (respectivement vraie, excentrique et moyenne)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou

Si l'existence des développements ci-dessus est admise, l'astronome s'autrorise alors une démarche pragmatique pour les obtenir. Sa démarche n'a pas la rigueur du mathématicien. Dans le cas présenté ici, elle n'a pas non plus une grande efficacité si on souhaite "pousser" le développement plus loin en ordre.Elle a le seul avantage de pouvoir "se tirer d'affaire" dans le cas qui le préoccupe.

Dans l'exercice qui est proposé, on utilisera au besoin le développement de Taylor, l'intégration d'un développement, la substitution de développements.

Exercices reliés

Pour la recherche de la solution du problème des 2-corps, on peut voir cet exercice. Il y aussi celui qui utilse le théorème de Lagrange. D'autres exercices sur le problème de 2 corps existent sur ce site. On en trouvera, entre autres, sur l'équation de Kepler et son inversion, sur les solutions géométriques du problème de 2 corps, sur le problème de 2 corps perturbé et sur l'excentricité limite dans les développements du problème de 2 corps.

Ex : Séries du problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

Séries du problème des 2-corps

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Introduction

Quand on intègre le problème des 2-corps, la loi des aires permet d'écrire:

$M=(1-e^2)^{3/2} \int_0^V \frac{dv}{(1+e \cos v)^2}$

Question 1)

On utilisant cette relation et en négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3 en excentricité, montrer que l'on a:

$M=V-2e \sin V +\frac{3}{4}e^2 \sin 2V + O(e^3)$

Question 2)

On sait que $\frac{r}{a} = 1 - e \cos E$ et $M=E-e\sin E$ ( est l'anomalie excentrique). En déduire le développement de $\frac{r}{a}$ en puissance de et en fonction de (limité à l'ordre 2)

Question 3)

A partir du développement obtenu à la première question, déduire celui qui donne en fonction de (limité à l'ordre 2 en ).

Remarque

Dans cette dernière question, le calcul est fait "en crabe", il faut donc veiller à la discussion sur l'ordre en excentricité. Plus généralement, tous ces calculs supposent l'existence des développements recherchés. Cette supposition et l'unicité ont permis d'éviter de se soucier des conditions d'application des théorèmes utilisés.

Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Auteur: S. Renner

Date de création: 10 avril 2013

Dans le problème des 2 corps, lorsque l'excentricité de l'orbite est petite, on peut écrire :

$V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ ,

où est l'angle entre la direction du péricentre et la position du corps sur son orbite (anomalie vraie), est le temps ou plus précisément l'anomalie moyenne $M=\frac{2\pi}{T} (t-t_0)$ , avec la période, le temps et t_0 l'instant de passage au péricentre.

L'animation donnée ci-après montre l'évolution des anomalies vraie et moyenne (et excentrique) dans le cas d'une excentricité e=0.7 .

Evolution des 3 anomalies (respectivement vraie, excentrique et moyenne)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou

Dans l'exercice proposé, on établit le développement ci-dessus à l'aide du théorème d'inversion de Lagrange.

Ex : Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Auteur: S. Renner

Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Introduction

Quand on intègre le problème des 2-corps, la loi des aires permet d'écrire:

$M=(1-e^2)^{3/2} \int_0^V \frac{dv}{(1+e \cos v)^2}$

Question 1)

On utilisant cette relation et en négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3 en excentricité, montrer que l'on a:

$M=V-2e \sin V +\frac{3}{4}e^2 \sin 2V + O(e^3)$

Question 2)

Utiliser le théorème d'inversion de Lagrange pour montrer que $V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ .

Description épicyclique du mouvement keplerien

Auteur: S. Renner

Date de création: 3 février 2010

Souvent en dynamique du système solaire, l'excentricité est très faible, et il est donc utile de considérer des approximations au premier ordre en excentricité, en particulier pour des systèmes vus dans des repères tournants. Cette approche est par exemple intéressante pour décrire la dynamique des anneaux planétaires, ou les effets de l'aplatissement d'une planète sur les orbites de satellites.

