Les lois de Newton : Page pour l'impression

Suite aux idées de Copernic, aux observations de Tycho Brahe, aux lois empiriques de Kepler et aux lois du mouvement de Galilée, Newton expose sa théorie de la gravitation. Incontournable, à plus d'un titre, pour comprendre les mouvements en astrophysique.

Les différents aspects des anneaux de Saturne au cours d'une révolution de la planète.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris.

Un rappel du formalisme mathématique et physique des trajectoires rencontrées dans le problème à 2-corps est donné en fin de sous-chapitre.

Le système de Ptolémée

Les epicycles de Ptolémée permettent de rendre compte de l'allure générale des mouvements planétaires vus depuis la Terre. Sans l'énoncer explicitement, l'introduction de ces epicycles permet rendre compte de 2 effets :

la non circularité des orbites autour du soleil
le mouvement relatif de la Terre autour du Soleil

Epicycles de Ptolémée

Les epicycles de Ptolémée ont pour but d'introduire dans la description du mouvement des planètes une contribution due à la rotation de la Terre autour du Soleil. On compte 12 festons sur la "marche" de Jupiter, 29 sur celle de Saturne, ces planètes ayant pour périodes respectives de l'ordre de 12 et 29 ans. En première approximation, les courbes se referment, ce qui suppose des périodes de valeurs exactement multiples de l'année... ce qui n'est pas le cas.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le système héliocentrique de Copernic

Le système de Copernic laisse au Soleil sa position ; en conséquence, les orbites planétaires apparaissent quasiment circulaires.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le système de Copernic

Par rapport à une vision géocentrique, dans le système héliocentrique la Terre cède sa position centrale au Soleil. Les orbites planétaires sont alors simplifiées, par rapport à une vue géocentrique : elles apparaissent à peu près circulaires, avec le Soleil au centre du système.

La combinaison des mouvements de la Terre et de Mars autour du Soleil introduit le phénomène de rétrogradation, lorsqu'à l'opposition la Terre "double" Mars, dans une vue géocentrique.

Reconsidérer l'orbite martienne dans le référentiel héliocentrique permet une description bien plus simple de la trajectoire. Cette "simplicité", synonyme d'un formalisme efficace et prédiction, a conduit au succès du système construit sur une vision héliocentrique, un cadre galiléen, une explication newtonienne de la gravitation.

La rétrogradation de Mars

Le mouvement de Mars, au voisinage de l'opposition, vu de la Terre ou vu du Soleil.

Crédit : ASM

Objectifs

Passer de Ptolémée à Newton représente un changement de paradigme. La vision du monde est changée. Le désir de comprendre le monde supplante une vision systématique du monde. L'observation prime sur l'idée préconçue, le formalisme suit les observations.

De Ptolémée à Copernic

On peut résumer le passage de Ptolémée à Copernic par un changement de référentiel.

Ptolémée a formalisé une théorie efficace, quoique très inexacte, avec la Terre au centre de l'Univers, et un système complexe basé sur des successions de mouvements plans et circulaire pour interpréter le mouvement des planètes. Ce système était nécessaire pour construire, à partir d'observations menées sur Terre (!), une théorie géocentrée.
Copernic a introduit le cadre : une vision héliocentrique est plus appropriée qu'une vision géocentrique. Les orbites des planètes autour du Soleil, du coup, restent quasi circulaires. L'effort théorique est considérable, et le gain scientifique inestimable.

Epicycle engendré par la rotation, sans glissement, d'une roue sur une autre.

Crédit : ASM

Epicycle engendré par deux mouvements circulaires emboîtés, le centre de l'un parcourant la circonférence de l'autre.

Crédit : ASM

Mouvements épicycloidaux

Un mouvement épicycloïdal est décrit par une succession de mouvement circulaires imbriqués. Différents cas sont possibles : roulement d'un cercle sur un autre, entraînement d'un cercle autour d'un autre.

Géo- versus hélio-centrique

Deux façons de voir le mouvement d'une planète... L'objet reste le même (Jupiter vu depuis la Terre), mais le référentiel change. Remarquer, dans le système de Ptolémée, comment le mouvement apparent du Soleil entraîne celui de Jupiter.

Crédit : ASM

Ptolémée versus Copernic

La comparaison du mouvement de Jupiter vu par Ptolémée ou Copernic montre le gain qualitatif de l'approche copernicienne. Les épicycles décrivant l'orbite jovienne dans un référentiel géocentré ne sont jamais que la combinaison de 2 mouvements circulaires successifs.

Le role central du Soleil

La vision héliocentrique de Copernic a permis à Kepler de déterminer précisément l'orbite de Mars.

Mesure de l'orbite de Mars

Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris et ASM

Un autre centre

Galilée, ayant acquis une lunette précise (pour l'époque), l'a tournée vers le ciel. Il a remarqué combien le voisinage de Jupiter était changeant, avec le ballet des 4 satellites... galiléens.

Ballet autour de Jupiter ?

