Marée et problème à N corps

Introduction
Les marées sur Terre
- Introduction
- En baie de Saint-Malo
  - Observer
  - Apprendre
- Lune et marées
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
  - S'évaluer
- Le champ de marée : approche statique
  - Observer
  - Apprendre
  - S'exercer
- Rôle du Soleil sur les marées
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
Effet de marée
- Introduction
- Champ de marée
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'évaluer
- Limite de Roche
  - Observer
  - Apprendre
  - S'exercer
Les points de Lagrange
- Introduction
- Les points de Lagrange : analyse statique
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
- Analyse dynamique
  - Observer
  - Apprendre
  - S'exercer

Introduction

Les pages précédentes ont essentiellement traité du problème à 2 corps, lorsque l'on peut s'intéresser à 2 objets en interaction gravitationnelle et négliger d'une part tout le reste de l'Univers, d'autre part la structure interne de ces objets en les considérant comme 2 points matériels.

Ce sous-chapitre présente différents cas où les hypothèses précédentes ne peuvent plus s'appliquer.

Les marées sur Terre
L'effet de marée en général
Les points de Lagrange

Le système d'Uranus, vu dans le proche infrarouge. Les anneaux correspondent à de la matière dispersée par effet de marée.

Crédit : NASA

Les marées sur Terre

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

Le phénomène des marées est abordé dans le cadre très simplifié d'un modèle statique. Ce modèle, incapable de prédire l'heure et la hauteur d'une marée dans votre port préféré, est néanmoins en mesure de dévoiler le principe du phénomène.

Deux situations sont abordées :

Les marées sur Terre, décrites à l'aide du modèle de l'océan global
Les marées sur les satellites.

Il est important de comprendre que le champ de marée est un champ différentiel, qui agit sur la structure d'un corps non ponctuel.

Pour en savoir plus : voir le site du SHOM (Service Hydrographique et Océanographique de la Marine), qui propose par exemple un modèle de calcul de marée.

Le champ de marée de la Lune sur la Terre (modèle statique) .

Crédit : ASM

En baie de Saint-Malo

Observer

Lune et marée

Evolution des horaires des marées à Saint-Malo, pour le mois de septembre 2002, calculés par le SHOM. La courbe jaune représente le passage de la Lune au méridien, et les 2 courbes rouges les levers et couchers de la Lune. Les + et les - signalent respectivement les horaires des marées hautes et basses. Les horaires des marées, environ 2 hautes et 2 basses par jour, suivent clairement ceux de la Lune.

Crédit : SHOM et ASM

Lunaisons et marées

L'examen des horaires de marée montre une nette corrélation entre l'orbite de la Lune et la marée. Ceci apparaît sur la figure ci-jointe, qui montre comment évoluent les horaires des marées hautes et basses, en fonction des levers et couchers de la Lune. Le phasage précis des marées avec la Lune est complexe, comme le montre la suite.

Phases de la Lune et coefficients de marée

L'évolution du coefficient de marée, pour le mois de septembre 2002, calculée par le SHOM, marque une forte corrélation avec les phases de la Lune : les marées sont plus marquées aux environs des nouvelle et pleine lunes.

Crédit : SHOM et ASM

Grandes marées et phases de la Lune

Le coefficient de marée, qui sur une échelle relative de 20 à 120, mesure l'amplitude de la marée, apparaît également corrélé à la Lune, à ses phases en fait.

Apprendre

Approche statique

Dans l'approche statique, développée plus loin, on ne s'intéresse pas à la dynamique de l'écoulement des eaux océaniques, mais seulement au champ de force qui crée la marée.

L'approche statique met en évidence le rôle joué par la Lune sur le champ de marée, et explique la périodicité des marées (de l'ordre de 12h25min).

Approche dynamique

Si l'approche statique permet de comprendre le phénomène des marées, elle est notoirement insuffisante pour calculer la hauteur de marée en un lieu donné. Un tel calcul nécessite :

Une approche dynamique.
Une modélisation précise de la topographie locale.

Les coefficients de marée

On définit usuellement des coefficients de marée, sur une échelle de 20 (marée minimale, dite de morte-eau, d'amplitude 1.22 m à Brest) à 120 (marée maximale, dite de vive-eau, d'amplitude 7.32 m à Brest). L'approche statique permet de comprendre que :

Les maxima ont lieu aux nouvelle et pleine lunes
Les minima ont lieu aux quartiers

En revanche, le phasage entre les courbes de marée et la course lunaire n'est pas direct. Ce n'est pas étonnant : la mise en mouvement des masses océaniques n'est pas immédiate, et ces dernières ne peuvent pas suivre instantanément, c'est à dire sans déphasage, la phase de l'excitation. On peut aussi noter qu'à la résonance, un système excité n'est pas en phase avec l'excitateur, mais en quadrature.

Coefficients de marée

Coefficients de marées en décembre 2002.

Crédit : SHOM

Les grandes marées

Les plus fortes marées sont observées aux équinoxes. Deux raisons à cela :

C'est aux équinoxes que le forçage des marées est le plus régulier, car la Lune comme le Soleil sont respectivement levés et couchés 12 h.
Aux équinoxes, la Lune et le Soleil passent par le plan équatorial terrestre.

Lune et marées

Observer

Lune et marée

Les phénomènes de marée ont été étudiés depuis l'Antiquité (en particulier par les Grecs et les Romains). Dès 350 avant notre ère, Aristote attribuait les marées à la Lune et au Soleil, ceux-ci attirant l'eau des mers. Pline l'Ancien énonce au 1er siècle dans son Histoire Naturelle : "Sur la nature des eaux, enfin, beaucoup a déjà été dit; mais cette avance et le retrait des flots sont les plus extraordinaires; cependant si ce phénomène offre beaucoup de variété, sa cause réside dans le Soleil et dans la Lune". Il observe les deux marées par jour : "Entre deux levers de la Lune, la mer monte deux fois et redescend deux fois dans chaque intervalle de 24 heures" puis il remarque que "Jamais les marées ne se reproduisent au même moment que le jour précédent, comme si elles haletaient par la faute de l'astre avide qui attire à lui les mers pour s'abreuver".

Il décrit également fort bien le décalage de temps entre les pleines mers et le passage au méridien de la Lune "les phénomènes célestes faisant toujours sentir leurs effets à la Terre avec du retard sur la vue, comme l'éclair, le tonnerre ou la foudre", il décrit la corrélation entre les marées de vives-eaux et les syzygies et entre les marées de mortes-eaux et les quadratures "Au moment de la conjonction, elles égalent les marées de pleine Lune".

Diverses théories

Si les faits observationnels semblaient clairs, le mécanisme moteur des marée a dû attendre Newton pour commencer à être dévoilé. Auparavant, c'est plutôt le principe de sympathie qui prévaut : l'eau de la Lune (!) attire l'eau de la Terre.

Galilée propose un modèle en analogie avec un pendule. Descartes (1596 - 1650) apporte une explication cohérente, qui relie les astres par de la matière et les fait se déplacer par des tourbillons. La Lune comprime la matière du ciel, qui écrase l'eau.