On propose ici un exercice qui porte sur la description du mouvement keplerien par des épicycles : le mouvement elliptique d'une particule P autour d'un foyer F est vu dans un repère centré sur un point G (le centre guide) en orbite circulaire uniforme autour de F (de rayon a égal au demi-grand axe de la particule, et de vitesse angulaire égale au moyen mouvement $n=2 \pi/T$ , où est la période orbitale de P).

L'exercice est largement inspiré du livre Solar System Dynamics (C.D. Murray & S.F. Dermott, 1999).

Ex: Description épicyclique du mouvement keplerien

Auteur: S. Renner

Description épicyclique du mouvement keplerien

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Introduction

Dans le problème à deux corps, on considère le mouvement d'une particule sur une ellipse de foyer et de demi-grand axe . On note le moyen mouvement de la particule, et son anomalie vraie.

Soit un point fictif tournant autour du foyer sur une orbite circulaire de rayon égal au demi-grand axe de , avec une vitesse angulaire égale au moyen mouvement de la particule. On note l'angle entre la ligne et la direction du péricentre de la particule (c'est donc l'anomalie moyenne de et on a n = dM/dt ).

Remarque

Les questions 5 à 8 correspondent exactement à la représentation de Ptolémée du mouvement du Soleil autour de la Terre : un mouvement circulaire de rayon R=a avec la Terre au foyer , et uniforme par rapport à (appelé l'équant). Le modèle de Ptolémée était donc du premier ordre en excentricité, et le triomphe de Kepler fut d'élaborer une théorie à l'ordre 2.

Question 1)

Ecrire les coordonnées x, y de dans le repère orthonormé ( $G$ , ${\bf \hat{x}}$ , ${\bf \hat{y}}$ ) tel que ${\bf \hat{x}}={\bf FG}/a$ .

Question 2)

A partir de la loi des aires, montrer que: $\displaystyle dM= \frac{(1-e^2)^{3/2}}{(1+e \cos f)^2} df$ .

Question 3)

Ainsi en intégrant on obtient: $\displaystyle M= (1-e^2)^{3/2} \int_0^{f} \frac{du}{(1+e \cos u)^2}$ . Montrer à l'aide de cette relation que $\displaystyle f-M \simeq 2 e \sin M + O(e^2)$ .

Question 4)

En déduire que par rapport à , la particule suit une orbite elliptique de demi-grand axe 2ae et de demi-petit axe . Dans quel sens s'effectue ce mouvement et avec quelle période?

Question 5)

Soit la distance entre et le centre de l'ellipse. Montrer que $\displaystyle R \simeq a (1 - \frac{1}{2} e^2 \sin ^2 M)$ .

Question 6)

Montrer qu'au premier ordre en excentricité, la trajectoire de est alors un cercle centré sur , et que l'angle $\widehat{POF}$ est confondu avec l'anomalie excentrique .

Question 7)

On note l'angle $\widehat{FF'P}$ , où est le second foyer (vide) de l'ellipse. Ecrire $\cos g$ et en déduire que $cos g \simeq \cos M + O(e^2)$ . On rappelle que FP+F'P=2a , et on utilisera le développement: $r/a \simeq 1 - e \cos M + (e^2/2)(1 \cos 2 M)$ (voir cet exercice).

Question 8)

Ainsi, le mouvement de la particule , vu du foyer , est uniforme avec une vitesse angulaire égale au moyen mouvement . Que peut-on dire des droites F'P et ?

Sphère d'influence

Auteur: S. Renner et A. Vienne

Date de création: 3 mars 2010

Nous allons définir la notion de sphère d'influence en s'intéressant au problème à trois corps Soleil + Jupiter + satellite, de masses respectives M>>m>>m' (qui constitue ce que l'on appelle un problème de Kepler perturbé).

Ex: Sphère d'influence

Auteurs: S. Renner, A. Vienne

Sphère d'influence

Difficulté : ☆☆ Temps : 3h

Introduction

On considère le système gravitationnel formé du Soleil $S$ de masse $M_\odot \equiv 1$ , de Jupiter de masse $m$ petite devant 1 ( m=1/1047 ) et d'un troisième corps de masse $m_{A}$ petite devant $m$ (par exemple un astéroïde ou une sonde spatiale). On note la constante de gravitation universelle, $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{SJ}$ , $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{SA}$ , et $\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{r}$ .

