Miroirs

Le miroir primaire est le ... premier miroir vu par les photons. Il présente généralement un profil parabolique. Le deuxième, s'il y en a un, est appelé ... secondaire.

Miroir de 8.2 m poli par la société SAGEM/REOSC, pour le télescope VLT de l'ESO.

Crédit : REOSC

Miroirs segmentés

Les 2 télescopes Keck, plus grands collecteurs dans le visible depuis le début des années 1990, ont des miroirs segmentés (càd en plusieurs morceaux), et illuminent les foyers Cassegrain et Nasmyth. Ce dernier, après passage du faisceau sur l'axe en altitude, est découplé du télescope.

Miroir segmenté, foyers Cassegrain et Nasmyth d'un des 2 télescopes Keck.

Crédit : Keck

Domaines visible, UV et IR

Une configuration classique est la combinaison de 2 miroirs, l'un parabolique, l'autre hyperbolique convexe, dans la configuration Cassegrain. Les miroirs ne sont plus nécessairement monoblocs ; c'est le cas du télescope optique le plus grand en service actuellement, le télescope Keck.

Domaine radio

Dans le domaine radio, il est nécessaire d'avoir une antenne de grande taille :

• Pour collecter un grand nombre de photons, car l'énergie par photon est très faible dans le domaine radio.
• Afin d'améliorer la fonction de transfert, très étalée par la diffraction à grande longueur d'onde

Les éléments de collecte du signal d'un radiotélescope.

Crédit : ASM

Domaine X

Le domaine des courtes longueurs d'onde présente de nombreuses particularités. Entre autres :

• Seules les observations dans l'espace sont possibles, l'atmosphère étant opaque aux rayonnements X et .
• Il est difficile de focaliser efficacement un rayonnement très énergétique. Pour y parvenir, les miroirs des collecteurs X travaillent en incidence rasante.
• L'imagerie X nécessite un grand nombre de surfaces collectrices.

Télescope XMM de l'agence spatiale européenne, lancé fin 1999 pour une mission de 6 ans.

Crédit : ESA

Télescope X : principe. Pour assurer un bon coefficient de réflexion dans ce domaine de longueur d'onde, les miroirs sont attaqués en incidence rasante.

Crédit : ESA

Paraboloïdes chargés de recueillir le flux X en incidence quasi rasante ; 58 paires de paraboloïdes et hyperboloïdes associés assurent les possibilités d'imagerie du collecteur du satellite XMM.

Crédit : ESA

Voir à l'infini

Le signal d'un objet très lointain, non résolu spatialement, est une onde plane. Observer cette onde plane, c'est la focaliser en un point. Une surface mathématique sait faire cette opération : le paraboloïde de révolution (révolution d'une parabole autour de son axe).

La parabole

Mathématiquement, la parabole conjugue l'infini à un point ; optiquement, elle permet de transformer une onde plane en onde sphérique. Ceci n'est rigoureusement vrai que pour un rayon parallèle à l'axe optique. L'aberration de sphéricité apparaît pour les rayons inclinés sur l'axe.

Propriétés

Les lois de l'optique permettent de caractériser les qualités de la collecte.

• Qualité des dioptres
• Champs et pupilles
• Cohérence de l'ensemble des éléments de la chaîne de collecte du signal

Foyer, doux foyer

Les collecteurs de photons s'appuient sur de multiples configurations optiques. On note principalement :

• Le foyer primaire, devant le collecteur, occulte une partie du faisceau.
• Le foyer Cassegrain se situe juste derrière le miroir primaire du télescope. Ce dernier est percé.
• Le foyer Nasmyth, pour les montures azimutales ; comme pour le foyer Cassegrain,
• Le foyer coudé est renvoyé, par un jeu de miroir, en une position qui ne bouge plus avec le télescope, largement déportée.
• Le transport par fibre optique permet d'emporter le flux loin du collecteur.

Caméra grand champ (gros cylindre noir) au foyer primaire du télescope CFH.

Crédit : CFHT

Instrumentation au foyer Cassegrain du télescope CFH. Le télescope est en station. L'instrument est dans une cuve à vide, sous le logement du miroir primaire.

Crédit : CFHT

Instrument VIMOS sur l'un des 2 foyers Nasmyth d'un des télescopes du VLT, le long de l'axe en élévation.

Crédit : VLT

Combinaisons optiques

Plusieurs configurations optiques permettent de réaliser pratiquement la convergence d'une onde plane en un foyer. Selon l'usage, astronomie amateur ou professionnelle, elles diffèrent, par leur performances et leurs coûts.

• Un télescope de Newton associe un miroir primaire parabolique à un secondaire plan incliné à 45deg par rapport à l'axe optique. Pour des télescopes de petite taille (10 cm, soit le télescope du débutant), le miroir parabolique peut être approximé par un forme sphérique, beaucoup moins coûteuse à polir.
• A un primaire parabolique, percé, le télescope Cassegrain associe un secondaire convexe hyperbolique. Le foyer Cassegrain est situé juste derrière le miroir primaire. Epargné par l'aberration de sphéricité, le miroir parabolique présente un défaut de coma qui limite le champ utile.
• Une variante est le télescope de Schmidt-Cassegrain, où une lame de forme complexe (et coûteuse) en entrée du collecteur permet l'utilisation d'un primaire sphérique.
• Une autre variante est le Maksutov-Cassegrain, avec primaire et secondaire sphériques, respectivement concave et convexe, et une petite lentille de correction.
• Le télescope Ritchey-Chrétien, un télescope de type Cassegrain particulier, est la combinaison aujourd'hui la plus utilisée pour les observatoires fonctionnant dans le visible et le proche infrarouge. Primaire et secondaire sont hyperboliques, ce qui assure une absence d'aberrations de coma et de sphéricité.

Foyers

Un télescope professionnel, usuellement de type Cassegrain ou Ritchey-Chrétien, présentera plusieurs combinaison de foyers.

• Le foyer primaire est interne au tube du télescope de type Cassegrain. S'il est idéal pour les observations grand champ (surtout dans la configuration de Schmidt-Cassegrain), l'instrumentation ne peut y être ni volumineuse ni massive.
• Le foyer Cassegrain, situé derrière le miroir primaire, aboutit à une configuration de plus longue focale. Comme il est également lié au télescope, l'instrumentation est limitée en encombrement.
• Le foyer Nasmyth, pour une monture azimutale, se situe sur la plate-forme mobile en azimut, sur l'axe de hauteur. Il est donc partiellement découplé du télescope et peut accueillir une instrumentation plus volumineuse.
• Le foyer coudé est renvoyé, par un jeu de miroir, en une position qui ne bouge plus avec le télescope, quelque soit la direction de pointage.

Convergence au foyer Cassegrain

La transformation d'une onde plane en onde sphérique, puis de l'onde sphérique en une autre onde sphérique convergeant au foyer du télescope, est une application directe des propriétés des coniques.

Chemins optiques et foyers

Pour un télescope en monture azimutale, telles les 4 unités du VLT, plusieurs trains optiques permettent d'illuminer les différents foyers : Cassegrain, Nasmyth, coudé.

Un observatoire aujourd'hui

L'appliquette ci-dessous décompose différents éléments d'une des unités du VLT.

Forme idéale

La forme des miroirs doit s'approcher au mieux de la forme idéale (parabolique, hyperbolique, plane...). A grande comme à petite échelle, aucun défaut ne doit excéder une limite, dont la valeur dépend des performances souhaitées.

Qualité du miroir

Mise en évidence, fortement exagérée, des défauts de forme d'un miroir parabolique à grande ou à petite échelle.

Crédit : ASM

Miroir primaire du VLT

Miroir de 8.2 m poli par la société REOSC pour le VLT. L'échelle est donnée par les ingénieurs figurant sur le cliché.

Crédit : REOSC

Optique active

Plutôt que de confier la forme idéale du collecteur à une position statique et rigide, l'optique active préfère inclure une chaîne de correction commandant la forme idéale du miroir au moyen d'actuateurs positionnant idéalement chaque sous-élément du miroir.

Cette technique est employée p.ex. pour les miroirs de 8.2 m du VLT. Si leur forme idéale devait découler de leur seule rigidité, ces miroirs auraient une épaisseur supérieure à 2 m : solution inadaptée. Les miroirs sont minces (18 cm) ; leur faible épaisseur leur assure une certaine souplesse, et quelle que soit leur position, des actuateurs les repositionnent pour une forme idéale.

Miroir primaire du VLT

Optique active : miroir mince et actuateurs. Remarquer que la forme du miroir est hyperbolique : les télescopes du VLT sont de type Ritchey-Chrétien.

Crédit : ESO

Miroir du VLT : résidus

En mode actif, les actuateurs assurent un profil idéal. Les écarts à la forme idéale (ici hyperbolique), mesurés par le senseur du front d'onde, ont un écart-type de 43 nm, soit environ 10 fois moins qu'une longueur d'onde dans le visible.

Crédit : ESO

Domaine radio

Dans le domaine radio, caractérisé par des longueurs d'onde relativement grandes, un grillage peut suffire à constituer un bon miroir. Il est vu par l'onde tel une surface pleine, et sa forme rapportée à la longueur d'onde considérée est suffisamment précise.

Miroir du radiotélescope de Nançay

Le collecteur du radiotélescope de Nançay inclut un miroir sphérique. Aux longueurs d'ondes étudiées (typiquement décimétriques), la surface collectrice grillagée présente les mêmes propriétés de réflexion qu'une surface pleine plane.

Crédit : Observatoire de Paris

Miroirs

Un miroir optique diffère d'un miroir usuel. Un miroir usuel est constitué d'une plaque de verre protégeant une feuille métallique réfléchissante. Le faisceau optique traverse par 2 fois cette vitre, avant et après la réflexion métallique.

Un miroir astronomique est constitué d'un support vitreux, précisément taillé, recouvert d'une très fine couche métallique réfléchissante (aluminium, argent ou or principalement, selon le domaine de longueurs d'onde utilisé), éventuellement protégée d'une mince couche d'oxyde. Le faisceau optique ne traverse pas le verre.

Le substrat en verre est typiquement du zérodur, verre se caractérisant par un très faible coefficient de dilatation thermique.

Qualité

La qualité des optiques de toute la chaîne de détection est essentielle. Elle se traduit par la fonction d'étalement du point, qui rend compte de l'image d'un objet ponctuel à l'infini.

Cette qualité, pour un miroir, se résume souvent à un paramètre : à grande ou à petit échelle, le miroir ne doit pas s'écarter de sa forme idéale de plus d'une fraction de longueur d'onde (typiquement de pour un dioptre usuel à pour une optique d'interféromètre).

