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L'astrophysique d'aujourd'hui s'appuie sur des outils instrumentaux de pointe.

Le but de ce chapitre est de parcourir quelques-uns des grands principes instrumentaux, qui permettent de mesurer les informations spatiale, spectrale, temporelle... présentes dans les signaux astrophysiques. Il montre comment recueillir, décortiquer, investiguer, redresser et interpréter ces derniers.

Les 4 unités du VLT, le grand observatoire austral européen (Paranal, Chili).

Crédit : ESO

Le sous-chapitre Outils rappelle des notions d'optique (géométrique et physique) indispensables.

Le sous-chapitre Chaîne de mesure raconte le chemin des photons, de leur collecte au traitement du signal qu'ils transportent.

Le sous-chapitre Techniques et instruments dévoile plus en détail différents types d'instruments, dont l'optique adaptative.

Le chapitre Outils reprend quelques grandes lignes de l'optique géométrique et de l'optique physique, dans une approche clairement astrophysique (les objets sont p.ex. vraiment à l'infini !), nécessaires à la compréhension de la formation des images en astrophysique.

Aperçu du ciel au travers de la trappe d'un télescope.

Crédit : ESO

Quelques notions d'optique de base sont rappelées, afin de comprendre dans les grandes lignes les principes instrumentaux les plus couramment mis en oeuvre pour acquérir une image en astronomie.

Télescope de Herschel, de diamètre 40 pouces (1798).

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Observation grand champ

Image du programme de cartographie des amas ouverts du télescope CFH. Un tel programme nécessite l'observation d'un champ de grande taille. Amas NGC2099

Crédit : CFHT

Foyer primaire

La caméra MEGACAM au foyer primaire du télescope CFH.

Crédit : CFHT

Imagerie grand champ

Les images de grands champs stellaires sont typiquement obtenues par observation au foyer primaire d'un télescope, càd au foyer du miroir primaire collecteur de photons.

Pour en savoir plus : projet MEGACAM du télescope CFH

Prérequis

Optique géométrique : vocabulaire de l'optique géométrique, image d'un objet à l'infini.

Objectifs

Formation d'image au foyer primaire d'un télescope.

Observation au foyer primaire d'un télescope.

Crédit : ASM

Collecteur de photons

Le collecteur de photons le plus couramment utilisé est le miroir parabolique, qui convertit après réflection une onde plane en une onde sphérique convergente. Un miroir parabolique conjugue ainsi les sources de lumière situées à l'infini au foyer de la parabole. Un tel collecteur est équivalent à une lentille de diamètre et focale identique. Une lentille fonctionne en transmission et non en réflexion comme un miroir, mais le principe de fonctionnement est le même. Une lentille transforme une onde plane en onde sphérique, et concentre ainsi la lumière provenant d'une étoile lointaine située sur son axe optique en son foyer.

Analogie optique entre un télescope (avec miroir parabolique) et une lunette (lentille). La lentille équivalente est placée au centre du miroir parabolique.

Crédit : ASM

Taille de l'image

Un objet à l'infini, s'il est résolu, se caractérise par une taille angulaire $\alpha$ . Au foyer du miroir primaire du télescope, cet objet donne une image de taille linéaire telle que $d \ = \ f \ \tan \alpha$ , avec la focale du collecteur. L'angle $\alpha$ est le plus souvent très petit, et donc confondu avec sa tangente. On garde, avec $\alpha$ compté en radian :

$d \ = \ f \ \alpha$

L'analogie avec une lentille est directe.

Lentille équivalente

Tous les systèmes optiques donnant une image réelle d'un objet réel peuvent se résumer en un système comprenant une seule lentille, équivalant au système entier. Dans le cas de l'observation astronomique où, mis à part l'observation in situ apportée par les atterrisseurs des sondes planétaires, l'objet est à l'infini, l'observation a donc lieu au foyer image de cette lentille équivalente.

Quelques éléments d'une monture

Localisation du foyer primaire, et donnée de quelques éléments d'un télescope en monture équatoriale.

Convergence au foyer primaire

La parabole a pour propriété de ramener l'ensemble des rayons lumineux en provenance d'une source située à l'infini sur son axe optique (l'onde incidente est alors plane) en un même point : son foyer. On parle alors de conjugaison optique entre le foyer de la parabole et l'infini.

Ceci n'est en fait rigoureusement vrai que pour un rayon incident parallèle à l'axe de la parabole. Un faisceau de rayons parallèles inclinés sur l'axe optique ne va pas converger en un foyer unique, ce qui conduit à l'aberration de sphéricité : le plan focal est en fait incurvé.

Convergence au foyer primaire : l'onde plane est transformée en onde sphérique.

Crédit : ASM

Lentille équivalente

L'appliquette ci-jointe montre comment déterminer la lentille simple équivalente à un montage optique recueillant un faisceau provenant de l'infini. Elle se situe à l'intersection des rayons incidents d'une part, et convergeant vers le détecteur d'autre part.

Si besoin est...

L'appliquette ci-jointe rappelle, si besoin est, les règles pour localiser l'image par une lentille d'un objet à distance finie.

QCM

1) Quel champ couvre un CCD carré de côté 2048 pixels, avec des pixels de 15 $\mu\mathrm{m}$ , au foyer d'un télescope de 12 m de focale ?
2.56 mrad
25.6 mrad
1.25 microrad

2) Traduire la bonne réponse précédente en minute ou seconde d'angle
8"
8'48"
18'

3) Un pixel de 15 $\mu\mathrm{m}$ couvre sur le ciel un champ de 0.1". En déduire la focale du collecteur
15 m
30 m
45 m

Prérequis

Image d'un objet à l'infini, image d'un objet au foyer.

Objectifs

L'étude d'un montage optique particulièrement utile en astronomie, le montage afocal, montre que la taille angulaire du champ sur le ciel (champ objet) et le diamètre du faisceau lumineux en sortie de l'instrument sont liés de façon simple au grossissement du système.

Intérêt

Que ce soit pour observer à l'oeil nu, ou pour alimenter un spectromètre, le collecteur a pour fonction de transformer un faisceau à l'infini en un autre faisceau à l'infini.

L'objectif (la lentille ou le miroir côté objet) forme de l'objet à l'infini une image au foyer. L'oculaire (si le détecteur est l'oeil) ou l'optique de chambre permet de regarder cet objet à l'infini.

Montage afocal

Le montage afocal réunit 2 lentilles (ou équivalents) partageant un foyer : le foyer image de l'une est foyer objet de l'autre.

Crédit : ASM

Montage afocal

L'association de 2 optiques, l'objectif (côté objet) et l'oculaire (côté oeil) de foyer commun, transforme un faisceau parallèle en un autre faisceau parallèle.

Grossissement du montage afocal

Le grossissement du montage afocal dépend du rapport des focales.

Crédit : ASM

Grossissement

Définition

Les focales équivalentes de l'objectif et de l'oculaire étant respectivement et , le grossissement du faisceau, égal au rapport des tailles angulaires des image et objet $(G = \beta / \alpha)$ , vaut en valeur absolue :

$G\ = \ {F\over f}$

En effet, l'image intermédiaire au foyer commun a pour taille linéaire $d = F \alpha = f \beta$ .

Faisceau de sortie du montage afocal

Le rapport des diamètres des faisceaux dépend du rapport des focales du montage afocal.

Crédit : ASM

Taille du faisceau

Définition

Les focales équivalentes de l'objectif et de l'oculaire étant respectivement et , le rapport des tailles du faisceau en entrée et en sortie vaut, en valeur absolue :

${b\over a} = {f\over F}\ = \ {1\over G}$

En effet, l'inclinaison du faisceau entre les foyers s'écrit, dans l'hypothèse des petits angles (pour laquelle $\tan\theta \simeq \theta$ ) : $\theta = a /F = b/f$ .

Champ et dimension

Le diamètre du faisceau en sortie est d'autant plus important que le champ objet est grand.

De ce qui précède, on déduit qu'en sortie d'un montage afocal, une instrumentation de taille réduite (dimensionnée par ) va nécessiter un grossissement élevé, et donc ne pourra porter que sur un champ objet de taille restreinte.

La notion d'étendue de faisceau généralise cette idée.

QCM

1) Lequel des systèmes suivants correspond à un montage afocal ?
Observation au foyer primaire
Paire de jumelles
Appareil photo

2) Plus la longueur focale

du secondaire est courte, plus le grossissement est :
grand
faible
l'un ou l'autre

3) Le réseau du spectromètre HARPS, alimenté en lumière parallèle, a une hauteur de 20 cm ; le collecteur a un diamètre de 3.6 m, En déduire le grossissement pour une bonne illumination du réseau.
72
5.55
18

Champ d'étoiles

Aperçu d'une portion du ciel austral au travers de la trappe d'ouverture d'un télescope. On distingue le miroir secondaire et son support.

Crédit : ASM

La galaxie M31 dans la constellation d'Andromède

Grand champ autour de la galaxie M31. M31, galaxie jumelle de la Voie Lactée, est l'un des rares objets extragalactiques visibles à l'oeil nu).

Crédit : ASM

La galaxie M31

Petit champ autour de M31, obtenu avec un fort grossissement.

Crédit : ASM

Viser !

Viser un objet, c'est arriver à positionner précisément un collecteur et son instrument d'analyse. Ensuite, selon les objectifs scientifiques, on s'intéresse à un champ plus ou moins grand. La taille du champ est reliée aux propriétés du collecteur et de l'instrumentation.

Lunette ancienne. Le tube focal est très long par rapport au diamètre de la lentille primaire.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Télescope infrarouge VISTA de l'ESO, très ouvert d'après son aspect très ramassé.

Crédit : ESO

Antenne de 30-m de l'IRAM.

Crédit : IRAM

Angle d'ouverture

L'angle d'ouverture d'un collecteur de lumière mesure le rapport entre le diamètre du collecteur et la focale résultante. Les instruments anciens et les lunettes présentent des angles d'ouverture fermés : le tube focal, de longueur très voisine de la focale résultante, est long et grand devant le diamètre collecteur. Les collecteurs récents et/ou de grand diamètre présentent de grands angles d'ouverture, pour limiter leur longueur. Il en est de même des antennes submillimétriques.

Plan focal du satellite Kepler, pour la recherche d'exoplanètes sur un grand champ d'observation (de l'ordre de 10 deg de côté).

Crédit : NASA

Plan focal

L'observation sur un grand champ nécessite un grand détecteur. Ceci est aujourd'hui réalisé par la juxtaposition de plusieurs détecteurs bidimensionnels de lumière comme les CCD ou les CMOS.

Prérequis

Optique géométrique

Objectifs

Former une image dans de 'bonnes' conditions nécessite de bien dimensionner une optique ; le champ est l'une des grandeurs importantes à considérer. Il dépend des propriétés d'ouverture du collecteur.

Ouverture d'un télescope

Un télescope se caractérise par sa focale résultante et par le diamètre du collecteur.

Définition

L'angle d'ouverture d'un instrument est le rapport entre le diamètre et la focale résultante, soit, avec les notations proposées, A = a/f .

Le nombre d'ouverture d'un télescope est le rapport inverse.

Comme en photographie, on parle d'un instrument ouvert à $f/2.5,\ f/8... \ f/n$ avec respectivement les nombres d'ouverture $f/a =2.5, \ 8, ... ,\ n$ .

Exemples typiques d'ouverture : de f/50 à f/1 .

Plus le nombre d'ouverture est petit, plus le télescope est ouvert (grand angle d'ouverture) et admet des rayons de grande inclinaison. Un petit nombre d'ouverture correspond à une courte focale, ou à un grand diamètre.

Les télescopes les plus récents (télescopes optiques, radiotélescopes), de par leur grand diamètre collecteur, sont en général très ouverts, afin de limiter la longueur de leur focale, et donc leur encombrement.

Champ objet

Le champ objet est la région du ciel effectivement observée dans de bonnes conditions (stigmatisme suffisant pour la qualité d'image requise ; éclairement du champ uniforme, sans vignetage). Son extension dépend du collecteur, et de l'instrumentation et de son grossissement.

Avec la focale résultante d'un collecteur et la taille du détecteur effectivement éclairée, le champ objet $\alpha$ s'écrit simplement (dans l'approximation des petits angles) :

$\alpha \ = \ {d\over f}$

Comme l'angle d'ouverture, le champ objet décroît si la focale du télescope augmente.

Ouverture d'un faisceau

A diamètre collecteur fixé, plus la focale est courte, plus l'ouverture géométrique du télescope est importante (et corrélativement le nombre d'ouverture petit).

Crédit : ASM

Ouverture du faisceau

L'animation illustre comment l'ouverture géométrique d'un télescope varie avec la focale d'un collecteur. Plus le télescope est ouvert, plus l'inclinaison des rayons dans le télescope est importante.

Champ objet

La taille linéaire de l'image dans le plan focal étant fixée (ici par un détecteur au foyer), plus la focale est courte, plus le champ de vue est important.

Crédit : ASM

Champ objet

L'animation illustre comment la taille du champ objet varie avec la focale du collecteur.

Mesure du champ

Les données de l'appliquette ci-jointe reportent les mesures effectuées par un groupe d'étudiants observant au télescope de 60 cm du campus de Meudon de l'Observatoire de Paris. Le but de l'observation, premier contact avec le télescope, consiste à prendre conscience que le champ accessible au pointage est restreint, et qu'il est nécessaire pour pouvoir pointer un objet de garantir une précision angulaire, exprimée en seconde de temps et non d'angle, meilleure que 30 s.

Traversée du champ

L'entraînement du télescope étant arrêté, les étoiles défilent dans le champ : les durées T1 et T2 mesurent la traversée du diamètre du champ par des étoiles brillantes, pour deux grossissements différents.

Vérifier à l'aide de l'appliquette que la durée de traversée pour une cible de déclinaison $\delta$ est proportionnelle à $1/\cos\delta$
En déduire la mesure du diamètre angulaire du champ dans chacun des cas.

QCM

1) A diamètre de collecteur donné, plus un télescope est ouvert, plus son champ est
grand
réduit
l'un ou l'autre

2) Il est aisé d'avoir simultanément un grand champ et un grand grossissement
vrai
faux

Champ objet

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

Déterminer la focale équivalente d'un télescope de diamètre $a=8\,\mathrm{m}$ ouvert à f/3.75.

Question 2)

L'image est formée sur une matrice CCD de $2000\times 2000$ pixels, avec des pixels carrés de côté $p = 9\,\mu\mathrm{m}$ . Quel champ voit un pixel ? Déterminer le champ de vue total dans le ciel.

Observation à la table équatoriale de Meudon

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le télescope T60, installé sur la table équatoriale du campus de Meudon de l'Observatoire de Paris, présente un miroir primaire de diamètre =60 cm.

Question 1)

Déterminer son nombre d'ouverture, sachant que sa focale résultante vaut F = 9 m.

Question 2)

Quel grossissement est obtenu avec des oculaires de distance focale 45 ou 30 mm ?

Question 3)

L'ouverture du faisceau image étant de toutes façons inférieure au champ de vision de l'oeil (environ 60 degrés), déterminer le diamètre maximal du champ objet pour un oculaire de focale 45 ou 30 mm.

Mesure du champ

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Cet exercice s'appuie sur les données de l'appliquette "mesure du champ". Il est préférable d'avoir auparavant traité la section Systèmes de coordonnées .

Question 1)

Montrer par un schéma qu'une étoile de déclinaison $\delta$ possède, du fait de la rotation diurne, une vitesse angulaire proportionnelle à $\cos\delta$ .

[2 points]

Question 2)

L'étoile traverse le champ de l'instrument, de diamètre angulaire $\Delta\theta$ en une durée $\Delta T$ . Montrer que l'on a :

$\Delta\theta\ =\ 15\ \cos\delta\ \Delta T$

si le champ est mesuré en seconde d'arc et la durée en seconde de temps.

[2 points]

Question 3)

Vérifier la relation précédente avec les données de l'appliquette (pour tracer la fonction $1/\cos\delta$ : sélectionner la 1ère ligne de la 3ème colonne (C1), et demander le calcul : = 1./15./cos(pi * B1 / 180.))

[1 points]

Question 4)

Avec les données de l'appliquette, déterminer dans les 2 cas (avec des grossissements différents) le diamètre angulaire du champ objet.

[1 points]

Question 5)

Les grossissements, dépendants de l'oculaire utilisé, valent respectivement 140 et 300. Montrer que les champs images ont une taille analogue au champ de vue de l'oeil humain, de l'ordre de 60 degrés.

[1 points]

Que l'observation astrophysique serait facile si l'image d'un point était un point ! Dans le meilleur des cas, l'image d'une étoile est une tache de diffraction, mais le plus souvent, c'est une structure spatialement et temporellement bien plus complexe.

Le but de cette section est de comprendre et d'interpréter la structure spatiale d'une image simple.

Représentation des Pléiades, à l'époque néo-babylonienne, en 200 avant JC. Les étoiles ont une forme... d'étoile $(\star )$ !

Crédit : ASM

Saturne, et ses satellites, observés par J.D. Cassini en 1673, confondus avec des étoiles.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le mot étoile codé en écriture cunéiforme.

Crédit : ASM

Mizar, dans la Grande Ourse : diffraction, turbulence, surexposition, réflexions parasites s'ajoutent et s'emmêlent.

Crédit : CDS

Le défaut de coma apparaît en tout point éloigné du centre optique. L'image d'un tel point s'allonge ; elle apparaît telle une petite comète, d'où le nom de cette aberration optique.

Crédit : D. Césari

L'image d'un point

L'astrophysique nous apprend que les étoiles sont des sphères gazeuses, tellement lointaines qu'il est impossible dans la plupart des cas de les résoudre spatialement. Pourquoi alors les représente-t-on et les voit-on avec diverses formes tellement différentes d'un point ou d'un cercle, mais le plus souvent proches du symbole $\star$ ?

En fait, plusieurs phénomènes se conjuguent pour aboutir à ces formes et les expliquer :

Les aberrations optiques diverses, qui déforment l'image géométrique perçue : coma, défaut de mise au point.
La diffraction, qui fait que l'image d'un point ne peut pas être un point
La turbulence atmosphérique, qui brouille l'information spatiale
Les propriétés des récepteurs.

Exemple de fonction d'étalement du point de l'instrument NAOS. Avec correction d'optique adaptative, la FEP se rapproche d'une figure d'Airy.

Crédit : LESIA

Fonction d'étalement du point de la voie exoplanète du satellite CoRoT.

Crédit : CNES

Fonction d'étalement du point

L'image d'un objet ponctuel, non ponctuelle, est donnée par la fonction de transfert de la chaîne de détection. Cette fonction de transfert, dans ce cas précis, s'appelle fonction d'étalement du point, soit FEP en français ou PSF en anglais (point spread function).

Connaître ou estimer la fonction d'étalement du point est une étape indispensable pour le traitement d'image. Autre exemple : la FEP d'une image obtenue par le satellite CoRoT.

Définition de la largeur à mi-hauteur.

Crédit : ASM

La tache image est explicitement indiquée sur l'image de la source GG Tauri enregistrée dans la raie de ${}^{13}\mathrm{CO}\ (2-1)$ . Cette source correspond à un système stellaire binaire en formation. Le flux millimétrique à 1.3 mm codé en fausse couleur montre une structure en anneau.

Crédit : IRAM

Largeur à mi-hauteur

On rend compte d'une fonction d'étalement du point simple par sa largeur à mi-hauteur. Souvent, les images obtenues dans les longueurs d'onde millimétriques ou radio mentionnent explicitement l'extension à mi-hauteur de la tache image élémentaire.

Simulation de champs stellaires. L'étalement de l'image de plusieurs sources ponctuelles bien distinctes peut conduire à l'apparence d'une source étendue.

Crédit : ASM

FEP et résolution spatiale

La résolution spatiale dépend intimement de la FEP : distinguer les détails d'un champ s'avère impossible aux échelles plus petites que la largeur à mi-hauteur de la FEP.

Objectifs

La fonction de transfert, l'image d'un objet ponctuel, transcrit la qualité de la formation d'image.

Fragment d'image, et estimation de sa fonction d'étalement du point. Les différentes images des sources stellaires correspondent à la convolution de l'image idéale stellaire par la FEP.

Crédit : ASM

Fonction de transfert/fonction d'étalement du point

La fonction de transfert de la chaîne de collecte du signal, ou fonction d'étalement du point, rend compte de l'image non ponctuelle d'un objet ponctuel. Cette fonction de transfert relate toutes les modifications apportées à l'image idéale.

Par définition, l'image d'une source ponctuelle est la fonction de transfert, au bruit près.

L'image d'une source non ponctuelle est son image géométrique idéale convoluée par la fonction de transfert. Au mieux, la fonction de transfert rend compte de la diffraction. Mais elle inclut aussi tous les autres défauts de la chaîne de détection.

Résolution, et largeur à mi-hauteur

Le lien entre la fonction de transfert et la résolution est immédiat : il n'est pas possible d'obtenir de détails plus fins que la fonction de transfert.

Il est souvent suffisant de rendre compte de la fonction de transfert, si elle présente la symétrie circulaire, par sa largeur à mi-hauteur.

Contributions à la fonction d'étalement du point

Les pages suivantes décrivent la contribution de la diffraction à la fonction de transfert. Les aberrations optiques ne sont pas abordées. Le rôle de la turbulence atmosphérique est traité dans une section à part.

FPE, objets et images.

Crédit : ASM

La fonction d'étalement du point à l'oeuvre

L'animation ci-dessous décompose, dans un cas unidimensionnel, la transformation d'un objet en son image via la FPE.

$diffracHSTNGC188.jpg$

Image d'une étoile de l'amas ouvert NGC 188. Cet amas d'étoiles a servi pour l'étalonnage de la fonction d'étalement du point du télescope spatial Hubble. La tache image rend essentiellement compte de la figure de diffraction d'une source ponctuelle.

Crédit : HST

Différentes tailles de collecteur, et taches de diffraction associées : l'extension de la tache de diffraction est inversement proportionnelle au diamètre du collecteur.

Crédit : ASM

Diffraction

L'image d'un point n'est pas un point, mais une tache. Au mieux, la tache de diffraction, ou alors une tache élargie par la turbulence.

Influence du secondaire

Le front d'onde incident, avec l'occultation par le miroir secondaire, et la figure de diffraction associée. A la figure de diffraction du miroir primaire se superpose celle de l'occultation secondaire.

Crédit : ASM

Influence du miroir secondaire

Le plus souvent, le miroir secondaire occulte le faisceau incident. Le front d'onde initial n'est pas seulement découpé par le miroir primaire, il est aussi amputé de sa partie centrale. La tache de diffraction d'un télescope possédant un miroir secondaire sur son axe optique est moins lumineuse mais plus étendue que celle du miroir primaire considéré seul. La perte de flux lumineux est due à l'occultation par le miroir secondaire d'une partie du faisceau.

Pupille du télescope HST (théorique et observée), avec obstruction centrale du miroir secondaire, et support de celui-ci par une araignée à 4 branches.

Crédit : IRAM

Influence de l'araignée

Le support du miroir secondaire, également appelé araignée, qui occulte le faisceau primaire, rajoute sa signature à la figure de diffraction.

Crédit : ASM

Influence du support du miroir secondaire

L'araignée, le support du miroir secondaire, occulte également la pupille. Sa signature apparaît clairement pour une source brillante.

Étoile ou galaxie ?

Champ galactique avec des étoiles au premier plan. Les objets étendus, dont celui dans le coin inférieur droit, ne semblent pas présenter d'aigrettes de diffraction, contrairement aux objets ponctuels.

Crédit : HST

Objet ponctuel ou non

Sur une image, certains objets semblent soumis à la diffraction, avec de belles aigrettes de diffraction, alors que d'autres non. Les premiers sont des objets non résolus (typiquement une étoile), alors que les seconds sont étendus (typiquement une galaxie). Les contributions des différents points sources d'un objet étendu, non superposées, sont diluées et ne se distinguent pas.

Prérequis

Diffraction de Fraunhofer. Diffraction par une fente rectiligne.

Objectifs

Déterminer et dimensionner le rôle de la diffraction dans la formation d'image.

Tache image pour un collecteur de section circulaire

Définition

La demi-largeur angulaire de la tache centrale de diffraction obtenue à la longueur d'onde $\lambda$ pour un collecteur de diamètre vaut :

$i _{\mathrm{diff}} \ = \ 1.22\ {\lambda \over a}$

Le facteur 1.22 est d'origine géométrique (dans le cas d'une fente rectiligne de largeur , le facteur est 1) ; c'est la première valeur qui annule la fonction de Bessel qui rend compte de la diffraction par une pupille circulaire.

Il est physiquement impossible de distinguer des détails plus petits que cette tache image : la diffraction fixe la résolution ultime d'un collecteur unique.

Pour comparer la tache de diffraction au diamètre angulaire des objets étudiés, il est utile de connaître l'ordre de grandeur :

$1"\ = \ 4.85 \ 10^{-6}\ \mathrm{rad}\ \simeq\ 5\ 10^{-6}\ \mathrm{rad}$

et aussi

$1'\ = \ 2.91 \ 10^{-4}\ \mathrm{rad}\ \simeq\ 3\ 10^{-4}\ \mathrm{rad}$

De l'intérêt d'un collecteur de grand diamètre

La relation entre la taille angulaire de la tache image et le diamètre du collecteur montre directement l'intérêt d'augmenter ce dernier : cela permet d'avoir des images angulairement mieux résolues.

Diffraction d'une onde mécanique

L'appliquette ci-jointe montre la diffraction d'une vague de surface par une ouverture étroite.

Influence du support du miroir secondaire

Le support du miroir secondaire, appelé araignée, occulte le faisceau primaire, et rajoute sa signature à la figure de diffraction, surtout pour les objets brillants.

Taches images

L'appliquette ci-dessous calcule la tache image de divers collecteurs. Visualiser l'influence, avec un seul collecteur (avec circulaire comme choix de pupille) :

du diamètre du collecteur,
de la longueur d'onde (identifier la pleine échelle de la tache image, exprimée en unité angulaire),
de l'éventuelle occultation par un miroir secondaire,

Visualiser l'influence, avec un collecteur et une occultation du secondaire (avec circ+ obst. second. comme choix de pupille) :

de l'éventuelle occultation par un miroir secondaire,
de la taille relative de cette occultation

Visualiser l'influence, avec plusieurs collecteurs (avec 2 circulaires ou bien croix d'Angel):

du rapport entre leur diamètre et leur éloignement,
de la configuration des collecteurs.

Ciel profond

Champ de galaxies.

Crédit : HST

Diffraction or not diffraction ?

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

L'appliquette ci-jointe montre l'étoile double Mizar, dont les 2 composantes sont séparées de 14.4", observées dans le rouge à 800 nm, par un télescope de la classe 1-m.

Question 1)

Déterminer l'échelle de l'image, en "/pixel.

Question 2)

Déterminer le rayon des anneaux concentriques entourant chaque étoile.

Question 3)

Ces anneaux peuvent-ils être dus à la diffraction par le miroir primaire, secondaire (ces anneaux se situent à $1.63, \ 2.68, \ 3.70\ \lambda/a$ ) ?

Dans quel sens ?

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Radiotélescope de Nançay : vue grand angle de l'ensemble. Le miroir plan orientable, à gauche, vise dans la direction méridienne ; le faisceau est renvoyé vers le miroir sphérique, à droite, qui le focalise au centre.

Crédit : Observatoire de Paris

Radiotélescope de Nançay : l'antenne sphérique

Crédit : Observatoire de Paris

Radiotélescope de Nançay : les 3 cornets de l'ancien chariot focal (en service jusqu'en 2000).

Crédit : Observatoire de Paris

Les figures ci-jointes montrent le miroir primaire et l'ancien foyer (utilisé jusqu'en 2000) du grand radiotélescope de Nançay (Observatoire de Paris).

Question 1)

L'antenne principale a une taille de $300 \ \times\ 35 \mathrm{m}$ . Estimer le profil de la tache angulaire de diffraction, pour les trois longueurs d'onde de travail 9, 18 et 21 cm (raie de couplage spin-orbite de l'hydrogène atomique).

[2 points]

Question 2)

Pourquoi y'a-t-il 3 cornets de détection ?

[1 points]

Question 3)

Discuter de la forme et de l'orientation de ces cornets.

[1 points]

Intérêt d'un collecteur de grand diamètre

Deux motifs se conjuguent pour privilégier les collecteurs de grand diamètre : la taille de la tache de diffraction et le flux collecté. Comme le montre la table ci-joint, le flux reçu par unité d'élément d'image résolvant varie comme la puissance quatrième du diamètre collecteur, lorsque la taille de la tache image est limitée par la diffraction et que le détecteur échantillonne cette tache image. Le gain obtenu provient d'une part de l'accroissement de la surface collectrice, d'autre part d'une meilleure finesse de la tache de diffraction.

diamètre collecteur	flux total	surface tache image	flux/pixel
1	1	1	1
		$a^{-2}$

Différentes tailles de collecteur, et taches de diffraction associées. Le flux reçu par unité d'élément d'image varie comme la puissance quatrième du diamètre collecteur.

Crédit : ASM

Image enregistrée sans ou avec optique adaptative.

Crédit : ESO

De l'intérêt d'arriver à la tache de diffraction

Il est utile de s'attacher à récupérer une forte densité de flux sur les pixels, comme le montre cet exemple de traitement par optique adaptative.

Critère de Rayleigh

Le critère de Rayleigh ; la résolution des 2 sources (images, et coupes de ces images) nécessite une séparation de l'ordre de $1.22\ \lambda / a$ . L'abscisse du profil en coupe est directement donnée en unité $1.22\ \lambda / a$ .

Crédit : ASM

Le critère de Rayleigh

Les schémas ci-joints illustrent le critère de Rayleigh, qui définit la condition pour distinguer 2 objets de magnitude identique angulairement voisins.

Prérequis

Diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

Montrer le lien entre la diffraction et la résolution ultime d'un système optique.

Résolution limite

La résolution limite dépend de la taille de la pupille et de la longueur d'onde. L'amélioration de cette valeur limite motive la construction de collecteurs de diamètre le plus grand possible, surtout à grande longueur d'onde.

Le tableau ci-dessous présente diverses taches images, en les traduisant également en distance à laquelle une pomme (de diamètre de l'ordre de 10 cm) présente la taille angulaire correspondante.

Tache image
Instrument			$\lambda$	$1,22\ \lambda /a$	pomme
				" d'arc	(distance en km)
oeil	7	mm	vis.	18	1.1
petit télescope	12	cm	vis.	1	20
ISO, spatial	60	cm	IR	8	2.6
VLT, Chili	8	m	vis.	0.015	1400
VLT, Chili	8	m	20 μm	0.6	33
antenne VLBI	70	m	21 cm	12'	27 m
réseau VLBI		km	21 cm	0.005	4000

Critère de Rayleigh

Le critère de Rayleigh ; l'abscisse est ici directement en unité $1.22\ \lambda / a$

Crédit : ASM

Critère de Rayleigh

Le critère de Rayleigh permet de préciser à quelle condition on peut distinguer 2 sources ponctuelles : il faut que le premier zéro de la figure de diffraction de l'une corresponde au maximum de l'autre.

Bonnes résolutions

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On cherche à résoudre différents objets, en lumière visible. Déterminer le diamètre minimal du collecteur nécessaire, la résolution angulaire étant limitée par la diffraction, dans les cas suivants.

Question 1)

Un cratère de 20 km sur la Lune (distante de 380 000 km).

Question 2)

Une étoile double, dont les composantes sont séparées de 0.2".

Une histoire d'anneaux

Diverses interprétations rendant compte des observations des anneaux de Saturne (compilation d'observations de Galilée, Hévélius, Gassendi) : 2 satellites, des protubérances, des anses...

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Cratères lunaires

La Lune observée avec une lunette de 70 mm, et avec la caméra grand champ du télescope CFH.

Crédit : CFHT

Résolution angulaire et qualité d'image

L'apparence d'un objet dépend intimement de la finesse des détails les plus fins. Ainsi, l'identité des anneaux de Saturne n'a été dévoilée que lorsque des observations de qualité suffisante ont permis de trancher parmi les multiples interprétations alors discutées.

Le gain en résolution angulaire permet une meilleure identification des images ; par exemple pour la Lune observée avec un petit collecteur, ou bien un grand collecteur corrigé des premiers ordres de la turbulence.

Lobes d'antenne, en diagramme polaire. L'amplitude du lobe est donnée en échelle logarithmique, mesurée en dB d'atténuation par rapport à la réponse dans l'axe.

Crédit : ASM

Résolution angulaire et longueur d'onde

A grande longueur d'onde, la diffraction empêche une vision spatialement bien résolue, sauf à avoir un collecteur de très grande taille. Pour une antenne radio unique, circulaire de diamètre correspondant à un nombre limité de longueurs d'onde, le lobe d'antenne apparaît très étendu.

L'objet NGC7782, vu par le spectroimageur UVES du VLT (couleur en vidéo inverse). La pixélisation apparaît clairement.

Crédit : ESO

Résolution angulaire et taille d'un élément d'image

Il est important, pour enregistrer une image en respectant sa résolution angulaire, d'avoir des éléments d'image ou pixels convenablement dimensionnés.

Vers la haute résolution angulaire

La quête de résolution angulaire de plus en plus fine nécessite des bases de collecte d'observation de plus en plus étendues. Comme la taille d'un élément collecteur est limitée (en 2018 : à 8 m en mono-pupille pour les télescopes du VLT, Gemini Nord et Sud, Subaru ; 10 m en pupille segmentée pour les 2 télescopes Keck; bientôt 39 mètres pour l'ELT européen de l'ESO), on se tourne vers l'interférométrie.

La pixélisation

La résolution angulaire ne dépend pas uniquement des conditions de collecte du signal, avec un collecteur de diamètre plus ou moins grand ; elle dépend aussi de la façon dont l'image est finalement enregistrée. L'enregistrement du signal, aujourd'hui quasi uniquement sous forme numérique, doit être adapté à la résolution.

Afin que la taille finie des pixels ne limite pas la résolution, le critère de Shannon énonce qu'il faut au moins 2 pixels par élément de résolution.

Par exemple, si la résolution visée est de 0.4", un pixel doit couvrir 0.2". S'il est plus gros, sa taille va limiter la résolution. S'il est plus petit, le signal sera suréchantillonné spatialement, sans gain d'information spatiale.

Pour en savoir plus

La résolution dépend de bien d'autres paramètres. On peut citer : la qualité de l'atmosphère, les aberrations géométriques...

Résolution angulaire variable

Animation montrant l'aspect de la galaxie M31 à diverses résolutions spatiales, balayant les différents aspects avec un appareil très peu résolvant, jusqu'à un bon télescope.

Crédit : ASM

Résolution angulaire

L'aspect de galaxie M31 (d'Andromède) dépend de la résolution angulaire instrumentale. Plus elle est élevée, plus les détails observables sont fins.

Taille du pixel variable

Animation montrant la galaxie M31, à divers niveaux de pixélisation. Plus la taille du pixel est petite, meilleure est la résolution angulaire, donc la résolution spatiale.

Crédit : ASM

Résolution angulaire et taille d'un élément d'image

La résolution est également limitée par la pixélisation, qui conditionne la FEP.

QCM

1) Pour une résolution angulaire de 1", le champ optimal vu par 1 pixel doit valoir
0.5"
1"
2"

2) En lumière jaune, avec un collecteur de 1 m de diamètre ouvert à f/10, une qualité d'image du ciel (seeing) de 1" et des pixels de 15 micromètres, la facteur limitant de la résolution est :
la diffraction
la pixélisation
le seeing

Choix d'une caméra

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Dans le cadre du développement d'un instrument, on cherche à choisir la caméra optimale, càd celle qui réalisera les performances demandées, pour un coût minimal. Un constructeur propose des caméras de taille 1k $\times$ 1k (1000 px par 1000 px), 1k $\times$ 2k, 2k $\times$ 2k, et 2k $\times$ 4k, avec pixels carrés de 20, 15 ou 9 micromètres de côté.

Question 1)

Le collecteur présente un diamètre de 3.6 m, pour une ouverture f/3.3 En déduire la focale équivalente, puis le lien entre la taille physique du pixel et le champ $\alpha$ qu'il couvre.

Question 2)

Le champ doit couvrir $8'\times 4'$ , avec une résolution de $\alpha =0.6"$ . En déduire la caméra appropriée.

Saturne et ses anneaux

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

Géométrie simplifiée.

Crédit : ASM

L'identification de la nature des anneaux de Saturne ne fut pas sans peine. Le but de l'exercice est de déterminer la résolution angulaire nécessaire permettant de le faire.

A l'opposition, Saturne s'approche à 8.5 UA de la Terre. Le rayon planétaire vaut 60 000 km, les rayons interne et externe des principaux anneaux respectivement 90 000 et 140 000 km. On suppose que les anneaux sont observés sous grand incidence (l'incidence maximale est de l'ordre de 26 deg), pour être dans un cas favorable (lorsque la Terre passe dans le plan des anneaux... on ne les voit simplement pas). Néanmoins, pour simplifier les calculs, on s'intéresse au seul problème 1-D portant sur la seule variable radiale, selon la géométrie de la figure jointe.

Question 1)

Refaire à l'échelle schéma de Saturne et de ses anneaux. Déterminer le plus petit élément bien contrasté à observer pour pouvoir identifier les anneaux.

[1 points]

Question 2)

La résolution devant être au-moins d'un facteur 2 plus précis que la taille du plus petit élément à identifier, déterminer la résolution nécessaire.

[2 points]

Analyser spectralement la lumière est à la base de l'astrophysique. Cette section a pour but de rappeler quelques principes de physique permettant une analyse spectrale efficace. L'instrumentation nécessaire s'appuie sur le réseau de diffraction, bien plus efficace pour disperser la lumière qu'un prisme. Mais la mise en oeuvre du réseau nécessite un environnement précis.

Le spectre solaire à haute résolution spectrale, obtenu avec un spectromètre échelle. Les couleurs comme l'aspect du spectre résultent d'un traitement d'image complexe.

Crédit : NOAO

Spectre stellaire visible théorique à diverses résolutions spectrales $( {\cal R} = 100,\ 500,\ 2500)$ . La luminosité par intervalle spectral (unité arbitraire) est inversement proportionnelle à la résolution.

Crédit : ASM

Échantillon d'un spectre stellaire observé à diverses résolutions spectrales $( {\cal R} = 3000,\ 10000,\ 30000,\ 100000,\ 300000)$ , avec renormalisation du flux.