Notes de Galilée, avec l'aspect de Jupiter et de son voisinage à différentes dates

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Ballet autour de Jupiter !

Les observations de Jupiter par Galilée, ordonnées en une sorte de film, montrent sans équivoque le mouvement des satellites autour de la planète.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Objectifs

Un bon cadre théorique, de bonnes observations, et beaucoup de patience... les ingrédients qui ont permis d'identifier une loi physique universelle.

De Copernic à Newton

Copernic a introduit le cadre : une vision héliocentrique est plus appropriée qu'une vision géocentrique. Les orbites des planètes autour du Soleil restent circulaires.
Tycho Brahe a apporté des observations d'une précision inégalée.
A partir du système de Copernic et des observations de Tycho Brahe, Kepler a énoncé ses 3 lois, qui décrivent le juste mouvement des planètes du système solaire.
Galilée a développé les équations du mouvement, qui relient, dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un système à la résultante de forces auxquelles il est soumis.
Newton a précisé alors la notion d'interaction gravitationnelle, et énoncé le formalisme définissant la gravitation... newtonienne.

Galilée

Galilée (1564-1642) était un physicien. Il étudia la mécanique et la dynamique des corps en mouvement, démontra l'invariance du module du champ de pesanteur terrestre à la surface du globe, et établit la loi de l'inertie : tout corps isolé, non soumis à une force extérieure, est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Durant l'hiver 1609/1610, Galilée pointa le ciel avec une lunette construite par ses soins. Ses nombreuses découvertes vont bouleverser la vision de l'univers de l'époque : il observa des taches sur le Soleil, des cratères sur la Lune, les phases de Vénus, une multitude d'étoiles dans la Voie lactée et des satellites autour de Jupiter. Cette dernière découverte donnait le coup de grâce au géocentrisme.

Newton

Isaac Newton (1643-1727) réussit à unifier les diverses théories de ses prédécesseurs. En 1687, il publia l'ensemble de ses travaux reliant la mécanique et l'astronomie dans son oeuvre majeure, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, désignée par "Les Principes".

Il montra le caractère universel de la loi de la gravitation, expliquant aussi bien la chute d'un corps sur Terre, l'oscillation du pendule que les mouvements de la Lune et des planètes. Il fut également l'inventeur du premier télescope à miroir exempt des aberrations des lunettes réfractrices utilisées jusqu'alors.

Ballet

Le ballet des satellites galiléens (observations (sans interruption diurne !) et reconstruction du mouvement horaire) a montré à Galilée que décidément le Soleil n'était pas le seul centre de force.

Le ballet des satellites galiléens

Comme les orbitaux des satellites sont confondus avec le plan équatorial de Jupiter, lui même très voisin du plan orbital jovien, quasiment confondu avec l'écliptique, les traces des satellites apparaissent souvent quasi rectilignes (représentées ici d'après les éphémérides fournies par l'IMCCE pour le mois de janvier 2003). Les diamètres de Jupiter (immobile) et des 4 satellites (Io en orange, Europe en vert, Ganymède en bleu clair et Callisto en bleu foncé) ne sont pas à l'échelle.

Crédit : ASM

Voir la légende de l'animation précédente. Les traits horizontaux représentent un intervalle de temps d'un jour.

Crédit : ASM

Un nouveau centre de force

En 1610, Galileo Galilei utilise, pour la première fois, une lunette pour l'observation du ciel. Il découvre un étrange ballet autour de Jupiter, qui évolue au fil des nuits. Cette découverte conforte les idées coperniciennes : il existe visiblement d'autres centres de force que le Soleil ou la Terre.

Cahier d'observation

Comme le montrent les différents croquis établis au fil des nuits, l'environnement de Jupiter présente un décor changeant. Alors que le déplacement apparent de la planète par rapport aux étoiles entraîne un renouvellement permanent du "décor de fond", quatre objets (les principaux satellites de Jupiter, dit galiléens) évoluent autour de Jupiter. Leurs périodes de révolution (de 1.7 j pour Io à 16 j pour Callisto) assurent une nouvelle configuration de nuit en nuit.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

A deux c'est mieux !

L'approximation du système à 2 corps consiste à supposer le système isolé du reste de l'univers, càd à négliger toute autre interaction. Cette approximation est souvent vérifiée, au moins en première approximation, à ne nombreuse échelles.

Cette prégnance du système à 2 corps est ici illustrée à diverses échelles :

Planétaire : le système Terre-Lune
Stellaire : plus de 2/3 des étoiles vivent en couple. Ici le couple Sirius A et B
Galactique : la galaxie Messier 51 et son satellite

Le système Terre-Lune

Le système Terre-Lune. La dynamique du système relève essentiellement du problème à 2 corps, perturbé par le caractère non ponctuel des objets ( effet de marée), et les autres potentiels gravitationnels du système solaire.

Crédit : NASA

Etoile double

Le couple Sirius A - Sirius B : Sirius A est une étoile de type A1V, Sirius B une naine blanche. Leur séparation est de l'ordre de 20 AU, pour une période orbitale de 50 ans. L'image en X obtenue par le satellite Chandra (NASA) permet de visualiser les 2 composantes, qui dans le visible présentent un contraste de 10 magnitudes.