Optique active

On appelle optique active un système restituant la forme idéale des surfaces collectrices non de façon statique, avec des miroirs très rigides, mais dynamique, avec des miroirs minces positionnés par des actuateurs. L'optique active corrige les déformations lentes d'origine thermique et mécanique.

Optique adaptative

L'optique adaptative corrige en temps réel les défauts du front d'onde induits par la turbulence. Voir les pages dédiées à l'optique adaptative.

Vers les très grandes surfaces collectrices

Les diamètres collecteurs ont régulièrement augmenté au cours du temps, pour collecter plus, et plus précisément, de photons. Divers projets de télescopes optiques de miroir primaire de 30 à 50 m sont dans les cartons. Des structures de telles dimensions existent déjà, mais dans le domaine radio, avec des longueurs d'onde centimétriques et non submicrométriques.

Le projet CELT illustre les caractéristiques des futurs projets. Le projet OWL de l'ESO, préparant la classe des télescopes de 100 m, n'a pas abouti, car il supposait un trop radical changement d'échelle. Il a été remplacé par un projet de télescope de 39 mètres de diamètre, l'Extremely Large Telescope (ELT) de l'Observatoire Européen Austral, dont la première lumière est prévue en 2024.

Pourquoi une grande surface collectrice

Certains besoins scientifiques (pas tous) nécessitent la collecte de flux de plus en plus faible, et donc des collecteurs encore plus grands que ceux de la classe 10 m entrés en action dans les années 1990.

Quelques principes

Les télescope de cette classe 10 m ont montré des changements importants par rapport à leurs prédécesseurs, induits simplement par leur taille.

• Monture azimutale et non plus équatoriale, cette dernière devenant impossible à mettre en oeuvre.
• Nombre d'ouverture plus petit, afin de réduire la focale du collecteur.
• Instrumentation sur une plateforme Nasmyth, le foyer Cassegrain ne pouvant plus accueillir une instrumentation trop lourde ou volumineuse.

Ces principes sont conservés pour les projets de télescope de la classe 30 m, avec en plus la généralisation des miroirs segmentés.

Difficultés pratiques

Si le principe des très grands télescopes est mûr, leur réalisation pratique pose de nombreux problèmes. Par exemple :

• Par conservation de l'étendue de faisceau, la taille de leur instrumentation focale croît à la mesure de la taille du collecteur.
• Une optique adaptative performante est nécessaire pour bénéficier pleinement du gain en diamètre. La complexité de l'OA croît plus rapidement que la surface du télescope.
• Le coût d'un observatoire varie environ comme la puissance quatrième du diamètre du collecteur.

Hypertélescope

Une solution alternative aux très grands télescopes pourrait consister à réaliser une surface collectrice avec plusieurs pupilles reconstituant une seule surface collectrice, mais non entièrement pavée ; un système optique apporte la densification de pupilles, et conduit au principe de l'hypertélescope. La réalisation pratique d'un hypertélescope n'est pas prévue dans un futur proche, un certain nombre de points durs techniques subsistant encore.

Différents principes

• Astrométrie : Repérages de positions, pour la mesure de distance et de mouvement. La mesure des parallaxes des étoiles du proche voisinage solaire est une étape indispensable pour la détermination des distances interstellaires, et le point de départ obligé d'un juste arpentage de l'Univers.
• Imagerie : L'imagerie, ce n'est pas que de belles images d'intérêt cosmico-esthétique, mais le support de diverses activités : relevés statistiques, morphologie, activité... Aujourd'hui se développe l'imagerie grand champ, à base de mosaïques de CCD.
• Photométrie : Mesure de flux lumineux, dans des bandes spectrales bien définies (p.ex. le système BVRI utilisé dans le visible et le proche infrarouge). Les mesures photométriques nécessitent d'excellentes conditions atmosphériques. Les différents éléments de la chaîne d'acquisition (transparence atmosphérique, efficacité de l'instrumentation et du détecteur) interdisent toute mesure absolue directe. Un étalonnage sur une source connue est nécessaire : source céleste bien référencée, ou source d'étalonnage interne à l'instrument.
• Bolométrie : Mesure de flux lumineux, l'énergie des photons incidents (essentiellement les domaines X et IR) étant convertie en agitation thermique dans le détecteur, dont la résistance électrique varie avec la température. Les bolomètres n'ont intrinsèquement aucune sélectivité spectrale.
• Spectrométrie : Différents types de spectromètres sont utilisés en astronomie : spectromètre à résonance, spectromètre interférentiel (spectromètre par transformée de Fourier, Fabry-Pérot, spectromètre à réseau), spectromètre hétérodyne. Selon différents critères (largeur spectrale admissible, résolution spectrale) l'une ou l'autre des techniques s'impose.
• Spectroimagerie : La spectroimagerie permet l'obtention de l'information spectrale pour toute une région spatiale. Selon les techniques (spectrométrie multi-objets, spectro intégrale de champ), cette région est un ensemble de différentes cibles ponctuelles, un objet étendu...

Quels principes, pour quelle mesure ?

La liste qui précède est austère. Les pages qui suivent illustrent comment ces techniques sont mises en pratique, et dans quel but.

Un exemple : environnement d'une étoile

Les données astrométriques permettent une foultitude de choses, comme par exemple de précisément caractériser un champ autour d'un objet. Les figures ci-jointes décrivent de diverses manières l' environnement d'une étoile, une carte, ou par les coordonnées.

Le projet Gaia

Le principe de mesure de Gaia repose sur le balayage du ciel simultanément le long de deux lignes de visée. Le scénario de pointage met en oeuvre la rotation propre et la précession du satellite. Le montage optique s'appuie sur une structure stable.

Pourquoi l'astrométrie ?

Repérer précisément les astres, c'est avoir accès à leur distance, par l'étude de la parallaxe. Repérer leur mouvement propre, c'est avoir accès aux causes dynamiques du mouvement, et donc mesurer des masses.

Précision et performance des relevés astrométriques

date	observation	nombre d'objets	précision (")
-150	Hipparque	1000	1100
1590	Tycho	1000	60
1690	Flamsteed	4000	10
1850	Argelander	26000	1
1975	US Naval Observatory		0.04
1995	Hipparcos	120000	0.001
2012	Gaia

Comment ?

L'agence spatiale européenne a exploité le satellite Hipparcos durant les années 1990, et lancé la mission Gaia fin 2013. Ces 2 missions ont pour but principal l'arpentage de l'Univers, obtenu par une très grande précision astrométrique.

Hipparcos comme Gaia sont des missions spatiales. L'écran de l'atmosphère terrestre est évité, la déviation d'un rayon lumineux au travers des couches atmosphériques étant bien trop importante par rapport à la précision recherchée, de l'ordre de la milliseconde d'arc. La précision des missions Hipparcos et Gaia s'appuie sur le principe de l'observation simultanée de 2 champs stellaires, dans 2 directions faisant entre elles un angle fixé et stable (106.5 deg). Comme un compas sert à repérer des distances (linéaires ou angulaires), de proche en proche les positions relatives des objets sont fixées les unes par rapport aux autres.

Gaia doit mesurer la précision d'un milliard d'objets dans la galaxies (soit 1% de son contenu stellaire), avec une précision de quelques millionièmes secondes d'arc pour les cibles les plus brillantes.

Positions et mouvements

La simulation ci-dessous permet de lire les positions et mouvements repérés par le satellite européen Hipparcos dans l'amas ouvert des Hyades. Noter que la précision des positions effectivement repérées par Hipparcos est infiniment meilleure que celle restituée par l'appliquette.

Mesure de flux dans un système de filtres

Toute mesure photométrique doit s'appuyer sur un système de filtres précis, calibrés par rapport aux filtres des autres systèmes utilisés. Le projet MEGACAM au télescope CFH utilise le système ci-joint, couvrant du très proche UV au proche IR.

Mesure de variations de flux

Les occultations, qui réunissent sur un même axe un objet du système solaire et une étoile, comme une éclipse réunit la Lune et le Soleil, ne sont pas que de simples événements fortuits : leur observation est riche en enseignement (métrologie, sondage atmosphérique...).

Microvariabilité

Les mesures photométriques recherchent souvent des variabilités, dont l'étude ouvre de multiples champs d'investigation. Plusieurs satellites passent actuellement leur temps à mesurer des flux stellaires avec une précision de plus en plus grande. Le satellite CoRoT a ainsi découvert une très petite planète. La microvariabilité d'une naine blanche (PG1159) est étudiée pour l'analyse de ses oscillations : la série temporelle enregistrée sur 8 nuits aboutit au spectre de Fourier.

Pourquoi la photométrie ?

Connaître précisément le nombre de photons de couleur donnée qui arrivent en un intervalle de temps donné permet de remonter à des considérations énergétiques.

Le problème est très souvent complexe, car il nécessite de tenir compte précisément de la transparence atmosphérique, de la fonction de transfert du collecteur et de l'instrument, de la réponse spectrale du détecteur...

Comment ?

Les effets mentionnés ci-dessus illustrent la complexité, voire l'impossibilité, d'une mesure photométrique absolue. Les mesures effectuées sont des mesures relatives, où la luminosité de l'objet, intégrée ou spectrale, est comparée à une référence.

Cette référence peut être une cible stellaire (telle l'étoile Véga p.ex, qui définit la magnitude apparente visuelle 0). Les mesures bolométriques, dans l'IR ou le submillimétrique, comparent le flux étudié à celui d'un corps noir calibré.

Variation photométrique

L'étude de la variabilité et de la microvariabilité est très fructueuse, pour observer des phénomènes à haute fréquence, associés à des variations intrinsèquement rapides ou bien dues à des phénomènes transitoires.

Techniques

Mesurer un flux nécessite de la méthode, et cette dernière dépend du signal étudié. On peut pratiquer :

• La photométrie d'ouverture consiste à considérer tout le flux dans une ouverture donnée. La part de bruit dans cette ouverture sera incluse, peut être indûment, dans l'énergie du signal.
• La photométrie à seuil consiste à considérer comme signal tout ce qui dépasse un niveau de référence. Le choix du seuil est crucial : trop bas, il va considérer comme composante du signal ce qui n'est que du bruit ; trop haut, il ampute le signal.
• La photométrie par ajustement modélise la fonction d'étalement du point attendue, pour aller au plus juste de la mesure. Elle est plus précise que les autres méthodes, mais pas nécessairement simple à mettre en oeuvre. Elle peut être impossible à réaliser à bord d'un satellite, en l'absence de la puissance de calcul nécessaire.

Résolution spatiale, structures et détails

Imager permet de tracer la distribution de matière qui rayonne, qui absorbe... Une image en fausse couleur résulte de la superposition de 3 images prises dans 3 filtres différents.

Autrefois, avant l'introduction de la photographie à usage astronomique, à la fin du XIXe siècle, imager signifiait dessiner !