Question 1)

Ecrire les équations du mouvement héliocentrique de (c'est-à-dire de $\overrightarrow{r}$ ).

Question 2)

Quelle est la nature du mouvement de si la quantité $m_{A}$ est négligeable?

Question 3)

On suppose désormais que le mouvement de est circulaire (c'est-à-dire que m_A est négligeable et que est constant). Montrer que l'équation du mouvement héliocentrique de (c'est-à-dire de $\overrightarrow{p}$ ) est $\frac{d^{2}\overrightarrow{p}}{dt^{2}}=\overrightarrow{A_{0}} + \overrightarrow{A_{1}} \textrm{, avec } \overrightarrow{A_{0}}=-K\frac{\overrightarrow{p}}{p^{3}} \textrm{ et } \overrightarrow{A_{1}}=-Km \Big{(} \frac{\overrightarrow{\Delta}}{\Delta^{3}}+ \frac{\overrightarrow{r}}{r^3} \Big{)}$ .

Question 4)

Montrer que l'équation du mouvement jovicentique de (c'est-à-dire de $\overrightarrow{\Delta}$ ) est $\frac{d^{2}\overrightarrow{\Delta}}{dt^{2}}= \overrightarrow{B_{0}}+ \overrightarrow{B_{1}} \textrm{, avec } \overrightarrow{B_{0}}=-Km\frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta^{3}} \textrm{ et } \overrightarrow{B_{1}}=-K \Big{(} \frac{\overrightarrow{p}}{p^{3}}-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3} \Big{)}$ .

Question 5)

Dans la suite, on cherche à étudier la surface $(S)$ définie par $\frac{\left\Vert \overrightarrow{A_{1}}\right\Vert } {\left\Vert \overrightarrow{A_{0}}\right\Vert } =\frac{\left\Vert \overrightarrow{B_{1}}\right\Vert } {\left\Vert \overrightarrow{B_{0}}\right\Vert }$ . On va voir notamment qu'elle a presque la forme d'une sphère, appelée sphère d'influence de Jupiter. Justifier cette appellation en expliquant ce qui se passe pour le mouvement de lorsque celui-ci est respectivement très à l'intérieur ou très à l'extérieur de cette sphère.

Question 6)

On pose $\displaystyle u=\frac{\Delta}{r}$ et $\varphi=\textrm{angle}(\overrightarrow{JS},\overrightarrow{JA})$ . Montrer que l'on a $A_{1}=\frac{Km}{\Delta^{2}}\sqrt{1-2u^{2}\cos\varphi+u^{4}}$ .

Question 7)

Montrer que l'on a $B_{1}=\frac{K}{r^{2}}\sqrt{1+\Big{(}\frac{r}{p}\Big{)}^{4}-2\Big{(} \frac{r}{p}\Big{)}^{3} \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^{2}}}$ .

Question 8)

En exprimant $\displaystyle \Big{(} \frac{p}{r} \Big{)}^{2}$ et $\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^{2}}$ en fonction de $\varphi$ et , montrer que $B_{1}=\frac{K}{r^{2}}\frac{\sqrt{1+(1-2u\cos\varphi+u^{2})^{2} -2(1-u\cos\varphi)\sqrt{1-2u\cos\varphi+u^{2}}}}{1-2u\cos\varphi+u^{2}}$ .

Question 9)

En déduire que l'équation de la surface (S) peut s'écrire $m^{2}=f(u,\varphi)$ , et donner l'expression de $f(u,\varphi)$ .

Question 10)

Puisque est petit devant 1, on peut considérer que, sur la surface (S) , est également petit. Montrer que le développement de $f(u,\varphi)$ suivant les puissances de , limité à son terme de plus bas degré vaut $\displaystyle u^{5}\sqrt{1+3\cos^2\varphi}$ . Justifier alors le mot sphère dans l'expression sphère d'influence qui désigne la surface (S) .

Question 11)

Calculer le rayon de la sphère d'influence de Jupiter sachant que $r=5.2$ UA.