Crédit : ASM

Résolution spectrale

Plus la résolution d'un spectre stellaire théorique est élevée :

plus les raies stellaires s'affinent,
plus on gagne d'informations,
mais plus il y a de données à traiter,
et moins il y a de flux par élément spectral.

Objectifs

Définir les notions de résolution spectrale : élément de résolution ; pouvoir de résolution ; intervalle spectral élémentaire.

Le pouvoir de résolution

Le pouvoir de résolution spectrale mesure la capacité à distinguer deux longueurs d'onde différentes $\lambda$ et $\lambda+\delta \lambda$ . Il est mesuré par la quantité :

${\cal R} \ = \ {\lambda\over \delta\lambda}$

Le pouvoir de résolution est d'autant plus élevé que l'élément de résolution $\delta\lambda$ (également appelé résolution spectrale élémentaire ou élément spectral) est petit.

Conversions

Le pouvoir de résolution peut être exprimé avec les diverses grandeurs spectrales (longueur d'onde $\lambda$ , fréquence $\nu$ ) :

${1\over {\cal R}} \ = \ {\delta\lambda\over \lambda} \ = \ {\delta\nu\over \nu}$

Il peut également être traduit en une vitesse, via l'équivalent Doppler:

${1\over {\cal R}} \ = \ {\delta\lambda\over \lambda} \ = \ {v\over c}$

Raie stellaire représentée en fonction de la longueur d'onde ou de la vitesse repérée par rapport au centre de la raie.

Crédit : ASM

Diverses résolutions
Instrument	Pouvoir de résolution typique	$\delta\lambda$ @ 500 nm (nm)	vitesse (km/s)
Prisme	500	1	600
Réseau	5000	0.1	60
Réseau blazé	50000	0.01	6

Démonstration

La justification de ce qui précède procède en 2 étapes :

Différentiation logarithmique : $\nu = c/\lambda \ \Longleftrightarrow\ \ {\mathrm{d}} \nu / \nu = - {\mathrm{d}}\lambda / \lambda$ .
Passage de la notation différentielle à une mesure : $\delta \nu / \nu = \delta\lambda / \lambda$ .

Le doublet du sodium

Le doublet jaune du sodium du spectre solaire, simulé à diverses résolutions spectrales.

Crédit : ASM

Résolution variable

Selon la résolution spectrale, des raies bien marquées, comme celles du sodium à 589.0 et 589.6 nm, apparaîtront plus ou moins clairement, avec l'identification de raies fines entre les 2 éléments du doublet, ou bien noyées dans le flux continu.

QCM

1) La mesure de la largeur de raies larges de 6 km/s nécessite un spectromètre de pouvoir de résolution :
5000
10000
50000

2) Sur combien d'éléments spectraux est découpé le spectre visible d'une étoile, étudié entre 450 et 550 nm à la résolution de 10000 ?
1000
2000
5000

3) Pour obtenir un pouvoir de résolution spectrale de 10000 dans un intervalle de 100 nm aux alentours de 1000 nm, il faut collecter le spectre sur un nombre d'éléments spectraux de l'ordre de
100
1000
10000

Résolution et variable spectrale

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Un spectromètre assure un pouvoir de résolution 25 000 dans le visible à 500 nm.

Question 1)

Déterminer la largeur d'un élément spectral élémentaire.

Question 2)

Le spectromètre en question, par transformée de Fourier, travaille en unité de nombre d'onde, exprimée en $\mathrm{cm}^{-1}$ . Exprimer le nombre d'onde $\sigma= 1/\lambda$ et la résolution $\delta\sigma$ dans ce système d'unité.

Quelle résolution ?

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le spectre ci-joint (voir l'appliquette) a été enregistré aux alentours de 440.5 nm. Il s'agit d'estimer sa résolution, en fait limitée par la résolution instrumentale.

Question 1)

Vaut-il mieux effectuer la mesure sur une raie fine ou une raie large ?

Question 2)

Estimer alors la résolution instrumentale

Prérequis

Même s'il reprend les bases théoriques, ce cours suppose que le réseau a déjà été étudié en physique. Un réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source, et en donne une série d'images colorées.

Objectifs

Caractériser les interférences constructives d'un réseau ; voir la distribution de l'énergie dans la figure d'interférence.

Le réseau donne une série d'images colorées de la fente source.

Crédit : ASM

Paramètres du réseau, et définition des angles des faisceaux incident et diffracté.

Crédit : ASM

À incidence nulle, la différence de marche entre 2 rayons consécutifs, vaut $\delta = p \sin i'$ . Elle correspond au déphasage $\varphi = 2\pi \ p/ \lambda \sin i$ .

Crédit : ASM

Interférences constructives

On note la période du réseau, le nombre de traits, $\lambda$ la longueur d'onde étudiée. La condition d'interférences constructives s'écrit :

$\sin i \pm \sin i' \ = \ m\ {\lambda \over p}$

avec , entier, l'ordre d'interférence. Le signe dans cette relation concerne un réseau par transmission, le signe un réseau par réflexion. C'est ce dernier cas qui nous intéresse, car il correspond au cas du réseau blazé.

Cette condition rend compte que le déphasage $\varphi$ entre les amplitudes complexes issues de 2 traits consécutifs, vaut $2m\pi$ (ou bien, de façon équivalente, que la différence de marche vaut $m\lambda$ ).

$diffracinterf.png$

Les interférences se construisent principalement dans le lobe principal de la tache de diffraction d'une fente du réseau (en rouge).

Crédit : ASM

Le rôle de la diffraction puis des interférences

La diffraction par une fente du réseau détermine les différentes directions vers lesquelles la lumière est envoyée, chacun des fentes du réseau se comportant comme une source secondaire.

Les interférences entre ces différentes sources secondaires construisent les franges d'interférences, d'autant plus fines que le réseau comporte un nombre important de traits (cf. calcul de l'intensité de la figure d'interférence).

Représentation des numérateur (bleu ciel) et dénominateur (violet) de l'intensité diffractée par le réseau (en bleu). Les pics d'interférence apparaissent pour chaque annulation du terme $\sin \varphi/2$ du dénominateur. La finesse des pics d'interférence augmente avec le nombre de traits

.

Crédit : ASM

Sommation des différentes amplitudes.

Crédit : ASM

Intensité de la figure d'interférence

L'intensité de la figure d'interférence est issue du double effet de la diffraction par une seule fente et des interférences par fentes. On s'intéresse dans un premier temps au phénomène d'interférence seul. On note $\varphi$ le déphasage entre 2 fentes consécutives, et A_1 l'amplitude complexe. On mène les calculs dans l'approximation de Fraunhofer, pour montrer que l'intensité diffractée vaut :

$I_N\ =\ \ |A_1|^2 \left({ \sin N\varphi/2 \over \sin \varphi/2 }\right)^2$

Démonstration

La sommation des amplitudes conduit à :

$A_N\ =\ \sum_{k=1}^{k= N} A_1 \ \exp i (k-1)\varphi \ =\ A_1 \ \sum_{k=0}^{k= N-1}\ \bigl(\exp i\varphi \bigr)^k$

Le traitement de la somme des termes d'une suite en progression géométrique donne :

$A_N\ =\ A_1 \ { 1 - \exp i N\varphi \over 1 - \exp i \varphi}$

On calcule l'intensité en factorisant le numérateur et le dénominateur par l'exponentielle complexe de l'angle moitié (de module unité), pour aboutir à :

$I_N\ =\ |A_N|^2 \ =\ |A_1|^2 \ \left|{ \exp (i N\varphi/2) - \exp (-i N\varphi/2) \over \exp (i \varphi/2) - \exp (-i \varphi/2) }\right|^2 \ =\ |A_1|^2 \left({ \sin N\varphi/2 \over \sin \varphi/2 }\right)^2$

Le terme d'intensité est important uniquement lorsque le dénominateur s'annule. Dans ce cas, le numérateur s'annule également et, par continuité du rapport, le pic d'intensité tend vers N^2 . Chaque pic correspond à un ordre d'interférence. La largeur de ce pic est donnée par les variations du numérateur, qui oscille fois plus rapidement que le dénominateur ; elle est donc fois inférieure à la largeur entre 2 ordres consécutifs.

Inefficacité du réseau par transmission

L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est a priori pas efficace : l'essentiel de l'énergie passe dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. Un concept technologique spécifique pare cet inconvénient : le réseau blazé.

Variation de l'angle de dispersion en fonction de l'ordre d'interférence.

Crédit : ASM

Dispersion du réseau / ordre d'interférence

La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend de l'ordre d'interférence.

Variation de l'angle de dispersion en fonction de la couleur de l'onde plane monochromatique incidente.

Crédit : ASM

Dispersion du réseau / couleur

La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend de la longueur d'onde de l'onde plane incidente.

Variation de l'angle de dispersion en fonction du nombre de traits du réseau, donné en traits par millimètre, l'ordre (ici m = 1) et la longueur d'onde étant fixés.

Crédit : ASM

Dispersion / pas du réseau

La déviation des ordres diffractés par le réseau dépend du pas du réseau (ou nombre de traits par millimètre).

Prérequis

Etude du réseau en physique.

Objectifs

Caractériser la dispersion d'un réseau, càd sa capacité à distinguer les différentes couleurs.

Relation du réseau

Rappel : la condition d'interférences constructives s'écrit :

$\sin i \pm \sin i' \ = \ m\ {\lambda \over p}$

avec l'ordre d'interférence (entier), le pas du réseau, $\lambda$ la longueur d'onde d'étude.

Dispersion angulaire

La dispersion angulaire relie, à incidence fixée, les variations de l'angle de sortie avec $\lambda$ . Elle est obtenue par différentiation de la relation du réseau :

${ {\mathrm{d}} i' \over {\mathrm{d}}\lambda} = {m\over p \cos i'}$

La dispersion ${\mathrm{d}} i' / {\mathrm{d}}\lambda$ croît avec l'ordre et la fréquence spatiale du réseau 1/p . La résolution ${\mathrm{d}}\lambda$ dépend des paramètres du réseau, mais aussi de la précision ${\mathrm{d}} i'$ avec laquelle on peut déterminer l'angle .

Les ordres d'interférences des différentes couleurs progressent d'autant plus vite que la longueur d'onde est petite. Très rapidement, les différents ordres des différentes couleurs se mêlent.

Crédit : ASM

Ordres d'interférences

A couleur fixée, mais ordre d'interférence variable, la différentiation de la relation constitutive du réseau s'écrit :

$\cos i' {\mathrm{d}} i'\ =\ {\lambda \over p}\ {\mathrm{d}} m$

Un pas d'interférence, correspondant à $\Delta m\equiv 1$ , correspond à un intervalle angulaire :

$\Delta i'\ =\ {\lambda \over p \cos i'}$

Ce pas varie directement avec la couleur de l'onde considérée.

Diffraction et interférences à

ondes

. La largeur de la tache principale varie comme 1/N

. La figure de droite zoome sur un ordre donné.

Crédit : ASM

Le pouvoir de résolution théorique

Le nombre de traits du réseau fixe la largeur angulaire de la tache image : la figure d'interférence envoie la lumière de façon significative dans un intervalle angulaire fois moindre qu'un ordre :

${ {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}} = {\Delta i'\over N} = {\lambda \over N p \cos i'}$

Le pouvoir de résolution théorique du réseau s'écrit, s'il est limité par la seule diffraction, en application de ce qui précède $( {\mathrm{d}} i' = { {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}})$ :

${\cal R}_0 \ = \ {\lambda \over {\mathrm{d}} \lambda}\ = {\lambda \over { {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}}}\, {{ {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{diff}} \over {\mathrm{d}}\lambda} \ = \ m \ N$

Le pouvoir de résolution théorique augmente avec le nombre de traits éclairés et avec l'ordre d'interférence.

AN : avec un réseau blazé de 100 mm, 100 traits/mm et travaillant à l'ordre 40, le pouvoir de résolution théorique atteint 400 000.

Inefficacité du réseau par transmission

L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est toujours pas efficace : la dispersion spectrale est d'autant plus grande que l'ordre du réseau est élevé, mais l'essentiel de l'énergie reste dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. De plus, la superposition des ordres mélange les couleurs.

Lumière rouge, ordre 1

Crédit : ASM

Lumière verte, ordre 1

Crédit : ASM

Lumière bleue, ordre 1

Crédit : ASM

Lumière verte, ordre 2

Crédit : ASM

Lumière verte, ordre -1

Crédit : ASM

Lumière verte, ordre 1, grand pas

Crédit : ASM

Lumière verte, ordre 1, petit pas

Crédit : ASM

La déviation du réseau

Les animations montrent la création des ordres d'interférence par interférences constructives, pour différents ordres et couleurs. Attention : ces animations supposent indûment valide à courte distance l'approximation de Fraunhofer, qui décrit la diffraction uniquement à grande distance de l'objet diffractant.

Voir comme la déviation varie avec :

l'ordre d'interférence : cf animations pour différents ordres, 1, 2 , -1
la longueur d'onde : cf animations pour différentes couleurs, rouge, vert, bleu
le pas du réseau : cf animations pour différents pas, grand, ou petit

Le double réseau de l'instrument HARPS (ESO, télescope de 3.6 m). Les 2 réseaux côte à côte couvrent une surface de $20 \times 80\ \mathrm{cm}$ .

Crédit : HARPS/ESO

Image projetée sur un écran translucide d'un spectre-échelle obtenu avec un spectromètre (SOPHIE, OHP) incluant un réseau blazé et un post-disperseur.

Crédit : OHP/CNRS

Un réseau efficace

Un réseau-échelle ou réseau blazé (a blaze of color = resplendissant de couleur) traite efficacement la dispersion : il envoie la puissance lumineuse incidente dans des ordres élevés du spectre, avec une grande dispersion spectrale. Il s'agit d'un réseau par réflexion, très couramment utilisé en instrumentation astrophysique.

Image d'un spectre-échelle à haute résolution spectrale obtenu avec une caméra CCD. Le spectre de l'étoile apparaît ici sous l'aspect de bandes sombres. L'étalonnage en longueur d'onde est apporté par les raies en émission d'une lampe spectrale (Thorium Argon), dont le spectre est intercalé avec celui de l'étoile, et enregistré simultanément.

Crédit : ESO/ASM

Aperçu de 6 ordres du spectre obtenu avec le spectromètre Harps. La diffraction par chaque trait du réseau est responsable du profil d'étalement du flux ; la séparation des ordres est obtenue grâce à un deuxième élément dispersif, dans une direction perpendiculaire à celle du premier réseau.

Crédit : ESO/ASM

La dispersion croisée du spectromètre Harps est assurée par un grisme, qui correspond à un réseau par transmission gravé sur un prisme.

Crédit : ESO

Les ordres d'un réseau blazé

Une deuxième dispersion, dite dispersion croisée, des ordres diffractés par un réseau blazé permet d'obtenir un spectre sur un large intervalle spectral divisé en plusieurs ordres. L'intensité dans chaque ordre est modulée par la fonction d'Airy de la fente d'entrée.

Objectifs

Introduire les propriétés du réseau blazé, dont l'intérêt est d'envoyer l'énergie diffractée dans un ordre d'interférence non nul.

Profil d'un réseau blazé ou réseau échelle, et définition des angles. Les facettes réfléchissantes du réseau sont gravées avec une inclinaison $\theta$ par rapport au plan du réseau. La diffraction envoie une intensité maximale dans un ordre d'interférence non nul, pour $i'=2\theta-i$ . Les angles

et

restent définis par rapport au plan du réseau.

Crédit : ASM

Le maximum d'énergie renvoyée (dans la direction de l'optique géométrique) correspond à un ordre non nul, d'autant plus grand que la longueur d'onde est petite. Dans la pratique, l'inclinaison du faisceau est le plus souvent très proche de la normale aux facettes.

Crédit : ASM

$diffracblaze.png$

Pour un réseau blazé, les interférences se construisent principalement dans le lobe principal de la tache de diffraction, centré sur une frange d'ordre non nul.

Crédit : ASM

Le réseau blazé

Le réseau par transmission n'est pas efficace. La diffraction envoie essentiellement l'énergie dans l'ordre 0, qui n'est pas dispersif, ce qui n'est guère intéressant. L'intérêt du réseau blazé est d'envoyer le flux dans un ordre d'interférence non nul dans les conditions de l'optique géométrique (les conditions usuelles d'utilisation sont proches du cas $i' = i = \theta$ , où $\theta$ est l'angle de blaze). Cet ordre dépend de la couleur étudié.

D'un point de vue énergétique, le montage optique d'un réseau blazé s'arrange pour voir essentiellement la tache de diffraction du réseau (déterminée par une facette élémentaire).

Avec un réseau blazé, l'image diffractée de la fente d'entrée correspond à un ordre d'interférences non nul. Cet ordre d'interférence varie d'une couleur à l'autre. Une dispersion à basse résolution spectrale, perpendiculaire à la haute résolution apportée par le réseau blazé, permet de séparer ces ordres et d'obtenir une image d'un large intervalle spectral constitué d'une succession d'ordres.

Crédit : ASM

Nécessité d'une dispersion croisée

Par rapport au réseau par transmission, le réseau blazé permet un travail dans un ordre d'interférence élevé, assurant un pouvoir de résolution théorique élevé. Mais, à lui seul, le réseau blazé n'assure pas une dispersion optimale : les ordres restent superposés, aboutissant à la confusion des couleurs si chèrement dispersées. Il faut adjoindre au réseau blazé un deuxième élément dispersif, assurant une dispersion dans une direction perpendiculaire, qui permet de distinguer les différents ordres.

Avec 2 dispersions à angle droit, la source doit nécessairement être ponctuelle (en pratique, souvent une fibre).

QCM

1) Un réseau blazé optimisé pour observer à l'ordre 50 en lumière verte, pourra observer dans le bleu l'ordre :
40
50
60

2) Un réseau blazé de pas $p=26 {\,\mu\mathrm{m}}$ et d'angle $\tan \theta = 4$ observe dans le rouge (600 nm) dans l'ordre
84
100
116

Montage de Littrow avec réseau blazé. Le plan du réseau est incliné par rapport à l'axe optique de telle sorte que les facettes du réseau sont quasi perpendiculaires à l'axe optique.

Crédit : ASM

Le réseau donne une série d'images colorées de la fente source.

Crédit : ASM

Montage de principe

Le réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source ou un trou source. Le montage de principe est donc simplement un montage conjuguant la source à son image en passant via 2 lentilles équivalentes par un faisceau parallèle. Le réseau donne en fait une série d'images colorées de la fente source.

Spectromètre et réseau

En pratique, c'est évidemment plus complexe.

L'insertion du réseau dans le spectromètre nécessite :

Une fente d'entrée, ou tout dispositif réduisant le champ (un trou source dans le cas du réseau blazé).
Une bonne illumination de la fente ou du trou source.
Une optique assurant un bon éclairement du réseau.

L'appliquette ci-joint permet de lire le schéma optique de l'instrument CRIRES (CRyogenic high-resolution IR Echelle Spectrometer) du VLT.

Montage de Littrow

Un montage optique couramment utilisé avec un réseau blazé est celui de type Littrow, où une optique unique alimente le réseau en lumière parallèle et collecte le faisceau dispersé. Les facettes du réseau blazé sont éclairées sous une incidence quasi-nulle (mais correspondant à une incidence élevée par rapport au plan du réseau).

Prérequis

Etude du réseau en physique.

Objectifs

Lier le pouvoir de résolution spectrale d'un instrument disperseur avec réseau aux conditions de formation d'image.

Fente du réseau et collimation.

Crédit : ASM

La taille de la fente d'entrée

Le rôle de l'optique géométrique ne doit pas être oublié : il peut dimensionner la résolution effective du réseau. Avec $\ell$ la largeur de la fente et la focale du miroir collimateur, la taille angulaire de la fente vue dans l'espace image est :

${ {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{fente}} = { {\mathrm{d}} i} _{\mathrm{fente}} = {\ell\over f}$

Le pouvoir de résolution limité par la largeur de la fente d'entrée $( {\mathrm{d}} i' = { {\mathrm{d}} i'} _{\mathrm{fente}})$ s'écrit :

${\cal R}_1 \ = \ {\sin i \pm \sin i' \over \cos i'} \ {f \over \ell}$

où subsistent les conditions géométriques de l'éclairement du réseau. Dans les conditions d'un réseau blazé éclairé quasi normalement aux facettes, $i \simeq i'$ et avec le signe + correspondant au réseau par réflexion :

${\cal R}_1 \ \simeq \ 2 \ {\tan i'} \ {f \over \ell}$

Un pouvoir de résolution optimal nécessite une source de petite taille et une grande focale. Avec une focale de l'ordre du mètre, une fente de 100 micromètres (en fait une fibre), et $\tan i' =2$ , le pouvoir de résolution géométrique vaut 40 000.

La finesse de la fente d'entrée assure la finesse des images monochromatiques ; mais fermer la fente est réalisé au détriment de la luminosité. Assurer une longue focale nécessite un grand réseau, ce qui a un coût.

Pouvoir de résolution réel

Le pouvoir de résolution réel est conditionné par la plus petite valeur du pouvoir théorique ou limité par l'image géométrique de la fente d'entrée :

${\cal R} \ = \mathrm{min}\ [ {\cal R}_0, \ {\cal R}_1]$

Un instrument bien dimensionné est conçu de façon à accorder la taille de la fente et la résolution optimale définie par la diffraction. Des informations sur le réseau, on conclut que le pouvoir de résolution ${\cal R}$ du réseau, inférieur au pouvoir de résolution théorique, dépend :

du nombre de traits : ${\cal R} \le {\cal R}_0$ , qui varie comme
de l'ordre d'interférence : ${\cal R} \le {\cal R}_0$ , qui varie comme
mais qu'il peut être limité par la largeur de la fente : ${\cal R}$ varie comme $\ell^{-1}$

Un pouvoir de résolution élevé nécessite une fente d'entrée très étroite.

Le réseau du spectromètre HARPS

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

Le montage du spectromètre HARPS assure un pouvoir de résolution de l'ordre de 120 000. La focale de l'optique de chambre valant 1.56 m, en déduire la taille de la fente d'entrée, sachant que par ailleurs l'illumination du réseau a lieu dans les conditions $\tan i' \simeq \tan i \simeq 4$ .

[1 points]

Question 2)

Le flux collecté par le télescope a un diamètre de 3.6 m, qui devient dans l'instrument 20 cm. En déduire le grossissement.

[1 points]

Question 3)

Déduire de ce qui précède l'ordre de grandeur du champ de vue sur le ciel.

[2 points]

Cette section propose des développements plus ardus, au-delà d'un programme de niveau L2 ou L3, mais bien utiles, concernant divers points d'optique.

La notion d'étendue de faisceau permet, sans décrire complètement un faisceau, de connaître rapidement certaines propriétés spatiales.
La diffraction par une pupille circulaire est établie en bonne et due forme.
Une introduction à l'optique de Fourier est proposée.
Les notions de cohérence temporelle et cohérence spatiale sont exposées.
...

Ça se complique.

Crédit : ASM

Aberration de sphéricité

Programme de tracé de rayons. Les rayons les plus éloignés de l'axe de révolution d'un miroir sphérique convergent plus près du miroir que les rayons paraxiaux. Des couleurs différentes sont utilisées uniquement pour permettent de distinguer les rayons entre eux.

Crédit : ASM

Aberration sphérique

Un miroir sphérique est beaucoup plus simple à tailler qu'un miroir parabolique. Mais il ne rend pas les mêmes services, car il concentre la lumière imparfaitement ; plus le rayon est éloigné de l'axe optique, plus il va converger en avant du foyer. On parle d'aberration de sphéricité.

Contrairement au miroir sphérique, le miroir parabolique concentre parfaitement tous les rayons provenant d'un objet sur l'axe à l'infini.

Crédit : ASM

Même pour un miroir parabolique, l'image d'un objet à l'infini hors axe n'est pas parfaitement ponctuelle. L'effet est analogue à l'aberration de sphéricité présentée par un miroir sphérique.

Crédit : ASM

Aberration de coma

Diagramme de tracé de rayon montrant l'allure de la coma : l'image d'un point devient une petite tache allongée. comme une aigrette.

Crédit : ASM

Coma

Un miroir parabolique est exempt de cette aberration de sphéricité, mais uniquement pour un objet centré sur l'axe et non hors axe . On parle dans ce cas d'aberration de coma, qui rend donc compte de l'aberration de sphéricité hors axe.

Prérequis

Notion de stigmatisme.

Objectifs

Brièvement décrire les aberrations géométriques

Stigmatisme

La définition de la justesse de la formation d'image s'appelle le stigmatisme. Le stigmatisme idéal est atteint lorsque tous les rayons issus d'un point de l'objet convergent en un seul point de l'image.

Cette situation idéale n'est pas opérationnelle : il faut en pratique définir les conditions dans lesquelles la convergence est suffisante (p.ex. avec une précision dans le plan focal meilleure que la taille d'un pixel). Ces conditions sont d'autant mieux réalisées que l'on est proche de l'axe optique du système.

Aberration de coma

L'aberration de coma affecte tout rayon hors axe.

Crédit : ASM

Distorsion

La distorsion transforme une grille rectangulaire en une grille en forme de barillet ou de coussinet.

Crédit : ASM

Aberrations primaires

Les aberrations primaires correspondent à la décomposition des aberrations dans le champ image. Elles proviennent des écarts au stigmatisme lié d'une part aux rayons inclinés sur l'axe optique, d'autre part aux rayons ayant traversé le système optique loin de l'axe optique.

Les aberrations dépendent alors de 2 variables : la distance angulaire $\theta$ entre un point de l'objet et le point de l'objet centré sur l'axe optique ; la distance , sur la pupille d'entrée entre les traces du rayon et de l'axe optique sur la pupille d'entrée.

L'aberration sphérique ne dépend que de la distance . Elle est d'autant plus grande que l'ouverture de l'optique est grande.
La coma ne dépend que de $\theta$ , indépendamment de la taille de l'optique. La coma peut s'observer pour tout objet hors de l'axe optique.
L'astigmatisme et la courbure de champ dépendent du nombre d'ouverture et de la distance angulaire $\theta$ .
La distorsion déforme l'image sans défaut de netteté. Elle transforme une grille rectangulaire en une grille en forme de barillet ou de coussinet.

Aberration chromatique

L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple, dont la focale dépend de la couleur.

Crédit : ASM

Aberrations chromatiques

L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple : comme l'indice du matériau varie avec la longueur d'onde, la focale varie également. En règle générale, l'indice bleu, plus élevé donne une distance focale bleue plus courte.

Cette aberration est corrigée par l'utilisation de systèmes de lentilles (doublet, triplet...), avec des verres d'indices différents pour obtenir une focale équivalent quasiment identique pour toutes les longueurs d'onde considérées.

Les miroirs présentent l'avantage de ne pas induire d'aberrations chromatiques (la lumière ne traverse pas le miroir). Leur coefficient de réflexion, qui dépend intimement du traitement de surface, est néanmoins chromatique.

Comparaison de diverses aberrations

Aberrations

Les différents défauts géométriques cohabitent joyeusement, et les distinguer n'est pas toujours facile, comme le montre le diaporama ci-joint.

Prérequis

Notion d'angle solide.

Objectifs

Définir l'étendue de faisceau ; mais surtout montrer la conservation de l'étendue de faisceau.

Le montage afocal transforme un faisceau de diamètre

en un faisceau de diamètre

, avec un grossissement angulaire $\beta / \alpha = a /b = F/f$ .

Crédit : ASM

Exemple : montage afocal

Un montage afocal transforme un faisceau plan en un autre faisceau plan. Les rapports des diamètres des faisceaux et des inclinaisons en entrée et sortie sont intimement liés au grossissement.

${\beta \over \alpha} = G \ \mathrm{ \ et } \ {b \over a} \ = \ G^{-1} \ \Longrightarrow \ a\alpha\ =\ b\beta$

Le produit est un invariant, ce qui relate une relation physique plus générale : la conservation de l'énergie du faisceau.

Conservation de l'étendue de faisceau, de l'élément émetteur ${\mathrm{d}} S$ à l'aire collectrice ${\mathrm{d}} S'$ .

Crédit : ASM

Faisceau, étendue de faisceau et conservation de l'énergie

La puissance (ou luminosité ) transportée par un faisceau lumineux, émise par l'élément de surface S et reçue par S' se conserve (sorte de tautologie, le faisceau étant défini par l'ensemble des rayons lumineux, càd la totalité de la puissance lumineuse). Cette puissance est proportionnelle à la luminance $\ell$ , à l'élément de surface émetteur et à l'élément d'angle solide d'émission.

Un jeu d'écriture sur les grandeurs photométriques, avec les données de la figure, conduit à exprimer la conservation de la puissance lumineuse comme la conservation de l'étendue géométrique de faisceau. On définit cette étendue de faisceau, pour un faisceau traversant sans être collimaté (= sans perte d'énergie) un élément optique de section , occupant un angle solide $\Omega$ , dans un milieu d'indice unité (comme le vide ou comme l'air à peu de chose près), par le produit $S \ \Omega$ , qui se conserve le long du faisceau.

Pour les systèmes stigmatiques (càd, très grossièrement, donnant des images avec des aberrations limitées), la conservation de l'énergie se traduit par la conservation de l'étendue de faisceau :

$S \ \Omega \ = \ \mathrm{cste}$

Démonstration

Le passage de la luminance $\ell$ à la puissance lumineuse nécessite de s'appuyer sur le produit d'un élément de surface émetteur ${\mathrm{d}} S$ et d'un angle solide d'émission ${\mathrm{d}} \Omega$ . La luminosité élémentaire s'écrit :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega }$

L'angle solide 'regarde' une surface réceptrice ${\mathrm{d}} S'$ à la distance telle que :

${\mathrm{d}}\Omega = {\cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2}$

La luminosité élémentaire se réécrit donc :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega } \ =\ \ell \ {\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2} \ = \ \ell\ {\cos\theta' {\mathrm{d}} S' {\mathrm{d}} \Omega' }$

Avec ${\mathrm{d}}\Omega' = {\cos\theta {\mathrm{d}} S/ r^2}$ l'angle solide sous lequel est vue la source depuis la surface réceptrice. On remarque que le rôle des éléments émetteur et récepteur est symétrique. Le produit $\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'/ r^2$ introduit l'étendue géométrique élémentaire.

L'intégration sur le faisceau entier au travers d'une pupille, menée dans l'espace objet ou depuis l'espace image, garde la symétrie du produit surface $\times$ angle solide $S\ \Omega$ .

Faisceau divergeant d'une source quasi ponctuelle, collimaté : son énergie est localisée dans un cône.

Crédit : ASM

Faisceau conique peu ouvert

Un faisceau conique d'ouverture totale $\alpha$ couvre un angle solide :

$\Omega \ = \ 2\pi\ \left(1-\cos{\alpha\over2}\right)$

Si l'angle $\alpha$ est petit, cet angle solide se réécrit simplement :

$\Omega \ \simeq \ \pi\ \left( {\alpha\over2}\right)^2$

Au travers d'une optique de diamètre , la conservation du produit $S\ \Omega$ devient, pour ce faisceau conique :

$a^2\ \alpha^2 \ = \ \mathrm{cste}$

On retrouve donc le résultat obtenu dans le cadre du montage afocal.

Quelques conséquences

Comme conséquences importantes, on note que :

Plus le faisceau collecté passe par un diamètre fin, plus il est divergent.
Plus l'aire du collecteur est grande, plus l'étendue de faisceau est grande, plus les instruments doivent également être de grande taille pour offrir un grand diamètre au faisceau mis en forme.
La surface du détecteur et l'angle solide qu'il peut voir (de l'ordre de l'angle d'ouverture du télescope) limitent nécessairement la taille angulaire du champ objet.

Etendue de faisceau cohérente

Un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à $\lambda^2$ . La justification est donnée en exercice.

Imagerie grand champ

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le but d'une caméra est de réaliser un programme de cartographie, par imagerie grand champ. Les caractéristiques du détecteur sont fixées (taille du capteur CCD et caractéristiques de son optique), que l'on traduit par le produit $S _{\mathrm{cam}}\Omega _{\mathrm{cam}}$ . Le but de l'exercice est de déterminer quel collecteur optimal utiliser pour réaliser ce programme.

Question 1)

Comment varie la taille angulaire du champ objet en fonction de la surface du collecteur ?

Question 2)

Le temps de pose est fixé par le rapport signal à bruit des observations, qui dépend essentiellement du nombre de photons collectés. Comment le temps de pose varie-t-il avec la surface du collecteur ?

Question 3)

Y'a-t-il un intérêt particulier à utiliser un grand collecteur pour réaliser cette cartographie ? Quel usage peut-on conseiller à un télescope de la classe 4-m qui doit motiver son existence par rapport aux télescopes de nouvelle génération plus grands ?

Sur les 2 tableaux

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le montage optique réel de CoRoT. Les 2 miroirs paraboliques hors-axe sont notés Primary mirror et M2. Lens correspond à l'optique de chambre ; Focal box aux détecteurs CCD.

Crédit : CNES

CoRoT est un satellite du CNES lancé en décembre 2006, qui poursuit 2 objectifs scientifiques : la recherche d'exoplanètes par la méthode des transits d'une part, l'étude sismique de quelques étoiles de type solaire d'autre part. Ces 2 objectifs s'appuient sur la capacité de CoRoT à mener des observations de photométrie très précises. Le montage optique retenu consiste en l'association de 2 miroirs paraboliques confocaux (confocal $\equiv$ même foyer) hors axe, suivis par une optique de chambre conjuguant le faisceau issu des 2 paraboles avec le détecteur CCD. En pratique, pour les respecter les specifications de la formation d'image, cette optique de chambre est constituée de 6 lentilles.

Question 1)

Faire à l'échelle un schéma de principe le plus simple possible du système équivalent à l'ensemble miroirs + optique de chambre avec 3 lentilles équivalentes pour respectivement les 2 miroirs et l'optique de chambre.

Question 2)

Le diamètre du premier miroir vaut 30 cm ; les focales des miroirs primaire et secondaire sont dans un rapport de 3 à 1. Que peut-on en déduire concernant les lentilles de l'optique de chambre ? En quoi consiste l'un des intérêts de ce montage ?

Question 3)

Reprendre le schéma de principe, en respectant l'ouverture du faisceau à f/4 vu par la caméra, Calculer la focale équivalente et la focale de l'optique de chambre.

Question 4)

La question précédente met en évidence un gain sur l'optique de chambre. Mettre en évidence la contrainte associée, qui dérive de la conservation de l'étendue de faisceau. Conclure.

Étendue cohérente

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Un collecteur de diamètre délivre une tache de diffraction d'ouverture (définie comme largeur à mi-hauteur) $1.22\ \lambda /a$ . On cherche à en déduire l'étendue de faisceau cohérente.

Question 1)

Justifier que l'étendue cohérente correspond au pic central de la diffraction.

Question 2)

Déterminer l'étendue de faisceau cohérente. Montrer qu'elle est très voisine de $\lambda^2$ .

D'un collecteur de 8 m à une fibre

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Un instrument du VLT (collecteur de diamètre $a=8\ \mathrm{m})$ est alimenté par un faisceau de fibres de diamètre $80\ \mu\mathrm{m}$ .

Question 1)

L'alimentation optimale de la fibre se fait à f/2.5 . En déduire l'ouverture angulaire du faisceau en entrée de fibre.

[1 points]

Question 2)

Que vaut le champ objet admissible sur le ciel ? L'exprimer en seconde d'angle.

[1 points]

Observation au foyer et étendue de faisceau

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

On se propose de retrouver par l'application de la conservation de l'étendue de faisceau l'expression de la taille linéaire de l'image d'un objet à l'infini de diamètre angulaire $\alpha$ par un collecteur de diamètre et de focale . On considère le seul cas où l'angle $\alpha$ est petit. On note ladite taille linéaire.

Question 1)

Exprimer le produit $S\ \Omega$ côté source, en fonction des données.

[1 points]

Question 2)

Rappeler l'expression de l'ouverture angulaire du collecteur, et exprimer le produit $S'\ \Omega'$ côté détecteur.

[2 points]

Question 3)

Exprimer la conservation de l'étendue de faisceau. Retrouve-t-on le résultat attendu ? L'objet ayant une taille angulaire $\alpha$ , quelle est la taille linéaire de son image.

[2 points]

Illustration du phénomène de vignetage. Une partie du faisceau inclinés (en orange) est bloquée, alors que la totalité du faisceau d'incidence nulle (en bleu) est transmise : l'image sera moins lumineuse au bord.

Crédit : ASM

Champ vigneté : les sources les plus éloignées se retrouvent éteintes.

Crédit : ASM

Le vignetage

Le vignetage apparaît lorsque qu'un diaphragme coupe indûment le faisceau optique. Les bords de l'image ne sont alors plus suffisamment éclairés.

Prérequis

Optique géométrique ; tracé de rayons.

Objectifs

Bien accepter ou bien stopper les photons (sans trop rentrer dans les détails).

Champ et diaphragme

Le champ d'un instrument d'optique est la partie de l'espace dont cet instrument fournit une image acceptable.

Un diaphragme, c'est par définition ce qui limite un faisceau. En pratique, les montures des pièces optiques, la taille d'un détecteur sont des diaphragmes. La suite précise cette notion.

Diaphragme de champ

Un diaphragme de champ limite la taille angulaire du faisceau. Il est dimensionné pour assurer :

Un champ aux dimensions voulues.
Une bonne qualité optique dans le champ.
Un éclairement uniforme.

Le détecteur, de taille finie, peut jouer le rôle de diaphragme de champ.

Diaphragme d'ouverture

Dans un système optique centré, le diaphragme d'ouverture est le diaphragme matériel qui limite l'ouverture d'un faisceau centré. C'est donc le diaphragme vu de puis l'objet sous le plus petit angle ; c'est souvent la monture de la première lentille.

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Il est essentiellement dimensionné pour assurer le niveau d'éclairement voulu. Il joue sur l'extension linéaire du faisceau : un grand diaphragme nécessite des pièces optiques de grande taille... dont la qualité doit suivre.

Pupilles

La pupille d'entrée d'un instrument est l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées en avant ce diaphragme.

La pupille de sortie est l'image géométrique de la pupille d'entrée. C'est aussi l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées après ce diaphragme.

Diaphragme de champ

Relation entre la taille du détecteur, faisant office de diaphragme de champ, et le champ accessible.

Crédit : ASM

Diaphragme de champ

Un diaphragme de champ limite l'ouverture angulaire du faisceau. Dans l'animation proposée, c'est la taille du détecteur qui limite le champ accessible : le détecteur joue le rôle de diaphragme de champ.

Diaphragme d'ouverture

Relation entre le diaphragme d'ouverture et l'éclairement au foyer.