Crédit : NASA

Etoile double

La dynamique de ce système stellaire Sirius A et B relève du problème à 2-corps. La révolution orbitale (période de 50.1 ans, excentricité 0.59) se superpose au mouvement apparent du système.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

La galaxie M51 et son satellite

L'étude du mouvement relatif des 2 galaxies (M51 et son satellite) relève en première approximation du problème à 2 corps, contrairement à la compréhension fine des trajectoires stellaires individuelles.

Crédit : CFHT

Prérequis

Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle

Objectifs

Le but de cette page n'est pas de reprendre le formalisme du système à 2 corps (se référer à un cours de physique), mais de voir en quoi il est fécond, et cerner son domaine de validité.

Le système à 2 corps : une approximation féconde

Le problème à 2 corps peut être traité dans le référentiel barycentrique du système. Comme le système est supposé isolé, ce référentiel barycentrique est bien galiléen.
La rotation des 2 corps l'un autour de l'autre, ou autour du barycentre, peut être décrite analytiquement
Si un corps est de masse négligeable, on confond souvent le barycentre du système avec le corps massif. Mais ça ne marche pas toujours. La détection des exoplanètes en est un contrexemple flagrant.
Le problème à 2 corps, c'est le paradis des lois de Kepler

Le problème à 2 corps : caractéristiques

Le problème à 2 corps dénie toute structure aux 2 objets : ils doivent être considérés comme de simples points matériels. L' effet de marée ne se comprend qu'en introduisant la structure interne du corps qui subit la marée, càd un champ gravitationnel non uniforme.
Le problème à 2 corps n'est qu'une approximation : sa validité peut être exemplaire à court terme, mais inopérante à long terme. Par exemple, l'avenir du système Terre-Lune ne peut être précisément déterminé qu'en tenant compte des perturbations extérieures dues aux objets massifs du système solaire.

La trajectoire de la Lune

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales de la Lune et de la Terre, ainsi que

objet	masse	distance	distance
	(kg)	au soleil (km)	à la Terre (km)
Soleil	$M_S = 2.0\ 10^{30}$
Terre	$M_T = 6.0\ 10^{24}$	$150\ 10^6$
Lune	$M_L = 7.3\ 10^{22}$	$150\ 10^6$	$380\ 10^3$

Question 1)

Déterminer l'énergie potentielle et la force d'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Lune, puis entre la Terre et la Lune. Les calculer et les comparer.

Question 2)

Autour de quel corps la Lune tourne-t-elle ?

Dynamique à N-corps

L'hypothèse 2-corps est bien commode... mais s'avère la plupart du temps trop restrictive, à toute échelle : systèmes planétaires, stellaires, galactiques...

Amas d'étoiles

La dynamique des étoiles de cet amas globulaire (NGC 6093) ne peut s'étudier qu'en considérant l'ensemble des composantes.

Crédit : HST

Exemple : les anneaux planétaires

La dynamique des anneaux planétaires nécessite un cadre formel plus complexe que le problème à 2 corps. Souvent, les satellites présentent des orbites résonantes, tels Prométhée et Pandore, gardiens de l'anneau F, avec une résonance 121:118 (Prométhée accomplit 121 révolutions quand Pandore n'en fait que 118).

Prométhée, Pandore, gardiens de l'anneau F

L'anneau F de Saturne est confiné par ses gardiens Prométhée et Pandore. L'action répétée du balayage des satellites conduit à repousser la matière qui aurait tendance à s'étaler radialement.

Crédit : NASA

Perturbations

Les perturbations du problème à 2-corps, typiquement lorsqu'un 3e s'en mêle, ont conduit à de beaux résultats, comme par exemple la découverte de Neptune.

L'orbite d'Uranus apparaissant perturbée par rapport au mouvement attendu (képlérien autour du Soleil, déjà perturbé par les géantes Jupiter et Saturne), le calcul a permis de localiser le perturbateur, en l'occurrence Neptune ainsi dévoilé.

Positions prédite et observée pour Neptune, perturbateur d'Uranus.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

L'écart entre les positions angulaires observée et prédite de Neptune résultait essentiellement de l'indétermination sur le demi-grand axe de sa trajectoire.

Calculs d'orbite de Neptune, et orbite réelle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Prérequis

Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle

Objectifs

Contrairement au problème à 2 corps, les problèmes à 3 corps et N-corps ne sont pas analytiquement solubles. Ils sont ici très simplement présentés.

Le problème à 3 corps

On devine que le problème à 3 corps, c'est le problème à 2 corps avec un 3ème que l'on n'arrive pas à négliger.

P.ex., l'évolution à long terme du système Terre-Lune doit tenir compte du Soleil.

L'interaction entre 2 satellites autour d'une planète s'inscrit dans ce cadre également.

Le problème à N-corps

Le problème à N-corps va recouvrir tous les autres cas, où l'approximation 2 ou 3 corps ne marche pas.

