Outils

Auteur: B. Mosser

Introduction

Le chapitre Outils reprend quelques grandes lignes de l'optique géométrique et de l'optique physique, dans une approche clairement astrophysique (les objets sont p.ex. vraiment à l'infini !), nécessaires à la compréhension de la formation des images en astrophysique.

champvlt.png
Aperçu du ciel au travers de la trappe d'un télescope.
Crédit : ESO

Un peu d'optique géométrique

Auteur: B. Mosser

Introduction

Quelques notions d'optique de base sont rappelées, afin de comprendre dans les grandes lignes les principes instrumentaux les plus couramment mis en oeuvre pour acquérir une image en astronomie.

telescopeherschel.jpg
Télescope de Herschel, de diamètre 40 pouces (1798).
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Foyer primaire


Observer

Observation grand champ
ngc2099.jpg
Image du programme de cartographie des amas ouverts du télescope CFH. Un tel programme nécessite l'observation d'un champ de grande taille. Amas NGC2099
Crédit : CFHT
Foyer primaire
foyerprimaire.jpg
La caméra MEGACAM au foyer primaire du télescope CFH.
Crédit : CFHT

Imagerie grand champ

Les images de grands champs stellaires sont typiquement obtenues par observation au foyer primaire d'un télescope, càd au foyer du miroir primaire collecteur de photons.

Pour en savoir plus : projet MEGACAM du télescope CFH


Apprendre

prerequisPrérequis

Optique géométrique : vocabulaire de l'optique géométrique, image d'un objet à l'infini.

objectifsObjectifs

Formation d'image au foyer primaire d'un télescope.

primimage.png
Observation au foyer primaire d'un télescope.
Crédit : ASM

Collecteur de photons

Le collecteur de photons le plus couramment utilisé est le miroir parabolique, qui convertit après réflection une onde plane en une onde sphérique convergente. Un miroir parabolique conjugue ainsi les sources de lumière situées à l'infini au foyer de la parabole. Un tel collecteur est équivalent à une lentille de diamètre et focale identique. Une lentille fonctionne en transmission et non en réflexion comme un miroir, mais le principe de fonctionnement est le même. Une lentille transforme une onde plane en onde sphérique, et concentre ainsi la lumière provenant d'une étoile lointaine située sur son axe optique en son foyer.

lentillequivalente1.pnglentillequivalente2.png
Analogie optique entre un télescope (avec miroir parabolique) et une lunette (lentille). La lentille équivalente est placée au centre du miroir parabolique.
Crédit : ASM

Taille de l'image

Un objet à l'infini, s'il est résolu, se caractérise par une taille angulaire \alpha. Au foyer du miroir primaire du télescope, cet objet donne une image de taille linéaire d telle que d \ = \ f \ \tan \alpha, avec f la focale du collecteur. L'angle \alpha est le plus souvent très petit, et donc confondu avec sa tangente. On garde, avec \alpha compté en radian :

d \ = \ f \ \alpha

L'analogie avec une lentille est directe.

Lentille équivalente

Tous les systèmes optiques donnant une image réelle d'un objet réel peuvent se résumer en un système comprenant une seule lentille, équivalant au système entier. Dans le cas de l'observation astronomique où, mis à part l'observation in situ apportée par les atterrisseurs des sondes planétaires, l'objet est à l'infini, l'observation a donc lieu au foyer image de cette lentille équivalente.


Simuler

application.png

Quelques éléments d'une monture

Localisation du foyer primaire, et donnée de quelques éléments d'un télescope en monture équatoriale.

Convergence au foyer primaire

La parabole a pour propriété de ramener l'ensemble des rayons lumineux en provenance d'une source située à l'infini sur son axe optique (l'onde incidente est alors plane) en un même point : son foyer. On parle alors de conjugaison optique entre le foyer de la parabole et l'infini.

Ceci n'est en fait rigoureusement vrai que pour un rayon incident parallèle à l'axe de la parabole. Un faisceau de rayons parallèles inclinés sur l'axe optique ne va pas converger en un foyer unique, ce qui conduit à l'aberration de sphéricité : le plan focal est en fait incurvé.

primaire.gif
Convergence au foyer primaire : l'onde plane est transformée en onde sphérique.
Crédit : ASM

application.png

Lentille équivalente

L'appliquette ci-jointe montre comment déterminer la lentille simple équivalente à un montage optique recueillant un faisceau provenant de l'infini. Elle se situe à l'intersection des rayons incidents d'une part, et convergeant vers le détecteur d'autre part.

application.png

Si besoin est...

L'appliquette ci-jointe rappelle, si besoin est, les règles pour localiser l'image par une lentille d'un objet à distance finie.


S'exercer

qcmQCM

1)  Quel champ couvre un CCD carré de côté 2048 pixels, avec des pixels de 15 \mu\mathrm{m}, au foyer d'un télescope de 12 m de focale ?



2)  Traduire la bonne réponse précédente en minute ou seconde d'angle



3)  Un pixel de 15 \mu\mathrm{m} couvre sur le ciel un champ de 0.1". En déduire la focale du collecteur




Système afocal


Apprendre

prerequisPrérequis

Image d'un objet à l'infini, image d'un objet au foyer.

objectifsObjectifs

L'étude d'un montage optique particulièrement utile en astronomie, le montage afocal, montre que la taille angulaire du champ sur le ciel (champ objet) et le diamètre du faisceau lumineux en sortie de l'instrument sont liés de façon simple au grossissement du système.

Intérêt

Que ce soit pour observer à l'oeil nu, ou pour alimenter un spectromètre, le collecteur a pour fonction de transformer un faisceau à l'infini en un autre faisceau à l'infini.

L'objectif (la lentille ou le miroir côté objet) forme de l'objet à l'infini une image au foyer. L'oculaire (si le détecteur est l'oeil) ou l'optique de chambre permet de regarder cet objet à l'infini.

Montage afocal
afocal.png
Le montage afocal réunit 2 lentilles (ou équivalents) partageant un foyer : le foyer image de l'une est foyer objet de l'autre.
Crédit : ASM

Montage afocal

L'association de 2 optiques, l'objectif (côté objet) et l'oculaire (côté oeil) de foyer commun, transforme un faisceau parallèle en un autre faisceau parallèle.

Grossissement du montage afocal
afocal2.png
Le grossissement du montage afocal dépend du rapport des focales.
Crédit : ASM

Grossissement

definitionDéfinition

Les focales équivalentes de l'objectif et de l'oculaire étant respectivement F et f, le grossissement du faisceau, égal au rapport des tailles angulaires des image et objet (G = \beta / \alpha), vaut en valeur absolue :

G\ = \ {F\over f}

En effet, l'image intermédiaire au foyer commun a pour taille linéaire d = F \alpha = f \beta.

Faisceau de sortie du montage afocal
afocal1.png
Le rapport des diamètres des faisceaux dépend du rapport des focales du montage afocal.
Crédit : ASM

Taille du faisceau

definitionDéfinition

Les focales équivalentes de l'objectif et de l'oculaire étant respectivement F et f, le rapport des tailles du faisceau en entrée et en sortie vaut, en valeur absolue :

{b\over a} = {f\over F}\ = \ {1\over G}

En effet, l'inclinaison du faisceau entre les foyers s'écrit, dans l'hypothèse des petits angles (pour laquelle \tan\theta \simeq \theta) : \theta = a /F = b/f.

Champ et dimension

Le diamètre du faisceau en sortie est d'autant plus important que le champ objet est grand.

De ce qui précède, on déduit qu'en sortie d'un montage afocal, une instrumentation de taille réduite (dimensionnée par b) va nécessiter un grossissement élevé, et donc ne pourra porter que sur un champ objet de taille restreinte.

La notion d'étendue de faisceau généralise cette idée.


S'exercer

qcmQCM

1)  Lequel des systèmes suivants correspond à un montage afocal ?



2)  Plus la longueur focale f du secondaire est courte, plus le grossissement est :



3)  Le réseau du spectromètre HARPS, alimenté en lumière parallèle, a une hauteur de 20 cm ; le collecteur a un diamètre de 3.6 m, En déduire le grossissement pour une bonne illumination du réseau.




Champ et ouverture


Observer

Champ d'étoiles
champvlt.png
Aperçu d'une portion du ciel austral au travers de la trappe d'ouverture d'un télescope. On distingue le miroir secondaire et son support.
Crédit : ASM
La galaxie M31 dans la constellation d'Andromède
cieletm31.jpg
Grand champ autour de la galaxie M31. M31, galaxie jumelle de la Voie Lactée, est l'un des rares objets extragalactiques visibles à l'oeil nu).
Crédit : ASM
La galaxie M31
m31.jpg
Petit champ autour de M31, obtenu avec un fort grossissement.
Crédit : ASM

Viser !

Viser un objet, c'est arriver à positionner précisément un collecteur et son instrument d'analyse. Ensuite, selon les objectifs scientifiques, on s'intéresse à un champ plus ou moins grand. La taille du champ est reliée aux propriétés du collecteur et de l'instrumentation.

lunette.jpg
Lunette ancienne. Le tube focal est très long par rapport au diamètre de la lentille primaire.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
vista_tel.jpg
Télescope infrarouge VISTA de l'ESO, très ouvert d'après son aspect très ramassé.
Crédit : ESO
iram.jpg
Antenne de 30-m de l'IRAM.
Crédit : IRAM

Angle d'ouverture

L'angle d'ouverture d'un collecteur de lumière mesure le rapport entre le diamètre du collecteur et la focale résultante. Les instruments anciens et les lunettes présentent des angles d'ouverture fermés : le tube focal, de longueur très voisine de la focale résultante, est long et grand devant le diamètre collecteur. Les collecteurs récents et/ou de grand diamètre présentent de grands angles d'ouverture, pour limiter leur longueur. Il en est de même des antennes submillimétriques.

planfocal_kepler.jpg
Plan focal du satellite Kepler, pour la recherche d'exoplanètes sur un grand champ d'observation (de l'ordre de 10 deg de côté).
Crédit : NASA

Plan focal

L'observation sur un grand champ nécessite un grand détecteur. Ceci est aujourd'hui réalisé par la juxtaposition de plusieurs détecteurs bidimensionnels de lumière comme les CCD ou les CMOS.


Apprendre

prerequisPrérequis

Optique géométrique

objectifsObjectifs

Former une image dans de 'bonnes' conditions nécessite de bien dimensionner une optique ; le champ est l'une des grandeurs importantes à considérer. Il dépend des propriétés d'ouverture du collecteur.

Ouverture d'un télescope

Un télescope se caractérise par sa focale résultante f et par le diamètre a du collecteur.

definitionDéfinition

L'angle d'ouverture d'un instrument est le rapport entre le diamètre et la focale résultante, soit, avec les notations proposées, A = a/f.

Le nombre d'ouverture d'un télescope est le rapport inverse.

Comme en photographie, on parle d'un instrument ouvert à f/2.5,\ f/8... \ f/n avec respectivement les nombres d'ouverture f/a =2.5, \ 8, ... ,\ n.

Exemples typiques d'ouverture : de f/50 à f/1.

Plus le nombre d'ouverture est petit, plus le télescope est ouvert (grand angle d'ouverture) et admet des rayons de grande inclinaison. Un petit nombre d'ouverture correspond à une courte focale, ou à un grand diamètre.

Les télescopes les plus récents (télescopes optiques, radiotélescopes), de par leur grand diamètre collecteur, sont en général très ouverts, afin de limiter la longueur de leur focale, et donc leur encombrement.

Champ objet

Le champ objet est la région du ciel effectivement observée dans de bonnes conditions (stigmatisme suffisant pour la qualité d'image requise ; éclairement du champ uniforme, sans vignetage). Son extension dépend du collecteur, et de l'instrumentation et de son grossissement.

Avec f la focale résultante d'un collecteur et d la taille du détecteur effectivement éclairée, le champ objet \alpha s'écrit simplement (dans l'approximation des petits angles) :

\alpha \ = \ {d\over f}

Comme l'angle d'ouverture, le champ objet décroît si la focale f du télescope augmente.


Simuler

Ouverture d'un faisceau
geom.gif
A diamètre collecteur fixé, plus la focale est courte, plus l'ouverture géométrique du télescope est importante (et corrélativement le nombre d'ouverture petit).
Crédit : ASM

Ouverture du faisceau

L'animation illustre comment l'ouverture géométrique d'un télescope varie avec la focale d'un collecteur. Plus le télescope est ouvert, plus l'inclinaison des rayons dans le télescope est importante.

Champ objet
champobjet.gif
La taille linéaire de l'image dans le plan focal étant fixée (ici par un détecteur au foyer), plus la focale est courte, plus le champ de vue est important.
Crédit : ASM

Champ objet

L'animation illustre comment la taille du champ objet varie avec la focale du collecteur.

Mesure du champ

Les données de l'appliquette ci-jointe reportent les mesures effectuées par un groupe d'étudiants observant au télescope de 60 cm du campus de Meudon de l'Observatoire de Paris. Le but de l'observation, premier contact avec le télescope, consiste à prendre conscience que le champ accessible au pointage est restreint, et qu'il est nécessaire pour pouvoir pointer un objet de garantir une précision angulaire, exprimée en seconde de temps et non d'angle, meilleure que 30 s.

