Le chapitre Outils reprend quelques grandes lignes de l'optique géométrique et de l'optique physique, dans une approche clairement astrophysique (les objets sont p.ex. vraiment à l'infini !), nécessaires à la compréhension de la formation des images en astrophysique.
Quelques notions d'optique de base sont rappelées, afin de comprendre dans les grandes lignes les principes instrumentaux les plus couramment mis en oeuvre pour acquérir une image en astronomie.
Les images de grands champs stellaires sont typiquement obtenues par observation au foyer primaire d'un télescope, càd au foyer du miroir primaire collecteur de photons.
Pour en savoir plus : projet MEGACAM du télescope CFH
PrérequisOptique géométrique : vocabulaire de l'optique géométrique, image d'un objet à l'infini.
ObjectifsFormation d'image au foyer primaire d'un télescope.
Le collecteur de photons le plus couramment utilisé est le miroir parabolique, qui convertit après réflection une onde plane en une onde sphérique convergente. Un miroir parabolique conjugue ainsi les sources de lumière situées à l'infini au foyer de la parabole. Un tel collecteur est équivalent à une lentille de diamètre et focale identique. Une lentille fonctionne en transmission et non en réflexion comme un miroir, mais le principe de fonctionnement est le même. Une lentille transforme une onde plane en onde sphérique, et concentre ainsi la lumière provenant d'une étoile lointaine située sur son axe optique en son foyer.
Un objet à l'infini, s'il est résolu, se caractérise par une taille angulaire
. Au foyer du miroir primaire du télescope, cet objet donne une image de taille linéaire 
telle que 
, avec 
la focale du collecteur. L'angle 
est le plus souvent très petit, et donc confondu avec sa tangente. On garde, avec 
compté en radian :
L'analogie avec une lentille est directe.
Tous les systèmes optiques donnant une image réelle d'un objet réel peuvent se résumer en un système comprenant une seule lentille, équivalant au système entier. Dans le cas de l'observation astronomique où, mis à part l'observation in situ apportée par les atterrisseurs des sondes planétaires, l'objet est à l'infini, l'observation a donc lieu au foyer image de cette lentille équivalente.
Localisation du foyer primaire, et donnée de quelques éléments d'un télescope en monture équatoriale.
La parabole a pour propriété de ramener l'ensemble des rayons lumineux en provenance d'une source située à l'infini sur son axe optique (l'onde incidente est alors plane) en un même point : son foyer. On parle alors de conjugaison optique entre le foyer de la parabole et l'infini.
Ceci n'est en fait rigoureusement vrai que pour un rayon incident parallèle à l'axe de la parabole. Un faisceau de rayons parallèles inclinés sur l'axe optique ne va pas converger en un foyer unique, ce qui conduit à l'aberration de sphéricité : le plan focal est en fait incurvé.
L'appliquette ci-jointe montre comment déterminer la lentille simple équivalente à un montage optique recueillant un faisceau provenant de l'infini. Elle se situe à l'intersection des rayons incidents d'une part, et convergeant vers le détecteur d'autre part.
L'appliquette ci-jointe rappelle, si besoin est, les règles pour localiser l'image par une lentille d'un objet à distance finie.
QCM
, au foyer d'un télescope de 12 m de focale ?
couvre sur le ciel un champ de 0.1". En déduire la focale du collecteur
PrérequisImage d'un objet à l'infini, image d'un objet au foyer.
ObjectifsL'étude d'un montage optique particulièrement utile en astronomie, le montage afocal, montre que la taille angulaire du champ sur le ciel (champ objet) et le diamètre du faisceau lumineux en sortie de l'instrument sont liés de façon simple au grossissement du système.
Que ce soit pour observer à l'oeil nu, ou pour alimenter un spectromètre, le collecteur a pour fonction de transformer un faisceau à l'infini en un autre faisceau à l'infini.
L'objectif (la lentille ou le miroir côté objet) forme de l'objet à l'infini une image au foyer. L'oculaire (si le détecteur est l'oeil) ou l'optique de chambre permet de regarder cet objet à l'infini.
L'association de 2 optiques, l'objectif (côté objet) et l'oculaire (côté oeil) de foyer commun, transforme un faisceau parallèle en un autre faisceau parallèle.
Définition
Les focales équivalentes de l'objectif et de l'oculaire étant respectivement 
et 
, le grossissement du faisceau, égal au rapport des tailles angulaires des image et objet 
, vaut en valeur absolue :
En effet, l'image intermédiaire au foyer commun a pour taille linéaire 
.
Définition
Les focales équivalentes de l'objectif et de l'oculaire étant respectivement 
et 
, le rapport des tailles du faisceau en entrée et en sortie vaut, en valeur absolue :
En effet, l'inclinaison du faisceau entre les foyers s'écrit, dans l'hypothèse des petits angles (pour laquelle 
) : 
.
Le diamètre du faisceau en sortie est d'autant plus important que le champ objet est grand.
De ce qui précède, on déduit qu'en sortie d'un montage afocal, une instrumentation de taille réduite (dimensionnée par 
) va nécessiter un grossissement élevé, et donc ne pourra porter que sur un champ objet de taille restreinte.
La notion d'étendue de faisceau généralise cette idée.
QCM
du secondaire est courte, plus le
grossissement est :
Viser un objet, c'est arriver à positionner précisément un collecteur et son instrument d'analyse. Ensuite, selon les objectifs scientifiques, on s'intéresse à un champ plus ou moins grand. La taille du champ est reliée aux propriétés du collecteur et de l'instrumentation.
L'angle d'ouverture d'un collecteur de lumière mesure le rapport entre le diamètre du collecteur et la focale résultante. Les instruments anciens et les lunettes présentent des angles d'ouverture fermés : le tube focal, de longueur très voisine de la focale résultante, est long et grand devant le diamètre collecteur. Les collecteurs récents et/ou de grand diamètre présentent de grands angles d'ouverture, pour limiter leur longueur. Il en est de même des antennes submillimétriques.
L'observation sur un grand champ nécessite un grand détecteur. Ceci est aujourd'hui réalisé par la juxtaposition de plusieurs détecteurs bidimensionnels de lumière comme les CCD ou les CMOS.
PrérequisOptique géométrique
ObjectifsFormer une image dans de 'bonnes' conditions nécessite de bien dimensionner une optique ; le champ est l'une des grandeurs importantes à considérer. Il dépend des propriétés d'ouverture du collecteur.
Un télescope se caractérise par sa focale résultante 
et par le diamètre 
du collecteur.
Définition
L'angle d'ouverture d'un instrument est le rapport entre le diamètre et la focale résultante, soit, avec les notations proposées, 
.
Le nombre d'ouverture d'un télescope est le rapport inverse.
Comme en photographie, on parle d'un instrument ouvert à 
avec respectivement les nombres d'ouverture 
.
Exemples typiques d'ouverture : de 
à 
.
Plus le nombre d'ouverture est petit, plus le télescope est ouvert (grand angle d'ouverture) et admet des rayons de grande inclinaison. Un petit nombre d'ouverture correspond à une courte focale, ou à un grand diamètre.
Les télescopes les plus récents (télescopes optiques, radiotélescopes), de par leur grand diamètre collecteur, sont en général très ouverts, afin de limiter la longueur de leur focale, et donc leur encombrement.
Le champ objet est la région du ciel effectivement observée dans de bonnes conditions (stigmatisme suffisant pour la qualité d'image requise ; éclairement du champ uniforme, sans vignetage). Son extension dépend du collecteur, et de l'instrumentation et de son grossissement.
Avec 
la focale résultante d'un collecteur et 
la taille du détecteur effectivement éclairée, le champ objet 
s'écrit simplement (dans l'approximation des petits angles) :
Comme l'angle d'ouverture, le champ objet décroît si la focale 
du télescope augmente.
L'animation illustre comment l'ouverture géométrique d'un télescope varie avec la focale d'un collecteur. Plus le télescope est ouvert, plus l'inclinaison des rayons dans le télescope est importante.
L'animation illustre comment la taille du champ objet varie avec la focale du collecteur.
Les données de l'appliquette ci-jointe reportent les mesures effectuées par un groupe d'étudiants observant au télescope de 60 cm du campus de Meudon de l'Observatoire de Paris. Le but de l'observation, premier contact avec le télescope, consiste à prendre conscience que le champ accessible au pointage est restreint, et qu'il est nécessaire pour pouvoir pointer un objet de garantir une précision angulaire, exprimée en seconde de temps et non d'angle, meilleure que 30 s.
Traversée du champ
L'entraînement du télescope étant arrêté, les étoiles défilent dans le champ : les durées T1 et T2 mesurent la traversée du diamètre du champ par des étoiles brillantes, pour deux grossissements différents.
est proportionnelle à 
QCM
Champ objetDifficulté : ☆ Temps : 10 min
Déterminer la focale équivalente d'un télescope de diamètre
ouvert à f/3.75.
L'image est formée sur une matrice CCD de 
pixels, avec des pixels carrés de côté 
.
Quel champ voit un pixel ? Déterminer le champ de vue total dans
le ciel.
Observation à la table équatoriale de MeudonDifficulté : ☆ Temps : 20 min
Le télescope T60, installé sur la table équatoriale du campus de
Meudon de l'Observatoire de Paris, présente un miroir primaire de
diamètre 
=60 cm.
Déterminer son nombre d'ouverture, sachant que sa focale résultante vaut F = 9 m.
Quel grossissement est obtenu avec des oculaires de distance focale 45 ou 30 mm ?