Marée et gravitation universelle

La gravitation universelle de Newton permet d'obtenir les bases de la théorie des marées terrestres : les marées sont dues à la différence d'attraction du champ gravitationnel de la Lune entre deux points du globe terrestre.

Apprendre

Prérequis

Loi de Newton

Modèle de l'océan global

Le modèle : un océan global.

Crédit : ASM

Effet de marée, exemple sur Terre

En ayant remarqué qu'une flaque d'eau ne subit pas de marée, serait-elle aussi grande que le Lac Léman, on s'intéressera à la marée à l'échelle planétaire, en allant jusqu'à supposer la présence d'un océan global couvrant uniformément toute la Terre. Une description plus précise des marées en un lieu donné du globe nécessite un cadre plus précis. Selon le lieu, les phénomènes de marée peuvent présenter des aspects fort différents, non abordés dans ce cours : la topographie des lieux, associée au phénomène de résonance, permet de comprendre les grandes marées rencontrées p.ex. dans la baie du Mont-Saint-Michel.

Dans un référentiel galiléen, le champ de gravité de la Lune en chaque point de la Terre est représenté par des vecteurs dirigés vers le centre de la Lune, de module inversement variable par rapport au carré de l'éloignement (échelle non respectée) (modèle statique).

Crédit : ASM

Du fait de sa masse, la Lune crée un champ gravitationnel dont l'intensité est d'autant plus faible que la distance à la Lune est grande. L'action de ce champ en chaque point de la Terre crée une force dirigée vers le centre de gravité de la Lune.

Pour comprendre l'action du champ gravitationnel de la Lune sur la Terre, on se place dans un référentiel quasi géocentrique, mais tournant avec la Lune.

Le champ de marée apparaît dans le référentiel barycentrique de la Terre. (modèle statique).

Crédit : ASM

La face faisant face à la Lune est soumise à un champ gravitationnel lunaire plus important que le centre de la Terre. On y observe une marée haute. La face la plus éloignée subissant un champ moins important que le centre, une marée haute y a lieu également (modèle statique).

Crédit : ASM

Dans le référentiel barycentrique de la Terre

Dans le référentiel terrestre, le centre de la Terre est au repos, les bourrelets de marée sont fixes, en permanence pointés vers la Lune. Sous ces bourrelets fixes, la Terre défile. Elle tourne en 24h50, soit la période synodique de la Lune. Autrement dit, dans le référentiel terrestre, on voit passer 2 marées hautes par 24h50.

Simuler

Le champ de marée

Le champ de marée en un point du globe évolue en fonction de la phase de la Lune et de la rotation terrestre.

Le champ de marée lunaire provoque 2 bourrelets de l'océan. Dans le cadre d'un modèle statique, ces bourrelets suivent rigoureusement la Lune. La rotation de la Terre est modélisée par un rayon vecteur tournant rouge (modèle statique).

Crédit : ASM

Dans un modèle dynamique, plus réaliste, il y a un décalage entre la position de la Lune et la marée.

S'exercer

Périodicité des marées

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Le but de cet exercice est de calculer la période des marées sur Terre.

La période de révolution de la Lune autour de la Terre dépend du référentiel de l'observateur. C'est pourquoi on définit une période de révolution sidérale, $T _{\mathrm{sid}}^L$ et une période de révolution synodique, $T _{\mathrm{syn}}^L$ . La première, vue des étoiles, est la durée mise par la Lune pour faire un tour complet autour de la Terre ( $T _{\mathrm{sid}}^L = 27.3\ \mathrm{jours}$ ). La deuxième, vue de la Terre, est la durée entre deux pleines lunes.

La marée haute est en permanence dirigée vers la Lune.

Question 1)

D'où provient la différence entre les deux périodes ? Expliquez avec un schéma.

[2 points]

Question 2)

Connaissant $T _{\mathrm{sid}}^L$ , calculer $T _{\mathrm{syn}}^L$ .

[2 points]

Question 3)

Pourquoi est-il utile de connaître la période de rotation propre de la Terre vue depuis la Lune ? On appellera $T _{\mathrm{p}}$ cette période.

[1 points]

Question 4)

Calculer $T _{\mathrm{p}}$ .

[1 points]

Question 5)

Quelle est la périodicité des marées hautes?

[2 points]

S'évaluer

Horaires et coefficients des marées

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-joint fournit les horaires et coefficients des marées sur 1 mois.

Coefficients de marée

Exemple d'horaires et de coefficients de marée.

Crédit : SHOM

Question 1)

Déterminer à l'aide du graphe la période des marées.

[2 points]

Question 2)

Pourquoi certains jours n'y a-t-il qu'une seule marée haute ou qu'une seule marée basse ?

[2 points]

Le champ de marée : approche statique

Observer

La marée haute suit la position apparente de la Lune ; marée haute et basse s'alternent rapidement, essentiellement à cause du mouvement de rotation propre de la Terre. Les coefficients de marée sont plus forts dans les conditions d'alignement du Soleil et du couple Terre-Lune, donc aux nouvelle et pleine lunes (modèle statique). Dans un modèle dynamique (plus réaliste), il y a un décalage entre la position de la lune et la marée.

Crédit : ASM

Bourrelets (é)mouvants

Les animations, dans le cadre d'une théorie statique de la marée et du modèle de l'océan global, montrent comment les bourrelets de la marée suivent la course de la Lune autour de la Terre.

Horaires de la Lune et des marées

La courbe jaune représente le passage de la Lune au méridien, et les 2 courbes rouges les levers et couchers de la Lune. Les + et les - signalent respectivement les horaires des marées hautes et basses. Le modèle statique prévoit la concordance entre marée haute et passage de la Lune au méridien (modulo 12h25), et marée basse et lever ou coucher de la Lune. Ce n'est visiblement pas le cas : les phénomènes dynamiques gouvernent la ... dynamique des marées.

Crédit : SHOM et ASM

L'approche statique en défaut

L'approche statique suppose que les masses océaniques réagissent instantanément au champ de marée, ce qui n'est pas vrai, comme cela apparaît sur les prévisions. Les conditions géographiques locales entraînent un horaire des marées également local.

Apprendre

Définitions des distances

Crédit : ASM

Les forces de marée sont des forces différentielles

La Terre n'est pas un point, mais a une dimension finie. Or l'intensité du champ gravitationnel de la Lune varie comme l'inverse du carré de la distance à la Lune. Il en résulte une attraction différentielle qui déforme la Terre. On peut estimer la valeur du champ de marée $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ dans le cadre du modèle de l'océan global. On démontre que le module de $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ est de l'ordre de ${2{\cal G}mR/D^{3}}$

Démonstration

Calcul du champ de marée. On estime la marée créée par la Lune en un point courant du globe terrestre, que l'on repère par rapport au centre de la Terre. On note {D} la distance , et le rayon terrestre. La composante du champ de marée $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ en représente la différence du champ lunaire entre les points et . Les calculs sont menés au 1er ordre par rapport au petit terme R/D (car $R/D \simeq 6400/380\ 000 \simeq 1.7\ \%$ ) :