Traversée du champ application.png

L'entraînement du télescope étant arrêté, les étoiles défilent dans le champ : les durées T1 et T2 mesurent la traversée du diamètre du champ par des étoiles brillantes, pour deux grossissements différents.


S'exercer

qcmQCM

1)  A diamètre de collecteur donné, plus un télescope est ouvert, plus son champ est



2)  Il est aisé d'avoir simultanément un grand champ et un grand grossissement


exerciceChamp objet

Difficulté :    Temps : 10 min

Question 1)

Déterminer la focale équivalente d'un télescope de diamètre a=8\,\mathrm{m} ouvert à f/3.75.

Question 2)

L'image est formée sur une matrice CCD de 2000\times 2000 pixels, avec des pixels carrés de côté p = 9\,\mu\mathrm{m}. Quel champ voit un pixel ? Déterminer le champ de vue total dans le ciel.

exerciceObservation à la table équatoriale de Meudon

Difficulté :    Temps : 20 min

Le télescope T60, installé sur la table équatoriale du campus de Meudon de l'Observatoire de Paris, présente un miroir primaire de diamètre a=60 cm.

Question 1)

Déterminer son nombre d'ouverture, sachant que sa focale résultante vaut F = 9 m.

Question 2)

Quel grossissement est obtenu avec des oculaires de distance focale 45 ou 30 mm ?

Question 3)

L'ouverture du faisceau image étant de toutes façons inférieure au champ de vision de l'oeil (environ 60 degrés), déterminer le diamètre maximal du champ objet pour un oculaire de focale 45 ou 30 mm.


S'évaluer

exerciceMesure du champ

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Cet exercice s'appuie sur les données de l'appliquette "mesure du champ". Il est préférable d'avoir auparavant traité la section Systèmes de coordonnées .

Question 1)

Montrer par un schéma qu'une étoile de déclinaison \delta possède, du fait de la rotation diurne, une vitesse angulaire proportionnelle à \cos\delta.

[2 points]

Question 2)

L'étoile traverse le champ de l'instrument, de diamètre angulaire \Delta\theta en une durée \Delta T. Montrer que l'on a :

\Delta\theta\ =\ 15\ \cos\delta\ \Delta T

si le champ est mesuré en seconde d'arc et la durée en seconde de temps.

[2 points]

Question 3)

Vérifier la relation précédente avec les données de l'appliquette (pour tracer la fonction 1/\cos\delta : sélectionner la 1ère ligne de la 3ème colonne (C1), et demander le calcul : = 1./15./cos(pi * B1 / 180.))

[1 points]

Question 4)

Avec les données de l'appliquette, déterminer dans les 2 cas (avec des grossissements différents) le diamètre angulaire du champ objet.

[1 points]

Question 5)

Les grossissements, dépendants de l'oculaire utilisé, valent respectivement 140 et 300. Montrer que les champs images ont une taille analogue au champ de vue de l'oeil humain, de l'ordre de 60 degrés.

[1 points]


Diffraction et formation d'image

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

Que l'observation astrophysique serait facile si l'image d'un point était un point ! Dans le meilleur des cas, l'image d'une étoile est une tache de diffraction, mais le plus souvent, c'est une structure spatialement et temporellement bien plus complexe.

Le but de cette section est de comprendre et d'interpréter la structure spatiale d'une image simple.

pleiadesbab.jpg
Représentation des Pléiades, à l'époque néo-babylonienne, en 200 avant JC. Les étoiles ont une forme... d'étoile (\star ) !
Crédit : ASM

Fonction de transfert


Observer

formetoile.png
Saturne, et ses satellites, observés par J.D. Cassini en 1673, confondus avec des étoiles.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
etoilecuneiforme.png
Le mot étoile codé en écriture cunéiforme.
Crédit : ASM
mizar.jpg
Mizar, dans la Grande Ourse : diffraction, turbulence, surexposition, réflexions parasites s'ajoutent et s'emmêlent.
Crédit : CDS
coma.jpg
Le défaut de coma apparaît en tout point éloigné du centre optique. L'image d'un tel point s'allonge ; elle apparaît telle une petite comète, d'où le nom de cette aberration optique.
Crédit : D. Césari

L'image d'un point

L'astrophysique nous apprend que les étoiles sont des sphères gazeuses, tellement lointaines qu'il est impossible dans la plupart des cas de les résoudre spatialement. Pourquoi alors les représente-t-on et les voit-on avec diverses formes tellement différentes d'un point ou d'un cercle, mais le plus souvent proches du symbole \star ?

En fait, plusieurs phénomènes se conjuguent pour aboutir à ces formes et les expliquer :

psfnaos.png
Exemple de fonction d'étalement du point de l'instrument NAOS. Avec correction d'optique adaptative, la FEP se rapproche d'une figure d'Airy.
Crédit : LESIA
psfcorot.png
Fonction d'étalement du point de la voie exoplanète du satellite CoRoT.
Crédit : CNES

Fonction d'étalement du point

L'image d'un objet ponctuel, non ponctuelle, est donnée par la fonction de transfert de la chaîne de détection. Cette fonction de transfert, dans ce cas précis, s'appelle fonction d'étalement du point, soit FEP en français ou PSF en anglais (point spread function).

Connaître ou estimer la fonction d'étalement du point est une étape indispensable pour le traitement d'image. Autre exemple : la FEP d'une image obtenue par le satellite CoRoT.

mihauteur.png
Définition de la largeur à mi-hauteur.
Crédit : ASM
ggtauri13co.png
La tache image est explicitement indiquée sur l'image de la source GG Tauri enregistrée dans la raie de {}^{13}\mathrm{CO}\ (2-1). Cette source correspond à un système stellaire binaire en formation. Le flux millimétrique à 1.3 mm codé en fausse couleur montre une structure en anneau.
Crédit : IRAM

Largeur à mi-hauteur

On rend compte d'une fonction d'étalement du point simple par sa largeur à mi-hauteur. Souvent, les images obtenues dans les longueurs d'onde millimétriques ou radio mentionnent explicitement l'extension à mi-hauteur de la tache image élémentaire.

champconv1.pngchampconv2.pngchampconv3.png
Simulation de champs stellaires. L'étalement de l'image de plusieurs sources ponctuelles bien distinctes peut conduire à l'apparence d'une source étendue.
Crédit : ASM

FEP et résolution spatiale

La résolution spatiale dépend intimement de la FEP : distinguer les détails d'un champ s'avère impossible aux échelles plus petites que la largeur à mi-hauteur de la FEP.


Apprendre

objectifsObjectifs

La fonction de transfert, l'image d'un objet ponctuel, transcrit la qualité de la formation d'image.

psf.png
Fragment d'image, et estimation de sa fonction d'étalement du point. Les différentes images des sources stellaires correspondent à la convolution de l'image idéale stellaire par la FEP.
Crédit : ASM

Fonction de transfert/fonction d'étalement du point

La fonction de transfert de la chaîne de collecte du signal, ou fonction d'étalement du point, rend compte de l'image non ponctuelle d'un objet ponctuel. Cette fonction de transfert relate toutes les modifications apportées à l'image idéale.

Par définition, l'image d'une source ponctuelle est la fonction de transfert, au bruit près.

L'image d'une source non ponctuelle est son image géométrique idéale convoluée par la fonction de transfert. Au mieux, la fonction de transfert rend compte de la diffraction. Mais elle inclut aussi tous les autres défauts de la chaîne de détection.

Résolution, et largeur à mi-hauteur

Le lien entre la fonction de transfert et la résolution est immédiat : il n'est pas possible d'obtenir de détails plus fins que la fonction de transfert.

Il est souvent suffisant de rendre compte de la fonction de transfert, si elle présente la symétrie circulaire, par sa largeur à mi-hauteur.

Contributions à la fonction d'étalement du point

Les pages suivantes décrivent la contribution de la diffraction à la fonction de transfert. Les aberrations optiques ne sont pas abordées. Le rôle de la turbulence atmosphérique est traité dans une section à part.


Simuler

psfdidac.gif
FPE, objets et images.
Crédit : ASM

La fonction d'étalement du point à l'oeuvre

L'animation ci-dessous décompose, dans un cas unidimensionnel, la transformation d'un objet en son image via la FPE.


Diffraction et tache image


Observer

diffracHSTNGC188.jpg
Image d'une étoile de l'amas ouvert NGC 188. Cet amas d'étoiles a servi pour l'étalonnage de la fonction d'étalement du point du télescope spatial Hubble. La tache image rend essentiellement compte de la figure de diffraction d'une source ponctuelle.
Crédit : HST
ouv1.pngouv2.pngouv3.png
Différentes tailles de collecteur, et taches de diffraction associées : l'extension de la tache de diffraction est inversement proportionnelle au diamètre du collecteur.
Crédit : ASM

Diffraction

L'image d'un point n'est pas un point, mais une tache. Au mieux, la tache de diffraction, ou alors une tache élargie par la turbulence.

Influence du secondaire
ouvs.png
Le front d'onde incident, avec l'occultation par le miroir secondaire, et la figure de diffraction associée. A la figure de diffraction du miroir primaire se superpose celle de l'occultation secondaire.
Crédit : ASM

Influence du miroir secondaire

Le plus souvent, le miroir secondaire occulte le faisceau incident. Le front d'onde initial n'est pas seulement découpé par le miroir primaire, il est aussi amputé de sa partie centrale. La tache de diffraction d'un télescope possédant un miroir secondaire sur son axe optique est moins lumineuse mais plus étendue que celle du miroir primaire considéré seul. La perte de flux lumineux est due à l'occultation par le miroir secondaire d'une partie du faisceau.

pupilletheoriquehst.jpgpupillereellehst.jpg
Pupille du télescope HST (théorique et observée), avec obstruction centrale du miroir secondaire, et support de celui-ci par une araignée à 4 branches.
Crédit : IRAM
Influence de l'araignée
ouva3.pngouva4.pngouva6.png
Le support du miroir secondaire, également appelé araignée, qui occulte le faisceau primaire, rajoute sa signature à la figure de diffraction.
Crédit : ASM

Influence du support du miroir secondaire

L'araignée, le support du miroir secondaire, occulte également la pupille. Sa signature apparaît clairement pour une source brillante.

Étoile ou galaxie ?
ponctuelounon.jpg
Champ galactique avec des étoiles au premier plan. Les objets étendus, dont celui dans le coin inférieur droit, ne semblent pas présenter d'aigrettes de diffraction, contrairement aux objets ponctuels.
Crédit : HST

Objet ponctuel ou non

Sur une image, certains objets semblent soumis à la diffraction, avec de belles aigrettes de diffraction, alors que d'autres non. Les premiers sont des objets non résolus (typiquement une étoile), alors que les seconds sont étendus (typiquement une galaxie). Les contributions des différents points sources d'un objet étendu, non superposées, sont diluées et ne se distinguent pas.


Apprendre

prerequisPrérequis

Diffraction de Fraunhofer. Diffraction par une fente rectiligne.

objectifsObjectifs

Déterminer et dimensionner le rôle de la diffraction dans la formation d'image.

Tache image pour un collecteur de section circulaire

definitionDéfinition

La demi-largeur angulaire de la tache centrale de diffraction obtenue à la longueur d'onde \lambda pour un collecteur de diamètre a vaut :

i _{\mathrm{diff}} \ = \ 1.22\ {\lambda \over a}

Le facteur 1.22 est d'origine géométrique (dans le cas d'une fente rectiligne de largeur a, le facteur est 1) ; c'est la première valeur qui annule la fonction de Bessel qui rend compte de la diffraction par une pupille circulaire.

Il est physiquement impossible de distinguer des détails plus petits que cette tache image : la diffraction fixe la résolution ultime d'un collecteur unique.

Pour comparer la tache de diffraction au diamètre angulaire des objets étudiés, il est utile de connaître l'ordre de grandeur :

1"\ = \ 4.85 \ 10^{-6}\ \mathrm{rad}\ \simeq\ 5\ 10^{-6}\ \mathrm{rad}

et aussi

1'\ = \ 2.91 \ 10^{-4}\ \mathrm{rad}\ \simeq\ 3\ 10^{-4}\ \mathrm{rad}

De l'intérêt d'un collecteur de grand diamètre

La relation entre la taille angulaire de la tache image et le diamètre du collecteur montre directement l'intérêt d'augmenter ce dernier : cela permet d'avoir des images angulairement mieux résolues.


Simuler

application.png

Diffraction d'une onde mécanique

L'appliquette ci-jointe montre la diffraction d'une vague de surface par une ouverture étroite.

application.png

Influence du support du miroir secondaire

Le support du miroir secondaire, appelé araignée, occulte le faisceau primaire, et rajoute sa signature à la figure de diffraction, surtout pour les objets brillants.

application.png

Taches images

L'appliquette ci-dessous calcule la tache image de divers collecteurs. Visualiser l'influence, avec un seul collecteur (avec circulaire comme choix de pupille) :

Visualiser l'influence, avec un collecteur et une occultation du secondaire (avec circ+ obst. second. comme choix de pupille) :

Visualiser l'influence, avec plusieurs collecteurs (avec 2 circulaires ou bien croix d'Angel):


S'exercer

Ciel profond
prof.jpg
Champ de galaxies.
Crédit : HST

qcmQCM

1)  Une résolution angulaire de 1" correspond à un cheveu (diamètre de 50 micromètres) vu à



2)  Pour résoudre un système double séparé par 1.2", dans le visible à 0.5\ \mu\mathrm{m}, il faut un collecteur de taille au-moins égale à




3)  Le champ de galaxies ci-joint présente en avant-plan un certain nombre d'étoiles. On en identifie clairement :




4)  Certains objets ne semblent pas présenter d'aigrettes de diffraction :



exerciceDiffraction or not diffraction ?