Réponses aux exercices

pages_approxim/exo-orb-mars.html

Exercice 'Orbite de Mars'

Question 1
Solution :
On peut écrire que la différence entre l'angle balayé en une période synodique par la Terre d'une part et Mars d'autre part vaut $2 \pi$ , c'est-à-dire: ${2 \pi \over T_T} T_{syn} - {2 \pi \over T_M} T_{syn} = 2 \pi$ .

On en déduit jours
Question 2
Solution :
On note que les années 1585, 1587, 1591, 1593 et 1595 ne sont pas bissextiles. Il y a exactement 687 jours entre deux dates successives. Mars se trouve donc au même endroit de son orbite pour chaque couple d'observations.

Question 3
Solution :

$L_T=l_S \pm 180^\circ$ (modulo 360°).

	DATE	${\bf l_S}$	${\bf l_M}$	${\bf L_T}$
1a	17/02/1585	339°23'	135°12'	159°23'
1b	05/01/1587	295°21'	182°08'	115°21'
2a	19/09/1591	185°47'	284°18'	5°47'
2b	06/08/1593	143°26'	346°56'	323°26'
3a	07/12/1593	265°53'	3°04'	85°53'
3b	25/10/1595	221°42'	49°42'	41°42'
4a	28/03/1587	16°50'	168°12'	196°50'
4b	12/02/1589	333°42'	218°48'	153°42'
5a	10/03/1585	359°41'	131°48'	179°41'
5b	26/01/1587	316°06'	184°42'	136°06'

Question 4
Question 5
Solution :
Le rayon du cercle est égal à 76 mm. L'erreur maximale sur les positions est d'environ 1 mm.

D'après la troisième loi de Kepler avec jours et $M_\odot=2 \times 10^ {30}$ kg, on trouve UA. Or 1 UA = 50 mm, donc le rayon du cercle est 76 mm.
Question 6
Solution :
mm. Comme 1 UA = 50 mm, on en déduit que UA.

(à comparer à la valeur exacte: 0.093)

d'où mm $\simeq 76$ mm.
Question 7
Solution :
Distance centre-foyer de l'ellipse: $50 \times 0.016 = 0.8$ mm. Donc l'approximation est correcte étant donnée la précision du tracé.
Question 8
Solution :
La distance minimale en opposition est 19 mm soit 0.38 UA (au mois d'août). La distance maximale en opposition est 33 mm soit 0.66 UA (au mois de janvier).
Question 9
Solution :
Entre le 6 août et le 7 décembre, l'aire balayée est égale à 130 carreaux. Il s'est écoulé 123 jours, et l'aire balayée par jour est de 1.06 carreaux par jour.

Entre le 26 janvier et le 28 mars, l'aire balayée est égale à 60 carreaux. Il s'est écoulé 61 jours, et l'aire balayée est de 1.098 carreaux par jour.

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Exercice 'Précession du périastre'

Question 1
Solution :
$\frac{K_2}{r^2} = 3 \alpha \frac{R^2}{r^2} K_1 << K1$ car $\alpha <<1$ , $\frac{R}{r} <<1$
Question 2
Solution :
$\frac{1}{r} = \frac{1+ e \cos(1 + \epsilon)\theta}{q}$

$\frac{d}{d\theta} \Big{(} \frac{1}{r}\Big{)} = \frac{- e (1+\epsilon) \sin (1+\epsilon)\theta}{q}$

$\frac{d^2}{d\theta^2} \Big{(} \frac{1}{r}\Big{)} = \frac{- e (1+\epsilon)^2 \cos (1+\epsilon)\theta}{q} \simeq \frac{-e (1 + 2 \epsilon) \cos (1+\epsilon) \theta}{q},$ car $\epsilon <<1$ .

Donc $\frac{d^2}{d\theta^2} \Big{(} \frac{1}{r}\Big{)} + \frac{1}{r} = \frac{1}{q} - \frac{2 \epsilon e \cos (1+\epsilon)\theta}{q}.$

$K_1 + \frac{K_2}{r^2} = K_1 + \frac{K_2}{q^2} (1 + e \cos (1+\epsilon) \theta)^2 \simeq K_1 + \frac{K_2}{q^2} + \frac{2K_2}{q^2} e \cos (1+\epsilon)\theta$ , car .