On note par exemple :

La dynamique stellaire dans un amas d'étoiles
La dynamique stellaire dans une galaxie elliptique
La dynamique dans un amas de galaxies

Modélisations numériques et méthodes statistiques permettent une approche du problème à N-corps.

Résonances

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La dynamique des satellites et anneaux planétaires présente de nombreux cas de résonance, lorsque les périodes orbitales des différents objets sont dans des rapports simples, souvent du type n:n+1 .

L'orbite du satellite Galatea de Neptune a un demi-grand axe de 61953 km. Les arcs d'anneaux de la planète Neptune occupent une orbite plus éloignée de 984 km.

Question 1)

Montrer que, si le rapport des demi-grands axes des anneaux et de Galatea s'écrit sous la forme 1+x , avec petit, alors le rapport des périodes vaut 1+3x/2 .

[1 points]

Question 2)

Déterminer la résonance en cause, en identifiant l'entier naturel tel que le rapport des périodes soit égal à (n+1)/n . Montrer au préalable que n = 2/3x .

[1 points]

Question 3)

Faire l'application numérique et identifier l'entier .

[1 points]

Universel ?

Que signifie universel dans l'expression gravitation universelle ? Que la loi semble s'appliquer à toute échelle dans l'Univers, de la pomme de Newton à la Lune et aux systèmes les plus lointains.

Aujourd'hui, on ne dirait plus universelle, mais unifiée.

Avant que la gravitation soit universelle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Prérequis

Relation fondamentale de la dynamique ; notion de référentiel galiléen

La force d'interaction gravitationnelle

Définition

L'interaction gravitationnelle entre deux corps et de masse M_A et M_B , séparés par la distance $r_{AB}$ :

est colinéaire à la direction AB
est attractive
se traduit par une force, de A sur B, opposée à celle de B sur A, égale algébriquement à :

$F\ =\ - { {\mathcal{G}}}\ {M_A M_B \over r_{AB}^{2}}$

Le potentiel gravitationnel

Un objet sphérique de masse , rayon , crée un potentiel gravitationnel :

$U(r)\ =\ - { {\mathcal{G}} M\over r}$

Cette expression suppose implicitement un potentiel nul à l'infini. Cette convention, arbitraire comme toute convention, peut se justifier par divers arguments :

Le modèle suppose l'absence de toute masse perturbatrice à proximité.
L'histoire des corps condensés de l'Univers débute dans un état de matière très dilué, tellement plus dilué que l'état condensé final que l'on peut considérer les constituants initialement à l'infini, càd très éloignés les uns des autres.
Argument a posteriori : on peut ainsi distinguer un système gravitationnellement lié par son énergie mécanique totale négative. Séparer le système nécessite de lui apporter une énergie qui contrebalance cette énergie de liaison $E _{\mathrm{p}}(r) \ =\ - { {\mathcal{G}} Mm/ r}$

Invariants

Il est commode de traduire les spécificités d'un problème physique en termes de grandeurs invariantes.

Champ de force : L'interaction gravitationnelle correspond, comme toute interaction fondamentale, à un champ de force. A ce champ de force est associé un potentiel. La conservation de l'énergie mécanique en découle.
Force centrale : Le moment d'une force centrale est nul au centre de force. La conservation du moment cinétique en découle.
Champ de force central variant comme l'inverse du carré de la distance : Cette forme spécifique du champ de force introduit un 3e invariant, le vecteur excentricité, qui définit la trajectoire. Un exercice explicite ceci.

On peut ajouter un autre invariant, pour un système supposé isolé, la conservation de la quantité de mouvement totale du système.

Potentiel, énergie, force, champ

Quatre termes rendent compte de la même réalité, avec quatre dimensions différentes. L'énergie potentielle gravitationnelle est bien évidemment une énergie, et la force gravitationnelle une force.

Le champ gravitationnel dérive du potentiel gravitationnel via $g = - \nabla\, U = - \mathrm{grad} \, U$ , où l'opérateur gradient désigné la dérivation par rapport à l'ensemble des coordonées spatiales. En coordonnées sphérique, dans un problème à symétrie sphérique, $g(r) \ \mathbf{u}_r = - \mathrm{d}\, U / \mathrm{d}\, r \ \mathbf{u}_r$
L'énergie gravitationnelle $E _{\mathrm{p}}$ d'un corps de masse dans un potentiel gravitationnel vaut $E _{\mathrm{p}} = m U$
La force gravitationnelle subie par un corps de masse dans un champl gravitationnel vaut

Le mouvement d'Eugénie

Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative, à 5 dates différentes.

Crédit : CFHT

Reconstruction d'une trajectoire cométaire

Reconstruction de l'orbite de la comète Ikeya-Zhang

Crédit : Planétarium de Saint-Etienne

Les trajectoires du système à 2 corps

Exemples de trajectoires dans le système à 2 corps.

orbite faiblement elliptique : satellite de l'astéroïde Eugénie.
orbite fortement elliptique : orbite de la comète Ikeya Zhang.