L'ouverture du faisceau image étant de toutes façons inférieure au champ de vision de l'oeil (environ 60 degrés), déterminer le diamètre maximal du champ objet pour un oculaire de focale 45 ou 30 mm.
Mesure du champDifficulté : ☆☆ Temps : 30 min
Cet exercice s'appuie sur les données de l'appliquette "mesure du champ". Il est préférable d'avoir auparavant traité la section Systèmes de coordonnées .
Montrer par un schéma qu'une étoile de déclinaison 
possède, du fait de la rotation diurne, une vitesse angulaire proportionnelle à 
.
[2 points]
L'étoile traverse le champ de l'instrument, de diamètre angulaire 
en une durée 
. Montrer que l'on a :
si le champ est mesuré en seconde d'arc et la durée en seconde de temps.
[2 points]
Vérifier la relation précédente avec les données de l'appliquette (pour tracer la fonction 
: sélectionner la 1ère ligne de la 3ème colonne (C1), et demander le calcul : = 1./15./cos(pi * B1 / 180.))
[1 points]
Avec les données de l'appliquette, déterminer dans les 2 cas (avec des grossissements différents) le diamètre angulaire du champ objet.
[1 points]
Les grossissements, dépendants de l'oculaire utilisé, valent respectivement 140 et 300. Montrer que les champs images ont une taille analogue au champ de vue de l'oeil humain, de l'ordre de 60 degrés.
[1 points]
Que l'observation astrophysique serait facile si l'image d'un point était un point ! Dans le meilleur des cas, l'image d'une étoile est une tache de diffraction, mais le plus souvent, c'est une structure spatialement et temporellement bien plus complexe.
Le but de cette section est de comprendre et d'interpréter la structure spatiale d'une image simple.
!
L'astrophysique nous apprend que les étoiles sont des sphères gazeuses, tellement lointaines qu'il est impossible dans la plupart des cas de les résoudre spatialement. Pourquoi alors les représente-t-on et les voit-on avec diverses formes tellement différentes d'un point ou d'un cercle, mais le plus souvent proches du symbole 
?
En fait, plusieurs phénomènes se conjuguent pour aboutir à ces formes et les expliquer :
L'image d'un objet ponctuel, non ponctuelle, est donnée par la fonction de transfert de la chaîne de détection. Cette fonction de transfert, dans ce cas précis, s'appelle fonction d'étalement du point, soit FEP en français ou PSF en anglais (point spread function).
Connaître ou estimer la fonction d'étalement du point est une étape indispensable pour le traitement d'image. Autre exemple : la FEP d'une image obtenue par le satellite CoRoT.
. Cette source correspond à un système stellaire binaire en formation. Le flux millimétrique à 1.3 mm codé en fausse couleur montre une structure en anneau.
On rend compte d'une fonction d'étalement du point simple par sa largeur à mi-hauteur. Souvent, les images obtenues dans les longueurs d'onde millimétriques ou radio mentionnent explicitement l'extension à mi-hauteur de la tache image élémentaire.
La résolution spatiale dépend intimement de la FEP : distinguer les détails d'un champ s'avère impossible aux échelles plus petites que la largeur à mi-hauteur de la FEP.
ObjectifsLa fonction de transfert, l'image d'un objet ponctuel, transcrit la qualité de la formation d'image.
La fonction de transfert de la chaîne de collecte du signal, ou fonction d'étalement du point, rend compte de l'image non ponctuelle d'un objet ponctuel. Cette fonction de transfert relate toutes les modifications apportées à l'image idéale.
Par définition, l'image d'une source ponctuelle est la fonction de transfert, au bruit près.
L'image d'une source non ponctuelle est son image géométrique idéale convoluée par la fonction de transfert. Au mieux, la fonction de transfert rend compte de la diffraction. Mais elle inclut aussi tous les autres défauts de la chaîne de détection.
Le lien entre la fonction de transfert et la résolution est immédiat : il n'est pas possible d'obtenir de détails plus fins que la fonction de transfert.
Il est souvent suffisant de rendre compte de la fonction de transfert, si elle présente la symétrie circulaire, par sa largeur à mi-hauteur.
Les pages suivantes décrivent la contribution de la diffraction à la fonction de transfert. Les aberrations optiques ne sont pas abordées. Le rôle de la turbulence atmosphérique est traité dans une section à part.
L'animation ci-dessous décompose, dans un cas unidimensionnel, la transformation d'un objet en son image via la FPE.
L'image d'un point n'est pas un point, mais une tache. Au mieux, la tache de diffraction, ou alors une tache élargie par la turbulence.
Le plus souvent, le miroir secondaire occulte le faisceau incident. Le front d'onde initial n'est pas seulement découpé par le miroir primaire, il est aussi amputé de sa partie centrale. La tache de diffraction d'un télescope possédant un miroir secondaire sur son axe optique est moins lumineuse mais plus étendue que celle du miroir primaire considéré seul. La perte de flux lumineux est due à l'occultation par le miroir secondaire d'une partie du faisceau.
L'araignée, le support du miroir secondaire, occulte également la pupille. Sa signature apparaît clairement pour une source brillante.
Sur une image, certains objets semblent soumis à la diffraction, avec de belles aigrettes de diffraction, alors que d'autres non. Les premiers sont des objets non résolus (typiquement une étoile), alors que les seconds sont étendus (typiquement une galaxie). Les contributions des différents points sources d'un objet étendu, non superposées, sont diluées et ne se distinguent pas.
PrérequisDiffraction de Fraunhofer. Diffraction par une fente rectiligne.
ObjectifsDéterminer et dimensionner le rôle de la diffraction dans la formation d'image.
Définition
La demi-largeur angulaire de la tache centrale de diffraction obtenue à la longueur d'onde 
pour un collecteur de diamètre 
vaut :
Le facteur 1.22 est d'origine géométrique (dans le cas d'une fente rectiligne de largeur 
, le facteur est 1) ; c'est la première valeur qui annule la fonction de Bessel qui rend compte de la diffraction par une pupille circulaire.
Il est physiquement impossible de distinguer des détails plus petits que cette tache image : la diffraction fixe la résolution ultime d'un collecteur unique.
Pour comparer la tache de diffraction au diamètre angulaire des objets étudiés, il est utile de connaître l'ordre de grandeur :
et aussi
La relation entre la taille angulaire de la tache image et le diamètre du collecteur montre directement l'intérêt d'augmenter ce dernier : cela permet d'avoir des images angulairement mieux résolues.
L'appliquette ci-jointe montre la diffraction d'une vague de surface par une ouverture étroite.
Le support du miroir secondaire, appelé araignée, occulte le faisceau primaire, et rajoute sa signature à la figure de diffraction, surtout pour les objets brillants.
L'appliquette ci-dessous calcule la tache image de divers collecteurs. Visualiser l'influence, avec un seul collecteur (avec circulaire comme choix de pupille) :
Visualiser l'influence, avec un collecteur et une occultation du secondaire (avec circ+ obst. second. comme choix de pupille) :
Visualiser l'influence, avec plusieurs collecteurs (avec 2 circulaires ou bien croix d'Angel):
QCM
, il faut un collecteur de taille au-moins égale à
Diffraction or not diffraction ?Difficulté : ☆ Temps : 10 min
L'appliquette ci-jointe montre l'étoile double Mizar, dont les 2 composantes sont séparées de 14.4", observées dans le rouge à 800 nm, par un télescope de la classe 1-m.
Déterminer l'échelle de l'image, en "/pixel.
Déterminer le rayon des anneaux concentriques entourant chaque étoile.
Ces anneaux peuvent-ils être dus à la diffraction par le miroir primaire, secondaire (ces anneaux se situent à 
) ?
Dans quel sens ?Difficulté : ☆ Temps : 20 min
Les figures ci-jointes montrent le miroir primaire et l'ancien foyer (utilisé jusqu'en 2000) du grand radiotélescope de Nançay (Observatoire de Paris).
L'antenne principale a une taille de 
.
Estimer le profil de la tache angulaire de diffraction, pour les trois longueurs d'onde de travail 9, 18 et 21 cm (raie de couplage spin-orbite de l'hydrogène atomique).
[2 points]
Pourquoi y'a-t-il 3 cornets de détection ?
[1 points]
Discuter de la forme et de l'orientation de ces cornets.
[1 points]
Deux motifs se conjuguent pour privilégier les collecteurs de grand diamètre : la taille de la tache de diffraction et le flux collecté. Comme le montre la table ci-joint, le flux reçu par unité d'élément d'image résolvant varie comme la puissance quatrième du diamètre collecteur, lorsque la taille de la tache image est limitée par la diffraction et que le détecteur échantillonne cette tache image. Le gain obtenu provient d'une part de l'accroissement de la surface collectrice, d'autre part d'une meilleure finesse de la tache de diffraction.
| diamètre collecteur | flux total | surface tache image | flux/pixel |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
 |  |  |  |
Il est utile de s'attacher à récupérer une forte densité de flux sur les pixels, comme le montre cet exemple de traitement par optique adaptative.
.
L'abscisse du profil en coupe est directement donnée en unité 
.
Les schémas ci-joints illustrent le critère de Rayleigh, qui définit la condition pour distinguer 2 objets de magnitude identique angulairement voisins.
PrérequisDiffraction de Fraunhofer.
ObjectifsMontrer le lien entre la diffraction et la résolution ultime d'un système optique.
La résolution limite dépend de la taille de la pupille et de la longueur d'onde. L'amélioration de cette valeur limite motive la construction de collecteurs de diamètre le plus grand possible, surtout à grande longueur d'onde.
