Vie

Auteur: Benoît Mosser

Introduction
Fusion nucléaire
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
Masse d'une étoile
- Apprendre
- S'exercer
- S'évaluer
Relation masse-luminosité
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Finalement, qu'est-ce qu'une étoile ?
- Observer
- Apprendre
- S'évaluer

Introduction

La phase de formation ne représente qu'une courte étape dans la vie de la plupart des étoiles. Ensuite, l'étoile doit trouver une autre source d'énergie.

Avec une masse stellaire suffisante, de l'ordre du douzième de la masse du Soleil, la fusion de l'hydrogène peut s'amorcer, et l'étoile entre sur la séquence principale.

Cet objet du catalogue Herbig-Haro est une étoile de type T-Tauri. Sur le point d'atteindre la séquence principale, elle éjecte encore une fraction importante de sa masse sous forme de vent stellaire.

Crédit : HST

Fusion nucléaire

Observer

Image en rayon X du Soleil. Quelle source d'énergie interne explique la luminosité du Soleil ?

Crédit : NASA

Energie interne

Le Soleil présente un âge bien plus avancé que le temps de Kelvin-Helmholtz. Il possède une source d'énergie interne qui explique son rayonnement.

Réaction détaillée de la fusion de 4 H en 1 He.

Crédit : ASM

Bilan de la fusion de 4 H en 1 He.

Crédit : ASM

Chaine proton-proton

Différentes étapes conduisent à la fusion de 4 protons en un noyau d'hélium, ne faisant intervenir que des paires de réactifs à chaque étape élémentaire.

L'étape limitante de la réaction consiste en la fusion de 2 protons vers un noyau de deutérium, avec émission d'un positron, donc un bilan réduit $\mathrm{p}^{+} \to \mathrm{n} + \mathrm{e}^{+}$ . L'interaction faible mise en jeu induit un très faible taux de réaction.

Cycle CNO.

Crédit : ASM

Cycle CNO

A plus haute température (car les noyaux impliquées sont plus lourds, donc plus chargés), le cycle CNO peut s'avérer plus rapide que la chaîne proton-proton. Il est à l'oeuvre dans les étoiles massives. Les noyaux C, N et O participent au cycle, mais n'apparaissent pas dans le bilan final, qui reste la transformation de 4 protons en 1 noyau d'hélium.

Apprendre

Objectifs

Définir dans quelles conditions microphysiques la fusion de l'hydrogène va s'amorcer.

Montrer que la fusion nécessite une température élevée, de l'ordre de $10^7 {\,\mathrm{K}}$ .

Après la phase de contraction

L'examen des constantes de temps dynamiques et de Kelvin Helmholtz a montré que l'effondrement d'un nuage est relativement bref, et que la puissance rayonnée ne va pas durer éternellement.

Seules les régions internes les plus chaudes peuvent être le siège de la fusion de l'hydrogène. Leur volume est limité.

Crédit : ASM

Energie disponible

La réaction qui de 4 protons conduit à un noyau d'hélium présente un bilan de perte de masse de $0.007 m _{\mathrm{p}}$ par proton. L'énergie nucléaire disponible, par fusion de l'hydrogène, est donc de $0.007 m _{\mathrm{p}} c^2$ , soit 7 MeV, par nucléon, et a priori de 0.007 M c^2 pour toute l'étoile.

En fait, seule la région centrale de l'étoile, la plus chaude, permet la fusion. Dans le cas d'une étoile comme le Soleil, seule une masse $\simeq M/10$ est concernée.

Constante de temps nucléaire

La durée de vie à ce régime, pour une étoile comme le Soleil, est alors :

$t _{\mathrm{nucl}} = {E\over L}$

L'application numérique, avec la luminosité solaire mesurée aujourd'hui $(\simeq 3.8\ 10^{26} {\,\mathrm{W}})$ , le taux de conversion par nucléon et la masse concernée donne :

$t _{\mathrm{nucl}} \simeq 0.007\ {M/10\ c^2\over L} \simeq 10^{10} {\,\mathrm{ans}}$

Une réaction chimique, dégageant typiquement 1 eV par nucléon, soit 1 million de fois moins que la fusion de l'hydrogène, conduirait à une durée de vie de $10^4 {\,\mathrm{ans}}$ seulement.

L'estimation de 10 milliards d'année pour le Soleil est très proche de ce que donne une modélisation plus poussée. Actuellement, avec un âge de 4.56 milliards d'années, le Soleil est à mi-parcours sur la séquence principale.

L'effet tunnel permet à un couple de protons de se rencontrer et d'interagir via l'interaction nucléaire forte, en outrepassant la barrière électrostatique.

