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Ex : astrolabe |
AstrolabeDifficulté : ☆☆ Temps : 2h
L'astrolabe est basée sur la projection stéréographique d'une sphère sur un plan. On considère ici la projection de pôle céleste sud 
. Un point 
de la sphère aura pour image, le point 
intersection de la droite 
avec le plan 
passant par le centre de la sphère 
et perpendiculaire à la droite 
reliant les pôles. La figure suivante illustre cette projection.
Quelle est l'image du pôle 
? Quelles sont les points invariants par cette projection ?
On définie un repère sur le plan 
, centré en 
, l'axe des abscisses est dirigé vers l'origine des angles horaires sur l'équateur céleste et l'axe des ordonnées fait un angle de 
dans le sens trigonométrique vu du pôle céleste Sud. On utilisera alors un système de coordonnées polaires 
pour placer un point sur 
Soit 
un point de 
, de coordonnées 
où 
est l'angle horaire et 
la déclinaison. Montrer que les coordonnées polaires de son image 
sont 
.
Montrer que la projection d'un cercle 
passant par le pôle céleste Sud 
est une droite.
Soit 
et 
deux points de 
. Soit 
le cercle de 
passant par ces points. On suppose que 
n'est pas un grand cercle. Il existe donc un cône de sommet 
tangent à 
en 
. Soit 
l'image de 
par projection sur 
. La droite 
coupe le plan 
en 
. Enfin, on appelle 
, le plan tangent à 
en 
. La droite 
, coupe le plan 
en 
, et la droite 
coupe le plan parallèle à 
passant par 
en 
. La figure ci-dessous montre la construction.
Montrer que 
. En déduire que 
puis que 
. En déduire que l'image de 
est un cercle.
On suppose maintenant que le cercle 
est un grand cercle.
Les tangentes en tout point de 
sont maintenant parallèles. 
n'est plus défini, mais on peut encore construire le plan 
et le point 
. On appelle 
le point où la parallèle à 
passant par 
coupe la plan 
et 
, le point où la droite 
coupe le plan 
. Voir la figure ci-dessous.
Montrer que 
. En déduire de nouveau que l'image de 
est un cercle.
On définit un cercle 
de 
par son centre 
et son rayon 
qui correspond en fait à l'angle sous lequel est vu le rayon depuis le centre 
de la sphère 
. On suppose que ![z\in]0,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation162.png)
. La figure ci-dessous illustre la situation.
On considère le grand cercle passant par 
, ayant pour coordonnées horaires 
, et 
, coupant 
en 
et 
. Déterminer les coordonnées horaires de 
et 
.
Montrer que les images 
et 
de 
et 
sont diamétralement opposées.
Ceci permet donc de construire facilement la projection du cercle, puisque connaissant 
et 
on peut déterminer le rayon et le centre du cercle projeté.
Ces propriétés permettent de construire facilement des cercles de latitude constante par rapport à l'équateur, comme les tropiques.
On connaît les coordonnées du Zénith (
et 
). Ainsi, il est facile de tracer la projection de l'horizon puisqu'il correspond à un cercle de 
de centre 
et de rayon 
. De même différents cercles de hauteur constante 
par rapport à l'horizon peuvent être obtenus en changeant la valeur de 
(on prend 
).
Les projections des méridiens par rapport à l'équateur sont aussi faciles à tracer puisqu'ils correspondent à des demi-grands cercles passant par le pôle céleste sud 
. Les projections correspondent donc à des demi-droites. On doit juste faire attention au fait qu'en astronomie le méridien d'origine par rapport à l'équateur correspond à celui qui contient le point vernal. Or, l'angle horaire du point vernal, appelé temps sidéral et noté 
, varie dans le temps. Ainsi les projections des méridiens équatoriaux vont tourner en même temps que 
.