$\begin{eqnarray*} \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} &=& {{\cal G} m} { {\mathbf{PL}} \over PL^{3}} - {{\cal G} m} { {\mathbf{OL}} \over OL^{3}} \\ &=& {{\cal G} m} \left[{ {\mathbf{PO}}+ {\mathbf{OL}} \over PL^{3}} - { {\mathbf{OL}} \over OL^{3}} \right]\\ &\simeq& {{\cal G} m} \left[ { {\mathbf{PO}} \over {D}^{3}} + { {\mathbf{OL}} \over PL^{3}} - { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \right]\\ \end{eqnarray*}$

On estime alors le terme ${\mathbf{OL}} / PL^{3}$ de l'équation précédente, en injectant la relation de Chasles ${\mathbf{PL}} = {\mathbf{PO}} + {\mathbf{OL}}$ , et toujours au premier ordre en PO / OL = PO / {D} :

$\begin{eqnarray*} { {\mathbf{OL}} \over PL^{3}}&=& { {\mathbf{OL}} \over [{ {\mathbf{PL}}^{2}}]^{3/2}}= { {\mathbf{OL}} \over [( {\mathbf{PO}}+ {\mathbf{OL}})^{2}]^{3/2}}\\ \\ &\simeq& { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3} \left( 1 + 2\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} / {D}^{2} \right)^{3/2}}\\ &\simeq& { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \left(1 - 3\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} / {D}^{2} \right)\\ \end{eqnarray*}$

On trouve alors pour le champ de marée $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ , en introduisant les vecteurs unitaires $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ tels que ${\mathbf{OL}} = D\ \mathbf{u}$ et ${\mathbf{PO}} = -R (\cos\theta\ \mathbf{u} + \sin\theta\ \mathbf{v})$ :

$\begin{eqnarray*} \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} &=& {{\cal G} m} \left[ { {\mathbf{PO}} \over {D}^{3}} - {3\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} \over {D}^{2}}\ { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \right]\\ &=& {{\cal G} m\over {D}^{3}} \left[-R\ (\cos\theta\ \mathbf{u} + \sin\theta\ \mathbf{v}) + 3 R\ \cos\theta\ \mathbf{u} \right]\\ &=& {{\cal G} m R\over {D}^{3}} \left[2 \cos \theta\ \mathbf{u} - \sin \theta\ \mathbf{v} \right]\\ \end{eqnarray*}$

Le champ de marée

Champ de marée (modèle statique).

Crédit : ASM

On peut comparer les modules des champs de marée et gravitationnel :

$\left\vert { \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}\over G}\right\vert \simeq {{\cal G}mR/D^3\over {\cal G}m/D^2} \simeq R/D$

Il ressort de cette analyse que l'effet de marée :

S'exercer

Marée dans une flaque d'eau

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

On exprime l'ordre de grandeur du module du champ de marée $\delta G _{\mathrm{m}}$ de la Lune sur la Terre de la façon suivante :

$\delta G _{\mathrm{m}} \simeq {2GmR\over D^{3}}$

avec le rayon de la Terre, , la distance Terre-Lune ( $R \ll D$ ), et la masse de la Lune.

Dans le modèle de l'océan global, caractérisé par une distance $r _{\mathrm{car}}=R=6400\ \hbox{km}$ mesurant l'étendue d'eau, la hauteur de la marée est de l'ordre de 1 m.

En supposant que est, comme le champ de marée, une fonction linéaire de $r _{\mathrm{car}}$ , estimer la hauteur de marée dans les cas suivants :

une mer s'étendant sur 640 km,
un lac s'étendant sur 64 km,
une flaque d'eau de 64 cm.

En déduire pourquoi il n'y a pas de marée dans une flaque d'eau, ni même dans un grand lac.

[2 points]

Question 2)

On souhaite retrouver l'expression du champ de marée $\delta G _{\mathrm{m}}$ de la Lune sur la Terre.

Pour cela, exprimer la valeur du champ gravitationnel de la Lune en deux points distincts et $P^{'}$ de la Terre, tels que , $P^{'}$ et soient alignés, le point repérant le centre de la Lune. Soit la distance $PP^{'}$ , et $r \ll D$ .
Choisir et $P^{'}$ de façon à bien caractériser le problème.
Calculer $\delta G _{\mathrm{m}} = G(P)-G(P^{'})$ , en effectuant un développement limité au 1er ordre en .

[3 points]

Rôle du Soleil sur les marées

Observer

Quadrature

Lors du premier et du dernier quartier de Lune, on observe des marées de faible amplitude dites de morte-eau. Les contributions du Soleil (bleu foncé) et de la Lune (bleu ciel) étant en quadrature (modèle statique).

Crédit : ASM

Conjonction

Lors de la pleine lune ou de la nouvelle lune, on observe des marées de grande amplitude dites de vive-eau, les contributions du Soleil et de la Lune se superposant en phase (modèle statique).

Crédit : ASM

Marées de vive-eau et de morte-eau

Le Soleil, la Terre et la Lune sont en quadrature quand les axes Lune-Terre et Terre-Soleil sont perpendiculaires. Les effets conjugués de la Lune et du Soleil s'opposent.

Le Soleil, la Terre et la Lune, en conjonction, sont alignés. Les champs de marée de la Lune et du Soleil s'ajoutent.

Dans les 2 cas, la marée due à la Lune reste plus forte que celle due au Soleil (voir exercice ci-dessous).

Il faut aussi garder en tête le décalage entre la position de la Lune et la marée dû aux forces de frottement dans la planète et les océans en particulier.

Apprendre

La contribution du Soleil dans les marées

On a pu remarquer que les champs de marée sont proportionnelles à la masse de l'astre perturbateur d'une part, et inversement proportionnelles au cube de la distance avec l'astre perturbateur.

Il s'ensuit que la Terre est soumise principalement au champ gravitationnel de la Lune. Bien que plus massif, le Soleil a une influence moindre sur les eaux de nos océans!

Toutefois, le Soleil n'a pas une influence nulle sur les marées. Pour certaines configurations, les champs de marée du Soleil et de la Lune s'ajoutent (marées de vive-eau), et pour d'autres, se retranchent (marées de morte-eau).

Simuler

Le champ de marée : Lune et Soleil

Le champ de marée en un point du globe évolue en fonction de la phase de la Lune et de la rotation terrestre.

Evolution du champ de marée, dans le cadre de l'approche statique et du modèle de l'océan global, en fonction de la phase de la Lune (modèle statique).

Crédit : ASM

S'exercer

L'influence du Soleil sur les marées

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

On se propose de calculer l'influence relative du Soleil sur les marées par rapport à celle de la Lune.

Question 1)

Exprimer les valeurs des champs de marées $\delta G(L \to T)$ de la Lune sur la Terre et $\delta G(S \to T)$ du Soleil sur la Terre

[1 points]

Question 2)

Ecrire, puis calculer le rapport des champs. Pour les applications numériques, on prendra les valeurs du tableau ci-joint :

Objet	masse (kg)	distance (km)
la Terre	$6\ 10^{24}$
Lune	$7\ 10^{22}$	$3.6\ 10^{5}$
Soleil	$2\ 10^{30}$	$1.5\ 10^{8}$

[1 points]

Effet de marée

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

Un corps non ponctuel dans un champ gravitationnel va ressentir le gradient de ce champ. Proche de l'objet massif créant ce champ, ce gradient devient suffisamment grand pour écarteler tout objet étendu qui s'y aventure.

