Ex: Cycles astronomiques et fractions continues

Auteur: Alexandre Pousse

Propriété des réduites

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Soient $(p_n)_{n\geq 0}$ et $(q_n)_{n\geq 0}$ , deux suites d'entiers. Rappelons la propriété sur les réduites donnée dans le cours:

si $p_{-1}=1$ , $p_{0}=a_0$ et $\forall n \geq 1~~p_n = a_np_{n-1} + p_{n-2}$ ,

et si $q_{-1}=0$ , $q_{0}=a_0$ et $\forall n \geq 1~~q_n = a_nq_{n-1} + q_{n-2}$ ,

alors $\forall n \geq 0~~ \frac{p_n}{q_n} = [a_0;a_1;a_2;a_3;...a_n]$ .

Question 1)

Démontrer la propriété des réduites.

Solution

Auteur: Alexandre Pousse

Une meilleure approximation de l'année tropique

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Une année tropique correspond au temps s'écoulant entre deux équinoxes de printemps, c'est-à-dire 365.24219052 jours (année tropique moyenne à J2000). C'est donc l'année permettant "le retour des saisons" au mêmes dates et donc compensant le phénomène de précession des équinoxes.

En effet, avant la réforme du calendrier par Grégoire XIII au XVI^e siècle, le calendrier était le calendrier Julien, établi par l'astronome Sosigène d'Alexandrie et comportant 365.25 jours (année bissextile tous les quatre ans). Cela impliquait un décalage d'un jour tous les 128 ans, d'où modification de la date de retour des saisons.

L'idée de cet exercice est de comprendre le calendrier utilisé aujourd'hui, puis de trouver par l'intermédiaire d'une fraction continue une valeur plus stable de l'année.

Question 1)

L'année grégorienne correspond à 366 jours les années multiples de quatre et non multiples de cent sauf les année multiples de quatre cents. Sinon, l'année vaut 365 jours.

Établir la valeur et la fraction représentant la partie décimale de l'année grégorienne.

Solution

Question 2)

On définira la notion de stabilité comme l'écart la durée de l'année estimée et la durée de l'année tropique moyenne. Le réel obtenu permet de déduire le décalage du retour des équinoxes.

Évaluer la stabilité du calendrier grégorien. Au bout de combien de temps le calendrier se décale d'un jour?

Solution

Question 3)

En utilisant la méthode d'approximation des nombres à l'aide d'une fraction continue, trouver une nouvelle définition de l'année beaucoup plus stable que l'année grégorienne. Proposer une méthode d'application pour remplacer le calendrier actuel.

Solution

Auteur: Alexandre Pousse

L'automate de Huygens

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Christian Huygens, mathématicien et astronome du XVII^e siècle, souhaitait réaliser un automate planétaire permettant de modéliser l'évolution du système solaire au cours du temps (en approximation circulaire). À cet époque, le système solaire ne comprend que 6 planètes (Mercure, Venus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Rappelons qu'un automate est un système composé d'une manivelle reliée à différents rouages, chacun associé à la période de révolution d'une planète par leur nombre de dents.

Lors de la conception de cet objet, Huygens se retrouve confronté à une difficulté: le rapport de l'année terrestre et de celle de Saturne. Combien faut-il de dents sur les deux engrenages pour décrire convenablement le mouvement de la Terre et de Saturne au cours de leur révolution?

Question 1)

Dans l'approximation d'orbites circulaires, poser l'équation diophantienne du problème de l'automate.

Solution

Question 2)

Sur son orbite, la Terre parcourt un angle $\mu = 359\deg45'40''31'''$ en un an. De même en un an, Saturne réalise $\lambda = 12\deg 13'34''18'''$ (Ce sont les valeurs de l'époque).

Établir la fraction rationnelle donnée par le rapport $\frac{\mu}{\lambda}$ . Est-il raisonnable de réaliser deux engrenages associés à cette fraction?

Solution

Question 3)

Maintenant, afin de supprimer ce problème technique, introduire la notion de fraction continue pour résoudre le problème par approximation diophantienne.

Solution

Question 4)

Huygens définit la notion de stabilité comme le décalage entre l'angle parcouru par Saturne sur son automate et dans la réalité après que la Terre ait réalisé 100 révolutions.

À l'aide d'un développement en fraction continue, proposer un engrenage satisfaisant d'un point de vue technique (au delà d'un millier de dents, la réalisation est difficile) et stable au sens de Huygens.

Solution

Auteur: Alexandre Pousse

Le cycle de Saros

Difficulté : ☆ Temps : 60 min

Un cycle de Saros correspond à 223 lunaisons. C'est une période associée au retour d'une éclipse de Soleil (resp. de Lune) après une éclipse totale. Ainsi, si une éclipse a lieu à un instant t alors il est possible de prédire qu'au temps t+223 lunaisons il s'en reproduira une autre.

L'idée de cet exercice est de comprendre et de retrouver pourquoi nous avons ce nombre de 223 lunaisons pour le retour d'une éclipse.

Question 1)

Définir géométriquement la notion d'éclipse de Lune (resp. de Soleil) vu de la Terre (avec la notion de droite ou de plan par exemple).

Solution

Question 2)

Caractériser la notion d'éclipse en terme de position de la Lune sur son orbite ainsi que de son éclairement relatif à la Terre.

Solution

Question 3)

Introduisons deux notions pour la détermination de cycle de Saros.

Le mois draconitique, c'est le temps que met la Lune à partir du noeud ascendant pour y revenir. La durée du mois draconitique est de $\mu = 27.212221~\mbox{j}$ .

Le mois synodique ou lunaison est le temps entre deux nouvelles Lunes successives. Sa durée est d'en moyenne $\lambda = 29.2953089~\mbox{j}$ .

Dans l'approximation d'orbites circulaires, poser l'équation diophantienne du problème du retour d'éclipse.

Solution

Question 4)

Introduire la notion de fraction continue pour résoudre le problème par approximation diophantienne.

Solution

Question 5)

Rappelons que le diamètre de la Lune et du Soleil vu de la Terre est de 30' d'arc.

Établir l'erreur de coincidence maximal pour que l'on ait une éclipse (on considère qu'une éclipse partielle est encore une éclipse).

Solution

Question 6)

Développer la fraction continue jusqu'au terme adéquat (évaluation des réduites et contrôle de l'erreur de coïncidence).

Solution

Question 7)

Conclure sur la notion de cycle de Saros.

Solution

Question 8)

Vous vous rappelez peut-être de l'éclipse totale de Soleil du 11 août 1999 (éclipse totale de la Normandie à l'Alsace en France et partielle au voisinage de cette bande). Déterminer quand cette configuration va t-elle se reproduire? Va t-elle avoir lieu aux mêmes longitudes?

Solution