Crédit : ASM

Diaphragme d'ouverture

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Dans l'animation proposée, le diaphragme d'ouverture limite l'éclairement au foyer.

Diaphragme d'ouverture

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On propose d'utiliser un montage afocal, avec les lentilles L1 et L2 de caractéristiques respectives (focales et diamètres) : $f_1 = 100 {\,\mathrm{mm}},\ d_1 = 40 {\,\mathrm{mm}}$ ; $f_2 = 50 {\,\mathrm{mm}},\ d_2 = 16.6 {\,\mathrm{mm}}$ .

Question 1)

Sous quelle ouverture sont vues les lentilles depuis leur foyer commun ?

[1 points]

Question 2)

En déduire la lentille qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture.

[1 points]

Pupille d'entrée de CoRoT

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Schéma optique de CoRoT.

Crédit : ASM

La figure représente le montage optique du collecteur du satellite CoRoT. Il comporte un baffle de grande taille dont le rôle est de protéger le signal de toute perturbation extérieure, pour une étude photométrique extrêmement précise. Le montage collecteur (miroirs M1 et M2) est hors-axe, afin d'éviter toutes les réflexions parasites qu'apporterait le miroir secondaire M2 avec sa structure dans le cas d'un montage axial.

Question 1)

D'après le schéma optique, à quelle configuration correspond l'ensemble des miroirs collecteurs M1 et M2 ? Quelles sont les propriétés du faisceau après passage par M2, en terme de diamètre, ouverture et étendue de faisceau comparées aux mêmes valeurs en amont de M1 ?

[2 points]

Question 2)

Le diaphragme est positionné en aval de M2, à une distance du miroir égale à la focale de M2. En déduire la position de la pupille d'entrée . Faire un schéma justifiant la réponse.

[2 points]

Question 3)

Que peut-on dire d'un photon qui passe par la pupille d'entrée ?

[1 points]

Question 4)

En fonction de ce qui précède, reformuler le rôle du baffle de protection.

[1 points]

Les 2 premières fonctions de Bessel, J_0

et

.

Crédit : ASM

Fonctions de Bessel

La figure de diffraction d'une pupille circulaire introduit les fonctions de Bessel.

Coupe de la figure de diffraction, en représentation logarithmique et unité $\lambda / a$ . Le premier zéro est à l'abscisse 1.22.

Crédit : ASM

Diffraction

L'intensité diffractée par une pupille circulaire est donnée par J_1(X) / X , avec $X=\pi a \theta / \lambda$ , avec le diamètre de la pupille, $\lambda$ la longueur d'onde et $\theta$ la direction d'observation.

Prérequis

Diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

(Page à n'aborder qu'en deuxième lecture). Introduire, pour une pupille circulaire, les fonctions de Bessel, qui justifient le facteur $1.22\ \lambda / a$ qui dimensionne la tache de diffraction.

Diffraction par une pupille quelconque

On considère une pupille, modélisée par une ouverture plane centrée en , et l'on note un point de la pupille. Cette pupille est éclairée par une onde plane uniforme, monochromatique, en incidence normale. L'amplitude de l'onde diffractée dans une direction repérée par le vecteur directeur $\mathbf{u}$ s'écrit :

$A \ =\ {4\over \pi a^2}\ \int\!\!\int _{\mathrm{pupille}} A(M)\ \exp\left( i{2\pi\over\lambda} {\mathbf{OM}}.{ \mathbf{u}}\right) \ {\mathrm{d}}{M}$

est un point courant de la pupille, de coordonnées polaires $(r, \psi)$ , et $\mathbf{u}$ porte la direction pour laquelle on recherche l'amplitude de l'onde diffractée.

Crédit : ASM

Pupille circulaire

La pupille étant circulaire, de rayon a/2 , il est préférable de décrire les coordonnées du point et de la direction de diffraction $\mathbf{u}$ en coordonnées polaires, avec les notations suivantes :

$\begin{eqnarray*} \mathbf{u} =& \sin\theta \cos\varphi \ \mathbf{i} + \sin\theta \sin\varphi \ \mathbf{j} + \cos\theta\ \mathbf{k} \\ \mathbf{OM} =& r\cos\psi\ \mathbf{i} + r\sin\psi \ \mathbf{j} \\ {\mathrm{d}} M =& r {\mathrm{d}} r {\mathrm{d}} \psi \end{eqnarray*}$

( $\mathbf{k}$ est le vecteur normal au plan de la pupille). L'amplitude de l'onde diffractée dans la direction $\mathbf{u}$ faisant un angle $\theta$ avec l'axe optique s'écrit alors, en supposant l'amplitude incidente uniforme :

$A \ =\ A_0 \ \int_0^{a/2} r {\mathrm{d}} r \int_0^{2\pi} \exp\left( i{2\pi\over\lambda} r \sin\theta \cos (\varphi-\psi)\right)\ {\mathrm{d}}\psi$

On introduit les fonctions de Bessel, dont les 2 premiers termes sont, par définition :

$\begin{eqnarray*} J_0 (X) =& \displaystyle{{1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \exp \bigl[-iX \cos v \bigr]\ {\mathrm{d}} v}\\ J_1 (X) =& \displaystyle{{1\over X}\ \int_0^{X} u J_0 (u)\ {\mathrm{d}} u}\\ \end{eqnarray*}$

L'amplitude diffractée dans une direction faisant un petit angle $\theta$ par rapport à l'axe optique, devient :

$A (X) \ = \ 2 A_0 \ {J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{ avec } \ \ X \ = \ {\pi a \sin\theta \over \lambda} \ \simeq\ {\pi a \theta \over \lambda}$

Démonstration

Les calculs passent par les changements de variables

$\begin{eqnarray*} v =& \varphi-\psi \ ; \ {\mathrm{d}} v = - {\mathrm{d}} \psi\\ u =& 2\pi\sin\theta r / \lambda \ ; \ {\mathrm{d}} u = 2\pi\sin\theta / \lambda\ {\mathrm{d}} r \\ \end{eqnarray*}$

L'intensité diffractée dans la direction $\theta$ s'écrit donc :

$I(\theta) \ \propto \ \left({J_1 \left(\displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}\right) \over \displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}} \right)^2$

Zéros, anneaux et largeur à mi-hauteur

Pour voisin de 0, $J_1(X)\sim X/2$ . Par ailleurs, le premier zéro de la fonction J_1 (X) est pour $X \simeq 3.832 = 1.22 \times \pi$ . La largeur à mi-hauteur du pic central de diffraction, supposée égale à la demi-largeur entre les 2 zéros de part et d'autre du pic central, s'écrit en fonction du diamètre de la pupille et de la longueur d'onde $\lambda$ :

$1.22 \ {\lambda \over a}$

La figure de diffraction s'annule ensuite pour les rayons 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unité $\lambda /a$ . Les anneaux lumineux ont comme rayon, dans la même unité : 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71...

$diffractf.png$

Pupille d'entrée et sa transformée de Fourier.

Crédit : ASM

La TF de la pupille

La figure de diffraction d'une pupille, quelle qu'elle soit, est identique à sa transformée de Fourier.

Prérequis

Cours sur la diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

(Page à n'aborder qu'en 2eme lecture.) Mettre en regard le formalisme décrivant la diffraction à l'infini par une pupille et le formalisme de la transformation de Fourier.

Diffraction et transformée de Fourier

En repérant un point de la pupille par la variable $\mathbf{r}$ , la fonction $A( \mathbf{r})$ caractérisant l'éclairement sur la pupille, l'amplitude diffractée dans une direction angulaire de vecteur directeur $\mathbf{u}$ s'écrit :

$\begin{eqnarray*} A ( \mathbf{u})\ &=&\ \int\!\!\!\int_{\mathrm{ pupille }} A( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right] \ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ &=& \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ I( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ \end{eqnarray*}$

Avec le terme $1/\lambda^2$ introduit pour normaliser l'élément de surface ${\mathrm{d}} \mathbf{r}$ , et ${\cal P} ( \mathbf{r})$ la pupille d'entrée, qui limite la fraction de l'onde plane émise par la source à l'infini. Pour un éclairement uniforme en incidence normale, ${\cal P} ( \mathbf{r})$ est typiquement une fonction porte à 2 dimensions.

Par ailleurs, le formalisme de la transformation de Fourier s'écrit :

$\tilde f ( \mathbf{u}) \ =\ \int\!\!\!\int f( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u} . \mathbf{r} \right] \ \ {\mathrm{d}} \mathbf{r}$

On se doute que l'air de ressemblance entre ces 2 dernières égalités vaut plus qu'un simple hasard.

La TF de la pupille

Si l'on peut supposer l'éclairement uniforme, l'amplitude diffractée dans une direction $\mathbf{u}$ est donnée par la transformée de Fourier de la fonction de pupille $\cal P$ , la variable de position étant normalisée en unité de longueur d'onde :

$A ( \mathbf{u})\ =\ A_0 \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}$

Les variables conjuguées sont la direction angulaire, repérée par le vecteur $\mathbf{u}$ , et $\mathbf{r} / \lambda$ la variable spatiale décrivant la pupille rapportée à la longueur d'onde.

Diffraction et filtrage

On peut utiliser les propriétés de la TF pour réécrire les caractéristiques de la diffraction. Une pupille de taille caractéristique filtre les hautes fréquences, càd l'information angulaire plus fine typiquement que $\lambda / a$ .

Plus la pupille est grande, moins elle filtre angulairement.

$diffracouvanim.gif$

Pupille d'entrée et sa tache d'Airy : module carré de sa transformée de Fourier.

Crédit : ASM

La TF de la pupille

La tache image due à la seule diffraction dépend du diamètre du télescope. Plus ce dernier est grand, plus la tache d'Airy est piquée.

Portion de la partie modulée d'un interférogramme. Le contraste des franges s'écroule dès lors que l'on s'éloigne de la différence de marche nulle.

Crédit : ASM

Interférogramme

Un interféromètre de Michelson permet de tracer l'interférogramme d'une source, càd la figure d'interférence obtenue après déphasage de l'une des 2 voies de l'interféromètre d'une différence de marche $\delta$ . L'interférogramme du spectre d'une source réelle, délimitée par un intervalle spectral fini, illustre le phénomène de cohérence temporelle : le signal d'interférence chute dès lors que la différence de marche devient grande.

Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale. Plus l'intervalle spectral accepté est large, plus vite le signal est moyenné dès lors que la différence de marche s'éloigne de la valeur nulle.

Crédit : ASM

Cohérence temporelle et intervalle spectral

La cohérence temporelle décroît d'autant plus rapidement que le spectre de la source présente une gamme de longueurs d'onde importante.

Objectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique géométrique et physique. Une source ne sera jamais totalement monochromatique, même si son spectre présente des raies d'émission très étroites, ou si par dispersion ou filtrage on sélectionne un très fin domaine spectral. La cohérence temporelle d'une onde rend compte de sa chromaticité.

Une approche rigoureuse passe par le théorème de Wiener-Khintchine.

Prérequis

Interféromètre de Michelson

Cohérence temporelle

Tout phénomène d'interférence avec une source monochromatique conduit à une modulation de l'amplitude résultante fonction de la longueur d'onde du rayonnement.

Pour une source polychromatique, mélanger les couleurs revient donc à mélanger des périodes différentes : la cohérence temporelle du signal est prise en défaut.

Interféromètre de Michelson : les 2 faisceaux, après recombinaison, sont décalés d'une différence de marche $\delta$ .

Crédit : ASM

Exemple : interférométrie par transformée de Fourier

(Ne pas hésiter à aller voir les pages dédiées au spectromètre par TF).

L'exemple d'un interféromètre par transformée de Fourier (réglé en anneau) présente la problématique : la visibilité des franges décroît d'autant plus rapidement que le domaine spectral accepté est vaste.

Pour une raie monochromatique, l'interférogramme se développe, en fonction de la différence de marche, comme :

$I (\delta)\ \propto\ 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda}$

Pour une raie réelle, présentant une largeur non infiniment fine, il faut tenir compte de la contribution des différentes composantes spectrales.

$I (\delta)\ =\ \int_{\lambda_0-\Delta\lambda/2}^{\lambda_0+\Delta\lambda/2} I_\lambda(\lambda)\ \left( 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda} \right)\ {\mathrm{d}}\lambda$

L'intégration, fonction du profil spectral $I_\lambda(\lambda)$ de la raie, conduit à :

$I( \delta) \ = \ I_0\ \left(1 + {\cal V}_{\Delta\lambda} ( \delta) \cos 2\pi { \delta\over \lambda_0} \right)$

Profils de raie et visibilités associées.

Crédit : ASM

L'expression de la fonction de visibilité des franges $\cal V$ dépend de l'intégration du profil spectral $I_\lambda(\lambda)$ , et n'est pas nécessairement simple. La visibilité :

a une extension inversement proportionnelle à $\Delta\lambda$ ; plus l'intervalle spectral est grand, moins les franges de l'interférogramme seront visibles.
décroît avec la différence de marche $\delta$ .

Un exemple de démonstration, dans un cas simplifié, est donné en exercice.

Définition de la cohérence temporelle

Dans le cas général, le degré de cohérence d'une source polychromatique, complexe, s'écrit :

$\gamma (\tau) \ = \ { \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda)\ \exp 2i\pi {c\tau\over \lambda} \ {\mathrm{d}} \lambda} \over \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda) \ {\mathrm{d}} \lambda} }$

La démonstration résulte du théorème de Wiener-Khintchine.

La longueur de cohérence $\ell = c \tau$ , qui mesure l'étendue du degré de cohérence, vérifie approximativement :

$\ell \ = \ {\lambda^2 \over \Delta\lambda}$

Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale.

Crédit : ASM

Visibilité fonction de l'intervalle spectral

La visibilité des franges d'interférences dépend de la largeur de l'intervalle spectral considéré. La superposition de franges de couleurs différentes, donc de périodes différentes, conduit à un signal d'interférence en moyenne nulle.

Enregistrement de franges d'interférence. La cohérence spatiale est limitée par la taille angulaire de la source.

Crédit : ESO

Mesure de visibilité

Un interféromètre enregistre des franges d'interférence, pour en déterminer la visibilité. Celle-ci décroît rapidement dès que l'interférogramme s'écarte de la différence de marche correspondant au déphasage nul entre les 2 signaux.

Cohérence spatiale : la superposition des différentes contributions déphasées amoindrit la visibilité des franges.

Crédit : ASM

Source étendue

La cohérence spatiale entre 2 points d'un écran dépend de l'étendue angulaire de la source.

Tache de diffraction récupérée par optique adaptative (NACO/VLT) en bande K.

Crédit : ESO

Source ponctuelle

L'image d'une source ponctuelle n'est pas un point : c'est la diffraction qui le veut... c'est un cas particulier de la notion de cohérence spatiale.

Objectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique (géométrique ou physique). Une source réelle en astrophysique peut être approximativement ponctuelle, du fait d'un très grand éloignement, mais ce n'est pas toujours le cas.

La cohérence spatiale rend compte de l'étendue angulaire de la source. Une analyse détaillée des phénomènes peut se traiter par une formalisme mathématique et s'appuie sur le théorème Zernike Van-Cittert.

Cohérence spatiale

Les sources astrophysiques ne sont pas naturellement cohérentes. Leur étendue angulaire va conduire à dégrader la cohérence du rayonnement : l'onde collectée mélange diverses directions incidentes, présentant différentes phases, dont le mélange dégrade la cohérence.

Pour modéliser ce phénomène, on s'intéresse à la cohérence du champ sur un écran illuminé par une source à grande distance ; cet écran illustre le rôle que joue un plan d'onde intermédiaire ou bien une pupille.

Cohérence du champ vu depuis 2 points P1 et P2 d'un écran E.

Crédit : ASM

Le facteur de cohérence

On repère un point de la source par le rayon vecteur $\mathbf{M}$ de coordonnées et . On compare la cohérence entre 2 points P_1 et P_2 de l'écran. Pour une source à grande distance ( très grand par rapport aux autres dimensions), on définit le degré de cohérence comme une fonction du profil de brillance $I ( \mathbf{M})$ :

$\gamma_{1,2} \ = \ \gamma (\mathbf{P_1P_2}) \ = \ { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M})\ \exp \left[ -2i\pi\ { \mathbf{M} \over d}. {\mathbf{P_1P_2} \over \lambda} \right] \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M}) \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} }$

Le facteur de cohérence complexe correspond à la transformée de Fourier de la distribution spatiale d'intensité de la source (théorème de Zernike - Van Cittert).

Cohérence du rayonnement d'une source circulaire.

Crédit : ASM

Cas particulier : source circulaire

On modélise le rayonnement stellaire par une source circulaire de diamètre $2R = D \ \theta$ , de brillance uniforme, observée à distance . La brillance peut être représentée par une fonction porte $\Pi (r / 2R)$ . On traite alors ce cas particulier en s'appuyant sur sa géométrie cylindrique, et l'on réécrit la cohérence entre le centre de l'écran (centre repéré sur la normale à l'écran vers la source) et un point tel $\mathbf{OP} = \rho \mathbf{u}$ :

$\begin{eqnarray*} \gamma_{1,2} \ =& { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \ \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} }\\ \propto & \displaystyle{\int_0^\theta \ \exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \ = \ \displaystyle{ 2 J_1 \left( 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}\right) \over 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}}\\ = & \displaystyle{ 2 J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{avec} \ \ X\ =\ 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda} \end{eqnarray*}$

où l'on retrouve la fonction de Bessel J_1 .

Ce schéma montre l'analogie entre le calcul de la tache de diffraction par une pupille circulaire de rayon

, et la cohérence du champ d'une source de diamètre $\theta$ entre 2 points d'un écran séparés de

.

Crédit : ASM

Rappel sur la diffraction de Fraunhofer

Le résultat précédent ressemble furieusement à celui de la diffraction. Est-ce un hasard ?

La tache d'Airy résultant de la diffraction par une pupille circulaire rend compte de la contribution de toutes les sources secondaires à considérer sur la pupille. Plus la pupille est grande, plus les déphasages s'accumulent dès lors que l'on s'éloigne de la position centrale de l'image géométrique. Il s'ensuit que la tache de diffraction est d'autant plus piquée que la pupille est grande.

En terme de cohérence, plus une pupille est grande, plus le degré de cohérence entre 2 points de cette pupille diminue.

Une autre manière de reformuler ceci dérive de l'analyse de Fourier : plus on possède d'information sur un signal, moins ce signal est localisé. Le principe d'incertitude de Heisenberg ne dit pas autre chose : la détermination précise d'une grandeur nécessite que sa grandeur conjuguée soit étendue, la moins localisée possible.

Etendue de cohérence : la valeur à mi-hauteur est obtenue pour X=2

.

Crédit : ASM

Etendue de cohérence

La source de rayon angulaire $\theta$ est vue depuis l'écran sous un angle solide $\Omega = \pi \theta^2$ . Une surface $S = \pi \rho^2$ de l'écran correspond à une étendue de faisceau telle que :

$E\ =\ S \ \Omega \ = \ \pi \rho^2 \ \pi \theta^2 \ = \ {\lambda^2 X^2\over 4}$

La valeur à mi-hauteur du facteur de cohérence correspond à $X\simeq 2$ : on choisit cette valeur pour définir le rayon de l'étendue de cohérence.

Définition

L'étendue de cohérence du faisceau monochromatique vaut $\lambda^2$ .

Evolution de la cohérence spatiale en fonction des déphasage des faisceaux issus de différents points de la source.

Crédit : ASM

Visibilité fonction du degré de cohérence de la pupille

La visibilité du signal d'interférence dépend des déphasages entre les faisceaux issus des différents points de la source. Plus ces déphasages augmentent, moins le signal est cohérent.

QCM

1) Le diamètre angulaire d'une étoile de rayon solaire (700 000 km) à 20 pc vaut (1 mas = 1 milliseconde d'angle) :
4 mas
0.4 mas
0.1 mas

2) Quel diamètre de télescope mono-pupille est nécessaire pour résoudre dans le visible le disque de l'étoile alpha du Centaure, de diamètre 1.5 millions de km, située à 4.2 AL du Soleil.
14 m
140 m
1.4 km

Disque solaire, en lumière visible. Sa brillance n'est pas tout à fait uniforme : le phénomène d'assombrissement centre-bord rend compte des conditions différentes de transfert de rayonnement entre le centre et le limbe.

Crédit : Observatoire de Paris

La mesure du diamètre angulaire de l'étoile $\alpha$ du Bouvier (Arcturus) résulte de la visibilité des franges d'interférence obtenues par interférométrie.

Crédit : Observatoire de Paris

Diamètre stellaire

L'immense majorité des disques stellaires ne peut pas être résolue par imagerie avec un seul collecteur. Il est nécessaire, pour pallier cet effet, de recourir à la technique d'interférométrie. La visibilité des franges d'interférence d'une source stellaire conduit alors de à la mesure de son diamètre.

Objectifs

Nombre de sources astrophysiques présentent un diamètre angulaire qui ne peut pas être résolu par une pupille unique. Mais l'interférométrie permet d'affiner la résolution angulaire, et de mesurer des diamètres stellaires.

Source ponctuelle étendue

Le diamètre d'une étoile du proche environnement solaire sous-tend un angle de l'ordre d'une milliseconde d'arc. Ce diamètre est, sauf exception, très inférieur à la largeur de la tache de diffraction dans le visible d'un télescope, même de grand diamètre. En revanche, par interférométrie, on peut avoir accès indirectement à ce diamètre, si l'on dispose d'une base suffisamment grande.

On suppose une source de brillance uniforme, circulaire de diamètre angulaire $\theta$ , observée par 2 télescopes identiques séparés d'une base (base projetée dans le plan perpendiculaire à la source) que l'on fait interférer.

Franges d'interférence (en violet) et fonction de visibilité (courbe rouge).

Crédit : ASM

Visibilité et mesure du diamètre stellaire

Le facteur de cohérence établi dans le cas général est usuellement dénommé visibilité. La fonction de visibilité s'écrit :

${\cal V} \ = \ {2\ J_1 (X) \over X } \ \mathrm{\ avec\ } \ X\ =\ \pi\theta\ { b\over \lambda}$

où $b/\lambda$ est la fréquence spatiale.

Chaque base conduit à une mesure de la visibilité pour la fréquence spatiale $b/\lambda$ . Dans le cadre du modèle, où une étoile est un disque de brillance uniforme, la visibilité s'annule pour X=3.832 , et donc pour une relation entre le diamètre angulaire stellaire et la fréquence spatiale telle que :

$\theta\ { b\over \lambda} \ = \ 1.22$

Finalement, une mesure du diamètre stellaire $\theta$ revient à une mesure de visibilité de la figure d'interférence.

Le calcul précédent a supposé que la source présente un profil de brillance uniforme : en fait le phénomène d'assombrissement centre-bord complique un peu l'analyse. Le rôle de la diffraction ne peut bien sûr pas être négligé : toute mesure de visibilité doit être corrigée de la fonction d'appareil des collecteurs (dont la diffraction), que l'on détermine expérimentale sur une source vraiment ponctuelle (en pratique : très lointaine).

Diagramme donnant intensité en fonction de la fréquence spatiale, pour un interféromètre à 2 télescopes, de diamètre

, sur une base

. L'autocorrélation de la pupille donne accès aux hautes fréquences spatiales $b/\lambda$ .

Crédit : ASM

Résolution angulaire

Une pupille unique est un filtre passe-bas, coupant à la fréquence spatiale $a/\lambda$ , et donnant une résolution angulaire de $\lambda /a$ .

Un interféromètre est donc un filtre passe-bande, qui fournit une information à la fréquence $b/\lambda$ ; sa résolution angulaire est $\lambda / b$ .

On retrouve ces propriétés par une analyse en terme de Fourier : le théorème de Wiener-Khintchine relie la fonction de transfert optique à la TF inverse de l'autocorrélation de la pupille.

Synthèse d'ouverture

Une mesure du facteur de cohérence complexe fournit une composante de fréquence spatiale de la source. La mesure de ce facteur à plusieurs fréquences spatiales permet la reconstruction de la distribution spatiale d'intensité de la source.

QCM

1) Un interféromètre de base $b=200\ \mathrm{m}$ apporte à $2\ \mu\mathrm{m}$ une résolution angulaire de :
20 mas
5 mas
2 mas

2) Une source de diamètre angulaire 0.5 mas, observée à $1\ \mu\mathrm{m}$ , sera résolue pour une base de :
40 m
100 m
400 m

Diamètre stellaire

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Les figures ci-jointes illustrent la mesure de visibilité de franges d'interférence.

Courbe de visibilité de l'étoile $\eta$ du Bouvier.

Crédit : Observatoire de Paris

Courbe de visibilité de l'étoile $\psi$ de la constellation du Phénix.

Crédit : ESO

Courbe de visibilité de l'étoile $\alpha$ de la constellation d'Hercule.

Crédit : ESO

Courbes de visibilité de l'étoile $\mu$ de Céphée.

Crédit : Observatoire de Paris

Question 1)

Déduire des courbes le diamètre angulaire des sources stellaires $\psi$ Phe et $\eta$ Boo.

Question 2)

Quelle raison physique peut expliquer que la courbe de visibilité de $\alpha$ d'Hercule ne s'annule pas.

Question 3)

Les parallaxes de $\psi$ Phe, $\eta$ Boo et $\alpha$ Her sont estimées à respectivement 10.1, 88.2, 8.5 mas. En déduire la distance de chaque étoile, puis son diamètre linéaire.

Question 4)

Discuter les courbes de la figure concernant l'étoile $\mu$ Cep.

On peut diviser la chaîne de mesure en plusieurs étapes. Parfois, il peut être difficile de distinguer aisément leur rôle : d'une part, elles sont intimement liées dans la qualité de l'observation ; d'autre part, leur intégration dans une outil d'observation efficace peut les solidariser intimement. L'ambition de ce chapitre : mettre un peu d'ordre dans cette complexité.

Collecter : Choisir un entonnoir à photons aux propriétés voulues, souvent le plus grand possible, et transformer le front d'onde initial en un front d'onde plus concentré.
Mettre en forme : Travailler les photons pour les compter, les classer par couleur et/ou les repérer spatialement.
Détecter : Convertir le signal lumineux en signal électrique, sans perdre aucune des propriétés gagnées par l'instrument.
Analyser : Traduire en mesures physiquement pertinentes les observables.
Traiter : Commencer (modestement) à traiter les mesures.

Schéma optique d'un spectromètre intégral de champ.

Crédit : ESO

Collecter le signal, c'est assurer que les photons arrivent nombreux et en bon ordre aux différents foyers d'un télescope. Qualités optique et mécanique se conjuguent pour accomplir cette tâche.

Miroir de 8.2 m poli par la société SAGEM/REOSC, pour le télescope VLT de l'ESO.

Crédit : REOSC

Miroirs

Le miroir primaire est le ... premier miroir vu par les photons. Il présente généralement un profil parabolique. Le deuxième, s'il y en a un, est appelé ... secondaire.

Miroir de 8.2 m poli par la société SAGEM/REOSC, pour le télescope VLT de l'ESO.

Crédit : REOSC

Miroirs segmentés

Les 2 télescopes Keck, plus grands collecteurs dans le visible depuis le début des années 1990, ont des miroirs segmentés (càd en plusieurs morceaux), et illuminent les foyers Cassegrain et Nasmyth. Ce dernier, après passage du faisceau sur l'axe en altitude, est découplé du télescope.

Miroir segmenté, foyers Cassegrain et Nasmyth d'un des 2 télescopes Keck.

Crédit : Keck

Domaines visible, UV et IR

Une configuration classique est la combinaison de 2 miroirs, l'un parabolique, l'autre hyperbolique convexe, dans la configuration Cassegrain. Les miroirs ne sont plus nécessairement monoblocs ; c'est le cas du télescope optique le plus grand en service actuellement, le télescope Keck.

Domaine radio

Dans le domaine radio, il est nécessaire d'avoir une antenne de grande taille :

Pour collecter un grand nombre de photons, car l'énergie $h\nu$ par photon est très faible dans le domaine radio.
Afin d'améliorer la fonction de transfert, très étalée par la diffraction à grande longueur d'onde

Les éléments de collecte du signal d'un radiotélescope.

Crédit : ASM

Domaine X

Le domaine des courtes longueurs d'onde présente de nombreuses particularités. Entre autres :

Seules les observations dans l'espace sont possibles, l'atmosphère étant opaque aux rayonnements X et $\gamma$ .
Il est difficile de focaliser efficacement un rayonnement très énergétique. Pour y parvenir, les miroirs des collecteurs X travaillent en incidence rasante.
L'imagerie X nécessite un grand nombre de surfaces collectrices.

Télescope XMM de l'agence spatiale européenne, lancé fin 1999 pour une mission de 6 ans.

Crédit : ESA

Télescope X : principe. Pour assurer un bon coefficient de réflexion dans ce domaine de longueur d'onde, les miroirs sont attaqués en incidence rasante.

Crédit : ESA

Paraboloïdes chargés de recueillir le flux X en incidence quasi rasante ; 58 paires de paraboloïdes et hyperboloïdes associés assurent les possibilités d'imagerie du collecteur du satellite XMM.

Crédit : ESA

Prérequis

Optique géométrique. Formation d'image au foyer primaire d'un télescope.

Objectifs

Quelques notions sur les collecteurs de photons en astronomie.

Voir à l'infini

Le signal d'un objet très lointain, non résolu spatialement, est une onde plane. Observer cette onde plane, c'est la focaliser en un point. Une surface mathématique sait faire cette opération : le paraboloïde de révolution (révolution d'une parabole autour de son axe).

La parabole

Mathématiquement, la parabole conjugue l'infini à un point ; optiquement, elle permet de transformer une onde plane en onde sphérique. Ceci n'est rigoureusement vrai que pour un rayon parallèle à l'axe optique. L'aberration de sphéricité apparaît pour les rayons inclinés sur l'axe.

La parabole conjugue l'infini à un point, le foyer. Elle transforme une onde plane en onde sphérique.

Crédit : ASM

Aberration de sphéricité pour tout objet paraxial, avec un collecteur parabolique.

Crédit : ASM

Propriétés

Les lois de l'optique permettent de caractériser les qualités de la collecte.

Qualité des dioptres
Champs et pupilles
Cohérence de l'ensemble des éléments de la chaîne de collecte du signal

Foyer, doux foyer

Les collecteurs de photons s'appuient sur de multiples configurations optiques. On note principalement :

Le foyer primaire, devant le collecteur, occulte une partie du faisceau.
Le foyer Cassegrain se situe juste derrière le miroir primaire du télescope. Ce dernier est percé.
Le foyer Nasmyth, pour les montures azimutales ; comme pour le foyer Cassegrain,
Le foyer coudé est renvoyé, par un jeu de miroir, en une position qui ne bouge plus avec le télescope, largement déportée.
Le transport par fibre optique permet d'emporter le flux loin du collecteur.

Caméra grand champ (gros cylindre noir) au foyer primaire du télescope CFH.

Crédit : CFHT

Instrumentation au foyer Cassegrain du télescope CFH. Le télescope est en station. L'instrument est dans une cuve à vide, sous le logement du miroir primaire.

Crédit : CFHT

Instrument VIMOS sur l'un des 2 foyers Nasmyth d'un des télescopes du VLT, le long de l'axe en élévation.

Crédit : VLT

Prérequis

Optique géométrique. Formation d'image au foyer primaire d'un télescope. Montures des télescopes.

Objectifs

Aperçu des diverses configurations optiques pour un télescope.

Collecte du faisceau au foyer Cassegrain. La parabole conjugue l'infini avec son foyer F_1

, transformant une onde plane en onde sphérique. L'hyperbole échange les 2 foyers F_1

et

: l'onde sphérique converge alors en F_2

.

Crédit : ASM

Combinaisons optiques

Plusieurs configurations optiques permettent de réaliser pratiquement la convergence d'une onde plane en un foyer. Selon l'usage, astronomie amateur ou professionnelle, elles diffèrent, par leur performances et leurs coûts.

Un télescope de Newton associe un miroir primaire parabolique à un secondaire plan incliné à 45deg par rapport à l'axe optique. Pour des télescopes de petite taille (10 cm, soit le télescope du débutant), le miroir parabolique peut être approximé par un forme sphérique, beaucoup moins coûteuse à polir.
A un primaire parabolique, percé, le télescope Cassegrain associe un secondaire convexe hyperbolique. Le foyer Cassegrain est situé juste derrière le miroir primaire. Epargné par l'aberration de sphéricité, le miroir parabolique présente un défaut de coma qui limite le champ utile.
Une variante est le télescope de Schmidt-Cassegrain, où une lame de forme complexe (et coûteuse) en entrée du collecteur permet l'utilisation d'un primaire sphérique.
Une autre variante est le Maksutov-Cassegrain, avec primaire et secondaire sphériques, respectivement concave et convexe, et une petite lentille de correction.
Le télescope Ritchey-Chrétien, un télescope de type Cassegrain particulier, est la combinaison aujourd'hui la plus utilisée pour les observatoires fonctionnant dans le visible et le proche infrarouge. Primaire et secondaire sont hyperboliques, ce qui assure une absence d'aberrations de coma et de sphéricité.

Foyer primaire.

Crédit : ASM

Foyer Cassegrain : le miroir secondaire occulte une partie du faisceau. Le miroir primaire doit être évidé.

Crédit : ASM

Foyer Nasmyth : le miroir tertiaire renvoie le faisceau sur l'axe de hauteur de la monture.

Crédit : ASM

Foyer coude : un train de miroirs assure le découplage entre la position du foyer Coudé et le pointage du télescope.

Crédit : ASM

Foyers

Un télescope professionnel, usuellement de type Cassegrain ou Ritchey-Chrétien, présentera plusieurs combinaison de foyers.

Le foyer primaire est interne au tube du télescope de type Cassegrain. S'il est idéal pour les observations grand champ (surtout dans la configuration de Schmidt-Cassegrain), l'instrumentation ne peut y être ni volumineuse ni massive.
Le foyer Cassegrain, situé derrière le miroir primaire, aboutit à une configuration de plus longue focale. Comme il est également lié au télescope, l'instrumentation est limitée en encombrement.
Le foyer Nasmyth, pour une monture azimutale, se situe sur la plate-forme mobile en azimut, sur l'axe de hauteur. Il est donc partiellement découplé du télescope et peut accueillir une instrumentation plus volumineuse.
Le foyer coudé est renvoyé, par un jeu de miroir, en une position qui ne bouge plus avec le télescope, quelque soit la direction de pointage.

Collecte du faisceau au foyer Cassegrain. La parabole conjugue l'infini avec son foyer F_1

, transformant une onde plane en onde sphérique. L'hyperbole échange les 2 foyers F_1

et

: l'onde sphérique converge alors en F_2

.

Crédit : ASM

Convergence au foyer Cassegrain

La transformation d'une onde plane en onde sphérique, puis de l'onde sphérique en une autre onde sphérique convergeant au foyer du télescope, est une application directe des propriétés des coniques.

VLT

Chemins optiques et foyers

Pour un télescope en monture azimutale, telles les 4 unités du VLT, plusieurs trains optiques permettent d'illuminer les différents foyers : Cassegrain, Nasmyth, coudé.

Un observatoire aujourd'hui

L'appliquette ci-dessous décompose différents éléments d'une des unités du VLT.

Focale équivalente

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

La figure ci-jointe, proposée en appliquette, montre un montage de type Cassegrain. Le diamètre du miroir primaire vaut 128 cm.

Question 1)

Positionner graphiquement la lentille équivalente du télescope, et déterminer ensuite sa focale équivalente.

[2 points]

Question 2)

Calculer le nombre d'ouverture du télescope.

[1 points]

Forme idéale

La forme des miroirs doit s'approcher au mieux de la forme idéale (parabolique, hyperbolique, plane...). A grande comme à petite échelle, aucun défaut ne doit excéder une limite, dont la valeur dépend des performances souhaitées.

Qualité du miroir

Mise en évidence, fortement exagérée, des défauts de forme d'un miroir parabolique à grande ou à petite échelle.

Crédit : ASM

Miroir primaire du VLT

Miroir de 8.2 m poli par la société REOSC pour le VLT. L'échelle est donnée par les ingénieurs figurant sur le cliché.

Crédit : REOSC

Optique active

Plutôt que de confier la forme idéale du collecteur à une position statique et rigide, l'optique active préfère inclure une chaîne de correction commandant la forme idéale du miroir au moyen d'actuateurs positionnant idéalement chaque sous-élément du miroir.

Cette technique est employée p.ex. pour les miroirs de 8.2 m du VLT. Si leur forme idéale devait découler de leur seule rigidité, ces miroirs auraient une épaisseur supérieure à 2 m : solution inadaptée. Les miroirs sont minces (18 cm) ; leur faible épaisseur leur assure une certaine souplesse, et quelle que soit leur position, des actuateurs les repositionnent pour une forme idéale.

Miroir primaire du VLT

Optique active : miroir mince et actuateurs. Remarquer que la forme du miroir est hyperbolique : les télescopes du VLT sont de type Ritchey-Chrétien.

Crédit : ESO

Miroir du VLT : résidus

En mode actif, les actuateurs assurent un profil idéal. Les écarts à la forme idéale (ici hyperbolique), mesurés par le senseur du front d'onde, ont un écart-type de 43 nm, soit environ 10 fois moins qu'une longueur d'onde dans le visible.

Crédit : ESO

Domaine radio

Dans le domaine radio, caractérisé par des longueurs d'onde relativement grandes, un grillage peut suffire à constituer un bon miroir. Il est vu par l'onde tel une surface pleine, et sa forme rapportée à la longueur d'onde considérée est suffisamment précise.

Miroir du radiotélescope de Nançay

Le collecteur du radiotélescope de Nançay inclut un miroir sphérique. Aux longueurs d'ondes étudiées (typiquement décimétriques), la surface collectrice grillagée présente les mêmes propriétés de réflexion qu'une surface pleine plane.

Crédit : Observatoire de Paris

Objectifs

L'étude technologique des qualités optiques des éléments des collecteurs astronomiques s'appuie sur de multiples domaines non ici explorés. On s'intéresse essentiellement à la forme géométrique idéale des collecteurs, en laissant de côté : les aberrations, les propriétés thermomécaniques des miroirs et de leurs supports, les propriétés de réflexion des surfaces ; la transmission dans les verres des lentilles...

Miroir de "salle de bain". La plaque de verre protège la couche métallique réfléchissante (en bleu).

Crédit : ASM

Miroir optique. Le substrat de verre supporte le fin dépôt métallique réfléchissant. Sa forme, sa taille et son poli sont essentiels, conférant au miroir ses qualités optiques.