Identification

L'imagerie permet d'identifier les objets, pour les classer, pour faire le lien entre diverses observations à diverses longueurs d'onde... Un problème courant est de distinguer les sources stellaires des sources galactiques.

Mouvements

L'imagerie, répétée sur un même champ, permet la découverte des petits corps du système solaire, en mouvement apparent sur fond d'étoiles fixes. C'est p.ex. ainsi qu'ont été découverts les objets de Kuiper, éléments du système solaire situés au-delà des planètes géantes, en deçà des comètes, et s'en distinguant par des orbites relativement proche de l'écliptique et d'excentricité modérée.

Evolutions temporelles

Les séries temporelles d'images donnent accès aux cartes des objets enrotation, et à leurs variations

Événements

L'imagerie permet aussi de repérer des événements particuliers, comme p.ex. l'apparition de taches sur Jupiter.

Pourquoi l'imagerie ?

L'imagerie fournit des images. Pour obtenir une image, il faut au préalable avoir reçu 10 bons points. On peut échanger 10 images contre un petit livre.

Les images en astrophysique apportent l'information spatiale, qui permet le traçage et l'identification de la matière lumineuse. Cette information dépend essentiellement de la longueur d'onde d'observation.

La résolution spatiale, couplée avec une faible résolution spectrale, donne par exemple accès à des informations de température ; avec une forte résolution spectrale : traçage fin d'un élément, mesures Doppler...

Comment ?

Obtenir une image est relativement trivial dans certains cas, pas du tout dans d'autres.

Ceci peut être dû à la mise en forme du signal. Dans les domaines X et surtout , la capacité d'imagerie des détecteurs est très limitée, et il est souvent difficile de bien localiser une source même intense. Du côté des très grandes longueurs d'onde, la tache d'Airy due à la diffraction peut atteindre une extension angulaire très grande ce qui limite la résolution spatiale.

La capacité d'imagerie dépend aussi de la technologie des détecteurs. Si en lumière visible les mosaïques CCD atteignent 2k x 4k, les performances sont bien plus limitées dans les longueurs d'onde infrarouges. En submillimétrique et radio, les détecteurs étant monopixels, les images sont construites par juxtaposition d'images élémentaires.

Systèmes de filtres

L'imagerie est le plus souvent menée dans des systèmes de filtres si possible référencées, afin de pouvoir mener des comparaisons entre diverses observations. Ces filtres couvrent continûment le spectre, en bande large.

Objets brillants

L'imagerie multispectrale, gourmande en photons, est menée sur des objets brillants, comme typiquement les objets du système solaire. Selon la longueur d'onde d'observation, les disques solaire, jovien ou de Titan présentent différents aspects. Les domaines spectraux sont ici adaptés au phénomène étudié.

L'intérêt de l'imagerie multi-spectrale est de permettre une modélisation précise de l'objet observé. Par application de code de transfert de rayonnement, cette modélisation permet typiquement de contraindre la température et la composition de l'objet. Le diaporama ci-contre illustre une application sur la calotte martienne sud, observée par l'instrument OMEGA à bord de la sonde Mars Express.

La Voie Lactée

Selon la longueur d'onde d'observation, la Voie Lactée se présente sous différents aspects : chaque longueur d'onde apporte des informations complémentaires sur sa structure.

• Continu radio à 408 MHz : l'émission provient spécialement de la diffusion des électrons libres (émis lors des supernovae) dans le plasma interstellaire chaud, ou alors d'électrons accélérés dans des régions avec un fort champ magnétique. La boucle dans l'hémisphère galactique nord signale le plasma chaud résiduel d'une supernova ayant explosé relativement proche du Soleil il y a quelques milliers d'années.
• Hydrogène atomique à 21 cm (transition hyperfine de l'hydrogène atomique) : signature de milieu interstellaire froid, cette raie signale la présence de nombreux ensembles de gaz et de poussières.
• Continu radio à 2.5 GHz : signe la présence du gaz chaud et ionisé dans les régions de formation stellaire.
• Hydrogène moléculaire : mesuré indirectement, via la transition J=1-0 du monoxyde de carbone. Cette raie donne la carte des nuages d'hydrogène froids et denses.
• Infrarouge lointain : l'émission provient principalement des nuages du milieu interstellaire réchauffés par les étoiles nouvellement formées des régions de genèse stellaire.
• Infrarouge thermique (12, 60 et 100 micromètres) : l'émission provient également des nuages du milieu interstellaire réchauffés, mais signale plus particulièrement la présence de molécules complexes.
• Proche infrarouge (1.5, 2.2 et 3.5 micromètres) : la majeure partie de l'émission provient des étoiles de type spectral K, froides et peu massives. L'absorption par la matière interstellaire est faible dans ces domaines de longueur d'onde.
• Visible (600 nm): la lumière stellaire visible est fortement absorbée par les nuages du milieu interstellaire. L'efficacité du processus d'absorption limite la portée de cette carte aux plus proches régions de l'environnement solaire. Les régions les plus obscurcies en lumière visible correspondent aux régions les plus brillantes en infrarouge.
• X (0.25, 0.75 et 1.5 keV) : l'émission de ces rayons X de faible énergie est principalement issu des nuages chauds ; elle est absorbée par la matière interstellaire, dont la concentration est d'autant plus forte que les régions apparaissent sombres.
• Rayonnement gamma : les photons au delà de 100 MeV sont issus de la collision entre les rayons cosmiques produits par les pulsars de la Voie Lactée et la matière interstellaire.

Imagerie spectrale

L'imagerie spectrale, comme son nom l'indique, fournit des images enregistrées dans un domaine spectral bien précis, défini par un filtre adapté aux propriétés de l'objet. Cela permet de tracer la distribution de matière contribuant à une signature spectrale donnée.

Cette technique est coûteuse en photons, et l'utilisation de filtres étroits nécessite une source brillante (dans le cas du soleil, ce genre de problème ne se pose bien sûr pas).

Clair obscur

L'imagerie multispectrale combine les avantages de l'imagerie et de la spectrométrie. Comme le nombre de photons est divisé et spatialement et spectralement, la source se doit d'être lumineuse pour des observations avec un rapport signal à bruit suffisant.

Du bon usage des progrès technologiques

Les spectromètres pour la haute résolution spectrale ne datent pas d'hier. Mais l'avènement des caméras CCD, qui permettent d'enregistrer un signal sur 2 dimensions, a renouvelé le principe instrumental de la spectrométrie à haute résolution, en ajoutant à la dispersion principale une dispersion croisée, qui permet l'enregistrement simultané de tout le domaine spectral sur une caméra CCD.

Un spectromètre à réseau disperse la lumière dans ses ordres élevés, et les différents ordres sont séparés par une dispersion croisée obtenue à plus basse résolution. L'avantage d'une telle instrumentation est d'aboutir à un enregistrement simultané de tout le spectre, comme p.ex. ce spectre solaire.

Le spectromètre HARPS

Le spectromètre HARPS dédié à la recherche d'exoplanètes est à l'heure actuelle le meilleur instrument de sa catégorie. Il atteint la résolution , en proposant une excellente stabilité. Les mesures sont stables et reproductibles, sur une durée de plusieurs années, à mieux que le milliardième près. Les spectres de HARPS sont obtenus avec les différents ordres d'interférences repliés sur une image ; l'image, traitée, conduit au spectre.

Pourquoi la spectrométrie à haute résolution ?

Bien distinguer l'identité spectrale des photons permet de remonter à la nature des éléments construisant le rayonnement, par absorption ou par émission. La spectrométrie à haute résolution permet aussi, via l'analyse Doppler, des mesures très précises de vitesses radiales, comme p.ex. celles qui ont conduit à la découverte des planètes extrasolaires.

Comment ?

Parmi les disperseurs efficaces, l'instrumentation astrophysique s'appuie couramment sur les spectromètres à réseau ou par transformée de Fourier.

Le principe

Le principe du spectromètre HARPS (ESO/Observatoire de Genève) est expliqué ci-joint.

Spectrométrie à longue fente

La fente du spectromètre sélectionne les objets du champ. La dispersion, perpendiculaire à la fente, apporte un spectre pour chacun de ses objets .

Découpage d'image

L'image est optiquement découpée en tranches, afin de couvrir la fente d'entrée du spectro. L'analyse des images monochromatiques de la fente d'entrée permettra de reconstituer chacune des régions initiales.

Spectrométrie multi-objets

La fente du spectromètre est alimentée par un faisceau de fibres. Ces fibres sélectionnent les objets du champ à étudier, qui donc n'ont pas besoin d'être alignés.

Les champs sélectionnés peuvent être imagés sur un petit nombre de pixels à l'aide de galettes de microlentilles alimentant des fibres optiques.

Spectrométrie à fente longue

La spectrométrie à fente longue a pour objet l'enregistrement simultané de spectres à basse résolution pour les différentes sources sélectionnées par la fente. Le flux issu de chaque sous-région de la fente est dispersé. La dispersion étant perpendiculaire à la fente, l'image bidimensionnelle finale résulte du produit de 2 dimensions : l'une est spectrale, l'autre est spatiale.

Spectrométrie multi-objets

La spectrométrie multi-objets réalise l'enregistrement simultané de spectres à basse résolution pour plusieurs régions d'une image. Les flux de ces régions sont collectés via des fibres, qui organisent une anamorphose de l'image. En entrée, les sources sont réparties indifféremment dans le champ ; en sortie, leurs images par les fibres, sources pour le spectromètre, sont alignées le long de la fente.

Le flux issu de chaque fibre est dispersé. Comme pour la spectrométrie à fente longue, l'image bidimensionnelle finale résulte du produit de 2 dimensions : l'une spectrale, l'autre spatiale. Mais la correspondance entre les pixels et le champ est à considérer selon l'anamorphose effectuée.

Par rapport à la spectrométrie à longue fente, la souplesse des fibres permet de sélectionner plus pertinemment les sources.

Spectrométrie intégrale de champ

La spectrométrie intégrale de champ propose l'enregistrement simultané de spectres à basse résolution de tout un champ objet. L'objet est découpé en un certain nombre de régions, chacune étant alors considérée comme une source ponctuelle, ensuite dispersée.

L'espace entre les images de chacune de ces sources ponctuelles est suffisant pour permettre d'enregistrer, pour chacune, un spectre à basse résolution.

Spectrométrie multi-objets

La fente du spectromètre UVES de l'ESO, fonctionnant en spectrométrie multi-objets, est illuminée par 8 fibres. Sept d'entre elles visent 7 cibles, la 8ème est réservée à la référence spectrale (une lampe à vapeur spectrale, dont on voit les raies en émission).