Cet effet, dit effet de marée, rend compte des anneaux planétaires, de la rupture d'objets cométaires...

La comète Shoemaker-Levy a été fragmentée par effet de marée lors de son passage au périjove en 1992. En juillet 1994, ses fragments se sont abîmés sur la planète géante.

Crédit : NASA

Champ de marée

Observer

La surface de Io, recouverte de volcans géants et de dépôts de soufre.

Crédit : NASA

Le volcanisme sur Io

Io, satellite de Jupiter, possède pratiquement les mêmes masse, diamètre et rayon orbital que la Lune. Sa surface est couverte de volcans (actifs et inactifs) et de lacs de lave. L'activité volcanique est telle que les dépôts volcaniques s'accumulent au rythme d'environ 1 mm d'épaisseur par année sur toute la surface d'Io. De tous les objets du système solaire, Io est celui dont la surface se renouvelle le plus rapidement.

D'où vient l'énergie dissipée par le volcanisme ?

Les volcans d'Io expulsent du gaz à plus de 1 km/s, 20 fois plus vite que ne le fait un volcan terrestre. Ce volcanisme d'Io puise sa source dans l'effet de marée. A cause de la proximité de Io et de la masse de la planète, Jupiter étant 318 fois plus massif que la Terre, les renflements de marée que subit le satellite ont une amplitude de plusieurs kilomètres.

Si, comme la Lune, Io a ses périodes de rotation et de révolution synchronisées, son mouvement est de plus fortement perturbé par 2 autres lunes de Jupiter, Europe et Ganymède, avec lesquels son orbite est résonante.

Sous l'effet de l'attraction des autres satellites, Io est tantôt en avance, tantôt en retard par rapport à sa révolution moyenne, ce qui a pour effet de déplacer le bourrelet de marée, et conduit à une forte dissipation d'énergie : la variabilité et le déplacement des renflements de marée dégradent par friction suffisamment d'énergie pour faire fondre partiellement l'intérieur du satellite et engendrer ainsi une activité volcanique.

Apprendre

Forces de marée de la Terre sur la Lune

La Terre étant 81 fois plus massive que la Lune, l'effet de marée de la Terre sur la Lune est important : cette marée a synchronisé la rotation propre de la lune et sa révolution autour de la Terre. C'est pour cette raison que nous voyons toujours la même face de la Lune.

Sous l'action du champ de marée terrestre, la Lune a été déformée et le bourrelet de déformation est en moyenne aligné dans l'axe Terre-Lune.

Rotation synchrone

Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre de façon à présenter toujours la même face, ce bourrelet se déplacerait et créerait des frottements. La période de rotation propre de la Lune a diminué, et s'est ajustée à celle de révolution autour de la Terre, de telle façon que la Lune présente toujours la même face à la Terre. Ces frottements sont nuls lorsque le bourrelet ne se déplace plus.

Remarque

Ce qui est vrai pour la Lune est aussi vrai pour la Terre : les effets de la marée lunaire continuent de freiner la rotation de la Terre. La journée s'allonge de 2 microsecondes par an.

A l'instar de la Lune, tous les gros satellites du système solaire présentent une rotation synchrone avec celle de leur planète.

Simuler

Animation montrant la rotation synchrone. L'égalité des périodes de révolution et de rotation conduit le satellite à toujours présenter la même face à sa planète. La rotation de la Terre est indiquée par le rayon vecteur rouge.

Crédit : ASM

Rotation synchrone

Animation montrant la rotation synchrone. La lune présente ainsi toujours la même face à la Terre

Animation montrant la libration. Les périodes de libration et de révolution sont très voisines.

Crédit : ASM

Libration et nutation

Animation montrant comment la libration modifie légèrement la rotation synchrone. La libration mesure l'oscillation de la Lune autour de sa position moyenne.

S'évaluer

Sphère d'influence

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

La sphère d'influence d'une planète de masse orbitant sur une orbite circulaire de rayon autour de son étoile de masse $m\ll M$ peut-être définie comme la zone à l'intérieur de laquelle un satellite reste piégé autour de la planète (à l'extérieur de cette sphère, le satellite est capturé en orbite autour de l'étoile). Pour déterminer le rayon de cette sphère, on cherche dans le référentiel tournant avec la planète la position d'équilibre entre les 2 corps et . On note cette position (1er point de Lagrange).

Question 1)

La distance de à la planète étant notée , déterminer les distances de à l'étoile et de au barycentre du système (planète-étoile) en fonction de et . On note cette dernière distance.

[2 points]

Question 2)

Montrer, en identifiant les différents termes, que la relation suivante définit l'état d'équilibre du satellite dans le référentiel barycentrique :

$-{{\cal G}M\over (a-b)^{2}}+{{\cal G}m\over b^{2}}+r\omega^{2}=0$

[3 points]

Question 3)

Développer cette relation en ne retenant que les termes d'ordre 0 ou 1 ( $m\ll M$ et $b\ll a$ ). En déduire que :

$b=a\left({m\over 3M}\right)^{1\over 3}$

[3 points]

Question 4)

Application numérique :

Calculer pour la Terre ( $a = 1.5\ 10^{8}\ \mathrm{km} = 1\ \mathrm{UA}$ ) et comparer à la distance Terre-Lune (380 000 km). Calculer pour le Soleil qui orbite autour du centre galactique ( $a = 26\ 000$ années de lumière, masse $= 9\ 10^{10} M _{\mathrm{\odot}}$ ), et comparer à la distance moyenne entre deux étoiles (distance Soleil-Proxima du Centaure = 4.2 AL), ainsi qu'à la distance du nuage de Oort (de l'ordre de $30\ 10^{3}\ \hbox{UA}$ ).

[2 points]

Limite de Roche

Observer

Saturne et ses anneaux

Les anneaux de Saturne s'étendent en deçà de la limite de Roche.

Crédit : NASA

Uranus et ses anneaux

Dans le domaine IR sélectionné sur cette image, correspondant à une raie du méthane, la planète Uranus apparaît éteinte, ce qui met en évidence les satellites et anneaux.

Crédit : NASA

Anneaux et satellites

Toutes les planètes géantes ont à la fois des anneaux et des satellites. Les anneaux orbitent à proximité de la planète, accompagnés de tout petits satellites. Loin de la planète, il n'y a que des satellites (et des anneaux de poussière instables). La limite de Roche sépare ces 2 régions.

Le champ de marée brise les satellites qui s'aventurent à l'intérieur de cette limite. Elles empêchent aussi les anneaux de s'accréter en satellites.

La comète Shoemaker-Levy 9

En Juillet 1994, les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont percuté Jupiter. Lors du précédent périjove, la comète SL9 s'était fragmentée sous l'effet du champ de marée.

Forces de marée sur la comète SL9

Lorsque la comète arrive à une certaine distance de la planète, le champ de marée est suffisamment important pour écarteler la comète en plusieurs morceaux.

Crédit : Sekanina, Chodas & Yeomans

Apprendre

Modélisation du satellite, en 2 parties sphériques.