Crédit : ASM

Miroirs

Un miroir optique diffère d'un miroir usuel. Un miroir usuel est constitué d'une plaque de verre protégeant une feuille métallique réfléchissante. Le faisceau optique traverse par 2 fois cette vitre, avant et après la réflexion métallique.

Un miroir astronomique est constitué d'un support vitreux, précisément taillé, recouvert d'une très fine couche métallique réfléchissante (aluminium, argent ou or principalement, selon le domaine de longueurs d'onde utilisé), éventuellement protégée d'une mince couche d'oxyde. Le faisceau optique ne traverse pas le verre.

Le substrat en verre est typiquement du zérodur, verre se caractérisant par un très faible coefficient de dilatation thermique.

Qualité

La qualité des optiques de toute la chaîne de détection est essentielle. Elle se traduit par la fonction d'étalement du point, qui rend compte de l'image d'un objet ponctuel à l'infini.

Cette qualité, pour un miroir, se résume souvent à un paramètre : à grande ou à petit échelle, le miroir ne doit pas s'écarter de sa forme idéale de plus d'une fraction de longueur d'onde (typiquement de $\lambda/4$ pour un dioptre usuel à $\lambda /50$ pour une optique d'interféromètre).

Optique active

On appelle optique active un système restituant la forme idéale des surfaces collectrices non de façon statique, avec des miroirs très rigides, mais dynamique, avec des miroirs minces positionnés par des actuateurs. L'optique active corrige les déformations lentes d'origine thermique et mécanique.

Optique adaptative

L'optique adaptative corrige en temps réel les défauts du front d'onde induits par la turbulence. Voir les pages dédiées à l'optique adaptative.

Projet du grand télescope CELT (California extremely large telescope). L'échelle est donnée par les personnes sur la plateforme. Ce projet présente les caractéristiques des grands télescopes du futur : monture azimutale, diamètre collecteur segmenté de l'ordre de 30 m, instrumentation aux foyers Nasmyth.

Crédit : CELT

Projet du grand télescope OWL de l'ESO (overwhelmingly large telescope ; overwhelming = de façon écrasante), abandonné en 2006. Le miroir primaire (1), de diamètre 100 m, est segmenté et sphérique. Le miroir secondaire (2) est plan. Le système des miroirs 4 et 5 assure la correction de la sphéricité du miroir primaire, ainsi que l'optique adaptative ; ces miroirs ont un diamètre de 8.2 m, càd autant que les miroirs primaires du VLT de l'ESO.

Crédit : ESO

Vers les très grandes surfaces collectrices

Les diamètres collecteurs ont régulièrement augmenté au cours du temps, pour collecter plus, et plus précisément, de photons. Divers projets de télescopes optiques de miroir primaire de 30 à 50 m sont dans les cartons. Des structures de telles dimensions existent déjà, mais dans le domaine radio, avec des longueurs d'onde centimétriques et non submicrométriques.

Le projet CELT illustre les caractéristiques des futurs projets. Le projet OWL de l'ESO, préparant la classe des télescopes de 100 m, n'a pas abouti, car il supposait un trop radical changement d'échelle. Il a été remplacé par un projet de télescope de 39 mètres de diamètre, l'Extremely Large Telescope (ELT) de l'Observatoire Européen Austral, dont la première lumière est prévue en 2024.

Objectifs

Dévoiler les grandes lignes des projets de grands observatoires.

Pourquoi une grande surface collectrice

Certains besoins scientifiques (pas tous) nécessitent la collecte de flux de plus en plus faible, et donc des collecteurs encore plus grands que ceux de la classe 10 m entrés en action dans les années 1990.

Quelques principes

Les télescope de cette classe 10 m ont montré des changements importants par rapport à leurs prédécesseurs, induits simplement par leur taille.

Monture azimutale et non plus équatoriale, cette dernière devenant impossible à mettre en oeuvre.
Nombre d'ouverture plus petit, afin de réduire la focale du collecteur.
Instrumentation sur une plateforme Nasmyth, le foyer Cassegrain ne pouvant plus accueillir une instrumentation trop lourde ou volumineuse.

Ces principes sont conservés pour les projets de télescope de la classe 30 m, avec en plus la généralisation des miroirs segmentés.

Difficultés pratiques

Si le principe des très grands télescopes est mûr, leur réalisation pratique pose de nombreux problèmes. Par exemple :

Par conservation de l'étendue de faisceau, la taille de leur instrumentation focale croît à la mesure de la taille du collecteur.
Une optique adaptative performante est nécessaire pour bénéficier pleinement du gain en diamètre. La complexité de l'OA croît plus rapidement que la surface du télescope.
Le coût d'un observatoire varie environ comme la puissance quatrième du diamètre du collecteur.

Hypertélescope

Schéma de principe d'un hypertélescope. Une surface collectrice, ici modélisée par une lentille équivalente, est partiellement reconstituée par divers segments non jointifs pour une focalisation d'un faisceau parallèle au foyer commun F1. Ce foyer est réimagé en F2, chaque voie étant individuellement élargie par un système afocal grossissant : ceci conduit à la densification de la pupille. La taille du système optique entre F1 et F2 a été agrandie pour la clarté du schéma.

Crédit : ASM

Hypertélescope

Une solution alternative aux très grands télescopes pourrait consister à réaliser une surface collectrice avec plusieurs pupilles reconstituant une seule surface collectrice, mais non entièrement pavée ; un système optique apporte la densification de pupilles, et conduit au principe de l'hypertélescope. La réalisation pratique d'un hypertélescope n'est pas prévue dans un futur proche, un certain nombre de points durs techniques subsistant encore.

Hypertélescope

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 60 min

Télescope de Fizeau. Une surface collectrice, ici modélisée par une lentille équivalente, est partiellement reconstituée par divers éléments non jointifs partageant un même foyer F1.

mesure le diamètre d'une sous-pupille,

l'écartement entre 2 sous-pupilles et

le diamètre total.

Crédit : ASM

Schéma de principe d'un hypertélescope. Les morceaux de paraboles collectrices ont été remplacées par leur équivalent lentille.

mesure le diamètre d'une sous-pupille ;

leur écartement.

Crédit : ASM

La première figure donne le schéma de principe d'un hypertélescope. L'équivalent du miroir primaire est constitué de sous-pupilles, reconstituant de façon incomplète une surface collectrice correspondant à une immense parabole. mesure le diamètre d'une sous-pupille ; leur écartement.

La deuxième figure présente le montage du densificateur de pupille. Les lentilles L2 et L5 sont supposées identiques, si bien que le grossissement du système constitué de ces lentilles vaut -1 ; le grossissement angulaire du système afocal constitué des lentilles l3 et l4 est noté $\gamma\ \mathrm{avec\ :\ } \gamma <1)$ .

Cet exercice est à résoudre sans gros calcul ! Pour simplifier l'approche, on travaille sur une seule dimension, comme le montre la figure (sans chercher à reconstituer la surface collectrice).

Question 1)

On s'intéresse juste à l'optique en amont de F1. Quels paramètres dimensionnent la taille angulaire de la tache image en F1 d'une sous-pupille, de l'ensemble des sous-pupilles ? Mener l'analogie avec un réseau d'interférence composé de fentes de largeur séparées d'une distance , s'étalant sur une longueur totale .

Question 2)

Déterminer l'action du système (l3, l4), en comparant les situations en F1 et F2.

Question 3)

Quel est l'intérêt du système ? Que se passe-t-il lorsque $\gamma = a/b$ ?

Question 4)

Qu'a-t-on gagné, qu'a-t-on perdu avec cette opération ?

L'information recherchée dans un signal s'exprime de diverses façons. Cette section présente les grands principes en oeuvre et les techniques instrumentales associées, pour traiter au mieux les photons selon :

Leur direction d'origine
Leur quantité.
Leur couleur.
Et toute combinaison de ces 3 propriétés, sans oublier éventuellement leurs variations temporelles.

Principe de la spectrométrie intégrale de champ.

Crédit : CFHT

L'information portée par les photons peut être traitée de diverses façons, ainsi que le montrent les illustrations suivantes.

L'amas des Hyades

Le mouvement propre des étoiles de l'amas des Hyades a pu être reconstruit par le satellite Hipparcos.

Crédit : ESA

Cartographie grand champ

Le ciel profond vu par le télescope spatial. Remarquer la corrélation entre la couleur et la luminosité des objets.

Crédit : HST

Système de filtres BVRI normalisés permettant de mesurer précisément les magnitudesassociées.

Crédit : CFHT

Assemblage de filtres pour des mesures dans le système BVRI

Crédit : ESO/Cyril Cavadore

Astrométrie : Mesure de position et mouvement. Le satellite Hipparcos a relevé la position, à la milliseconde d'arc près, de 120 000 étoiles (jusqu'à la magnitude 12).
Imagerie : Cartographie, pour une étude morphologique, statistique, sans ou à très faible résolution spectrale, ou bien dans des filtres très précis.
Photométrie : Mesure de flux lumineux dans un système de bandes spectrales
Spectrométrie : Identification des photons selon leur couleur. Ex. : observation du spectre IR de Procyon.
Spectroimagerie : Les photons sont traités pour recueillir simultanément les informations spatiale et spectrale qu'ils véhiculent.

Spectro 2-D

Chaque point de la fente source est dispersée, dans une direction perpendiculaire à celle de la fente. Une dimension du CCD traduit la variable spatiale, l'autre la variable spectrale.

Crédit : ESO

Procyon, aux alentours de $1.08 {\,\mu\mathrm{m}}$ . Ce domaine spectral est sélectionné par un filtre étroit. Noter l'unité spectrale, inverse de la longueur d'onde.

Crédit : CFHT/ASM

Objectifs

Distinguer différents principes instrumentaux.

Différents principes

Astrométrie : Repérages de positions, pour la mesure de distance et de mouvement. La mesure des parallaxes des étoiles du proche voisinage solaire est une étape indispensable pour la détermination des distances interstellaires, et le point de départ obligé d'un juste arpentage de l'Univers.
Imagerie : L'imagerie, ce n'est pas que de belles images d'intérêt cosmico-esthétique, mais le support de diverses activités : relevés statistiques, morphologie, activité... Aujourd'hui se développe l'imagerie grand champ, à base de mosaïques de CCD.
Photométrie : Mesure de flux lumineux, dans des bandes spectrales bien définies (p.ex. le système BVRI utilisé dans le visible et le proche infrarouge). Les mesures photométriques nécessitent d'excellentes conditions atmosphériques. Les différents éléments de la chaîne d'acquisition (transparence atmosphérique, efficacité de l'instrumentation et du détecteur) interdisent toute mesure absolue directe. Un étalonnage sur une source connue est nécessaire : source céleste bien référencée, ou source d'étalonnage interne à l'instrument.
Bolométrie : Mesure de flux lumineux, l'énergie des photons incidents (essentiellement les domaines X et IR) étant convertie en agitation thermique dans le détecteur, dont la résistance électrique varie avec la température. Les bolomètres n'ont intrinsèquement aucune sélectivité spectrale.
Spectrométrie : Différents types de spectromètres sont utilisés en astronomie : spectromètre à résonance, spectromètre interférentiel (spectromètre par transformée de Fourier, Fabry-Pérot, spectromètre à réseau), spectromètre hétérodyne. Selon différents critères (largeur spectrale admissible, résolution spectrale) l'une ou l'autre des techniques s'impose.
Spectroimagerie : La spectroimagerie permet l'obtention de l'information spectrale pour toute une région spatiale. Selon les techniques (spectrométrie multi-objets, spectro intégrale de champ), cette région est un ensemble de différentes cibles ponctuelles, un objet étendu...

Quels principes, pour quelle mesure ?

La liste qui précède est austère. Les pages qui suivent illustrent comment ces techniques sont mises en pratique, et dans quel but.

Le champ stellaire analysé, autour de l'étoile HD 49933 (abondamment observée par une mission spatiale du CNES).

Crédit : CDS

La carte des étoiles précédemment répertoriées, avec de plus leur mouvement propre.

Crédit : CDS

Le catalogue des étoiles précédemment répertoriées.

Crédit : CDS

Un exemple : environnement d'une étoile

Les données astrométriques permettent une foultitude de choses, comme par exemple de précisément caractériser un champ autour d'un objet. Les figures ci-jointes décrivent de diverses manières l' environnement d'une étoile, une carte, ou par les coordonnées.

Le satellite Gaia, au point de Lagrange L2, est animé d'un mouvement de rotation régulier, avec un axe (spin axis) orienté à 45 deg par rapport à la direction du Soleil. Il observe simultanément 2 régions du ciel (line of sight 1 et 2). Le mouvement de rotation induit le balayage de 2 grands cercles. La précession du mouvement de rotation induit l'évolution de ces grands cercles, pour observer tout le ciel.

Crédit : ESA

Le montage de Gaia repose sur une structure octogonale très stable, pour la définition de l'angle entre les 2 lignes de visée astrométriques. Une 3ème ligne de visée est utilisée pour des mesures spectrométriques. La collecte du signal sur chaque ligne de visée implique 3 miroirs : les miroirs primaire et tertiaire se situent dans un même plan, et font face au miroir secondaire et au détecteur. Vu le nombre gigantesque de cibles à mesurer, le plan focal est composé d'une mosaïque de plusieurs dizaines de CCD. Le mode de lecture des CCD est original : les lignes du CCD sont positionnées exactement parallèlement au déplacement apparent de l'image suite à la rotation propre du satellite, et la pose et le transfert des charges d'un pixel à l'autre suivent le déplacement de l'image stellaire le long de la ligne du CCD.

Crédit : EADS/Astrium

Le projet Gaia

Le principe de mesure de Gaia repose sur le balayage du ciel simultanément le long de deux lignes de visée. Le scénario de pointage met en oeuvre la rotation propre et la précession du satellite. Le montage optique s'appuie sur une structure stable.

Définition

L'astrométrie a pour but de mesurer la position des astres, leur parallaxe et donc leur distance, leur mouvement propre. Elle opère un travail indispensable de repérage et d'arpentage.

Pourquoi l'astrométrie ?

Repérer précisément les astres, c'est avoir accès à leur distance, par l'étude de la parallaxe. Repérer leur mouvement propre, c'est avoir accès aux causes dynamiques du mouvement, et donc mesurer des masses.

Précision et performance des relevés astrométriques
date	observation	nombre d'objets	précision (")
-150	Hipparque	1000	1100
1590	Tycho	1000	60
1690	Flamsteed	4000	10
1850	Argelander	26000	1
1975	US Naval Observatory	$58\,10^6$	0.04
1995	Hipparcos	120000	0.001
2012	Gaia		$10^{-5}$

Comment ?

L'agence spatiale européenne a exploité le satellite Hipparcos durant les années 1990, et lancé la mission Gaia fin 2013. Ces 2 missions ont pour but principal l'arpentage de l'Univers, obtenu par une très grande précision astrométrique.

Hipparcos comme Gaia sont des missions spatiales. L'écran de l'atmosphère terrestre est évité, la déviation d'un rayon lumineux au travers des couches atmosphériques étant bien trop importante par rapport à la précision recherchée, de l'ordre de la milliseconde d'arc. La précision des missions Hipparcos et Gaia s'appuie sur le principe de l'observation simultanée de 2 champs stellaires, dans 2 directions faisant entre elles un angle fixé et stable (106.5 deg). Comme un compas sert à repérer des distances (linéaires ou angulaires), de proche en proche les positions relatives des objets sont fixées les unes par rapport aux autres.

Gaia doit mesurer la précision d'un milliard d'objets dans la galaxies (soit 1% de son contenu stellaire), avec une précision de quelques millionièmes secondes d'arc pour les cibles les plus brillantes.

Performances attendues avec Gaia, pour une étoile de type G2
magnitude	10	15	20
parallaxe (mas)	0.007	0.027	0.3

Positions et mouvements

La simulation ci-dessous permet de lire les positions et mouvements repérés par le satellite européen Hipparcos dans l'amas ouvert des Hyades. Noter que la précision des positions effectivement repérées par Hipparcos est infiniment meilleure que celle restituée par l'appliquette.

Précision astrométrique et inégalité de Heisenberg

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Cet exercice se propose de montrer que la précision astrométrique d'un satellite tel Hipparcos ou Gaia peut être estimée par l'application des inégalités de Heisenberg. On s'intéresse pour ceci à la propagation d'un photon, issu d'un objet ponctuel à l'infini, dont la trajectoire intercepte le miroir primaire de détection (!). On munit l'espace d'un repère orthonormé 0xyz telle que le plan 0xy corresponde au miroir primaire de la détection. La quantité de mouvement du photon incident est quasiment parallèle à . On suppose que la formation d'image suit parfaitement les lois de l'optique géométrique.

Question 1)

On s'intéresse à l'interception du photon selon la direction . Peut-on connaître la position de l'impact et de la réflexion du photon sur le miroir? En déduire que le front d'onde incident est découpé en tranche de largeur la dimension du miroir, que la position selon l'axe est inconnue, et que donc elle est affublée d'une incertitude de position $\delta x$ .

[2 points]

Question 2)

On rappelle qu'un échantillonnage par valeur entière correspond à un bruit de numérisation de $1/\sqrt{12}$ . En déduire l'incertitude de mesure de la composant selon de la quantité de mouvement du photon.

[1 points]

Question 3)

Par inégalité de Heisenberg, les incertitudes de position et quantité de mouvement doivent vérifier :

$\delta x \ \delta p_x \ge {h \over 4 \pi}$

avec la quantité de mouvement totale $p = h\nu / c = h / \lambda$ . En déduire que l'incertitude de repérage de l'angle d'incidence du photon vaut : $\delta\theta \ge {\sqrt{3} \over 2 \pi} {\lambda \over a_x}$

[3 points]

Question 4)

Faire l'application numérique pour Gaia, observant à la longueur d'onde moyenne de 600 nm, avec $a_x = 1.4 \,\hbox{m}$ . Cela est-il compatible avec les performances annoncées, de l'ordre de $25\, \mu\hbox{as}$ à la magnitude m=15 ? Pourquoi ?

[1 points]

Question 5)

La question précédente dimensionne l'incertitude pour 1 photon. On montre plus loin dans le cours que pour photons effectivement détectés, l'incertitude est divisée par $\sqrt{N}$ . Combien de photons doivent être détectés pour aboutir à la performance annoncée.

[1 points]

Le système de filtres de la caméra MEGACAM du télescope CFH

Crédit : CFHT

Mesure de flux dans un système de filtres

Toute mesure photométrique doit s'appuyer sur un système de filtres précis, calibrés par rapport aux filtres des autres systèmes utilisés. Le projet MEGACAM au télescope CFH utilise le système ci-joint, couvrant du très proche UV au proche IR.

Courbe d'occultation : éclipse de l'étoile GSC5249-01240 par Saturne.

Crédit : NASA/IRTF

Mesure de variations de flux

Les occultations, qui réunissent sur un même axe un objet du système solaire et une étoile, comme une éclipse réunit la Lune et le Soleil, ne sont pas que de simples événements fortuits : leur observation est riche en enseignement (métrologie, sondage atmosphérique...).

Échantillon de la série temporelle de la variabilité d'une étoile observée par le micro-satellite canadien MOST. L'échelle des ordonnées représente les variations relatives comptée en pourmille. La courbe rouge donne une estimation des variations observées : elle s'interprète comme les battements entre différents modes de pulsation stellaire.

Crédit : MOST

Transit de la planète CoRoT-exo-7b, détectée par le satellite CoRoT.

Crédit : CoRoT/CNES

Courbe de variabilité d'une naine blanche. Les oscillation stellaires modulent le signal. Le rapport signal à bruit est suffisant pour mettre en évidence directement les oscillations. Plusieurs (9 en fait) observatoires ont été mis à contribution pour éviter au mieux - aléa météorologique mis à part - les interruptions diurnes sur les 25 jours & nuits d'observation.

Crédit : WET

Spectre de Fourier des variabilités photométriques d'une naine blanche.

Crédit : WET

Microvariabilité

Les mesures photométriques recherchent souvent des variabilités, dont l'étude ouvre de multiples champs d'investigation. Plusieurs satellites passent actuellement leur temps à mesurer des flux stellaires avec une précision de plus en plus grande. Le satellite CoRoT a ainsi découvert une très petite planète. La microvariabilité d'une naine blanche (PG1159) est étudiée pour l'analyse de ses oscillations : la série temporelle enregistrée sur 8 nuits aboutit au spectre de Fourier.

Définition

Photométrie : étude de la magnitude d'un astre dans un système de bandes spectrales.

Pourquoi la photométrie ?

Connaître précisément le nombre de photons de couleur donnée qui arrivent en un intervalle de temps donné permet de remonter à des considérations énergétiques.

Le problème est très souvent complexe, car il nécessite de tenir compte précisément de la transparence atmosphérique, de la fonction de transfert du collecteur et de l'instrument, de la réponse spectrale du détecteur...

Comment ?

Les effets mentionnés ci-dessus illustrent la complexité, voire l'impossibilité, d'une mesure photométrique absolue. Les mesures effectuées sont des mesures relatives, où la luminosité de l'objet, intégrée ou spectrale, est comparée à une référence.

Cette référence peut être une cible stellaire (telle l'étoile Véga p.ex, qui définit la magnitude apparente visuelle 0). Les mesures bolométriques, dans l'IR ou le submillimétrique, comparent le flux étudié à celui d'un corps noir calibré.

Variation photométrique

L'étude de la variabilité et de la microvariabilité est très fructueuse, pour observer des phénomènes à haute fréquence, associés à des variations intrinsèquement rapides ou bien dues à des phénomènes transitoires.

Techniques

Mesurer un flux nécessite de la méthode, et cette dernière dépend du signal étudié. On peut pratiquer :

La photométrie d'ouverture consiste à considérer tout le flux dans une ouverture donnée. La part de bruit dans cette ouverture sera incluse, peut être indûment, dans l'énergie du signal.
La photométrie à seuil consiste à considérer comme signal tout ce qui dépasse un niveau de référence. Le choix du seuil est crucial : trop bas, il va considérer comme composante du signal ce qui n'est que du bruit ; trop haut, il ampute le signal.
La photométrie par ajustement modélise la fonction d'étalement du point attendue, pour aller au plus juste de la mesure. Elle est plus précise que les autres méthodes, mais pas nécessairement simple à mettre en oeuvre. Elle peut être impossible à réaliser à bord d'un satellite, en l'absence de la puissance de calcul nécessaire.

Nuage moléculaire sculpté par le rayonnement ultraviolet ionisant de jeune étoiles en formation. Les doigts de matière qui résistent à l'érosion UV sont dans l'ombre portée par des régions plus denses. Ces dernières sont les plus violemment illuminées, et apparaissent les plus brillantes.

Crédit : HST

Résolution spatiale, structures et détails

Imager permet de tracer la distribution de matière qui rayonne, qui absorbe... Une image en fausse couleur résulte de la superposition de 3 images prises dans 3 filtres différents.

Autrefois, avant l'introduction de la photographie à usage astronomique, à la fin du XIXe siècle, imager signifiait dessiner !

Champ stellaire, et identification des étoiles (points noirs) et des galaxies, via un logiciel de reconnaissance automatique de forme.

Crédit : IAP

Identification

L'imagerie permet d'identifier les objets, pour les classer, pour faire le lien entre diverses observations à diverses longueurs d'onde... Un problème courant est de distinguer les sources stellaires des sources galactiques.

Déplacement d'un objet de Kuiper au cours d'une nuit. C'est justement son mouvement propre qui permet d'identifier un tel objet, de magnitude typique supérieure à 20.

Crédit : CFHT

Rotation propre de l'astéroïde Eros, observée par la sonde NEAR.

Crédit : NEAR/Nasa

Mouvements

L'imagerie, répétée sur un même champ, permet la découverte des petits corps du système solaire, en mouvement apparent sur fond d'étoiles fixes. C'est p.ex. ainsi qu'ont été découverts les objets de Kuiper, éléments du système solaire situés au-delà des planètes géantes, en deçà des comètes, et s'en distinguant par des orbites relativement proche de l'écliptique et d'excentricité modérée.

Rotation de Jupiter. Suivi des impacts des fragments de la comète SL9 sur Jupiter, en juillet 1994.

Crédit : ESO

Evolutions temporelles

Les séries temporelles d'images donnent accès aux cartes des objets enrotation, et à leurs variations

Observation d'une nouvelle tache sur Jupiter, par Cassini, en mars 1684. Et chute, observée en direct, d'un fragment cométaire sur Jupiter 3 siècles plus tard (juillet 1994, observation dans l'IR thermique à l'ESO) ; un fragment précédent a provoqué la tache à la même latitude que l'impact.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris / ESO

Événements

L'imagerie permet aussi de repérer des événements particuliers, comme p.ex. l'apparition de taches sur Jupiter.

Objectifs

Tentative, désespérée, de classification des divers et nombreux champs d'application de l'imagerie en astrophysique

Définition 😁

Imagerie : fournir des images dans des systèmes de filtres standards, ou au-moins précisément référencés.

Pourquoi l'imagerie ?

L'imagerie fournit des images. Pour obtenir une image, il faut au préalable avoir reçu 10 bons points. On peut échanger 10 images contre un petit livre.

Les images en astrophysique apportent l'information spatiale, qui permet le traçage et l'identification de la matière lumineuse. Cette information dépend essentiellement de la longueur d'onde d'observation.

La résolution spatiale, couplée avec une faible résolution spectrale, donne par exemple accès à des informations de température ; avec une forte résolution spectrale : traçage fin d'un élément, mesures Doppler...

Comment ?

Obtenir une image est relativement trivial dans certains cas, pas du tout dans d'autres.

Ceci peut être dû à la mise en forme du signal. Dans les domaines X et surtout $\gamma$ , la capacité d'imagerie des détecteurs est très limitée, et il est souvent difficile de bien localiser une source même intense. Du côté des très grandes longueurs d'onde, la tache d'Airy due à la diffraction peut atteindre une extension angulaire très grande ce qui limite la résolution spatiale.

La capacité d'imagerie dépend aussi de la technologie des détecteurs. Si en lumière visible les mosaïques CCD atteignent 2k x 4k, les performances sont bien plus limitées dans les longueurs d'onde infrarouges. En submillimétrique et radio, les détecteurs étant monopixels, les images sont construites par juxtaposition d'images élémentaires.

Systèmes de filtres

L'imagerie est le plus souvent menée dans des systèmes de filtres si possible référencées, afin de pouvoir mener des comparaisons entre diverses observations. Ces filtres couvrent continûment le spectre, en bande large.

Spectrohéliogrammes

Le disque solaire, dans diverses bandes spectrales : raie Halpha à 656.3 nm ; et raie K du calcium à 393.4 nm (K3 dans le minimum de la raie ; K1v dans l'aile de la raie côté violet). La morphologie des structures dépend intimement de la longueur d'onde d'observation.

Crédit : Observatoire de Paris

Le disque jovien est quasiment éteint à la longueur d'onde $3.28 {\,\mu\mathrm{m}}$ , alors que Io apparaît bien plus brillant à cette longueur d'onde.

Crédit : ESO

Titan observé en optique adaptative dans différentes domaines de longueur d'onde du proche infrarouge. Lorsque le domaine spectral est sensible à un élément dans la stratosphère, le limbe apparaît plus brillant.

Crédit : ESO

Objets brillants

L'imagerie multispectrale, gourmande en photons, est menée sur des objets brillants, comme typiquement les objets du système solaire. Selon la longueur d'onde d'observation, les disques solaire, jovien ou de Titan présentent différents aspects. Les domaines spectraux sont ici adaptés au phénomène étudié.

L'intérêt de l'imagerie multi-spectrale est de permettre une modélisation précise de l'objet observé. Par application de code de transfert de rayonnement, cette modélisation permet typiquement de contraindre la température et la composition de l'objet. Le diaporama ci-contre illustre une application sur la calotte martienne sud, observée par l'instrument OMEGA à bord de la sonde Mars Express.

La Voie Lactée

Images reconstruites de la Voie Lactée en différentes bandes spectrales.

Crédit : NASA

La Voie Lactée

Selon la longueur d'onde d'observation, la Voie Lactée se présente sous différents aspects : chaque longueur d'onde apporte des informations complémentaires sur sa structure.

Continu radio à 408 MHz : l'émission provient spécialement de la diffusion des électrons libres (émis lors des supernovae) dans le plasma interstellaire chaud, ou alors d'électrons accélérés dans des régions avec un fort champ magnétique. La boucle dans l'hémisphère galactique nord signale le plasma chaud résiduel d'une supernova ayant explosé relativement proche du Soleil il y a quelques milliers d'années.
Hydrogène atomique à 21 cm (transition hyperfine de l'hydrogène atomique) : signature de milieu interstellaire froid, cette raie signale la présence de nombreux ensembles de gaz et de poussières.
Continu radio à 2.5 GHz : signe la présence du gaz chaud et ionisé dans les régions de formation stellaire.
Hydrogène moléculaire : mesuré indirectement, via la transition J=1-0 du monoxyde de carbone. Cette raie donne la carte des nuages d'hydrogène froids et denses.
Infrarouge lointain : l'émission provient principalement des nuages du milieu interstellaire réchauffés par les étoiles nouvellement formées des régions de genèse stellaire.
Infrarouge thermique (12, 60 et 100 micromètres) : l'émission provient également des nuages du milieu interstellaire réchauffés, mais signale plus particulièrement la présence de molécules complexes.
Proche infrarouge (1.5, 2.2 et 3.5 micromètres) : la majeure partie de l'émission provient des étoiles de type spectral K, froides et peu massives. L'absorption par la matière interstellaire est faible dans ces domaines de longueur d'onde.
Visible (600 nm): la lumière stellaire visible est fortement absorbée par les nuages du milieu interstellaire. L'efficacité du processus d'absorption limite la portée de cette carte aux plus proches régions de l'environnement solaire. Les régions les plus obscurcies en lumière visible correspondent aux régions les plus brillantes en infrarouge.
X (0.25, 0.75 et 1.5 keV) : l'émission de ces rayons X de faible énergie est principalement issu des nuages chauds ; elle est absorbée par la matière interstellaire, dont la concentration est d'autant plus forte que les régions apparaissent sombres.
Rayonnement gamma : les photons au delà de 100 MeV sont issus de la collision entre les rayons cosmiques produits par les pulsars de la Voie Lactée et la matière interstellaire.

Imagerie spectrale

L'imagerie spectrale, comme son nom l'indique, fournit des images enregistrées dans un domaine spectral bien précis, défini par un filtre adapté aux propriétés de l'objet. Cela permet de tracer la distribution de matière contribuant à une signature spectrale donnée.

Cette technique est coûteuse en photons, et l'utilisation de filtres étroits nécessite une source brillante (dans le cas du soleil, ce genre de problème ne se pose bien sûr pas).

Clair obscur

L'imagerie multispectrale combine les avantages de l'imagerie et de la spectrométrie. Comme le nombre de photons est divisé et spatialement et spectralement, la source se doit d'être lumineuse pour des observations avec un rapport signal à bruit suffisant.

QCM

1) Pourquoi l'imagerie spectrale est-elle une technique coûteuse en photons ?
Les instruments coûtent chers
Le rendement d'un spectroimageur est mauvais
Les photons sont simultanément triés spatialement et spectralement

La Voie Lactée en couleurs

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Exercice de synthèse, basé sur les images multi-spectrales de la Voie Lactée, en $\gamma$ , X, visible, proche, moyen et lointain infrarouge, raie de $\textrm{H}_2$ , H atomique, et radio.

Question 1)

Dans quel système de coordonnées ces cartes sont-elles représentées ?

[1 points]

Question 2)

Quels domaines spectraux sont dominés par, respectivement, des sources ponctuelles intenses, une émission de type corps noir, l'absorption par des molécules ou des poussières, la réémission de ces derniers ?

[3 points]

Spectre du Soleil à haute résolution

Le spectre solaire à haute résolution spectrale, observée avec un spectromètre à dispersion croisée. Les différents ordres d'interférence du spectromètre à haute dispersion ont été désenchevêtrés par la dispersion croisée.

Crédit : NOAO

Dispersion croisée

Schéma de principe : une double dispersion permet l'enregistrement du spectre entier sur une caméra CCD. Un réseau blazé disperse la lumière à haute résolution ; une dispersion à plus basse résolution, réalisée à l'aide d'un prisme, permet de distinguer les ordres entre eux. Le détecteur enregistre le signal dans les ordres élevés : chacun porte l'information spectrale, à haute résolution, dans un domaine de couleur différent. L'ensemble des ordres ainsi collectés permet de reconstituer le spectre entier. Le réseau est blazé de façon à optimiser le rendement énergétique instrumental.

Crédit : ASM

Réseau blazé

Profil d'un réseau blazé. Le profil en crête permet de réfléchir l'énergie dans un ordre d'interférence non nul.

Crédit : ASM

Du bon usage des progrès technologiques

Les spectromètres pour la haute résolution spectrale ne datent pas d'hier. Mais l'avènement des caméras CCD, qui permettent d'enregistrer un signal sur 2 dimensions, a renouvelé le principe instrumental de la spectrométrie à haute résolution, en ajoutant à la dispersion principale une dispersion croisée, qui permet l'enregistrement simultané de tout le domaine spectral sur une caméra CCD.

Un spectromètre à réseau disperse la lumière dans ses ordres élevés, et les différents ordres sont séparés par une dispersion croisée obtenue à plus basse résolution. L'avantage d'une telle instrumentation est d'aboutir à un enregistrement simultané de tout le spectre, comme p.ex. ce spectre solaire.

Le spectromètre HARPS

Le spectromètre HARPS (High Accuracy Radial velocity Planet Searcher) est dédié à la recherche d'exoplanètes, par la méthode de mesure des vitesses radiales.

Crédit : ESO/HARPS

Spectre obtenu par HARPS

Image d'un spectre-échelle à haute résolution spectrale obtenu avec une caméra CCD. Le spectre de l'étoile apparaît ici sous l'aspect de bandes sombres. L'étalonnage en longueur d'onde est apporté par les raies en émission d'une lampe spectrale (Thorium Argon), dont le spectre est intercalé avec celui de l'étoile, et enregistré simultanément.

Crédit : ESO/HARPS

Spectre blazé obtenu avec le spectromètre Harps : la diffraction par chaque trait du réseau est responsable du profil d'étalement du flux.

Crédit : ESO/HARPS

Le spectromètre HARPS

Le spectromètre HARPS dédié à la recherche d'exoplanètes est à l'heure actuelle le meilleur instrument de sa catégorie. Il atteint la résolution $\mathcal{R} = 120\,000$ , en proposant une excellente stabilité. Les mesures sont stables et reproductibles, sur une durée de plusieurs années, à mieux que le milliardième près. Les spectres de HARPS sont obtenus avec les différents ordres d'interférences repliés sur une image ; l'image, traitée, conduit au spectre.

Définition

Spectrométrie : étude des spectres.

Spectre IR thermique de Saturne observé par le satellite ISO de l'Agence Spatiale Européenne, et interprétation des raies dues aux hydrocarbures présents dans la troposphère.

Crédit : ESA

Pourquoi la spectrométrie à haute résolution ?

Bien distinguer l'identité spectrale des photons permet de remonter à la nature des éléments construisant le rayonnement, par absorption ou par émission. La spectrométrie à haute résolution permet aussi, via l'analyse Doppler, des mesures très précises de vitesses radiales, comme p.ex. celles qui ont conduit à la découverte des planètes extrasolaires.

Comment ?

Parmi les disperseurs efficaces, l'instrumentation astrophysique s'appuie couramment sur les spectromètres à réseau ou par transformée de Fourier.

Le principe

Le principe du spectromètre HARPS (ESO/Observatoire de Genève) est expliqué ci-joint.

Principe du spectromètre HARPS

Le spectromètre HARPS

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Le spectromètre HARPS, mis en service au printemps 2003 à La Silla, l'un des sites chiliens de l'ESO, a pour but la recherche des exoplanètes. On se propose ici de retrouver quelques-unes des qualités qui lui permettent d'atteindre les objectifs scientifiques fixés.

Question 1)

Le spectromètre est installé derrière le télescope de 3.6 m de l'ESO. Sa pièce principale, le réseau, présente une hauteur de 20 cm. Déterminer le grossissement du montage afocal permettant un éclairement optimum du réseau, en supposant un faisceau non divergent.

Question 2)

Montrer qu'une déviation i_0 dans le champ objet se traduit par une variation $G\ i_0$ de l'angle dispersé.

Question 3)

Rappeler l'expression donnant les variations ${\mathrm{d}} i'$ de l'angle de dispersion en fonction des variations de longueur d'onde ${\mathrm{d}} \lambda$ , du pas du réseau, et selon l'ordre d'interférence .

Question 4)

On cherche à déterminer le champ objet maximal, qui permette d'atteindre un pouvoir de résolution $\mathcal{R} = 120\,000$ . Montrer que cette performance nécessite un faisceau émergeant du spectromètre de taille angulaire limitée à

${\delta i'} \ = \ {m\over p}\ {\lambda \over \mathcal{R} } {1\over \cos i'}$

et conclure. On fera l'application numérique avec les données :

$p = 31.6 {\,\mu\mathrm{m}}$ , $\tan i'=4$ et un ordre d'interférence m=110 à $\lambda = 0.5 {\,\mu\mathrm{m}}$ :

Question 5)

Justifier a posteriori l'hypothèse de non-divergence du faisceau. On pourra considérer un faisceau optique de longueur 8 m dans l'instrument.

Plusieurs techniques permettent de réaliser la spectro-imagerie, càd une information spectrales pour plusieurs objets, plusieurs points du champ ou bien tout un champ.

La fente sélectionne les objets du champ. La mosaïque CCD enregistre un spectre de chaque objet du champ.

Crédit : ASM

Spectrométrie à longue fente

La fente du spectromètre sélectionne les objets du champ. La dispersion, perpendiculaire à la fente, apporte un spectre pour chacun de ses objets .

Découpe d'image

Le découpeur d'image permet, à partir d'une source étendue, d'illuminer la fente du spectromètre. Le champ entier est préservé, à un réarrangement près. Le découpeur correspond simplement à une collage de prismes, avec l'équivalent de 2 prismes croisés par tranche découpée. L'étape intermédiaire (avec les tiretés) a été représentée uniquement à des fins didactiques.

Crédit : ASM

Découpage d'image

L'image est optiquement découpée en tranches, afin de couvrir la fente d'entrée du spectro. L'analyse des images monochromatiques de la fente d'entrée permettra de reconstituer chacune des régions initiales.

Sélection des objets par le faisceau de fibres, et alimentation de la fente d'entrée.