Spectrométrie intégrale de champ

La résolution spatiale est dégradée, pour permettre l'enregistrement de spectre sur une grille de régions du champ. Le réseau de microlentilles découpe le faisceau, et crée autant d'images ponctuelles qu'il y a de microlentilles. Ces images ponctuelles sont ensuite autant de sources pour un spectrographe. On récupère en sortie un spectre de résolution moyenne pour chaque région de l'objet découpée par la microlentille (cf instrument CFHT/Observatoire de Lyon).

Dans les domaines radio et submillimétrique

Aux grandes longueurs d'onde, submillimétriques ou radio, les techniques interférométriques s'imposent pour un gain en résolution angulaire (voir l'exercice correspondant).

Le VLTI

On nomme VLTI la configuration interférométrique des télescopes du VLT. La longueur de cohérence pour une source astronomique étant limitée, l'obtention de franges d'interférence nécessite des lignes à retard pour mélanger les faisceaux des différents collecteurs. Une des premières opérations du VLTI a consisté en la mesure de diamètres stellaires d'étoiles de la séquence principale. La mesure de ces diamètres angulaires est impossible sans la haute résolution apportée par l'interférométrie.

Interférométrie visible : principe

Les mesures effectuées sont des mesures de visibilité de franges d'interférence. Plus la source est étendue, moins la visibilité des franges est marquée.

Le principe

Les faisceaux issus de 2 collecteurs pointant le même objet sont recombinés, de manière cohérente, pour interférer.

Exemple de valeur numérique : dans le proche infrarouge, pour une base de 100 m : .

Exemple de recombinaison : interféromètre de type Michelson, ou bien Fizeau. Dans ce dernier cas, les surfaces collectrices sont des éléments disjoints d'une surface collectrice unique.

Vers la haute résolution angulaire

L'interférométrie s'est développée dans un premier temps dans le domaine radio. Dans ce domaine de fréquence, la détection cohérente permet une recombinaison du signal plus aisément qu'aux fréquences optiques. La phase du signal étant enregistrée, cette recombinaison n'a même pas à être nécessairement menée en temps réel. L'interférométrie dans le domaine des grandes longueurs d'onde apparaît par ailleurs le plus souvent indispensable, la taille de la tache de diffraction dans ce domaine conduisant, malgré les grands diamètres collecteurs, à une résolution angulaire médiocre. L'interférométrie est aujourd'hui développée jusque dans le domaine visible : en l'absence de pupille de grande taille, c'est la seule technique donnant accès à la haute résolution angulaire.

Technique d'observation

On s'intéresse aux interférences construites entre paires de collecteurs. Le problème se ramène à une situation de type trous d'Young, avec l'analogie entre les trous d'Young et les collecteurs.

La longueur de cohérence du faisceau stellaire est limitée. Réaliser des interférences ne se limite pas à une sommation des intensités lumineuses : observer des franges d'interférence nécessite d'égaler les chemins optiques des 2 voies à quelques longueurs d'onde près avant leur recombinaison. Des lignes à retard optiques permettent de réaliser ceci.

De la même façon que le paramètre pertinent pour visualiser les franges d'interférences issus des trous d'Young est l'écart angulaire par rapport à l'image géométrique, il est utile de faire la correspondance entre la projection des lignes de bases de l'interféromètre, projetées sur le plan d'onde. Une configuration donnée, à une date donnée, va conduire à la mesure de la visibilité des franges d'interférences pour un vecteur angulaire donné .

La courbe de visibilité dépend de la taille angulaire de la source, dès lors que celle-ci est résolue par l'interféromètre. Plus la source sera étendue, plus les franges d'interférence apparaîtront brouillées dès lors que l'on s'éloigne angulairement de la direction de l'optique géométrique.

Base

La ligne de base correspond à la projection sur le plan du ciel, donc orthogonale à la ligne de visée, de la position des télescopes. Du fait de la rotation de la Terre, elle varie au cours de l'observation.

Synthèse d'ouverture

Les animations ci-jointes montrent comment évoluent, au cours d'une séquence d'observation, les lignes de base d'un site avec 3 télescopes interférant, avec les fréquences spatiales sur le plan du ciel.

Si l'objet ne varie pas rapidement dans le temps, il est possible de prendre le temps de nombreuses configurations interférométriques, au besoin avec des changements de positions des télescopes (lorsque cela est possible), pour reconstituer suffisamment de fréquences spatiales et imager en détail l'objet.

Catalogues

Les différents programmes d'observations des différents télescopes ont conduit à l'accumulation de très nombreuses données, compilées dans de non moins nombreux catalogues. Aujourd'hui, soit ces catalogues sont devenus obsolètes, soit ils sont accessibles en ligne pour être accessibles, pour profiter à la plus large communauté, pour être intercroisés avec d'autres observations...

Exemple d'intérêt : archive

Un intérêt majeur d'un observatoire virtuel consiste à fournir des archives, p.ex. pour détecter un phénomène nouveau, tel l'apparition d'une supernova.

Exemple d'intérêt : analyse multispectrale

Approche multispectrale de M20 proposée par le Centre de Données Stellaires de l'Observatoire de Strasbourg. Les outils permettent de retrouver des informations, les comparer...

Base de données

Les évolutions technologies ne permettent pas seulement d'avoir des instruments plus performants, pilotés par des interfaces efficaces. Elles ouvrent aussi la possibilité de mettre à la disposition de la communauté des chercheurs les observations menées par les différents programmes.

Les bases de données classent et organisent dans des formats facilement portables les résultats obtenus par les grands observatoires, leurs programmes majeurs d'atlas et d'observation de régions précises, les missions spatiales...

Vers les observatoires virtuels

Un observatoire virtuel, c'est une base de données suffisamment bien achalandée, organisée et agencée pour permettre non de réaliser une observation, mais d'accéder à des observations passées susceptibles de fournir les renseignements cherchés.

Un observatoire virtuel doit ainsi permettre :

• de comparer des observations concernant un même objet,
• de comparer des observations obtenues à des dates différentes,
• de croiser des observations obtenues à des longueurs d'onde différentes...

Pour en savoir plus, voir p.ex. le site du Centre de Données astronomiques de Strasbourg (CDS).

Réponse spectrale

La réponse spectrale d'un détecteur indique son rendement en fonction de la longueur d'onde. Sans l'instrumentation appropriée, un détecteur ne fournit pas d'information sur la couleur précise d'un photon détecté.

Réponse spectrale d'un CCD éclairé par l'arrière. Un tel détecteur ne voit ni les photons UV ni les photons IR. Il n'est pas non plus capable de distinguer un photon rouge d'un photon bleu s'il n'est pas précédé de l'instrumentation appropriée (filtre ou spectrographe).

Crédit : ASM

Pixels

La taille et le nombre des pixels est un paramètre important. Une photodiode est monopixel ; les mosaïque CCD pour l'astronomie peuvent compter jusqu'à 2k 4k pixels, les plus grands CCD actuels (2003) atteignant la taille 8k 8k pixels.

La résolution atteinte sur cet objet du voisinage de NGC3486, observé en bande B et I dans des conditions de seeing de 0.7", met clairement en évidence la pixélisation de la caméra grand champ.

Crédit : CFHT

Saturation

Exemple de détecteur saturé, en raison d'une trop grande dynamique entre les signaux à enregistrer. La saturation conduit à élargir démesurément la tache image, car les trop nombreux photo-électrons ont débordé du puits de potentiel où ils auraient dû être stockés.

Système binaire Gliese 229. La composante Gb299A est totalement saturée, pour mettre en évidence le compagnon Gl229B, de masse substellaire, qui est une naine brune.

Crédit : HST

Propriétés d'un détecteur

On peut synthétiser les propriétés d'un détecteur selon différentes caractéristiques, chacune associée à une dimension physique particulière.

Les principales caractéristiques sont traitées avec plus de détail dans des pages dédiées.

• Dynamique : Seuil - domaine de linéarité - saturation
• Réponse spectrale : Réponse spectrale - résolution spectrale
• Réponse temporelle : Temps de réponse - filtrage
• Géométrie : Format - fonction de transfert
• Bruits : Bruit propre - bruit de lecture - bruit d'amplification

Caractéristiques

Exemple de caractéristiques d'un détecteur : mosaïque de la caméra CFH12k du télescope CFH.

Détecteurs

On peut distinguer 3 grands type de détection :

• Détection quantique : Un photon incident, absorbé, conduit à l'apparition d'un porteur de charges.
• Détection cohérente : Les récepteurs d'amplitude sont sensibles à l'amplitude et à la phase du signal électromagnétique. Le collecteur est dans ce cas souvent appelé antenne. La détection cohérente nécessite, dans les plus hautes fréquences auxquelles elle peut être menée, le mélange du signal scientifique et d'un signal de référence. La création d'un signal de référence stable, cohérent, n'est technologiquement réalisable qu'aux basses fréquences, en pratique pour les signaux de fréquence inférieure à 1500 GHz (longueur d'onde de 200 micromètres).
• Détection thermique : Un bolomètre absorbe l'énergie du rayonnement incident et la dégrade en agitation thermique. L'élévation thermique qui en résulte est mesurée par la variation d'une grandeur physique reliée à la température.

Photo-électron

L'absorption d'un photon permet à un électron du détecteur de changer d'état. Cette création d'un photo-électron par absorption d'un photon caractérise les détecteurs quantiques.

Du signal lumineux au signal enregistrable

La conversion photon + électron photo-électron s'appuie sur différents effets.

Effet	Description	Récepteur
Effet photochimique	Changement d'état chimique	Plaques photo, plus guère employées aujourd'hui. Les photo-électrons activés par le rayonnement réduisent les ions Ag+ en argent métallique.
Effet photoélectrique	Extraction d'un électron d'un métal vers le vide	Phototube, photomultiplicateur
Effet photoconducteur	Au sein d'un semi-conducteur, l'absorption d'un photon permet à un électron de franchir le gap de la bande de valence vers la bande de conduction	Photodiode
Effet photovoltaïque	Effet photoconducteur dans une jonction PN. Un photon crée une paire électron-trou, qui se traduit pas une différence de potentiel aux bornes de la jonction ; IR lointain radio

Rendement quantique

La probabilité de création d'un photoélectron, souvent appelée rendement quantique, dépend de différents paramètres, et varie fortement avec la longueur d'onde :

Avec les définitions suivantes :

	coefficient de réflexion à la surface du détecteur ; les photons réfléchis, repartant vers la source, ne risquent pas de créer un photo-électron
	fraction de porteurs de charge participant au courant mesuré
	coefficient d'absorption du matériau : un détecteur se doit d'être absorbant.
	épaisseur du détecteur ; plus le produit augmente, plus la probabilité d'absorption d'un photon est grande

Linéarité

On demande à une mesure physique de fournir une mesure en liaison avec l'observable voulue. Une propriété importante est la linéarité : si elle n'est pas assurée, la relation entre le signal mesuré et le signal observé est complexe.

