Ex: Lever et coucher du Soleil

Auteurs: Alain Vienne, Marc Fouchard

Auteur: Marc Fouchard

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit les repères orthonormés suivants :

$\mathbf{\mathcal{R}}_{SH}$ le repère $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OT})$ , où $\overrightarrow{OT}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OS}$ dans le plan et tel que l'angle $\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OT}}$ soit inférieur à $\pi/2$ en valeur absolue et $\overrightarrow{OU}$ complète un repère orthonormé direct.
$\mathbf{\mathcal{R}}_M$ le repère $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OP})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_H$ le repère $(\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest},\overrightarrow{OP})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_{SL}$ le repère $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OV},\overrightarrow{OW})$ , où $\overrightarrow{OW}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OS}$ dans le plan et tel que l'angle $\widehat{\overrightarrow{OZ},\overrightarrow{OW}}$ soit inférieur à $\pi/2$ en valeur absolue et $\overrightarrow{OV}$ complète un repère orthonormé direct.
$\mathbf{\mathcal{R}}_N$ le repère $(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OV},\overrightarrow{OZ})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_L$ le repère $(\overrightarrow{O\mathcal{S}ud},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest},\overrightarrow{OZ})$ .

Le but de l'exercice est d'établir relations entre les coordonnées horaires et coordonnées locales du Soleil en utilisant des matrices de rotation entre les différents repères.

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_{SH}$ au repère $\mathcal{R}_M$ par une rotation d'angle $-\delta$ et d'axe $\overrightarrow{OU}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{M}$ de la base de $\mathcal{R}_{SH}$ à celle de $\mathcal{R}_M$ .

Solution

Question 2)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_M$ au repère $\mathcal{R}_H$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OP}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{N}$ de la base de $\mathcal{R}_{M}$ à celle de $\mathcal{R}_H$ .

Solution

Question 3)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_{SL}$ au repère $\mathcal{R}_N$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OV}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{P}$ de la base de $\mathcal{R}_{SL}$ à celle de $\mathcal{R}_N$ .

Solution

Question 4)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_N$ au repère $\mathcal{R}_L$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OZ}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{Q}$ de la base de $\mathcal{R}_{N}$ à celle de $\mathcal{R}_L$ .

Solution

Question 5)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_H$ au repère $\mathcal{R}_L$ par une rotation d'angle $\pi/2-\varphi$ et d'axe $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{T}$ de la base de $\mathcal{R}_{H}$ à celle de $\mathcal{R}_L$ .

Solution

Question 6)

Ecrire les coordonnées de en fonction de $\delta$ et dans $\mathcal{R}_H$ .

Solution

Question 7)

Ecrire les coordonnées de en fonction de et dans $\mathcal{R}_L$ . Puis les coordonnées de dans le repère $\mathcal{R}_H$ en fonction de h, A et $\varphi$ . En déduire trois relations, dépendant de $\varphi$ , entre les coordonnées horaires et les coordonnées locales du Soleil.

Solution

Question 8)

En déduire les valeurs de l'angle horaire au moment du lever et du coucher du Soleil en fonction de $\varphi$ et $\delta$ .

Solution

Question 9)

En déduire les valeurs de (mesuré entre -12h et +12h) et de la durée du jour au moment des équinoxes ( $\delta =0$ ), du solstice d'été $\delta= 23,5^{\circ}$ et du solstice d'hiver ( $\delta=-23,5^{\circ}$ ) en un point de latitude $\varphi=50^{\circ}$ (approximativement la ville de Lille, France)

Solution