Crédit : ASM

Une image intermédiaire est formée au niveau du système ici visualisé. Les têtes de fibre, chacune positionnable à l'extrémité d'un bras mobile, peuvent aller chercher le flux de tout point du champ. L'instrument doit également fonctionner en imageur, pour repérer très précisément au préalable les positions des objets sélectionnés.

Crédit : ESO

Les 7 cibles sélectionnés sont 7 galaxies d'un amas : les décalages des spectres donnent la dispersion des vitesses des différentes galaxies.

Crédit : ESO

Spectrométrie multi-objets

La fente du spectromètre est alimentée par un faisceau de fibres. Ces fibres sélectionnent les objets du champ à étudier, qui donc n'ont pas besoin d'être alignés.

Les champs sélectionnés peuvent être imagés sur un petit nombre de pixels à l'aide de galettes de microlentilles alimentant des fibres optiques.

Spectroscopie multi-objet avec l'instrument FLAMES au VLT.

Crédit : ESO

Concept optique pour la spectroscopie multi-objets : les 20 microlentilles irriguent 20 fibres optiques.

Crédit : ESO

Définition

Spectro-imagerie : spectrométrie sur un champ non limité à un seul point source.

Spectrométrie à fente longue

La spectrométrie à fente longue a pour objet l'enregistrement simultané de spectres à basse résolution pour les différentes sources sélectionnées par la fente. Le flux issu de chaque sous-région de la fente est dispersé. La dispersion étant perpendiculaire à la fente, l'image bidimensionnelle finale résulte du produit de 2 dimensions : l'une est spectrale, l'autre est spatiale.

Spectrométrie multi-objets

La spectrométrie multi-objets réalise l'enregistrement simultané de spectres à basse résolution pour plusieurs régions d'une image. Les flux de ces régions sont collectés via des fibres, qui organisent une anamorphose de l'image. En entrée, les sources sont réparties indifféremment dans le champ ; en sortie, leurs images par les fibres, sources pour le spectromètre, sont alignées le long de la fente.

Le flux issu de chaque fibre est dispersé. Comme pour la spectrométrie à fente longue, l'image bidimensionnelle finale résulte du produit de 2 dimensions : l'une spectrale, l'autre spatiale. Mais la correspondance entre les pixels et le champ est à considérer selon l'anamorphose effectuée.

Par rapport à la spectrométrie à longue fente, la souplesse des fibres permet de sélectionner plus pertinemment les sources.

Spectrométrie intégrale de champ

La spectrométrie intégrale de champ propose l'enregistrement simultané de spectres à basse résolution de tout un champ objet. L'objet est découpé en un certain nombre de régions, chacune étant alors considérée comme une source ponctuelle, ensuite dispersée.

L'espace entre les images de chacune de ces sources ponctuelles est suffisant pour permettre d'enregistrer, pour chacune, un spectre à basse résolution.

Spectrométrie multi-objets

La fente du spectromètre UVES de l'ESO, fonctionnant en spectrométrie multi-objets, est illuminée par 8 fibres. Sept d'entre elles visent 7 cibles, la 8ème est réservée à la référence spectrale (une lampe à vapeur spectrale, dont on voit les raies en émission).

Spectrométrie multi-objets

Spectrométrie intégrale de champ

La résolution spatiale est dégradée, pour permettre l'enregistrement de spectre sur une grille de régions du champ. Le réseau de microlentilles découpe le faisceau, et crée autant d'images ponctuelles qu'il y a de microlentilles. Ces images ponctuelles sont ensuite autant de sources pour un spectrographe. On récupère en sortie un spectre de résolution moyenne pour chaque région de l'objet découpée par la microlentille (cf instrument CFHT/Observatoire de Lyon).

Spectrométrie intégrale de champ : résolutions spatiale et spectrale

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Cet exercice a pour but d'estimer l'ordre de grandeur des performances d'un spectromètre intégral de champ, qui donne des images sur un CCD de 2k $\times$ 2k (2000 fois 2000 pixels). On note $\mathcal{R}$ le pouvoir de résolution spectrale visé, $\mathcal{N} _{\mathrm{spec}}$ le nombre d'éléments spectraux correspondant, $\mathcal{N} _{\mathrm{spa}}$ le nombre d'informations spatiales souhaité.

Question 1)

Montrer que, si l'intervalle spectral est large, alors en ordre de grandeur $\mathcal{N} _{\mathrm{spec}} \simeq \mathcal{R}$ . On se place par la suite dans le cadre de cette hypothèse.

Question 2)

Montrer que le produit $\mathcal{N} _{\mathrm{spa}} \mathcal{R}$ est nécessairement borné.

Question 3)

On considère pour la suite qu'entre le codage, l'étalonnage, la séparation des spectres..., une information élémentaire nécessite 20 pixels. On souhaite une résolution spectrale de 200. En déduire le nombre d'informations spatiales maximal.

Antenne millimétrique

Réseau des 6 antennes millimétriques de l'observatoire du Pic de Bure de l'IRAM. L'extension maximale de l'interféromètre atteint 408 m sur la branche Est-Ouest, et 232 m en Nord-Sud.

Crédit : IRAM

VLA

Réseau d'antenne VLA (Very Large Array) du NRAO (National Radio Astronomy Observatory), travaillant aux longueurs d'onde de 1.2, 2, 6 et 21 cm. 27 antennes sont disposées sur 3 branches en Y, s'étendant sur 19 $\times$ 21 km

Crédit : NRAO

Dans les domaines radio et submillimétrique

Aux grandes longueurs d'onde, submillimétriques ou radio, les techniques interférométriques s'imposent pour un gain en résolution angulaire (voir l'exercice correspondant).

Séquence illustrant le gain en résolution spatiale entre une image non corrigée par optique adaptative, corrigée, ou enregistrée en mode interférométrique.

Crédit : ESO/Max Planck Society

Les 4 télescopes du VLT. La configuration VLTI, interférométrique, s'obtient en recombinant les faisceaux via les galeries enterrées qui apparaissent sur la photo.

Crédit : ESO

Ligne à retard du VLTI

Le faisceau issu du collecteur le plus proche de la source doit être rallongé, pour interférer avec l'autre faisceau à différence de marche quasi-nulle. Cela nécessite des lignes à retard de grande longueur (extension maximale de 60 m, pour un retard double après un aller-retour), dans le tunnel interférométrique.

Crédit : ESO

Schéma à l'échelle du rayon de différentes étoiles naines de la séquence principale. Rayons mesurés avec le VLTI.

Crédit : ASM

Le VLTI

On nomme VLTI la configuration interférométrique des télescopes du VLT. La longueur de cohérence pour une source astronomique étant limitée, l'obtention de franges d'interférence nécessite des lignes à retard pour mélanger les faisceaux des différents collecteurs. Une des premières opérations du VLTI a consisté en la mesure de diamètres stellaires d'étoiles de la séquence principale. La mesure de ces diamètres angulaires est impossible sans la haute résolution apportée par l'interférométrie.

Enregistrement de franges d'interférence. La cohérence spatiale est limitée par la taille angulaire de la source.

Crédit : ESO

La mesure du diamètre angulaire de l'étoile $\alpha$ du Bouvier (Arcturus) résulte de la visibilité des franges d'interférence obtenues par interférométrie.

Crédit : ESO

Interférométrie visible : principe

Les mesures effectuées sont des mesures de visibilité de franges d'interférence. Plus la source est étendue, moins la visibilité des franges est marquée.

Objectifs

Augmenter la résolution angulaire, ultimement limitée par la diffraction d'un collecteur, en faisant interférer les faisceaux de plusieurs collecteurs.

Prérequis

Diffraction, interférence ; la notion de cohérence spatiale est nécessaire pour justifier les techniques d'interférométrie.

Recombinaison

$diffracinterf2.png$

La tache de diffraction d'un seul télescope de diamètre collecteur

est en

; la tache image résultant de l'interférence sur la base

est en

.

Crédit : ASM

Configuration de Fizeau

Interféromètre dans la configuration de Fizeau. Les différentes surfaces collectrices sont des sous-parties d'une unique surface. Les faisceau convergent en phase au foyer commun.

Crédit : ASM

Configuration de Michelson

Interféromètre dans la configuration de Michelson. Une ligne à retard doit assurer le cophasage des faisceaux recombinés.

Crédit : ASM

Le principe

Les faisceaux issus de 2 collecteurs pointant le même objet sont recombinés, de manière cohérente, pour interférer.

Définition

La ligne de base entre 2 collecteurs étant notée , la résolution angulaire de la tache image des faisceaux interférant à la longueur d'onde $\lambda$ vaut $\lambda /b$ .

Exemple de valeur numérique : dans le proche infrarouge, pour une base de 100 m : $\lambda / b = 10^{-6}/100 = 10^{-8} {\,\mathrm{rad}} = 0.002"$ .

Exemple de recombinaison : interféromètre de type Michelson, ou bien Fizeau. Dans ce dernier cas, les surfaces collectrices sont des éléments disjoints d'une surface collectrice unique.

Vers la haute résolution angulaire

L'interférométrie s'est développée dans un premier temps dans le domaine radio. Dans ce domaine de fréquence, la détection cohérente permet une recombinaison du signal plus aisément qu'aux fréquences optiques. La phase du signal étant enregistrée, cette recombinaison n'a même pas à être nécessairement menée en temps réel. L'interférométrie dans le domaine des grandes longueurs d'onde apparaît par ailleurs le plus souvent indispensable, la taille de la tache de diffraction dans ce domaine conduisant, malgré les grands diamètres collecteurs, à une résolution angulaire médiocre. L'interférométrie est aujourd'hui développée jusque dans le domaine visible : en l'absence de pupille de grande taille, c'est la seule technique donnant accès à la haute résolution angulaire.

Technique d'observation

On s'intéresse aux interférences construites entre paires de collecteurs. Le problème se ramène à une situation de type trous d'Young, avec l'analogie entre les trous d'Young et les collecteurs.

La longueur de cohérence du faisceau stellaire est limitée. Réaliser des interférences ne se limite pas à une sommation des intensités lumineuses : observer des franges d'interférence nécessite d'égaler les chemins optiques des 2 voies à quelques longueurs d'onde près avant leur recombinaison. Des lignes à retard optiques permettent de réaliser ceci.

De la même façon que le paramètre pertinent pour visualiser les franges d'interférences issus des trous d'Young est l'écart angulaire par rapport à l'image géométrique, il est utile de faire la correspondance entre la projection des lignes de bases de l'interféromètre, projetées sur le plan d'onde. Une configuration donnée, à une date donnée, va conduire à la mesure de la visibilité des franges d'interférences pour un vecteur angulaire donné (u, v) .

La courbe de visibilité dépend de la taille angulaire de la source, dès lors que celle-ci est résolue par l'interféromètre. Plus la source sera étendue, plus les franges d'interférence apparaîtront brouillées dès lors que l'on s'éloigne angulairement de la direction de l'optique géométrique.

Base

La ligne de base correspond à la projection sur le plan du ciel, donc orthogonale à la ligne de visée, de la position des télescopes. Du fait de la rotation de la Terre, elle varie au cours de l'observation.

La ligne de base, en rouge, varie en cours de la nuit. Le trajet supplémentaire de la lumière sur l'un des voies est à compenser par une ligne à retard.

Crédit : ASM

Synthèse d'ouverture

Les animations ci-jointes montrent comment évoluent, au cours d'une séquence d'observation, les lignes de base d'un site avec 3 télescopes interférant, avec les fréquences spatiales sur le plan du ciel.

Si l'objet ne varie pas rapidement dans le temps, il est possible de prendre le temps de nombreuses configurations interférométriques, au besoin avec des changements de positions des télescopes (lorsque cela est possible), pour reconstituer suffisamment de fréquences spatiales et imager en détail l'objet.

Au cours d'une nuit d'observation, une source donnée voit le plan de 3 télescopes d'un interféromètre sous un angle variable. A 3, ils construisent 2 lignes de base indépendantes, et donnent accès à 2 fréquences spatiales différentes (croix orange).

Crédit : ASM

L'interféromètre du plateau de Bure

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Les antennes de l'IRAM du plateau de Bure ont un diamètre de 15 m.

Question 1)

Déterminer la tache d'Airy, pour une observation menée à 230 GHz.

Question 2)

Que devient cette résolution pour une observation interférométrique avec une ligne de base de 400 m ? Déterminer le gain en éléments de résolution sur un objet.

Carte du ciel en coordonnées galactiques, avec représentation de la densité des régions les plus étudiées et accessible dans le catalogue Vizir tenu par le Centre de Données Stellaires de l'Observatoire de Strasbourg.

Crédit : CDS

Catalogues

Les différents programmes d'observations des différents télescopes ont conduit à l'accumulation de très nombreuses données, compilées dans de non moins nombreux catalogues. Aujourd'hui, soit ces catalogues sont devenus obsolètes, soit ils sont accessibles en ligne pour être accessibles, pour profiter à la plus large communauté, pour être intercroisés avec d'autres observations...

C'est par comparaison avec une image d'archive que peut être mis en évidence un événement tel une supernova.

Crédit : ESO

Exemple d'intérêt : archive

Un intérêt majeur d'un observatoire virtuel consiste à fournir des archives, p.ex. pour détecter un phénomène nouveau, tel l'apparition d'une supernova.

Aperçu d'un outil permettant de comparer des clichés dûment catalogués d'un même objet à différentes longueurs d'onde.

Crédit : CDS

Exemple d'intérêt : analyse multispectrale

Approche multispectrale de M20 proposée par le Centre de Données Stellaires de l'Observatoire de Strasbourg. Les outils permettent de retrouver des informations, les comparer...

Définition

Un observatoire virtuel correspond à un centre de données, donnant accès à des observations passées classées, archivées, ainsi que des outils spécifiquement développés pour travailler ces observations.

Une page, parmi tant d'autres, de la base de donnée SIMBAD. Renseignements sur une cible donnée : coordonnées, articles de référence, et liens vers ses multiples dénominations, différant les unes des autres selon le catalogue d'observation.

Crédit : CDS

Base de données

Les évolutions technologies ne permettent pas seulement d'avoir des instruments plus performants, pilotés par des interfaces efficaces. Elles ouvrent aussi la possibilité de mettre à la disposition de la communauté des chercheurs les observations menées par les différents programmes.

Les bases de données classent et organisent dans des formats facilement portables les résultats obtenus par les grands observatoires, leurs programmes majeurs d'atlas et d'observation de régions précises, les missions spatiales...

Vers les observatoires virtuels

Un observatoire virtuel, c'est une base de données suffisamment bien achalandée, organisée et agencée pour permettre non de réaliser une observation, mais d'accéder à des observations passées susceptibles de fournir les renseignements cherchés.

Un observatoire virtuel doit ainsi permettre :

de comparer des observations concernant un même objet,
de comparer des observations obtenues à des dates différentes,
de croiser des observations obtenues à des longueurs d'onde différentes...

Pour en savoir plus, voir p.ex. le site du Centre de Données astronomiques de Strasbourg (CDS).

Cette section a exposé les principales mises en forme du signal astronomique. Chacune correspond à une instrumentation spécifique.

Une bonne part de la recherche astrophysique concerne le développement d'instruments encore plus puissants, efficaces, sensibles, précis, stables... sachant qu'il est impossible de tout faire simultanément.

Instrument AMBER, spectromètre du VLTI observant dans le proche infrarouge avec un pouvoir de résolution pouvant monter jusqu'à 10 000.

Crédit : ESO

Plus de dix ordres de grandeurs séparent les énergies des photons $\gamma$ à radio auxquels s'intéressent les astrophysiciens. Les techniques de détection, tout comme les détecteurs, sont évidemment bien différentes selon le domaine spectral.

Cette section présente des caractéristiques générales, et explore préférentiellement le domaine spectral visible ainsi que les domaines proches du visibles où les détecteurs présentent des propriétés semblables.

Une section est spécialement dédiée aux détecteurs CCD et aux observations avec une caméra CCD. Une autre s'intéresse aux observations dans l'infrarouge thermique.

Fragment d'image, brute, obtenue par la caméra CFH12k du télescope CFH

Crédit : CFHT

Réponse spectrale

La réponse spectrale d'un détecteur indique son rendement en fonction de la longueur d'onde. Sans l'instrumentation appropriée, un détecteur ne fournit pas d'information sur la couleur précise d'un photon détecté.

Réponse spectrale d'un CCD éclairé par l'arrière. Un tel détecteur ne voit ni les photons UV ni les photons IR. Il n'est pas non plus capable de distinguer un photon rouge d'un photon bleu s'il n'est pas précédé de l'instrumentation appropriée (filtre ou spectrographe).

Crédit : ASM

Pixels

La taille et le nombre des pixels est un paramètre important. Une photodiode est monopixel ; les mosaïque CCD pour l'astronomie peuvent compter jusqu'à 2k $\times$ 4k pixels, les plus grands CCD actuels (2003) atteignant la taille 8k $\times$ 8k pixels.

La résolution atteinte sur cet objet du voisinage de NGC3486, observé en bande B et I dans des conditions de seeing de 0.7", met clairement en évidence la pixélisation de la caméra grand champ.

Crédit : CFHT

Saturation

Exemple de détecteur saturé, en raison d'une trop grande dynamique entre les signaux à enregistrer. La saturation conduit à élargir démesurément la tache image, car les trop nombreux photo-électrons ont débordé du puits de potentiel où ils auraient dû être stockés.

Système binaire Gliese 229. La composante Gb299A est totalement saturée, pour mettre en évidence le compagnon Gl229B, de masse substellaire, qui est une naine brune.

Crédit : HST

Propriétés d'un détecteur

On peut synthétiser les propriétés d'un détecteur selon différentes caractéristiques, chacune associée à une dimension physique particulière.

Les principales caractéristiques sont traitées avec plus de détail dans des pages dédiées.

Dynamique : Seuil - domaine de linéarité - saturation
Réponse spectrale : Réponse spectrale - résolution spectrale
Réponse temporelle : Temps de réponse - filtrage
Géométrie : Format - fonction de transfert
Bruits : Bruit propre - bruit de lecture - bruit d'amplification

Caractéristiques

Exemple de caractéristiques d'un détecteur : mosaïque de la caméra CFH12k du télescope CFH.

Objectifs

Retenir qu'un détecteur quantique voit les photons $h\nu$ alors qu'un détecteur cohérent voir le champ électromagnétique, $\mathbf{E}$ ou $\mathbf{B}$ .

Détecteurs

On peut distinguer 3 grands type de détection :

Détection quantique : Un photon incident, absorbé, conduit à l'apparition d'un porteur de charges.
Détection cohérente : Les récepteurs d'amplitude sont sensibles à l'amplitude et à la phase du signal électromagnétique. Le collecteur est dans ce cas souvent appelé antenne. La détection cohérente nécessite, dans les plus hautes fréquences auxquelles elle peut être menée, le mélange du signal scientifique et d'un signal de référence. La création d'un signal de référence stable, cohérent, n'est technologiquement réalisable qu'aux basses fréquences, en pratique pour les signaux de fréquence inférieure à 1500 GHz (longueur d'onde de 200 micromètres).
Détection thermique : Un bolomètre absorbe l'énergie du rayonnement incident et la dégrade en agitation thermique. L'élévation thermique qui en résulte est mesurée par la variation d'une grandeur physique reliée à la température.

Principe de la détection hétérodyne

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

La détection hétérodyne compare le signal scientifique à un signal de référence délivré par un oscillateur local à haute fréquence. On note $\omega$ la pulsation du signal scientifique, et $\omega_0$ celle de la référence, cette dernière étant voisine de $\omega$ .

Question 1)

Un mélangeur fournit le signal produit des signaux observé et de référence. Montrer que ce signal est composé de 2 fréquences bien distinctes.

Question 2)

On applique au signal un filtre passe-bas, pour éliminer les hautes fréquences. Montrer l'intérêt du mélange des signaux.

Objectifs

Illustrer comment l'interaction matière-rayonnement permet de transférer l'information utile d'un photon à un photo-électron.

Photo-électron

L'absorption d'un photon permet à un électron du détecteur de changer d'état. Cette création d'un photo-électron par absorption d'un photon caractérise les détecteurs quantiques.

Du signal lumineux au signal enregistrable

La conversion photon + électron $\to$ photo-électron s'appuie sur différents effets.

Effet	Description	Récepteur
Effet photochimique	Changement d'état chimique	Plaques photo, plus guère employées aujourd'hui. Les photo-électrons activés par le rayonnement réduisent les ions Ag+ en argent métallique.
Effet photoélectrique	Extraction d'un électron d'un métal vers le vide	Phototube, photomultiplicateur
Effet photoconducteur	Au sein d'un semi-conducteur, l'absorption d'un photon permet à un électron de franchir le gap de la bande de valence vers la bande de conduction	Photodiode
Effet photovoltaïque	Effet photoconducteur dans une jonction PN. Un photon crée une paire électron-trou, qui se traduit pas une différence de potentiel aux bornes de la jonction ; IR lointain $\to$ radio

Rendement quantique

La probabilité $\eta$ de création d'un photoélectron, souvent appelée rendement quantique, dépend de différents paramètres, et varie fortement avec la longueur d'onde :

$\eta (\lambda) \ = \ (1-r) \ \varepsilon\ \bigl[1-\exp(-\alpha_\lambda \ell)\bigr]$

Avec les définitions suivantes :

	coefficient de réflexion à la surface du détecteur ; les photons réfléchis, repartant vers la source, ne risquent pas de créer un photo-électron
$\varepsilon$	fraction de porteurs de charge participant au courant mesuré
$\alpha_\lambda$	coefficient d'absorption du matériau : un détecteur se doit d'être absorbant.
$\ell$	épaisseur du détecteur ; plus le produit $\alpha_\lambda\ell$ augmente, plus la probabilité d'absorption d'un photon est grande

QCM

1) La surface d'un bon détecteur se caractérise par un coefficient de réflexion
faible
indifférent
élevé

2) Un bon détecteur se caractérise par une fraction de porteur de charge participant au courant mesuré
faible
indifférente
élevée

3) Un bon détecteur se caractérise par un coefficient d'absorption
faible
indifférent
élevé

Linéarité

On demande à une mesure physique de fournir une mesure en liaison avec l'observable voulue. Une propriété importante est la linéarité : si elle n'est pas assurée, la relation entre le signal mesuré et le signal observé est complexe.

Courbe de linéarité typique d'une caméra CCD. Ici, la linéarité est assurée d'environ 500 à 25000 ADU (unités de signal numérisé), puis le détecteur sature.

Crédit : CFHT

Seuil et saturation

L'effet de seuil peut introduire un décalage sur une faible mesure. Le niveau de signal doit être suffisant pour sortir du bruit propre du détecteur. A faible niveau, la définition du signal nul (offset) peut également affecter le signal. La saturation affecte les fortes valeurs de signal.

L'excitation est en abscisse, la réponse en ordonnée (échelle log-log). La ligne tiretée en bleu donne une réponse idéale, identique à l'excitation, sans seuil ni saturation, de rendement unité. En deçà du seuil, la réponse d'un détecteur réel est mauvaise ; au-delà d'une certaine valeur, le détecteur sature. Noter que le rendement n'est pas 1.

Crédit : ASM

Objectifs

Un bon détecteur est linéaire sur une grande dynamique, et propose un seuil de sensibilité bas.

Seuil de sensibilité

Un récepteur sera d'autant plus sensible que... son seuil de sensibilité est bas. Ceci nécessite le plus souvent son refroidissement, afin de diminuer le bruit d'agitation thermique.

Linéarité

La linéarité assure une réponse proportionnelle au signal incident.

C'est une propriété importante pour convertir une observable en mesure. Si le détecteur est linéaire, il est possible par un simple facteur d'échelle de convertir le signal électrique enregistré en signal photométrique.

Saturation

La saturation limite le flux maximum observable. Un niveau de saturation élevé assure une grande dynamique.

Réponse spectrale d'un CCD

La réponse spectrale d'un CCD dépend du matériau semi-conducteur utilisé et des caractéristiques géométriques du sandwich de détection.

Réponse spectrale d'un CCD, selon le traitement de surface (=coating), optimisé vers l'IR, l'UV, ou bien plus une plus grande bande spectrale visible. CCD30-11 de Marconi Applied Technologies

Crédit : Marconi

Réponse spectrale d'un bolomètre pour la radioastronomie

Un bolomètre ne discrimine pas les longueurs d'onde... mais cela ne signifie pas qu'il est également sensible à toutes les longueurs d'onde. Le signal délivré est en fait intégré selon une fenêtre spectrale donnée.

Courbe de réponse spectrale de l'instrument Mambo de l'IRAM (Max Planck Millimetre Bolometer).

Crédit : IRAM

Sensibilité spectrale

Un détecteur n'est sensible que dans une gamme spectrale donnée. Il n'a en général aucune sélectivité spectrale intrinsèque, sauf s'il est muni de filtre adéquat.

Résolution spectrale

De ce qui précède, on déduit que la résolution spectrale dépend essentiellement des filtres ou de l'instrumentation associés au détecteur.

Fréquence de lecture d'une caméra CCD. Plus elle est rapide, plus le bruit de lecture augmente.

Crédit : ANDOR technologies

Réponse temporelle

La rapidité de lecture d'un CCD dépend de la fréquence d'horloge de l'électronique et du nombre de pixel. Le fait de n'avoir qu'un nombre de registre de lecture limité (1 à 4 typiquement) ralentit considérablement la réponse temporelle d'un détecteur composé de millions de pixels.

Obturateur géant (1 m) de la caméra Megacam du CFHT.

Crédit : CEA/CFHT

Obturateur

Un obturateur mécanique est souvent nécessaire pour stopper l'arrivée des photons durant le temps de lecture de la caméra. Dans certains cas, cet élément peut limiter la cadence d'observation.

La réponse temporelle devient un paramètre important pour l'observation d'un phénomène rapidement variable. Ici : occultation d'une étoile brillante par Saturne.

Crédit : NASA/IRTF

Variations temporelles d'un signal émis par un pulsar. Echantillonner un signal très rapide est souvent orthogonal aux capacités d'imagerie : le détecteur le plus rapide sera mono-pixel.

Crédit : NASA/CGRO (Compton Gamma Ray Observatory)

De la nécessité d'observer avec une bonne cadence

L'observation astronomique se caractérise souvent par des poses très longues, nécessaires pour l'obtention d'un signal intrinsèquement très faible. Mais il est aussi utile de pouvoir compter sur des détecteurs rapides. La réponse temporelle prend son importance pour l'observation d'un phénomène périodique rapide, comme p.ex. le clignotement d'un pulsar, ou pour un phénomène transitoire, tel une occultation stellaire.

Temps de réponse, temps de lecture

Un détecteur a un temps de réponse, propre ou dépendant de l'électronique de contrôle et de lecture, qui n'est pas infiniment bref. Par exemple, un bolomètre, qui convertit l'énergie des photons en échauffement, ne peut pas réponde instantanément. De même que la lecture d'une matrice CCD de plusieurs millions de pixels ne peut pas être instantanée, mais prendra jusqu'à une minute.

Il s'ensuit que le signal d'un détecteur est échantillonné dans le temps.

Filtrage

De ce qui précède, on en déduit qu'un détecteur fonctionne comme un filtre passe-bas : les hautes fréquences temporelles sont filtrées.

Pose longue ou échantillonnage rapide

Certains phénomènes astronomiques présentent de rapides variations temporelles, soit parce qu'intrinsèquement variables, soit parce que correspondant à un phénomène transitoire. L'observation de tels phénomènes demande un temps de réponse rapide, et donc une stratégie de détection appropriée.

Temps de réponse

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Une observation astérosismique avec le spectromètre HARPS nécessite la lecture d'une caméra de 2k×4k. Par ailleurs, l'échantillonnage du signal temporel nécessite l'acquisition d'une image par minute.

Question 1)

Déterminer le temps de pose en fonction de la magnitude, sachant que le détecteur sature à partir de 10^5 photo-électrons par pixel, est que cette saturation est atteinte en environ 1 s pour une étoile de magnitude 0.

Question 2)

Le temps de lecture de la caméra est de 20 s. Pour quelle magnitude minimale l'observation reste-t-elle pertinente, avec au-moins la moitié du temps passée sur la source et non à lire la caméra ?

Question 3)

L'observation demande un échantillonnage plus rapide que 3 minutes. Montrer qu'une cible peu brillante ne sera pas observée dans de bonnes conditions. Estimer la limite en magnitude dans le cas où l'on accepte de remplir les pixels à 1/10 de la valeur optimale.

Format

Les CCD actuels pour l'astronomie ont des tailles limitées à 2k $\times$ 4k. Pour augmenter la capacité de détection, on pave le plan focal de plusieurs détecteurs, comme par exemple pour la caméra MEGACAM du télescope CFH mise en service à l'été 2003.

Les 40 CCD de la caméra MEGACAM du télescope CFH.

Crédit : CFHT

Pixel

Définition

Un pixel, pour picture element, est un élément d'image. Par extension, un pixel d'une caméra CCD correspond à l'entité physique qui aboutit à un élément d'image.

Le nombre de pixels court de 1 à plusieurs millions ; on note couramment 1 kpx = 1000 px.

Format

Les caméras actuelles ont typiquement des formats de 256 $\times$ 256 px (dans l'infrarouge thermique) à 2k $\times$ 4k pixels (dans le visible).

Le format est la seule caractéristique où la détection par plaque photographique fut plus performante. Les détecteurs de type CCD comptent un nombre de pixels bien inférieur à celui atteint par les plus grandes plaques photos.

Projet MEGACAM du télescope CFH

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Champ plat des 40 CCD de la caméra MEGACAM du CFH

Crédit : CFHT

La caméra MEGACAM du télescope CFH, mise en service à l'été 2003, comprend 40 mosaïques CCD, de 2k $\times$ 4.5k pixels. L'information d'un pixel est codé sur 16 bits. Le temps de lecture d'une image totale est de 30 secondes.

Question 1)

Les 36 CCD centraux, couvrent une surface carrée de 0.94 degré par 0.94 degré. Déterminer le champ de vue d'un pixel.

Question 2)

Déterminer la capacité de stockage nécessaire pour 1 champ observé en 3 couleurs.

Question 3)

Une nuit moyenne aboutit à une dizaine de champs, chacun pris dans 3 filtres. A raison de 100 nuits d'observation par an, déterminer le volume de données au bout de 5 années de fonctionnement.

Signal analogique et numérisé sur 8 bits (64 valeurs possibles). La différence entre les valeurs réelles et codées introduit un bruit de numérisation.

Crédit : ASM

Bruit de numérisation

Le simple fait de numériser un signal analogique, càd de le coder sur une échelle de valeurs discrétisée (typiquement, sur bits, ce qui permet de coder 2^n valeurs), peut rajouter du bruit au signal.

Le signal d'obscurité est un bruit d'origine thermique. Données pour une caméra CCD, en fontions de la température. A -15 deg, 1 électron thermique est généré par pixel par seconde ; à -65 deg, il faut attendre 1000 s pour qu'un moyenne un électron thermique apparaisse par pixel.

Crédit : ANDOR

Bruit d'origine thermique

La température du détecteur conditionne le signal d'obscurité d'un détecteur. Suite à l'agitation thermique, des porteurs de charge apparaissent aléatoirement, d'autant plus que la température est élevée.

Bruit de fond

Crédit : ESO

Bruit de fond

Le bruit de fond représente le bruit de photons de la lumière parasite.

Objectifs

Apprendre à distinguer un signal d'un bruit.

Plusieurs pages sont spécifiquement dédiées au bruit dans la section Analyser le signal : (bruit gaussien, bruit de photons, rapport signal à bruit...)

Signaux parasites et bruits

Au signal scientifique se superposent des signaux parasites et des bruits. Un bruit sera caractérisé par son caractère aléatoire, et les propriétés statistiques correspondantes.

Un signal parasite possède, comme son nom l'indique, les propriétés d'un signal et non celles d'un bruit.

Bruit quantique

La nature du rayonnement, quantique par excellence, montre le hiatus à décrire une intensité lumineuse par une quantité analogique, alors que les porteurs de ce rayonnement sont quantifiés.

On montre que la statistique d'arrivée des photons est poissonnienne. Lorsque l'on attend $N= E/h\nu$ photons, la valeur moyenne observée est et la fluctuation $\sqrt{N}$ autour de cette valeur moyenne. Il s'ensuit un rapport signal à bruit déterminé par le flux de photons égal à :

$\mathrm{rsb}\ = \ {N\over \sqrt N}\ =\ \sqrt{N}$

En électronique, on parle de bruit de grenaille, et de bruit de photons en optique.

Bruit de fond

Le bruit de fond représente le bruit de photons de la lumière parasite qui se superpose au signal scientifique. Comme le bruit quantique, il est lié aux sources (ici parasites) et non au détecteur. Dans l'infrarouge, il est dominé par l'environnement chaud que voit le détecteur.

Bruit thermique

Le bruit thermique provient de l'agitation thermique des porteurs de charge du détecteur. Il est à moyenne nulle, son écart-type augmente avec la température.

Ce bruit, comme les suivants, dépend du détecteur et de la chaîne de détection.

Bruit de lecture

Le processus de lecture contribue au bruit de lecture, par exemple dans un CCD lorsque les photo-électrons sont transférés le long d'une colonne vers un registre de lecture. On quantifie le bruit de lecture par son écart-type en nombre de photoélectrons par pixel. Une valeur typique de $\sigma _{\mathrm{lec}}$ est de l'ordre de quelques photo-électrons par pixel

Bruit d'amplification

L'électronique d'amplification introduit un gain , dont la valeur n'est pas fixe mais sujette à différents bruits.

Bruit de quantification

Le signal analogique est finalement converti en signal numérique, codé sur éléments d'information (bit), ce qui permet uniquement 2^n valeurs de codage.

Un signal évoluant sur une plage de 0 à $I _{\mathrm{max}}$ présentera, de par le codage sur éléments d'information, une résolution minimale de $I _{\mathrm{max}}/2^n$ .

Numérisation

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

On souhaite numériser le signal photométrique d'un détecteur dédié à une étude de la microvariabilité. Ce signal est composé d'un fort continu, de diverses modulations et bruit, et du signal scientifique. Les amplitudes respectives sont données dans le tableau ci-dessous.

continu
variations
microvariabilité	$10^{-1} \to 1$

Question 1)

Sans traitement préalable, sur combien de bits faut-il coder le signal afin de ne pas introduire de bruit lors de cette opération (si besoin, voir les pages sur l'échantillonnage d'un signal) ?

Question 2)

Même question, après filtrage permettant de séparer les composantes continue et lentement variable d'une part, et la microvariabilité se distinguant du fond variable de l'autre.

Diverses contributions au rendement

Lorsque l'on décompte toutes les pertes de transmission des différents éléments d'une chaîne instrumentale, on s'aperçoit que le rendement final n'est pas nécessairement bon. Pour 100 photons collectables au sommet de l'atmosphère, la plupart des instruments ne travailleront finalement qu'avec une poignée de photoélectrons.

Transmissions des différentes contributions d'une chaîne instrumentale : l'atmosphère (au niveau de la mer, pour une observation au zénith), du télescope, de l'instrument, du détecteur CCD, et finalement transmission totale.

Crédit : ASM

Choix d'un site

On peut considérer comme partie intégrante du rendement celui de la couverture temporelle durant laquelle la météo est favorable. L'image satellite illustre le fait que le Chili offre de bien meilleurs sites d'observations que l'Argentine, avec un ciel parfaitement dégagé.

Image satellite de l'Amérique du Sud, dans la fenêtre à 10 micromètres, sensible à la couverture nuageuse. Les courants froids du Pacifique Sud sont responsables du faible taux moyen d'humidité au Chili. Les bons sites comme dans la Cordillère des Andes au Chili offrent plus de 300 nuits claires par an.

Crédit : GEOS

Rendement de la chaîne de détection

Lorsque les photons sont rares, pour des sources faiblement lumineuses, il faut viser l'efficacité lors de chacune des étapes participant à la chaîne de mesure, et ce bien avant le détecteur.

Atmosphère : La transmission atmosphérique dépend de la longueur d'onde et de la quantité d'atmosphère traversée (sauf pour une observation spatiale).
Collecteur : L'efficacité de la collection dépend du pouvoir de réflexion des miroirs. En fonction de la longueur d'onde et du traitement de surface adapté (aluminure, argenture, dorure...), le facteur de réflexion d'un miroir vaut typiquement entre 80 et 99%.
Instruments : Un instrument efficace n'égare pas ses photons. Mais chaque dioptre, traversées vitreuses (lentilles...), chaque passage par fibre optique... épluche les photons par réflexion, transmission, absorption.
Détecteur : Le rendement du détecteur est la dernière étape limitant le rendement global de la chaine de détection.

Transmissions

Valeurs typiques de transmission de différentes composantes d'une chaîne de mesure
atmosphère	60 à 80%, dépend de la masse d'air (mesure la quantité d'atmosphère traversée, càd $1/\sin h$ , avec la hauteur sur l'horizon de l'objet visé)
miroir	jusqu'à 99%, en fonction du traitement réfléchissant de surface
fibre	de l'ordre de 80%
dioptre	une réflexion verre-air a un coefficient de transmission typiquement de 96%. Un traitement antireflet permet d'accroître ce coefficient jusque vers 99%

QCM

1) Que vaut la transmission d'un train optique avec 4 lentilles, chaque dioptre ayant une transmission de 96%.
85%
72%
68%

2) Même question, avec un traitement antireflet donnant une transmission de 99% pour chaque dioptre.
84%
92%
96%

De l'intérêt d'un traitement de surface

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Question 1)

Un instrument comprend en tout 10 lentilles. Sans traitement antireflet, chaque dioptre a une transmission de 96%. Déterminer la transmission globale.

[2 points]

Question 2)

Un traitement antireflet permet de porter le coefficient de transmission à 99%. Que devient la transmission globale ?

[1 points]

Question 3)

Conclure.

[1 points]

Transmission atmosphérique

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Les données de l'appliquette ci-jointe montrent l'évolution de la transmission atmosphérique avec la longueur dans le domaine visible, pour 2 altitudes d'observation : au niveau de la mer et au sommet du Mauna Kea (Hawaï, 4200 m d'altitude).

Question 1)

Tracer, pour les 2 altitudes d'observation, les transmissions en fonction de la longueur d'onde, et commenter l'allure des courbes.

[2 points]

Question 2)

La relation de l'extinction avec la masse d'air de l'objet visé $1/\cos\theta$ , l'angle $\theta$ mesurant la distance angulaire entre le zénith et la direction de visée, est de la forme :

${\cal A} (\theta) = {{\cal A} (0) \over \cos \theta}$

Commenter et justifier cette relation.