Le tableau ci-dessous présente diverses taches images, en les traduisant également en distance à laquelle une pomme (de diamètre de l'ordre de 10 cm) présente la taille angulaire correspondante.
| Instrument |  |  |  | pomme | |
| " d'arc | (distance en km) | ||||
| oeil | 7 | mm | vis. | 18 | 1.1 |
| petit télescope | 12 | cm | vis. | 1 | 20 |
| ISO, spatial | 60 | cm | IR | 8 | 2.6 |
| VLT, Chili | 8 | m | vis. | 0.015 | 1400 |
| VLT, Chili | 8 | m | 20  μm | 0.6 | 33 |
| antenne VLBI | 70 | m | 21 cm | 12' | 27 m |
| réseau VLBI |  | km | 21 cm | 0.005 | 4000 |
Le critère de Rayleigh permet de préciser à quelle condition on peut distinguer 2 sources ponctuelles : il faut que le premier zéro de la figure de diffraction de l'une corresponde au maximum de l'autre.
Bonnes résolutionsDifficulté : ☆ Temps : 10 min
On cherche à résoudre différents objets, en lumière visible. Déterminer le diamètre minimal du collecteur nécessaire, la résolution angulaire étant limitée par la diffraction, dans les cas suivants.
Un cratère de 20 km sur la Lune (distante de 380 000 km).
Une étoile double, dont les composantes sont séparées de 0.2".
L'apparence d'un objet dépend intimement de la finesse des détails les plus fins. Ainsi, l'identité des anneaux de Saturne n'a été dévoilée que lorsque des observations de qualité suffisante ont permis de trancher parmi les multiples interprétations alors discutées.
Le gain en résolution angulaire permet une meilleure identification des images ; par exemple pour la Lune observée avec un petit collecteur, ou bien un grand collecteur corrigé des premiers ordres de la turbulence.
A grande longueur d'onde, la diffraction empêche une vision spatialement bien résolue, sauf à avoir un collecteur de très grande taille. Pour une antenne radio unique, circulaire de diamètre correspondant à un nombre limité de longueurs d'onde, le lobe d'antenne apparaît très étendu.
Il est important, pour enregistrer une image en respectant sa résolution angulaire, d'avoir des éléments d'image ou pixels convenablement dimensionnés.
La quête de résolution angulaire de plus en plus fine nécessite des bases de collecte d'observation de plus en plus étendues. Comme la taille d'un élément collecteur est limitée (en 2018 : à 8 m en mono-pupille pour les télescopes du VLT, Gemini Nord et Sud, Subaru ; 10 m en pupille segmentée pour les 2 télescopes Keck; bientôt 39 mètres pour l'ELT européen de l'ESO), on se tourne vers l'interférométrie.
La résolution angulaire ne dépend pas uniquement des conditions de collecte du signal, avec un collecteur de diamètre plus ou moins grand ; elle dépend aussi de la façon dont l'image est finalement enregistrée. L'enregistrement du signal, aujourd'hui quasi uniquement sous forme numérique, doit être adapté à la résolution.
Afin que la taille finie des pixels ne limite pas la résolution, le critère de Shannon énonce qu'il faut au moins 2 pixels par élément de résolution.
Par exemple, si la résolution visée est de 0.4", un pixel doit couvrir 0.2". S'il est plus gros, sa taille va limiter la résolution. S'il est plus petit, le signal sera suréchantillonné spatialement, sans gain d'information spatiale.
La résolution dépend de bien d'autres paramètres. On peut citer : la qualité de l'atmosphère, les aberrations géométriques...
L'aspect de galaxie M31 (d'Andromède) dépend de la résolution angulaire instrumentale. Plus elle est élevée, plus les détails observables sont fins.
La résolution est également limitée par la pixélisation, qui conditionne la FEP.
QCMChoix d'une caméraDifficulté : ☆ Temps : 20 min
Dans le cadre du développement d'un instrument, on cherche à choisir la caméra optimale, càd celle qui réalisera les performances demandées, pour un coût minimal. Un constructeur propose
des caméras de taille 1k
1k (1000 px par 1000 px), 1k
2k,
2k
2k, et 2k
4k, avec pixels carrés de 20, 15 ou 9 micromètres de côté.
Le collecteur présente un diamètre de 3.6 m, pour une ouverture f/3.3
En déduire la focale équivalente, puis le lien entre la taille physique 
du pixel et le champ 
qu'il couvre.
Le champ doit couvrir 
, avec une résolution de 
.
En déduire la caméra appropriée.
Saturne et ses anneaux Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min
L'identification de la nature des anneaux de Saturne ne fut pas sans peine. Le but de l'exercice est de déterminer la résolution angulaire nécessaire permettant de le faire.
A l'opposition, Saturne s'approche à 8.5 UA de la Terre. Le rayon planétaire vaut 60 000 km, les rayons interne et externe des principaux anneaux respectivement 90 000 et 140 000 km. On suppose que les anneaux sont observés sous grand incidence (l'incidence maximale est de l'ordre de 26 deg), pour être dans un cas favorable (lorsque la Terre passe dans le plan des anneaux... on ne les voit simplement pas). Néanmoins, pour simplifier les calculs, on s'intéresse au seul problème 1-D portant sur la seule variable radiale, selon la géométrie de la figure jointe.
Refaire à l'échelle schéma de Saturne et de ses anneaux. Déterminer le plus petit élément bien contrasté à observer pour pouvoir identifier les anneaux.
[1 points]
La résolution devant être au-moins d'un facteur 2 plus précis que la taille du plus petit élément à identifier, déterminer la résolution nécessaire.
[2 points]
Analyser spectralement la lumière est à la base de l'astrophysique. Cette section a pour but de rappeler quelques principes de physique permettant une analyse spectrale efficace. L'instrumentation nécessaire s'appuie sur le réseau de diffraction, bien plus efficace pour disperser la lumière qu'un prisme. Mais la mise en oeuvre du réseau nécessite un environnement précis.
. La luminosité par intervalle spectral (unité arbitraire) est inversement proportionnelle à la résolution.
, avec renormalisation du flux.
Plus la résolution d'un spectre stellaire théorique est élevée :
ObjectifsDéfinir les notions de résolution spectrale : élément de résolution ; pouvoir de résolution ; intervalle spectral élémentaire.
Le pouvoir de résolution spectrale mesure la capacité à distinguer deux longueurs d'onde différentes 
et 
. Il est mesuré par la quantité :
Le pouvoir de résolution est d'autant plus élevé que l'élément de résolution 
(également appelé résolution spectrale élémentaire ou élément spectral) est petit.
Le pouvoir de résolution peut être exprimé avec les diverses grandeurs spectrales (longueur d'onde 
, fréquence 
) :
Il peut également être traduit en une vitesse, via l'équivalent Doppler:
| Instrument | Pouvoir de résolution typique |  @ 500 nm (nm) | vitesse (km/s) |
| Prisme | 500 | 1 | 600 |
| Réseau | 5000 | 0.1 | 60 |
| Réseau blazé | 50000 | 0.01 | 6 |
DémonstrationLa justification de ce qui précède procède en 2 étapes :
.
.
Selon la résolution spectrale, des raies bien marquées, comme celles du sodium à 589.0 et 589.6 nm, apparaîtront plus ou moins clairement, avec l'identification de raies fines entre les 2 éléments du doublet, ou bien noyées dans le flux continu.
QCMRésolution et variable spectraleDifficulté : ☆ Temps : 10 min
Un spectromètre assure un pouvoir de résolution 25 000 dans le visible à 500 nm.
Déterminer la largeur d'un élément spectral élémentaire.
Le spectromètre en question, par transformée de Fourier, travaille en unité de nombre d'onde, exprimée en 
. Exprimer le nombre d'onde 
et la résolution 
dans ce système d'unité.
Quelle résolution ?Difficulté : ☆ Temps : 20 min
Le spectre ci-joint (voir l'appliquette) a été enregistré aux alentours de 440.5 nm. Il s'agit d'estimer sa résolution, en fait limitée par la résolution instrumentale.
Vaut-il mieux effectuer la mesure sur une raie fine ou une raie large ?
Estimer alors la résolution instrumentale
PrérequisMême s'il reprend les bases théoriques, ce cours suppose que le réseau a déjà été étudié en physique. Un réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source, et en donne une série d'images colorées.
ObjectifsCaractériser les interférences constructives d'un réseau ; voir la distribution de l'énergie dans la figure d'interférence.
. Elle correspond au déphasage 
.
On note 
la période du réseau, 
le nombre de traits, 
la longueur d'onde étudiée.
La condition d'interférences constructives s'écrit :
avec 
, entier, l'ordre d'interférence. Le signe 
dans cette relation concerne un réseau par transmission, le signe 
un réseau par réflexion. C'est ce dernier cas qui nous intéresse, car il correspond au cas du réseau blazé.
Cette condition rend compte
que le déphasage 
entre les amplitudes complexes issues de 2 traits consécutifs, vaut 
(ou bien, de façon équivalente, que la différence de marche vaut 
).
La diffraction par une fente du réseau détermine les différentes directions vers lesquelles la lumière est envoyée, chacun des fentes du réseau se comportant comme une source secondaire.
Les interférences entre ces différentes sources secondaires construisent les franges d'interférences, d'autant plus fines que le réseau comporte un nombre important de traits (cf. calcul de l'intensité de la figure d'interférence).
du dénominateur. La finesse des pics d'interférence augmente avec le nombre de traits 
.
L'intensité de la figure d'interférence est issue du double effet de la
diffraction par une seule fente et des interférences par 
fentes. On s'intéresse dans un premier temps au phénomène d'interférence seul.