Courbe de linéarité typique d'une caméra CCD. Ici, la linéarité est assurée d'environ 500 à 25000 ADU (unités de signal numérisé), puis le détecteur sature.

Crédit : CFHT

Seuil et saturation

L'effet de seuil peut introduire un décalage sur une faible mesure. Le niveau de signal doit être suffisant pour sortir du bruit propre du détecteur. A faible niveau, la définition du signal nul (offset) peut également affecter le signal. La saturation affecte les fortes valeurs de signal.

L'excitation est en abscisse, la réponse en ordonnée (échelle log-log). La ligne tiretée en bleu donne une réponse idéale, identique à l'excitation, sans seuil ni saturation, de rendement unité. En deçà du seuil, la réponse d'un détecteur réel est mauvaise ; au-delà d'une certaine valeur, le détecteur sature. Noter que le rendement n'est pas 1.

Crédit : ASM

Seuil de sensibilité

Un récepteur sera d'autant plus sensible que... son seuil de sensibilité est bas. Ceci nécessite le plus souvent son refroidissement, afin de diminuer le bruit d'agitation thermique.

Linéarité

La linéarité assure une réponse proportionnelle au signal incident.

C'est une propriété importante pour convertir une observable en mesure. Si le détecteur est linéaire, il est possible par un simple facteur d'échelle de convertir le signal électrique enregistré en signal photométrique.

Saturation

La saturation limite le flux maximum observable. Un niveau de saturation élevé assure une grande dynamique.

Réponse spectrale d'un CCD

La réponse spectrale d'un CCD dépend du matériau semi-conducteur utilisé et des caractéristiques géométriques du sandwich de détection.

Réponse spectrale d'un CCD, selon le traitement de surface (=coating), optimisé vers l'IR, l'UV, ou bien plus une plus grande bande spectrale visible. CCD30-11 de Marconi Applied Technologies

Crédit : Marconi

Réponse spectrale d'un bolomètre pour la radioastronomie

Un bolomètre ne discrimine pas les longueurs d'onde... mais cela ne signifie pas qu'il est également sensible à toutes les longueurs d'onde. Le signal délivré est en fait intégré selon une fenêtre spectrale donnée.

Courbe de réponse spectrale de l'instrument Mambo de l'IRAM (Max Planck Millimetre Bolometer).

Crédit : IRAM

Sensibilité spectrale

Un détecteur n'est sensible que dans une gamme spectrale donnée. Il n'a en général aucune sélectivité spectrale intrinsèque, sauf s'il est muni de filtre adéquat.

Résolution spectrale

De ce qui précède, on déduit que la résolution spectrale dépend essentiellement des filtres ou de l'instrumentation associés au détecteur.

Réponse temporelle

La rapidité de lecture d'un CCD dépend de la fréquence d'horloge de l'électronique et du nombre de pixel. Le fait de n'avoir qu'un nombre de registre de lecture limité (1 à 4 typiquement) ralentit considérablement la réponse temporelle d'un détecteur composé de millions de pixels.

Obturateur

Un obturateur mécanique est souvent nécessaire pour stopper l'arrivée des photons durant le temps de lecture de la caméra. Dans certains cas, cet élément peut limiter la cadence d'observation.

De la nécessité d'observer avec une bonne cadence

L'observation astronomique se caractérise souvent par des poses très longues, nécessaires pour l'obtention d'un signal intrinsèquement très faible. Mais il est aussi utile de pouvoir compter sur des détecteurs rapides. La réponse temporelle prend son importance pour l'observation d'un phénomène périodique rapide, comme p.ex. le clignotement d'un pulsar, ou pour un phénomène transitoire, tel une occultation stellaire.

Temps de réponse, temps de lecture

Un détecteur a un temps de réponse, propre ou dépendant de l'électronique de contrôle et de lecture, qui n'est pas infiniment bref. Par exemple, un bolomètre, qui convertit l'énergie des photons en échauffement, ne peut pas réponde instantanément. De même que la lecture d'une matrice CCD de plusieurs millions de pixels ne peut pas être instantanée, mais prendra jusqu'à une minute.

Il s'ensuit que le signal d'un détecteur est échantillonné dans le temps.

Filtrage

De ce qui précède, on en déduit qu'un détecteur fonctionne comme un filtre passe-bas : les hautes fréquences temporelles sont filtrées.

Pose longue ou échantillonnage rapide

Certains phénomènes astronomiques présentent de rapides variations temporelles, soit parce qu'intrinsèquement variables, soit parce que correspondant à un phénomène transitoire. L'observation de tels phénomènes demande un temps de réponse rapide, et donc une stratégie de détection appropriée.

Format

Les CCD actuels pour l'astronomie ont des tailles limitées à 2k4k. Pour augmenter la capacité de détection, on pave le plan focal de plusieurs détecteurs, comme par exemple pour la caméra MEGACAM du télescope CFH mise en service à l'été 2003.

Les 40 CCD de la caméra MEGACAM du télescope CFH.

Crédit : CFHT

Pixel

Le nombre de pixels court de 1 à plusieurs millions ; on note couramment 1 kpx = 1000 px.

Format

Les caméras actuelles ont typiquement des formats de 256 256 px (dans l'infrarouge thermique) à 2k 4k pixels (dans le visible).

Le format est la seule caractéristique où la détection par plaque photographique fut plus performante. Les détecteurs de type CCD comptent un nombre de pixels bien inférieur à celui atteint par les plus grandes plaques photos.

Bruit de numérisation

Le simple fait de numériser un signal analogique, càd de le coder sur une échelle de valeurs discrétisée (typiquement, sur bits, ce qui permet de coder valeurs), peut rajouter du bruit au signal.

Bruit d'origine thermique

La température du détecteur conditionne le signal d'obscurité d'un détecteur. Suite à l'agitation thermique, des porteurs de charge apparaissent aléatoirement, d'autant plus que la température est élevée.

Bruit de fond

Le bruit de fond représente le bruit de photons de la lumière parasite.

Signaux parasites et bruits

Au signal scientifique se superposent des signaux parasites et des bruits. Un bruit sera caractérisé par son caractère aléatoire, et les propriétés statistiques correspondantes.

Un signal parasite possède, comme son nom l'indique, les propriétés d'un signal et non celles d'un bruit.

Bruit quantique

La nature du rayonnement, quantique par excellence, montre le hiatus à décrire une intensité lumineuse par une quantité analogique, alors que les porteurs de ce rayonnement sont quantifiés.

On montre que la statistique d'arrivée des photons est poissonnienne. Lorsque l'on attend photons, la valeur moyenne observée est et la fluctuation autour de cette valeur moyenne. Il s'ensuit un rapport signal à bruit déterminé par le flux de photons égal à :

En électronique, on parle de bruit de grenaille, et de bruit de photons en optique.

Bruit de fond

Le bruit de fond représente le bruit de photons de la lumière parasite qui se superpose au signal scientifique. Comme le bruit quantique, il est lié aux sources (ici parasites) et non au détecteur. Dans l'infrarouge, il est dominé par l'environnement chaud que voit le détecteur.

Bruit thermique

Le bruit thermique provient de l'agitation thermique des porteurs de charge du détecteur. Il est à moyenne nulle, son écart-type augmente avec la température.

Ce bruit, comme les suivants, dépend du détecteur et de la chaîne de détection.

Bruit de lecture

Le processus de lecture contribue au bruit de lecture, par exemple dans un CCD lorsque les photo-électrons sont transférés le long d'une colonne vers un registre de lecture. On quantifie le bruit de lecture par son écart-type en nombre de photoélectrons par pixel. Une valeur typique de est de l'ordre de quelques photo-électrons par pixel

Bruit d'amplification

L'électronique d'amplification introduit un gain , dont la valeur n'est pas fixe mais sujette à différents bruits.

Bruit de quantification

Le signal analogique est finalement converti en signal numérique, codé sur éléments d'information (bit), ce qui permet uniquement valeurs de codage.

Un signal évoluant sur une plage de 0 à présentera, de par le codage sur éléments d'information, une résolution minimale de .

Diverses contributions au rendement

Lorsque l'on décompte toutes les pertes de transmission des différents éléments d'une chaîne instrumentale, on s'aperçoit que le rendement final n'est pas nécessairement bon. Pour 100 photons collectables au sommet de l'atmosphère, la plupart des instruments ne travailleront finalement qu'avec une poignée de photoélectrons.

Transmissions des différentes contributions d'une chaîne instrumentale : l'atmosphère (au niveau de la mer, pour une observation au zénith), du télescope, de l'instrument, du détecteur CCD, et finalement transmission totale.

Crédit : ASM

Choix d'un site

On peut considérer comme partie intégrante du rendement celui de la couverture temporelle durant laquelle la météo est favorable. L'image satellite illustre le fait que le Chili offre de bien meilleurs sites d'observations que l'Argentine, avec un ciel parfaitement dégagé.

Image satellite de l'Amérique du Sud, dans la fenêtre à 10 micromètres, sensible à la couverture nuageuse. Les courants froids du Pacifique Sud sont responsables du faible taux moyen d'humidité au Chili. Les bons sites comme dans la Cordillère des Andes au Chili offrent plus de 300 nuits claires par an.

Crédit : GEOS

Rendement de la chaîne de détection

Lorsque les photons sont rares, pour des sources faiblement lumineuses, il faut viser l'efficacité lors de chacune des étapes participant à la chaîne de mesure, et ce bien avant le détecteur.

• Atmosphère : La transmission atmosphérique dépend de la longueur d'onde et de la quantité d'atmosphère traversée (sauf pour une observation spatiale).
• Collecteur : L'efficacité de la collection dépend du pouvoir de réflexion des miroirs. En fonction de la longueur d'onde et du traitement de surface adapté (aluminure, argenture, dorure...), le facteur de réflexion d'un miroir vaut typiquement entre 80 et 99%.
• Instruments : Un instrument efficace n'égare pas ses photons. Mais chaque dioptre, traversées vitreuses (lentilles...), chaque passage par fibre optique... épluche les photons par réflexion, transmission, absorption.
• Détecteur : Le rendement du détecteur est la dernière étape limitant le rendement global de la chaine de détection.

