En savoir plus: approximation de Tchebychev (1)

Crédit : I.M.C.C.E.

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Les fonctions que nous voulons approcher sont toujours définies pour toutes les valeurs de la variable temps. L'approximation lagrangienne par des polynômes consiste à faire passer, pour un intervalle donné, un polynôme de degré n par n+1 valeurs, alors qu'il serait préférable de tenir compte de toutes les valeurs de la fonction sur cet intervalle. L'approximation de Tchebychev s'impose pour cela, car elle est celle de plus bas degré dont l'erreur ne dépasse pas une valeur donnée a priori, et son erreur est régulièrement distribuée sur l'intervalle considéré.

La fonction d'approximation va se présenter comme une suite de développements en polynômes de Tchebychev sur une succession d'intervalles de temps. Ainsi le volume de données est réduit et le calcul des positions est rapide. Cette représentation est donc bien adaptée aux besoins des astronomes (amateurs, professionnels, théoriciens, astrométristes, ...).

Les éphémérides Tchebychev se présentent sous la forme d'une suite de coefficients a₀, a₁, ...a_npour une coordonnée donnée sur un intervalle [t₁, t₂]. L'utilisation de ces éphémérides se fait de la manière suivante. Le calcul de la valeur de la coordonnée à l'instant t de l'intervalle [t₁, t₂] se fait en effectuant le changement de variable :

x=-1+{2(t-t₁)}/{t₂-t₁}, donc x appartient à l'intervalle [-1, +1]

Les polynômes de Tchebychev de première espèce T_n(x) sont donnés par la relation :

(T_n)(x)=cos(n*arccos(x))

On peut aussi les calculer à l'aide de la relation de récurrence :

(T_n)(x)=2*x*(T_(n-1))(x)-(T_(n-2))(x) avec (T_0)(x)=1 et (T_1)(x)=x

La coordonnée est alors égale à :

a_0*(T_0)(x)+a_1*(T_1)(x)+...+a_n*(T_n)(x)

Dans la majorité des éphémérides -Soleil, Lune, planètes-, on a choisi des polynômes de Tchebychev pour la réalisation des éphémérides. Voyons maintenant comment calculer une position à partir de cette représentation.

Ci-contre, un extrait de la Connaissance des Temps pour l'année 2000 : l'ascension droite et la déclinaison sont fournies sous forme de coefficients : il faut programmer un petit formulaire simple pour calculer les valeurs pour tout instant de l'intervalle de validité. Les données à publier sont peu importantes et la précision des valeurs obtenues est la meilleure.