On souhaite maintenant tracer la direction des points cardinaux Sud, Sud-Ouest, Ouest, Nord-Ouest, Nord, Nord-Est, Est, Sud-Est. Ces directions sont par définition sur l'horizon céleste, et leur azimut (voir la partie sphère céleste dans le préambule) respectives sont 
. On doit donc seulement calculer les coordonnées horaires de ces points pour pouvoir déterminer leur projection. Calculer donc les coordonnées horaires d'un point 
de l'horizon céleste d'azimut 
en un lieu de latitude 
On veut maintenant construire la projection des méridiens par rapport à l'horizon céleste. Soit donc le méridien d'azimut 
et le méridien d'azimut 
. Justifier que ces deux méridiens forment un grand cercle 
de 
, dont on déterminera le centre sur 
et le rayon. Ceci permet de construire facilement la projection des méridiens d'après ce qu'on a vu précédemment.
La trajectoire apparente du Soleil vue depuis la Terre est dans un plan appelé écliptique. L'inclinaison entre le plan de l'écliptique et le plan de l'équateur est constante et est appelée obliquité, notée 
. Les variations de l'obliquité sont tellement faibles qu'on peut la supposer constante ici. La droite d'intersection entre ces deux plans passe par le point vernal et le centre de la sphère céleste 
.
En s'aidant d'un dessin, déterminer les coordonnées équatoriales, puis les coordonnées horaires du pôle de l'écliptique 
ayant une déclinaison positive.
En déduire la méthode pour construire la projection de l'écliptique.
On suppose que le mouvement apparent du Soleil sur l'écliptique se fait de manière uniforme . Sachant que le 22 Mars de chaque année, le Soleil se trouve au point vernal, et que le mouvement se fait à ascension droite croissante au cours de l'année, déterminer les coordonnées équatoriales du Soleil, en fonction de la date du jours. En déduire ses coordonnées horaires.
On utilisera la relation suivante valable dans un triangle sphérique de sommet 
et de côté 
(
étant le côté opposé au sommet 
, etc.) où 
(voir la figure ci-dessous) :
.
 |  |
.
est le centre de la sphère 
. L'ensemble des points invariants sont les points intersection de la sphère céleste 
avec le plan 
. C'est l'équateur céleste.
qui contient aussi le point 
et le pôle céleste nord 
.
et 
les coordonnées polaires de 
.
Le point 
est dans demi-plan méridien passant par 
. Comme ce demi-plan permet de définir l'angle horaire 
et que l'origine des angles horaires et des angles polaires dans 
est la même, on a bien 
.
On se place alors dans le plan 
. Le triangle 
est isocèle en 
(voir la figure ci-dessous). Ainsi On en déduit que 
. Le triangle 
étant rectangle en 
, on a donc: 
. On peut remarquer que cette formule est valable quelque soit ![\delta\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation59.png)
.
d'un point.
le plan contenant le cercle 
Comme 
contient aussi 
, on en déduit que les images des points de 
sont dans 
et par définition ils sont aussi dans 
. L'intersection de deux plans étant une droite, on remarque que les images de 
se trouvent bien sur une droite, notée 
.
un point de 
. La droite 
coupe le cercle 
en un point 
autre que 
puisqu'elle n'est pas tangente à 
. Ainsi, 
est l'image de 
par la projection. Donc l'image de 
est la droite 
toute entière.
et 
étant deux tangentes à 
, on a bien 
(facilement démontré en utilisant le théorème de Pythagore aux triangles 
et 
). Les triangles 
et 
sont en configuration de Thales. Comme 
on a bien 
. De même, les triangles 
et 
forment une autre configuration de Thales, donc : 
. Ainsi 
. Ainsi la distance 
est indépendante de la position du point 
sur 
, tout comme l'est la distance 
.
Donc le point 
se trouve sur un cercle de centre 
. On voit que tout le cercle est obtenu lorsque 
décrit 
.
et 
sont en configuration de Thales. On a donc:
. Puis, avec la configuration de Thales des triangles 
et 
on a 
.
De nouveau on a bien l'image de 
qui est un cercle de centre 
.