Objectifs

Retrouver rapidement les différentes trajectoires possibles dans un potentiel gravitationnel, en analysant le mouvement radial d'une particule test.

L'écriture explicite de la trajectoire est établie en exercice.

Lois de conservation

Dans un potentiel gravitationnel de masse , un objet de masse garde une énergie mécanique $E _{\mathrm{m\acute ec}}$ constante, somme des énergies cinétique et potentielle, égale à :

${1\over 2} mv^2 - { {\mathcal{G}} M m\over r} \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}$

En coordonnées polaires, le carré de la vitesse s'écrit : $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ .

Par ailleurs, la conservation du moment cinétique s'énonce :

$mr^2 \dot\theta \ = \ \sigma_0$

Et la vitesse angulaire $\dot\theta$ s'exprime donc en fonction de l'invariant $\sigma_0$ et de la variable radiale par :

$\dot\theta \ = \ {\sigma_0 \over mr^2 }$

Le potentiel effectif

Le potentiel effectif est la somme du terme gravitationnel, attractif en -1/r

, et du terme rotationnel, répulsif en +1/r^2

. Dès lors que le moment cinétique est non nul, la barrière de moment cinétique empêche d'approcher du centre de force.

Crédit : ASM

Excursion radiale

Les seules positions radiales accessibles sont celles pour lesquelles $E _{\mathrm{c}} \ge 0$ , càd $E _{\mathrm{m\acute ec}} \ge E _{\mathrm{eff}}$ .

Crédit : ASM

Différentes orbites possibles

Selon la valeur de l'énergie mécanique

, la trajectoire peut être liée (cercle ou ellipse) ou libre (parabole ou hyperbole).

Crédit : ASM

Le potentiel effectif

En éliminant la variable angulaire de l'équation de conservation de l'énergie, on aboutit à une équation reliant l'énergie cinétique radiale $1/2 \ m\dot r^2$ à un potentiel uniquement radial :

${1\over 2} m\dot r^2 + \left[{ -{ {\mathcal{G}} M m\over r} + {\sigma_0^2\over 2m r^2} }\right] \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}$

On décide alors d'étudier le mouvement radial du système muni de l'énergie potentielle effective :

$E _{\mathrm{eff}} (r)\ = \ {\sigma_0^2\over 2m r^2}- { {\mathcal{G}} Mm \over r}$

On identifie la somme de 2 contributions :

terme gravitationnel en
terme rotationnel en

Le mouvement radial s'étudie alors à l'aide de la courbe de potentiel effectif. Les différentes excursions radiales dépendent de l'énergie $E _{\mathrm{m\acute ec}}$ du système.

Objectifs

Les exemples de trajectoires quasi-circulaires autour d'un centre de force sont légions, et méritent d'être étudiés de près. D'autant plus que l'observation de paramètres liés au mouvement circulaire autour d'un centre de force est un des nombreux moyens de peser les objets de l'univers.

Vitesse orbitale

On considère un objet de masse négligeable, placé dans un potentiel central de masse , sur une orbite circulaire de rayon parcourue à la vitesse .

Le principe fondamental de la dynamique donne directement le lien entre la vitesse et le rayon , en évaluant l'accélération centrale :

${ {\mathcal{G}} M\over r^{2}} = {v^{2}\over r}$

D'où la relation entre la vitesse et le rayon orbital :

$v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}$

Applications

La relation donnant la vitesse orbitale en fonction du rayon d'une orbite circulaire permet, comme la 3e loi de Kepler, de "peser" la masse du centre de force. Rien d'étonnant à cela, il s'agit de la même loi réécrite sous une autre forme (voir exercice). La mesure des 2 observables et permet de déterminer la masse du centre de force, qui doit rendre compte de la relation:

$v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}$

QCM

1) La vitesse orbitale d'un satellite de masse

, dans le potentiel d'un corps sphérique de masse

dépend de

est proportionnelle à $\sqrt{M}$
est proportionnelle à

2) La vitesse orbitale dans le potentiel d'un corps sphérique de masse

s'exprime ainsi:
$v _{\mathrm{orb}} = \sqrt{2 GM/r}$
$v _{\mathrm{orb}} = \sqrt{GM/r}$
$v _{\mathrm{orb}} = GM/r^{2}$
$v _{\mathrm{orb}} = GM/r$

Phobos et Deimos

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales des 2 satellites de Mars, Phobos et Deimos.

Satellites martiens
Phobos	$a_p = 2.76\ R_M$
Deimos	$a_d = 6.91\ R_M$
Mars	${\mathcal{G}} M = 4.2\ 10^{13}\, \mathrm{SI}$
	$R_M = 3400 {\,\mathrm{km}}$

Question 1)

Calculer les vitesses orbitales des 2 satellites.

Question 2)

En déduire leurs périodes orbitales. Comparer à la journée martienne (24.5 h) et conclure.

