Ex: paramètre de Tisserand

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Marc Fouchard, S. Renner

Auteur: Marc Fouchard

Paramètre de Tisserand

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On considère un problème de trois corps où les deux premiers P_1 et P_2 , appelés primaires et de masse respective m_1 et m_2 , sont sur des orbites circulaires et uniforme ; et le troisième , de masse négligeable voit sa trajectoire affectée par les primaires alors que celui-ci n'affecte pas le mouvement des deux primaires. Ce problème est appelé le problème de trois corps restreint et circulaire.

On considère un repère tournant orthonormé, centré sur le centre de gravité des deux primaires et dont les axes sont tels que l'axe des abscisses est dirigé vers le deuxième primaire, l'axe des ordonnées fait un angle de $\pi/2$ avec celui des abscisse dans le même sens que le mouvement de rotation des primaires, et l'axe des complète un trièdre direct.

On considère aussi un repère fixe orthonormé qui coïncide avec le repère tournant à t=0 .

Dans le repère tournant, les coordonnées des deux primaires sont (-d_1,0,0)^T et (d_2,0,0)^T , où d_1/d_2=m_2/m_1 et d_1+d_2=d qui est la distance (fixe) qui sépare les deux primaires. On note $\omega$ la vitesse de rotation angulaire des deux primaires par rapport au repère fixe.

De manière générale on notera (x,y,z)^T les coordonnées dans le repère fixe et (u,v,w)^T les coordonnées dans le repère tournant. Le point au dessus d'une quantité indique la dérivée par rapport au temps de cette quantité.

Question 1)

Exprimer d_1 et d_2 en fonction de m_1 , m_2 et .

Solution

Question 2)

Déterminer les formules de passage entre (x,y,z)^T et (u,v,w)^T pour un même objet.

Solution

Question 3)

Les deux forces qui s'appliquent au troisième corps sont $\overrightarrow{F}_1=\frac{G m_1}{P P_1^3} \overrightarrow{PP_1}$ et $\overrightarrow{F}_2=\frac{G m_2}{P P_2^3} \overrightarrow{PP_2}$ . En appliquant le principe fondamental de la dynamique, c'est-à-dire que l'accélération est égale à la somme des forces dans le repère fixe, écire les équations différentielles vérifiées par les coordonnées (x,y,z)^T de .

Solution

Question 4)

En différenciant les expressions de (x,y,z)^T en fonction de (u,v,w)^T , en déduire les équations du mouvement dans le repère tournant.

Solution

Question 5)

Montrer qu'il existe une fonction U(u,v,w) tel que le système d'équations précédent s'écrit :

$\begin{array}{rcl}\ddot{u} -2\dot{v} \,\omega &=& \frac{\partial U}{\partial u} \\ \ddot{v}+2\,\dot{u}\,\omega &=& \frac{\partial U}{\partial v} \\ \ddot{w} &=& \frac{\partial U}{\partial w} \end{array}$ ,

Solution

Question 6)

En multipliant chaque ligne du système précédent par $\dot{u}$ , $\dot{v}$ et $\dot{w}$ respectivement, puis en additionnant, montrer que le système admet une intégrale du mouvement (c'est -à-dire une quantité qui est constante au cours du temps).

Solution

Question 7)

En déduire en fonction de (x,y,z)^T et de leur dérivées par rapport au temps.

Solution

Question 8)

On considère maintenant que les deux primaires P_1 et P_2 correspondent au Soleil et à Jupiter respectivement. On pose $m_1=M_\odot, \quad m_2=m_J,\quad d=a_J, \quad \omega=\sqrt{\frac{G(M_\odot+m_J)}{a_J^3}}, \quad OP=r$ . Comme $m_J \ll M_\odot$ , on en déduit que $d_1\approx 0, \quad r_1\approx r, \quad M_\odot+m_J\approx M_\odot$ .

On peut alors considérer la trajectoire du troisième comme une orbite keplerienne autour du Soleil se trouvant à l'origine. Soit , , et le demi-grand axe, l'excentricité et l'inclinaison de cette trajectoire. On a alors les relations suivantes:

Sachant que $\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2=2\frac{GM_\odot}{r}-\frac{GM_\odot}{a}$ , $\dot{y}x-\dot{x}y=\sqrt{ GM_\odot a (1-e^2)}\cos i$ , réécrire l'équation précédente pour en fonction de a, e, i . L'expression obtenue correspond au paramètre de Tisserand qui est une quasi constante du mouvement pour les comètes de la famille de Jupiter qui sont essentiellement soumisent à l'influence de Jupiter et du Soleil. On remarquera que les approximations faites fonctionnent pourvu que l'on ne soit pas trop proche de Jupiter.

Solution