Crédit : ASM

Distribution maxwellienne de vitesse, valable pour un gaz parfait. Valeur la plus probable, valeur moyenne et largeur de la distribution se valent, pour une énergie cinétique égale à 3/2 kT.

Crédit : ASM

Interagir

Au sein d'une étoile, l'hydrogène est totalement ionisé : la matière se présente sous la forme d'un gaz de protons et d'électrons essentiellement. La réaction entre 2 protons nécessite leur rencontre à très courte distance, car l'interaction nucléaire forte n'a qu'une très courte portée, de l'ordre du femtomètre. Ceci nécessite de vaincre la répulsion électrostatique.

La barrière de potentiel pour une distance de 1 fm entre les 2 protons, peut se traduire en température : de l'ordre de $10^9 {\,\mathrm{K}}$ . Traduite en masse stellaire, ceci nécessiterait un minimum de 30 fois la masse du Soleil.

Deux phénomènes se conjuguent pour faciliter la fusion :

L'effet tunnel conduit à tromper les électrons sur la distance exacte qui les sépare. Il exprime l'incertitude de Heisenberg : les 2 protons fonçant l'un sur l'autre ne peuvent pas avoir une position très précisément définie.
La distribution de vitesse des protons est maxwellienne, donnée par la théorie cinétique du gaz parfait : si l'énergie cinétique moyenne est $3/2 k _{\mathrm{B}} T$ , une proportion non négligeable de protons est sensiblement plus rapide.

Ces points sont quantifiés en exercice.

Fusion de l'hydrogène

En pratique, la température limite de fusion de l'hydrogène est de l'ordre de 10 millions de Kelvin. Pour des températures plus faibles, seule la fusion du deutérium peut s'amorcer.

$T _{\mathrm{fusion,\ H}} \ \simeq \ 10^7 {\,\mathrm{K}}$

La fusion par le cycle pp domine lorsque la température n'excède pas $10^7 {\,\mathrm{K}}$ . Au delà de $2 \ 10^7 {\,\mathrm{K}}$ , le cycle CNO est prépondérant.

Fusion de noyaux lourds

Plus les noyaux sont lourds, plus leur fusion nécessite une température élevée. En fonction du nombre de charge de l'élément considéré :

$T _{\mathrm{fusion,\ Z}} \ \simeq \ Z^2\ T _{\mathrm{fusion,\ H}}$

S'exercer

Energie potentielle d'interaction proton-proton.

Crédit : ASM

Température de fusion

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Cet exercice a pour but de quantifier, dans un cadre classique, la température minimale qui doit régner au centre d'une étoile pour que s'amorcent les réactions nucléaires. Il se base sur la figure donnant le potentiel d'interaction entre 2 protons.

Question 1)

Mener un bilan d'énergie, pour déterminer l'énergie cinétique minimale conduisant à la fusion.

[1 points]

Question 2)

En déduire l'expression de la température minimale pour que la fusion puisse avoir lieu.

[2 points]

Question 3)

Faire l'application numérique. On donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI, et $r _{\mathrm{min}} = 1 {\,\mathrm{fm}} = 10^{-15} {\,\mathrm{m}}$ . Qu'en pensez-vous ?

[2 points]

Question 4)

Comment s'écrit cette température s'il s'agit de faire fusionner non pas 2 protons, mais 2 noyaux d'une élément de charge .

En déduire que la température de fusion des éléments lourds nécessite une température bien plus élevée que celle pour l'hydrogène.

[1 points]

Du rôle de l'effet tunnel et de la distribution des vitesses

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 60 min

Sans effet tunnel, la fusion de l'hydrogène nécessiterait des températures très élevées (et p.ex. non atteintes dans l'intérieur du Soleil). Cet exercice a pour but de décrire le rôle de l'effet tunnel dans le cadre d'un modèle très simplifié. On note la position d'un proton par rapport à un autre et la quantité de mouvement du proton incident. L'effet tunnel relie les incertitudes sur la position et la quantité de mouvement d'une particule par la relation :

$\Delta r \Delta p \sim \hbar$

Question 1)

Relier la distance minimale d'approche des 2 protons à la quantité de mouvement incidente, puis à la température du milieu.

[1 points]

Question 2)

Faire l'application numérique dans le cas d'une distance d'approche de 1 fm, nécessaire pour arriver à une interaction forte entre les protons.

[1 points]

Question 3)

Dans le problème étudié, la loi de distribution des vitesses permet de confondre et avec leurs incertitudes. On se place dans ce cadre là pour traiter cette question.

On suppose que le proton incident ne sait pas localiser l'autre proton, avec une incertitude dépendant de sa quantité de mouvement incidente précédemment calculée (notée simplement ).

Déterminer alors cette incertitude de position.