Survol d'un satellite

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On cherche à évaluer la durée de transit d'un satellite artificiel en orbite basse. On suppose l'horizon totalement dégagé, et le satellite visible dès lors qu'il surmonte l'horizon. On donne :

Données
rayon terrestre	$R=6400 {\,\mathrm{km}}$
masse de la Terre	$M = 6\ 10^{24} {\,\mathrm{kg}}$
altitude du satellite	$h = 200 {\,\mathrm{km}}$

Question 1)

Estimer la vitesse et la période orbitale du satellite.

Question 2)

Faire un schéma montrant quelle portion de la trajectoire du satellite est visible.

Question 3)

Estimer la taille angulaire de cet arc de trajectoire. En déduire la durée de visibilité du satellite.

Vitesse circulaire / 3e loi de Kepler

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

Reprendre les expressions de la 3e loi de Kepler et de la vitesse d'un objet en orbite circulaire autour d'un centre de force de masse , et montrer, comme il s'agit de la même physique, que l'on peut les déduire l'une de l'autre.

[2 points]

Objets de Kuiper

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

La recherche des objets lointains du système solaire, p.ex. les objets de Kuiper, est basée sur la détection de leur mouvement par rapport aux étoiles.

Mouvement apparent d'un objet de Kuiper sur 5 heures.

Crédit : CFHT

Question 1)

Déterminer les vitesses orbitales, linéaire puis angulaire, d'un objet de Kuiper sur une orbite circulaire à 40 UA. Donner sa période de révolution sidérale.

[2 points]

Question 2)

Cette question s'intéresse au mouvement orbital autour du Soleil. Déterminer la vitesse angulaire relative de l'objet par rapport à la Terre. Quel terme domine dans ce mouvement apparent ?

[3 points]

Question 3)

Déterminer le déplacement angulaire apparent sur fond de ciel de cet objet de Kuiper en 2 heures. Quel est l'intérêt d'observer à l'opposition ?

[3 points]

Rotation dans une galaxie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Un grand nombre de galaxies présentent un profil de luminosité qui varie en loi de puissance en fonction de la distance au centre galactique :

$L(r)\ =\ L_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Cette donnée observationnelle permet d'écrire le profil de masse volumique de la galaxie sous la forme:

$\rho(r) \ = \rho_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Question 1)

Déduire du profil de masse volumique la masse m(r) de la sphère galactique de rayon . Montrer d'une part que la constante $\alpha$ doit vérifier $\alpha < 3$ , d'autre part que le profil de masse volumique doit nécessairement être tronqué au delà d'un certain rayon.

[3 points]

Question 2)

Déduire de m(r) le champ gravitationnel G(r) , ainsi que la vitesse de rotation circulaire au sein de la galaxie s'écrit :

$v^2(r) \ = \ {4\pi {\mathcal{G}} \rho_0 r_0^\alpha \over 3 - \alpha}\ r^{2-\alpha}$

[2 points]

Question 3)

La plupart des galaxies montrent, pour large intervalle en rayon, un profil de vitesse plat. Quelle valeur de l'exposant $\alpha$ cette donnée observationnelle privilégie-t-elle ? Quelle conséquence pour le champ gravitationnel et la masse au rayon ?

[2 points]

Question 4)

Dans le voisinage solaire, à 8.5 kpc du centre galactique, la vitesse de rotation est de l'ordre de 220 km.s $^{-1}$ . En déduire la valeur de la masse galactique comprise dans la sphère de rayon 8.5 kpc. La traduire en masse solaire. Cette valeur vous semble-t-elle plausible ?

[3 points]

Quitter la Terre

De manière très pratique, la notion de vitesse de libération se pose dès lors que l'on veut quitter la Terre.

Le lancement d'une sonde interplanétaire

Il faut communiquer à une sonde spatiale une vitesse suffisante pour l'extraire du puits de potentiel où la maintient la Terre.

Crédit : NASA

Objectifs

Qu'il s'agisse de lancer une sonde interplanétaire, de faire revenir cette sonde de Mars, d'estimer la vitesse d'entrée dans la haute atmosphère terrestre d'une "étoile filante", ....une notion importe : la vitesse de libération d'un corps.

Aller à l'infini !

Définition

La vitesse de libération d'un objet correspond à la vitesse à communiquer à un corps initialement à la surface de l'objet pour l'éloigner à l'infini.

La détermination de la vitesse de libération $v _{\mathrm{lib}}$ est aisée via la conservation de l'énergie mécanique de l'objet.

Le bilan énergétique au sol s'écrit :

$E _{\mathrm{c}}+ E _{\mathrm{p}} = {1\over 2} m v _{\mathrm{lib}}^{2} - { {\mathcal{G}} M m\over R}$

avec et les masse et rayon du corps à quitter, la masse de la particule test, et l'origine des potentiels ayant été choisie nulle à l'infini.

Le bilan énergétique à l'infini s'écrit :

$E _{\mathrm{c}} + E _{\mathrm{p}} = 0$

On demande juste au corps de pouvoir aller à l'infini, càd accepter une énergie potentielle nulle, et une énergie cinétique nulle également.