On note 
le déphasage entre 2 fentes consécutives, et 
l'amplitude complexe. On mène les calculs dans l'approximation de
Fraunhofer, pour montrer que l'intensité diffractée vaut :
DémonstrationLa sommation des amplitudes conduit à :
Le traitement de la somme des termes d'une suite en progression géométrique donne :
On calcule l'intensité en factorisant le numérateur et le dénominateur par l'exponentielle complexe de l'angle moitié (de module unité), pour aboutir à :
Le terme d'intensité est important uniquement lorsque le dénominateur s'annule. Dans ce cas, le numérateur s'annule également et, par continuité du rapport,
le pic d'intensité tend vers 
. Chaque pic correspond à un ordre d'interférence. La largeur de ce pic est donnée par les variations du numérateur, qui oscille 
fois plus rapidement que le dénominateur ; elle est donc 
fois inférieure à la largeur entre 2 ordres consécutifs.
L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est a priori pas efficace : l'essentiel de l'énergie passe dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. Un concept technologique spécifique pare cet inconvénient : le réseau blazé.
La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend de l'ordre d'interférence.
La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend de la longueur d'onde de l'onde plane incidente.
La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend du pas du réseau (ou nombre de traits par millimètre).
PrérequisEtude du réseau en physique.
ObjectifsCaractériser la dispersion d'un réseau, càd sa capacité à distinguer les différentes couleurs.
Rappel : la condition d'interférences constructives s'écrit :
avec 
l'ordre d'interférence (entier), 
le pas du réseau, 
la longueur d'onde d'étude.
La dispersion angulaire relie, à incidence 
fixée, les variations de
l'angle de sortie 
avec 
. Elle est obtenue par différentiation de la relation du réseau :
La dispersion 
croît avec l'ordre 
et la fréquence spatiale du réseau 
.
La résolution 
dépend des paramètres du réseau, mais aussi de la précision 
avec laquelle on peut déterminer l'angle 
.
A couleur fixée, mais ordre d'interférence 
variable, la différentiation de la relation constitutive du réseau s'écrit :
Un pas d'interférence, correspondant à 
, correspond à un
intervalle angulaire :
Ce pas varie directement avec la couleur de l'onde considérée.
ondes ![(N = [3, 10, 30, 100, 300, 1000])](../pages_interference/equations_reseau-dispersion/equation20.png)
. La largeur de la tache principale varie comme 
. La figure de droite
zoome sur un ordre donné.
Le nombre 
de traits du réseau
fixe la largeur angulaire de la tache image : la figure d'interférence envoie la lumière de façon significative dans un intervalle angulaire 
fois moindre qu'un ordre :
Le pouvoir de résolution théorique du réseau s'écrit, s'il est limité par la seule diffraction, en application de ce qui précède 
:
Le pouvoir de résolution théorique augmente avec le nombre de traits éclairés et avec l'ordre d'interférence.
AN : avec un réseau blazé de 100 mm, 100 traits/mm et travaillant à l'ordre 40, le pouvoir de résolution théorique atteint 400 000.
L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est toujours pas efficace : la dispersion spectrale est d'autant plus grande que l'ordre du réseau est élevé, mais l'essentiel de l'énergie reste dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. De plus, la superposition des ordres mélange les couleurs.
Les animations montrent la création des ordres d'interférence par interférences constructives, pour différents ordres et couleurs. Attention : ces animations supposent indûment valide à courte distance l'approximation de Fraunhofer, qui décrit la diffraction uniquement à grande distance de l'objet diffractant.
Voir comme la déviation varie avec :
QCM
et la largeur de fente 
sont très proches pourra travailler efficacement dans combien d'ordres :
.
Un réseau-échelle ou réseau blazé (a blaze of color = resplendissant de couleur) traite efficacement la dispersion : il envoie la puissance lumineuse incidente dans des ordres élevés du spectre, avec une grande dispersion spectrale. Il s'agit d'un réseau par réflexion, très couramment utilisé en instrumentation astrophysique.
Une deuxième dispersion, dite dispersion croisée, des ordres diffractés par un réseau blazé permet d'obtenir un spectre sur un large intervalle spectral divisé en plusieurs ordres. L'intensité dans chaque ordre est modulée par la fonction d'Airy de la fente d'entrée.
ObjectifsIntroduire les propriétés du réseau blazé, dont l'intérêt est d'envoyer l'énergie diffractée dans un ordre d'interférence non nul.
par rapport au plan du réseau. La diffraction envoie une intensité maximale dans un ordre d'interférence non nul, pour
. Les angles 
et 
restent définis par rapport au plan du réseau.
Le réseau par transmission n'est pas efficace. La diffraction envoie essentiellement l'énergie dans l'ordre 0, qui n'est pas dispersif, ce qui n'est guère intéressant.
L'intérêt du réseau blazé est d'envoyer le flux dans un ordre d'interférence non nul dans les conditions de l'optique géométrique (les conditions usuelles d'utilisation sont proches du cas 
, où 
est l'angle de blaze). Cet ordre dépend de la couleur étudié.
D'un point de vue énergétique, le montage optique d'un réseau blazé s'arrange pour voir essentiellement la tache de diffraction du réseau (déterminée par une facette élémentaire).
Par rapport au réseau par transmission, le réseau blazé permet un travail dans un ordre d'interférence élevé, assurant un pouvoir de résolution théorique élevé. Mais, à lui seul, le réseau blazé n'assure pas une dispersion optimale : les ordres restent superposés, aboutissant à la confusion des couleurs si chèrement dispersées. Il faut adjoindre au réseau blazé un deuxième élément dispersif, assurant une dispersion dans une direction perpendiculaire, qui permet de distinguer les différents ordres.
Avec 2 dispersions à angle droit, la source doit nécessairement être ponctuelle (en pratique, souvent une fibre).
QCM
et d'angle 
observe dans le rouge (600 nm) dans l'ordre
Le réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source ou un trou source. Le montage de principe est donc simplement un montage conjuguant la source à son image en passant via 2 lentilles équivalentes par un faisceau parallèle. Le réseau donne en fait une série d'images colorées de la fente source.
En pratique, c'est évidemment plus complexe.
L'insertion du réseau dans le spectromètre nécessite :
L'appliquette ci-joint permet de lire le schéma optique de l'instrument CRIRES (CRyogenic high-resolution IR Echelle Spectrometer) du VLT.
Un montage optique couramment utilisé avec un réseau blazé est celui de type Littrow, où une optique unique alimente le réseau en lumière parallèle et collecte le faisceau dispersé. Les facettes du réseau blazé sont éclairées sous une incidence quasi-nulle (mais correspondant à une incidence élevée par rapport au plan du réseau).
PrérequisEtude du réseau en physique.
ObjectifsLier le pouvoir de résolution spectrale d'un instrument disperseur avec réseau aux conditions de formation d'image.
Le rôle de l'optique géométrique ne doit pas être oublié : il peut dimensionner la résolution effective du réseau. Avec 
la largeur de la fente et 
la focale du miroir collimateur, la taille angulaire de la fente vue dans l'espace image est :
Le pouvoir de résolution limité par la largeur de la fente d'entrée 
s'écrit :
où subsistent les conditions géométriques de l'éclairement du réseau. Dans les conditions d'un réseau blazé éclairé quasi normalement aux facettes, 
et avec le signe + correspondant au réseau par réflexion :
Un pouvoir de résolution optimal nécessite une source de petite taille et une grande focale. Avec une focale de l'ordre du mètre, une fente de 100 micromètres (en fait une fibre), et 
, le pouvoir de résolution géométrique vaut 40 000.
La finesse de la fente d'entrée assure la finesse des images monochromatiques ; mais fermer la fente est réalisé au détriment de la luminosité. Assurer une longue focale nécessite un grand réseau, ce qui a un coût.
Le pouvoir de résolution réel est conditionné par la plus petite valeur du pouvoir théorique ou limité par l'image géométrique de la fente d'entrée :
![{\cal R} \ = \mathrm{min}\ [ {\cal R}_0, \ {\cal R}_1]](../pages_interference/equations_spectro-reseau/equation9.png)
Un instrument bien dimensionné est conçu de façon à accorder la taille de la fente et la résolution optimale définie par la diffraction.
Des informations sur le réseau, on conclut que le pouvoir de résolution 
du réseau, inférieur au pouvoir de résolution théorique, dépend :
, qui varie comme 
, qui varie comme 
varie comme 
Un pouvoir de résolution élevé nécessite une fente d'entrée très étroite.
QCM
de l'optique et la largeur 
de la fente d'entrée comme
Le réseau du spectromètre HARPSDifficulté : ☆☆ Temps : 20 min
Le montage du spectromètre HARPS assure un pouvoir de résolution
de l'ordre de 120 000. La focale de l'optique de chambre valant
1.56 m, en déduire la taille de la fente d'entrée, sachant que par
ailleurs l'illumination du réseau a lieu dans les conditions 
.
[1 points]
Le flux collecté par le télescope a un diamètre de 3.6 m, qui devient dans l'instrument 20 cm. En déduire le grossissement.
[1 points]
Déduire de ce qui précède l'ordre de grandeur du champ de vue sur le ciel.
[2 points]
Cette section propose des développements plus ardus, au-delà d'un programme de niveau L2 ou L3, mais bien utiles, concernant divers points d'optique.
Un miroir sphérique est beaucoup plus simple à tailler qu'un miroir parabolique. Mais il ne rend pas les mêmes services, car il concentre la lumière imparfaitement ; plus le rayon est éloigné de l'axe optique, plus il va converger en avant du foyer. On parle d'aberration de sphéricité.
PrérequisNotion de stigmatisme.