[3 points]

Question 4)

Faire l'application numérique (on donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI). En déduire que la température du milieu peut être plus basse pour aboutir à la fusion.

[2 points]

Question 5)

La distribution des quantités de mouvement assure qu'il existe une population avec des protons 3 fois plus rapide que la valeur moyenne. En déduire la température minimale pour la fusion.

[1 points]

Masse d'une étoile

Apprendre

Objectifs

Définir dans quelles conditions la fusion de l'hydrogène va s'amorcer.

Prérequis

Pression au centre de l'étoile.

La compression gravitationnelle peut être équilibrée par 3 termes de pression :

$P _{\mathrm{c}} = P _{\mathrm{K}} + P _{\mathrm{deg}} + P _{\mathrm{rad}}$

respectivement pression du gaz de matière chaud, pression de Fermi et présence du gaz de photons.

Phase de contraction

La compression gravitationnelle au centre de l'objet varie en fonction de sa masse et de son rayon comme :

$P _{\mathrm{c}} \ = \ \alpha _{\mathrm{c}}\ M^2\ R^{-4} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{c}} \ \simeq \ {\cal G}$

Lors de la contraction de l'objet, la température centrale varie en fonction du rayon comme :

$T(R) \simeq { {\cal G} M m _{\mathrm{p}} \over k _{\mathrm{B}} R}$

(avec $m _{\mathrm{p}}$ la masse du proton). Lorsque décroît, la température augmente, et la pression aussi. La température limite d'enclenchement des réactions nucléaires peut-elle être atteinte ?

Rôle des différents termes de pression

La pression cinétique présente la même dépendance en masse et rayon que la compression gravitationnelle :

$P _{\mathrm{K}} \ =\ \alpha _{\mathrm{K}}\ M^2 \ R^{-4} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{K}} \ \simeq\ {\cal G}$

Avec ces variables, la pression de dégénérescence varie elle comme :

$P _{\mathrm{deg}} \ =\ \alpha _{\mathrm{deg}}\ M^{5/3} \ R^{-5} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{deg}} \ \simeq \ {2\hbar^2 \over m _{\mathrm{e}} }\left({3 \over 4\pi} {Z\over A m _{\mathrm{p}}}\right)^{5/3}$

Lorsque l'objet se contracte, cette pression augmente plus vite que la compression gravitationnelle. Elle peut donc bloquer la compression, en atteignant un équilibre caractérisé par :

$M^{1/3} \ =\ \alpha _{\mathrm{deg}} \alpha _{\mathrm{c}}^{-1} \ R^{-1}$

Température centrale

Dans ces conditions, la température atteinte au centre vaut (en éliminant la variable rayon des équations qui précèdent) :

$T _{\mathrm{c}} = { {\cal G}^2 M^{4/3} m _{\mathrm{p}} \over k _{\mathrm{B}} \alpha _{\mathrm{deg}}}$

Si la température centrale atteint 10 millions de Kelvin, une étoile est née. Sinon, il s'agit d'un astre dégénéré sans amorçage des réactions nucléaires.

Masse minimale

Il est nécessaire d'avoir une masse initiale suffisante pour atteindre une température permettant d'initier la fusion de l'hydrogène. Un modèle précis donne la masse minimale pour la combustion de l'hydrogène :

$M _{\mathrm{* min}} = 0.08 \ M_\odot \simeq 80\ M _{\mathrm{Jupiter}}$

Entre 13 et 80 $M _{\mathrm{Jup}}$ , l'objet ne peut brûler que son deutérium : il s'agit alors d'une naine brune.

Masse maximale

La pression de radiation varie comme T^4 , donc :

$P _{\mathrm{rad}} \ =\ \alpha _{\mathrm{rad}}\ M^4 \ R^{-4} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {4\sigma \over 3c}\left({ {\cal G} m _{\mathrm{p}}\over 10 k _{\mathrm{B}}}\right)^4$

à comparer à la compression gravitationnelle $P _{\mathrm{c}} \propto M^2\ R^{-4}$ .

Si la masse est trop importante, la pression de radiation va conduire à souffler l'étoile. La limite d'équilibre $( P _{\mathrm{rad}} = P _{\mathrm{c}})$ est atteinte lorsque :

$M _{\mathrm{max}} = \sqrt{\alpha _{\mathrm{c}} \over \alpha _{\mathrm{rad}}}$

Une modélisation précise donne la valeur numérique :

$M _{\mathrm{max}} \simeq 100 \ M_\odot$

S'exercer

Définition des fréquences caractéristiques $\Delta\nu$ et $\nu _{\mathrm{max}}$ d'un spectre d'oscillation stellaire.