Difficulté :    Temps : 10 min

L'appliquette ci-jointe montre l'étoile double Mizar, dont les 2 composantes sont séparées de 14.4", observées dans le rouge à 800 nm, par un télescope de la classe 1-m.

application.png

Question 1)

Déterminer l'échelle de l'image, en "/pixel.

Question 2)

Déterminer le rayon des anneaux concentriques entourant chaque étoile.

Question 3)

Ces anneaux peuvent-ils être dus à la diffraction par le miroir primaire, secondaire (ces anneaux se situent à 1.63, \ 2.68, \ 3.70\ \lambda/a) ?


S'évaluer

exerciceDans quel sens ?

Difficulté :    Temps : 20 min

rtnancay2.jpg
Radiotélescope de Nançay : vue grand angle de l'ensemble. Le miroir plan orientable, à gauche, vise dans la direction méridienne ; le faisceau est renvoyé vers le miroir sphérique, à droite, qui le focalise au centre.
Crédit : Observatoire de Paris
grilleradio.jpg
Radiotélescope de Nançay : l'antenne sphérique
Crédit : Observatoire de Paris
rtfoyers.jpg
Radiotélescope de Nançay : les 3 cornets de l'ancien chariot focal (en service jusqu'en 2000).
Crédit : Observatoire de Paris

Les figures ci-jointes montrent le miroir primaire et l'ancien foyer (utilisé jusqu'en 2000) du grand radiotélescope de Nançay (Observatoire de Paris).

Question 1)

L'antenne principale a une taille de 300 \ \times\ 35 \mathrm{m}. Estimer le profil de la tache angulaire de diffraction, pour les trois longueurs d'onde de travail 9, 18 et 21 cm (raie de couplage spin-orbite de l'hydrogène atomique).

[2 points]

Question 2)

Pourquoi y'a-t-il 3 cornets de détection ?

[1 points]

Question 3)

Discuter de la forme et de l'orientation de ces cornets.

[1 points]


Diffraction et résolution


Observer

Intérêt d'un collecteur de grand diamètre

Deux motifs se conjuguent pour privilégier les collecteurs de grand diamètre : la taille de la tache de diffraction et le flux collecté. Comme le montre la table ci-joint, le flux reçu par unité d'élément d'image résolvant varie comme la puissance quatrième du diamètre collecteur, lorsque la taille de la tache image est limitée par la diffraction et que le détecteur échantillonne cette tache image. Le gain obtenu provient d'une part de l'accroissement de la surface collectrice, d'autre part d'une meilleure finesse de la tache de diffraction.

diamètre collecteurflux total surface tache imageflux/pixel
1 1 1 1
a a^2 a^{-2} a^4
tachecomp.png
Différentes tailles de collecteur, et taches de diffraction associées. Le flux reçu par unité d'élément d'image varie comme la puissance quatrième du diamètre collecteur.
Crédit : ASM
interetoa0.jpg
Image enregistrée sans ou avec optique adaptative.
Crédit : ESO

De l'intérêt d'arriver à la tache de diffraction

Il est utile de s'attacher à récupérer une forte densité de flux sur les pixels, comme le montre cet exemple de traitement par optique adaptative.

Critère de Rayleigh
rayleigh1.pngrayleigh3.png
Le critère de Rayleigh ; la résolution des 2 sources (images, et coupes de ces images) nécessite une séparation de l'ordre de 1.22\ \lambda / a. L'abscisse du profil en coupe est directement donnée en unité 1.22\ \lambda / a.
Crédit : ASM

Le critère de Rayleigh

Les schémas ci-joints illustrent le critère de Rayleigh, qui définit la condition pour distinguer 2 objets de magnitude identique angulairement voisins.


Apprendre

prerequisPrérequis

Diffraction de Fraunhofer.

objectifsObjectifs

Montrer le lien entre la diffraction et la résolution ultime d'un système optique.

Résolution limite

La résolution limite dépend de la taille de la pupille et de la longueur d'onde. L'amélioration de cette valeur limite motive la construction de collecteurs de diamètre le plus grand possible, surtout à grande longueur d'onde.

Le tableau ci-dessous présente diverses taches images, en les traduisant également en distance à laquelle une pomme (de diamètre de l'ordre de 10 cm) présente la taille angulaire correspondante.

Tache image
Instrumenta\lambda 1,22\ \lambda /apomme
" d'arc (distance en km)
oeil7mmvis.181.1
petit télescope12cmvis.120
ISO, spatial60cmIR82.6
VLT, Chili8mvis.0.0151400
VLT, Chili8m20 µμm0.633
antenne VLBI70m21 cm12'27 m
réseau VLBI10^4km21 cm0.0054000
Critère de Rayleigh
rayleigh2.png
Le critère de Rayleigh ; l'abscisse est ici directement en unité 1.22\ \lambda / a
Crédit : ASM

Critère de Rayleigh

Le critère de Rayleigh permet de préciser à quelle condition on peut distinguer 2 sources ponctuelles : il faut que le premier zéro de la figure de diffraction de l'une corresponde au maximum de l'autre.


S'exercer

exerciceBonnes résolutions

Difficulté :    Temps : 10 min

On cherche à résoudre différents objets, en lumière visible. Déterminer le diamètre minimal du collecteur nécessaire, la résolution angulaire étant limitée par la diffraction, dans les cas suivants.

Question 1)

Un cratère de 20 km sur la Lune (distante de 380 000 km).

Question 2)

Une étoile double, dont les composantes sont séparées de 0.2".


Résolution angulaire


Observer

Une histoire d'anneaux
saturne-hist.jpg
Diverses interprétations rendant compte des observations des anneaux de Saturne (compilation d'observations de Galilée, Hévélius, Gassendi) : 2 satellites, des protubérances, des anses...
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
Cratères lunaires
lunepq.jpglunecfh12k.png
La Lune observée avec une lunette de 70 mm, et avec la caméra grand champ du télescope CFH.
Crédit : CFHT

Résolution angulaire et qualité d'image

L'apparence d'un objet dépend intimement de la finesse des détails les plus fins. Ainsi, l'identité des anneaux de Saturne n'a été dévoilée que lorsque des observations de qualité suffisante ont permis de trancher parmi les multiples interprétations alors discutées.

Le gain en résolution angulaire permet une meilleure identification des images ; par exemple pour la Lune observée avec un petit collecteur, ou bien un grand collecteur corrigé des premiers ordres de la turbulence.

lobe10.pnglobe25.png
Lobes d'antenne, en diagramme polaire. L'amplitude du lobe est donnée en échelle logarithmique, mesurée en dB d'atténuation par rapport à la réponse dans l'axe.
Crédit : ASM

Résolution angulaire et longueur d'onde

A grande longueur d'onde, la diffraction empêche une vision spatialement bien résolue, sauf à avoir un collecteur de très grande taille. Pour une antenne radio unique, circulaire de diamètre correspondant à un nombre limité de longueurs d'onde, le lobe d'antenne apparaît très étendu.

ngc7782.png
L'objet NGC7782, vu par le spectroimageur UVES du VLT (couleur en vidéo inverse). La pixélisation apparaît clairement.
Crédit : ESO

Résolution angulaire et taille d'un élément d'image

Il est important, pour enregistrer une image en respectant sa résolution angulaire, d'avoir des éléments d'image ou pixels convenablement dimensionnés.


Apprendre

Vers la haute résolution angulaire

La quête de résolution angulaire de plus en plus fine nécessite des bases de collecte d'observation de plus en plus étendues. Comme la taille d'un élément collecteur est limitée (en 2018 : à 8 m en mono-pupille pour les télescopes du VLT, Gemini Nord et Sud, Subaru ; 10 m en pupille segmentée pour les 2 télescopes Keck; bientôt 39 mètres pour l'ELT européen de l'ESO), on se tourne vers l'interférométrie.

La pixélisation

La résolution angulaire ne dépend pas uniquement des conditions de collecte du signal, avec un collecteur de diamètre plus ou moins grand ; elle dépend aussi de la façon dont l'image est finalement enregistrée. L'enregistrement du signal, aujourd'hui quasi uniquement sous forme numérique, doit être adapté à la résolution.

Afin que la taille finie des pixels ne limite pas la résolution, le critère de Shannon énonce qu'il faut au moins 2 pixels par élément de résolution.

Par exemple, si la résolution visée est de 0.4", un pixel doit couvrir 0.2". S'il est plus gros, sa taille va limiter la résolution. S'il est plus petit, le signal sera suréchantillonné spatialement, sans gain d'information spatiale.

Pour en savoir plus

La résolution dépend de bien d'autres paramètres. On peut citer : la qualité de l'atmosphère, les aberrations géométriques...


Simuler

Résolution angulaire variable
m31a.gif
Animation montrant l'aspect de la galaxie M31 à diverses résolutions spatiales, balayant les différents aspects avec un appareil très peu résolvant, jusqu'à un bon télescope.
Crédit : ASM

Résolution angulaire

L'aspect de galaxie M31 (d'Andromède) dépend de la résolution angulaire instrumentale. Plus elle est élevée, plus les détails observables sont fins.

Taille du pixel variable
m31pix.gif
Animation montrant la galaxie M31, à divers niveaux de pixélisation. Plus la taille du pixel est petite, meilleure est la résolution angulaire, donc la résolution spatiale.
Crédit : ASM

Résolution angulaire et taille d'un élément d'image

La résolution est également limitée par la pixélisation, qui conditionne la FEP.


S'exercer

qcmQCM

1)  Pour une résolution angulaire de 1", le champ optimal vu par 1 pixel doit valoir



2)  En lumière jaune, avec un collecteur de 1 m de diamètre ouvert à f/10, une qualité d'image du ciel (seeing) de 1" et des pixels de 15 micromètres, la facteur limitant de la résolution est :



exerciceChoix d'une caméra

Difficulté :    Temps : 20 min

Dans le cadre du développement d'un instrument, on cherche à choisir la caméra optimale, càd celle qui réalisera les performances demandées, pour un coût minimal. Un constructeur propose des caméras de taille 1k\times1k (1000 px par 1000 px), 1k\times2k, 2k\times2k, et 2k\times4k, avec pixels carrés de 20, 15 ou 9 micromètres de côté.

Question 1)

Le collecteur présente un diamètre de 3.6 m, pour une ouverture f/3.3 En déduire la focale équivalente, puis le lien entre la taille physique p du pixel et le champ \alpha qu'il couvre.

Question 2)

Le champ doit couvrir 8'\times 4', avec une résolution de \alpha =0.6". En déduire la caméra appropriée.


S'évaluer

exerciceSaturne et ses anneaux

Difficulté : ☆☆   Temps : 15 min

saturne.png
Géométrie simplifiée.
Crédit : ASM

L'identification de la nature des anneaux de Saturne ne fut pas sans peine. Le but de l'exercice est de déterminer la résolution angulaire nécessaire permettant de le faire.

A l'opposition, Saturne s'approche à 8.5 UA de la Terre. Le rayon planétaire vaut 60 000 km, les rayons interne et externe des principaux anneaux respectivement 90 000 et 140 000 km. On suppose que les anneaux sont observés sous grand incidence (l'incidence maximale est de l'ordre de 26 deg), pour être dans un cas favorable (lorsque la Terre passe dans le plan des anneaux... on ne les voit simplement pas). Néanmoins, pour simplifier les calculs, on s'intéresse au seul problème 1-D portant sur la seule variable radiale, selon la géométrie de la figure jointe.

Question 1)

Refaire à l'échelle schéma de Saturne et de ses anneaux. Déterminer le plus petit élément bien contrasté à observer pour pouvoir identifier les anneaux.

[1 points]

Question 2)

La résolution devant être au-moins d'un facteur 2 plus précis que la taille du plus petit élément à identifier, déterminer la résolution nécessaire.

[2 points]


Interférences et spectrométrie

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

Analyser spectralement la lumière est à la base de l'astrophysique. Cette section a pour but de rappeler quelques principes de physique permettant une analyse spectrale efficace. L'instrumentation nécessaire s'appuie sur le réseau de diffraction, bien plus efficace pour disperser la lumière qu'un prisme. Mais la mise en oeuvre du réseau nécessite un environnement précis.

solarspectrum.jpg
Le spectre solaire à haute résolution spectrale, obtenu avec un spectromètre échelle. Les couleurs comme l'aspect du spectre résultent d'un traitement d'image complexe.
Crédit : NOAO

Résolution spectrale


Observer

spectro1.png
Spectre stellaire visible théorique à diverses résolutions spectrales ( {\cal R} = 100,\ 500,\ 2500). La luminosité par intervalle spectral (unité arbitraire) est inversement proportionnelle à la résolution.
Crédit : ASM
resol1.png
Échantillon d'un spectre stellaire observé à diverses résolutions spectrales ( {\cal R} = 3000,\ 10000,\ 30000,\ 100000,\ 300000), avec renormalisation du flux.
Crédit : ASM

Résolution spectrale

Plus la résolution d'un spectre stellaire théorique est élevée :


Apprendre

objectifsObjectifs

Définir les notions de résolution spectrale : élément de résolution ; pouvoir de résolution ; intervalle spectral élémentaire.