ObjectifsBrièvement décrire les aberrations géométriques
La définition de la justesse de la formation d'image s'appelle le stigmatisme. Le stigmatisme idéal est atteint lorsque tous les rayons issus d'un point de l'objet convergent en un seul point de l'image.
Cette situation idéale n'est pas opérationnelle : il faut en pratique définir les conditions dans lesquelles la convergence est suffisante (p.ex. avec une précision dans le plan focal meilleure que la taille d'un pixel). Ces conditions sont d'autant mieux réalisées que l'on est proche de l'axe optique du système.
Les aberrations primaires correspondent à la décomposition des aberrations dans le champ image. Elles proviennent des écarts au stigmatisme lié d'une part aux rayons inclinés sur l'axe optique, d'autre part aux rayons ayant traversé le système optique loin de l'axe optique.
Les aberrations dépendent alors de 2 variables : la distance angulaire 
entre un point de l'objet et le point de l'objet centré sur l'axe optique ; la distance 
, sur la pupille d'entrée entre les traces du rayon et de l'axe optique sur la pupille d'entrée.
. Elle est d'autant plus grande que l'ouverture de l'optique est grande.
, indépendamment de la taille de l'optique. La coma peut s'observer pour tout objet hors de l'axe optique.
et de la distance angulaire 
.
L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple : comme l'indice du matériau varie avec la longueur d'onde, la focale varie également. En règle générale, l'indice bleu, plus élevé donne une distance focale bleue plus courte.
Cette aberration est corrigée par l'utilisation de systèmes de lentilles (doublet, triplet...), avec des verres d'indices différents pour obtenir une focale équivalent quasiment identique pour toutes les longueurs d'onde considérées.
Les miroirs présentent l'avantage de ne pas induire d'aberrations chromatiques (la lumière ne traverse pas le miroir). Leur coefficient de réflexion, qui dépend intimement du traitement de surface, est néanmoins chromatique.
Aberrations
Les différents défauts géométriques cohabitent joyeusement, et les distinguer n'est pas toujours facile, comme le montre le diaporama ci-joint.
PrérequisNotion d'angle solide.
ObjectifsDéfinir l'étendue de faisceau ; mais surtout montrer la conservation de l'étendue de faisceau.
en un faisceau de diamètre 
, avec un grossissement angulaire 
.
Un montage afocal transforme un faisceau plan en un autre faisceau plan. Les rapports des diamètres des faisceaux et des inclinaisons en entrée et sortie sont intimement liés au grossissement.
Le produit est un invariant, ce qui relate une relation physique plus générale : la conservation de l'énergie du faisceau.
à l'aire collectrice 
.
La puissance (ou luminosité )
transportée par un faisceau lumineux, émise par l'élément de surface S et reçue par S' se conserve (sorte de tautologie, le faisceau étant défini par l'ensemble des rayons lumineux, càd la totalité de la puissance lumineuse). Cette puissance est proportionnelle à la luminance 
, à l'élément de surface émetteur et à l'élément d'angle solide d'émission.
Un jeu d'écriture sur les grandeurs photométriques, avec les données de la figure, conduit à exprimer la conservation de la puissance lumineuse comme la conservation de l'étendue géométrique de faisceau. On définit cette étendue de faisceau, pour un faisceau traversant sans être collimaté (= sans perte d'énergie) un élément optique de section 
, occupant un angle solide 
, dans un milieu d'indice unité (comme le vide ou comme l'air à peu de chose près), par le produit 
, qui se conserve le long du faisceau.
Pour les systèmes stigmatiques (càd, très grossièrement, donnant des images avec des aberrations limitées), la conservation de l'énergie se traduit par la conservation de l'étendue de faisceau :
Démonstration
Le passage de la luminance 
à la puissance lumineuse nécessite de s'appuyer sur le produit d'un élément de surface émetteur 
et d'un angle solide d'émission 
.
La luminosité élémentaire s'écrit :
L'angle solide 'regarde' une surface réceptrice 
à la distance 
telle que :
La luminosité élémentaire se réécrit donc :
Avec 
l'angle solide sous lequel est vue la source depuis la surface réceptrice. On remarque que le rôle des éléments émetteur et récepteur est symétrique. Le produit 
introduit l'étendue géométrique élémentaire.
L'intégration sur le faisceau entier au travers d'une pupille, menée dans l'espace objet ou depuis l'espace image, garde la symétrie du produit surface 
angle solide 
.
Un faisceau conique d'ouverture totale 
couvre un angle solide :
Si l'angle 
est petit, cet angle solide se réécrit simplement :
Au travers d'une optique de diamètre 
, la conservation du produit 
devient, pour ce faisceau conique :
On retrouve donc le résultat obtenu dans le cadre du montage afocal.
Comme conséquences importantes, on note que :
Imagerie grand champDifficulté : ☆ Temps : 20 min
Le but d'une caméra est de réaliser un programme de cartographie, par imagerie grand champ. Les caractéristiques du détecteur sont fixées (taille du capteur CCD et caractéristiques de son optique), que l'on traduit par le produit 
. Le but de l'exercice est de déterminer quel collecteur optimal utiliser pour réaliser ce programme.
Comment varie la taille angulaire du champ objet en fonction de la surface 
du collecteur ?
Le temps de pose est fixé par le rapport signal à bruit des observations, qui dépend essentiellement du nombre de photons collectés. Comment le temps de pose varie-t-il avec la surface du collecteur ?
Y'a-t-il un intérêt particulier à utiliser un grand collecteur pour réaliser cette cartographie ? Quel usage peut-on conseiller à un télescope de la classe 4-m qui doit motiver son existence par rapport aux télescopes de nouvelle génération plus grands ?
Sur les 2 tableauxDifficulté : ☆☆ Temps : 20 min
CoRoT est un satellite du CNES lancé en décembre 2006, qui poursuit 2 objectifs scientifiques : la recherche d'exoplanètes par la méthode des transits d'une part, l'étude sismique de quelques étoiles de type solaire d'autre part. Ces 2 objectifs s'appuient sur la capacité de CoRoT à mener des observations de photométrie très précises. Le montage optique retenu consiste en l'association de 2 miroirs paraboliques confocaux (confocal 
même foyer) hors axe, suivis par une optique de chambre conjuguant le faisceau issu des 2 paraboles avec le détecteur CCD. En pratique, pour les respecter les specifications de la formation d'image, cette optique de chambre est constituée de 6 lentilles.
Faire à l'échelle un schéma de principe le plus simple possible du système équivalent à l'ensemble miroirs + optique de chambre avec 3 lentilles équivalentes pour respectivement les 2 miroirs et l'optique de chambre.
Le diamètre du premier miroir vaut 30 cm ; les focales des miroirs primaire et secondaire sont dans un rapport de 3 à 1. Que peut-on en déduire concernant les lentilles de l'optique de chambre ? En quoi consiste l'un des intérêts de ce montage ?
Reprendre le schéma de principe, en respectant l'ouverture du faisceau à 
vu par la caméra, Calculer la focale 
équivalente et la focale 
de l'optique de chambre.
La question précédente met en évidence un gain sur l'optique de chambre. Mettre en évidence la contrainte associée, qui dérive de la conservation de l'étendue de faisceau. Conclure.
Étendue cohérenteDifficulté : ☆☆ Temps : 10 min
Un collecteur de diamètre 
délivre une tache de diffraction d'ouverture (définie comme largeur à mi-hauteur) 
. On cherche à en déduire l'étendue de faisceau cohérente.
Justifier que l'étendue cohérente correspond au pic central de la diffraction.
Déterminer l'étendue de faisceau cohérente. Montrer qu'elle est très voisine de
.
D'un collecteur de 8 m à une fibreDifficulté : ☆ Temps : 5 min
Un instrument du VLT (collecteur de diamètre 
est alimenté par un faisceau de fibres de diamètre 
.
L'alimentation optimale de la fibre se fait à 
. En déduire l'ouverture angulaire du faisceau en entrée de fibre.
[1 points]
Que vaut le champ objet admissible sur le ciel ? L'exprimer en seconde d'angle.
[1 points]
Observation au foyer et étendue de faisceauDifficulté : ☆☆ Temps : 15 min
On se propose de retrouver par l'application de la conservation de l'étendue de faisceau l'expression de la taille linéaire de l'image d'un objet à l'infini de diamètre angulaire 
par un collecteur de diamètre 
et de focale 
. On considère le seul cas où l'angle 
est petit. On note 
ladite taille linéaire.
Exprimer le produit 
côté source, en fonction des données.
[1 points]
Rappeler l'expression de l'ouverture angulaire du collecteur, et exprimer le produit 
côté détecteur.
[2 points]
Exprimer la conservation de l'étendue de faisceau. Retrouve-t-on le résultat attendu ?
L'objet ayant une taille angulaire 
, quelle est la taille linéaire 
de son image.
[2 points]
Le vignetage apparaît lorsque qu'un diaphragme coupe indûment le faisceau optique. Les bords de l'image ne sont alors plus suffisamment éclairés.
PrérequisOptique géométrique ; tracé de rayons.
ObjectifsBien accepter ou bien stopper les photons (sans trop rentrer dans les détails).
Le champ d'un instrument d'optique est la partie de l'espace dont cet instrument fournit une image acceptable.
Un diaphragme, c'est par définition ce qui limite un faisceau. En pratique, les montures des pièces optiques, la taille d'un détecteur sont des diaphragmes. La suite précise cette notion.
Un diaphragme de champ limite la taille angulaire du faisceau. Il est dimensionné pour assurer :
Le détecteur, de taille finie, peut jouer le rôle de diaphragme de champ.