Crédit : ASM

Masse et rayon sismiques

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

L'astérosismologie, l'étude de la vibration des étoiles, est une branche récente de la physique stellaire qui apporte de nouvelles observables. La description globale d'un spectre d'oscillation introduit deux fréquences caractéristiques $\Delta\nu$ et $\nu _{\mathrm{max}}$ , respectivement appelées grande séparation et fréquence du maximum de signal sismique. Elles dépendent de la masse , du rayon et de la température effective de l'étoile via les définitions :

$\Delta\nu\ =\ \Delta\nu_\odot \ \left({M \over M_\odot}\right)^{1/2} \ \left({R \over R_\odot}\right)^{-3/2}$

$\nu _{\mathrm{max}}\ =\ \nu _{\mathrm{max}}{}_{,}{}_\odot \ \left({M \over M_\odot}\right) \ \left({R \over R_\odot}\right)^{-2} \ \left({T \over T_\odot}\right)^{-1/2}$

avec les valeurs solaires $R_\odot \simeq 7\ 10^8$ m, $M_\odot \simeq 2\ 10^{30}$ kg, $\Delta\nu_\odot\simeq 135\,\mu$ Hz, $\nu _{\mathrm{max}}{}_{,}{}_\odot\simeq 3050\,\mu$ Hz, et $T_\odot \simeq 5\,777\,$ K.

Question 1)

Ordonner les valeurs de $\nu _{\mathrm{max}}$ pour deux étoiles de même type spectral mais présentant un champ gravitationnel très différent.

[2 points]

Question 2)

Quelle mesure intéressante apporte $\nu _{\mathrm{max}}$ , grandeur mesurée à une précision de l'ordre de quelques pourcents ?

[1 points]

Question 3)

Ordonner les valeurs de la grande séparation $\Delta\nu$ pour deux étoiles présentant une masse volumique moyenne très différente.

[1 points]

Question 4)

Calculer $\Delta\nu$ et $\nu _{\mathrm{max}}$ pour une géante rouge, de masse égale à la masse du Soleil, de rayon égal à $10\ R_\odot$ et de température effective 4 800 K.

[1 points]

Question 5)

Montrer que l'on peut déduire de la mesure de $\Delta\nu$ , $\nu _{\mathrm{max}}$ et une estimation des masse et rayon stellaires. Donner ces expressions ; les exprimer en fonction des valeurs solaires.

[2 points]

Question 6)

Énoncer un des intérêts de l'astérosismologie ?

[1 points]

S'évaluer

De nouvelles classes spectrales ?

Difficulté : ☆☆ Temps : 5 min

Question 1)

Pourquoi peut-on penser qu'il n'y aura pas de découvertes de nouvelles classes spectrales même si l'on met en service de nouveaux télescopes de sensibilité encore plus grande ?

Relation masse-luminosité

Apprendre

Objectifs

Estimer quelques dimensionnements des objets sur la séquence principale à partir de la relation masse-luminosité sur séquence principale ( $L \propto M^3$ ).

Relation masse-luminosité. Les étoiles les moins lumineuses sont intrinsèquement plus de 1000 fois moins lumineuses que le Soleil, quand les plus lumineuses atteignent 1 millions de fois la valeur solaire.

Crédit : ASM

Relation masse luminosité

En faisant de la physique avec les mains, on démontre rapidement que la luminosité d'une étoile est reliée à sa masse par la relation :

$L \ \propto\ M^3$

La démonstration complète est hors de portée de ce cours, car elle introduit des éléments de transfert radiatif, qui aboutissent à la relation entre masse et rayon stellaires. Notons les étapes principales.

Constante de temps radiative

La luminosité d'une étoile, commensurable à une puissance, est égale au quotient de l'énergie interne du gaz de photons à la constante de temps radiative :

$L\ \propto\ {u\over t _{\mathrm{rad}}}$

L'énergie interne du gaz de photons est proportionnelle au volume stellaire R^3 , ainsi qu'à T^4 selon la loi de rayonnement du corps noir). La constante de temps radiative mesure le durée d'échappement des photons, qui résulte d'un phénomène stochastique.

On suppose que le libre parcours moyen $\lambda$ d'un photon est uniforme dans tout l'intérieur stellaire. Le processus de marche au hasard demande alors, pour parcourir une distance par étapes de longueur élémentaire $\lambda$ , un nombre d'étapes variant comme $R^2 / \lambda$ . On en déduit la constante de temps radiative :

$t _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {R^2\over \lambda}$

Comme le libre parcours $\lambda$ est en fait inversement proportionnel à l'encombrement, donc à la masse volumique, on a :

$t _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {M\over R}$

$L\ \propto\ {T^4 \ R^3\over t _{\mathrm{rad}}} \ \propto\ {T^4 \ R^4\over M}$

Relation masse-rayon-température-luminosité

Dans les pages précédentes, des éléments de physique simples ont permis de calibrer les masse volumique et pression internes :