.
et 
sont sur le même méridien que 
(ou sur le méridien opposé). Ainsi,
la latitude est obtenue à partir de celle de 
en ajoutant où en retranchant 
. Mais la latitude finale doit toujours être comprise dans l'intervalle ![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation177.png)
. Si elle est en dehors de cet intervalle alors, il faut prendre la latitude opposée et lui ajouter 
, et aussi prendre l'opposé de la longitude.
et 
.
est obtenue en ajoutant 
et 
en retranchant 
à 
on a :
et 
si 
et
et 
si 
,
: 
et 
si 
et
et 
si 
.
des constructions précédentes , et centre de la projection du cercle, se trouve dans le plan 
et dans le plan 
. Or ces deux plans sont confondus. Donc, les points 
, 
et 
sont sur la droite intersection des plans 
et 
. Ils sont donc alignés. 
et 
sont donc deux points distincts d'un cercle alignés avec le centre du cercle, ils sont donc diamétralement opposés.
se trouvant sur l'horizon céleste, on a 
. La déclinaison étant dans l'intervalle ![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation233.png)
, elle est complètement déterminée par son sinus. Ainsi en utilisant la 4ème relation des équations données dans le 
, où la fonction 
est la réciproque de la fonction sinus. Comme cette fonction est à valeur dans ![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation236.png)
, 
est complètement déterminé par cette relation.
, la 5ème relation des équations données dans le 
. Cette relation n'est pas définie pour les pôles (
), mais dans ce cas l'angle horaire 
n'est pas définie non plus. D'autre part, on sait que la projection du pôle céleste nord est le centre de la sphère 
, alors que le pôle céleste sud est le seul point de la sphère céleste pour lequel la projection n'est pas définie.
. On sait que ![H_o\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation246.png)
, alors que 
est dans l'intervalle ![[0, 2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation248.png)
. Mais on sait que 
est aussi solution de l'équation pour 
. Pour choisir quelle est la bonne solution, on doit utiliser la 6ème relation des équations données dans le 
. Mais seul le signe de cette quantité nous intéresse puisque 
, alors que 
. Or comme ![\delta\in]-\pi/2,\pi/2[](../pages_trigo/equations_trigo/equation254.png)
(les pôles sont exclus), 
. Ainsi si 
, on prend 
si 
et 
(qui est toujours solution, par périodicité, des deux équations que 
doit vérifier) si 
. Et si 
, on prend 
si 
et 
si 
.
. Comme c'est un grand cercle son rayon est 
(en tant que cercle de 
). Son centre, sur la sphère, se trouve donc sur l'axe des pôles du grand cercle. Cette axe est perpendiculaire au plan contenant le grand cercle et il passe par le centre de la sphère, il est donc compris dans le plan de l'horizon céleste et est perpendiculaire à la droite d'intersection entre le grand cercle défini par les méridiens et l'horizon céleste. On en déduit que son azimut est égal à 
(deux solutions possibles).
est tout simplement 
. Son ascension droite est 
, ainsi d'après la relation donnée dans le 
est 
.
, centré en 
et de rayon 
.
, le Soleil et le point d'intersection entre le méridien équatorial passant par le Soleil et l'équateur céleste. On a ainsi le triangle sphérique suivant:
avec 
égal au nombre de jours écoulés depuis le 22 mars (le nombre de jours dans une année étant égale à 365,25) et le symbole 
se réfère au Soleil.
![\delta_\odot\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation298.png)
, sa valeur est complètement déterminée par l'inversion de la première équation.
, si 
alors ![\alpha_o=\tan^{-1}(\cos \varpi \tan l) \in ]-\pi/2,\pi/2[](../pages_trigo/equations_trigo/equation301.png)
est solution de la deuxième équation, ainsi que 
. Mais en remarquant que si 
alors 
, on en déduit que si 
alors 
, sinon 
. Si 
alors 
. On prendra bien soin ensuite de transformer 
en un angle compris dans l'intervalle ![[0,2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation311.png)
.
.
Fin de la construction