Dans un système optique centré, le diaphragme d'ouverture est le diaphragme matériel qui limite l'ouverture d'un faisceau centré. C'est donc le diaphragme vu de puis l'objet sous le plus petit angle ; c'est souvent la monture de la première lentille.
Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Il est essentiellement dimensionné pour assurer le niveau d'éclairement voulu. Il joue sur l'extension linéaire du faisceau : un grand diaphragme nécessite des pièces optiques de grande taille... dont la qualité doit suivre.
La pupille d'entrée d'un instrument est l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées en avant ce diaphragme.
La pupille de sortie est l'image géométrique de la pupille d'entrée. C'est aussi l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées après ce diaphragme.
Un diaphragme de champ limite l'ouverture angulaire du faisceau. Dans l'animation proposée, c'est la taille du détecteur qui limite le champ accessible : le détecteur joue le rôle de diaphragme de champ.
Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Dans l'animation proposée, le diaphragme d'ouverture limite l'éclairement au foyer.
Diaphragme d'ouvertureDifficulté : ☆ Temps : 10 min
On propose d'utiliser un montage afocal, avec les lentilles L1 et L2 de caractéristiques respectives (focales et diamètres) :
;
.
Sous quelle ouverture sont vues les lentilles depuis leur foyer commun ?
[1 points]
En déduire la lentille qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture.
[1 points]
Pupille d'entrée de CoRoTDifficulté : ☆☆ Temps : 30 min
La figure représente le montage optique du collecteur du satellite CoRoT. Il comporte un baffle de grande taille dont le rôle est de protéger le signal de toute perturbation extérieure, pour une étude photométrique extrêmement précise. Le montage collecteur (miroirs M1 et M2) est hors-axe, afin d'éviter toutes les réflexions parasites qu'apporterait le miroir secondaire M2 avec sa structure dans le cas d'un montage axial.
D'après le schéma optique, à quelle configuration correspond l'ensemble des miroirs collecteurs M1 et M2 ? Quelles sont les propriétés du faisceau après passage par M2, en terme de diamètre, ouverture et étendue de faisceau comparées aux mêmes valeurs en amont de M1 ?
[2 points]
Le diaphragme 
est positionné en aval de M2, à une distance du miroir égale à la focale de M2. En déduire la position de la pupille d'entrée 
. Faire un schéma justifiant la réponse.
[2 points]
Que peut-on dire d'un photon qui passe par la pupille d'entrée ?
[1 points]
En fonction de ce qui précède, reformuler le rôle du baffle de protection.
[1 points]
et 
.
La figure de diffraction d'une pupille circulaire introduit les fonctions de Bessel.
. Le premier zéro est à l'abscisse 1.22.
L'intensité diffractée par une pupille circulaire est donnée par 
, avec 
, avec 
le diamètre de la pupille, 
la longueur d'onde et 
la direction d'observation.
PrérequisDiffraction de Fraunhofer.
Objectifs
(Page à n'aborder qu'en deuxième lecture).
Introduire, pour une pupille circulaire, les fonctions de Bessel, qui justifient le facteur 
qui dimensionne la tache de diffraction.
On considère une pupille, modélisée par une ouverture plane centrée en 
, et l'on note 
un point de la pupille. Cette pupille est éclairée par une onde plane uniforme, monochromatique, en incidence normale. L'amplitude de l'onde diffractée dans une direction repérée par le vecteur directeur 
s'écrit :
est un point courant de la pupille, de coordonnées polaires 
, et 
porte la direction pour laquelle on recherche l'amplitude de l'onde diffractée.
La pupille étant circulaire, de rayon 
, il est préférable de décrire les coordonnées du point 
et de la direction de diffraction 
en coordonnées polaires, avec les notations suivantes :
(
est le vecteur normal au plan de la pupille).
L'amplitude de l'onde diffractée dans la direction 
faisant un angle 
avec l'axe optique s'écrit alors, en supposant l'amplitude incidente uniforme :
On introduit les fonctions de Bessel, dont les 2 premiers termes sont, par définition :
![\begin{eqnarray*} J_0 (X) =& \displaystyle{{1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \exp \bigl[-iX \cos v \bigr]\ {\mathrm{d}} v}\\ J_1 (X) =& \displaystyle{{1\over X}\ \int_0^{X} u J_0 (u)\ {\mathrm{d}} u}\\ \end{eqnarray*}](../pages_rayon/equations_diffraction-pupille/equation25.png)
L'amplitude diffractée dans une direction faisant un petit angle 
par rapport à l'axe optique, devient :
DémonstrationLes calculs passent par les changements de variables
L'intensité diffractée dans la direction 
s'écrit donc :
Pour 
voisin de 0, 
. Par ailleurs,
le premier zéro de la fonction 
est pour 
.
La largeur à mi-hauteur du pic central de diffraction, supposée égale à la demi-largeur entre les 2 zéros de part et d'autre du pic central, s'écrit en fonction du diamètre de la pupille 
et de la longueur d'onde 
:
La figure de diffraction s'annule ensuite pour les rayons 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unité 
. Les anneaux lumineux ont comme rayon, dans la même unité : 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71...
La figure de diffraction d'une pupille, quelle qu'elle soit, est identique à sa transformée de Fourier.
PrérequisCours sur la diffraction de Fraunhofer.
Objectifs(Page à n'aborder qu'en 2eme lecture.) Mettre en regard le formalisme décrivant la diffraction à l'infini par une pupille et le formalisme de la transformation de Fourier.
En repérant un point de la pupille par la variable 
, la fonction 
caractérisant l'éclairement sur la pupille, l'amplitude diffractée
dans une direction angulaire de vecteur directeur 
s'écrit :
![\begin{eqnarray*} A ( \mathbf{u})\ &=&\ \int\!\!\!\int_{\mathrm{ pupille }} A( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right] \ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ &=& \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ I( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ \end{eqnarray*}](../pages_rayon/equations_diffraction-fourier/equation4.png)
Avec le terme 
introduit pour normaliser l'élément de surface 
, et
la pupille d'entrée, qui limite la fraction de l'onde plane
émise par la source à l'infini. Pour un éclairement uniforme en incidence normale, 
est typiquement une fonction porte à 2 dimensions.
Par ailleurs, le formalisme de la transformation de Fourier s'écrit :
![\tilde f ( \mathbf{u}) \ =\ \int\!\!\!\int f( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u} . \mathbf{r} \right] \ \ {\mathrm{d}} \mathbf{r}](../pages_rayon/equations_diffraction-fourier/equation9.png)
On se doute que l'air de ressemblance entre ces 2 dernières égalités vaut plus qu'un simple hasard.
Si l'on peut supposer l'éclairement uniforme, l'amplitude diffractée dans une direction 
est donnée par la transformée de Fourier de la fonction
de pupille 
, la variable de position étant normalisée en unité de longueur d'onde :
![A ( \mathbf{u})\ =\ A_0 \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}](../pages_rayon/equations_diffraction-fourier/equation12.png)
Les variables conjuguées sont la direction angulaire, repérée par le vecteur 
, et 
la variable spatiale décrivant la pupille rapportée à la longueur d'onde.
On peut utiliser les propriétés de la TF pour réécrire les caractéristiques de la diffraction.
Une pupille de taille caractéristique 
filtre les hautes fréquences, càd l'information angulaire plus fine typiquement que 
.
Plus la pupille est grande, moins elle filtre angulairement.
La tache image due à la seule diffraction dépend du diamètre du télescope. Plus ce dernier est grand, plus la tache d'Airy est piquée.
Un interféromètre de Michelson permet de tracer l'interférogramme d'une source, càd la figure d'interférence obtenue après déphasage de l'une des 2 voies de l'interféromètre d'une différence de marche 
.
L'interférogramme du
spectre d'une source réelle, délimitée par un intervalle spectral
fini, illustre le phénomène de cohérence temporelle : le signal
d'interférence chute dès lors que la différence de marche devient
grande.
La cohérence temporelle décroît d'autant plus rapidement que le spectre de la source présente une gamme de longueurs d'onde importante.
ObjectifsLe cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique géométrique et physique. Une source ne sera jamais totalement monochromatique, même si son spectre présente des raies d'émission très étroites, ou si par dispersion ou filtrage on sélectionne un très fin domaine spectral. La cohérence temporelle d'une onde rend compte de sa chromaticité.
Une approche rigoureuse passe par le théorème de Wiener-Khintchine.
PrérequisInterféromètre de Michelson
Tout phénomène d'interférence avec une source monochromatique conduit à une modulation de l'amplitude résultante fonction de la longueur d'onde du rayonnement.
Pour une source polychromatique, mélanger les couleurs revient donc à mélanger des périodes différentes : la cohérence temporelle du signal est prise en défaut.
.
(Ne pas hésiter à aller voir les pages dédiées au spectromètre par TF).
L'exemple d'un interféromètre par transformée de Fourier (réglé en anneau) présente la problématique : la visibilité des franges décroît d'autant plus rapidement que le domaine spectral accepté est vaste.
Pour une raie monochromatique, l'interférogramme se développe, en fonction de la différence de marche, comme :
Pour une raie réelle, présentant une largeur non infiniment fine, il faut tenir compte de la contribution des différentes composantes spectrales.
L'intégration, fonction du profil spectral 
de la raie, conduit à :
L'expression de la fonction de visibilité des franges 
dépend de l'intégration du profil spectral 
, et n'est pas nécessairement simple. La visibilité :
; plus l'intervalle spectral est grand, moins les franges de l'interférogramme seront visibles.