$\rho\ \propto\ M/R^3 \ \mathrm{ et } \ P _{\mathrm{c}}\ \propto\ M^2/R^4$

ainsi que la relation donnant la température centrale :

$T\ \propto\ M/R$

La luminosité du corps noir stellaire vérifie donc :

$L\ \propto\ {T^4 \ R^4\over M}\ \propto\ M^3$

Observationnellement, l'exposant s'avère être 3.3 :

$L \ \propto\ M^{3.3}$

Durée de vie sur la séquence principale

Cette relation, avec un exposant élevé, signifie qu'une étoile massive va être très lumineuse. Son réservoir de matière étant limité, elle évoluera et mourra beaucoup plus vite qu'une étoile moins massive. Les étoiles les plus massives évoluent en une dizaine de millions d'années. En revanche, une étoile très peu massive a une espérance de vie très longue, se chiffrant en dizaines de milliards d'années.

Avec le réservoir d'énergie donnée par la masse, et la luminosité variant comme M^3 , la durée de vie stellaire varie comme :

$t _{\mathrm{vie}} \simeq {E _{\mathrm{nucl}} \over L} \propto {M\over M^3} = {1\over M^2}$

Durée de vie
étoile	$M/M_\odot$	$t _{\mathrm{vie}}$ (ans)
naine de type M	0.08	$1.5 \ 10^{12}$	100 fois l'âge de l'Univers
Soleil	1	$10^{10}$	le Soleil est à mi-vie
naine de type O	40	$6\ 10^6$	très court !

Ordre de grandeur de la durée de vie d'une étoile en fonction de sa masse.

Simuler

Le long de la séquence principale

Différents modèles stellaires ont été synthétisés. La masse, le rayon et la luminosité sont données en unités solaires, la température de corps noir en Kelvin (on remarquera que le modèle correspondant à 1 masse solaire n'a pas un rayon solaire : la série a été déterminée pour des conditions d'âge et de composition différentes de celles de notre Soleil).

A l'aide de l'appliquette, calculer la luminosité de corps noir Lcn, et vérifier qu'elle correspond à la luminosité modélisée.

Calculer ensuite les luminosités, masses et rayons en échelle logarithmique, et vérifier les exposants des relations de proportionnalité entre la luminosité et la masse d'une part, la luminosité et le rayon d'autre part.

S'exercer

Amplitude des oscillations

Difficulté : ☆☆ Temps : min

L'amplitude des oscillations de type solaire dépendent du rapport a = L/M , la luminosité donnant la mesure de l'énergie transportée par convection, et la masse mesurant l'inertie de la réponse. Ces deux grandeurs ne peuvent être mesurées qu'indirectement : la mesure de la luminosité dépend de la distance, et la mesure de la masse nécessite un modèle de structure interne.

Question 1)

Montrer que l'amplitude croît avec le type spectral.

[1 points]

Question 2)

Déterminer la dépendance a (T, g) , avec la température effective (déduit du spectre) et le champ gravitationnel (déduit des profils de raies).

[1 points]

S'évaluer

Le long de la séquence principale

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Diagramme HR.

Crédit : ASM

Le long de la séquence principale, la luminosité d'une étoile varie approximativement comme la puissance 6 de la température, comme le rappelle le diagramme HR ci joint.

Question 1)

Montrer que l'on peut en déduire une relation masse-rayon le long de la séquence principale du type:

$M \propto R^2$

[2 points]

Question 2)

Que peut-on en déduire pour le champ gravitationnel d'une étoile de la séquence principale ?

[1 points]

Finalement, qu'est-ce qu'une étoile ?

Auteur: B. Mosser

Observer

Champ d'étoiles dans le Grand Nuage de Magellan (galaxie satellite de la Voie Lactée) vu par le télescope Hubble.

Crédit : HST

Naine brune 2M1207, et son compagnon exoplanétaire, détectée par optique adaptative au VLT.

Crédit : ESO

Naine brunes identifiées dans l'amas ouvert des Pléiades.

Crédit : UKIDSS and Palomar Observatory Sky Survey

Modélisation de planètes géantes et naines brunes.

Crédit : CNRS

Champ d'étoiles

Quels objets d'un champ stellaire sont effectivement des étoiles, et pour quelles raisons ?

Naines brunes

Dans les années 1990, des objets présentant une très faible luminosité et un indice de couleur très rouge ont été clairement identifiés comme naines brunes : objet de masse insuffisante pour amorcer la fusion de l'hydrogène mais de masse suffisante pour la fusion de deuterium. Les moyens observationnels actuels permettent de les détecter en grand nombre, par exemple dans un amas. Les modèles de structure interne montrent qu'ils présentent un rayon de l'ordre de celui de Jupiter, pour une température effective de 1000 à 1500 K pour les plus chauds.