Le pouvoir de résolution

Le pouvoir de résolution spectrale mesure la capacité à distinguer deux longueurs d'onde différentes \lambda et \lambda+\delta \lambda. Il est mesuré par la quantité :

{\cal R} \ = \ {\lambda\over \delta\lambda}

Le pouvoir de résolution est d'autant plus élevé que l'élément de résolution \delta\lambda (également appelé résolution spectrale élémentaire ou élément spectral) est petit.

Conversions

Le pouvoir de résolution peut être exprimé avec les diverses grandeurs spectrales (longueur d'onde \lambda, fréquence \nu) :

{1\over {\cal R}} \ = \ {\delta\lambda\over \lambda} \ = \ {\delta\nu\over \nu}

Il peut également être traduit en une vitesse, via l'équivalent Doppler:

{1\over {\cal R}} \ = \ {\delta\lambda\over \lambda} \ = \ {v\over c}

raievitesse.png
Raie stellaire représentée en fonction de la longueur d'onde ou de la vitesse repérée par rapport au centre de la raie.
Crédit : ASM
Diverses résolutions
InstrumentPouvoir de résolution typique\delta\lambda @ 500 nm (nm) vitesse (km/s)
Prisme500 1 600
Réseau5000 0.1 60
Réseau blazé500000.016

demonstrationDémonstration

La justification de ce qui précède procède en 2 étapes :


Simuler

Le doublet du sodium
simures.gif
Le doublet jaune du sodium du spectre solaire, simulé à diverses résolutions spectrales.
Crédit : ASM

Résolution variable

Selon la résolution spectrale, des raies bien marquées, comme celles du sodium à 589.0 et 589.6 nm, apparaîtront plus ou moins clairement, avec l'identification de raies fines entre les 2 éléments du doublet, ou bien noyées dans le flux continu.


S'exercer

qcmQCM

1)  La mesure de la largeur de raies larges de 6 km/s nécessite un spectromètre de pouvoir de résolution :



2)  Sur combien d'éléments spectraux est découpé le spectre visible d'une étoile, étudié entre 450 et 550 nm à la résolution de 10000 ?



3)  Pour obtenir un pouvoir de résolution spectrale de 10000 dans un intervalle de 100 nm aux alentours de 1000 nm, il faut collecter le spectre sur un nombre d'éléments spectraux de l'ordre de



exerciceRésolution et variable spectrale

Difficulté :    Temps : 10 min

Un spectromètre assure un pouvoir de résolution 25 000 dans le visible à 500 nm.

Question 1)

Déterminer la largeur d'un élément spectral élémentaire.

Question 2)

Le spectromètre en question, par transformée de Fourier, travaille en unité de nombre d'onde, exprimée en \mathrm{cm}^{-1}. Exprimer le nombre d'onde \sigma= 1/\lambda et la résolution \delta\sigma dans ce système d'unité.

exerciceQuelle résolution ?

Difficulté :    Temps : 20 min

Le spectre ci-joint (voir l'appliquette) a été enregistré aux alentours de 440.5 nm. Il s'agit d'estimer sa résolution, en fait limitée par la résolution instrumentale.

application.png

Question 1)

Vaut-il mieux effectuer la mesure sur une raie fine ou une raie large ?

Question 2)

Estimer alors la résolution instrumentale


Le réseau : diffraction et interférences


Apprendre

prerequisPrérequis

Même s'il reprend les bases théoriques, ce cours suppose que le réseau a déjà été étudié en physique. Un réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source, et en donne une série d'images colorées.

objectifsObjectifs

Caractériser les interférences constructives d'un réseau ; voir la distribution de l'énergie dans la figure d'interférence.

fentereseau.png
Le réseau donne une série d'images colorées de la fente source.
Crédit : ASM
reseauschema.png
Paramètres du réseau, et définition des angles des faisceaux incident et diffracté.
Crédit : ASM
devreseau.png
À incidence nulle, la différence de marche entre 2 rayons consécutifs, vaut \delta = p \sin i'. Elle correspond au déphasage \varphi = 2\pi \ p/ \lambda \sin i.
Crédit : ASM

Interférences constructives

On note p la période du réseau, N le nombre de traits, \lambda la longueur d'onde étudiée. La condition d'interférences constructives s'écrit :

\sin i \pm \sin i' \ = \ m\ {\lambda \over p}

avec m, entier, l'ordre d'interférence. Le signe - dans cette relation concerne un réseau par transmission, le signe + un réseau par réflexion. C'est ce dernier cas qui nous intéresse, car il correspond au cas du réseau blazé.

Cette condition rend compte que le déphasage \varphi entre les amplitudes complexes issues de 2 traits consécutifs, vaut 2m\pi (ou bien, de façon équivalente, que la différence de marche vaut m\lambda).

diffracinterf.png
Les interférences se construisent principalement dans le lobe principal de la tache de diffraction d'une fente du réseau (en rouge).
Crédit : ASM

Le rôle de la diffraction puis des interférences

La diffraction par une fente du réseau détermine les différentes directions vers lesquelles la lumière est envoyée, chacun des fentes du réseau se comportant comme une source secondaire.

Les interférences entre ces différentes sources secondaires construisent les franges d'interférences, d'autant plus fines que le réseau comporte un nombre important de traits (cf. calcul de l'intensité de la figure d'interférence).

reseauinterf.png
Représentation des numérateur (bleu ciel) et dénominateur (violet) de l'intensité diffractée par le réseau (en bleu). Les pics d'interférence apparaissent pour chaque annulation du terme \sin \varphi/2 du dénominateur. La finesse des pics d'interférence augmente avec le nombre de traits N.
Crédit : ASM
somreseau.png
Sommation des différentes amplitudes.
Crédit : ASM

Intensité de la figure d'interférence

L'intensité de la figure d'interférence est issue du double effet de la diffraction par une seule fente et des interférences par N fentes. On s'intéresse dans un premier temps au phénomène d'interférence seul. On note \varphi le déphasage entre 2 fentes consécutives, et A_1 l'amplitude complexe. On mène les calculs dans l'approximation de Fraunhofer, pour montrer que l'intensité diffractée vaut :

I_N\ =\ \ |A_1|^2 \left({ \sin N\varphi/2 \over \sin \varphi/2 }\right)^2

demonstrationDémonstration

La sommation des amplitudes conduit à :

A_N\ =\ \sum_{k=1}^{k= N} A_1 \ \exp i (k-1)\varphi \ =\ A_1 \ \sum_{k=0}^{k= N-1}\ \bigl(\exp i\varphi \bigr)^k

Le traitement de la somme des termes d'une suite en progression géométrique donne :

A_N\ =\ A_1 \ { 1 - \exp i N\varphi \over 1 - \exp i \varphi}

On calcule l'intensité en factorisant le numérateur et le dénominateur par l'exponentielle complexe de l'angle moitié (de module unité), pour aboutir à :

I_N\ =\ |A_N|^2 \ =\ |A_1|^2 \ \left|{ \exp (i N\varphi/2) - \exp (-i N\varphi/2) \over \exp (i \varphi/2) - \exp (-i \varphi/2) }\right|^2 \ =\ |A_1|^2 \left({ \sin N\varphi/2 \over \sin \varphi/2 }\right)^2

Le terme d'intensité est important uniquement lorsque le dénominateur s'annule. Dans ce cas, le numérateur s'annule également et, par continuité du rapport, le pic d'intensité tend vers N^2. Chaque pic correspond à un ordre d'interférence. La largeur de ce pic est donnée par les variations du numérateur, qui oscille N fois plus rapidement que le dénominateur ; elle est donc N fois inférieure à la largeur entre 2 ordres consécutifs.

Inefficacité du réseau par transmission

L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est a priori pas efficace : l'essentiel de l'énergie passe dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. Un concept technologique spécifique pare cet inconvénient : le réseau blazé.


Le réseau de diffraction : dispersion


Observer

reseauordre.png
Variation de l'angle de dispersion en fonction de l'ordre d'interférence.
Crédit : ASM

Dispersion du réseau / ordre d'interférence

La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend de l'ordre d'interférence.

reseaucoul.png
Variation de l'angle de dispersion en fonction de la couleur de l'onde plane monochromatique incidente.
Crédit : ASM

Dispersion du réseau / couleur

La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend de la longueur d'onde de l'onde plane incidente.

reseaupas.png
Variation de l'angle de dispersion en fonction du nombre de traits du réseau, donné en traits par millimètre, l'ordre (ici m = 1) et la longueur d'onde étant fixés.
Crédit : ASM

Dispersion / pas du réseau

La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend du pas du réseau (ou nombre de traits par millimètre).


Apprendre

prerequisPrérequis

Etude du réseau en physique.

objectifsObjectifs

Caractériser la dispersion d'un réseau, càd sa capacité à distinguer les différentes couleurs.

Relation du réseau

Rappel : la condition d'interférences constructives s'écrit :

\sin i \pm \sin i' \ = \ m\ {\lambda \over p}

avec m l'ordre d'interférence (entier), p le pas du réseau, \lambda la longueur d'onde d'étude.

Dispersion angulaire

La dispersion angulaire relie, à incidence i fixée, les variations de l'angle de sortie i' avec \lambda. Elle est obtenue par différentiation de la relation du réseau :

{ {\mathrm{d}} i' \over {\mathrm{d}}\lambda} = {m\over p \cos i'}

La dispersion {\mathrm{d}} i' / {\mathrm{d}}\lambda croît avec l'ordre m et la fréquence spatiale du réseau 1/p. La résolution {\mathrm{d}}\lambda dépend des paramètres du réseau, mais aussi de la précision {\mathrm{d}} i' avec laquelle on peut déterminer l'angle i'.

reseaupics.png
Les ordres d'interférences des différentes couleurs progressent d'autant plus vite que la longueur d'onde est petite. Très rapidement, les différents ordres des différentes couleurs se mêlent.
Crédit : ASM

Ordres d'interférences

A couleur fixée, mais ordre d'interférence m variable, la différentiation de la relation constitutive du réseau s'écrit :

\cos i' {\mathrm{d}} i'\ =\ {\lambda \over p}\ {\mathrm{d}} m

Un pas d'interférence, correspondant à \Delta m\equiv 1, correspond à un intervalle angulaire :

\Delta i'\ =\ {\lambda \over p \cos i'}

Ce pas varie directement avec la couleur de l'onde considérée.

finesse.png
Diffraction et interférences à N ondes (N = [3, 10, 30, 100, 300, 1000]). La largeur de la tache principale varie comme 1/N. La figure de droite zoome sur un ordre donné.
Crédit : ASM

Le pouvoir de résolution théorique

Le nombre N de traits du réseau fixe la largeur angulaire de la tache image : la figure d'interférence envoie la lumière de façon significative dans un intervalle angulaire N fois moindre qu'un ordre :

{ {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}} = {\Delta i'\over N} = {\lambda \over N p \cos i'}

Le pouvoir de résolution théorique du réseau s'écrit, s'il est limité par la seule diffraction, en application de ce qui précède ( {\mathrm{d}} i' = { {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}}) :

{\cal R}_0 \ = \ {\lambda \over {\mathrm{d}} \lambda}\ = {\lambda \over { {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}}}\, {{ {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}} \over {\mathrm{d}}\lambda} \ = \ m \ N

Le pouvoir de résolution théorique augmente avec le nombre de traits éclairés et avec l'ordre d'interférence.

AN : avec un réseau blazé de 100 mm, 100 traits/mm et travaillant à l'ordre 40, le pouvoir de résolution théorique atteint 400 000.

Inefficacité du réseau par transmission

L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est toujours pas efficace : la dispersion spectrale est d'autant plus grande que l'ordre du réseau est élevé, mais l'essentiel de l'énergie reste dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. De plus, la superposition des ordres mélange les couleurs.


Simuler

reseaucoulr1.gif
Lumière rouge, ordre 1
Crédit : ASM
reseaucoulv1.gif
Lumière verte, ordre 1
Crédit : ASM
reseaucoulb1.gif
Lumière bleue, ordre 1
Crédit : ASM
reseaucoulv2.gif
Lumière verte, ordre 2
Crédit : ASM
reseaucoulv3.gif
Lumière verte, ordre -1
Crédit : ASM
reseaupasvp.gif
Lumière verte, ordre 1, grand pas
Crédit : ASM
reseaupasvq.gif
Lumière verte, ordre 1, petit pas
Crédit : ASM

La déviation du réseau

Les animations montrent la création des ordres d'interférence par interférences constructives, pour différents ordres et couleurs. Attention : ces animations supposent indûment valide à courte distance l'approximation de Fraunhofer, qui décrit la diffraction uniquement à grande distance de l'objet diffractant.

Voir comme la déviation varie avec :


S'exercer

qcmQCM

1)  Que vaut le pouvoir de résolution théorique d'un réseau de largeur 10 cm, avec 100 traits/mm, conçu pour travailler à l'ordre 1 ?



2)  Un réseau de N traits dont le pas p et la largeur de fente a sont très proches pourra travailler efficacement dans combien d'ordres :



3)  Le pouvoir de résolution théorique du réseau est meilleur dans le bleu que dans le rouge.



