Ex: Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux

Auteurs: S. Renner, Marc Fouchard

Auteur: S. Renner

Equilibres de satellites co-orbitaux

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h30

On considère satellites co-orbitaux en orbite autour d'un corps central supposé ponctuel de masse M. On note n_0 la vitesse angulaire moyenne et r_0 le rayon orbital moyen des satellites.

On suppose le problème plan, et on se place dans un repère centré sur M et tournant à la vitesse angulaire n_0 .

Le mouvement de chaque satellite est décrit par les coordonnées $(\phi_i,\xi_i)$ , i=1,...,N , où $\phi_i$ est la longitude du satellite i par rapport à une longitude de référence arbitraire, et $\xi_i=\Delta r_i/r_0$ l'excursion radiale relative du satellite par rapport au rayon moyen r_0 (voir figure ci-dessous).

Notations pour la dynamique des satellites co-orbitaux (cf. texte).

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

On peut montrer que la dynamique de chaque satellite est régie par le système d'équations différentielles suivant :

$\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle {\dot \phi_i}= -{3 \over 2} \xi_i \\ \\ \displaystyle {\dot \xi_i}= -2 \sum_{j \neq i} m_j f'(\phi_i - \phi_j) \end{array} \right.$

avec

$f(\phi)= \cos \phi - {1 \over 2|\sin \phi/2|}$ , $f'(\phi)= \sin \phi \left[ -1 + {1 \over 8|\sin \phi/2|^3} \right]$ , $f''(\phi)= -\cos \phi - {3 + \cos \phi \over 16|\sin \phi/2|^3} \cdot$

Question 1)

Ecrire les deux équations algébriques donnant les points fixes du système.

Solution

Question 2)

Que signifie la première relation?

Solution

Question 3)

La seconde relation correspond en fait à équations linéaires des masses. Ecrire ce système sous forme matricielle. On note M_N la matrice obtenue.

Solution

Question 4)

Que peut-on dire de la matrice M_N ?

Solution

Question 5)

Trouver les points d'équilibre dans le cas N=2 .

Solution

Question 6)

On cherche à trouver tous les angles $\phi_1$ ,..., $\phi_N$ tels que (m_1,...,m_N) soit solution de l'équation matricielle, avec $m_1,...,m_N \geq 0$ . Il est évidemment impossible de résoudre cette équation analytiquement pour quelconque. On peut néanmoins déduire des propriétés générales sur les solutions.

soit $(\phi_1,...,\phi_N) \in [0,360^\circ[^N$ tel que $\phi_i \neq \phi_j$ pour tout $i \neq j$ (f' n'est pas définie en 0).

On suppose que est impair. Déterminer le rang de la matrice M_N , puis en déduire qu'il existe une famille à paramètres, avec entier impair, de vecteurs $(m_1,...,m_N) \in \mathbb{R}^N$ pour laquelle $(\phi_1,...,\phi_N)$ est une configuration stationnaire.

Solution

Question 7)

On suppose que est pair. Déterminer le rang de la matrice M_N , et en déduire qu'en général il n'existe pas de famille de vecteurs qui réalise un équilibre.