La nature du Soleil et des étoiles

La nature du Soleil et des étoiles a été un sujet continu de questionnement au cours de l'histoire :

Pour Anaxagore, au Ve siècle avant JC, le Soleil est un rocher incandescent.
Pour Aristote, au IVe siècle avant JC, les corps célestes sont constitués d'une autre matière que les 4 éléments terrestres. L'Univers est éternel.
Jean Philopon, philosophe chrétien au VIe siècle, réfute un Univers sans création. Les étoiles sont des soleils.
Pour Giordano Bruno, fin XVe siècle, les étoiles sont des soleils entourés de planètes.
Au XIXe siècle, l'émergence de la spectroscopie permet d'analyser la photosphère solaire.

La question énergétique

La question énergétique se pose dès le XVIIIe siècle. Comment le Soleil compense-t-il la perte d'énergie par rayonnement (Herschel, 1795) ? Pour une Terre de 6000 ans (création du monde selon la tradition biblique, ou de quelques millions d'années (Buffon), le mécanisme de Kelvin-Helmholtz convient ; mais lorsque la géologie, par datation des roches terrestres, conduit à un âge supérieur au milliard d'années, les choses se compliquent.

En 1804, Helmholtz suppose que le Soleil tire son énergie de sa contraction gravitationnelle.
En 1919, Eddington suppose une origine nucléaire, par fusion de l'hydrogène.
En 1939, le premier mécanisme de fusion de l'hydrogène est proposé par le physicien Hans Bethe.

Apprendre

Objectifs

Établir les éléments de définition d'une étoile.

Brûler de l'hydrogène

Définition

Une étoile passe par une phase adulte, sur la séquence principale, où elle tire son énergie de la fusion de l'hydrogène.

La masse de l'étoile étant apparue comme le paramètre crucial gouvernant sa formation puis son devenir, on récapitule ici comment varient la nature et le rayon d'un objet en fonction de sa masse.

Diagramme masse-rayon

Relation masse rayon (en unités solaires), de la Terre à une étoile $\eta$ Carinae, de masse de l'ordre de 100 fois la masse du Soleil.

Crédit : ASM

Faibles masses

Aux faibles masses (comme celle de la Terre), la matière solide est très peu compressible. La relation masse-rayon d'un simple empilement de masse volumique uniforme donne :

$M \propto R^3$

Le rayon croît avec la masse (cas d'une planète de masse inférieure à celle de Jupiter).

Pression de dégénérescence

Avec l'augmentation de la masse au-dela d’une masse critique proche de la masse de Jupiter, la pression de dégénérescence variant comme $R^{-5}$ l'emporte. L'équilibre de la compression gravitationnelle $( P _{\mathrm{c}} \propto M^2 / R^4)$ par la pression de dégénérescence $( P _{\mathrm{deg}} \propto M^{5/3} / R^5)$ conduit à la relation masse-rayon :

$R \propto M^{-1/3}$

Le rayon de l'objet décroît avec la masse. Ceci n'est bien sûr pas intuitivement évident, mais c'est bien ce que l'on modélise pour les (exo)planètes géantes plus massives que Jupiter.

Relation masse rayon

Pour les étoile de la séquence principale, on a vu :

$M\propto R^2$

Evolution en fonction de la masse

L'étude à suivre montre l'avenir des étoiles une fois achevée leur vie sur la séquence principale.

Une étoile de masse initiale inférieure à la masse de Chandrasekhar $(1.44 \ M_\odot)$ évolue vers le stade de naine blanche.
Pour une masse supérieure, elle finit comme étoile à neutrons.
Voire comme trou noir pour une masse supérieure à 3 fois celle du Soleil.

S'évaluer

Populations stellaires

Temps : 30 min

Les observations photométriques menées par le satellite CoRoT ont conduit à identifier des populations d'étoiles peu brillantes pour lesquelles peu d'informations sont disponibles. Ici, on travaille avec une estimation de leurs températures effectives et gravités obtenues par suivi spectroscopique au sol. Ces estimations sont compilées dans un graphe $T_{\hbox{eff }} - \log g$ (les logarithmes sont calculés pour des gravités exprimées en cm.s^-2). Le graphe montre deux populations, que l'on souhaite caractériser.

Champ CoRoT

Relevé des températures effectives et gravité du champ initial observé par CoRoT.

Crédit : CNES/ASM

Question 1)

Déterminer l'expression du champ de gravité de surface d'une étoile de masse et rayon .

Question 2)

Faire l'application numérique pour une étoile comme le Soleil et pour une géante rouge de masse identique, mais rayon $10\ R_\odot$ . Exprimer les résultats par la valeur $\log g$ .