La conservation de l'énergie cinétique conduit alors à :

$v _{\mathrm{lib}} = \sqrt{2 {\mathcal{G}} M\over R}$

Seuls apparaissent dans cette expression de la vitesse de libération de l'objet ses masse et rayon. On voit que cette vitesse est égale à la vitesse de rotation à altitude nulle, multipliée par $\sqrt{2}$ .

Applications

La vitesse de libération est une notion essentielle pour la dynamique dès lors qu'il s'agit d'extraire un objet (une sonde, un caillou martien) d'un champ de gravitation.

Le problème considéré à l'envers - venir de loin et arriver à la surface d'un astre -- permet d'estimer la vitesse de chute libre sur un corps.

Enfin, cette notion permet d'introduire tout naturellement ce qu'est un trou noir.

La collision de la comète SL9 sur Jupiter

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont brûlé dans l'atmosphère de Jupiter entre les 16 et 20 juillet 1994. Ils provenaient du noyau d'une comète capturée par la planète géante, fragmenté par effet de marée lors d'un premier passage à bas périjove (périastre, lorsque l'astre est Jupiter) en 1992. Pour la suite, on considère l'orbite très elliptique de la comète analogue, énergétiquement parlant, à une orbite parabolique.

Les fragments de la comète SL9 observés en mars 1994, 4 mois avant la collision, et 20 mois après le passage de la comète qui a conduit à sa fragmentation par effet de marée dû à Jupiter.

Crédit : HST

Explosion du 1er fragment de SL9. L'enveloppe de l'explosion est apparue derrière le limbe, puis est retombée.

Crédit : HST

Question 1)

Traduire la description de l'orbite en termes énergétiques.

Question 2)

Calculer la vitesse de collision.

Question 3)

Que vaut la vitesse de libération de Jupiter ?

Environnement du centre galactique

Environnement du centre de la Galaxie, et mise en évidence de trajectoires képlériennes.

Crédit : ESO

Mouvement autour du centre galactique

La trajectoire de l'étoile S2 autour du centre galactique. Les observations dans la fenêtre entourée de rouge ont été effectuées grâce à l'optique adaptative.

Crédit : ESO

Hypothèse ; le trou noir central de la Galaxie

L'environnement du centre de la Galaxie dévoile de nombreux objets en rotation képlérienne très rapide.

L'observation de l'étoile S2 autour du centre galactique, menée sur une dizaine d'années, permet de mesurer, via la 3e loi de Kepler, la masse concentrée autour de ce dernier (calculée en exercice). La concentration de masse, alliée à l'absence de rayonnement visible et infrarouge, laisse suspecter la présence d'un trou noir supermassif.

Un objet défini par son horizon

Il a été établi, pour tout corps de masse et rayon , une vitesse de libération $v _{\mathrm{lib}} = \sqrt{2 {\mathcal{G}} M / R}$ . Plus un corps est massif et petit, plus sa vitesse de libération va être élevée. Or toute vitesse est physiquement limitée à la célérité de la lumière.

Définition

On définit un trou noir comme un objet dont la vitesse de libération vaut , la vitesse de la lumière.

Le trou noir de masse est limité par un horizon de rayon $R _{\mathrm{TN}}$ :

$R _{\mathrm{TN}} = {2 {\mathcal{G}} M \over c^{2}}$

Quelques propriétés

C'est peu dire que ce genre d'objet fait couler beaucoup d'encre. Que peut-on en dire, qui reste physique, juste et simple ?

Un trou noir n'a pas plus tendance à "avaler" la matière qu'un objet de masse identique. A masse identique, leurs champs gravitationnels sont identiques. Pour s'en convaincre : revoir le théorème de Gauss.
La physique ne peut pas décrire ce qui est de l'autre côté du trou noir : le trou noir est une singularité de l'espace temps. On suppose qu'un trou noir est caractérisé par des grandeurs qui se conservent : masse ; charge électrique ; moment cinétique
La physique aux abords du trou noir est, par définition, relativiste. Un photon émis sur l'horizon n'arrivera pas à s'extraire du trou noir. Proche de l'horizon, il peut y parvenir, mais y laisse une grande énergie.
Bien comprendre ce genre d'objets nécessite le cadre et le formalisme de la relativité générale.
Bien des régions du ciel sont candidates pour abriter des trous noirs : soit parce qu'elles sont le siège de phénomènes très énergétiques ultrarelativistes, soit parce que l'on y suspecte une très grande concentration de masse, d'après la dynamique d'objets gravitant dans l'environnement (comme observé au centre de notre Galaxie).

Reconstruction d'orbite

Les mesures astrométriques dans la direction du centre de notre Galaxie ont mis en évidence des objets présentant de très rapides mouvements.

Les observations menées depuis 1992, et extrapolées jusqu'en 2006, permettent de reconstruire l'orbite et le mouvement de l'étoile S2 autour du centre galactique.