4)  Diaphragmer le faisceau parallèle alimentant un réseau améliore le pouvoir de résolution.




Le réseau blazé


Observer

reseauharps.jpg
Le double réseau de l'instrument HARPS (ESO, télescope de 3.6 m). Les 2 réseaux côte à côte couvrent une surface de 20 \times 80\ \mathrm{cm}.
Crédit : HARPS/ESO
sophielabo.jpg
Image projetée sur un écran translucide d'un spectre-échelle obtenu avec un spectromètre (SOPHIE, OHP) incluant un réseau blazé et un post-disperseur.
Crédit : OHP/CNRS

Un réseau efficace

Un réseau-échelle ou réseau blazé (a blaze of color = resplendissant de couleur) traite efficacement la dispersion : il envoie la puissance lumineuse incidente dans des ordres élevés du spectre, avec une grande dispersion spectrale. Il s'agit d'un réseau par réflexion, très couramment utilisé en instrumentation astrophysique.

spectreharps.png
Image d'un spectre-échelle à haute résolution spectrale obtenu avec une caméra CCD. Le spectre de l'étoile apparaît ici sous l'aspect de bandes sombres. L'étalonnage en longueur d'onde est apporté par les raies en émission d'une lampe spectrale (Thorium Argon), dont le spectre est intercalé avec celui de l'étoile, et enregistré simultanément.
Crédit : ESO/ASM
harpsblaze.png
Aperçu de 6 ordres du spectre obtenu avec le spectromètre Harps. La diffraction par chaque trait du réseau est responsable du profil d'étalement du flux ; la séparation des ordres est obtenue grâce à un deuxième élément dispersif, dans une direction perpendiculaire à celle du premier réseau.
Crédit : ESO/ASM
crossdisperserharps.jpg
La dispersion croisée du spectromètre Harps est assurée par un grisme, qui correspond à un réseau par transmission gravé sur un prisme.
Crédit : ESO

Les ordres d'un réseau blazé

Une deuxième dispersion, dite dispersion croisée, des ordres diffractés par un réseau blazé permet d'obtenir un spectre sur un large intervalle spectral divisé en plusieurs ordres. L'intensité dans chaque ordre est modulée par la fonction d'Airy de la fente d'entrée.


Apprendre

objectifsObjectifs

Introduire les propriétés du réseau blazé, dont l'intérêt est d'envoyer l'énergie diffractée dans un ordre d'interférence non nul.

reseaublaze.png
Profil d'un réseau blazé ou réseau échelle, et définition des angles. Les facettes réfléchissantes du réseau sont gravées avec une inclinaison \theta par rapport au plan du réseau. La diffraction envoie une intensité maximale dans un ordre d'interférence non nul, pour i'=2\theta-i. Les angles i et i' restent définis par rapport au plan du réseau.
Crédit : ASM
ordreblaze.png
Le maximum d'énergie renvoyée (dans la direction de l'optique géométrique) correspond à un ordre non nul, d'autant plus grand que la longueur d'onde est petite. Dans la pratique, l'inclinaison du faisceau est le plus souvent très proche de la normale aux facettes.
Crédit : ASM
diffracblaze.png
Pour un réseau blazé, les interférences se construisent principalement dans le lobe principal de la tache de diffraction, centré sur une frange d'ordre non nul.
Crédit : ASM

Le réseau blazé

Le réseau par transmission n'est pas efficace. La diffraction envoie essentiellement l'énergie dans l'ordre 0, qui n'est pas dispersif, ce qui n'est guère intéressant. L'intérêt du réseau blazé est d'envoyer le flux dans un ordre d'interférence non nul dans les conditions de l'optique géométrique (les conditions usuelles d'utilisation sont proches du cas i' = i = \theta, où \theta est l'angle de blaze). Cet ordre dépend de la couleur étudié.

D'un point de vue énergétique, le montage optique d'un réseau blazé s'arrange pour voir essentiellement la tache de diffraction du réseau (déterminée par une facette élémentaire).

specres.png
Avec un réseau blazé, l'image diffractée de la fente d'entrée correspond à un ordre d'interférences non nul. Cet ordre d'interférence varie d'une couleur à l'autre. Une dispersion à basse résolution spectrale, perpendiculaire à la haute résolution apportée par le réseau blazé, permet de séparer ces ordres et d'obtenir une image d'un large intervalle spectral constitué d'une succession d'ordres.
Crédit : ASM

Nécessité d'une dispersion croisée

Par rapport au réseau par transmission, le réseau blazé permet un travail dans un ordre d'interférence élevé, assurant un pouvoir de résolution théorique élevé. Mais, à lui seul, le réseau blazé n'assure pas une dispersion optimale : les ordres restent superposés, aboutissant à la confusion des couleurs si chèrement dispersées. Il faut adjoindre au réseau blazé un deuxième élément dispersif, assurant une dispersion dans une direction perpendiculaire, qui permet de distinguer les différents ordres.

Avec 2 dispersions à angle droit, la source doit nécessairement être ponctuelle (en pratique, souvent une fibre).


S'exercer

qcmQCM

1)  Un réseau blazé optimisé pour observer à l'ordre 50 en lumière verte, pourra observer dans le bleu l'ordre :



2)  Un réseau blazé de pas p=26 {\,\mu\mathrm{m}} et d'angle \tan \theta = 4 observe dans le rouge (600 nm) dans l'ordre




Le réseau et son optique


Observer

reseaulittrow.png
Montage de Littrow avec réseau blazé. Le plan du réseau est incliné par rapport à l'axe optique de telle sorte que les facettes du réseau sont quasi perpendiculaires à l'axe optique.
Crédit : ASM
fentereseau.png
Le réseau donne une série d'images colorées de la fente source.
Crédit : ASM

Montage de principe

Le réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source ou un trou source. Le montage de principe est donc simplement un montage conjuguant la source à son image en passant via 2 lentilles équivalentes par un faisceau parallèle. Le réseau donne en fait une série d'images colorées de la fente source.

Spectromètre et réseau

En pratique, c'est évidemment plus complexe.

L'insertion du réseau dans le spectromètre nécessite :

L'appliquette ci-joint permet de lire le schéma optique de l'instrument CRIRES (CRyogenic high-resolution IR Echelle Spectrometer) du VLT.

application.png

Montage de Littrow

Un montage optique couramment utilisé avec un réseau blazé est celui de type Littrow, où une optique unique alimente le réseau en lumière parallèle et collecte le faisceau dispersé. Les facettes du réseau blazé sont éclairées sous une incidence quasi-nulle (mais correspondant à une incidence élevée par rapport au plan du réseau).


Apprendre

prerequisPrérequis

Etude du réseau en physique.

objectifsObjectifs

Lier le pouvoir de résolution spectrale d'un instrument disperseur avec réseau aux conditions de formation d'image.

reseaufente.png
Fente du réseau et collimation.
Crédit : ASM

La taille de la fente d'entrée

Le rôle de l'optique géométrique ne doit pas être oublié : il peut dimensionner la résolution effective du réseau. Avec \ell la largeur de la fente et f la focale du miroir collimateur, la taille angulaire de la fente vue dans l'espace image est :

{ {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{fente}} = { {\mathrm{d}} i} _{\mathrm{fente}} = {\ell\over f}

Le pouvoir de résolution limité par la largeur de la fente d'entrée ( {\mathrm{d}} i' = { {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{fente}}) s'écrit :

{\cal R}_1 \ = \ {\sin i \pm \sin i' \over \cos i'} \ {f \over \ell}

où subsistent les conditions géométriques de l'éclairement du réseau. Dans les conditions d'un réseau blazé éclairé quasi normalement aux facettes, i \simeq i' et avec le signe + correspondant au réseau par réflexion :

{\cal R}_1 \ \simeq \ 2 \ {\tan i'} \ {f \over \ell}

Un pouvoir de résolution optimal nécessite une source de petite taille et une grande focale. Avec une focale de l'ordre du mètre, une fente de 100 micromètres (en fait une fibre), et \tan i' =2, le pouvoir de résolution géométrique vaut 40 000.

La finesse de la fente d'entrée assure la finesse des images monochromatiques ; mais fermer la fente est réalisé au détriment de la luminosité. Assurer une longue focale nécessite un grand réseau, ce qui a un coût.

Pouvoir de résolution réel

Le pouvoir de résolution réel est conditionné par la plus petite valeur du pouvoir théorique ou limité par l'image géométrique de la fente d'entrée :

{\cal R} \ = \mathrm{min}\ [ {\cal R}_0, \ {\cal R}_1]

Un instrument bien dimensionné est conçu de façon à accorder la taille de la fente et la résolution optimale définie par la diffraction. Des informations sur le réseau, on conclut que le pouvoir de résolution {\cal R} du réseau, inférieur au pouvoir de résolution théorique, dépend :

Un pouvoir de résolution élevé nécessite une fente d'entrée très étroite.


S'exercer

qcmQCM

1)  Le pouvoir de résolution du réseau varie en fonction de la focale f de l'optique et la largeur \ell de la fente d'entrée comme




2)  Un réseau disperse plus dans le



3)  Le pouvoir de résolution théorique en sortie d'un spectromètre avec réseau blazé est meilleur dans le bleu que dans le rouge.




S'évaluer

exerciceLe réseau du spectromètre HARPS

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Question 1)

Le montage du spectromètre HARPS assure un pouvoir de résolution de l'ordre de 120 000. La focale de l'optique de chambre valant 1.56 m, en déduire la taille de la fente d'entrée, sachant que par ailleurs l'illumination du réseau a lieu dans les conditions \tan i' \simeq \tan i \simeq 4.

[1 points]

Question 2)

Le flux collecté par le télescope a un diamètre de 3.6 m, qui devient dans l'instrument 20 cm. En déduire le grossissement.

[1 points]

Question 3)

Déduire de ce qui précède l'ordre de grandeur du champ de vue sur le ciel.

[2 points]


Compléments d'optique

Auteur: B. Mosser

Introduction

Cette section propose des développements plus ardus, au-delà d'un programme de niveau L2 ou L3, mais bien utiles, concernant divers points d'optique.

aneastro.jpg
Ça se complique.
Crédit : ASM

Aberrations géométriques


Observer

Aberration de sphéricité
aberspherspher0.png
Programme de tracé de rayons. Les rayons les plus éloignés de l'axe de révolution d'un miroir sphérique convergent plus près du miroir que les rayons paraxiaux. Des couleurs différentes sont utilisées uniquement pour permettent de distinguer les rayons entre eux.
Crédit : ASM

Aberration sphérique

Un miroir sphérique est beaucoup plus simple à tailler qu'un miroir parabolique. Mais il ne rend pas les mêmes services, car il concentre la lumière imparfaitement ; plus le rayon est éloigné de l'axe optique, plus il va converger en avant du foyer. On parle d'aberration de sphéricité.

aberspherpara0.png
Contrairement au miroir sphérique, le miroir parabolique concentre parfaitement tous les rayons provenant d'un objet sur l'axe à l'infini.
Crédit : ASM
aberspherpara1.png
Même pour un miroir parabolique, l'image d'un objet à l'infini hors axe n'est pas parfaitement ponctuelle. L'effet est analogue à l'aberration de sphéricité présentée par un miroir sphérique.
Crédit : ASM
Aberration de coma
coma.png
Diagramme de tracé de rayon montrant l'allure de la coma : l'image d'un point devient une petite tache allongée. comme une aigrette.
Crédit : ASM

Coma

Un miroir parabolique est exempt de cette aberration de sphéricité, mais uniquement pour un objet centré sur l'axe et non hors axe . On parle dans ce cas d'aberration de coma, qui rend donc compte de l'aberration de sphéricité hors axe.


Apprendre

prerequisPrérequis

Notion de stigmatisme.

objectifsObjectifs

Brièvement décrire les aberrations géométriques

Stigmatisme

La définition de la justesse de la formation d'image s'appelle le stigmatisme. Le stigmatisme idéal est atteint lorsque tous les rayons issus d'un point de l'objet convergent en un seul point de l'image.

Cette situation idéale n'est pas opérationnelle : il faut en pratique définir les conditions dans lesquelles la convergence est suffisante (p.ex. avec une précision dans le plan focal meilleure que la taille d'un pixel). Ces conditions sont d'autant mieux réalisées que l'on est proche de l'axe optique du système.

Aberration de coma
coma2.png
L'aberration de coma affecte tout rayon hors axe.
Crédit : ASM
Distorsion
mire1.pngmire2.png
La distorsion transforme une grille rectangulaire en une grille en forme de barillet ou de coussinet.
Crédit : ASM

Aberrations primaires

Les aberrations primaires correspondent à la décomposition des aberrations dans le champ image. Elles proviennent des écarts au stigmatisme lié d'une part aux rayons inclinés sur l'axe optique, d'autre part aux rayons ayant traversé le système optique loin de l'axe optique.

Les aberrations dépendent alors de 2 variables : la distance angulaire \theta entre un point de l'objet et le point de l'objet centré sur l'axe optique ; la distance r, sur la pupille d'entrée entre les traces du rayon et de l'axe optique sur la pupille d'entrée.