.Un exemple de démonstration, dans un cas simplifié, est donné en exercice.
Dans le cas général, le degré de cohérence d'une source polychromatique, complexe, s'écrit :
La démonstration résulte du théorème de Wiener-Khintchine.
La longueur de cohérence 
, qui mesure l'étendue du degré de cohérence, vérifie approximativement :
La visibilité des franges d'interférences dépend de la largeur de l'intervalle spectral considéré. La superposition de franges de couleurs différentes, donc de périodes différentes, conduit à un signal d'interférence en moyenne nulle.
QCM
Un interféromètre enregistre des franges d'interférence, pour en déterminer la visibilité. Celle-ci décroît rapidement dès que l'interférogramme s'écarte de la différence de marche correspondant au déphasage nul entre les 2 signaux.
La cohérence spatiale entre 2 points d'un écran dépend de l'étendue angulaire de la source.
L'image d'une source ponctuelle n'est pas un point : c'est la diffraction qui le veut... c'est un cas particulier de la notion de cohérence spatiale.
ObjectifsLe cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique (géométrique ou physique). Une source réelle en astrophysique peut être approximativement ponctuelle, du fait d'un très grand éloignement, mais ce n'est pas toujours le cas.
La cohérence spatiale rend compte de l'étendue angulaire de la source. Une analyse détaillée des phénomènes peut se traiter par une formalisme mathématique et s'appuie sur le théorème Zernike Van-Cittert.
Les sources astrophysiques ne sont pas naturellement cohérentes. Leur étendue angulaire va conduire à dégrader la cohérence du rayonnement : l'onde collectée mélange diverses directions incidentes, présentant différentes phases, dont le mélange dégrade la cohérence.
Pour modéliser ce phénomène, on s'intéresse à la cohérence du champ sur un écran illuminé par une source à grande distance ; cet écran illustre le rôle que joue un plan d'onde intermédiaire ou bien une pupille.
On repère un point 
de la source par le rayon vecteur 
de coordonnées 
et 
. On compare la cohérence entre 2 points 
et 
de l'écran.
Pour une source à grande distance (
très grand par rapport aux autres dimensions), on définit le degré de cohérence comme une fonction du profil de brillance 
:
![\gamma_{1,2} \ = \ \gamma (\mathbf{P_1P_2}) \ = \ { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M})\ \exp \left[ -2i\pi\ { \mathbf{M} \over d}. {\mathbf{P_1P_2} \over \lambda} \right] \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M}) \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} }](../pages_rayon/equations_coherence-spatiale/equation9.png)
Le facteur de cohérence complexe correspond à la transformée de Fourier de la distribution spatiale d'intensité de la source (théorème de Zernike - Van Cittert).
On modélise le rayonnement stellaire par une source circulaire de diamètre 
,
de brillance uniforme, observée à distance 
. La brillance peut être représentée par une fonction porte 
. On traite alors ce cas particulier en s'appuyant sur sa géométrie cylindrique, et
l'on réécrit la cohérence entre le centre 
de l'écran (centre repéré sur la normale à l'écran vers la source) et un point 
tel 
:
![\begin{eqnarray*} \gamma_{1,2} \ =& { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \ \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} }\\ \propto & \displaystyle{\int_0^\theta \ \exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \ = \ \displaystyle{ 2 J_1 \left( 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}\right) \over 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}}\\ = & \displaystyle{ 2 J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{avec} \ \ X\ =\ 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda} \end{eqnarray*}](../pages_rayon/equations_coherence-spatiale/equation16.png)
où l'on retrouve la fonction de Bessel 
.
, et la cohérence du champ d'une source de diamètre 
entre 2 points d'un écran séparés de 
.
Le résultat précédent ressemble furieusement à celui de la diffraction. Est-ce un hasard ?
La tache d'Airy résultant de la diffraction par une pupille circulaire rend compte de la contribution de toutes les sources secondaires à considérer sur la pupille. Plus la pupille est grande, plus les déphasages s'accumulent dès lors que l'on s'éloigne de la position centrale de l'image géométrique. Il s'ensuit que la tache de diffraction est d'autant plus piquée que la pupille est grande.
En terme de cohérence, plus une pupille est grande, plus le degré de cohérence entre 2 points de cette pupille diminue.
Une autre manière de reformuler ceci dérive de l'analyse de Fourier : plus on possède d'information sur un signal, moins ce signal est localisé. Le principe d'incertitude de Heisenberg ne dit pas autre chose : la détermination précise d'une grandeur nécessite que sa grandeur conjuguée soit étendue, la moins localisée possible.
.
La source de rayon angulaire 
est vue depuis l'écran sous un angle solide 
. Une surface 
de l'écran correspond à une étendue de faisceau 
telle que :
La valeur à mi-hauteur du facteur de cohérence correspond à 
: on choisit cette valeur pour définir le rayon de l'étendue de cohérence.
Définition
L'étendue de cohérence du faisceau monochromatique vaut 
.
La visibilité du signal d'interférence dépend des déphasages entre les faisceaux issus des différents points de la source. Plus ces déphasages augmentent, moins le signal est cohérent.
QCM
du Bouvier (Arcturus) résulte de la visibilité des franges d'interférence obtenues par interférométrie.
L'immense majorité des disques stellaires ne peut pas être résolue par imagerie avec un seul collecteur. Il est nécessaire, pour pallier cet effet, de recourir à la technique d'interférométrie. La visibilité des franges d'interférence d'une source stellaire conduit alors de à la mesure de son diamètre.
ObjectifsNombre de sources astrophysiques présentent un diamètre angulaire qui ne peut pas être résolu par une pupille unique. Mais l'interférométrie permet d'affiner la résolution angulaire, et de mesurer des diamètres stellaires.
Le diamètre d'une étoile du proche environnement solaire sous-tend un angle de l'ordre d'une milliseconde d'arc. Ce diamètre est, sauf exception, très inférieur à la largeur de la tache de diffraction dans le visible d'un télescope, même de grand diamètre. En revanche, par interférométrie, on peut avoir accès indirectement à ce diamètre, si l'on dispose d'une base suffisamment grande.
On suppose une source de brillance uniforme, circulaire de diamètre angulaire
, observée par 2 télescopes identiques séparés d'une base
(base projetée dans le plan perpendiculaire à la source) que l'on fait interférer.
Le facteur de cohérence établi dans le cas général est usuellement dénommé visibilité. La fonction de visibilité s'écrit :
où 
est la fréquence spatiale.
Chaque base 
conduit à une mesure de la visibilité pour la fréquence spatiale 
. Dans le cadre du modèle, où une étoile est un disque de brillance uniforme, la visibilité s'annule pour 
, et donc pour une relation entre le diamètre angulaire stellaire et la fréquence spatiale telle que :
Finalement, une mesure du diamètre stellaire 
revient à une mesure de visibilité de la figure d'interférence.
Le calcul précédent a supposé que la source présente un profil de brillance uniforme : en fait le phénomène d'assombrissement centre-bord complique un peu l'analyse. Le rôle de la diffraction ne peut bien sûr pas être négligé : toute mesure de visibilité doit être corrigée de la fonction d'appareil des collecteurs (dont la diffraction), que l'on détermine expérimentale sur une source vraiment ponctuelle (en pratique : très lointaine).
, sur une base 
. L'autocorrélation de la pupille donne accès aux hautes fréquences spatiales 
.
Une pupille unique est un filtre passe-bas, coupant à la fréquence spatiale 
, et donnant une résolution angulaire de 
.
Un interféromètre est donc un filtre passe-bande, qui fournit une information à la fréquence 
; sa résolution angulaire est 
.
On retrouve ces propriétés par une analyse en terme de Fourier : le théorème de Wiener-Khintchine relie la fonction de transfert optique à la TF inverse de l'autocorrélation de la pupille.
Une mesure du facteur de cohérence complexe fournit une composante de fréquence spatiale de la source. La mesure de ce facteur à plusieurs fréquences spatiales permet la reconstruction de la distribution spatiale d'intensité de la source.
QCM
apporte à 
une résolution angulaire de :
, sera résolue pour une base de :
Diamètre stellaireDifficulté : ☆☆ Temps : 20 min
Les figures ci-jointes illustrent la mesure de visibilité de franges d'interférence.
du Bouvier.
de la constellation du Phénix.
de la constellation d'Hercule.
de Céphée.
Déduire des courbes le diamètre angulaire des sources stellaires 
Phe et 
Boo.
Quelle raison physique peut expliquer que la courbe de visibilité de
d'Hercule ne s'annule pas.
Les parallaxes de 
Phe, 
Boo et 
Her sont estimées à respectivement 10.1, 88.2, 8.5 mas. En déduire la distance de chaque étoile, puis son diamètre linéaire.
Discuter les courbes de la figure concernant l'étoile 
Cep.
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Application de la définition de l'ouverture d'un télescope.
Par définition, la focale 
d'un télescope muni d'un miroir primaire de diamètre 
ouvert à 
vaut :
et donc 
Faire un schéma de l'image au foyer d'un faisceau incliné d'un angle 
.
Un pixel voit un champ 
vérifiant :
L'application numérique donne :
Le champ total, 2000 px, couvre une largeur de 120", soit 2'.
pages_optiquegeo/champ-ouverture-sexercer.html
Application directe de la définition de l'ouverture.
L'ouverture est f/15, car 
.
Si l'on parle d'oculaire, c'est pour observer à l'oeil, ceci conditionne le montage optique.
Le montage doit être afocal.
Le montage étant afocal, le grossissement est simplement :
avec 
le focale de l'oculaire.
L'application numérique donne 200 et 300 respectivement, pour les oculaires de focale 45 et 30 mm.