Crédit : ESO

Le centre galactique

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

L'observation du mouvement de l'étoile S2 autour du centre galactique permet de dégager les propriétés orbitales suivantes.

Il s'agit d'une ellipse de demi-grand axe 0.119", parcourue en une période de 15.2 ans, avec une excentricité de 0.87.

Question 1)

Pourquoi l'approximation du système à 2 corps semble-t-elle convenable ?

Question 2)

Le Soleil se situant à 8000 pc du centre galactique, estimer le demi-grand axe de l'orbite en UA

Question 3)

En déduire la masse $\mathcal{M}$ du centre galactique, en masse solaire.

Question 4)

Estimer la valeur du péricentre $r _{\mathrm{p}}$ , en UA

Question 5)

L'orbite de S2 apparaissant rigoureusement elliptique, comme le prévoit la mécanique képlerienne, on peut supposer que la taille caractéristique du corps central permet l'application de la mécanique du point. En d'autres termes, ce centre de force s'inscrit dans un rayon bien moindre que le péricentre... et serait un trou noir. Estimer alors l'horizon de ce trou noir de masse $\mathcal{M}$ .

Question 6)

Estimer la vitesse de S2 au péricentre (le rayon de courbure $\mathcal{R} _{\mathrm{p}}$ de la trajectoire au péricentre est égal au paramètre de l'ellipse, soit $r _{\mathrm{p}} (1+e)$ ).

Trou noir

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente la masse et le rayon de différents objets.

Apprenti trou noir
Objet	Masse (kg)	Rayon (m)
Soleil	$2\ 10^{30}$	$7\ 10^8$
Vous	$\simeq 70\pm 20\ ?$	$\simeq 1$
Bulbe galactique	$2\ 10^{41}$	$10^{3} {\,\mathrm{pc}}$

Question 1)

Calculer leur vitesse de libération

[2 points]

Question 2)

Déterminer leur horizon s'ils étaient candidats trous noirs.

[2 points]

Diverses coniques, selon l'excentricité

: du cercle e=0

, à l'ellipse 0<e<1

, la parabole e=1

et l'hyperbole e>1

.

Crédit : ASM

Coniques

Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.

Une ellipse vue dans son plan, et projetée sur le plan du ciel, avec les axes principaux (en orange) et le foyer (croix). La projection du vrai demi-grand axe ne coïncide clairement pas avec le demi-grand axe de l'ellipse projetée. 0 correspond au centre (position conservée par projection), F au foyer occupé par la composante principale (non conservée), et P le périastre.

Crédit : ASM

Projection d'une orbite elliptique

Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.

Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan

Objectifs

Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.

Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
trajectoire	mouvement	énergie mécanique
cercle	lié	minimale et
ellipse	lié
parabole	libre
hyperbole	libre

Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2 corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

$r = {p\over 1+e \cos \theta}$

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

L'excentricité définit la nature de la conique.
Le paramètre est une longueur reliée au demi-grand axe et à l'excentricité $p = a(1-e^{2})$ .

Eléments d'une ellipse : centre

, foyer

, grand axe

, péri- et apoastre.

Crédit : ASM

Péri et apoastre : vocabulaire
astre	périastre	apoastre
Soleil	périhélie	aphélie
Terre	périgée	apogée

Eléments de la trajectoire

Le rayon vecteur $\mathbf{r}$ est défini par rapport au foyer de l'ellipse définissant le centre de force, et non par rapport au centre .
Le point le plus proche du foyer est le périastre ; le point le plus éloigné l'apoastre.
Le demi-grand axe vérifie , avec et les rayons des péri- et apoastres
Le paramètre de l'ellipse vérifie $p = a\ (1-e^{2})$
La distance du centre au foyer vaut $OF = e\ a$

Exemples

Dans le système solaire, plus un objet est massif, plus sa trajectoire tend à être circulaire ; les astéroïdes ont des trajectoires généralement plus elliptiques que la plupart des planètes.
Les comètes de longue période ont des trajectoires très elliptiques.
Les comètes de très longue période ont des trajectoires souvent indéterminées, en fait très sensibles aux perturbations gravitationnelles.

De l'excentricité

Les animations ci-jointes permettent de visualiser l'évolution d'une conique en fonction de son excentricité

Famille d'ellipses de demi-grand axe fixé, d'excentricité variable

Crédit : ASM

Famille de coniques de paramètre

fixé, d'excentricité variable de 0 (cercle) à 2.

Crédit : ASM

Ellipse reconstruite dans le plan orbital.

Crédit : ASM

Ellipse observée dans le plan du ciel, distinct du plan orbital

Crédit : ASM

À retenir absolument de ces pages :

Les lois de Kepler bien sûr, et leurs applications.
Vitesse orbitale et vitesse de libération.
Comment déterminer une masse dans le cadre du système à 2 corps.

Différentes étoiles doubles mesurées par le satellite Hipparcos. La ligne en trait plein fixe le segment foyer-périastre (P), celle en trait mixte la ligne des donnée. Les cercles, de rayon 0.1", donnent l'échelle.

Crédit : ESA