Donc $K_1 + \frac{K_2}{r^2} \simeq K_1 + \frac{2K_2}{q^2} e \cos (1+\epsilon)\theta$ , car $\frac{K_2}{r^2} \simeq \frac{K_2}{q^2} <<K_1$ .

Donc par identification $K_1 = \frac{1}{q}$ et $\epsilon = \frac{-K_2}{q}$ .

Si $\epsilon \longrightarrow 0$ , $\displaystyle r=\frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos \theta}$ (solution du problème keplerien) donc .

$\epsilon = \frac{-K_2}{q} = - \frac{3 \alpha R^2 K_1}{a(1- e^2)}= - 3 \alpha \frac{R^2}{a^2 (1 - e^2)^2}$ donc $\epsilon \simeq - 3 \alpha \frac{R^2}{a^2}$ .
Question 3
Solution :
Si au 1 $^{\rm er}$ passage au périastre $\theta =0$ , au 2 $^{\rm i\`eme}$ passage $(1+\epsilon) \theta = 2 \pi \Longleftrightarrow \theta \equiv 2 \pi - 2\pi \epsilon$ .

La trajectoire est une ellipse avec un périastre qui avance à chaque révolution d 'un angle $\Delta \theta = - 2 \pi \epsilon = 6 \pi \alpha \frac{R^2}{a^2}$ .
Question 4
Solution :
a) $\Delta \theta = 0.44^\circ$

b) $\Delta \theta = 1.79^\circ$

c) $\Delta \theta = 0.0056"$ , i.e /siècle (période orbitale de Mercure = 88 jours). En fait la précession réelle est de /siècle et s'explique par la relativité générale. Dans cette théorie, $\Delta \theta = 2\pi \frac{3 G M_\odot}{c^2} \frac{1}{a(1-e^2)}$ , où $M_\odot$ désigne la masse du Soleil.

pages_dim-unites/dim4.html

Exercice 'Ex: analyse dimensionnelle'

Question 1
Solution :
Les paramètres physiques qui interviennent sont : la masse oscillante m, la longueur l du pendule, la période d'oscillation p, l'angle initial $\Theta$ et la pesanteur g (on néglige au premier ordre les autres paramètres tels que le frottement ou la masse du fil, qui décrivent des écarts au problème idéal).
Question 2
Solution :
Au total, on a 5 grandeurs et 3 dimensions physiques indépendantes (longueur, temps et masse). La relation cherchée peut donc s'écrire comme une relation entre deux nombres sans dimension construits avec ces 5 grandeurs.
Question 3
Solution :
Le premier nombre est évidemment l'angle initial $\Theta$ , sans dimension.

Le second nombre est de la forme $C_2 = l^{\alpha}m^{\beta}p^{\gamma}g^{\delta}$

L'équation aux dimensions est $[1] = L^{\alpha+\delta}M^{\beta}T^{\gamma-2\delta}$ , donc $C_2 = \frac{g}{l}p^2$ est sans dimension.
Question 4
Solution :
Le relation cherchée est de la forme , soit $p = \sqrt{\frac{l}{g}}f(\Theta)$

Le calcul à partir de l'équation du mouvement donne $p = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ , et l'expérience confirme que la période ne dépend pas de l'angle initial si celui-ci est petit. On a montré sans le moindre effort la forme générale de la période (à une constante près) et le fait qu'elle ne dépend pas de la masse du pendule.

pages_develop-appli/exo-series-2corps.html

Exercice ' Séries du problème des 2-corps'

Question 1
Aide :
Développer d'abord $\frac{1}{(1+e \cos v)^2}$ et intégrer le développement obtenu. Mutiplier enfin par celui de $(1-e^2)^{3/2}$ . Dans ces calculs, on prend soin de se limiter à l'ordre 2.
Question 2
Aide :
Utiliser le développement de Taylor de $\cos x$ en au voisinage de , c'est-à-dire, écrire: $\cos E = \cos (M+(E-M))$ .

Aide :
Le développement de $\cos E$ n'est utile que jusque l'ordre 1 !

Aide :
Ne pas oublier de linéariser $\sin ^2 M$ .

Solution :
$\frac{r}{a}=(1+\frac{e^2}{2})-e\cos M - \frac{e^2}{2} \cos 2M +O (e^3)$
Question 3
Aide :
Faire d'abord l'ordre 0 puis l'ordre 1 et enfin l'ordre 2.