Crédit : ASM

Attraction différentes sur les deux parties du satellite.

Crédit : ASM

Equilibre ou rupture, sous l'action du champ autogravitationnel qui doit assurer la cohésion, et des termes de gradient du champ gravitationnel planétaire qui écartèlent le satellite (dans le référentiel du centre de masse du satellite).

Crédit : ASM

La limite de Roche

La limite de Roche marque la distance minimale à la planète d'existence de gros satellites. Au delà, un satellite peut subsister ; en deçà, il est fragmenté en anneaux. Un exercice permet le calcul de cette limite dans une modélisation simple, illustrée par les schémas suivants :

Un satellite est décrit comme la juxtaposition de 2 parties distinctes
Le gradient de champ gravitationnel apparaît intense à proche distance de la planète
Dans le référentiel du centre de masse du satellite, la cohésion du satellite dépend de l'équilibre entre les résidus du champ gravitationnel et le champ d'autogravitation.

S'exercer

Limite de Roche

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

La limite de Roche d'une planète est la distance à partir de laquelle la force de marée sur un satellite est plus importante que les forces de cohésion du satellite. La force du raisonnement de Roche, que nous allons reprendre ici, repose sur l'hypothèse simplificatrice suivante : bien que le satellite naturel soit généralement de forme patatoïdale, on l'imagine constitué de deux sphères ( $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ ) de rayons , maintenues ensemble par interaction gravitationnelle. On notera cette force de cohésion $F _{\mathrm{coh}}(r)$ .

Astéroïde Gaspra

Crédit : NASA

Nous supposons donc qu'un satellite de masse peut être assimilé à deux sphères de masse et de rayon . Ce satellite orbite autour d'une planète de masse ( $m \ll M$ ), et de rayon . La distance entre les centres de masse de la planète et du satellite est notée , avec $D \gg r$ .

Quelques données utiles
Objet	Masse (kg)	Rayon (m)	Masse volumique ( $\mathrm{kg.m}^{-3}$ )
Soleil	$2.0\ 10^{30}$	$7.0\ 10^8$	1400
la Terre	$6.0\ 10^{24}$	$6.4\ 10^6$	5450
Lune	$7.2\ 10^{22}$	$1.7\ 10^6$	3500
Saturne	$5.7\ 10^{26}$	$6.0\ 10^7$	630
Comète			200
Satellites de Saturne	Distance (km)	Rayon (km)	Masse (kg)
Mimas	186 000	196	$3.80\ 10^{19}$
Encelade	238 000	260	$8.40\ 10^{19}$
Téthys	295 000	530	$7.55\ 10^{20}$
Dioné	377 000	560	$1.05\ 10^{21}$
Les anneaux de Saturne	Rayon Interne (km)	Rayon Externe (km)	Largeur (km)
Anneau D	60 000	72 600	12600
Division Guerin	72 600	73 800	1200
Anneau C	73 800	91 800	18000
Division Maxwell	91 800	92 300	500
Anneau B	92 300	115 800	23500
Division Cassini	115 800	120 600	4800

Question 1)

Montrer que la 3ème loi de Kepler appliquée au satellite peut s'écrire :

$\omega\ = \left({{\cal G}M\over D^{3}}\right)^{1/2}$

avec $\omega = 2\pi /T$ la pulsation du mouvement.

[2 points]

Question 2)

Énoncer les forces d'interaction gravitationnelle $F _{\mathrm{G1}}$ et $F _{\mathrm{G2}}$ exercées par l'astre massif sur $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ .

[1 points]

Question 3)

L'étude du mouvement dans le référentiel tournant introduit une accélération d'entraînement. La déterminer, et exprimer le terme d'inertie qui va s'ajouter dans l'écriture de l'équilibre des forces exprimé dans le référentiel tournant. Pour simplifier les calculs, on confond le barycentre du système planète-satellite avec le barycentre de la planète.

[2 points]

Question 4)

On note $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ les contributions totales (gravitationnelle et inertielle) sur $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ . Comment appelle-t-on la force $\delta F$ , définie comme étant la différence de $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ ? La calculer.

[2 points]

Question 5)

Calculer la force de cohésion $F _{\mathrm{coh}}(r)$ entre S_1 et S_2 . Estimer d'abord son origine.

[1 points]

Question 6)

Déterminer la limite de Roche $d _{\mathrm{R}}$ , distance à laquelle les termes de cohésion et marée s'équilibrent. L'exprimer en fonction de $\rho _{\mathrm{M}}$ et de $\rho _{\mathrm{m}}$ , les masses volumiques respectives de la planète et du satellite.

[2 points]

Question 7)

Calculer la limite de Roche pour le cas du système Terre-Lune. Comparer la limite de Roche de la Terre à la distance Terre-Lune.

[1 points]

Question 8)

Même question pour Saturne et son satellite Mimas, on suppose que le satellite en formation dans ses anneaux a une masse volumique identique à celle de Saturne. Calculer la limite de Roche dans ce cas. La comparer aux rayons des anneaux et aux rayons des satellites de Saturne.

[2 points]

Question 9)

Même question pour Soleil visité par une comète à son périhélie. Comparer au périhélie de la comète de Halley $(q = 8.8\ 10^7 \ \mathrm{km})$ (on supposera que l'expression de l'accélération d'entraînement trouvée dans le cas d'une orbite circulaire garde ici un ordre de grandeur convenable, même si elle ne peut plus s'appliquer a priori).

[1 points]

Les points de Lagrange

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

Les points de Lagrange : un cas particulier du problème à 3 corps, où l'un des 3 corps est de masse négligeable devant les 2 autres.

Les 5 points de Lagrange, extrema du potentiel gravitationnel d'un système à 2 corps (points bleus, le barycentre étant en vert).

Crédit : ASM

Les points de Lagrange : analyse statique

Observer

Potentiel gravitationnel sur la droite joignant les 2 corps, pour des rapports de masse de 1 et 10. Ce potentiel présente 3 maxima.

Crédit : ASM

Le potentiel gravitationnel sur l'axe

Dans le référentiel tournant avec les 2 corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement.

Deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent en fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant.

Equipotentielles dans le plan orbital, pour des rapports de masse de 1 et 10. Le gradient de potentiel s'annule aux 5 points de Lagrange. Remarquer que L4 forme un triangle équilatéral avec les 2 corps (points de couleur bleu ciel ; le barycentre est indiqué en vert). Il est est de même pour L5.

Crédit : ASM

Equipotentielles

Dans le plan orbital, les équipotentielles du champ montrent 5 point d'équilibre.

Trois de ces points (L1, L2 et L3) sont des selles. L4 et L5 sont des maxima.

Position des points de Lagrange du système Soleil-Terre, et orientation du champ gravitationnel en leur voisinage.

Crédit : NASA/WMAP

Les points de Lagrange

Détermination du champ gravitationnel au voisinage des points de Lagrange, pour le système Soleil-Terre.

Apprendre

Prérequis

Loi de Newton

Objectifs

Illustrer le problème à N-corps dans un cas particulier : 3 corps, dont 1 de masse négligeable devant les 2 autres. Dans ce cas, on ne considère que le champ gravitationnel des 2 corps massifs.