Aberration chromatique
abercol.png
L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple, dont la focale dépend de la couleur.
Crédit : ASM

Aberrations chromatiques

L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple : comme l'indice du matériau varie avec la longueur d'onde, la focale varie également. En règle générale, l'indice bleu, plus élevé donne une distance focale bleue plus courte.

Cette aberration est corrigée par l'utilisation de systèmes de lentilles (doublet, triplet...), avec des verres d'indices différents pour obtenir une focale équivalent quasiment identique pour toutes les longueurs d'onde considérées.

Les miroirs présentent l'avantage de ne pas induire d'aberrations chromatiques (la lumière ne traverse pas le miroir). Leur coefficient de réflexion, qui dépend intimement du traitement de surface, est néanmoins chromatique.


Simuler

Comparaison de diverses aberrations

Aberrations application.png

Les différents défauts géométriques cohabitent joyeusement, et les distinguer n'est pas toujours facile, comme le montre le diaporama ci-joint.


Étendue de faisceau


Apprendre

prerequisPrérequis

Notion d'angle solide.

objectifsObjectifs

Définir l'étendue de faisceau ; mais surtout montrer la conservation de l'étendue de faisceau.

afocal3.png
Le montage afocal transforme un faisceau de diamètre a en un faisceau de diamètre b, avec un grossissement angulaire \beta / \alpha = a /b = F/f.
Crédit : ASM

Exemple : montage afocal

Un montage afocal transforme un faisceau plan en un autre faisceau plan. Les rapports des diamètres des faisceaux et des inclinaisons en entrée et sortie sont intimement liés au grossissement.

{\beta \over \alpha} = G \ \mathrm{ \ et } \ {b \over a} \ = \ G^{-1} \ \Longrightarrow \ a\alpha\ =\ b\beta

Le produit est un invariant, ce qui relate une relation physique plus générale : la conservation de l'énergie du faisceau.

etendue.png
Conservation de l'étendue de faisceau, de l'élément émetteur {\mathrm{d}} S à l'aire collectrice {\mathrm{d}} S'.
Crédit : ASM

Faisceau, étendue de faisceau et conservation de l'énergie

La puissance (ou luminosité ) L transportée par un faisceau lumineux, émise par l'élément de surface S et reçue par S' se conserve (sorte de tautologie, le faisceau étant défini par l'ensemble des rayons lumineux, càd la totalité de la puissance lumineuse). Cette puissance est proportionnelle à la luminance \ell, à l'élément de surface émetteur et à l'élément d'angle solide d'émission.

Un jeu d'écriture sur les grandeurs photométriques, avec les données de la figure, conduit à exprimer la conservation de la puissance lumineuse comme la conservation de l'étendue géométrique de faisceau. On définit cette étendue de faisceau, pour un faisceau traversant sans être collimaté (= sans perte d'énergie) un élément optique de section S, occupant un angle solide \Omega, dans un milieu d'indice unité (comme le vide ou comme l'air à peu de chose près), par le produit S \ \Omega, qui se conserve le long du faisceau.

Pour les systèmes stigmatiques (càd, très grossièrement, donnant des images avec des aberrations limitées), la conservation de l'énergie se traduit par la conservation de l'étendue de faisceau :

S \ \Omega \ = \ \mathrm{cste}

demonstrationDémonstration

Le passage de la luminance \ell à la puissance lumineuse nécessite de s'appuyer sur le produit d'un élément de surface émetteur {\mathrm{d}} S et d'un angle solide d'émission {\mathrm{d}} \Omega. La luminosité élémentaire s'écrit :

{\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega }

L'angle solide 'regarde' une surface réceptrice {\mathrm{d}} S' à la distance r telle que :

{\mathrm{d}}\Omega = {\cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2}

La luminosité élémentaire se réécrit donc :

{\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega } \ =\ \ell \ {\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2} \ = \ \ell\ {\cos\theta' {\mathrm{d}} S' {\mathrm{d}} \Omega' }

Avec {\mathrm{d}}\Omega' = {\cos\theta {\mathrm{d}} S/ r^2} l'angle solide sous lequel est vue la source depuis la surface réceptrice. On remarque que le rôle des éléments émetteur et récepteur est symétrique. Le produit \cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'/ r^2 introduit l'étendue géométrique élémentaire.

L'intégration sur le faisceau entier au travers d'une pupille, menée dans l'espace objet ou depuis l'espace image, garde la symétrie du produit surface \times angle solide S\ \Omega.

faisceauconique.png
Faisceau divergeant d'une source quasi ponctuelle, collimaté : son énergie est localisée dans un cône.
Crédit : ASM

Faisceau conique peu ouvert

Un faisceau conique d'ouverture totale \alpha couvre un angle solide :

\Omega \ = \ 2\pi\ \left(1-\cos{\alpha\over2}\right)

Si l'angle \alpha est petit, cet angle solide se réécrit simplement :

\Omega \ \simeq \ \pi\ \left( {\alpha\over2}\right)^2

Au travers d'une optique de diamètre a, la conservation du produit S\ \Omega devient, pour ce faisceau conique :

a^2\ \alpha^2 \ = \ \mathrm{cste}

On retrouve donc le résultat obtenu dans le cadre du montage afocal.

Quelques conséquences

Comme conséquences importantes, on note que :

Etendue de faisceau cohérente

Un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à \lambda^2. La justification est donnée en exercice.


S'exercer

exerciceImagerie grand champ

Difficulté :    Temps : 20 min

Le but d'une caméra est de réaliser un programme de cartographie, par imagerie grand champ. Les caractéristiques du détecteur sont fixées (taille du capteur CCD et caractéristiques de son optique), que l'on traduit par le produit S _{\mathrm{cam}}\Omega _{\mathrm{cam}}. Le but de l'exercice est de déterminer quel collecteur optimal utiliser pour réaliser ce programme.

Question 1)

Comment varie la taille angulaire du champ objet en fonction de la surface S du collecteur ?

Question 2)

Le temps de pose est fixé par le rapport signal à bruit des observations, qui dépend essentiellement du nombre de photons collectés. Comment le temps de pose varie-t-il avec la surface du collecteur ?

Question 3)

Y'a-t-il un intérêt particulier à utiliser un grand collecteur pour réaliser cette cartographie ? Quel usage peut-on conseiller à un télescope de la classe 4-m qui doit motiver son existence par rapport aux télescopes de nouvelle génération plus grands ?

exerciceSur les 2 tableaux

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

optiquecorot.jpg
Le montage optique réel de CoRoT. Les 2 miroirs paraboliques hors-axe sont notés Primary mirror et M2. Lens correspond à l'optique de chambre ; Focal box aux détecteurs CCD.
Crédit : CNES

CoRoT est un satellite du CNES lancé en décembre 2006, qui poursuit 2 objectifs scientifiques : la recherche d'exoplanètes par la méthode des transits d'une part, l'étude sismique de quelques étoiles de type solaire d'autre part. Ces 2 objectifs s'appuient sur la capacité de CoRoT à mener des observations de photométrie très précises. Le montage optique retenu consiste en l'association de 2 miroirs paraboliques confocaux (confocal \equiv même foyer) hors axe, suivis par une optique de chambre conjuguant le faisceau issu des 2 paraboles avec le détecteur CCD. En pratique, pour les respecter les specifications de la formation d'image, cette optique de chambre est constituée de 6 lentilles.

Question 1)

Faire à l'échelle un schéma de principe le plus simple possible du système équivalent à l'ensemble miroirs + optique de chambre avec 3 lentilles équivalentes pour respectivement les 2 miroirs et l'optique de chambre.

Question 2)

Le diamètre du premier miroir vaut 30 cm ; les focales des miroirs primaire et secondaire sont dans un rapport de 3 à 1. Que peut-on en déduire concernant les lentilles de l'optique de chambre ? En quoi consiste l'un des intérêts de ce montage ?

Question 3)

Reprendre le schéma de principe, en respectant l'ouverture du faisceau à f/4 vu par la caméra, Calculer la focale f équivalente et la focale f' de l'optique de chambre.

Question 4)

La question précédente met en évidence un gain sur l'optique de chambre. Mettre en évidence la contrainte associée, qui dérive de la conservation de l'étendue de faisceau. Conclure.

exerciceÉtendue cohérente

Difficulté : ☆☆   Temps : 10 min

Un collecteur de diamètre a délivre une tache de diffraction d'ouverture 1.22 \ \lambda /a. On cherche à en déduire l'étendue de faisceau cohérente.

Question 1)

Justifier que l'étendue cohérente correspond au pic central de la diffraction.

Question 2)

Déterminer l'étendue de faisceau cohérente. Montrer qu'elle est très voisine de \lambda^2.


S'évaluer

exerciceD'un collecteur de 8 m à une fibre

Difficulté :    Temps : 5 min

Un instrument du VLT (collecteur de diamètre a=8\ \mathrm{m}) est alimenté par un faisceau de fibres de diamètre 80\ \mu\mathrm{m}.

Question 1)

L'alimentation optimale de la fibre se fait à f/2.5. En déduire l'ouverture angulaire du faisceau en entrée de fibre.

[1 points]

Question 2)

Que vaut le champ objet admissible sur le ciel ? L'exprimer en seconde d'angle.

[1 points]

exerciceObservation au foyer et étendue de faisceau

Difficulté : ☆☆   Temps : 15 min

On se propose de retrouver par l'application de la conservation de l'étendue de faisceau l'expression de la taille linéaire de l'image d'un objet à l'infini de diamètre angulaire \alpha par un collecteur de diamètre a et de focale f. On considère le seul cas où l'angle \alpha est petit. On note d ladite taille linéaire.

Question 1)

Exprimer le produit S\ \Omega côté source, en fonction des données.

[1 points]

Question 2)

Rappeler l'expression de l'ouverture angulaire du collecteur, et exprimer le produit S'\ \Omega' côté détecteur.

[2 points]

Question 3)

Exprimer la conservation de l'étendue de faisceau. Retrouve-t-on le résultat attendu ? L'objet ayant une taille angulaire \alpha, quelle est la taille linéaire d de son image.

[2 points]


Diaphragmes de champ et d'ouverture


Observer

vignetage.png
Illustration du phénomène de vignetage. Une partie du faisceau inclinés (en orange) est bloquée, alors que la totalité du faisceau d'incidence nulle (en bleu) est transmise : l'image sera moins lumineuse au bord.
Crédit : ASM
vignete.jpg
Champ vigneté : les sources les plus éloignées se retrouvent éteintes.
Crédit : ASM

Le vignetage

Le vignetage apparaît lorsque qu'un diaphragme coupe indûment le faisceau optique. Les bords de l'image ne sont alors plus suffisamment éclairés.


Apprendre

prerequisPrérequis

Optique géométrique ; tracé de rayons.

objectifsObjectifs

Bien accepter ou bien stopper les photons (sans trop rentrer dans les détails).

Champ et diaphragme

Le champ d'un instrument d'optique est la partie de l'espace dont cet instrument fournit une image acceptable.

Un diaphragme, c'est par définition ce qui limite un faisceau. En pratique, les montures des pièces optiques, la taille d'un détecteur sont des diaphragmes. La suite précise cette notion.

Diaphragme de champ

Un diaphragme de champ limite la taille angulaire du faisceau. Il est dimensionné pour assurer :

Le détecteur, de taille finie, peut jouer le rôle de diaphragme de champ.

Diaphragme d'ouverture

Dans un système optique centré, le diaphragme d'ouverture est le diaphragme matériel qui limite l'ouverture d'un faisceau centré. C'est donc le diaphragme vu de puis l'objet sous le plus petit angle ; c'est souvent la monture de la première lentille.

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Il est essentiellement dimensionné pour assurer le niveau d'éclairement voulu. Il joue sur l'extension linéaire du faisceau : un grand diaphragme nécessite des pièces optiques de grande taille... dont la qualité doit suivre.

Pupilles

La pupille d'entrée d'un instrument est l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées en avant ce diaphragme.

La pupille de sortie est l'image géométrique de la pupille d'entrée. C'est aussi l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées après ce diaphragme.


Simuler

Diaphragme de champ
diaphragchamp.gif
Relation entre la taille du détecteur, faisant office de diaphragme de champ, et le champ accessible.
Crédit : ASM

Diaphragme de champ

Un diaphragme de champ limite l'ouverture angulaire du faisceau. Dans l'animation proposée, c'est la taille du détecteur qui limite le champ accessible : le détecteur joue le rôle de diaphragme de champ.

Diaphragme d'ouverture
diaphragmouv.gif
Relation entre le diaphragme d'ouverture et l'éclairement au foyer.
Crédit : ASM

Diaphragme d'ouverture

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Dans l'animation proposée, le diaphragme d'ouverture limite l'éclairement au foyer.


S'exercer

exerciceDiaphragme d'ouverture

Difficulté :    Temps : 10 min

On propose d'utiliser un montage afocal, avec les lentilles L1 et L2 de caractéristiques respectives (focales et diamètres) : f_1 = 100 {\,\mathrm{mm}},\ d_1 = 40 {\,\mathrm{mm}} ; f_2 = 50 {\,\mathrm{mm}},\ d_2 = 16.6 {\,\mathrm{mm}}.

Question 1)

Sous quelle ouverture sont vues les lentilles depuis leur foyer commun ?

[1 points]

Question 2)

En déduire la lentille qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture.