Question 3)

Positionner les deux types d'objets dans le graphe et en déduire la nature des étoiles observées.

La température effective du Soleil vaut 5777 K. Compter 4800 K pour une géante de 10*R_sun

Question 4)

Identifier les deux populations.

Question 5)

Estimer l'ordre de grandeur des plus grandes géantes observées dans l'échantillon.

Réponses aux exercices

pages_vie/fusion-nucleaire-sexercer.html

Exercice 'Température de fusion'

Question 1
Aide :
Exprimer l'énergie de la barrière coulombienne.

Aide :
Exprimer la condition énergétique limite à remplir en $r = r _{\mathrm{nucl}}$

Solution :
L'énergie totale d'un proton s'écrit :

$E = {1\over 2} mv^2 + {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r}$

Pour passer la barrière coulombienne en $r = r _{\mathrm{nucl}}$ , le proton doit avoir une énergie vérifiant :

$E = {1\over 2} mv_\infty^2 = {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r _{\mathrm{min}}}$

(énergie potentielle nulle à l'infini, énergie cinétique nulle au niveau de la barrière).
Question 2
Aide :
Faire le lien entre l'énergie cinétique et la température.

Solution :
La température minimale vérifie :

${3\over2} k _{\mathrm{B}} T = {1\over 2} mv_\infty^2 = {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r _{\mathrm{min}}}$

Soit :

$T \simeq {2\over 3 k _{\mathrm{B}}} {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r _{\mathrm{min}}}$
Question 3
Solution :
Avec les valeurs proposées, on trouve :

$T = {2\over 3 k _{\mathrm{B}}} {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r _{\mathrm{min}}} \ \simeq\ 10^{10} {\,\mathrm{K}}$

Cette valeur est surestimée, car ne prend pas en compte les phénomènes quantiques qui relaxent considérablement les conditions de fusion.
Question 4
Aide :
Réécrire le potentiel électrostatique en fonction de .

Aide :
L'effet varie comme

Solution :
Les équations précédentes se réécrivent avec la nouvelle énergie potentielle

$E _{\mathrm{p}} = {(Ze)^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r}$

Il s'ensuit une température de fusion :

$T _{\mathrm{fusion\ Z}} = Z^2 \ T _{\mathrm{fusion\ H}}$

La valeur de la température est encore plus élevée que pour l'hydrogène.

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Exercice 'Du rôle de l'effet tunnel et de la distribution des vitesses'

Question 1
Aide :
Déterminer les expressions des énergies cinétique et potentielle, ainsi que leurs valeurs particulières à grande distance ou à la distance minimale d'approche.

Aide :
Voir l'exercice précédent

Solution :
L'exercice consacré à ce raisonnement donne la solution. Avec les notations ici proposées :

${3\over2} k _{\mathrm{B}} T = {p^2 \over 2 m} = {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r}$
Question 2
Aide :
$1 {\,\mathrm{fm}} = 10^{-15} {\,\mathrm{m}}$

Solution :
L'application numérique donne :

$T \simeq {2\over 3 k _{\mathrm{B}}} {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r _{\mathrm{min}}}$
Question 3
Aide :
La relation d'incertitude présentée ici se traduit par $p \ r \simeq \hbar$

Aide :
L'égalité entre l'énergie cinétique à grande distance et l'énergie potentielle à distance minimale donne une autre relation entre ces 2 variables.

Solution :
En notant simplement la distance minimale d'approche, et la quantité de mouvement incidente, l'équation énergétique dit :

${p^2 \over 2 m} = {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r}$

La relation d'incertitude présentée ici se traduit par $p \ r \simeq \hbar$ On en déduite la valeur de , en éliminant :

${\hbar^2 \over 2 m r^2} = {e^2\over 4\pi\varepsilon_0\ r}$

Et donc on aboutit à la nouvelle position (ou incertitude de position, d'après la présentation de l'énoncé) :

$r = {4\pi\varepsilon_0 \over e^2} {\hbar^2 \over 2 m}$
Question 4
Solution :
L'application numérique donne :

$r = {(1.05\ 10^{-34})^2 \over 2\ .\ 9\ 10^9\ (1.6\ 10^{-19})^2\ 1.7 \ 10^{-27} \simeq } \simeq 1.4 \ 10^{-14} {\,\mathrm{m}}$

Cette distance est plus grande que 1 fm. Les protons peuvent donc se "tromper", et se croire en train de fusionner alors qu'ils sont 14 fois trop éloignés.

La température de fusion décroît de ce même facteur 14, soit de l'ordre de $7\ 10^8 {\,\mathrm{K}}$ .
Question 5
Aide :
Estimer les conséquences de ces protons rapides en termes énergétiques, puis de température.