Aide :
A l'ordre 0:

Aide :
A l'ordre 1, il suffit d'avoir $\sin V$ à l'ordre 0 (obtenu précédemment).

Aide :
A l'ordre 2, il suffit d'avoir $\sin V$ à l'ordre 1 et $\sin 2V$ à l'ordre 0 (obtenus précédemment).

Aide :
L'ordre 1 pour $\sin V$ est obtenu de la manière suivante: $\sin V \approx \sin (M+2e\sin V) \approx \sin M + 2e \sin V \cos M \approx \sin M + 2e \sin M \cos M = \sin M + e \sin 2M$ . Attention à la discussion sur l'ordre à chaque étape du calcul.

Solution :
$V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$

pages_develop-appli/exo-series-2corps-lagrange.html

Exercice ' Séries du problème des 2-corps (Lagrange)'

Question 1
Aide :
Développer d'abord $\frac{1}{(1+e \cos v)^2}$ et intégrer le développement obtenu. Mutiplier enfin par celui de $(1-e^2)^{3/2}$ . Dans ces calculs, on prend soin de se limiter à l'ordre 2.
Question 2
Solution :
D'après la question précédente, on a donc : $V=M + e ( 2 \sin V - \frac{3}{4}e \sin 2V + ...)$ .

Le théorème d'inversion de Lagrange permet d'écrire : $V = M + \Sigma_{j=1}^\infty \frac{e^j}{j!} \frac{d^{j-1}}{dM^{j-1}} \Big{[} 2 \sin M - \frac{3}{4} e \sin 2M + ... \Big{]}^j$ .

On obtient ainsi $V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ en développant la formule ci-dessus au second ordre.

pages_develop-appli/exo-epicycle-kepler.html

Exercice 'Description épicyclique du mouvement keplerien'

Question 1
Solution :
$x=r \cos (f-M) -a$ , $y=r \sin (f-M)$
Question 2
Solution :
On lira tout d'abord l'énoncé de cet exercice.

Loi des aires : , avec $h= n a^2 \sqrt{1 - e^2}$ .

D'autre part: $r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos f}$ .

Pour trouver l'expression demandée, on développe donc $dM = \frac{n r^2}{h} df$ .
Question 3
Solution :
La réponse est donnée dans cet exercice.
Question 4
Solution :
Ainsi $x \simeq - ae \cos M$ , $y \simeq 2ae \sin M$ et $\frac{x^2}{(ae)^2} + \frac{y^2}{(2ae)^2} \simeq 1$ .

Lorsque est en orbite circulaire autour de , est en orbite autour de dans le sens opposé. La période est la même $T=2 \pi / n$ .
Question 5
Solution :
$R^2 = r^2 + (ae)^2 + 2 aer \cos f$ donc $R \simeq a ( 1 - \frac{1}{2}e^2 \sin^2 f) \simeq a ( 1 - \frac{1}{2}e^2 \sin^2 M)$ .
Question 6
Solution :
A l'ordre , la trajectoire de est ainsi un cercle de centre et l'angle $\widehat{POF}=E$ anomalie excentrique.
Question 7
Solution :
$r^2 = (2a-r)^2 + 4 (ae)^2 - 4 ae (2a-r) \cos g$

Donc $\cos g = \frac{1 - r/a + e^2}{e(1-r/a)+e}$ .

D'après le développement de , $\cos g \simeq \cos M - \frac{1}{8} e^2 (\cos M - \cos 3M) + O(e^3)$ .

Donc $\cos g \simeq \cos M + O(e^2)$ et $g \simeq M$ à l'ordre .
Question 8
Solution :
Elles sont parallèles.

pages_develop-appli/exo-sphere-influence.html

Exercice 'Sphère d'influence'

Question 1
Solution :
Si O est l'origine d'un repère galiléen on a, avec $M_\odot \equiv 1$ : $\frac{d^2 \overrightarrow{OS}}{dt^2} = - K m \frac{ \overrightarrow{JS}}{JS^3} - K m_A \frac{ \overrightarrow{AS}}{AS^3} = K m \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + K m_A \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3}$ .