[1 points]


S'évaluer

exercicePupille d'entrée de CoRoT

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

pupillecorot0.png
Schéma optique de CoRoT.
Crédit : ASM

La figure représente le montage optique du collecteur du satellite CoRoT. Il comporte un baffle de grande taille dont le rôle est de protéger le signal de toute perturbation extérieure, pour une étude photométrique extrêmement précise. Le montage collecteur (miroirs M1 et M2) est hors-axe, afin d'éviter toutes les réflexions parasites qu'apporterait le miroir secondaire M2 avec sa structure dans le cas d'un montage axial.

Question 1)

D'après le schéma optique, à quelle configuration correspond l'ensemble des miroirs collecteurs M1 et M2 ? Quelles sont les propriétés du faisceau après passage par M2, en terme de diamètre, ouverture et étendue de faisceau comparées aux mêmes valeurs en amont de M1 ?

[2 points]

Question 2)

Le diaphragme D est positionné en aval de M2, à une distance du miroir égale à la focale de M2. En déduire la position de la pupille d'entrée P. Faire un schéma justifiant la réponse.

[2 points]

Question 3)

Que peut-on dire d'un photon qui passe par la pupille d'entrée ?

[1 points]

Question 4)

En fonction de ce qui précède, reformuler le rôle du baffle de protection.

[1 points]


Diffraction par une pupille circulaire


Observer

bessel.png
Les 2 premières fonctions de Bessel, J_0 et J_1.
Crédit : ASM

Fonctions de Bessel

La figure de diffraction d'une pupille circulaire introduit les fonctions de Bessel.

besselcirculaire.png
Coupe de la figure de diffraction, en représentation logarithmique et unité \lambda / a. Le premier zéro est à l'abscisse 1.22.
Crédit : ASM

Diffraction

L'intensité diffractée par une pupille circulaire est donnée par J_1(X) / X, avec X=\pi a \theta / \lambda, avec a le diamètre de la pupille, \lambda la longueur d'onde et \theta la direction d'observation.


Apprendre

prerequisPrérequis

Diffraction de Fraunhofer.

objectifsObjectifs

(Page à n'aborder qu'en deuxième lecture). Introduire, pour une pupille circulaire, les fonctions de Bessel, qui justifient le facteur 1.22\ \lambda / a qui dimensionne la tache de diffraction.

Diffraction par une pupille quelconque

On considère une pupille, modélisée par une ouverture plane centrée en O, et l'on note M un point de la pupille. Cette pupille est éclairée par une onde plane uniforme, monochromatique, en incidence normale. L'amplitude de l'onde diffractée dans une direction repérée par le vecteur directeur \mathbf{u} s'écrit :

A \ =\ {4\over \pi a^2}\ \int\!\!\int _{\mathrm{pupille}} A(M)\ \exp\left( i{2\pi\over\lambda} {\mathbf{OM}}.{ \mathbf{u}}\right) \ {\mathrm{d}}{M}

base.png
M est un point courant de la pupille, de coordonnées polaires (r, \psi), et \mathbf{u} porte la direction pour laquelle on recherche l'amplitude de l'onde diffractée.
Crédit : ASM

Pupille circulaire

La pupille étant circulaire, de rayon a/2, il est préférable de décrire les coordonnées du point M et de la direction de diffraction \mathbf{u} en coordonnées polaires, avec les notations suivantes :

\begin{eqnarray*} \mathbf{u} =& \sin\theta \cos\varphi \ \mathbf{i} + \sin\theta \sin\varphi \ \mathbf{j} + \cos\theta\ \mathbf{k} \\ \mathbf{OM} =& r\cos\psi\ \mathbf{i} + r\sin\psi \ \mathbf{j} \\ {\mathrm{d}} M =& r {\mathrm{d}} r {\mathrm{d}} \psi \end{eqnarray*}

(\mathbf{k} est le vecteur normal au plan de la pupille). L'amplitude de l'onde diffractée dans la direction \mathbf{u} faisant un angle \theta avec l'axe optique s'écrit alors, en supposant l'amplitude incidente uniforme :

A \ =\ A_0 \ \int_0^{a/2} r {\mathrm{d}} r \int_0^{2\pi} \exp\left( i{2\pi\over\lambda} r \sin\theta \cos (\varphi-\psi)\right)\ {\mathrm{d}}\psi

On introduit les fonctions de Bessel, dont les 2 premiers termes sont, par définition :

\begin{eqnarray*} J_0 (X) =& \displaystyle{{1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \exp \bigl[-iX \cos v \bigr]\ {\mathrm{d}} v}\\ J_1 (X) =& \displaystyle{{1\over X}\ \int_0^{X} u J_0 (u)\ {\mathrm{d}} u}\\ \end{eqnarray*}

L'amplitude diffractée dans une direction faisant un petit angle \theta par rapport à l'axe optique, devient :

A (X) \ = \ 2 A_0 \ {J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{ avec } \ \ X \ = \ {\pi a \sin\theta \over \lambda} \ \simeq\ {\pi a \theta \over \lambda}

demonstrationDémonstration

Les calculs passent par les changements de variables

\begin{eqnarray*} v =& \varphi-\psi \ ; \ {\mathrm{d}} v = - {\mathrm{d}} \psi\\ u =& 2\pi\sin\theta r / \lambda \ ; \ {\mathrm{d}} u = 2\pi\sin\theta / \lambda\ {\mathrm{d}} r \\ \end{eqnarray*}

L'intensité diffractée dans la direction \theta s'écrit donc :

I(\theta) \ \propto \ \left({J_1 \left(\displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}\right) \over \displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}} \right)^2

Zéros, anneaux et largeur à mi-hauteur

Pour X voisin de 0, J_1(X)\sim X/2. Par ailleurs, le premier zéro de la fonction J_1 (X) est pour X \simeq 3.832 = 1.22 \times \pi. La largeur à mi-hauteur du pic central de diffraction, supposée égale à la demi-largeur entre les 2 zéros de part et d'autre du pic central, s'écrit en fonction du diamètre de la pupille a et de la longueur d'onde \lambda :

1.22 \ {\lambda \over a}

La figure de diffraction s'annule ensuite pour les rayons 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unité \lambda /a. Les anneaux lumineux ont comme rayon, dans la même unité : 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71...


Diffraction et transformée de Fourier


Observer

diffractf.png
Pupille d'entrée et sa transformée de Fourier.
Crédit : ASM

La TF de la pupille

La figure de diffraction d'une pupille, quelle qu'elle soit, est identique à sa transformée de Fourier.


Apprendre

prerequisPrérequis

Cours sur la diffraction de Fraunhofer.

objectifsObjectifs

(Page à n'aborder qu'en 2eme lecture.) Mettre en regard le formalisme décrivant la diffraction à l'infini par une pupille et le formalisme de la transformation de Fourier.

Diffraction et transformée de Fourier

En repérant un point de la pupille par la variable \mathbf{r}, la fonction A( \mathbf{r}) caractérisant l'éclairement sur la pupille, l'amplitude diffractée dans une direction angulaire de vecteur directeur \mathbf{u} s'écrit :

\begin{eqnarray*} A ( \mathbf{u})\ &=&\ \int\!\!\!\int_{\mathrm{ pupille }} A( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right] \ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ &=& \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ I( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ \end{eqnarray*}

Avec le terme 1/\lambda^2 introduit pour normaliser l'élément de surface {\mathrm{d}} \mathbf{r}, et {\cal P} ( \mathbf{r}) la pupille d'entrée, qui limite la fraction de l'onde plane émise par la source à l'infini. Pour un éclairement uniforme en incidence normale, {\cal P} ( \mathbf{r}) est typiquement une fonction porte à 2 dimensions.

Par ailleurs, le formalisme de la transformation de Fourier s'écrit :

\tilde f ( \mathbf{u}) \ =\ \int\!\!\!\int f( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u} . \mathbf{r} \right] \ \ {\mathrm{d}} \mathbf{r}

On se doute que l'air de ressemblance entre ces 2 dernières égalités vaut plus qu'un simple hasard.

La TF de la pupille

Si l'on peut supposer l'éclairement uniforme, l'amplitude diffractée dans une direction \mathbf{u} est donnée par la transformée de Fourier de la fonction de pupille \cal P, la variable de position étant normalisée en unité de longueur d'onde :

A ( \mathbf{u})\ =\ A_0 \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}

Les variables conjuguées sont la direction angulaire, repérée par le vecteur \mathbf{u}, et \mathbf{r} / \lambda la variable spatiale décrivant la pupille rapportée à la longueur d'onde.

Diffraction et filtrage

On peut utiliser les propriétés de la TF pour réécrire les caractéristiques de la diffraction. Une pupille de taille caractéristique a filtre les hautes fréquences, càd l'information angulaire plus fine typiquement que \lambda / a.

Plus la pupille est grande, moins elle filtre angulairement.


Simuler

diffracouvanim.gif
Pupille d'entrée et sa tache d'Airy : module carré de sa transformée de Fourier.
Crédit : ASM

La TF de la pupille

La tache image due à la seule diffraction dépend du diamètre du télescope. Plus ce dernier est grand, plus la tache d'Airy est piquée.


Cohérence temporelle


Observer

choixddm0.png
Portion de la partie modulée d'un interférogramme. Le contraste des franges s'écroule dès lors que l'on s'éloigne de la différence de marche nulle.
Crédit : ASM

Interférogramme

Un interféromètre de Michelson permet de tracer l'interférogramme d'une source, càd la figure d'interférence obtenue après déphasage de l'une des 2 voies de l'interféromètre d'une différence de marche \delta. L'interférogramme du spectre d'une source réelle, délimitée par un intervalle spectral fini, illustre le phénomène de cohérence temporelle : le signal d'interférence chute dès lors que la différence de marche devient grande.

coherencetemp1.pngcoherencetemp2.pngcoherencetemp3.png
Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale. Plus l'intervalle spectral accepté est large, plus vite le signal est moyenné dès lors que la différence de marche s'éloigne de la valeur nulle.
Crédit : ASM

Cohérence temporelle et intervalle spectral

La cohérence temporelle décroît d'autant plus rapidement que le spectre de la source présente une gamme de longueurs d'onde importante.


Apprendre

objectifsObjectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique géométrique et physique. Une source ne sera jamais totalement monochromatique, même si son spectre présente des raies d'émission très étroites, ou si par dispersion ou filtrage on sélectionne un très fin domaine spectral. La cohérence temporelle d'une onde rend compte de sa chromaticité.

Une approche rigoureuse passe par le théorème de Wiener-Khintchine.

prerequisPrérequis

Interféromètre de Michelson

Cohérence temporelle

Tout phénomène d'interférence avec une source monochromatique conduit à une modulation de l'amplitude résultante fonction de la longueur d'onde du rayonnement.

Pour une source polychromatique, mélanger les couleurs revient donc à mélanger des périodes différentes : la cohérence temporelle du signal est prise en défaut.

ftsprincip.png
Interféromètre de Michelson : les 2 faisceaux, après recombinaison, sont décalés d'une différence de marche \delta.
Crédit : ASM

Exemple : interférométrie par transformée de Fourier

(Ne pas hésiter à aller voir les pages dédiées au spectromètre par TF).

L'exemple d'un interféromètre par transformée de Fourier (réglé en anneau) présente la problématique : la visibilité des franges décroît d'autant plus rapidement que le domaine spectral accepté est vaste.

Pour une raie monochromatique, l'interférogramme se développe, en fonction de la différence de marche, comme :

I (\delta)\ \propto\ 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda}

Pour une raie réelle, présentant une largeur non infiniment fine, il faut tenir compte de la contribution des différentes composantes spectrales.

I (\delta)\ =\ \int_{\lambda_0-\Delta\lambda/2}^{\lambda_0+\Delta\lambda/2} I_\lambda(\lambda)\ \left( 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda} \right)\ {\mathrm{d}}\lambda

L'intégration, fonction du profil spectral I_\lambda(\lambda) de la raie, conduit à :

I( \delta) \ = \ I_0\ \left(1 + {\cal V}_{\Delta\lambda} ( \delta) \cos 2\pi { \delta\over \lambda_0} \right)

animvisilarg.png
Profils de raie et visibilités associées.
Crédit : ASM

L'expression de la fonction de visibilité des franges \cal V dépend de l'intégration du profil spectral I_\lambda(\lambda), et n'est pas nécessairement simple. La visibilité :

Un exemple de démonstration, dans un cas simplifié, est donné en exercice.

Définition de la cohérence temporelle

Dans le cas général, le degré de cohérence d'une source polychromatique, complexe, s'écrit :

\gamma (\tau) \ = \ { \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda)\ \exp 2i\pi {c\tau\over \lambda} \ {\mathrm{d}} \lambda} \over \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda) \ {\mathrm{d}} \lambda} }

La démonstration résulte du théorème de Wiener-Khintchine.

La longueur de cohérence \ell = c \tau, qui mesure l'étendue du degré de cohérence, vérifie approximativement :

\ell \ = \ {\lambda^2 \over \Delta\lambda}


Simuler

coherencetempf.gif
Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale.
Crédit : ASM

Visibilité fonction de l'intervalle spectral

La visibilité des franges d'interférences dépend de la largeur de l'intervalle spectral considéré. La superposition de franges de couleurs différentes, donc de périodes différentes, conduit à un signal d'interférence en moyenne nulle.