Transmissions

Valeurs typiques de transmission de différentes composantes d'une chaîne de mesure

atmosphère	60 à 80%, dépend de la masse d'air (mesure la quantité d'atmosphère traversée, càd , avec la hauteur sur l'horizon de l'objet visé)
miroir	jusqu'à 99%, en fonction du traitement réfléchissant de surface
fibre	de l'ordre de 80%
dioptre	une réflexion verre-air a un coefficient de transmission typiquement de 96%. Un traitement antireflet permet d'accroître ce coefficient jusque vers 99%

Détection et rapport signal à bruit

La détection d'un phénomène, comme par exemple une raie spectrale, nécessite de pouvoir distinguer le signal par rapport à ce qui n'est pas du signal, appelé bruit s'il présente un caractère aléatoire. On exprime ceci par un rapport, le rapport signal à bruit, d'autant plus important que le signal est fort par rapport au bruit.

Allure d'une raie en absorption, observée à différents rapports signal à bruit. La détection commence à être possible avec un rapport signal à bruit supérieur à 5. L'échelle spectrale est donnée en vitesse (km/s), centrée sur la raie.

Crédit : ASM

Biais

Il ne faut pas confondre un signal parasite, ou biais observationnel, avec un bruit. Le biais qui affecte le signal possède des propriétés qui le distinguent tout à fait d'un bruit.

Exemple de biais. Un défaut dans le système de pointage du télescope est mis en évidence sur une cible atypique (alpha du Centaure, extrêmement brillant). Il s'ensuit une signature spectrale parasite à 3.1 mHz et à ses harmoniques.

Crédit : ESO

Un biais très commun est un offset, càd un décalage du signal dû au fait que le niveau zéro du signal physique et le niveau zéro de sa traduction en signal électrique ne coïncident pas.

Exemple d'offset, sur une image simulée de Jupiter dans l'infrarouge thermique. Les courbes orange et rouge sont des coupes de l'image ; elles représentent le flux (unité arbitraire) en fonction du numéro de pixel. Le fond de ciel, qui devrait être à zéro, ne l'est pas.

Crédit : ASM

Bruits et signaux

L'astronomie regorge d'exemple de bruits devenus des signaux célèbres à partir du moment où leurs caractéristiques ont été identifiées.

• Le bruit remarqué par les radioastronomes dans toutes les directions d'observations, a été identifié par Penzias et Wilson en 1965 comme étant le rayonnement à 3 K du fond cosmologique
• Le bruit des observations de la photosphère solaire dans les années 1970 s'est révélé un signal acoustique très régulier, signature des modes d'oscillation du soleil. Aujourd'hui, plus de 10 millions de modes d'oscillations ont été identifiés, si bien que l'on connaît très précisément l'intérieur du Soleil.

La carte du rayonnement du fond cosmologique, observée par le satellite Cobe, représentée en coordonnées galactiques. Les couleurs codent les fluctuations par rapport à la température moyenne 2.728 K

Crédit : NASA

Spectre des modes d'oscillations du Soleil, avec des périodes voisines de 5 minutes. Observation de l'instrument Golf à bord de Soho.

Crédit : SOHO

Qualitativement

Le bruit de la circulation qui vous empêche d'entendre ce que dit votre ami(e) dans la rue, c'est du bruit... et ce que vous dit votre ami(e) a priori du signal. Mais une voiture qui accélère, est-ce vraiment un bruit, ou un signal parasite ? Par analogie, la lumière du ciel diurne qui empêche de voir les étoiles de jour est-elle un bruit, un signal parasite ?

Signal, bruit

Tout observation va comporter, en plus du signal, des perturbations à ce signal. Ces dernières résultent principalement de deux causes, intrinsèques et extrinsèques :

• Intrinsèquement, la nature même de la physique du signal implique l'existence de fluctuations (voir p.ex. comment l'arrivée des photons construit le bruit de Poisson).
• Par ailleurs, les conditions d'observation superposent au signal diverses autres contributions : signaux parasites, biais ou bruits.

Exemple de biais : le niveau de biais d'une image numérique prise avec une caméra CCD peut provenir du signal généré par la tension d'alimentation appliquée au détecteur.

Les propriétés d'un bruit

On découvre par la suite deux types de bruit plus spécialement importants, obéissant à des statistiques poissonniennes ou gaussiennes.

Exemples

La distinction entre bruit et signal parasite est parfois complexe. On peut prendre l'exemple du courant d'obscurité d'un détecteur, qui se superpose au flux observé.

Sa valeur moyenne est parfaitement quantifiable (tant de photoélectrons par pixel et par seconde), ce qui montre qu'il s'agit là d'un signal, parasite certes mais avec les propriétés d'un signal.

La vraie composante de bruit concerne les fluctuations de ce courant d'obscurité.

Identification d'un offset

A l'aide de l'appliquette, estimer l'offset affectant cette image de Jupiter dans l'infrarouge thermique.

Loi de probabilité

Les figures ci-jointes illustrent quelques lois de probabilités :

• Loi uniforme : tirage de dés
• Loi de Poisson : une variable aléatoire suit une loi de Poisson de moyenne si la probabilité pour réaliser vaut

Loi de Poisson de moyennes 3 et 30.

Crédit : ASM

Réalisations

Une loi de probabilité est déterministe. Mais ses réalisations sont ... aléatoires. C'est seulement avec un nombre élevé de réalisations que l'ensemble de ces réalisations retrace fidèlement la loi de probabilité. Si le nombre de réalisations est petit, on n'observe rien d'identifiable.

Loi uniforme, tirage d'un dé.

Crédit : ASM

Réalisations d'un phénomène aléatoire obéissant à la loi de Poisson (moyenne = 10). Avec un nombre N de tirages peu élevé, la distribution des valeurs (courbe en bleu) ne ressemble que de très loin à la fonction de probabilité attendue (croix en rouge).

Crédit : ASM

Réalisations d'un phénomène aléatoire obéissant à la loi de Poisson. Avec un nombre de tirages élevé, la distribution des valeurs trace convenablement la fonction de probabilité.

Crédit : ASM

Estimations

Estimation de la moyenne et de l'écart type d'une loi. La moyenne peut être estimée de diverses façons, et la meilleure façon d'estimer une moyenne dépend de la loi de probabilité.

Moyenne (trait bleu ciel) et écart-type (droites de part et d'autre de la moyenne) pour un bruit blanc.

Crédit : ASM

Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire va être donnée par sa densité de probabilité, ou bien sa fonction de répartition .

Parmi les moments centrés associés, la moyenne et l'écart-type sont respectivement définis par :

et :

( est la variance).

Une loi statistique possède des propriétés particulières, qui caractérisent tel ou tel phénomène : une loi poissonnienne (discrète) rend compte de l'arrivée d'événements indépendants, une loi gaussienne est souvent issue de l'addition d'un grand nombre de phénomènes indépendants...

Réalisations

La réalisation d'une loi de probabilité est aléatoire : un tirage de dés, réalisé 6 fois, ne conduira pas nécessaire à l'obtention une fois et une seule de chaque chiffre de 1 à 6. Plus le nombre de réalisations est grand, meilleur est l'accord entre l'observation de ces réalisations et la loi de probabilité.

Estimations

En pratique, il faut distinguer d'une part la valeur moyenne de la densité de probabilité de sa mesure . Avec les réalisations d'une variable aléatoire, on a accès seulement à :

Et il n'y a aucune raison que . En fait, c'est de mieux en mieux réalisé lorsque devient très grand.

La variance est mesurable par :

avec au dénominateur car a déjà été obtenu à l'aide des mesures, et il ne reste plus que valeurs indépendantes pour estimer .

L'écart entre et vaut typiquement .

Loi statistique et réalisation

L'animation ci-joint montre comment est réalisée en pratique une distribution normale. Ce n'est qu'avec un très grand nombre de tirages que l'histogramme des réalisations ressemble vraiment à la distribution statistique.

Mesure de bruits

Les appliquettes ci-jointes dévoilent des signaux temporels bruités, affectés ou non d'une lente dérive. On se propose d'en mesurer le bruit et le rapport signal à bruit.

Se servir des appliquettes pour :

• Déterminer la moyenne du signal.
• Le cas échéant, corriger de la dérive.
• Mesurer l'écart-type, en appliquant sa définition et la fonction ajustement.

Rapport signal à bruit

Le rapport signal à bruit conditionne toute observation. S'il est faible, on ne voit que du ... bruit.

Allure d'une raie en absorption, observée à différents rapports signal à bruit. L'identification de la raies peut être possible avec un rapport signal à bruit supérieur à 3.

Crédit : ASM

Détection et rapport signal à bruit

La détection d'un phénomène, comme par exemple une raie spectrale, nécessite un rapport signal à bruit typiquement supérieur à 3.

Simulation d'une portion de spectre en absorption, à rapport signal de bruit de 5 et 10. Un motif avec un rapport signal à bruit supérieur à 3 peut très bien être du bruit, et ne peut donc être identifié à quelque signal que ce soit. Si le bruit est strictement gaussien, on admet qu'une détection est certaine dès lors qu'elle sort de plus de 5 fois du niveau de bruit.

Crédit : ASM

Définition

On définit le rapport signal à bruit d'un signal comme le rapport des énergies du signal et du bruit. L'énergie du signal est représentée par sa valeur moyenne , et celle du bruit par l'écart-type . Le rapport signal à bruit est donc :

Si le signal est affecté d'un biais systématique , il faut en tenir compte dans l'estimation de ce rapport, et retirer au préalable sa contribution :

La composante de biais peut être p.ex., pour un signal évoluant dans le temps, un signal parasite apparaissant à plus basse fréquence.

Addition des bruits

Si les différents bruits contribuant à un signal sont indépendants les uns des autres, leurs écarts-types s'ajoutent quadratiquement pour construire l'écart-type total :

Il s'ensuit le rapport signal à bruit :

Détection et rapport signal à bruit

Identifier un spectre est d'autant plus aisé que le rapport signal à bruit est bon. En pratique, une raie a priori inconnue devient détectable pour un rapport signal à bruit supérieur à 5.

Spectre stellaire bruité

Allure d'une portion de spectre stellaire, en fonction du rapport signal à bruit.

Crédit : ASM

Evolution temporelle du rapport signal à bruit

Si le bruit est dominé par le bruit de photons, le rapport signal à bruit augmente avec la durée d'observation, comme le montre cette simulation.

Observation bruitée

La galaxie M31, imagée à différents niveaux de bruit.

Crédit : ASM

Conséquence du théorème de la limite centrale

La superposition de plusieurs variables aléatoires indépendantes les unes des autres conduit à une loi normale. C'est l'une des conséquences du théorème de la limite centrale. L'animation ci-jointe en montre un exemple.

Addition de variables indépendantes, obéissant à une loi de distribution uniforme (entre 0 et 1). Lorsque augmente, la distribution tend vers une loi gaussienne de moyenne et écart type (courbe rouge). Pour , la distribution reste bien sûr uniforme, pour elle garde une allure triangulaire.

Crédit : ASM

Distribution gaussienne

Exemples de distributions gaussiennes.

Distributions de Gauss. Moyennes toutes nulles et écarts-types de 1 à 4.

