Profils de raie associés aux mouvements d'ensemble d'atomes et de molécules

Auteur: Cecilia Pinto & Sylvie Cabrit

Agitation thermique : profil Doppler

Jusqu'à présent, nous avons considéré que les atomes et les molécules étaient à repos. Dans cette page nous allons analyser l'effet d'élargissement de raie par les mouvements des particules. Du fait de l'effet Doppler, les photons émis à une fréquence $\nu_0$ dans le référentiel d'un atome en mouvement seront détectés à une fréquence $\nu\neq\nu_0$ par l'observateur. Le décalage en fréquence d'un atome qui possède une vitesse relative le long de la ligne de visée V_z , pour des vitesses non relativistes, vaut : $\frac{\nu-\nu_0}{\nu_0}= \frac{V_z}{c}$ .

Puisque chaque atome subit son propre décalage Doppler, l'effet net est un élargissement de la raie, tandis que son intensité totale ne change pas. Les atomes et les molécules d'un gaz effectuent des mouvement aléatoires dépendant de la température. La théorie cinétique des gaz prévoit que cette agitation thermique induit une distribution maxwellienne de vitesse. Le nombre d'atomes à la température dont la projection de la vitesse sur l'axe de visée est comprise entre V_z et V_z+dV_z est donc proportionnel à la fonction $e{^\left (-\frac{MV_z^2}{2KT}\right)}dV_z$ , où M est la masse d'un atome. En utilisant la formule pour le décalage Doppler on déduit $V_z=\frac{c(\nu-\nu_0)}{\nu_0}$ , $dV_z=\frac{cd\nu}{\nu_0}$ et on peut exprimer la distribution des atomes en fonction de la fréquence. Par conséquent, l'intensité de l'émission dans l'intervalle de fréquence de $\nu$ à $\nu+d\nu$ est proportionnelle à $e^{\left (-\frac{Mc^2(\nu-\nu_0)^2}{2\nu_0^2KT}\right)}d\nu$ . Si l'effet Doppler est la source dominant d'élargissement de la raie, son profil est la somme des contributions de chaque atome, ce qui donne un profil de forme gaussienne :

$\phi_\nu= \frac{1}{\sqrt{\pi}\Delta_{\nu_D}}e^{-\left(\frac{\nu-\nu_0}{\Delta_{\nu_D}}}\right)^2$ .

La quantité $\Delta_{\nu_D}=\frac{\nu_0}{c}\left(\frac{2KT}{M}\right)^{\frac{1}{2}}$ , appelée largeur Doppler de la raie, est reliée à la largeur à mi-hauteur de la gaussienne par $FWHM=2\Delta_{\nu_D}(ln{2})^{\frac{1}{2}$ . L'aire du profil, obtenue intégrant sur la fréquence, vaut 1 et sa valeur maximale, atteinte à $\nu=\nu_0$ , est $\phi(\nu_0)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Delta_{\nu_D}$ . Dans le milieu interstellaire, l'élargissement associé à l'effet Doppler est généralement plus important que la largeur naturelle et l'élargissement dû aux collisions. Un exemple est représenté par la raie à 21 cm de l'hydrogène atomique, l'élargissement lorentzien étant extrêmement faible puisque la durée de vie du niveau supérieur n'est limitée que par les collisions, rares dans le milieu interstellaire diffus.

D'autres mouvements peuvent se superposer à la distribution de vitesse due à l'excitation thermique. S'il s'agit d'un mouvement d'ensemble, le centre de la raie est globalement déplacé par effet Doppler. Si, par contre, il s'agit d'une distribution de vitesse supplémentaire, la raie subit un élargissement gaussien. Par exemple, en présence de mouvements aléatoires de turbulence au sein du milieu, la largeur Doppler devient, par composition de profils gaussiens : $\Delta_{\nu_D}=\frac{\nu_0}{c}\left(\frac{2KT}{M}+V_{turb}^2\right)^{\frac{1}{2}}$ , où $V_{turb}$ est la vitesse caractéristique de la turbulence. Dans les nuages interstellaires, la vitesse turbulente est de l'ordre de quelques kilomètres par seconde. Puisque la température des nuages n'est pas élevée, l'effet Doppler est dominé par la turbulence. Des mouvements turbulents plus importants ont été observés dans la nébuleuse d'Orion (voir le TP Spectre en émission).

Convolution de profils : profil de Voigt

En général, le profil d'une raie résulte de la composition des profils induits par tous les différents effets décrits précédemment : élargissement naturel, collisions, effet Doppler thermique et turbulent. On obtient un profil qui dérive de la convolution d'une courbe Lorentzienne et d'une courbe gaussienne appelé profil de Voigt. Ce profil est exprimé en termes d'une fonction mathématiquement connue, la fonction de Voigt H(v,a) , dont les valeurs sont données dans la littérature : $H(v,a)= \frac{a}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-y^2}}{(v-y)^2+a^2}} dy$ . Cette forme est obtenue par un changement de variable dans les fonctions lorentzienne et gaussienne tel que : $V_t=\sqrt{\frac{2KT}{M}}$ , $\Delta_{\nu_D}=\frac{\nu_0V_t}{c}$ , $a=\frac{\Gamma}{\Delta_{\nu_D}}$ , $v=\frac{\nu-\nu_0}{\Delta_{\nu_D}}$ et donne le profil de raie normalisé :

$\phi(\nu_0)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Delta_{\nu_D}H(v,a)$ .

La fonction de Voigt est montrée sur la figure pour différentes valeurs du paramètre qui quantifie l'importance relative des différents processus qui contribuent à l'élargissement de raie. On remarque que dans le cas limite d'élargissement naturel et collisionnel négligeable (a=0) la fonction a une forme gaussienne, tandis que c'est une lorentzienne pour un élargissement Doppler négligeable (voir par exemple la courbe a=20). En général la fonction présente une allure gaussienne au coeur ( v=0 ) et lorentzienne dans les ailes.

Fonction de Voigt

Crédit : M.R. Zaghloul, MNRAS, 375,1043,2007