Solution :
Un proton 3 fois plus rapide est 9 fois plus énergétique que la moyenne. On gagne donc ainsi un facteur 9 sur la température, soit la possibilité de fusion dès $8\ 10^7 {\,\mathrm{K}}$ .

Ceci reste trop élevé, car la modélisation de l'effet tunnel est trop simpliste, mais montre comment l'estimation purement classique de la température de fusion est déjà surdimensionnée d'un facteur 120.

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Exercice 'Masse et rayon sismiques'

Question 1
Aide :
Identifier dans l'expression de $\nu _{\mathrm{max}}$ ce qui peut ressemble au champ gravitationnel d'une étoile.

Aide :
Comment se traduit le fait que l'on considère des étoiles de même type spectral ?

Solution :
Le champ gravitationnel d'une étoile varie en , comme $\nu _{\mathrm{max}}$ , dont l'expression comporte juste une dépendance supplémentaire en fonction de la température. Comme le type spectral est supposé fixé, cette dépendance est donc transparente, et $\nu _{\mathrm{max}}$ porte la même information que le champ gravitationnel, et réciproquement. On en déduit qu'une étoile de champ gravitationnel plus intense présente un spectre avec une fréquence $\nu _{\mathrm{max}}$ plus élevée, et réciproquement.
Question 2
Aide :
La réponse est quasiment à la question précédente.

Solution :
La mesure de $\nu _{\mathrm{max}}$ , identifiée à partir du spectre d'oscillation, permet une estimation précise du champ gravitationnel à la surface de l'étoile.
Question 3
Aide :
Exprimer la masse volumique moyenne en fonction des masse et rayon stellaire.

Aide :
Quel lien entre $\Delta\nu$ et la masse volumique moyenne ?

Solution :
L'examen de la définition de $\Delta\nu$ montre que cette fréquence varie comme la racine carrée de la masse volumique de l'étoile. Une étoile peu dense présentera donc une plus petite valeur de $\Delta\nu$ qu'une étoile plus dense.
Question 4
Aide :
Faites chauffer le calcotron.

Solution :
La géante, 10 fois plus grande que le Soleil, présente un volume 1000 fois plus important, donc une densité 31 fois moindre, et donc $\Delta\nu \simeq 4.3\,\mu\hbox{Hz}$ . Pour $\nu _{\mathrm{max}}$ , l'application numérique donne $27.8\,\mu\hbox{Hz}$ .
Question 5
Aide :
Désolé, pas d'autre solution que retrousser ses manches et inverser les équations de départ !

Solution :
L'inversion donne :

$\begin{eqnarray} {R \over R_\odot} &=& \,\left({ \nu _{\mathrm{max}} \over \nu _{\mathrm{max}}{}_{,}{}_\odot}\right) \ \left({ \Delta\nu \over \Delta\nu_\odot}\right)^{-2} \left({T \over T_\odot}\right)^{1/2} \label{rayon}\\ {M\over M_\odot} &=& \ \left({ \nu _{\mathrm{max}} \over \nu _{\mathrm{max}}{}_{,}{}_\odot}\right)^{3} \left({ \Delta\nu \over \Delta\nu_\odot}\right)^{-4} \left({T \over T_\odot}\right)^{3/2} \label{masse} \end{eqnarray}$
Question 6
Solution :
Ce n'est pas tous les jours qu'une technique observationnelle donne accès à la masse et au rayon de l'étoile relativement précisément, et indépendamment de toute mesure de distance !

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Exercice 'De nouvelles classes spectrales ?'

Question 1
Aide :
Si l'on découvrait de nouvelles classes, correspondraient-elles à des étoiles très ou très peu lumineuses ?

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Exercice 'Amplitude des oscillations'

Question 1
Aide :
Comment varie la luminosité sur la séquence principale ?

Solution :
Avec, sur la séquence principale, $L\propto M^3$ , on trouve : $a \propto M^2$ . L'amplitude des oscillations augmente vers les types spectraux plus massifs.
Question 2
Solution :
La luminosité du corps noir donne directement :

$a = {L\over M} = {4\pi R^2 \ \sigma T^4\over M} \propto {T^4 \over \displaystyle{M\over R^2}} \propto {T^4\over g}$

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Exercice 'Populations stellaires'

Question 1
Aide :
Aller raffraichir ses souvenirs de mécanique du point.

Aide :
Dans le cours FSU c'est là .
Question 2
Aide :
Les valeurs des masses et rayons solaires sont données par le calcotron !

Aide :
Attention aux unités !
Question 3
Question 4
Aide :
Se servir de ce qui précède.
Question 5
Aide :
Voir du côté des plus faibles gravités.

Aide :
Quelle masse typique pour une géante typique ?