Ex: Extinction atmosphérique

Auteur: Arnaud Beck, Stéphane Erard, Alain Vienne

Auteur: Arnaud Beck, Stéphane Erard

Pourquoi peut-on regarder le Soleil couchant ?

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Le nombre de particules atmosphériques rencontrées par un rayon de Soleil le long de son parcours est appelé densité de colonne, et est égal à :

$N= \int_s n(s)ds$

où est la coordonnée le long du trajet du rayon et n(s) est la densité atmosphérique au point de coordonnée .

On peut approximer la densité atmosphérique à faible altitude (là où elle est la plus dense) par:

$n(z)=n_0\exp{\left(-\frac{z}{z_0}\right)}$

où est l'altitude (mesurée verticalement), n_0 est la densité au niveau du sol, et z_0 est l'échelle de hauteur caractéristique de l'atmosphère. Cette expression est une forme de la loi barométrique.

La figure ci-dessous représente la situation. Le centre de la Terre est au point C, l'observateur en O. Le point S représente le point de coordonnée sur le trajet du rayon de Soleil, et d'altitude . $\theta$ est la hauteur du Soleil sur l'horizon (vu par l'observateur) et R est le rayon de la Terre.

Arrivée d'un rayon de Soleil sur Terre

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Beck

Question 1)

Dans le cas du Soleil couchant ( $\theta=0$ ), donner l'expression de l'altitude en fonction de la coordonnée .

Solution

Question 2)

Donner l'expression de N_0 , la densité de colonne au Soleil couchant ( $\theta=0$ ). On remarque que la densité de particules décroît rapidement avec l'altitude et devient petite pour z > z_0 ; on peut donc tronquer l'intégrale à une altitude maximum telle que $s \ll R$ (l'atmosphère est fine par rapport à la taille de la planète).

Aide Solution

Question 3)

Reprendre les questions 1) et 2) pour donner l'expression de $N_{\theta}$ , la densité de colonne pour une position $\theta$ quelconque du Soleil dans le ciel. En plus de l'hypothèse précédente, on évite cette fois les situations proches de l'horizon ; on a donc $\frac{s}{R}\ll \sin \theta$ .

Aide Solution

Question 4)

Le Soleil est au zénith quand $\theta=\pi/2$ . Calculer le rapport $\frac{N_{Zenith}}{N_0}$ . Pour l'application numérique on prendra R=6400 km, z_0=8 km (échelle de hauteur de l'atmosphère terrestre).

Solution

Auteur: Stéphane Erard

Calcul de la masse d'air

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Le rapport $\frac{s}{z}$ de l'exercice précédent est appelé masse d'air en Astronomie. C'est le chemin optique parcouru dans l'atmosphère par rapport à la position zénitale. Suffisamment loin de l'horizon, on a en bonne approximation $\frac{s}{z} = 1/\sin\theta = 1/\cos\; i$ , où i est l'angle zénital (compté à partir de la verticale). Cette valeur correspond à l'approximation plan-paralléle. On cherche toujours à observer les astres sous faible masse d'air (< 2) pour limiter l'extinction atmosphérique.

On veut maintenant calculer exactement la longueur du chemin optique parcouru par les rayons lumineux dans l'atmosphère pour étudier la validité de l'approximation précédente.

Question 1)

Reprendre la question 3 de l'exercice précédent : dériver une relation entre l'altitude et la coordonnée pour une hauteur $\theta$ quelconque.