Revoir l'expression du grossissement.
Dans le montage afocal, avec un angle du champ image 
, l'angle du champ objet vérifie :
Les applications numériques donnent :
et
Ceci représente respectivement un peu plus ou un peu moins de la moitié du diamètre lunaire.
pages_diffraction/diffraction-image-sexercer.html
Établir l'échelle en se repérant par rapport au système double.
Le seul repère donné est la séparation des 2 composantes. Une mesure seule est entachée d'erreur. Plusieurs mesures, avec l'outil ligne donnent en pixels : 60.4 ; 59.5 ; 59.8 ; 58.2 ; 59.5 ... soit de l'ordre de 
.
On en déduit l'échelle 0.24"/pix, ou 4.13 pix/".
Travailler avec l'outil cercle
Les mesures, avec l'outil cercle, donnent en pixels, pour l'anneau entourant la composante faible 
pour les anneaux entourant la composante brillante 
, soit respectivement 2.6, 4.1 et 7.3".
Calculer la tache de diffraction.
La tache de diffraction vaut 
.
Elle est bien inférieure aux anneaux mesurés. Ils ne peuvent pas être dus à la diffraction par le miroir primaire. Ils ne semblent pas être liés à la diffraction par le miroir secondaire (de diamètre caractéristique 10 cm dans ce cas, pour coïncider au premier anneau), car leurs rayons ne progressent pas de la bonne manière. De toutes façons, la diffraction ne peut pas expliquer le fort contraste du grand anneau entourant la composante brillante ; par conséquent, des réflexions parasites sont suspectées.
pages_diffraction/diffraction-resolution-sexercer.html
Estimer la taille angulaire du cratère, et la comparer à la résolution limitée par la seule diffraction : 
La taille angulaire du cratère représente 20/380 000 rad, soit 
, soit environ 11".
Cette valeur est à comparer à 
; soit le diamètre :
Le cheminement pour arriver au résultat est analogue à la question précédente. Il faut un collecteur de diamètre 60 cm.
pages_diffraction/resolution-spatiale-sexercer.html
Revoir la relation entre ouverture, focale et diamètre.
Si 
est la focale, alors 
Une ouverture de 
pour un collecteur de 3.6 m représente une focale de
.
Déterminer la taille angulaire d'un pixel.
Bien échantillonner la résolution nécessite un pixel couvrant 0.3" (la moitié de la résolution de 0.6").
Le champ de 
, ou 
, devient, traduit en pixel,
.
Avec la focale résultante 
, la résolution de 0.3", cad 
, correspond à une dimension physique de 
.
D'où la caméra choisie : 1k 
2k, avec des pixels de 
.
pages_interference/resolution-spectrale-sexercer.html
Appliquer la définition.
L'application numérique donne :
soit 0.02 nm.
Pour calculer 
, c'est simple. Pour 
, il faut revenir à la définition.
Avec 
, calculer la différentielle 
.
La définition de 
donne :
Mais écrire
est faux (faire l'application numérique pour s'en convaincre !). En revanche, la différentiation logarithmique s'écrit :
Et alors l'application de la définition donne :
On en déduit :
pages_interference/resolution-spectrale-sexercer.html
Réfléchir aux causes d'élargissement de la raie.
La raie large est élargie par d'autres phénomènes que la résolution spectrale de l'instrument. La résolution instrumentale doit être mesurée sur une raie fine.
Estimer la largeur d'une raie à mi-hauteur
La solution est graphique.
La largeur à mi-hauteur est de l'ordre de 0.020 nm, la résolution est donc de l'ordre de :
pages_rayon/etendue-faisceau-sexercer.html
Se servir la conservation de l'étendue de faisceau
Si l'optique est bien conçue (sans diaphragme gênant), l'étendue
de faisceau se conserve. La traduction de 
donne un angle solide objet
. Plus la surface du collecteur est grande, plus le champ objet est réduit.
Comment varie le nombre de photons collectés avec la surface collectrice ?
Le nombre de photons collectés varie linéairement avec la surface collectrice. Le temps de pose varie donc en raison inverse :
. Plus la surface du collecteur est grande, plus le temps de pose est réduit.
Se servir des 2 questions précédentes.
Comparer la dépendance vis à vis de la surface collectrice 
de la taille du champ élémentaire et du temps de pose élémentaire.
La taille angulaire du champ élémentaire accessible varie comme 
, la surface collectrice. Le temps de pose élémentaire varie comme 
. Pour couvrir un champ donné, la durée totale ne dépend donc pas de la taille du télescope : le champ couvert en 1 pose de durée 
avec un petit collecteur sera observée par 
poses de durées 
avec un grand.
Notons que le télescope CFH, ouvert en 1980 avec un diamètre du collecteur de 3.6 m, s'est converti à partir des années 2000 vers l'imagerie grand champ.
pages_rayon/etendue-faisceau-sexercer.html
Revoir la page sur le montage afocal.
Le schéma équivalent correspond à un montage afocal suivi de l'optique de chambre
Remarque : pourquoi l'emploi des deux adjectifs, afocal et confocal, pour un même concept ? En fait, tout dépend du point de vue : si l'on s'intéresse aux dioptres, ils partagent un même foyer, d'où la dénomination confocale. Mais si l'on s'intéresse au faisceau, il passe de l'infini à l'infini, d'où la dénomination afocale.
Revoir (encore !) la page sur le montage afocal.
Par application directe des propriétés du montage afocal, le diamètre de la 2ème parabole comme celui des lentilles vaut le tiers de celui du primaire, soit 10 cm. Ce montage permet de réduire la taille des 6 lentilles de l'optique de chambre (intéressant en terme de poids et de coût). Mais, par conservation de l'étendue de faisceau, ces optiques travaillent sur des rayons d'inclinaison triplée.
Le schéma équivalent demande 
. L'étendue du faisceau s'écrit dont de 2 façons différentes, selon que l'on considère le montage réel ou le montage équivalent :
L'application numérique donne : 
.
Simple application de la conservation de l'étendue de faisceau.
Par conservation de l'étendue de faisceau, la diminution du diamètre du faisceau par un facteur 3 s'accompagne par un accroissement dans un même facteur de l'ouverture.
Ainsi, le gain en taille doit être compensée par une meilleure qualité optique de ces lentilles travaillant avec rayons plus inclinés sur l'axe optique.
pages_rayon/etendue-faisceau-sexercer.html
Pourquoi le premier anneau de la tache de diffraction est-il noir? Que cela signifie-t-il ?
Le premier anneau sombre de diffraction est dû à une anticoïncidence de l'information collectée. Le faisceau est donc juste cohérent sur le pic central de diffraction.
Revenir à la définition : exprimer 
et 
.
La tache de diffraction, de taille angulaire 
, couvre un angle solide de l'ordre de :
(dans l'approximation, éminemment valide, des petits angles). Elle résulte de la collecte via un collecteur de surface :
L'étendue de faisceau s'écrit alors :
Ce qui est bien du même ordre de grandeur que 
.
pages_rayon/diaphragmes-sexercer.html
Faire un schéma.
Revoir la notion de nombre d'ouverture.
En confondant un angle et sa tangente, la lentille L1 est vue sous un nombre d'ouverture 
, la lentille L2 sous 
.
La question précédente suffit pour apporter la réponse.
La lentille L2 est vue sous un angle plus fermé. C'est elle qui limite l'ouverture du faisceau.
pages_rayon/diaphragmes-sevaluer.html
Examiner le tracé de rayons.
Identitifier la nature des rayons incidents, émergents. Que se passe-t-il entre les miroirs M1 et M2?
Le diaphragme 
est un diaphragme d'ouverture.
Se rappeler la définition de la pupille d'entrée, et le lien avec le diaphragme 
.
Quel lien encore entre diaphragme d'ouverture et diaphragme de champ ?
pages_rayon/coherence-interferometrie-sexercer.html
Rechercher le premier minimum de la fonction de visibilité.
Les diamètres stellaires sont respectivement :
Phe : 1/147 = 6.8 mas
Boo : 1/61 = 16.4 mas
Quelle hypothèse sous-tend le résultat ?
Un profil de type d'Airy suppose que le disque stellaire présente une brillance uniforme. Ici, ce n'est visiblement pas le cas.
donne directement la distance en parsec si la parallaxe 
est mesurée en seconde d'arc.
Les distances de ces étoiles, sont alors, en parsec puis en unité métrique :
Phe : 99 pc, 
.
Boo : 11 pc, 3.5 ...
Her : 118 pc, 36 ...
On en déduit ensuite les diamètres, en unité 
, puis en diamètre solaire et unité astronomique :
Phe : 10.4, soit 74 fois le diamètre solaire, ou 0.70 UA.
Boo : 2.9, ... 20.5 ... 0.19
Her : 42, ... 300 ... 2.8
Il s'agit là d'étoiles géantes ou supergéantes, et non de naines.
Est-ce normal d'avoir 2 courbes de visibilité différentes à 2 longueurs d'onde différentes ?
Que signifie la détermination de 2 diamètres stellaires différents pour 2 longueurs d'onde différentes ?
La visibilité dépend a priori de la longueur d'onde d'observation. Mais, dans la cas représenté, l'abscisse du graphe étant la fréquence spatiale, plus aucun paramètre ne dépend de la longueur d'onde. On en déduit que le diamètre stellaire sondé varie avec la longueur d'onde.
Pour cette étoile, la photosphère, de diamètre de l'ordre de 14 mas, est entourée d'une couche de diamètre 18.6 mas transparente à 
mais opaque à 
.
.
La justification est donnée en