[1 points]

Question 3)

Montrer, en calculant l'extinction au CFH, que la courbe d'extinction est compatible avec la diffusion Rayleigh, qui varie comme l'inverse de la puissance quatrième de la longueur d'onde

[1 points]

Pour en savoir plus sur les thématiques de cette section ; voir p.ex. le livre Méthodes physiques de l'observation, de Pierre Léna, CNRS éditions.

Crédit : ASM

L'instrumentation astrophysique conduit souvent à des observations à la pointe de ce qui est faisable. Les signaux, obtenus après des heures d'observations chèrement acquises, doivent exprimer toute leur substantifique moelle. Une étape très importante est donc l'analyse du signal.

Cette section expose diverses pistes pour :

Comprendre l'allure d'un signal.
Extraire le signal du bruit.
Analyser le signal.

Quelques-unes des sources de bruit physique sont répertoriées à la page bruits de détection.

Exemple de filtrage. Série temporelle du flux de l'étoile HD 175726 observée par le photomètre à bord du satellite CoRoT, exprimé en nombre de photons, et série filtrée des hautes fréquences.

Crédit : CNES/ASM

Détection et rapport signal à bruit

La détection d'un phénomène, comme par exemple une raie spectrale, nécessite de pouvoir distinguer le signal par rapport à ce qui n'est pas du signal, appelé bruit s'il présente un caractère aléatoire. On exprime ceci par un rapport, le rapport signal à bruit, d'autant plus important que le signal est fort par rapport au bruit.

Allure d'une raie en absorption, observée à différents rapports signal à bruit. La détection commence à être possible avec un rapport signal à bruit supérieur à 5. L'échelle spectrale est donnée en vitesse (km/s), centrée sur la raie.

Crédit : ASM

Biais

Il ne faut pas confondre un signal parasite, ou biais observationnel, avec un bruit. Le biais qui affecte le signal possède des propriétés qui le distinguent tout à fait d'un bruit.

Exemple de biais. Un défaut dans le système de pointage du télescope est mis en évidence sur une cible atypique (alpha du Centaure, extrêmement brillant). Il s'ensuit une signature spectrale parasite à 3.1 mHz et à ses harmoniques.

Crédit : ESO

Un biais très commun est un offset, càd un décalage du signal dû au fait que le niveau zéro du signal physique et le niveau zéro de sa traduction en signal électrique ne coïncident pas.

Exemple d'offset, sur une image simulée de Jupiter dans l'infrarouge thermique. Les courbes orange et rouge sont des coupes de l'image ; elles représentent le flux (unité arbitraire) en fonction du numéro de pixel. Le fond de ciel, qui devrait être à zéro, ne l'est pas.

Crédit : ASM

Bruits et signaux

L'astronomie regorge d'exemple de bruits devenus des signaux célèbres à partir du moment où leurs caractéristiques ont été identifiées.

Le bruit remarqué par les radioastronomes dans toutes les directions d'observations, a été identifié par Penzias et Wilson en 1965 comme étant le rayonnement à 3 K du fond cosmologique
Le bruit des observations de la photosphère solaire dans les années 1970 s'est révélé un signal acoustique très régulier, signature des modes d'oscillation du soleil. Aujourd'hui, plus de 10 millions de modes d'oscillations ont été identifiés, si bien que l'on connaît très précisément l'intérieur du Soleil.

La carte du rayonnement du fond cosmologique, observée par le satellite Cobe, représentée en coordonnées galactiques. Les couleurs codent les fluctuations par rapport à la température moyenne 2.728 K

Crédit : NASA

Spectre des modes d'oscillations du Soleil, avec des périodes voisines de 5 minutes. Observation de l'instrument Golf à bord de Soho.

Crédit : SOHO

Objectifs

Distinguer signaux et bruits.

Qualitativement

Le bruit de la circulation qui vous empêche d'entendre ce que dit votre ami(e) dans la rue, c'est du bruit... et ce que vous dit votre ami(e) a priori du signal. Mais une voiture qui accélère, est-ce vraiment un bruit, ou un signal parasite ? Par analogie, la lumière du ciel diurne qui empêche de voir les étoiles de jour est-elle un bruit, un signal parasite ?

Signal, bruit

Tout observation va comporter, en plus du signal, des perturbations à ce signal. Ces dernières résultent principalement de deux causes, intrinsèques et extrinsèques :

Intrinsèquement, la nature même de la physique du signal implique l'existence de fluctuations (voir p.ex. comment l'arrivée des photons construit le bruit de Poisson).
Par ailleurs, les conditions d'observation superposent au signal diverses autres contributions : signaux parasites, biais ou bruits.

Exemple de biais : le niveau de biais d'une image numérique prise avec une caméra CCD peut provenir du signal généré par la tension d'alimentation appliquée au détecteur.

Les propriétés d'un bruit

Définition

Un bruit est un phénomène aléatoire.

On découvre par la suite deux types de bruit plus spécialement importants, obéissant à des statistiques poissonniennes ou gaussiennes.

Exemples

La distinction entre bruit et signal parasite est parfois complexe. On peut prendre l'exemple du courant d'obscurité d'un détecteur, qui se superpose au flux observé.

Sa valeur moyenne est parfaitement quantifiable (tant de photoélectrons par pixel et par seconde), ce qui montre qu'il s'agit là d'un signal, parasite certes mais avec les propriétés d'un signal.

La vraie composante de bruit concerne les fluctuations de ce courant d'obscurité.

Identification d'un offset

A l'aide de l'appliquette, estimer l'offset affectant cette image de Jupiter dans l'infrarouge thermique.

Une coupe montre un niveau d'offset aux alentours de 18 à 20, pour un signal planétaire 10 fois plus important.

Crédit : ASM

Solution

Loi de probabilité

Les figures ci-jointes illustrent quelques lois de probabilités :

Loi uniforme : tirage de dés
Loi de Poisson : une variable aléatoire suit une loi de Poisson de moyenne $\mu$ si la probabilité pour réaliser vaut $\mu^k \ \mathrm{e}^{-\mu} / k!$

Loi de Poisson de moyennes 3 et 30.

Crédit : ASM

Réalisations

Une loi de probabilité est déterministe. Mais ses réalisations sont ... aléatoires. C'est seulement avec un nombre élevé de réalisations que l'ensemble de ces réalisations retrace fidèlement la loi de probabilité. Si le nombre de réalisations est petit, on n'observe rien d'identifiable.

Loi uniforme, tirage d'un dé.

Crédit : ASM

Réalisations d'un phénomène aléatoire obéissant à la loi de Poisson (moyenne = 10). Avec un nombre N de tirages peu élevé, la distribution des valeurs (courbe en bleu) ne ressemble que de très loin à la fonction de probabilité attendue (croix en rouge).

Crédit : ASM

Réalisations d'un phénomène aléatoire obéissant à la loi de Poisson. Avec un nombre de tirages élevé, la distribution des valeurs trace convenablement la fonction de probabilité.

Crédit : ASM

Estimations

Estimation de la moyenne et de l'écart type d'une loi. La moyenne peut être estimée de diverses façons, et la meilleure façon d'estimer une moyenne dépend de la loi de probabilité.

Moyenne (trait bleu ciel) et écart-type (droites de part et d'autre de la moyenne) pour un bruit blanc.

Crédit : ASM

Prérequis

Notions élémentaires de statistiques

Objectifs

La définition d'un bruit repose sur ses propriétés statistiques. Cette page rappelle des notions simples de statistiques, en distinguant les lois de probabilité, leurs réalisations, et l'estimation de paramètres statistiques.

Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire va être donnée par sa densité de probabilité, ou bien sa fonction de répartition $( {\mathrm{d}} F\ =\ f\ {\mathrm{d}} x)$ .

Parmi les moments centrés associés, $\mu$ la moyenne et $\sigma$ l'écart-type sont respectivement définis par :

$\mu \ = \ \int x \ f(x) \ {\mathrm{d}} x$

et :

$\sigma^2 \ = \ \int (x-\mu)^2 \ f(x) \ {\mathrm{d}} x$

( $v=\sigma^2$ est la variance).

Une loi statistique possède des propriétés particulières, qui caractérisent tel ou tel phénomène : une loi poissonnienne (discrète) rend compte de l'arrivée d'événements indépendants, une loi gaussienne est souvent issue de l'addition d'un grand nombre de phénomènes indépendants...

Réalisation d'une loi normale. L'histogramme se rapproche de la loi de probabilité.

Crédit : ASM

Réalisations

La réalisation d'une loi de probabilité est aléatoire : un tirage de dés, réalisé 6 fois, ne conduira pas nécessaire à l'obtention une fois et une seule de chaque chiffre de 1 à 6. Plus le nombre de réalisations est grand, meilleur est l'accord entre l'observation de ces réalisations et la loi de probabilité.

Estimations

En pratique, il faut distinguer d'une part la valeur moyenne $\mu$ de la densité de probabilité de sa mesure . Avec x_i les réalisations d'une variable aléatoire, on a accès seulement à :

$m \ = \ {1\over N} \ \sum_{i=1}^N x_i$

Et il n'y a aucune raison que $m = \mu$ . En fait, c'est de mieux en mieux réalisé lorsque devient très grand.

La variance est mesurable par :

$s \ = \ {1\over N-1} \ \sum_{i=1}^N (x_i - m)^2$

avec (N-1) au dénominateur car $\bar x$ a déjà été obtenu à l'aide des mesures, et il ne reste plus que (N-1) valeurs indépendantes pour estimer .

L'écart entre et $\mu$ vaut typiquement $\sigma$ .

Histogramme d'une distribution de

points obéissant à une loi normale de moyenne nulle et écart-type unité. Ce n'est qu'avec un très grand nombre de points que les réalisations représentent précisément la courbe théorique gaussienne.

Crédit : ASM

Loi statistique et réalisation

L'animation ci-joint montre comment est réalisée en pratique une distribution normale. Ce n'est qu'avec un très grand nombre de tirages que l'histogramme des réalisations ressemble vraiment à la distribution statistique.

Mesure de bruits

Les appliquettes ci-jointes dévoilent des signaux temporels bruités, affectés ou non d'une lente dérive. On se propose d'en mesurer le bruit et le rapport signal à bruit.

Se servir des appliquettes pour :

Déterminer la moyenne du signal.
Le cas échéant, corriger de la dérive.
Mesurer l'écart-type, en appliquant sa définition et la fonction ajustement.

Avec l'appliquette, on calcule $z= y-\mu \ (\mu \simeq 50)$ et puis t= z^2

. L'ajustement donne un écart-type de 1.

Crédit : ASM

On remarque que la distribution des valeurs de

n'est pas uniforme autour d'une valeur moyenne, mais suis une relation linéaire. Il est nécessaire de soustraire la pente. On estime cette dernière avec l'appliquette, et on calcule alors la valeur centrée sur 0 z= y-0.2466 x - 37.65

et puis

. L'ajustement donne un écart-type de 1.04.

Crédit : ASM

Rapport signal à bruit

Le rapport signal à bruit conditionne toute observation. S'il est faible, on ne voit que du ... bruit.

Allure d'une raie en absorption, observée à différents rapports signal à bruit. L'identification de la raies peut être possible avec un rapport signal à bruit supérieur à 3.

Crédit : ASM

Détection et rapport signal à bruit

La détection d'un phénomène, comme par exemple une raie spectrale, nécessite un rapport signal à bruit typiquement supérieur à 3.

Simulation d'une portion de spectre en absorption, à rapport signal de bruit de 5 et 10. Un motif avec un rapport signal à bruit supérieur à 3 peut très bien être du bruit, et ne peut donc être identifié à quelque signal que ce soit. Si le bruit est strictement gaussien, on admet qu'une détection est certaine dès lors qu'elle sort de plus de 5 fois du niveau de bruit.

Crédit : ASM

Prérequis

Notions de probabilités et statistiques

Définition

On définit le rapport signal à bruit d'un signal comme le rapport des énergies du signal et du bruit. L'énergie du signal est représentée par sa valeur moyenne $\mu$ , et celle du bruit par l'écart-type $\sigma$ . Le rapport signal à bruit est donc :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {\mu\over \sigma}$

Si le signal est affecté d'un biais systématique , il faut en tenir compte dans l'estimation de ce rapport, et retirer au préalable sa contribution :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {\mu-b\over \sigma}$

La composante de biais peut être p.ex., pour un signal évoluant dans le temps, un signal parasite apparaissant à plus basse fréquence.

Addition des bruits

Si les différents bruits contribuant à un signal sont indépendants les uns des autres, leurs écarts-types s'ajoutent quadratiquement pour construire l'écart-type total :

$\sigma^2\ =\ \sum_i \ \sigma_i^2$

Il s'ensuit le rapport signal à bruit :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {\mu-b\over \sqrt{ \sum_i \sigma_i^2}}$

Détection et rapport signal à bruit

Identifier un spectre est d'autant plus aisé que le rapport signal à bruit est bon. En pratique, une raie a priori inconnue devient détectable pour un rapport signal à bruit supérieur à 5.

Spectre stellaire bruité

Allure d'une portion de spectre stellaire, en fonction du rapport signal à bruit.

Crédit : ASM

Evolution temporelle du rapport signal à bruit

Si le bruit est dominé par le bruit de photons, le rapport signal à bruit augmente avec la durée d'observation, comme le montre cette simulation.

Observation bruitée

La galaxie M31, imagée à différents niveaux de bruit.

Crédit : ASM

QCM

1) On doit estimer la composante de biais d'un signal :
avant celle de son écart-type
après celle de son écart-type
peu importe

2) La somme de deux signaux indépendants d'écart-type $\sigma_1$ et $\sigma_2$ a un écart-type de :
$\sigma_1+\sigma_2$
$\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
$\sqrt{\sigma_1\sigma_2}$

Bruit dominant

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On recueille le signal d'une cible stellaire. Le rapport signal à bruit s'écrit :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {N\over \sqrt{N + N _{\mathrm{f}}\Omega + \sigma^2 _{\mathrm{lec}}}}$

avec le nombre de photoélectrons reçus, $N _{\mathrm{f}}$ relié à un signal de fond, $\Omega$ la taille angulaire de la cible, et $\sigma _{\mathrm{lec}}$ le bruit de lecture

Question 1)

Identifier précisément les différents termes de bruit contribuant au rapport signal à bruit, en précisant leur écart-type.

Question 2)

Simplifier l'expression du rapport signal à bruit pour le cas d'un objet très brillant, puis pour un objet très peu lumineux. Identifier l'exposant qui caractérise la dépendance en du rapport signal à bruit.

Question 3)

Déterminer comment le rapport signal à bruit varie avec le diamètre du collecteur ou le temps de pose .

Conséquence du théorème de la limite centrale

La superposition de plusieurs variables aléatoires indépendantes les unes des autres conduit à une loi normale. C'est l'une des conséquences du théorème de la limite centrale. L'animation ci-jointe en montre un exemple.

Addition de $N\ (=\ 1,\ 2,\ 3 ,\ 10\mathrm{\ ou\ } 100)$ variables indépendantes, obéissant à une loi de distribution uniforme (entre 0 et 1). Lorsque

augmente, la distribution tend vers une loi gaussienne de moyenne N/2

et écart type $\sqrt{N/2}$ (courbe rouge). Pour N=1

, la distribution reste bien sûr uniforme, pour N=2

elle garde une allure triangulaire.

Crédit : ASM

Distribution gaussienne

Exemples de distributions gaussiennes.

Distributions de Gauss. Moyennes toutes nulles et écarts-types de 1 à 4.

Crédit : ASM

Bruit gaussien

Si un bruit est gaussien, la probabilité qu'il s'écarte de plus ou moins $3\sigma$ de la valeur moyenne est très faible. Cette propriété est mise à profit pour identifier le signal du bruit, mais ne marche que si le bruit est vraiment gaussien.

Bruit gaussien de moyenne nulle et d'écart-type 1. Peu de valeurs s'écartent de plus que $\pm 3\ \sigma$ de la moyenne.

Crédit : ASM

Prérequis

Loi de probabilité ; éléments de statistique

Définition

Le théorème de la limite central implique qu'un bruit résultant de l'action indépendante de différents facteurs physiquesobéit à la loi de probabilité, dite loi normale :

$f(x) \ = \ {1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\ \exp \left[ -{(x-\mu)^2\over 2 \sigma^2} \right]$

avec $\mu$ la moyenne et $\sigma$ l'écart-type. Un tel bruit est dit gaussien.

Écart à la moyenne

Pour une loi gaussienne, la probabilité d'observer un signal s'écartant de $\pm n\ \sigma$ par rapport à la valeur moyenne décroît rapidement avec ; 99.7 % des réalisations du signal s'écartent de moins de $3\ \sigma$ de la moyenne.

n	1	2	3	4
%	69.2	95.4	99.7	99.99

Probabilité d'avoir une valeur dans l'intervalle $[-n\ \sigma, \ n \ \sigma]$ pour un bruit gaussien.

Détection d'un signal ?

De ce qui précède, peut-on dire qu'un événement qui s'écarte de plus de $3\ \sigma$ de la moyenne est sûrement dû à un signal et non à un bruit, et l'identifier comme tel ?

On considère une détection sûre lorsqu'elle dépasse un seuil de 4 ou 5 fois l'écart-type. Mais, la difficulté réside souvent dans le fait que la nature d'un bruit n'est pas exactement gaussienne, ou que des signaux parasites non identifiés compliquent l'interprétation d'un signal.

Analyse en fréquence d'un bruit gaussien

L'analyse fréquentielle d'un bruit gaussien ne montre aucune composante privilégiée. Pour cette raison, on parle d'un bruit blanc.

Les spectres de puissance de différents types de bruits : bruit instrumental en bleu foncé, bruit gaussienn en bleu clair. Le spectre du bruit gaussien ne présente pas de fréquence privilégiée, contrairement au bruit instrumental.

Crédit : ASM

Marche au hasard à partir d'un point fixe. Le cercle mesure l'évolution moyenne, qui varie comme la racine carrée du nombre de pas effectués. La couleur code l'évolution temporelle.

Crédit : ASM

Marche au hasard

L'ivrogne et son lampadaire sont des acolytes précieux du physicien statisticien. L'ivrogne est supposé partir du lampadaire et accomplir un certain nombre de pas par unité de temps, mais dans n'importe quelle direction.

Au bout de pas, il se sera éloigné du lampadaire d'une distance moyenne de $\sqrt{N}$ .

Identification d'un niveau de bruit

A l'aide de l'appliquette, estimer le niveau de bruit affectant cette image de Jupiter dans l'infrarouge thermique. L'exprimer en fonction du niveau maximal du signal (conseil : faire une coupe non sur la planète mais sur le fond de ciel).

Une coupe sur le ciel seul montre un niveau d'offset aux alentours de 18 à 20, et un niveau de bruit entre 10 et 26. En supposant que le bruit est gaussien, on voit ses variations essentiellement à $\pm 3\ \sigma$ . On en déduit un niveau de bruit de l'ordre de 16/6=2.7. Le signal moyen étant d'environ 200, le rapport signal à bruit est voisin de 75.

Crédit : ASM

Solution

Quatre signaux : bruits gaussiens ou non ?

Crédit : ASM

QCM

1) Parmi les figures ci-jointes, laquelle peut correspondre à un bruit purement gaussien ?
1
2
3
4

2) Un bruit gaussien de moyenne 0 et écart-type 1 est-il uniformément distribué en -1 et 1 ?
non
oui

Statistique de Poisson

Lorsqu'une moyenne de quanta par unité de temps est attendue, un détecteur idéal (rendement unité) en comptera un nombre plus ou moins voisin de . La distribution des valeurs dépend du nombre N : 10, 100, 1000. Plus est grand, plus la distribution apparaît piquée en valeur relative, quand bien même elle est plus étalée en valeur absolue.

Distribution de Poisson

Série de valeurs et histogramme, dans le cas N = 10

Crédit : ASM

Distribution de Poisson

Série de valeurs et histogramme, dans le cas N = 100

Crédit : ASM

Distribution de Poisson

Série de valeurs et histogramme, dans le cas N = 1000

Crédit : ASM

Statistiques poissonniennes. La dispersion relative décroît avec le nombre de quanta attendus.

Crédit : ASM

Objectifs

La statistique de Poisson concerne un phénomène régulier quantifié.

La détection d'un rayonnement électromagnétique en est un exemple concret, l'arrivée d'énergie étant quantifiée en photons.

Plus le nombre de photons attendus est grand, mieux on pourra préciser la valeur moyenne observée.

Un exemple concret... et discret

La statistique de Poisson va être abordée via un cas concret. L'analyse de l'arrivée de photons d'une signal lumineux de moyenne constante.

Un rayonnement monochromatique de fréquence $\nu$ de luminosité , observé pendant une durée , apporte une énergie . Ce rayonnement est véhiculé par un nombre moyen de photons obéissant à :

$N\ = \ {L\ T\over h\nu}$

La discrétisation du flux en quanta d'énergie implique que le nombre de photons arrivant par intervalle de temps fluctue autour de cette valeur moyenne.

Arrivée des photons

La probabilité de détecter photons lorsque sont attendus en moyenne s'écrit :

$p(n) \ = \ {N^n\ e^{-N}\over n!}$

C'est la loi de Poisson de moyenne . Il faut retenir que :

La probabilité maximale est obtenue pour .
L'écart-type de la distribution vaut $\sqrt{N}$ .

Démonstration

En découpant l'intervalle de temps en parties, suffisamment petites pour assurer qu'un seul photon peut arriver pendant l'intervalle de temps T/m , on peut estimer la probabilité de voir arriver photons, en les rangeant dans les cases.

La probabilité d'avoir un photon par case temporelle est q=N/m , et la probabilité opposée 1-q . Comme il y a C_m^n façons de ranger photons dans les cases, on obtient finalement en développant le coefficient de combinaison :

$p(n) \ = \ C_m^n\ q^n \ (1-q)^{m-n}\ =\ {m!\over n! (m-n)!}\ \left( {N\over m}\right)^n \ \left(1- {N\over m} \right)^{m-n}$

Avec un très grand nombre d'intervalles, on retrouve la loi énoncée :

$p(n) \ \simeq \ {N^n\over n!} {m!\over (m-n)!\ m^n} \ \left(1- {N\over m} \right)^{m-n} \ \simeq \ {N^n\over n!} \ e^{-N}$

vu les approximations pour grand et $n \ll m$ :

${m!\over (m-n)!\ m^n} \ \simeq \ 1 \ \hbox{ ; } \ \left(1- {N\over m} \right)^{-n}\ \simeq \ 1 \ \mathrm{\ ;\ et\ } \ \left(1- {N\over m} \right)^{m}\ \simeq \ e^{-N}$

Extrapolation aux grandes valeurs

Pour les grandes valeurs de , on peut montrer que cette loi se confond très rapidement avec la gaussienne :

$p(n) \ \propto \ \exp \left[ - {(n-N)^2 \over 2 N}\right]$

On en conclut alors, en se basant sur la statistique gaussienne, que pour une valeur moyenne , l'écart-type vaut $\sqrt{N}$ .

Il en résulte un point important : lorsque croît, l'écart-type croît, mais le rapport écart-type/moyenne du signal décroît.

Distribution de Poisson

A l'aide de l'appliquette : tracer une distribution de Poisson, et identifier les variations majeures lorsque la moyenne $\mu$ varie.

Simulation de la détection d'une raie, en fonction du nombre de photoélectrons dN détectés par intervalle spectral, en supposant la détection limitée par le seul bruit de photons. L'échelle spectrale est donnée en vitesse.

Crédit : ASM

Bruit de photons et photodétection

Une bonne détection, par exemple l'identification d'une raie spectrale, nécessite l'enregistrement d'un nombre suffisant de photoélectrons, afin que la statistique d'arrivée des photons, de type poissonnien, n'empêche pas la détection.

Distribution en fonction du temps de l'arrivée de photons, des photoélectrons créés et du photocourant résultant. Les photons (points bleus) n'arrivent pas à intervalles de temps réguliers. Seuls un certain nombre d'entre eux donnent naissance à des photoélectrons (points rouges). Le photocourant total (bleu) résulte de la somme des contributions individuelles (couleur variable).

Crédit : ASM

Distribution en fonction du temps de l'arrivée de photons, des photoélectrons créés et du photocourant résultant. Les photons (points bleus) n'arrivent pas à intervalles de temps réguliers. Seuls un certain nombre d'entre eux donnent naissance à des photoélectrons (points rouges). Le photocourant total (bleu) résulte de la somme des contributions individuelles (couleur variable).

Crédit : ASM

Photons et photoélectrons

Le bruit de photons est en fait un bruit... de photoélectrons. L'arrivée dispersée des photons, conjuguée à la conversion aléatoire d'un photon en photoélectron, construisent la statistique de création de photoélectrons, qui dépend bien sûr du nombre de photons.

Prérequis

Statistique de Poisson : le bruit de photons obéit à la statistique de Poisson.

Objectifs

Evaluer le bruit et le rapport signal à bruit du bruit de photons.

Statistique de Poisson

La statistique d'arrivée des photons est poissonnienne, vu que les photons sont par définition des quanta d'énergie. Lorsque l'on attend photons par intervalle de temps, la valeur moyenne observée est ... et sa fluctuation autour de cette valeur moyenne vaut $\sqrt{N}$ .

Définition

Le bruit de photons, sur une mesure de photons, est $\sqrt{N}$ .

Il s'ensuit un rapport signal à bruit déterminé par le flux de photons égal à :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} = {N\over \sqrt{N}} = \sqrt{N}$

Ce rapport signal à bruit croît avec la racine carrée du nombre de photons collectés.

Photoélectrons

Les photons que l'on observe sont le plus souvent traduits par le détecteurs en photoélectrons, qui suivent la même statistique que les photons, à un facteur de rendement près inférieur à l'unité.

Avec $\eta$ le rendement, le nombre de photoélectrons détectés vaut en fonction du nombre de photons incidents sur le détecteur :

$N _{\mathrm{e}} \ = \ \eta \ N$

Le bruit de photoélectrons et le rapport signal à bruit résultant valent en pratique $\sqrt{N _{\mathrm{e}}}$ .

Le projet COROT

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

En supposant que le rendement de la chaîne de détection vaut l'unité, combien de photons doivent être enregistrés pour que le bruit de photons permette une détection à 1 ppm

Question 2)

Le rendement de la chaîne de détection est de 25% seulement. Par quel facteur doit on corriger le nombre de photons à collecter.

Question 3)

Le nombre de photons requis est collecté en 5 jours. En déduire le nombre de photons accumulés en une pose élémentaire de 1 minute, et la performance atteinte sur une pose élémentaire.

Au photon près

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La figure ci-jointe représente la courbe de lumière de l'étoile HD 49933, l'une des cibles principales du satellite CoRoT. Le signal stellaire est composé de multiples signaux (activité, oscillations...) et bien sûr du bruit de photons. On admet que celui-ci domine à haute fréquence.

Courbe de lumière de l'étoile HD 49933. Nombre de photo-électrons collectés par seconde en fonction du temps.

Crédit : ASM/CNES

Question 1)

Estimer l'amplitude totale du bruit du signal stellaire.

[1 points]

Question 2)

Estimer l'écart-type du bruit

[1 points]

Question 3)

Montrer que le bruit mesuré est du même ordre de grandeur que le bruit de photons.

[1 points]

Dérive instrumentale

Les bruits instrumentaux sont souvent dus à des dérives thermiques. L'exemple ci-joint montre la dérive enregistrée par un astérosismomètre, observant de jour une source de laboratoire délivrant un signal de référence absolument fixe, mais dont la température de travail n'est pas fixée.

Dérive thermique enregistrée par l'instrument FTS du CFH, observant de jour une source stabilisée. Les variations de température de la source (mal) stabilisée se traduisent en signal Doppler au cours d'une journée de test. L'inertie thermique joue le rôle de mémoire : le bruit à un instant donné dépend intimement des instants précédents.

Crédit : ASM/CFHT

Bruit en 1/f

L'effet de mémoire occasionne un bruit instrumental dit en 1/f. Son évolution temporelle se distingue d'un bruit blanc par une sensible dérive. Comme le montre l'analyse de Fourier, son spectre de puissance se caractérise alors par une forte contribution aux basses fréquences, qui apparaît clairement pour un spectre tracé en échelle logarithmique.

Séries temporelles, correspondant à une bruit blanc (courbe bleu ciel), de moyenne nulle, et à un bruit instrumental en 1/f (courbe bleu foncé) qui dérive.

Crédit : ASM

Les spectres de puissance des séries temporelles de différents types de bruits diffèrent sensiblement. Le bruit gaussien n'a pas de fréquence privilégiée, contrairement au bruit instrumental qui montre un spectre de puissance en 1/f^2

, càd un spectre de Fourier en 1/f

.

Crédit : ASM

Idem, mais en double échelle logarithmique.

Crédit : ASM

Objectifs

Le bruit instrumental est un bruit qui "a de la mémoire". Sa signature spectrale est intense à basse fréquence.

Bruit en 1/f

Le bruit dit en 1/f, avec une dépendance spectrale variant en raison inverse de la fréquence, est typiquement d'origine instrumentale. Il apparaît lorsque les fluctuations induites sur le signal ne sont pas indépendantes, mais corrélées. C'est typiquement le cas des fluctuations thermiques : une perturbation en température à l'instant aura des conséquences à tout instant suivant.

La transformée de Fourier de l'évolution temporelle d'un tel bruit montre un spectre en $1/f^\alpha$ , l'exposant $\alpha$ dépendant, phénoménologiquement, de la nature des corrélations au cours du temps.

Analyse en fréquence d'un bruit instrumental

L'analyse de Fourier d'un bruit en 1/f se caractérise, comme son l'indique, par une forte contribution aux basses fréquences. Ceci apparaît clairement pour un spectre tracé en échelle logarithmique.

Fonction continue et signal discret associé.

Crédit : ASM

Continu / discret

Un signal continu n'existe pas : décrire le continu nécessite une infinité de valeurs. Tout signal est échantillonné, càd décrit sur un nombre discret de valeurs.

Un signal simple est échantillonné à la limite de Shannon avec 2 points par période. L'information d'un signal sous-échantillonné est perdue.

Crédit : ASM

L'image initiale (cadre de gauche) est échantillonnée sur un nombre décroissant de pixels. Toute l'information utile est préservée dès lors que la fonction d'étalement du point est convenablement échantillonnée (=). Trop d'informations est inutile (+), et pas assez est destructif (-).

Crédit : ASM

Échantillonnage de Shannon

Un détecteur ayant une résolution limite (spatiale ou temporelle), un signal physique est nécessairement échantillonné. Même si une observation avec ce détecteur semble prendre des valeurs continues, elle peut être traduite par une série finie de valeurs, correspondant à un échantillonnage discret.

Une bonne observation nécessite de ne pas dégrader la résolution du signal par ce phénomène d'échantillonnage, ce qu'exprime la condition d'échantillonnage de Shannon, qui s'applique aussi pour un signal 2-D.

Coupure

Il est nécessaire d'échantillonner au moins 2 points par période. L'échantillonnage définit ainsi une valeur maximale des fréquences analysables. Au-delà de la fréquence de coupure, un signal de fréquence plus rapide que la fréquence de coupure peut se confondre avec un signal de pulsation moindre.

Crédit : ASM

Echantillonnage et coupure

Le pas d'échantillonnage détermine la résolution maximale en fréquence. Au delà de la fréquence de coupure, échantillonnée sur 2 points par période, l'information est perdue. Autrement dit, la fréquence de coupure définie selon Fourier et le théorème de Shannon rendent compte du même phénomène.

Echantillonnage

Tout signal, spatial ou temporel, est limité en fréquence, à cause du processus d'observation. Il peut être codé sur une distribution discrète de valeurs. Ce processus de discrétisation est nommé échantillonnage.

Théorème de Shannon

Le critère de Shannon énonce qu'un signal doit avoir sa fréquence maximale échantillonnée sur au-moins 2 pixels afin de ne subir aucune dégradation. En pratique, il faut :

2 acquisitions temporelles par période pour un signal temporel périodique
2 pixels par élément de résolution spatiale pour un signal spatial

La justification de ce critère est liée à l'analyse fréquentielle, par transformée de Fourier : en appliquant le critère de Nyquist, les fréquences sont restituées convenablement jusqu'à la fréquence de coupure.

QCM

1) Un échantillonnage de 100 points couvrant au total une largeur spectrale de 50 nm permet d'atteindre une résolution spectrale de
1 nm
0.5 nm
0.25 nm

2) Pour imager un champ de $10'\times 20'$ avec une résolution de 0.6", il faut une caméra de taille (en pixels) :
1k x 1k
1k x 2k
2k x 4k

Choix d'un détecteur

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Un télescope de la classe 4-m, dans une configuration ouverte à f/2, est installé dans un site dont le meilleur seeing est aux alentours de 0.5" en lumière visible. Une caméra CCD installée pour des programmes d'imagerie est spécifiée pour imager sans perdre d'éléments d'information.

Question 1)

Quel paramètre de la caméra est crucial pour satisfaire la spécification donnée ?

Question 2)

Sur catalogue, on trouve des caméras avec des pixels de 9, 15 ou 25 microns. Quel choix effectuer ?

Question 3)

Un système d'optique adaptative permet d'atteindre la limite théorique de diffraction dans l'IR à 2 microns. Sachant qu'il n'existe pas de caméra avec des pixels plus petits que 9 micromètres, quel paramètre de la chaîne de collecte du signal doit évoluer ?

Signal sismique

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On cherche à caractériser un spectre d'oscillations stellaires. La période minimale des oscillations stellaires est de 4 minutes, et on souhaite distinguer des fréquences avec une résolution de $0.1\,\mu\mathrm{Hz}$ .

Question 1)

Estimer la durée totale nécessaire pour ce programme.

[1 points]

Question 2)

Déterminer l'échantillonnage temporel optimal, qui permette de ne pas filtrer les hautes fréquences et minimise le nombre final de données.

[1 points]

Question 3)

Les séquences d'observation du satellite COROT (projet CNES) sont-elles en accord, avec un point de mesure toutes les 32 s et 150 jours d'observation continue sur une cible stellaire ?

[1 points]

Les signaux recherchés méritent, pour donner les meilleurs mesures possibles, des traitement appropriés. Cette section se propose d'étudier plus précisément quelques-unes des techniques de base de traitement du signal.

Spectre des oscillations de l'étoile $\alpha$ du Centaure.

Crédit : ESO

Pourquoi filtrer un signal ?

Dans la chaîne de traitement du signal, des observations brutes au résultat final, une étape souvent essentielle consiste à s'affranchir de signaux parasites. C'est possible lorsque ces derniers présentent des caractéristiques différentes de celles du signal, comme p.ex. un signal à basse fréquence qui contamine un signal sismique.

Analyse d'un signal sismique

Le signal brut comprend plusieurs composantes. La rotation de la Terre, parfaitement modélisable, apporte une composante à basse fréquence (période de 24 h). Un signal d'erreur, sur une source de référence, permet l'enregistrement d'une dérive également à basse fréquence. La correction de ces 2 termes ne comprend plus que des hautes fréquences, parmi lesquelles le signal sismique à analyser.

Crédit : ASM

Moyenne glissante

Un filtre par moyenne glissante substitue à une valeur donnée la moyenne des valeurs aux alentours, dans un intervalle de largeur 2n+1 . Plus l'intervalle est grand, plus le filtrage est efficace.

Ce filtrage présente des inconvénients que dévoile la transformée de Fourier.

Moyennes glissantes, calculées localement sur 10 (bleu ciel), 20 (vert) ou 50 points (rouge).

Crédit : ASM

Spectre de Fourier (ordonnée en échelle logarithmique) d'une série de données non filtrée (courbe noire), ou filtrée par moyenne glissante de sur un intervalle de largeur 3 (courbe bleue) ou 7 (courbe rouge). On s'aperçoit que le filtrage des fréquences par moyenne glissante est très irrégulier.

Crédit : ASM

Médiane

Un filtre par moyenne médiane substitue à une valeur donnée la médiane des valeurs aux alentours, dans un intervalle de largeur 2n+1 . Ce filtrage est efficace pour gommer les valeurs aberrantes.

Moyennes médianes, calculées localement sur 10 (bleu ciel), 20 (vert) ou 50 points (rouge).

Crédit : ASM

Estimation linéaire

Réaliser une estimation linéaire d'une distribution de pont, c'est finalement ne décrire ce nuage de points que par 2 valeurs (ordonnée à l'origine et pente)

Estimation linéaire. Les hautes fréquences spatiales de la courbe rouge sont filtrées.

Crédit : ASM

Traitement d'un point aberrant

La correction de valeurs aberrantes est typiquement une opération de filtrage. Un filtrage par moyenne glissante ou par la médiane n'y parvient pas avec la même efficacité.

La valeur aberrante est bien corrigée par le filtre médian (vert) mais pas par la moyenne glissante (bleu ciel)

Crédit : ASM

Filtrage en fréquence

Toute série de données, dépendant de quelque paramètre que ce soit (temps, variable d'espace, autre variable), à n'importe quelle dimension, peut être décrite par ses composantes fréquentielles. Un filtrage ad hoc peut permettre de faire ressortir le signal des autres composantes.

La correction par filtrage des basses fréquences (bleu ciel) permet de ne garder que le signal utile (rouge).

Crédit : ASM

Prérequis

Analyse par transformée de Fourier

Objectifs

Aborder quelques-uns des (nombreux) aspects de la transformée de Fourier.

Problématique

Il est souvent indispensable de séparer les différentes composantes en fréquences qui constituent une observation, pour extraire le signal de la contribution du bruit ou d'autres signaux, ce qui constitue un filtrage du signal. Le but n'est pas de présenter sous forme de cours les multiples filtres possibles, mais plutôt quelques-uns de leurs effets.

Exemple de filtre temporel : l'acquisition de données

Toute acquisition de données, caractérisée par un pas de temps $\delta t$ , filtre les fréquences temporelles plus rapides que $1/2\delta t$ .

Exemple de filtre spatial : la diffraction

On peut reconsidérer la diffraction d'une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ par une ouverture comme un filtrage des fréquences angulaires supérieures à $\lambda / a$ .

Comment ça marche ?

Les animations ci-jointes décortiquent le processus de filtrage par moyenne glissante ou par la médiane.

Filtrage par moyenne glissante

Un point donné est remplacé par la moyenne des points dans un intervalle centré autour de ce point, de plus ou moins ample largeur.

Crédit : ASM

Filtrage médian

Un point donné est remplacé par la valeur médiane des points dans un intervalle centré autour de ce point, de plus ou moins ample largeur. Les points de chaque intervalle considéré ont été classés par valeur croissante, pour mettre en évidence la valeur médiane (indiquée en rouge).

