En savoir plus: approximation par des fonctions mixtes (1)

En savoir plus

Comme nous l'avons vu, l'approximation polynomiale n'est pas la seule possible pour représenter une éphéméride. L'introduction des fonctions mixtes, permet de prendre en compte le caractère quasi-périodique des fonctions qui apparaissent dans les éphémérides. En effet, une fonction quasi-périodique à variations faibles sur un intervalle donné peut être approchée par un développement en polynômes de degré n peu élevé mais on n'a pas utilisé le fait que la fonction soit quasi-périodique sur l'intervalle considéré, ce qui est le cas du mouvement des corps du système solaire.

Voyons par un exemple comment en tirer parti.

Soit la fonction paire f(x) = cos x + cos 2x

Elle est beaucoup mieux représentée avec la base de fonctions 1, cos x, cos 2x, cos 3x,... qu'avec la suite de polynômes 1, x², x⁴, x⁶,... , ou toute autre base de polynômes pairs.

Si une éphéméride n'est jamais aussi simple dans la réalité, on peut toujours l'approcher par une combinaison de fonctions périodiques dont les périodes proviennent de la nature physique du phénomène (par exemple la périodede révolution d'un corps céleste), et de termes séculaires (polynômes du temps) qui témoignent du caractère non rigoureusement périodique du phénomène ou du mouvement décrit.

Le mode de représentation à l'aide des fonctions mixtes est très bien adapté à la représentation des mouvements des satellites naturels des planètes et des corps à période courte qui s'écartent peu, sur quelques périodes, d'un mouvement périodique, avec des variations d'amplitude et de fréquence lente par rapport à la période principale du corps et de ses multiples entiers.

Dans la Connaissance des Temps on trouve en particulier l'expression des coordonnées différentielles des satellites naturels des planètes sur des intervalles de temps couvrant une à quelques révolutions, avec des formules faciles à mettre en œuvre directement par l'utilisateur et qui se présentent ainsi :

.

où est une période proche de la période de révolution du corps ; les a_j, b_j, c_j, sont les amplitudes, ; les φ_j et Ψ_j sont les phases (j = 0, 1, 2). Cette formule découle du choix de la base. Les termes mixtes sont de la forme : A t^ksin(p nu t + Ψ) (k et p entiers A : amplitude ; Ψ : phase). Sur un intervalle de temps donné les valeurs maximales de k et p sont ajustées en fonction de la précision recherchée. Si l'intervalle de représentation est élargi, il faudra enrichir la base de termes mixtes en puissance du temps et en multiples de la fréquence de base. Mais si l'intervalle de temps se rétrécit, il faut également modifier la base sous peine de perdre de la précision (ce n'est pas le cas avec la représentation à l'aide de polynômes dont la précision augmente quand l'intervalle diminue.

Voyons maintenant l'application des fonctions mixtes pour la représentation du mouvement d'un satellite de planète en révolution rapide.