Crédit : ASM

Bruit gaussien

Si un bruit est gaussien, la probabilité qu'il s'écarte de plus ou moins de la valeur moyenne est très faible. Cette propriété est mise à profit pour identifier le signal du bruit, mais ne marche que si le bruit est vraiment gaussien.

Bruit gaussien de moyenne nulle et d'écart-type 1. Peu de valeurs s'écartent de plus que de la moyenne.

Crédit : ASM

Définition

Le théorème de la limite central implique qu'un bruit résultant de l'action indépendante de différents facteurs physiquesobéit à la loi de probabilité, dite loi normale :

avec la moyenne et l'écart-type. Un tel bruit est dit gaussien.

Écart à la moyenne

Pour une loi gaussienne, la probabilité d'observer un signal s'écartant de par rapport à la valeur moyenne décroît rapidement avec ; 99.7 % des réalisations du signal s'écartent de moins de de la moyenne.

Probabilité d'avoir une valeur dans l'intervalle pour un bruit gaussien.

Détection d'un signal ?

De ce qui précède, peut-on dire qu'un événement qui s'écarte de plus de de la moyenne est sûrement dû à un signal et non à un bruit, et l'identifier comme tel ?

On considère une détection sûre lorsqu'elle dépasse un seuil de 4 ou 5 fois l'écart-type. Mais, la difficulté réside souvent dans le fait que la nature d'un bruit n'est pas exactement gaussienne, ou que des signaux parasites non identifiés compliquent l'interprétation d'un signal.

Analyse en fréquence d'un bruit gaussien

L'analyse fréquentielle d'un bruit gaussien ne montre aucune composante privilégiée. Pour cette raison, on parle d'un bruit blanc.

Marche au hasard

L'ivrogne et son lampadaire sont des acolytes précieux du physicien statisticien. L'ivrogne est supposé partir du lampadaire et accomplir un certain nombre de pas par unité de temps, mais dans n'importe quelle direction.

Au bout de pas, il se sera éloigné du lampadaire d'une distance moyenne de .

Identification d'un niveau de bruit

A l'aide de l'appliquette, estimer le niveau de bruit affectant cette image de Jupiter dans l'infrarouge thermique. L'exprimer en fonction du niveau maximal du signal (conseil : faire une coupe non sur la planète mais sur le fond de ciel).

Statistique de Poisson

Lorsqu'une moyenne de quanta par unité de temps est attendue, un détecteur idéal (rendement unité) en comptera un nombre plus ou moins voisin de . La distribution des valeurs dépend du nombre N : 10, 100, 1000. Plus est grand, plus la distribution apparaît piquée en valeur relative, quand bien même elle est plus étalée en valeur absolue.

Distribution de Poisson

Série de valeurs et histogramme, dans le cas N = 10

Crédit : ASM

Distribution de Poisson

Série de valeurs et histogramme, dans le cas N = 100

Crédit : ASM

Distribution de Poisson

Série de valeurs et histogramme, dans le cas N = 1000

Crédit : ASM

Statistiques poissonniennes. La dispersion relative décroît avec le nombre de quanta attendus.

Crédit : ASM

Un exemple concret... et discret

La statistique de Poisson va être abordée via un cas concret. L'analyse de l'arrivée de photons d'une signal lumineux de moyenne constante.

Un rayonnement monochromatique de fréquence de luminosité , observé pendant une durée , apporte une énergie . Ce rayonnement est véhiculé par un nombre moyen de photons obéissant à :

La discrétisation du flux en quanta d'énergie implique que le nombre de photons arrivant par intervalle de temps fluctue autour de cette valeur moyenne.

Arrivée des photons

La probabilité de détecter photons lorsque sont attendus en moyenne s'écrit :

C'est la loi de Poisson de moyenne . Il faut retenir que :

• La probabilité maximale est obtenue pour .
• L'écart-type de la distribution vaut .

Extrapolation aux grandes valeurs

Pour les grandes valeurs de , on peut montrer que cette loi se confond très rapidement avec la gaussienne :

On en conclut alors, en se basant sur la statistique gaussienne, que pour une valeur moyenne , l'écart-type vaut .

Il en résulte un point important : lorsque croît, l'écart-type croît, mais le rapport écart-type/moyenne du signal décroît.

Distribution de Poisson

A l'aide de l'appliquette : tracer une distribution de Poisson, et identifier les variations majeures lorsque la moyenne varie.

Bruit de photons et photodétection

Une bonne détection, par exemple l'identification d'une raie spectrale, nécessite l'enregistrement d'un nombre suffisant de photoélectrons, afin que la statistique d'arrivée des photons, de type poissonnien, n'empêche pas la détection.

Photons et photoélectrons

Le bruit de photons est en fait un bruit... de photoélectrons. L'arrivée dispersée des photons, conjuguée à la conversion aléatoire d'un photon en photoélectron, construisent la statistique de création de photoélectrons, qui dépend bien sûr du nombre de photons.

Statistique de Poisson

La statistique d'arrivée des photons est poissonnienne, vu que les photons sont par définition des quanta d'énergie. Lorsque l'on attend photons par intervalle de temps, la valeur moyenne observée est ... et sa fluctuation autour de cette valeur moyenne vaut .

Il s'ensuit un rapport signal à bruit déterminé par le flux de photons égal à :

Ce rapport signal à bruit croît avec la racine carrée du nombre de photons collectés.

Photoélectrons

Les photons que l'on observe sont le plus souvent traduits par le détecteurs en photoélectrons, qui suivent la même statistique que les photons, à un facteur de rendement près inférieur à l'unité.

Avec le rendement, le nombre de photoélectrons détectés vaut en fonction du nombre de photons incidents sur le détecteur :

Le bruit de photoélectrons et le rapport signal à bruit résultant valent en pratique .

Dérive instrumentale

Les bruits instrumentaux sont souvent dus à des dérives thermiques. L'exemple ci-joint montre la dérive enregistrée par un astérosismomètre, observant de jour une source de laboratoire délivrant un signal de référence absolument fixe, mais dont la température de travail n'est pas fixée.

Dérive thermique enregistrée par l'instrument FTS du CFH, observant de jour une source stabilisée. Les variations de température de la source (mal) stabilisée se traduisent en signal Doppler au cours d'une journée de test. L'inertie thermique joue le rôle de mémoire : le bruit à un instant donné dépend intimement des instants précédents.

Crédit : ASM/CFHT

Bruit en 1/f

L'effet de mémoire occasionne un bruit instrumental dit en 1/f. Son évolution temporelle se distingue d'un bruit blanc par une sensible dérive. Comme le montre l'analyse de Fourier, son spectre de puissance se caractérise alors par une forte contribution aux basses fréquences, qui apparaît clairement pour un spectre tracé en échelle logarithmique.

Séries temporelles, correspondant à une bruit blanc (courbe bleu ciel), de moyenne nulle, et à un bruit instrumental en 1/f (courbe bleu foncé) qui dérive.

Crédit : ASM

Les spectres de puissance des séries temporelles de différents types de bruits diffèrent sensiblement. Le bruit gaussien n'a pas de fréquence privilégiée, contrairement au bruit instrumental qui montre un spectre de puissance en , càd un spectre de Fourier en .

Crédit : ASM

Idem, mais en double échelle logarithmique.

Crédit : ASM

Bruit en 1/f

Le bruit dit en 1/f, avec une dépendance spectrale variant en raison inverse de la fréquence, est typiquement d'origine instrumentale. Il apparaît lorsque les fluctuations induites sur le signal ne sont pas indépendantes, mais corrélées. C'est typiquement le cas des fluctuations thermiques : une perturbation en température à l'instant aura des conséquences à tout instant suivant.

La transformée de Fourier de l'évolution temporelle d'un tel bruit montre un spectre en , l'exposant dépendant, phénoménologiquement, de la nature des corrélations au cours du temps.

Analyse en fréquence d'un bruit instrumental

L'analyse de Fourier d'un bruit en 1/f se caractérise, comme son l'indique, par une forte contribution aux basses fréquences. Ceci apparaît clairement pour un spectre tracé en échelle logarithmique.

Continu / discret

Un signal continu n'existe pas : décrire le continu nécessite une infinité de valeurs. Tout signal est échantillonné, càd décrit sur un nombre discret de valeurs.

Échantillonnage de Shannon

Un détecteur ayant une résolution limite (spatiale ou temporelle), un signal physique est nécessairement échantillonné. Même si une observation avec ce détecteur semble prendre des valeurs continues, elle peut être traduite par une série finie de valeurs, correspondant à un échantillonnage discret.

Une bonne observation nécessite de ne pas dégrader la résolution du signal par ce phénomène d'échantillonnage, ce qu'exprime la condition d'échantillonnage de Shannon, qui s'applique aussi pour un signal 2-D.

Echantillonnage et coupure

Le pas d'échantillonnage détermine la résolution maximale en fréquence. Au delà de la fréquence de coupure, échantillonnée sur 2 points par période, l'information est perdue. Autrement dit, la fréquence de coupure définie selon Fourier et le théorème de Shannon rendent compte du même phénomène.

Echantillonnage

Tout signal, spatial ou temporel, est limité en fréquence, à cause du processus d'observation. Il peut être codé sur une distribution discrète de valeurs. Ce processus de discrétisation est nommé échantillonnage.

Théorème de Shannon

Le critère de Shannon énonce qu'un signal doit avoir sa fréquence maximale échantillonnée sur au-moins 2 pixels afin de ne subir aucune dégradation. En pratique, il faut :

• 2 acquisitions temporelles par période pour un signal temporel périodique
• 2 pixels par élément de résolution spatiale pour un signal spatial

La justification de ce critère est liée à l'analyse fréquentielle, par transformée de Fourier : en appliquant le critère de Nyquist, les fréquences sont restituées convenablement jusqu'à la fréquence de coupure.

Pourquoi filtrer un signal ?

Dans la chaîne de traitement du signal, des observations brutes au résultat final, une étape souvent essentielle consiste à s'affranchir de signaux parasites. C'est possible lorsque ces derniers présentent des caractéristiques différentes de celles du signal, comme p.ex. un signal à basse fréquence qui contamine un signal sismique.

Analyse d'un signal sismique

Le signal brut comprend plusieurs composantes. La rotation de la Terre, parfaitement modélisable, apporte une composante à basse fréquence (période de 24 h). Un signal d'erreur, sur une source de référence, permet l'enregistrement d'une dérive également à basse fréquence. La correction de ces 2 termes ne comprend plus que des hautes fréquences, parmi lesquelles le signal sismique à analyser.

Crédit : ASM

Moyenne glissante

Un filtre par moyenne glissante substitue à une valeur donnée la moyenne des valeurs aux alentours, dans un intervalle de largeur . Plus l'intervalle est grand, plus le filtrage est efficace.