3 corps, mais 1 de masse nulle

Le problème à 3-corps est insoluble analytiquement dans le cas général. L'astronome mathématicien Joseph-Louis Lagrange en a proposé une solution dans un cas particulier, où l'un des corps est de masse négligeable devant les 2 autres, et subit leurs champs gravitationnels.

Notations.

Crédit : ASM

Le potentiel gravitationnel

Les 2 corps massifs sont supposés en orbite circulaire ; on note $\omega$ la vitesse angulaire de rotation. Le potentiel gravitationnel créé par ces 2 corps est étudié dans le référentiel tournant avec les 2 corps, supposés en orbite circulaire. Les notations sont définis ci-joint.

Le corps de masse négligeable subit le potentiel :

$U \ = - { {\cal G} m_1\over r_1} - { {\cal G} m_2\over r_2} - {1\over 2}\ \omega^2 \ r^2$

avec m_i les masses respectives des 2 corps massifs, r_i les distances du système aux 2 corps, la distance à leur barycentre, et $\omega$ la vitesse angulaire de rotation des 2 corps. Le dernier terme est introduit par le référentiel tournant.

En posant $\mu$ le rapport des masses m_2/m_1 , et en notant $M\equiv m_1$ la plus forte des masses, on obtient :

$U \ = - { {\cal G} M}\ \left[ {1\over r_1} + {\mu\over r_2} + {1\over 2}\ {(1+\mu) r^2\over a^3} \right]$

en ayant introduit la 3e loi de Kepler pour les 2 corps massifs : $\omega^2= 4\pi^2 / T^2 = {\cal G} M (1+\mu) /a^3$ .

Les points de Lagrange

Le gradient de potentiel s'annule en des points particuliers : les points de Lagrange. Leur étude peut être menée analytiquement, mais l'on se contente ici de constater les résultats.

Ces points se situent dans le plan orbital des 2 corps. Les points L1, L2 et L3 sont alignés avec les 2 corps, et L4 et L5 forment avec eux 2 triangles équilatéraux.

Equilibre aux points de Lagrange

Il faut noter que les positions d'équilibre trouvées ne sont pas statiquement stables : ils correspondent en effet à des maximum de potentiel, ou des selles. C'est dynamiquement, avec l'appoint de la force de Coriolis (le référentiel est tournant !) que les points L4 et L5 deviennent stables... et sont occupés par des satellites naturels ou artificiels.

Simuler

Le potentiel dans le référentiel tournant

Les animations proposées parcourent les équipotentielles du potentiel dans le référentiel tournant associé au problème de Lagrange, pour différents rapports de masse : 1, 3, 10.

Le balayage des équipotentielles remonte des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants. L'animation met en évidence les points de Lagrange, à la jonction de différentes nappes équipotentielles.

Le point de Lagrange L1 est à la jonction des nappes équipotentielles autour de chaque objet
Les points de Lagrange L2 et L3 sont à la jonction des nappes équipotentielles autour de chaque objet avec l'équipotentielle dominée par la rotation.
Les points de Lagrange L4 et L5 sont les extrêma du potentiel résultant de la superposition du potentiel gravitationnel principal et du potentiel tournant.

Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse unité.

Crédit : ASM

Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 3.

Crédit : ASM

Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 1/20.

Crédit : ASM

Analyse dynamique

Observer

Stabilité

L'étude de la stabilité des points de Lagrange n'est pas simple. Il est bienvenu d'exprimer le lagrangien du système, et de faire une analyse par perturbation... ce qui est hors de la portée de ce cours.

Les figures ci-jointes, réalisées par des étudiants du Master professionnel Outils et Systèmes de l'Astronomie et de l'Espace lors d'un projet d'analyse numérique, dévoilent la complexité de l'analyse.

Trajectoire autour de L4.
Stabilité en fonction du rapport de masse.

Exemple d'orbite autour de L4. Les distances sont données en unité de demi-grand axe.

Crédit : Observatoire de Paris/Master OSAE

Excursion possible autour du point L4, en fonction du rapport de masse donné, avant déséquilibre. Une distance à L4 bornée dénote l'existence d'un équilibre stable. Au delà de $\mu\simeq 0.038\ (\mu^{-1} \simeq 26)$ , il n'y a plus d'équilibre possible.

Crédit : Observatoire de Paris/Master OSAE

Quelques uns des plus de 6000 satellites troyens de Jupiter. Ils orbitent au voisinage de L4 ou L5 ; leur mouvement autour de ces points se traduit pour par une excentricité et une inclinaison non nulles.

Crédit : IMCCE

Les astéroides troyens

Les astéroïdes troyens sont sur la même orbite que Jupiter, soit en avance de $60^\circ$ sur Jupiter (point L4), soit en retard de $60^\circ$ (point L5).

Insertion de SOHO autour du point de Lagrange L1, et orbite d'équilibre

Crédit : SOHO (ESA & NASA)

La sonde solaire SOHO

Pour observer continûment le Soleil, le point L1 est idéal. Il tourne autour du Soleil avec la Terre, avec le Soleil en permanence d'un côté et la Terre au côté opposé. C'est donc en L1 qu'a été logiquement installée la sonde SOHO, dédiée à l'observation du Soleil.

Insertion du satellite Planck autour du point de Lagrange L2, et orbite d'équilibre.

Crédit : Planck (ESA)

La sonde Planck

En revanche, s'il s'agit d'observer l'Univers froid, mission du satellite Planck, c'est le point L2 qui est idéal. Il tourne avec la Terre, avec le Soleil et la Terre en permanence opposés à la direction de visée. C'est donc en L2 qu'est installé Planck, et que sera le télescope spatial JWST, successeur de Hubble.

Apprendre

Stabilité dynamique

L'étude de la stabilité dynamique autour de L4 ou L5 relève d'une approche numérique. Cette dernière montre que le rapport des deux masses doit être assez élevé (contraste plus grand que $2/(1-\sqrt{23/27})\simeq 26$ ) pour permettre la stabilité.

C'est la force de Coriolis, qui apparaît dans le référentiel tournant, qui stabilise les objets autour de L4 ou L5. Elle correspond à une accélération :

$a _{\mathrm{C}} = -2 \omega \mathbf{u} _{\mathrm{z}} \wedge \mathbf{v}$

avec $\omega \mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ la vitesse angulaire de rotation, perpendiculaire au plan orbital des deux corps massifs, et $\mathbf{v}$ la vitesse relative dans le référentiel tournant. Ce rôle stabilisateur est très brièvement illustré en exercice.

En L4 et L5

Comme L4 et L5 sont dynamiquement stables, on y trouve de nombreux objets.

Plusieurs milliers d'astéroïdes, les Troyens, arpentent les abords des points L4 et L5 du système Soleil-Jupiter.
Le système Saturne-Tethys héberge Telesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dione accueille Hélène au point L4.
De la poussière s'accumule aux points L4 et L5 de la Terre autour du Soleil.

S'exercer

Coriolis et Lagrange

Difficulté : ☆☆ Temps : 45 min

Question 1)

Représenter l'allure du potentiel gravitationnel local autour de L4 dans le référentiel tournant avec les 2 corps, sachant qu'il y présente un maximum.