De même : $m \frac{d^2 \overrightarrow{OJ}}{dt^2} = - K m \frac{ \overrightarrow{SJ}}{SJ^3} - K m m_A \frac{ \overrightarrow{AJ}}{AJ^3} = - K m \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + K m m_A \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3}$ et $m_A \frac{d^2 \overrightarrow{OA}}{dt^2} = - K m_A \frac{\overrightarrow{SC}}{SC^3} - K m m_A \frac{\overrightarrow{JA}}{JA^3} = - K m_A \frac{\overrightarrow{p}}{p^3} - K m m_A \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3}$ .

Donc $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = \frac{d^2 \overrightarrow{SJ}}{dt^2} = \frac{d^2 \overrightarrow{OJ}}{dt^2} - \frac{d^2 \overrightarrow{OS}}{dt^2} = - K (m+1) \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} - K m_A \Big{(} \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} \Big{)}$ .
Question 2
Solution :
L'équation devient : $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = - K (m+1) \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3}$ . C'est le problème de Kepler et le mouvement de est une conique de foyer parcourue selon la loi des aires.
Question 3
Solution :
$\frac{d^2 \overrightarrow{p}}{dt^2} = - K (m_A+1) \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - K m \Big{(} \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} \Big{)}$ et donc $\frac{d^2 \overrightarrow{p}}{dt^2} = - K \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - K m \Big{(} \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} + \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} \Big{)}$
Question 4
Solution :
De même on trouve $\frac{d^2 \overrightarrow{\Delta}}{dt^2} = - K m \frac{ \overrightarrow{\Delta}}{\Delta^3} - K \Big{(} \frac{ \overrightarrow{p}}{p^3} - \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} \Big{)}$ .
Question 5
Solution :
Voir ce cours de mécanique céleste page 327.
Question 6
Solution :
$\left\Vert \overrightarrow{A_{1}}\right\Vert = Km \left\Vert \frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta^{3}} + \frac{\overrightarrow{r}} {r^{3}} \right\Vert = \frac{Km}{\Delta^2} \sqrt{\Big{(} \frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta} + \frac{u^2\overrightarrow{r}} {r} \Big{)}.\Big{(} \frac{\overrightarrow{\Delta}} {\Delta} + \frac{u^2\overrightarrow{r}} {r} \Big{)} }$
Question 7
Solution :
$\left\Vert \overrightarrow{B_{1}}\right\Vert = K \left\Vert \frac{\overrightarrow{p}}{p^{3}} - \frac{\overrightarrow{r}} {r^{3}} \right\Vert = \frac{K}{r^2} \left\Vert \frac{r^2}{p^2} \frac{\overrightarrow{p}}{p} - \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right\Vert = \frac{K}{r^2} \sqrt{\frac{r^4}{p^4} - 2 \frac{r^3}{p^3} \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^2} +1}$
Question 8
Solution :
La relation se déduit de $\displaystyle \Big{(} \frac{p}{r} \Big{)}^{2} = \Big{(} \frac{\overrightarrow{r}+\overrightarrow{\Delta}}{r} \Big{)}^2 = 1 - 2u \cos \phi + u^2$ et $\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{r}}{r^{2}} = \frac{\overrightarrow{r}.(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{\Delta})}{r^2}=1 - u \cos \phi$ .
Question 9
Solution :
$m^2 = u^4 \frac{\sqrt{1 + (1 - 2u \cos \phi + u^2)^2 - 2(1-u\cos \phi) (1 - 2u\cos \phi + u^2)^{1/2} }}{(1 - 2u \cos \phi + u^2)^2 (1 - 2u^2 \cos \phi + u^4)^{1/2}} = f(u,\phi)$
Question 10
Solution :
On pose $\frac{f(u,\phi)}{u^4}=\frac{N(u,\phi)}{D(u,\phi)}$ . On remarque que $N(0,\phi)=0$ et $D(0,\phi)=1$ . Donc en développant $N^2(u,\phi)$ jusqu'au terme , on obtient $N^2(u,\phi) \simeq u^2 (1 + 3 \cos^2 \phi )$ .
Question 11
Solution :
, $0.054 \leq u \leq 0.062$ , $0.28 \leq \Delta \leq 0.32$ UA.