S'exercer

qcmQCM

1)  Les raies jaunes du doublet du sodium ont pour longueur d'onde 589.0 et 589.6 nm. Observées pour une étoile donnée, elles présentent une largeur de 0.006 nm. Donner la longueur de cohérence de ces raies.




2)  Quelle est l'ordre de grandeur de la période des battements du signal interférométrique entre les 2 raies ?




3)  Un interféromètre par TF acquiert l'interférogramme jusqu'à la différence de marche 1 cm. Pour quel pouvoir de résolution peut-il redonner le spectre des raies du sodium ?




Cohérence spatiale


Observer

frangesmidi.png
Enregistrement de franges d'interférence. La cohérence spatiale est limitée par la taille angulaire de la source.
Crédit : ESO

Mesure de visibilité

Un interféromètre enregistre des franges d'interférence, pour en déterminer la visibilité. Celle-ci décroît rapidement dès que l'interférogramme s'écarte de la différence de marche correspondant au déphasage nul entre les 2 signaux.

coherencespa1.pngcoherencespa2.png
Cohérence spatiale : la superposition des différentes contributions déphasées amoindrit la visibilité des franges.
Crédit : ASM

Source étendue

La cohérence spatiale entre 2 points d'un écran dépend de l'étendue angulaire de la source.

tachediffcoherence.jpg
Tache de diffraction récupérée par optique adaptative (NACO/VLT) en bande K.
Crédit : ESO

Source ponctuelle

L'image d'une source ponctuelle n'est pas un point : c'est la diffraction qui le veut... c'est un cas particulier de la notion de cohérence spatiale.


Apprendre

objectifsObjectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique (géométrique ou physique). Une source réelle en astrophysique peut être approximativement ponctuelle, du fait d'un très grand éloignement, mais ce n'est pas toujours le cas.

La cohérence spatiale rend compte de l'étendue angulaire de la source. Une analyse détaillée des phénomènes peut se traiter par une formalisme mathématique et s'appuie sur le théorème Zernike Van-Cittert.

Cohérence spatiale

Les sources astrophysiques ne sont pas naturellement cohérentes. Leur étendue angulaire va conduire à dégrader la cohérence du rayonnement : l'onde collectée mélange diverses directions incidentes, présentant différentes phases, dont le mélange dégrade la cohérence.

Pour modéliser ce phénomène, on s'intéresse à la cohérence du champ sur un écran illuminé par une source à grande distance ; cet écran illustre le rôle que joue un plan d'onde intermédiaire ou bien une pupille.

zernikecittert.png
Cohérence du champ vu depuis 2 points P1 et P2 d'un écran E.
Crédit : ASM

Le facteur de cohérence

On repère un point M de la source par le rayon vecteur \mathbf{M} de coordonnées x et y. On compare la cohérence entre 2 points P_1 et P_2 de l'écran. Pour une source à grande distance (d très grand par rapport aux autres dimensions), on définit le degré de cohérence comme une fonction du profil de brillance I ( \mathbf{M}) :

\gamma_{1,2} \ = \ \gamma (\mathbf{P_1P_2}) \ = \ { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M})\ \exp \left[ -2i\pi\ { \mathbf{M} \over d}. {\mathbf{P_1P_2} \over \lambda} \right] \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M}) \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} }

Le facteur de cohérence complexe correspond à la transformée de Fourier de la distribution spatiale d'intensité de la source (théorème de Zernike - Van Cittert).

besseletendue1.png
Cohérence du rayonnement d'une source circulaire.
Crédit : ASM

Cas particulier : source circulaire

On modélise le rayonnement stellaire par une source circulaire de diamètre 2R = D \ \theta, de brillance uniforme, observée à distance D. La brillance peut être représentée par une fonction porte \Pi (r / 2R). On traite alors ce cas particulier en s'appuyant sur sa géométrie cylindrique, et l'on réécrit la cohérence entre le centre O de l'écran (centre repéré sur la normale à l'écran vers la source) et un point P tel \mathbf{OP} = \rho \mathbf{u} :

\begin{eqnarray*} \gamma_{1,2} \ =& { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \ \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} }\\ \propto & \displaystyle{\int_0^\theta \ \exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \ = \ \displaystyle{ 2 J_1 \left( 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}\right) \over 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}}\\ = & \displaystyle{ 2 J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{avec} \ \ X\ =\ 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda} \end{eqnarray*}

où l'on retrouve la fonction de Bessel J_1.

analogiediff.png
Ce schéma montre l'analogie entre le calcul de la tache de diffraction par une pupille circulaire de rayon a, et la cohérence du champ d'une source de diamètre \theta entre 2 points d'un écran séparés de b.
Crédit : ASM

Rappel sur la diffraction de Fraunhofer

Le résultat précédent ressemble furieusement à celui de la diffraction. Est-ce un hasard ?

La tache d'Airy résultant de la diffraction par une pupille circulaire rend compte de la contribution de toutes les sources secondaires à considérer sur la pupille. Plus la pupille est grande, plus les déphasages s'accumulent dès lors que l'on s'éloigne de la position centrale de l'image géométrique. Il s'ensuit que la tache de diffraction est d'autant plus piquée que la pupille est grande.

En terme de cohérence, plus une pupille est grande, plus le degré de cohérence entre 2 points de cette pupille diminue.

Une autre manière de reformuler ceci dérive de l'analyse de Fourier : plus on possède d'information sur un signal, moins ce signal est localisé. Le principe d'incertitude de Heisenberg ne dit pas autre chose : la détermination précise d'une grandeur nécessite que sa grandeur conjuguée soit étendue, la moins localisée possible.

besseletendue2.png
Etendue de cohérence : la valeur à mi-hauteur est obtenue pour X=2.
Crédit : ASM

Etendue de cohérence

La source de rayon angulaire \theta est vue depuis l'écran sous un angle solide \Omega = \pi \theta^2. Une surface S = \pi \rho^2 de l'écran correspond à une étendue de faisceau E telle que :

E\ =\ S \ \Omega \ = \ \pi \rho^2 \ \pi \theta^2 \ = \ {\lambda^2 X^2\over 4}

La valeur à mi-hauteur du facteur de cohérence correspond à X\simeq 2 : on choisit cette valeur pour définir le rayon de l'étendue de cohérence.

definitionDéfinition

L'étendue de cohérence du faisceau monochromatique vaut \lambda^2.


Simuler

coherencespaf.gif
Evolution de la cohérence spatiale en fonction des déphasage des faisceaux issus de différents points de la source.
Crédit : ASM

Visibilité fonction du degré de cohérence de la pupille

La visibilité du signal d'interférence dépend des déphasages entre les faisceaux issus des différents points de la source. Plus ces déphasages augmentent, moins le signal est cohérent.


S'exercer

qcmQCM

1)  Le diamètre angulaire d'une étoile de rayon solaire (700 000 km) à 20 pc vaut (1 mas = 1 milliseconde d'angle) :



2)  Quel diamètre de télescope mono-pupille est nécessaire pour résoudre dans le visible le disque de l'étoile alpha du Centaure, de diamètre 1.5 millions de km, située à 4.2 AL du Soleil.




Cohérence spatiale et interférométrie


Observer

disquesolaire.jpg
Disque solaire, en lumière visible. Sa brillance n'est pas tout à fait uniforme : le phénomène d'assombrissement centre-bord rend compte des conditions différentes de transfert de rayonnement entre le centre et le limbe.
Crédit : Observatoire de Paris
coherencealphaboo.png
La mesure du diamètre angulaire de l'étoile \alpha du Bouvier (Arcturus) résulte de la visibilité des franges d'interférence obtenues par interférométrie.
Crédit : Observatoire de Paris

Diamètre stellaire

L'immense majorité des disques stellaires ne peut pas être résolue par imagerie avec un seul collecteur. Il est nécessaire, pour pallier cet effet, de recourir à la technique d'interférométrie. La visibilité des franges d'interférence d'une source stellaire conduit alors de à la mesure de son diamètre.


Apprendre

objectifsObjectifs

Nombre de sources astrophysiques présentent un diamètre angulaire qui ne peut pas être résolu par une pupille unique. Mais l'interférométrie permet d'affiner la résolution angulaire, et de mesurer des diamètres stellaires.

Source ponctuelle étendue

Le diamètre d'une étoile du proche environnement solaire sous-tend un angle de l'ordre d'une milliseconde d'arc. Ce diamètre est, sauf exception, très inférieur à la largeur de la tache de diffraction dans le visible d'un télescope, même de grand diamètre. En revanche, par interférométrie, on peut avoir accès indirectement à ce diamètre, si l'on dispose d'une base suffisamment grande.

On suppose une source de brillance uniforme, circulaire de diamètre angulaire \theta, observée par 2 télescopes identiques séparés d'une base b (base projetée dans le plan perpendiculaire à la source) que l'on fait interférer.

besselfranges.png
Franges d'interférence (en violet) et fonction de visibilité (courbe rouge).
Crédit : ASM

Visibilité et mesure du diamètre stellaire

Le facteur de cohérence établi dans le cas général est usuellement dénommé visibilité. La fonction de visibilité s'écrit :

{\cal V} \ = \ {2\ J_1 (X) \over X } \ \mathrm{\ avec\ } \ X\ =\ \pi\theta\ { b\over \lambda}

b/\lambda est la fréquence spatiale.

Chaque base b conduit à une mesure de la visibilité pour la fréquence spatiale b/\lambda. Dans le cadre du modèle, où une étoile est un disque de brillance uniforme, la visibilité s'annule pour X=3.832, et donc pour une relation entre le diamètre angulaire stellaire et la fréquence spatiale telle que :

\theta\ { b\over \lambda} \ = \ 1.22

Finalement, une mesure du diamètre stellaire \theta revient à une mesure de visibilité de la figure d'interférence.

Le calcul précédent a supposé que la source présente un profil de brillance uniforme : en fait le phénomène d'assombrissement centre-bord complique un peu l'analyse. Le rôle de la diffraction ne peut bien sûr pas être négligé : toute mesure de visibilité doit être corrigée de la fonction d'appareil des collecteurs (dont la diffraction), que l'on détermine expérimentale sur une source vraiment ponctuelle (en pratique : très lointaine).

correldiffd.png
Diagramme donnant intensité en fonction de la fréquence spatiale, pour un interféromètre à 2 télescopes, de diamètre a, sur une base b. L'autocorrélation de la pupille donne accès aux hautes fréquences spatiales b/\lambda.
Crédit : ASM

Résolution angulaire

Une pupille unique est un filtre passe-bas, coupant à la fréquence spatiale a/\lambda, et donnant une résolution angulaire de \lambda /a.

Un interféromètre est donc un filtre passe-bande, qui fournit une information à la fréquence b/\lambda ; sa résolution angulaire est \lambda / b.

On retrouve ces propriétés par une analyse en terme de Fourier : le théorème de Wiener-Khintchine relie la fonction de transfert optique à la TF inverse de l'autocorrélation de la pupille.

Synthèse d'ouverture

Une mesure du facteur de cohérence complexe fournit une composante de fréquence spatiale de la source. La mesure de ce facteur à plusieurs fréquences spatiales permet la reconstruction de la distribution spatiale d'intensité de la source.


S'exercer

qcmQCM

1)  Un interféromètre de base b=200\ \mathrm{m} apporte à 2\ \mu\mathrm{m} une résolution angulaire de :



2)  Une source de diamètre angulaire 0.5 mas, observée à 1\ \mu\mathrm{m}, sera résolue pour une base de :



exerciceDiamètre stellaire

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Les figures ci-jointes illustrent la mesure de visibilité de franges d'interférence.

visibilitealphaboo.png
Courbe de visibilité de l'étoile \eta du Bouvier.
Crédit : Observatoire de Paris
visibilitepsiphe.png
Courbe de visibilité de l'étoile \psi de la constellation du Phénix.
Crédit : ESO
visibilitealphaherculis.png
Courbe de visibilité de l'étoile \alpha de la constellation d'Hercule.
Crédit : ESO
visibilitemucep.png
Courbes de visibilité de l'étoile \mu de Céphée.
Crédit : Observatoire de Paris
Question 1)

Déduire des courbes le diamètre angulaire des sources stellaires \psi Phe et \eta Boo.

Question 2)

Quelle raison physique peut expliquer que la courbe de visibilité de \alpha d'Hercule ne s'annule pas.

Question 3)

Les parallaxes de \psi Phe, \eta Boo et \alpha Her sont estimées à respectivement 10.1, 88.2, 8.5 mas. En déduire la distance de chaque étoile, puis son diamètre linéaire.

Question 4)

Discuter les courbes de la figure concernant l'étoile \mu Cep.


Réponses aux QCM

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QCM

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QCM

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QCM


Réponses aux exercices

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Exercice 'Champ objet'


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Exercice 'Observation à la table équatoriale de Meudon'


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Exercice 'Diffraction or not diffraction ?'


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Exercice 'Bonnes résolutions'


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Exercice 'Choix d'une caméra'


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Exercice 'Résolution et variable spectrale'


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Exercice 'Quelle résolution ?'


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Exercice 'Imagerie grand champ'


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Exercice 'Sur les 2 tableaux'


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Exercice 'Étendue cohérente'


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Exercice 'Diaphragme d'ouverture'


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Exercice 'Pupille d'entrée de CoRoT'


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Exercice 'Diamètre stellaire'