Question 2)

Montrer que toute composante de vitesse s'éloignant radialement de L4 donne un terme de Coriolis conduisant à un mouvement de rotation autour de L4.

Question 3)

Montrer que toute composante de vitesse orthoradiale autour de L4 conduit à un terme de Coriolis radial. Déterminer le seul sens de rotation possible pour une orbite stable.

Réponses aux exercices

pages_maree-terrestre/lune-maree-sexercer.html

Exercice 'Périodicité des marées'

Question 1
Aide :
Lien vers la page sur les périodes sidérale et synodique .

Solution :
La Lune tourne autour de la Terre en 27.3 jours. Mais la Terre tourne autour du Soleil, donc il faut à la Lune un peu plus de temps pour finir une période apparente.
Question 2
Aide :
Jeter un coup d'oeil à la page concernant les changements de référentiel

Aide :
Le changement de référentiel donne, pour la composition des vitesses angulaires :

$\omega_{\hbox{\scriptsize\rm L}/\star} = \omega _{\mathrm{L/T}} + \omega_{\hbox{\scriptsize\rm T}/\star}$

donc

${1\over T _{\mathrm{sid}}^L} = {1\over T _{\mathrm{syn}}^L} + {1\over T _{\mathrm{sid}}^T}$

Solution :
Le changement de référentiel donne :

${1\over T _{\mathrm{syn}}^L} = {1\over T _{\mathrm{sid}}^L} - {1\over T _{\mathrm{sid}}^T}\ \mathrm{ avec }\ T _{\mathrm{sid}}^T = 365.25\ \mathrm{j}$

On en déduit :

$T _{\mathrm{syn}}^L = {T _{\mathrm{sid}}^T\ T _{\mathrm{sid}}^L\over T _{\mathrm{sid}}^T - T _{\mathrm{sid}}^L} = 29.5 \ \mathrm{j}$
Question 3
Aide :
$T _{\mathrm{p}}$ est la durée mise par la Terre pour faire un tour sur elle-même pour un observateur placé sur la Lune.

Solution :
Cela permet de prévoir l'heure des marées.
Question 4
Aide :
Procéder comme pour le calcul de $T _{\mathrm{syn}}^L$ .

Aide :
Composition des vitesses angulaires :

$\omega _{\mathrm{T/L}} = \omega_{\hbox{\scriptsize\rm T}/\star} + \omega_{\star/\hbox{\scriptsize\rm L}}$

Solution :
De la même façon que l'on a calculé $T _{\mathrm{syn}}^L$ :

$T _{\mathrm{p}} = {T _{\mathrm{sid}}^L\ T _{\mathrm{p}}^{'} \over T _{\mathrm{sid}}^L - T _{\mathrm{p}}^{'}} = 24.9 \ \ \mathrm{h} \ \ \mathrm{ avec} \ \ T _{\mathrm{p}}^{'} = 23\ \mathrm{h} \ 56\ \mathrm{min}$

soit $T _{\mathrm{p}} = 24\ \mathrm{h}\ 50\ \mathrm{min}$ .
Question 5
Solution :
Il y a 2 marées hautes par jour, et donc on observe une marée haute toutes les 12h 25min.

pages_maree-terrestre/approche-statique-sexercer.html

Exercice 'Marée dans une flaque d'eau'

Question 1
Aide :

Il s'agit d'une règle de trois.

Solution :

Hauteur de la marée dans :
Lieux	dimension caractéristique (km)	hauteur de la marée (m)
océan global	6400	1
mer	640	0,1
lac	64	0,01
flaque d'eau	$64.10^{-5}$	$10^{-7}$

Dans une flaque d'eau, l'ordre de grandeur du phénomène de marée serait du dixième de micromètre. Il n'est pas pertinent de parler de marée dans ce cas, même pour un grand lac.

Question 2
Aide :
Le champ gravitationnel en un point éloigné de vaut ${\cal G}m/r^{2}$ .

Aide :
L'un des points ou $P^{'}$ a intérêt à être confondu avec le centre de la Terre.

Solution :
Expression du champ gravitationnel de la Lune au point (centre de laTerre) :

$G(P)= {{\cal G}m\over D^{2}}$

Expression du champ gravitationnel de la Lune au point $P^{'}$ , côté opposé à la Lune. En ce point, $r\equiv R$ , et :

$G(P^{'})={{\cal G}m \over (D+R)^{2}}$

Le module du champ de marée $\delta G _{\mathrm{m}}$ est alors:

$\begin{eqnarray*} \delta G _{\mathrm{m}}& =& {{\cal G}m\over D^{2}}-{{\cal G}m\over (D+R)^{2}}\\ & \simeq & {{\cal G}m\over D^{2}}-{{\cal G}m\over D^{2}}\ \left(1-2{R\over D}\right)\ \mathrm{ car }\ {r\over D} \ll 1 \\ & \simeq & {2{\cal G}mR\over D^{3}}\\ & \simeq & {{\cal G}m\over D^{2}} \ {2R\over D}\\ \end{eqnarray*}$

pages_maree-terrestre/soleil-maree-sexercer.html

Exercice 'L'influence du Soleil sur les marées'

Question 1
Aide :
Se référer au cours, qui montre que l'effet de marée est un effet différentiel.

Solution :
Avec le notation que l'on identifie sans problème, le champ de marée de la Lune sur la Terre s'écrit : $\delta G(L \to T) = {{\cal G}m _{\mathrm{L}} R/d _{\mathrm{L}}^3}$ .

Et celui du Soleil sur la Terre : $\delta G(S \to T) = {{\cal G}m _{\mathrm{S}} R/d _{\mathrm{S}}^3}$ .
Question 2
Aide :
Simple application numérique de la question précédente.

Solution :
${ \delta G(L \to T)\over { \delta G(S \to T)}} = {{m _{\mathrm{L}}\over M _{\mathrm{S}}} \ \left({d _{\mathrm{S}}\over d _{\mathrm{L}}}\right)^3} \ =\ 2.5$

Pour la marée, la Lune a une influence plus de deux fois supérieure à celle du Soleil.

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Exercice 'Sphère d'influence'

Question 1
Aide :
Positionner le barycentre.
Question 2
Aide :
Identifier les champs gravitationnels et le terme lié au référentiel tournant. Faire un schéma.

Aide :
Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel barycentrique.
Question 3
Aide :
Faire apparaitre dans le terme d'interaction gravitationnelle et négliger devant dans le terme de rotation.
Question 4
Aide :
Rappel : 1 AL $\simeq$ 63 000 UA.

pages_effet-de-maree/limite-roche-sexercer.html

Exercice 'Limite de Roche'

Question 1
Aide :
Énoncer la 3ème loi de Kepler pour le satellite.

Aide :
La pulsation du mouvement est $\omega = 2\pi / T$ , avec la période orbitale.