Ce filtrage présente des inconvénients que dévoile la transformée de Fourier.

Moyennes glissantes, calculées localement sur 10 (bleu ciel), 20 (vert) ou 50 points (rouge).

Crédit : ASM

Spectre de Fourier (ordonnée en échelle logarithmique) d'une série de données non filtrée (courbe noire), ou filtrée par moyenne glissante de sur un intervalle de largeur 3 (courbe bleue) ou 7 (courbe rouge). On s'aperçoit que le filtrage des fréquences par moyenne glissante est très irrégulier.

Crédit : ASM

Médiane

Un filtre par moyenne médiane substitue à une valeur donnée la médiane des valeurs aux alentours, dans un intervalle de largeur . Ce filtrage est efficace pour gommer les valeurs aberrantes.

Moyennes médianes, calculées localement sur 10 (bleu ciel), 20 (vert) ou 50 points (rouge).

Crédit : ASM

Estimation linéaire

Réaliser une estimation linéaire d'une distribution de pont, c'est finalement ne décrire ce nuage de points que par 2 valeurs (ordonnée à l'origine et pente)

Estimation linéaire. Les hautes fréquences spatiales de la courbe rouge sont filtrées.

Crédit : ASM

Traitement d'un point aberrant

La correction de valeurs aberrantes est typiquement une opération de filtrage. Un filtrage par moyenne glissante ou par la médiane n'y parvient pas avec la même efficacité.

La valeur aberrante est bien corrigée par le filtre médian (vert) mais pas par la moyenne glissante (bleu ciel)

Crédit : ASM

Filtrage en fréquence

Toute série de données, dépendant de quelque paramètre que ce soit (temps, variable d'espace, autre variable), à n'importe quelle dimension, peut être décrite par ses composantes fréquentielles. Un filtrage ad hoc peut permettre de faire ressortir le signal des autres composantes.

La correction par filtrage des basses fréquences (bleu ciel) permet de ne garder que le signal utile (rouge).

Crédit : ASM

Problématique

Il est souvent indispensable de séparer les différentes composantes en fréquences qui constituent une observation, pour extraire le signal de la contribution du bruit ou d'autres signaux, ce qui constitue un filtrage du signal. Le but n'est pas de présenter sous forme de cours les multiples filtres possibles, mais plutôt quelques-uns de leurs effets.

Exemple de filtre temporel : l'acquisition de données

Toute acquisition de données, caractérisée par un pas de temps , filtre les fréquences temporelles plus rapides que .

Exemple de filtre spatial : la diffraction

On peut reconsidérer la diffraction d'une onde plane monochromatique de longueur d'onde par une ouverture comme un filtrage des fréquences angulaires supérieures à .

Comment ça marche ?

Les animations ci-jointes décortiquent le processus de filtrage par moyenne glissante ou par la médiane.

Exemple de filtrage mal adapté

L'opération de filtrage n'est pas bégnine, et un filtre inadapté peut conduire à un mauvais résultat. Par exemple, le filtrage par moyenne glissante convient très mal pour un signal oscillant.

Exemple de filtrage numérique

La série temporelle ci-jointe est filtrée par filtrage numérique (algorithme de filtre à trous), avec séparation des hautes et basses fréquence. Les domaines de fréquence sont définis par rapport à une fréquence de valeur arbitraire ou mûrement réfléchie...

A la recherche de motifs

Les appliquettes ci-dessous dévoilent l'intérêt du filtrage. Elles représentent des cartes de Jupiter dans l'infrarouge thermique. Sans filtrage, c'est la structure en bandes parallèles à l'équateur qui domine l'image ; après filtrage de cette structure dominante, on voit apparaître des motifs de type ondulatoire, avec une dizaine de motifs répartis en longitude, couvrant une extension en latitude plus vaste que les bandes.

Utiliser les appliquettes pour dévoiler ces structures.

Correction élémentaire du champ plat

A l'aide de l'appliquette ci-jointe, on se propose d'illustrer l'évolution du bruit en sommant différentes images d'un même champ.

Correction du champ plat

• Sélectionner la 1ère image. Si besoin, adapter l'échelle de couleur avec la touche auto
• Sélection l'opération coupe, puis une ligne de coupe évitant les objets les plus brillants.
• Sélection l'opération division, puis la 1ère image et l'image de champ plat, et nommer l'image corrigée.
• Réaliser sur cette nouvelle image la coupe précédente. Comparer.

Formalisme de la transformation de Fourier

La transformation de Fourier associe à une fonction sa transformée~:

Les variables et sont conjuguées. A la variable temporelle est associée la variable fréquentielle ; à la variable d'espace , la fréquence spatiale .

Propriétés

La TF est dotée de multiples propriétés (linéarité...) : se référer à un cours de maths.

L'opération inverse de la TF est notée : et .

Théorème de Parseval-Plancherel

Il ne s'agit rien d'autre que de la conservation de l'énergie, qui ici s'exprime par :

Autrement dit, l'énergie d'un signal ne peut pas dépendre de la description de ce signal, directe ou fréquentielle.

Analyse de Fourier

grandeur	notation	unité	exemple
variable		X	temps, en s
variable conjuguée		1/X	fréquence, en Hz
signal		Y	vitesse, en m/s
spectre		XY	m
spectre d'amplitude		XY	m
spectre de puissance

Analyse de Fourier discrète

La définition de la transformation, continue, se doit d'être amendée pour tenir compte du fait qu'un signal réel est échantillonné. L'analyse de Fourier discrète s'appuie sur un nombre fini de réalisations du signal, et donne un nombre finie de fréquences pour le décrire. La discrétisation s'opère en douceur, car la TF d'une fonction peigne (succession équidistance de Dirac), fonction retranscrivant l'échantillonnage du signal, est une fonction peigne.

Analyse de Fourier rapide

L'analyse de Fourier rapide (fast Fourier transform, ou FFT) est une une forme spécifique de programmation de la transformation de Fourier. Une routine de calcul fft est présente dans toute bonne bibliothèque de programmation.

L'usage d'une FFT implique:

• Une série comportant un nombre points tel que points, sinon le gain en temps est annulé, et la FFT peut devenir extrêmement lente si le nombre de points est premier, ou se factorise avec de grands facteurs premiers.
• Cette série se doit de plus d'être régularisée : la base de temps est supposée être une série arithmétique, de pas temporel fixe.
• La série de valeurs conduit à un spectre de fréquences.

TF et FFT

L'appliquette ci-dessous permet de calculer et visualiser le spectre de puissance de certaines fonctions. La transformée de Fourier peut calculée soit directement, soit par FFT.

Intérêt de la transformée de Fourier

La TF permet la recherche de composantes périodiques dans un signal. Les signaux ci-contre sont équivalents. L'un correspond à une série temporelle, l'autre à son spectre de Fourier.

Série temporelle et son spectre

La série temporelle (extrait donné en bleu) ne montre rien de définissable. Son spectre de Fourier dévoile en revanche les fréquences propres qui constituent le signal, en les distinguant clairement du bruit.

Crédit : ASM

Exemple : signal sismique

L'astérosismologie est un sujet en plein développement, dont les observations se basent sur de longues séries temporelles, pour l'identification des modes propres d'oscillations dans le spectre de Fourier.

Série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile Cen.

Crédit : ESO

Spectre de Fourier de la série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile alpha Cen.

Crédit : ESO

Mesure

Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale , l'analyse par transformée de Fourier se réécrit :

avec les dates individuelles et . Si l'enregistrement est suffisamment régulier :

Les durées et définissent les principales propriétés de l'analyse de Fourier.

Résolution en fréquence

Un signal observé durant une durée totale permet une résolution en fréquence .

Fréquence de coupure

Un signal observé avec un échantillonnage permet de suivre les fréquences jusqu'à la coupure . Le facteur 2 provient de la nécessité d'observer sur 2 mesures distinctes une demi-période négative et une demi-période positive.

Echantillonnage

L'observation de phénomènes variables doit permettre :

• Un échantillonnage suffisamment rapide de la série temporelle, afin d'avoir accès aux variations les plus rapides.
• Une durée d'observation suffisamment longue pour suivre une période entière d'un phénomène périodique.

A retenir

Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale et avec un échantillonnage , on peut alors distinguer sans ambiguïté fréquences, entre et .

Résolution

Pour une série temporelle, la résolution en fréquence du spectre est d'autant meilleure que la base de temps d'observation est plus longue.

TF et résolution

La résolution en fréquence, d'autant plus fine que la série temporelle initiale est longue, permet de dévoiler peu à peu la richesse du spectre.

Crédit : ASM

Pour une image, on relie la fréquence de coupure spatiale à la résolution spatiale .

TF et fréquence de coupure

M31, vue avec un nombre plus ou moins grand de fréquences spatiales (spectre de Fourier 2-D à gauche, image reconstruite à droite).

Crédit : ASM

Bruit / signal cohérent

Une analyse par TF va traiter différemment un signal, avec un spectre donné, d'un bruit, sans signature spectrale caractéristique.

Transformée de Fourier et bruit

Evolution temporelle du bruit dans une TF. La durée d'observation augmentant, l'énergie du bruit se retrouve distribuée sur un nombre croissant de fréquences, contrairement au signal à fréquence bien déterminée.

Crédit : ASM

Bruit blanc

Un bruit gaussien ne montre aucune fréquence privilégiée, contrairement à un bruit en 1/f.

Comparaison des spectre d'un bruit en 1/f et d'un bruit gaussien, avec une représentation en double échelle logarithmique.

Crédit : ASM

Signal ou bruit

La dialectique est simple : un bruit ne mérite ce titre qu'en l'absence de signature spectrale définie (un bruit blanc ne présente aucune particularité spectrale; un bruit instrumental, par effet de mémoire, présente plus d'énergie aux basses fréquences qu'aux fréquences plus élevées).

La TF permet par son principe, en classant et en analysant les fréquences constitutives d'une suite de données, de distinguer la part du signal de celle du bruit. En pratique, cela nécessite un rapport signal-à-bruit suffisant (mais qui peut être très faible).

Cohérence

Lorsque le nombre de données observationnelles augmente, un signal cohérent va garder une signature bien précise. En revanche, un bruit va voir son énergie diluée dans une multitude de fréquences.

La TF permet de faire ressortir du bruit un signal bien cohérent.

Evolution temporelle des bruits et signaux

En augmentant la durée totale de la série temporelle de données, un signal périodique cohérent (càd de durée de vie supérieure à la durée d'observation) ressort peu à peu du bruit.

Faire taire le bruit

A l'aide de l'appliquette ci-dessous, on se propose d'évaluer comment le bruit évolue dans un spectre