Crédit : ASM

Filtrage par moyenne glissante

La série originale (en bleu) est filtrée par un filtre glissant, de largeur variable (en vert). Le nombre de points considérés pour la moyenne (en orange) a beau être de plus en plus élevé, le résultat (en rouge) présente toujours les oscillations originales, même lorsque la fenêtre est plusieurs fois plus large que la période du signal.

Crédit : ASM

Exemple de filtrage mal adapté

L'opération de filtrage n'est pas bégnine, et un filtre inadapté peut conduire à un mauvais résultat. Par exemple, le filtrage par moyenne glissante convient très mal pour un signal oscillant.

Exemple de filtrage numérique

La série temporelle ci-jointe est filtrée par filtrage numérique (algorithme de filtre à trous), avec séparation des hautes et basses fréquence. Les domaines de fréquence sont définis par rapport à une fréquence de valeur arbitraire ou mûrement réfléchie...

Filtrage numérique

Filtrage d'un signal bruité (bleu ciel) en haute (vert) et basse (bleu foncé) fréquences, avec glissement progressif de la transition entre les définition de `haut' et `bas'.

Crédit : ASM

A la recherche de motifs

Les appliquettes ci-dessous dévoilent l'intérêt du filtrage. Elles représentent des cartes de Jupiter dans l'infrarouge thermique. Sans filtrage, c'est la structure en bandes parallèles à l'équateur qui domine l'image ; après filtrage de cette structure dominante, on voit apparaître des motifs de type ondulatoire, avec une dizaine de motifs répartis en longitude, couvrant une extension en latitude plus vaste que les bandes.

Utiliser les appliquettes pour dévoiler ces structures.

Correction élémentaire du champ plat

A l'aide de l'appliquette ci-jointe, on se propose d'illustrer l'évolution du bruit en sommant différentes images d'un même champ.

Correction du champ plat

Sélectionner la 1ère image. Si besoin, adapter l'échelle de couleur avec la touche auto
Sélection l'opération coupe, puis une ligne de coupe évitant les objets les plus brillants.
Sélection l'opération division, puis la 1ère image et l'image de champ plat, et nommer l'image corrigée.
Réaliser sur cette nouvelle image la coupe précédente. Comparer.

Prérequis

Approche mathématique de la transformation de Fourier

Objectifs

Présentation de la transformation de Fourier, et rappel de quelques propriétés.

Formalisme de la transformation de Fourier

La transformation de Fourier associe à une fonction f(x) sa transformée~:

$\tilde f (u) \ =\ \int f(x )\ \exp 2i\pi x .u \ {\mathrm{d}} x$

Les variables et sont conjuguées. A la variable temporelle est associée la variable fréquentielle $\nu$ ; à la variable d'espace , la fréquence spatiale .

Propriétés

La TF est dotée de multiples propriétés (linéarité...) : se référer à un cours de maths.

L'opération inverse de la TF est notée : $\tilde f (u)\ =\ \mathrm{TF}\, f(x)$ et $f (x)\ =\ \mathrm{TF}^{-1} \tilde f(u)$ .

Théorème de Parseval-Plancherel

Il ne s'agit rien d'autre que de la conservation de l'énergie, qui ici s'exprime par :

$\int \left| f (x) \right|^{2} \ {\mathrm{d}} x \ =\ \int \left| \tilde f (u) \right|^{2} {\mathrm{d}} u$

Autrement dit, l'énergie d'un signal ne peut pas dépendre de la description de ce signal, directe ou fréquentielle.

Analyse de Fourier
grandeur	notation	unité	exemple
variable		X	temps, en s
variable conjuguée		1/X	fréquence, en Hz
signal		Y	vitesse, en m/s
spectre	$\tilde f$	XY	m
spectre d'amplitude	$\left\| \tilde f \right\|$	XY	m
spectre de puissance	$\left\| \tilde f \right\|^2$	$[\mathrm{XY}]^2$	$\mathrm{m}^2$

Analyse de Fourier discrète

La définition de la transformation, continue, se doit d'être amendée pour tenir compte du fait qu'un signal réel est échantillonné. L'analyse de Fourier discrète s'appuie sur un nombre fini de réalisations du signal, et donne un nombre finie de fréquences pour le décrire. La discrétisation s'opère en douceur, car la TF d'une fonction peigne (succession équidistance de Dirac), fonction retranscrivant l'échantillonnage du signal, est une fonction peigne.

Analyse de Fourier rapide

L'analyse de Fourier rapide (fast Fourier transform, ou FFT) est une une forme spécifique de programmation de la transformation de Fourier. Une routine de calcul fft est présente dans toute bonne bibliothèque de programmation.

L'usage d'une FFT implique:

Une série comportant un nombre points tel que points, sinon le gain en temps est annulé, et la FFT peut devenir extrêmement lente si le nombre de points est premier, ou se factorise avec de grands facteurs premiers.
Cette série se doit de plus d'être régularisée : la base de temps est supposée être une série arithmétique, de pas temporel fixe.
La série de valeurs conduit à un spectre de fréquences.

TF et FFT

L'appliquette ci-dessous permet de calculer et visualiser le spectre de puissance de certaines fonctions. La transformée de Fourier peut calculée soit directement, soit par FFT.

Avec comme signal une sinusoïde, comme méthode la fft, visualiser les effets :

de la durée,
de la période du signal,
du nombre de points de l'échantillon.

Vérifier le lien entre la résolution en fréquence et la durée totale d'observation ; vérifier le lien entre le nombre de points et la fréquence de coupure.

Conservation de l'énergie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Question 1)

Vérifier l'homogénéité de la conservation de l'énergie énoncée par le théorème de Parseval-Plancherel.

Question 2)

Pour des raisons physiques, il est commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle bornée sur un intervalle de temps comme :

$\mathrm{TF} (f) (\nu) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T f(t ) \exp 2i\pi \nu t \ {\mathrm{d}} t$

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Montrer l'intérêt physique de cette notation, en s'appuyant p.ex. sur un signal purement sinusoïdale.

Question 3)

Pour d'autre raisons, il peut être commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle discrète d'une manière différente :

$\mathrm{TF} (f) (u) \ =\ {1\over N}\ \sum_1^N f(t ) \exp 2i\pi \nu t$

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Réécrire la relation de Parseval-Plancherel, et montrer que

$\sigma_\nu = \sqrt{2\over N} \ \sigma _{\mathrm{t}}$

où $\sigma _{\mathrm{t}}$ et $\sigma_\nu$ sont respectivement les écarts-types de la série temporelle et du spectre.

Intérêt de la transformée de Fourier

La TF permet la recherche de composantes périodiques dans un signal. Les signaux ci-contre sont équivalents. L'un correspond à une série temporelle, l'autre à son spectre de Fourier.

Série temporelle et son spectre

La série temporelle (extrait donné en bleu) ne montre rien de définissable. Son spectre de Fourier dévoile en revanche les fréquences propres qui constituent le signal, en les distinguant clairement du bruit.

Crédit : ASM

Exemple : signal sismique

L'astérosismologie est un sujet en plein développement, dont les observations se basent sur de longues séries temporelles, pour l'identification des modes propres d'oscillations dans le spectre de Fourier.

Série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile $\alpha$ Cen.

Crédit : ESO

Spectre de Fourier de la série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile alpha Cen.

Crédit : ESO

Objectifs

Utiliser la TF pour la recherche de phénomènes périodiques.

Mesure

Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale , l'analyse par transformée de Fourier se réécrit :

$\tilde s (\nu) \ = \ { }\sum_{i=1}^{N}\ s(t_i) \ \exp (2\pi i \nu t_i)\ \delta t_i$

avec t_i les dates individuelles et $\delta t_i = t_i - t_{i-1}$ . Si l'enregistrement est suffisamment régulier :

$\delta t_i \simeq \delta t = {T\over N}$

Les durées et $\delta t$ définissent les principales propriétés de l'analyse de Fourier.

Résolution en fréquence

Un signal observé durant une durée totale permet une résolution en fréquence 1/T .

Fréquence de coupure

Un signal observé avec un échantillonnage $\delta t$ permet de suivre les fréquences jusqu'à la coupure $1/2\delta t$ . Le facteur 2 provient de la nécessité d'observer sur 2 mesures distinctes une demi-période négative et une demi-période positive.

Echantillonnage

L'observation de phénomènes variables doit permettre :

Un échantillonnage suffisamment rapide de la série temporelle, afin d'avoir accès aux variations les plus rapides.
Une durée d'observation suffisamment longue pour suivre une période entière d'un phénomène périodique.

A retenir

Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale et avec un échantillonnage $\delta t = T/N$ , on peut alors distinguer sans ambiguïté N/2 fréquences, entre 1/T et N/2T .

Résolution

Pour une série temporelle, la résolution en fréquence du spectre est d'autant meilleure que la base de temps d'observation est plus longue.

TF et résolution

La résolution en fréquence, d'autant plus fine que la série temporelle initiale est longue, permet de dévoiler peu à peu la richesse du spectre.

Crédit : ASM

Pour une image, on relie la fréquence de coupure spatiale à la résolution spatiale .

TF et fréquence de coupure

M31, vue avec un nombre plus ou moins grand de fréquences spatiales (spectre de Fourier 2-D à gauche, image reconstruite à droite).

Crédit : ASM

Pulsation de coupure

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On échantillonne un signal temporel avec un pas de temps $\delta t$ . On définit la pulsation $\omega _{\mathrm{c}} = \pi / \delta t$ .

Question 1)

Montrer qu'il y a confusion entre les spectres de puissance des signaux périodiques de pulsation $\omega$ et $\omega + 2k \omega _{\mathrm{c}}$ ou $2k \omega _{\mathrm{c}} - \omega$ , où est un entier

Question 2)

En déduire l'expression de la pulsation de coupure

Bruit / signal cohérent

Une analyse par TF va traiter différemment un signal, avec un spectre donné, d'un bruit, sans signature spectrale caractéristique.

Transformée de Fourier et bruit

Evolution temporelle du bruit dans une TF. La durée d'observation augmentant, l'énergie du bruit se retrouve distribuée sur un nombre croissant de fréquences, contrairement au signal à fréquence bien déterminée.

Crédit : ASM

Bruit blanc

Un bruit gaussien ne montre aucune fréquence privilégiée, contrairement à un bruit en 1/f.

Comparaison des spectre d'un bruit en 1/f et d'un bruit gaussien, avec une représentation en double échelle logarithmique.

Crédit : ASM

Objectifs

Utiliser la TF pour distinguer signaux et bruits

Signal ou bruit

La dialectique est simple : un bruit ne mérite ce titre qu'en l'absence de signature spectrale définie (un bruit blanc ne présente aucune particularité spectrale; un bruit instrumental, par effet de mémoire, présente plus d'énergie aux basses fréquences qu'aux fréquences plus élevées).

La TF permet par son principe, en classant et en analysant les fréquences constitutives d'une suite de données, de distinguer la part du signal de celle du bruit. En pratique, cela nécessite un rapport signal-à-bruit suffisant (mais qui peut être très faible).

Cohérence

Lorsque le nombre de données observationnelles augmente, un signal cohérent va garder une signature bien précise. En revanche, un bruit va voir son énergie diluée dans une multitude de fréquences.

La TF permet de faire ressortir du bruit un signal bien cohérent.

Evolution temporelle des bruits et signaux

En augmentant la durée totale de la série temporelle de données, un signal périodique cohérent (càd de durée de vie supérieure à la durée d'observation) ressort peu à peu du bruit.

Comment faire taire le bruit ?

La durée d'observation augmentant, la puissance du bruit est peu à peu diluée sur un nombre croissant d'éléments spectraux, alors que le signal, supposé cohérent, s'accumule à une fréquence donnée.

Crédit : ASM

Faire taire le bruit

A l'aide de l'appliquette ci-dessous, on se propose d'évaluer comment le bruit évolue dans un spectre

Avec comme signal une sinusoïde, comme méthode la FT, et $N (\simeq 100)$ points dans l'échantillon, faire varier le niveau de bruit , et montrer que le signal est identifiable dans le spectre si son amplitude excède largement $B/\sqrt{N}$ .

Si besoin, zoomer sur les hautes fréquences du spectre pour s'affranchir du fort signal à basse fréquence.

Astérosismologie

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

La documentation de HARPS indique qu'un rapport signal à bruit de 500 sur un spectre correspond à une incertitude, exprimée en vitesse, de 45 cm/s. Par ailleurs, une cible de magnitude 5.5 conduit à un rapport signal à bruit de 200 avec des poses de 3 min. A quelle vitesse cela correspond-il ?

Question 2)

Combien de poses élémentaires sur une telle étoile sont nécessaires pour aboutir à un bruit résiduel de 5 cm/s. A quelle durée cela correspond-il ?

Question 3)

Sur la cible alphaCen B, très brillante, HARPS délivre un signal bruité à 2 cm/s, après 7 h d'observation. Les poses élémentaires étant de 1 min, quelle est la performance en vitesse sur une pose ?

Ce chapitre se propose de développer divers principes instrumentaux, et de découvrir quelques instruments, plus en détail que dans les chapitres précédents, mais donc aussi avec un plus grand niveau de difficulté.

Observer avec une caméra CCD : Quelques éléments simples pour montrer comment fonctionne l'observation avec une CCD.
Optique adaptative : Ou comment, tel un carrossier, débosseler l'atmosphère pour obtenir des fronts d'onde bien plans et des images bien nettes.
Observations dans le domaine thermique : Dans ce domaine de longueur d'onde, l'acquisition d'un signal suppose la correction de diverses signatures thermiques le plus souvent bien plus importantes que le signal astrophysique (contribution instrumentale, fond de ciel...).
Spectrométrie par TF : Comprendre le principe et le fonctionnement d'un spectromètre par transformée de Fourier.

Observation d'une source stellaire sans ou avec optique adaptative.

Crédit : ASM

Dès leur introduction, les caméras CCD ont très rapidement remplacé les plaques photographiques pour l'observation en astronomie. Plus sensibles, de réponse plus linéaire, fournissant un signal digitalisé, avec une réponse spectrale plus modulable, spatialisables... elles offrent des perspectives que la plaque photographique n'ouvrait pas.

Les propriétés élémentaires des caméras CCD sont tout d'abord décrites, en lien avec les propriétés générales des détecteurs déjà présentées, et reprenant essentiellement les propriétés des caméras CCD aujourd'hui.

Les dernières pages de cette section se concentrent sur diverses notions relatives aux observations, en détaillant diverses sources de bruit. Elles ont pour but la compréhension physique de certains phénomènes (et ne satisferont pas entièrement l'astronome amateur confronté à des problèmes bien pratiques).

L'amas de galaxies d'Hercule, vu par la caméra grand champ de l'observatoire CFH.

Crédit : CFH

Récepteurs à transferts de charge (CCD)

Le détecteur CCD, pour l'anglais charge coupled device, assure la conversion d'un signal lumineux en un signal électrique. Cette technique introduite en 1969 est en usage en astronomie depuis la fin des années 70, fournissant des détecteurs pour les domaines visible, infrarouge et proche UV.

Le fonctionnement d'un détecteur CCD peut être ainsi résumé :

Chaque pixel de la matrice CCD correspond à un élément semi-conducteur en sandwich dans un condensateur électrique.
Un photon incident crée un photo-électron, lorsqu'il apporte à un électron du matériau semi-conducteur l'énergie nécessaire pour franchir le seuil énergétique (gap).
Les photo-électrons sont stockés dans le puits de potentiel qu'est le pixel convenablement polarisé.
La lecture de ces photo-électrons est commandée par polarisation via des transistors à effet de champ. Elle a lieu soit directement, un obturateur cachant la source, soit par transfert de trame. Dans ce dernier cas, une moitié de la surface du CCD est réservée à la collecte du signal; l'autre moitié n'est jamais éclairée, mais recueille les photo-électrons de la partie réceptrice, avant la lecture complète et le transfert des charges vers l'étage d'amplification.

Les colonnes de la galette CCD sont définies en dur dans le silicium par des rangées dopées p (en bleu foncé) ; les lignes sont créés par une différence de potentiel (les zones de potentiel bas, en rouge, font fuir les électrons). Le registre de lecture (en violet) équivaut à une ligne de la galette.

Crédit : ASM

Définition des pixels

Une caméra CCD comprend des lignes et des colonnes, définissant les pixels. Le principe de lecture d'une CCD conduit à définir les bornes des colonnes par un dopage p gravé dans le silicium. En revanche, les bornes des lignes sont définies par une polarisation commandée. Le puits de potentiel qu'est un pixel est statique dans la phase d'acquisition du signal scientifique, puis variable pendant la lecture des pixels.

Principe

Comment, dans un détecteur CCD, un photon éveille un photo-électron, et comment celui-ci devient signal.

Principe de détection

Processus d'acquisition : pose, transfert dans le registre et lecture du registre.

Crédit : ASM

Processus de lecture

Les étapes de l'enregistrement et de la lecture d'une image CCD sont décrites dans l'animation ci-jointe :

Durant la pose, les pixels se remplissent peu à peu en photo-électrons. .
La variation du potentiel définissant les lignes du CCD conduit au transfert, ligne par ligne, vers le registre (grisé).
Le registre transfère les photoélectrons vers la zone de lecture (gris foncé), pour charger un condensateur. La tension aux bornes du condensateur est ensuite amplifiée et numérisée.

Signal d'obscurité de la caméra UH8k de l'observatoire CFH.

Crédit : CFH

Propriétés

Le signal d'obscurité, enregistré alors qu'aucune source n'éclaire le détecteur, rend compte de divers signaux et bruits affectant toute image délivrée par une caméra CCD.

Colonnes mortes sur les CCD de la caméra CFH12k

Crédit : CFHT

CCD : phénomène de traînée (smearing). La lecture de l'image a lieu sans obturateur, par translation le long d'une colonne (ici, vers le haut). Au passage d'un pixel fortement illuminé, l'information des pixels en amont, dont la lecture passe par ce pixel illuminé, est altérée par la superposition de photo-électrons supplémentaires. La colonne blanche est une colonne morte.

Crédit : CFHT

Franges d'interférence de la caméra : les photons, surtout dans le rouge, peuvent être réfléchis dans la zone sensible du CCD avant d'être absorbés. Ceci conduit à des franges d'interférence, gênantes car elles modulent le champ de réponse de la caméra.

Crédit : CFHT

Le phénomène de fringing se superpose au nuage L183 observé en bande I au CFHT.

Crédit : CFHT

Quelques défauts

Divers artefacts dégradent la réponse idéale d'un CCD.

Colonne morte : Un pixel défectueux pour la fonction de lecture bloque l'information de toute une colonne.
Traînée : L'absence d'obturateur lors de la lecture conduit à un phénomène de traînée.
Frange : Des franges d'égale épaisseur apparaissent en lumière monochromatique, et traduisent les irrégularités d'épaisseur de la galette. Ne pas les corriger nuit aux observations.

Les principales caractéristiques

Rendement quantique : Mesure le rapport du nombre de photo-électrons créés au nombre de photons incidents. Sa valeur est élevée : de 40 à 80% selon la technologie du CCD (CCD épais éclairé par l'avant, ou CCD aminci éclairé par l'arrière), là où la plaque photo était limitée au mieux à quelques %.
Dynamique : Grande dynamique, et linéarité idéale, jusqu'à la saturation, lorsque le puits de potentiel est plein (typiquement de l'ordre de photo-électrons pour les caméras actuelles avec des pixels de côté de l'ordre de 10 micromètres).
Bruit de fond : Faible (d'autant plus faible que la caméra est refroidie).
Numérisation : Le signal est directement numérisé en sortie de l'étage d'amplification.
Taille : Les tailles actuelles maximales pour l'observation astrophysique sont de l'ordre de 4k $\times$ 4k pixels, soit 16 millions de pixels; la taille est le seul domaine où la plaque photographique proposait de meilleures performances. Les pixels ont des côtés de typiquement 10 micromètres.
Domaine spectral : Le domaine spectral est fonction du matériau semi-conducteur (de 0.4 à 1.2 micromètres pour le silicium), mais aussi de son éventuel dopant ; l'adjonction d'une couche de matériau aux propriétés photovoltaïques à un CCD permet d'étendre le domaine spectral de sensibilité.

Conversion analogique-numérique

Le signal numérisé est proportionnel au nombre de photo-électrons :

$S \ = \ K \ N _{\mathrm{e}}$

avec le facteur de conversion exprimé en ADU par électron.

Le signal numérisé est codé sur un nombre de bits en accord avec la dynamique du signal.

CCD : phénomène de traînée lors du transfert de trame.

Crédit : COROT

Transfert de trame

Pour une caméra sans obturateur, le phénomène de traînée est la signature de la lecture des images par transfert de trame.

Exemple de caractéristiques

Les caractéristiques des 12 CCD d'une caméra à grand champ du télescope CFH sont présentées par l'appliquette ci-dessous. L'unité ADU signifie analog to digital unit (et kADU = 1000 ADU) ; RN = read-out noise = bruit de lecture ; lin = domaine de linéarité. Le rendement quantique, exprimé en pourcentage, est donnée pour les bandes B, V, R, I et Z'.

Bruit de transfert

L'enregistrement d'une image du courant d'obscurité comporte nécessairement les bruits d'obscurité et de transfert. Le transfert est responsable du gradient de signal sur cette image de courant d'obscurité.

Courant d'obscurité

Image de courant d'obscurité. Le gradient sur l'image est dû au gradient de bruit de transfert le long des colonnes.

Crédit : ASM

Champ plat

Le champ plat rend compte du caractère non uniforme du signal collecté en réponse à une source uniforme.

Champ plat

Image de champ plat. Les conditions d'éclairement non uniformes sont responsables entre autres des fortes variations sur les bords gauche et supérieur.

Crédit : ASM

Objectifs

Examiner les étapes générant les bruits les plus importants pour une image enregistrée. L'agitation thermique du capteur et le transfert des électrons vers les registres de lecture comptent parmi les étapes les plus bruyantes d'une séquence d'observation.

Etapes de lecture

Après la phase d'acquisition du signal scientifique, l'horloge qui pilote l'électronique du CCD commande le transfert des photoélectrons collectés dans les pixels vers un registre de lecture. Le registre, de taille égale à une ligne du CCD, est lui-même lu séquentiellement.

Le déplacement des électrons, qui se vident d'un pixel dans un autre, est provoqué par une bascule des tensions de polarisation du CCD.

Pour chacun des pixels lus, les électrons vont charger un condensateur ; la tension aux bornes du condensateur, proportionnelle à la charge collectée, est ensuite amplifiée analogiquement, puis convertie en un signal numérique.

Courant et bruit d'obscurité

Le courant d'obscurité est associé à la création de charges par agitation thermique, sans intervention de quelque signal lumineux. Le nombre de charges créées dépend fortement de la température : typiquement en moyenne 0.1 électron par pixel par seconde. Le courant d'obscurité est un signal parasite. Comme il s'agit d'un processus poissonnien, ce signal est bruité : le bruit du processus varie comme la racine carrée du nombre de charges créées.

Bruit du transfert des charges

Les charges accumulées dans un pixel doivent transiter le long d'une colonne vers un registre, avant d'être amplifiées. L'efficacité de ce processus, quoique très bonne, n'est pas idéale. Le nombre de charges créées ainsi dépend du nombre d'électrons par pixel à transférer, de l'inefficacité $(1-\eta _{\mathrm{lec}})$ d'un transfert et du nombre total $n _{\mathrm{trans}}$ de transferts. Le bruit dû aux imperfections du transfert se monte à :

$\sigma _{\mathrm{lec}} \ = \ \sqrt{ 2 \ (1-\eta _{\mathrm{lec}})\ N\ n _{\mathrm{trans}} }$

Le facteur 2 provient du fait que 2 pixels sont affectés : celui qui a perdu un électron, et celui qui l'a malencontreusement gagné.

Avec p.ex. un signal à hauteur de la moitié du puits quantique d'un pixel, de l'ordre de 50000 e-, une efficacité de transfert typiquement de $\eta _{\mathrm{lec}} = 0.99999$ , et donc une inefficacité de $10^{-5}$ , et un millier de transferts en moyenne pour une colonne de 2k pixels, le bruit lié au transfert est de 32 e-/pixel.

Amplification, quantification

Le processus d'amplification du signal, qui permet aux circuits électroniques de travailler avec de plus forts signaux, est également peu bruité. On peut le négliger dans la grande majorité des cas devant les autres sources de bruit.

La conversion du signal analogique vers un codage numérique est menée avec un gain tel que le bruit de numérisation (lié à la nature quantique du codage) soit également négligeable. Ce gain vaut typiquement quelques électrons par ADU (analog to digital unit).

Bruit de lecture

La lecture de la caméra va être entachée des bruits du courant d'obscurité, du transfert de charge et d'amplification. Selon les conditions, l'un ou l'autre des bruits domine :

Si le détecteur n'est pas refroidi, le courant d'obscurité et donc son bruit est important.
Le bruit de transfert est d'autant plus élevé que la fréquence de lecture est rapide.

Caractéristiques d'une caméra CCD

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

On s'intéresse à quelques caractéristiques d'une caméra CCD KAF-0400. Un pixel présente une capacité de charges de 80000 électrons. La numérisation se fait sur 14 bits. Le bruit de lecture annoncé vaut 13 électrons.

Question 1)

Déterminer le rapport signal à bruit maximal par pixel.

Question 2)

Déterminer le gain de la conversion ADU.

Question 3)

On montre que le bruit de quantification vaut $g/\sqrt{12}$ . Montrer qu'il est effectivement négligeable.

Question 4)

La tension en sortie de l'amplification s'écrit par sommation sur la bande passante $\Delta f$ :

$V _{\mathrm{out}}^2 = \int_{\Delta f} G(f)^2 \ V(f)^2 \mathrm{d} f$

On suppose que le gain est constant sur la bande passante, et que le bruit V(f) est blanc, avec G(f)=10 , $V(f) = 20 \,\mathrm{nV}/\sqrt{ {\,\mathrm{Hz}}}$ et $\Delta f = 1 {\,\mathrm{MHz}}$ . Calculer le bruit en sortie d'amplificateur, en déduire le bruit équivalent en entrée d'amplificateur, puis l'exprimer en nombre d'électrons, sachant que le facteur de conversion de l'étage de sortie du CCD vaut $10\,\mu\mathrm{V/ e-}$ . Conclure.

Champ plat

Le champ plat mesure la réponse du CCD d'une chaîne instrumentale à un éclairement uniforme. Cette réponse, idéalement uniforme, ne l'est bien sûr pas tout à fait dans la pratique. Les différences à une réponse uniforme proviennent du champ de variations de la réponse des pixels, des défauts de la galette CCD, et aussi des conditions d'éclairement qui peuvent être modulées par le montage instrumental en amont du détecteur.

Enregistrement du champ plat d'une matrice. Il est nécessaire de bien mesurer la réponse de la matrice CCD sur une source uniforme, afin d'identifier les gradients de réponse des pixels.

Crédit : ASM

Détermination du champ plat

Obtenir un champ plat n'est pas toujours facile, car il faut disposer d'une source la plus uniforme possible. Différentes techniques permettent d'aboutir à un résultat performant :

Observer un écran sur le dôme, éclairé par de multiples sources.
Observer le ciel à l'aube ou au crépuscule.
Calculer l'image médiane d'un très grand nombre de poses nocturnes.

La zone peinte en blanc sur le dôme peut servir à l'enregistrement de champ plat.

Crédit : ASM

Signal d'obscurité

Comme son nom l'indique, le signal d'obscurité correspond au signal enregistré alors qu'aucune source n'éclaire le détecteur. Il correspond à la création de porteur de charges (typiquement 1 électron par pixel toutes les 10 secondes) par simple agitation thermique.

Obtenir une bonne image du courant d'obscurité nécessite de poser aussi longtemps que pour la pose scientifique. Ceci peut prendre du temps... mais n'a heureusement pas besoin d'être mené sur le ciel.

Le courant d'obscurité est modulé sur le champ de la caméra selon la technologie de fabrication des détecteurs. Des pixels abimés peuvent produire un grand nombre de charges parasites : on parle de pixels chauds.

Signal d'obscurité.

Crédit : ASM

Le pixel chaud présente un très fort signal sur cette image de signal d'obscurité. Le signal numérique a été représenté en échelle logarithmique pour améliorer la dynamique de la représentation.

Crédit : ASM

Traitement d'image

Les corrections d'obscurité et de champ plat redressent l'information photométrique d'une image.

Coupe le long de 3 images de Jupiter observé dans le visible. En bleu foncé sans correction du signal d'obscurité : on remarque que le fond de ciel n'est pas à zéro. En bleu ciel, après correction du signal d'obscurité : le signal du fond de ciel est ramené à valeur nulle. En rouge : après correction du champ plat.

Crédit : ASM

Objectifs

Deux étapes sont indispensables dans le traitement d'une image CCD. La correction d'un offset lié à divers signaux parasites dont le courant d'obscurité, et la correction de champ plat.

Le courant d'obscurité

Au signal astrophysique $\mathcal{I}_\star$ se superposent différentes contributions, additives, dont principalement le courant d'obscurité.

En raison du bruit thermique, le détecteur délivre un courant en l'absence de toute puissance lumineuse, appelé courant d'obscurité. Sa contribution $\mathcal{I} _{\mathrm{noir}}$ , additive, est à retrancher.

Carte de réponse

La réponse de la chaîne instrumentale, y compris la caméra, n'est pas uniforme. Une pose sur une source uniforme fournit le champ plat : la réponse normalement uniforme à une excitation uniforme, en fait potentiellement déformée par les divers éléments, et modulée par la réponse non uniforme des pixels.

On note $\mathcal{I} _{\mathrm{plat}}$ la réponse à cette excitation uniforme. Cet effet est multiplicatif.

Séquence de traitement

On passe de l'image brute $\mathcal{I}_\star$ à l'image finale $\cal F$ par soustraction des effets additifs et division par les effets multiplicatifs :

$\mathcal{F} \ = \ { \mathcal{I}_\star - \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \mathcal{I} _{\mathrm{plat}}}$

Idéalement, la réponse du champ plat est normalisée, de moyenne 1. En pratique, il est indispensable d'acquérir une image de champ plat avec le meilleur rapport signal à bruit. De toutes façons, l'étalonnage de la réponse $\mathcal{F}$ nécessite des sources de référence.

Correction élémentaire du champ plat

A l'aide de l'appliquette ci-jointe, assurer la correction du champ plat.

Correction du champ plat

Sélectionner la 1ère image. Si besoin, adapter l'échelle de couleur avec la touche auto.
Sélection l'opération coupe, puis une ligne de coupe évitant les objets les plus brillants.
Sélection l'opération division, puis la 1ère image et l'image de champ plat, et nommer l'image corrigée.
Réaliser sur cette nouvelle image la coupe précédente. Comparer.

Correction élémentaire du courant d'obscurité

A l'aide de l'appliquette ci-jointe, assurer la correction du courant d'obscurité. La correspondance entre les noms de fichiers et les images est la suivante, selon le rang des lettres :

f = flat : champ plat, j : image jovienne, d=dark : courant d'obscurité.
s : SYMPA : projet de sismologie jovienne ; images enregistrées en 2004 au télescope de l'Observatoire San Pedro Martir au Mexique.
A ou B : 2 familles d'images enregistrées par 2 voies différentes de l'instrument SYMPA.
N : numéro de l'image jovienne.

Correction du courant d'obscurité

Procéder comme à l'appliquette précédente.
Vérifier l'importance d'associer les bons fichiers (familles A ou B).

Rapport signal à bruit du signal d'obscurité

Le signal d'obscurité doit être enregistré avec un rapport signal à bruit meilleur que celui des images à traiter.

Coupe le long de 2 images d'obscurité, l'une élémentaire, l'autre résultant de la moyenne de 20 images élémentaires. L'amélioration du rapport signal à bruit est bénéfique pour le traitement des images à suivre.

Crédit : ASM

Objectifs

Les étapes de correction des signaux de courant d'obscurité et de champ plat ne se font pas sans bruit. Le but de cette page est d'estimer les performances de ces opérations, et de montrer que les signaux de courant d'obscurité et de champ plat doivent être connus avec un rapport signal à bruit (bien) meilleur que celui du signal seul.

Courant d'obscurité

La correction consiste à soustraire au signal le signal d'obscurité. Ce dernier est acquis lors d'une pose longue, sans source. Cette soustraction s'exprime par :

$\mathcal{I}_1 \ = \ \mathcal{I}_\star - \mathcal{I} _{\mathrm{noir}}$

Les bruits des signaux d'entrée sont respectivement $\sigma_\star$ et $\sigma _{\mathrm{noir}}$ (le bruit de la source comprend le bruit de photons). Non corrélés, il s'additionnent quadratiquement pour donner le bruit de la différence :

$\sigma_1 \ = \ \sqrt{ \sigma_\star^2 + \sigma _{\mathrm{noir}}^2}$

Le rapport signal à bruit s'écrit donc :

${ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\ =\ { \mathcal{I}_\star - \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \sqrt{ \sigma_\star^2 + \sigma _{\mathrm{noir}}^2}} \ =\ {\displaystyle{ \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star} \over \sqrt{1 +\left(\displaystyle{ \sigma _{\mathrm{noir}} \over \sigma_\star}\right)^2}} - {\displaystyle{ \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \sigma _{\mathrm{noir}}} \over \sqrt{1 +\left(\displaystyle{ \sigma_\star \over \sigma _{\mathrm{noir}}}\right)^2}}$

Ceci montre que le rapport signal à bruit après correction du courant d'obscurité est moindre qu'avant correction :

${ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\ \le\ { \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star}$

Cette correction reste néanmoins nécessaire pour corriger certains effets structurels de la caméra.

Le cas $\sigma _{\mathrm{noir}} \gg \sigma_\star$ où le bruit de courant d'obscurité domine apparaît très inintéressant : la performance de la correction sera d'autant bruitée. En revanche, si le signal d'obscurité est bien moins bruité que le signal astrophysique, càd $\sigma _{\mathrm{noir}} \ll \sigma_\star$ , on récupère :

${ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\ \simeq\ { \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star} - { \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \sigma_\star} \simeq\ { \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star}$

Le rapport signal à bruit est très peu dégradé. Il est donc indispensable d'acquérir une bonne image très peu bruitée du courant d'obscurité.

Champ plat

La correction de champ plat consiste à diviser le signal $\mathcal{I}_1$ par le signal de champ plat normalisé (et éventuellement corrigé du courant d'obscurité). Le champ plat est acquis lors d'une pose sur une source la plus uniforme possible. La division s'exprime :

$\mathcal{F} \ = \ { \mathcal{I}_1 \over \mathcal{I} _{\mathrm{plat}}}$

Les bruits en entrée sont respectivement $\sigma_1$ et $\sigma _{\mathrm{plat}}$ . Le bruit final dépend des bruits et signaux initiaux via :

${ \sigma \over \mathcal{F}}\ =\ \sqrt{\left(\displaystyle{ \sigma_1 \over \mathcal{I}_1}\right)^2 + \left(\displaystyle{ \sigma _{\mathrm{plat}} \over \mathcal{I} _{\mathrm{plat}}}\right)^2}$

Pour s'en convaincre, il suffit de différencier logarithmiquement la relation définissant $\mathcal{F}$ . On peut donc réécrire le rapport signal à bruit :

${ \mathcal{F} \over \sigma}\ =\ {1\over\sqrt{ \displaystyle{1 \over \left(\displaystyle{ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\right)^2} + \displaystyle{1 \over \left(\displaystyle{ \mathcal{I} _{\mathrm{plat}} \over \sigma _{\mathrm{plat}}}\right)^2} }}$

On remarque que cette correction dégrade nécessairement le rapport signal à bruit, car de toutes façons :

${ \mathcal{F} \over \sigma}\ \le \ { \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}$

Il est inintéressant d'avoir un champ plat très bruité, car la performance sera limitée au rapport signal à bruit du champ plat dans ce cas. En revanche, si le champ plat est peu bruité $( \sigma _{\mathrm{plat}} \ll \sigma_1)$ , on obtient :

${ \mathcal{F} \over \sigma}\ \simeq \ { \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}$

Il est donc indispensable d'acquérir une image de champ plat la moins bruitée possible. Ceci peut nécessiter une longue durée d'observation sur une source artificielle uniforme.

Enfin, on remarque dans cette opération qu'un signal bruité est moins dégradé qu'un signal peu bruité. En effet, corriger un signal peu bruité nécessite une correction de qualité meilleure encore.

Corrections

A l'aide de l'appliquette ci-jointe, assurer la correction du signal d'obscurité sur les images de Jupiter. La correspondance entre les noms de fichiers et les images est la suivante, selon le rang des lettres :

f=flat : champ plat, j : image jovienne, d=dark : courant d'obscurité.
s : SYMPA : projet de sismologie jovienne ; images enregistrées en 2004 au télescope de l'Observatoire San Pedro Martir au Mexique.
e : image élémentaire ; s = image sommée
N : numéro de l'image (facultatif)

Correction de l'image Jovienne

Réaliser les opérations de corrections du courant d'obscurité et du champ plat, et comparer les résultats par des coupes d'images. Voir le mode d'emploi de l'appliquette donné précédemment.

Rapport signal à bruit de différentes sources

Le tableau de l'appliquette ci-jointe donne les signaux moyens, par pixel, du courant d'obscurité (dark) et du champ plat (flat), ainsi que de diverses sources plus ou moins brillantes. On cherche à déterminer le rapport signal à bruit des observations. Le bruit de lecture est estimé à 20 e-.

La 1ère étape consiste à tenir compte du bruit de lecture (pour lequel on n'a pas de signal spécifique, contrairement aux signaux d'obscurité et de champ plat). Calculer dans la colonne Be la contribution des bruits stellaires et de lecture.
En déduire le rapport signal à bruit SNRe des sources avant toute correction.
Déterminer le signal Ii corrigé du courant d'obscurité.
Déterminer le bruit Bi tenant compte du signal lu et du courant d'obscurité.
En déduire le rapport signal à bruit SNRi
Déterminer le signal I corrigé du champ plat.
Que vaut le rapport signal à bruit du signal de champ plat ? Le calculer indépendamment du tableau.
En déduire le rapport signal à bruit final SNR, fonction du rapport signal à bruit SNRi et de celui de champ plat (les inverses des carrés des rapports s'additionnent pour cette correction).

En fonction de ce qui précède, comparer l'évolution des rapports signaux à bruits des diverses sources.

Quelle étape est la plus bruyante, en fonction de la luminosité de la source ?
Quels types de sources sont les mieux corrigés ?