Solution :
La 3ème loi de Kepler appliquée au satellite, en orbite de demi-grand axe et période , s'écrit :

${T^{2}\over D^{3}} = {4\pi^{2}\over {\cal G}M} \iff \omega^{2} = {4\pi^{2}{\cal G}M\over 4\pi^{2}D^{3}} \iff \omega\ = \left({{\cal G}M\over D^{3}}\right)^{1/2}$

Comme $m\ll M$ , on peut supposer que le barycentre du système (planète-satellite) est confondu avec le centre de la planète.
Question 2
Aide :
Déterminer les distances respectives de $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ à la planète.

Solution :
Force gravitationnelle agissant sur $S _{\mathrm{1,2}}$ :

$F _{\mathrm{G1,G2}} = -{{\cal G}Mm\over (D\mp r)^{2}}$
Question 3
Aide :
Pour un point du satellite à la distance de la planète, l'accélération d'entraînement est $-\omega^{2}d$

Solution :
Le terme d'inertie, fonction de la distance à la planète, confondu au centre de masse du système, s'écrit, avec $\omega$ la pulsation de rotation.

$F _{\mathrm{I}} = m\ \omega^{2}d$

D'où, pour chacune des parties du satellite :

$F _{\mathrm{I1,I2}} = m\ \omega^{2} (D\mp r)$
Question 4
Aide :
Exprimer $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ en fonction des termes précédemment établis.

Solution :
D'après ce qui précède, le bilan dans le référentiel tournant s'écrit:

$F _{\mathrm{1,2}} = F _{\mathrm{G1,G2}} + F _{\mathrm{C1,C2}} = -{{\cal G}Mm\over (D\mp r)^{2}} + m\omega^{2}(D\mp r)$

On peut en déduire $\delta F= F _{\mathrm{2}} - F _{\mathrm{1}}$ :

$\begin{eqnarray*} \delta F& =& F _{\mathrm{G2}} + F _{\mathrm{C2}} - (F _{\mathrm{G1}} + F _{\mathrm{C1}})\\ & =& -{\cal G}Mm\left[{1\over (D-r)^{2}} - {1\over (D+r)^{2}}\right] + m\omega^{2}(D-r-D-r)\\ & =& -{{\cal G}Mm\over D^{2}}\left[\left(1-{r\over D}\right)^{-2}-\left(1+{r\over D}\right)^{-2}\right]-2mr\omega^{2}\\ &\simeq & -{{\cal G}Mm\over D^{2}}\left[\left(1+2{r\over D}\right)-\left(1-2{r\over D}\right)\right]-2mr\omega^{2}\ \mathrm{ car }\ r\ll D\\ &\simeq & -{4{\cal G}Mmr\over D^{3}} - 2mr\omega^{2}\\ &\simeq & -{6{\cal G}Mmr\over D^{3}}\ \mathrm{ car}\ \omega\ = \displaystyle{\left({{\cal G}M\over D^{3}}\right)^{1/2}}\\ \end{eqnarray*}$

Dans la cadre du modèle, cette force différentielle rend compte de l'effet de marée entre les 2 composantes du satellite.
Question 5
Aide :
La force de cohésion provient de l'attraction gravitationnelle entre et .

Solution :
Force de cohésion produite par l'interaction gravitationnelle entre $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ , de masse identique et séparés par la distance :

$F _{\mathrm{coh}} = -{{\cal G}m^{2}\over 4r^{2}}$
Question 6
Aide :
La limite de Roche correspond à l'équilibre entre les forces de cohésion et celle de rupture, due à l'effet de marée.

Solution :
Le satellite est à la limite de Roche quand on a l'égalité $\delta F = F _{\mathrm{coh}}$ , pour une distance $D=d _{\mathrm{r}}$ qui provient de :

$\delta F = F _{\mathrm{coh}} \iff -{6{\cal G}mMr\over d _{\mathrm{R}}^{3}} = -{{\cal G}m^{2}\over 4r^{2}} \iff d _{\mathrm{R}} = 2.9\ r\ \left({M\over m}\right)^{1/3}$

Comme

$M = {4\over 3}\pi R^{3}\rho _{\mathrm{M}}\ {\rm et}\ m = {4\over 3}\pi r^{3}\rho _{\mathrm{m}}$

Alors

$d _{\mathrm{R}} = 2.9\ R\ \left({\rho _{\mathrm{M}}\over \rho _{\mathrm{m}}}\right)^{1/3}$

La valeur observée de la limite de Roche est $d _{\mathrm{R}} \simeq 2.45\ R\ \displaystyle{\left({\rho _{\mathrm{M}} / \rho _{\mathrm{m}}}\right)}^{1/3}$ . Elle croît avec le rayon et la masse volumique de la planète.
Question 7
Solution :
La limite de Roche pour la Terre, sur un satellite de densité lunaire, vaut (avec le facteur 2.9) $d _{\mathrm{R}} \simeq 21\ 500\ \mathrm{km}$ . La distance Terre-Lune se montant à 380 000 km, la Lune se situe bien au-delà de la limite de Roche de la Terre.
Question 8
Solution :
Limite de Roche pour Saturne et ses satellites :

$d _{\mathrm{R}} \simeq 140\ 000\ \mathrm{km}$

Limite de Roche pour Saturne et un satellite en formation dans ses anneaux :

$d _{\mathrm{R}} \simeq 174\ 000\ \mathrm{km}$

Les satellites sont bien en dehors de la limite de Roche, et les anneaux à l'intérieur.
Question 9
Solution :
La limite de Roche pour le Soleil vaut

$d _{\mathrm{R}} \simeq 3.9\ 10^6 \mathrm{km}$

soit de l'ordre de 5.6 fois le rayon du Soleil, et environ 20 fois moins que le périgée de la comète de Halley, qui ne risque pas d'être détruite par effet de marée. Mais il n'est pas rare que des comètes s'approchant du Soleil soient fractionnées.

pages_points-lagrange/stabilite-dynamique-sexercer.html

Exercice 'Coriolis et Lagrange'

Question 1
Aide :
Tracer une coupe selon une direction, puis l'autre, sachant que L4 est un sommet

Solution :
Le potentiel est d'allure parabolique. L4 est un maximum.

L'allure de la courbe de potentiel est :
Question 2
Aide :
Munir le plan orbital d'un repère cartésien s'appuyant sur L4, et donner la direction du vecteur rotation par rapport à ce plan

Solution :
La composante de Coriolis s'écrit $- 2\omega \mathbf{u} _{\mathrm{z}} \wedge \mathbf{v}$ .

Etant perpendiculaire à la rotation, elle est nécessairement dans le plan orbital. Etant également perpendiculaire au mouvement, supposé radial, elle est nécessairement orthoradiale : elle va induire un mouvement de rotation autour de L4.
Question 3
Aide :
Il est nécessaire que cette composante de vitesse, radiale, soit de plus dirigée vers L4.

Solution :
La composante de Coriolis s'écrit $- 2\,\omega \, \mathbf{u} _{\mathrm{z}} \wedge \mathbf{v}$ .

Toujours perpendiculaire à la rotation, elle reste nécessairement dans le plan orbital. Etant également perpendiculaire au mouvement, supposé orthoradial, elle est nécessairement radiale.

Afin que cette composante radiale agisse telle une force de rappel vers L4, un seul sens de rotation est possible : vérifier qu'il s'agit d'une rotation dans le même sens que la rotation orbitale.