T'as de beaux yeux, tu sais

L'oeil humain est un instrument très évolué : focale variable, diaphragme ajustable, vision stéréoscopique pour la perception du relief et des distances, transmission correcte dans le visible....

Quelques éléments de l'instrument oeil : diaphragme d'ouverture, monture, protection amovible...

Crédit : ASM

Réponse spectrale de l'oeil

La courbe de réponse spectrale de l'oeil humain est centrée sur le maximum du spectre solaire, et décroît très rapidement vers le bleu et le rouge.

Spectre solaire perçu au travers de l'atmosphère (en orange) et courbe de sensibilité spectrale typique de l'oeil humain (en vert). La correspondance des maxima n'est certes pas un hasard, mais le fruit de l'évolution.

Crédit : ASM

L'oeil

L'oeil est un instrument très perfectionné, mais malheureusement non adapté à l'observation d'objets très lointains, et donc de petite taille angulaire et de luminosité réduite.

Résolution angulaire

Ouverte au maximum, après de longues minutes d'adaptation au noir le plus complet, la pupille atteint un diamètre maximal de l'ordre de 6 mm. La tache de diffraction qui en résulte ne permet pas de résoudre, en lumière jaune, des détails angulaires plus fins que 20".

Résolution temporelle

L'oeil humain construit de l'ordre de 20 images par seconde. Cette cadence n'est pas "réglable" : impossible de poser pour scruter un objet fixe mais faiblement lumineux, comme le fait une plaque photo ou tout autre détecteur.

Résolution spectrale

L'oeil peut distinguer un très grand nombre de couleurs, dans un domaine spectral de 400 à 700 nm principalement. Mais l'impression des couleurs reste toute relative, et dépend de nombreux paramètres, parmi lesquels l'intensité lumineuse.

La réponse de l'oeil humain dans le bleu évolue très fortement, et très défavorablement, avec l'age.

L'optique adaptative est née dans les années 1990. Elle répond à un besoin crucial : corriger, au moins pour partie, la dégradation du signal optique qui a traversé l'atmosphère.

La galaxie NGC 7469, observée avec et sans optique adaptative (PUEO, CFHT).

Crédit : CFHT

Déviation de la lumière

L'atmosphère terrestre trouble la vision que l'on a des objets célestes. Pour une étoile, cela conduit à une image scintillante, mobile. Pour un objet étendu comme le soleil, que l'on s'attend à voir tel un disque, la traversée d'une large couche atmosphérique, au lever, et encore plus au coucher en présence d'importants gradients thermiques, conduit à une image très déformée et variable.

Pour l'observation astronomique, ces perturbations sont fortement gênantes (mais on les élimine en ne menant pas d'observations sur l'horizon... sauf si les circonstances l'imposent).

Le disque solaire apparaît fortement aplati au coucher du soleil.

Crédit : ASM

Occultation stellaire par Jupiter. La turbulence de l'atmosphère tellurique est responsable du bougé des images.

Crédit : Observatoire de Paris/LESIA

Dans un milieu non turbulent

Dans le vide ou tout milieu homogène, la lumière d'un objet non résolu à l'infini, par exemple une étoile, se propage comme une onde plane. Les surfaces d'onde se déplacent sans perturbation jusqu'à la pupille d'entrée du collecteur, qui transforme l'onde plane en onde sphérique.

$diffract.gif$

Sans turbulence.

Crédit : ASM

Turbulence

Dans un milieu inhomogène ou turbulent, les variations d'indice le long du trajet optique déphasent tout rayon par rapport à ses voisins. Ceci conduit à la déformation progressive du front d'onde collecté : initialement plan, pour un objet à l'infini, il se bosselle peu à peu.

Les variations de phase correspondant rendent la pupille partiellement incohérente. La figure de diffraction en est modifiée : des tavelures apparaissent, animées de mouvements également aléatoires.

Simulateur de turbulence

A l'aide du simulateur ci-joint, visualiser l'effet séparé de chacune des contributions à la turbulence :

Tip ou tilt (déviation du faisceau incident).
Défaut de mise au point (focus).
Défaut de mise au point différentiel (astigmatisme, càd mise au point différente selon 2 directions orthogonales).

Tavelures

Une étoile observée à l'oeil nu scintille. Une caméra rapide permet des poses très courtes, qui vont arriver à figer la turbulence. La sommation de plusieurs de ces poses courtes conduit au phénomène de tavelures, aussi appelées "speckles": les images quasi ponctuelles, à la diffraction près, sont dispersées sur un disque bien plus large.

Speckles, enregistrés par lors d'une pose courte (image de gauche, en vidéo inverse) ou longue (image de droite).

Crédit : ESO

Enregistrement du seeing

Le seeing définissant la qualité des images, il est systématiquement enregistré dans les grands sites d'observation, et les valeurs du seeing stockées parmi les multiples paramètres qui caractérisent une image.

Son évolution au cours de la nuit dépend de multiples paramètres : gradient de température, vent, humidité...

Enregistrement du seeing sur le site ESO de La Silla : une bonne nuit (seeing médian de 0.6") et une mauvaise (1.2").

Crédit : ESO/ASM

Diverses composantes

Les couches turbulentes de l'atmosphère dégradent la qualité d'image. On peut caractériser cette dégradation par différents termes :

L'agitation : la tache image se déplace, à cause des fluctuations d'indice de l'atmosphère perturbée.
La scintillation : même effet que l'agitation, mais selon un point de vue différent, où l'on ne suit pas le déplacement de la tache image. Le flux lumineux en un point donné est modulé dans le temps, car une partie des photons incidents a été déviée.
Le seeing ou qualité d'image : mesure l'élargissement de la tache image.

Le seeing

Un bon seeing dans un bon site astronomique est de l'ordre de 0.5". Un seeing typique en lumière visible est de 1". L'ordre de grandeur du seeing mesure également celui de l'agitation.

On caractérise le seeing par un paramètre, le diamètre de cohérence d_0 . A cause de la turbulence, un grand télescope (de diamètre $\gg$ d_0 ) a une résolution angulaire identique à celle d'un télescope de diamètre d_0 qui ne serait pas affecté par la turbulence. A la longueur d'onde $\lambda$ , le seeing vaut :

$s \ = \ {\lambda\over d_0}$

Rayon de cohérence

Dans le visible, un seeing moyen se caractérise par $d_0(0.5 {\,\mu\mathrm{m}}) \simeq 10 {\,\mathrm{cm}}$ , et un très bon seeing par $d_0(0.5 {\,\mu\mathrm{m}}) \simeq 30 {\,\mathrm{cm}}$ . Le paramètre d_0 est fortement chromatique :

$d_0 (\lambda)\ \propto\ \lambda^{6/5}$

L'augmentation de d_0 dans l'infrarouge conduit à une dégradation de l'image moindre que dans le visible.

Temps de cohérence

Le temps de cohérence associé à d_0 est t_0 tel que :

$t_0\ =\ {d_0\over V}$

où est la vitesse caractéristique du vent. Une application numérique dans un cas moyen $(d_0 =10 {\,\mathrm{cm}}$ , $V = 10 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1})$ conduit à $t_0 = 10 {\,\mathrm{ms}}$ . Le traitement de la turbulence par optique adaptative va devoir être mené plus rapidement que cette échelle de temps.

Agitation

Le seeing résulte de l'agitation de l'image due à la déformation de la surface d'onde, ici visualisée sans scintillation.

Effet de l'agitation sur une image stellaire, très schématisée : le barycentre de l'étoile est mobile.

Crédit : ASM

Scintillation

A l'agitation se superpose la scintillation de l'image due à la dispersion de l'énergie, ici visualisée sans agitation.

Effet de la scintillation sur une image stellaire, très schématisée : le flux de l'étoile est variable dans le temps.

Crédit : ASM

Seeing

L'agitation et la scintillation conduisent au seeing. Cette animation plus réaliste découle d'un vrai simulateur de seeing développée en laboratoire, pour tester les performances d'une optique adaptative.

Scintillation et agitation conduisent au seeing.

Crédit : ASM

La turbulence, pour 4 valeurs de seeing. L'image est d'autant plus piquée que la phase est uniforme, et inversement

Crédit : Observatoire de Paris/LESIA

QCM

1) La qualité d'image, dans l'infrarouge, est plus dégradée que dans le visible.
oui
non
cela dépend

2) La tache image dans l'infrarouge, est plus grande que dans le visible.
oui
non
cela dépend

3) Pourquoi construire des grands télescopes avec de très grands miroirs ?
Pour collecter plus de photons
Pour améliorer la qualité d'image
Pour augmenter la résolution angulaire

Seeing

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

Déterminer un ordre de grandeur d'un diamètre angulaire (étoile de type solaire à 1.3 pc, comme l'étoile voisine $\alpha$ du Centaure) ou planétaire (Jupiter).

Question 2)

Pourquoi observe-t-on à l'oeil nu le phénomène de scintillation sur une étoile et non sur une planète ?

Seeing et flux collecté

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Un spectromètre est nourri par une fibre qui recueille un champ de 1" sur le ciel. On s'intéresse au flux recueilli par la fibre, et on propose un modèle pour l'estimer.

Flux (en photoélectrons) recueilli par la fibre, en fonction du seeing (instrument HARPS à l'ESO).

Crédit : ASM

Ce modèle suppose que, le seeing valant , le flux stellaire se répartit autour de l'image géométrique selon la distribution radiale :

$\phi (r) = \phi_0 \exp\left[-{r^2\over \alpha s^2}\right]$

mesure l'écart angulaire à l'image géométrique ; $\alpha$ est un facteur sans dimension proche de l'unité.

Question 1)

Déterminer le flux total $\Phi _{\mathrm{T}}$ et calculer le flux reçu par une fibre qui sélectionne un rayon .

[3 points]

Question 2)

On souhaite étudier la fraction du signal collecté en fonction du seeing : $\varphi = \Phi / \Phi _{\mathrm{T}}$ . Représenter $\varphi$ en fonction du seeing (en considérant $\alpha=1$ ). Expliquer le comportement pour un bon seeing ou un mauvais seeing (avec respectivement s < R ou s > R ).

[2 points]

Avec OA (en bas à gauche), une image stellaire est bien plus finement résolue que sans (en haut à gauche) et le flux de la source est beaucoup moins dilué. L'élargissement à mi-hauteur de la tache image passe de 0.5 à 0.07".

Crédit : CFHT

Avec OA (à droite), la surface de la Lune présente des détails inaccessibles sur l'image non corrigée (système d'OA NAOS, développé pour le VLT à l'ESO). La largeur totale du champ représente 26", soit 45km.

Crédit : ESO

Speckles, enregistrés par une succession de pose courte (vidéo inverse), et seeing résultant. La figure de diffraction est reconstruite grâce à l'OA.

Crédit : ESO

Intérêt de l'optique adaptative

Avec un système d'optique adaptative (OA), les images sont bien mieux piquées et résolues. L'image y gagne en résolution spatiale ainsi qu'en dynamique. L'OA remet les speckles en bon ordre.

Comment l'optique adaptative lutte contre la turbulence : le front d'onde perturbé est analysé ; le résultat de l'analyse commande les déformations du miroir déformable. En boucle fermée, le système de contrôle corrige les résidus au front d'onde optimal.

Crédit : Observatoire de Paris/LESIA

Chaîne de rétroaction

Crédit : CFHT/Keck

Boucle de rétroaction

Le principe de l'optique adaptative consiste en l'analyse et correction du front d'onde, en boucle fermée. La boucle de rétroaction consiste en l'activation de senseurs commandés d'après les informations des capteurs de déformation du front d'onde.

En boucle ouverte, l'étoile double n'est pas résolue.

Crédit : ESO

En boucle fermée, le système d'optique adaptative permet de distinguer les 2 composantes de l'étoile double.

Crédit : ESO

Miroir de tip-tilt pour le télescope Gemini, en phase de test au laboratoire LESIA de l'Observatoire de Paris. Ce miroir, allégé, peut très rapidement osciller selon 2 axes perpendiculaires, pour corriger les 2 mouvements principaux de perturbation de l'atmosphère.

Crédit : Observatoire de Paris

Miroir déformable : la membrane réfléchissante, très mince, est déformée par des actuateurs piézo-électriques.

Crédit : ONERA

Il faut la boucler !

Selon que la boucle de rétroaction est ouverte ou fermée, l'OA fait son oeuvre ou non. Elle commande alors un miroir plan orientable, de correction de tip-tilt et un miroir déformable pour corriger les fréquences spatiales plus élevées.

De gauche à droite : en bleu foncé, la bonnette d'adaptation, le système d'optique adaptative NA0S, et en rouge le cryostat de la caméra infrarouge CONICA

Crédit : ESO

NACO au foyer Nasmyth de Yepun (VLT)

Depuis 2001, un système d'optique adaptative est en service régulier au VLT à l'ESO, alors même que cette technique n'a émergé que dans les années 90.

Prérequis

Optique géométrique.

Objectifs

L'optique adaptative (AO) a pour but la correction en temps réel des déformations du front d'onde incident, dues à la turbulence atmosphérique, en leur opposant la contre-déformation d'un miroir déformable.

La boucle de rétroaction

La boucle de rétroaction de l'optique adaptative comprend les éléments suivants :

Miroir plan orientable : Il corrige les défauts de pointage et le basculement de l'image
Miroir déformable : Il corrige jusqu'à un certain ordre les perturbations du front d'onde
Boucle d'asservissement : Electronique et calculateur rapide assurant la commande des miroirs déformables, avec une fréquence de l'ordre de la centaine de Hz.

Les performances ultimes

L'OA permet de récupérer la tache de diffraction, de diamètre angulaire défini par le collecteur primaire. Cette performance dépend du nombre d'éléments d'images analysés sur le front d'onde, du nombre d'actuateurs mis en oeuvre, ainsi que de la fréquence de correction.

Tache de diffraction récupérée par OA (NACO/VLT) en bande K.

Crédit : ESO

Les limites

Corriger la surface d'onde en un plan d'onde idéal nécessite en général une source ponctuelle de référence, de luminosité suffisante, dans le proche voisinage de la cible étudiée.

La correction est limitée dans une région spatiale restreinte, de l'ordre de 30", et la correction est aujourd'hui réalisable dans le visible et avec d'excellentes performances dans l'infrarouge (instrument SPHERE du VLT), où les effets de la turbulence sont moindres (cf page consacrée au seeing). Le front d'onde lumineux est souvent analysé dans le visible et corrigé dans le proche IR. La correction est aujourd'hui réalisable dans le visible et avec d'excellentes performances dans l'infrarouge (instrument SPHERE du VLT), où les effets de la turbulence sont moindres (cf page consacrée au seeing). Le front d'onde lumineux est souvent analysé dans le visible et corrigé dans le proche IR.

Correction par optique adaptative

En boucle fermée, la chaîne de rétroaction de l'optique adaptative ne mesure que les erreurs résiduelles de phase du front d'onde. La déformation du miroir doit toujours compenser toutes les erreurs.

Evolution du front d'onde.

Crédit : ASM

Performance de l'optique adaptative

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Les performances en optique adaptative à 2.2 ou 5 microns, pour le VLT (8 m), sont limitées par la diffraction du collecteur primaire. Comparer, en prenant $d_0=10 {\,\mathrm{cm}}$ dans le visible, les résolutions angulaires avec et sans OA, et le gain apporté par l'OA.

Question 2)

Pourquoi la tache image à plus courte longueur d'onde n'est-elle pas fixée par la diffraction du primaire ?

Toute déformation du front d'onde se traduit en signal d'erreur au foyer de chaque microlentille.

Crédit : ASM

Fonction d'étalement du point et images des sous-pupilles de l'analyseur de Shack-Hartmann.

Crédit : ONERA

Méthode de Shack-Hartmann

Un réseau de microlentilles assure la segmentation de la pupille en sous-pupilles. En l'absence de déformation du front d'onde, à chaque sous-pupille correspond une image centrée sur l'axe optique de la microlentille. La déformation du plan d'onde par la turbulence, et son inclinaison locale au niveau de chaque sous-pupilles, est directement retranscrite en un déplacement de l'image sous-pupillaire.

L'analyse de ces déplacements permet de remonter à la déformation du front d'onde, et se voit traduite en termes correctifs à apporter au miroir déformable.

Les perturbations élémentaires du faisceau, visualisées selon 4 quadrants.

Crédit : ASM

Sur 4 quadrants

Sur 4 quadrants, l'analyse de Shack-Hartmann permet de mettre en évidence les défauts les plus simples :

Tip et tilt du faisceau (inclinaisons du front sur 2 directions perpendiculaires)
Focus : erreur de focalisation (le front d'onde est alors sphérique, et non plan)
Astigmatisme : erreur différentielle de focalisation (le front d'onde possède 2 courbures différentes, selon 2 directions perpendiculaires).

L'analyse par Shack-Hartmann

A chacune des micro-lentilles est associé un signal d'erreur.

Méthode de Shack-Hartmann

Chacune des microlentilles image une portion du front d'onde. Tout effet de turbulence se traduit en un déplacement (indiqué en rouge) de la tache image idéale. C'est ce déplacement qui est traité par la boucle de rétroaction et analysé par le système d'optique adaptative.

Crédit : ASM

Avec ou sans optique adaptative

L'optique adaptative ne sert pas qu'à faire de belles images ; l'augmentation de résolution spatiale permet aussi d'augmenter les performances spectrométriques. Maximiser le flux envoyé au travers de la fente d'un spectromètre permet de réduire la taille de la fente, et donc d'augmenter les résolutions spatiale et spectrale.

Deux des trois composantes de l'étoile triple T Tauri, séparées de 1", avec une portion de leur spectre, par NACO au VLT

Crédit : ESO

Traitement par déconvolution

Il est possible de traiter une image observée avec OA pour retrouver cette information, en déconvoluant l'image de la PSF (fonction de transfert de l'image).

Les 2 composantes de GJ 263 sont séparées de 0.030". Vues par NACO à 1.27 microns, elles apparaissent à peine résolues (image du milieu). L'image de droite les dévoile, après traitement par un algorithme de déconvolution. Ce traitement permet d'atteindre l'information ultime apportée par l'optique adaptative, en corrigeant lorsque c'est possible de la PSF (image de gauche)

Crédit : ESO

Crédit : CFHT/Keck

La zone observée couvre un disque de 300 microns de diamètre sur la rétine, soit 1 degré de champ. La caméra est focalisée sur une couche située à 0.24 mm sous la surface, et l'illumination, à 0.55 micromètres de longueur d'onde, a duré 7 ms. Chaque granule, ici de 2 à 4 micromètres de diamètre, est un photorécepteur de type cône. Dans cette région, l'espacement inter-cône est en moyenne de 5 micromètres, soit 3 fois la limite de résolution accessible pour un oeil parfaitement corrigé par optique adaptative.

Crédit : LESIA/CNRS

Exemple d'applications

Découpe laser : La précision de la visée laser est limitée par les fluctuations d'indice dues à l'évaporation du milieu abrasé. L'OA permet de corriger cette turbulence locale pour améliorer et la visée et la précision du tir.
Ophtalmologie : Examen ophtalmologique ; correction des inhomogénéités d'indice de l'oeil pour améliorer la précision de la visée lors d'une intervention chirurgicale oculaire.

Traitement par déconvolution

L'optique adaptative corrige les images, mais cette correction reste imparfaite. Comme elle apporte de l'information jusqu'à la limite théorique de diffraction, et donc une finesse bien au-delà du seeing, il est possible de traiter une image observée avec OA pour retrouver cette information, en déconvoluant l'image de la PSF (fonction de transfert de l'image).

Comparaison

Les performances atteintes avec l'optique adaptative permettent de concurrencer les observations menées dans l'espace. La comparaison d'observations spatiales et au sol méritent d'être effectuée avec soin. Dans le cas exposé, les résultats sont semblables, le moindre diamètre du télescope Hubble étant compensé par une observation à longueur d'onde moindre également.

NGC 3603 vu à $2.2 {\,\mu\mathrm{m}}$ par NACO au VLT, et à $0.8 {\,\mu\mathrm{m}}$ par le HST. Dans les deux cas, la résolution finale est proche de la résolution limitée par la seule diffraction. Les temps de pose sont comparables ; l'image au sol dévoile plus d'objets, essentiellement à cause de la plus grande longueur d'onde d'observation.

Crédit : ESO/HST

Seeing

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

Combien faudrait-il d'actuateurs pour corriger par OA une pupille de 8 m, en lumière visible, avec une turbulence caractérisée par d_0 = 10cm.

Question 2)

Comment évolue cette estimation, pour une observation menée à 2.5 micromètres.

Question 3)

Montrer que la fréquence de travail du système est également moins contraignante dans l'infrarouge par rapport au visible.

Longueur d'onde limite

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

L'optique adaptative au VLT, NACO, analyse le front d'onde en 144 points, et comporte 185 actuateurs.

Question 1)

Déterminer le diamètre caractéristique de chaque zone corrigée.

[1 points]

Question 2)

Déterminer l'ordre de grandeur de la longueur d'onde la plus basse potentiellement totalement corrigée. On suppose $d_0(0.5 {\,\mu\mathrm{m}}) \simeq 10 {\,\mathrm{cm}}$ .

[1 points]

L'observation dans l'infrarouge thermique ou à des fréquences plus basses obéit à des règles particulières, dès lors que tout le rayonnement de corps noir de l'environnement s'ajoute au signal. Il en résulte une technique d'observation particulière, pour distingue la source des autres contributions.

Dans le domaine radio se rajoutent les difficultés à obtenir une résolution spatiale précise, dues à la diffraction, et la spécificité de la détection cohérente : les collecteurs deviennent des antennes directement sensibles au champ électromagnétique.

Jupiter en 6 couleurs dans l'infrarouge, de 5 à 13 microns.

Crédit : ESO

Observation directe

L'observation sur Terre à toute longueur d'onde supérieure à environ $5 {\,\mu\mathrm{m}}$ est perturbée par le rayonnement thermique terrestre. Elle nécessite la capacité de discriminer les photons issus de la source céleste de ceux correspondant à l'environnement chaud : le ciel, le collecteur, l'instrument (le détecteur est nécessairement refroidi, sinon il s'auto-éblouirait et toute détection serait impossible).

L'observation de Jupiter, aux alentours de 10 microns, conduit à une image où la contribution essentielle provient du ciel.

Soustraction du fond de ciel

Il apparaît nécessaire de soustraire le fond de ciel. Ceci est réalisé en déplaçant très rapidement (à une fréquence de plusieurs Hz) un miroir dans la chaîne d'acquisition du télescope (typiquement le miroir secondaire, dit secondaire vibrant), afin de pointer alternativement la cible et le ciel juste à côté.

Cette opération permet de faire apparaître Jupiter, mais il subsiste alors des gradients sur l'image, selon que l'on soustrait le ciel d'un côté ou de l'autre de la cible.

Soustraction du fond de ciel moyen

La soustraction du fond de ciel moyen permet d'aboutir à une image de meilleure qualité. Cette image est obtenue en dépointant le télescope entier, à une cadence plus basse.

Image brute

Image [ciel+Jupiter] de Jupiter et du fond de ciel. Malgré la brillance intrinsèque de Jupiter, c'est le fond de ciel et le collecteur qui émettent plus de 99% des photons incidents.

Crédit : ESO/ASM

Simple soustraction

Image [ciel+Jupiter] - [ciel gauche/droit] : correction effectuée par déplacement rapide. On remarque un gradient sur l'image : la correction est biaisée car différents éléments n'ont pas été vus dans des conditions d'alignement identique.

Crédit : ESO/ASM

Traitement symétrique

Image [ciel+Jupiter] - [ciel gauche+droit]/2 : le fond de ciel a été soustrait au mieux.

Crédit : ESO/ASM

Prérequis

Corps noir

Objectifs

Les observations dans l'infrarouge thermique doivent tenir compte de tous les éléments qui participent au signal, en plus de la source : ciel, télescope, environnement du détecteur.

Observation thermique

Pour observer dans un certain domaine spectral, la température du détecteur doit absolument être inférieure à la température de rayonnement associée, via la loi de déplacement de Wien, à la longueur d'observation.

On peut justifier ceci très brièvement en évoquant le deuxième principe de la thermodynamique : si le détecteur est plus chaud que la source, l'énergie s'écoule du détecteur vers la source, et cette dernière ne risque pas de beaucoup impressionner le détecteur.

Sur Terre, la température ambiante (de l'ordre de 300~K) correspondant à un rayonnement maximal à $10 {\,\mu\mathrm{m}}$ selon la loi de Wien. Toute observation à une longueur d'onde supérieure à $3 {\,\mu\mathrm{m}}$ doit s'affranchir du flux infrarouge ambiant.

Observer dans l'infrarouge

De ce qui précède, il s'ensuit que toute mesure d'un faible flux dans l'infrarouge thermique se doit d'être une mesure différentielle, où l'on cherche à distinguer une source sur un fond brillant, à moyenner et à soustraire, car il surpasse le signal.

Source et fond thermique

Même une source brillante comme Jupiter ne contribue guère au flux total thermique collecté au sol : la brillance du ciel domine.

Crédit : ESO/ASM

Séquences d'observation

Les différentes étapes pour l'imagerie infra-rouge sont résumées dans l'appliquette ci-jointe.

Images IR

Fond de ciel

Utiliser les appliquettes ci-jointes pour visualiser les étapes du traitement des images IR (Jupiter à 10 microns, ESO).

Etudier en coupe, sur chaque image : le fond de ciel, une coupe de Jupiter parallèle aux bandes, une coupe orthogonale.

Température et IR

La loi du corps noir permet de comprendre l'appellation infrarouge thermique, domaine privilégié d'émission des corps (noirs ou approchés) de température de l'ordre de plusieurs dizaines à quelques centaines de Kelvin, lorsque le visible est le domaine privilégié d'information des corps stellaires plus chauds.

Imagerie IR

Evolution thermique des anneaux de Saturne

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

La figure ci-jointe montre la planète Saturne et ses anneaux, dans l'infrarouge thermique à $20 {\,\mu\mathrm{m}}$ .

Saturne à 20 microns

Crédit : CFHT

Question 1)

Etudier la carte de température des anneaux. Que met en évidence cette observation ?

Question 2)

La période orbitale des anneaux étant de l'ordre de 10 h, estimer l'ordre de grandeur de la durée de réchauffement des anneaux.

Température de détecteur

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

On cherche à observer dans l'infrarouge aux longueurs d'onde suivantes : 2, 5, 20, 60 microns. Indiquer les températures maximales du détecteur, pour éviter qu'il soit saturé par son propre signal (on prendra une marge d'un facteur 10 par rapport à la loi de Wien).

[2 points]

Question 2)

Proposer des solutions pour le refroidissement nécessaire.

[2 points]

Un grand radiotélescope

La diffraction d'une part, et la faible énergie transportée par le rayonnement radio nécessitent de grands radiotélescopes.

Champ panoramique du grand radiotélescope de Nançay (Observatoire de Paris). A gauche : l'antenne plane, orientable en azimut ; à droite : l'antenne sphérique ; au centre droite : le foyer, mobile pour un suivi en angle horaire de $\pm 1 {\,\mathrm{h}}$ par rapport au méridien.

Crédit : Observatoire de Paris

Un réseau interférométrique

L'interféromètre VLA permet d'imager par interférométrie à diverses longueurs d'onde radio.

Champ d'antennes du VLA (very large array) dans le désert du Nouveau-Mexique. La configuration, en Y, ici ramassée, peut s'étendre sur des branches étendues.

Crédit : NRAO

Lobe d'antenne

Aux grandes longueurs d'onde, lorsque la détection du signal est cohérente, la tache image s'appelle lobe d'antenne. Pour une antenne seule, c'est directement la tache de diffraction, égale par définition à l'étendue de faisceau cohérente, qui fixe la résolution angulaire, dans ce cas égale au champ objet.

Lobes d'antenne, à 2 longueurs d'onde différentes, en diagramme polaire. L'amplitude du lobe est donnée en échelle logarithmique, mesurée en dB d'atténuation par rapport à la réponse dans l'axe.

Crédit : ASM

Signal

Le signal radio se caractérise par :

Un quantum d'énergie très faible : du fait des plus basses fréquences que dans le visible.
Un lobe d'antenne assez large : du fait de la longueur d'onde élevée.
Une détection cohérente : c'est directement le champ électromagnétique qui est mesuré.
La relative facilité, du fait de la détection cohérente, à mener des mesures interférométriques pour gagner en résolution spatiale.

Interférométrie

Cf. pages sur l'interférométrie.

Un spectromètre par transformée de Fourier ne décrit pas directement les raies d'un spectre, mais les fréquence spatiales qui transcrivent ces raies, dans un interférogramme. Il réalise physiquement une opération équivalente à une transformation de Fourier ; l'interférogramme donne ensuite la mesure du spectre par une transformation de Fourier inverse, calculée.

Un spectromètre par transformée de Fourier est un instrument basé sur un interféromètre de Michelson.

Spectre de Procyon dans le proche infrarouge, aux alentours de $1.07 {\,\mu\mathrm{m}}$ obtenu avec un FTS (Fourier Transform Spectrometer).

Crédit : ASM

Spectromètre par transformée de Fourier, dans sa cuve à vide, au foyer Cassegrain du télescope CFH.

Crédit : CFH

Montage optique

Un spectromètre par transformée de Fourier correspond à un interféromètre de Michelson réglé en anneau : les 2 miroirs sont, à une image via la séparatrice près, parallèles, séparés de la différence de marche.

Un décalage de d/2

du miroir M1 par rapport à la position équilibrée conduit à une différence de marche

entre les 2 faisceaux recombinés par la lame séparatrice (en vert).

Crédit : ASM

Les interférences sont localisées à l'infini. Les voir nécessite de regarder à l'infini, p.ex. au foyer d'une lentille.

Prérequis

Principe de l'interféromètre de Michelson ; transformation de Fourier.

Objectifs

Expliciter en quoi un interféromètre est dit de Fourier.

Interférences à 2 ondes

On note $\delta$ la différence de marche entre les 2 faisceaux monochromatiques interférant à l'infini, et $\varphi$ le déphasage. La relation entre $\varphi$ et $\delta$ s'exprime, à la longueur d'onde $\lambda$ :

${\varphi \over 2\pi}\ =\ {\delta \over \lambda}$

On notera par la suite, en fonction du nombre d'onde :

$\varphi \ =\ 2\pi\sigma \delta$

Issus de la même source, ces faisceaux sont cohérents, et leurs amplitudes vont s'additionner. En notation complexe :

$A = A_1 + A_2 = A_0\ \bigl( 1 + \exp i \varphi \bigr)$

Interférogramme

L'intensité diffractée, pour une différence de marche $\delta$ entre les 2 miroirs, sur l'axe, càd dans l'anneau central, constitue l'interférogramme. En lumière monochromatique de nombre d'onde $\sigma$ , le signal d'interférence s'écrit à la différence de marche $\delta$ :

$I(\delta) \ = \ \bigl| A \bigr|^2 \ = \ I_0 \ (1+\cos 2\pi \sigma \delta)$

Les unités couramment employées sont, pour le spectre, les nombres d'onde, comptés en ${\,\mathrm{cm}}^{-1}$ et la différence de marche, comptée en cm. La période spatiale de l'interférogramme est $1/\sigma$ , soit tout simplement la longueur d'onde $\lambda$ .

Interférences et transformée de Fourier

Pour une source non-monochromatique de densité spectrale $\mathcal{F} (\sigma)$ , dans la bande spectrale $[\sigma_1, \ \sigma_2]$ , l'interférogramme prend la valeur :

$I(\delta) \ = \ \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} { \mathcal{F}}(\sigma) \ \Bigl[ 1 +\cos 2\pi \sigma \delta\Bigr] \ {\mathrm{d}} \sigma$

Sans cohérence temporelle entre les différentes couleurs, il y a sommation des intensités spectrales $\mathcal{F} = {\mathrm{d}} I / {\mathrm{d}} \sigma$ . La partie modulée (càd qui dépend de la différence de marche $\delta$ ) de l'interférogramme, correspond à la partie réelle de la TF de la densité spectrale :

$I'(\delta) \ = \ \mathrm{Re}\ \left\{ \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \mathcal{F} (\sigma) \ \exp (i 2\pi \sigma \delta)\ {\mathrm{d}} \sigma\right\} \ \simeq\ \mathrm{Re}\ \left\{ \mathrm{TF} \bigl( \mathcal{F}(\sigma)\bigr) \right\}$

En fait, l'interférogramme réalise la TF de la distribution spectrale de la source. Il s'ensuit que la TF inverse de l'interférogramme permet de remonter au spectre :

$\mathcal{F} (\sigma)\ \simeq\ \mathrm{TF}^{-1} \bigl\{ I(\delta)\bigr\}$

Cette dernière étape est réalisée par calcul (et l'essor des spectromètres par transformée de Fourier a accompagné celui des ordinateurs).

Le principe instrumental

Un spectromètre par transformée de Fourier comprend un interféromètre à 2 ondes, de type interféromètre de Michelson.

Le FTS dans un monde où la vitesse de la lumière vaut quelques pixels par seconde. La lame semi-réfléchissante sépare les faisceaux. Celui réfléchi sur le miroir mobile est retardé, et lors de la recombinaison sur la lame semi-réfléchissante apparaît une différence de marche entre les 2 faisceaux.

Crédit : ASM

L'instrument

FTS du CFHT

L'appliquette ad-hoc décrit le FTS (Fourier Transform Spectrometer) du télescope CFH.

L'interféromètre est de type Mach-Zehnder, plus efficace que l'interféromètre de Michelson car il peut récupérer, sur 2 voies en opposition de phase, 2 interférogrammes : la totalité des photons émis est ainsi utilisée (aux réflexions et transmissions près), contrairement à l'interféromètre de Michelson qui renvoie la moitié des photons vers la source.

Spectre de Procyon dans le proche infrarouge, aux alentours de $1.07 {\,\mu\mathrm{m}}$ obtenu avec le FTS (Fourier Transform Spectrometer) du télescope CFH.

Crédit : ASM

Des motifs d'interférence se retrouvent à diverses différences de marche. A grande différence de marche, l'interférogramme est dominé par le bruit de photons.

Crédit : ASM

Filtre

Un filtre est nécessaire pour sélectionner une bande passante limitée du spectre étudié. L'interférogramme associé à cet exemple va comprendre des motifs liés au signal spectral dans le filtre.

Le contraste du signal chute rapidement dès lors que la différence de marche n'est plus nulle.

Crédit : ASM

Interférogramme proche de la différence de marche nulle

Au proche voisinage de la différence de marche nulle, les franges restent bien contrastées. Le contraste des franges baisse rapidement au fur et à mesure de l'éloignement de la différence de marche nulle.

Interférogramme complet

L'interférogramme complet comprend divers motifs, construits selon les interférences entre les raies sélectionnées par le filtre.

Zoom sur un motif de l'interférogramme.

Crédit : ASM

Zoom dans l'interférogramme

La visualisation d'un train de franges de l'interférogramme montre une belle portion de sinusoïde modulée par l'enveloppe du train de franges.

Objectifs

Décrire l'allure de l'interférogramme.

Le spectre théorique initial

Le spectre comprend les données en entrée :

L'intensité spectrale $\mathcal{F} (\sigma)$ .
L'unité spectrale employée est le nombre d'onde, $\sigma$ , exprimé en ${\,\mathrm{cm}}^{-1}$ .

L'avantage de travailler avec une telle unité spectrale est d'avoir des variables directement conjuguées entre le spectre et l'interférogramme :

$\sigma \ ( {\,\mathrm{cm}}^{-1}) \ \longleftrightarrow \ \delta\ ( {\,\mathrm{cm}})$

Ces unités employées, quoique hors SI, présentent l'avantage d'être inverses l'une de l'autre.

Interférogramme et TF

L'interférogramme calculé représente la quantité :

$I(\delta) \ = \ \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \mathcal{F} (\sigma) \ \cos 2\pi \sigma \delta \ {\mathrm{d}} \sigma$

où l'on reconnaît la partie réelle de la TF de la densité spectrale $\mathcal{F} (\sigma)$ .

L'interférogramme réalise physiquement la TF de la distribution spectrale de la source. La TF inverse de l'interférogramme, calculée, permet de remonter au spectre.

Etendue de faisceau

L'interféromètre étant réglé en anneaux, le principe instrumental ne nécessite pas l'introduction d'une fente d'entrée, contrairement à un spectromètre à réseau. L'étendue de faisceau n'est donc pas drastiquement limitée par une fente ; en pratique, elle est limitée par la nécessité de travailler dans un coeur de frange.

Ceci est convenablement dimensionné dans un exercice.

Le signal sur l'axe

L'animation ci-jointe montre comme évolue l'interférogramme en fonction de la différence de marche, pour une onde strictement monochromatique.

En ramenant optiquement les 2 miroirs sur l'axe, on peut représenter directement la différence de marche, et en déduire le signal oscillant pour une source monochromatique.

Crédit : ASM

Les anneaux

Les miroirs étant parallèles, les franges d'interférence présentent la symétrie de révolution autour de l'axe optique ; ce sont des anneaux. On remarque que, par stationnarité de la différence de marche $\delta\cos i$ , avec l'inclinaison, autour de l'inclinaison nulle, la tache centrale est relativement plus large que les autres anneaux.

Construction des anneaux d'interférence, pour des inclinaisons importantes sur l'axe.

Crédit : ASM

Interférogramme d'un doublet

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On illumine un interféromètre de Fourier avec une source ponctuelle présentant un doublet, aux nombres d'onde $\sigma_1$ et $\sigma_2$ voisins. Chacune des raies est supposée monochromatique, et leurs intensités égales.

Question 1)

Déterminer l'expression de l'interférogramme $I( \delta)$ . Mettre en évidence deux périodes caractéristiques de l'interférogramme.

Question 2)

Déterminer la période des battements et représenter l'allure de l'interférogramme, pour le doublet du sodium : $\lambda_1 = 589.0 {\,\mathrm{nm}}$ et $\lambda_2 = 589.6 {\,\mathrm{nm}}$ .

Influence de l'inclinaison

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Les 2 miroirs d'un interféromètre de type Michelson sont réglés parallèles (au rôle de la séparatrice près). On note $\delta$ la différence de marche à incidence nulle.

Question 1)

Montrer que la différence de marche pour un faisceau d'incidence devient $\delta \cos i$ . Faire un schéma.

[1 points]

Question 2)

A quelle condition la différence de marche varie-t-elle de moins d'une fraction $\mathcal{F}$ de longueur de longueur d'onde ?

[1 points]

Question 3)

Faire l'application numérique pour une ddm de 1 cm, et une fraction limitée à 10%, à 1 micron.

[1 points]

Le filtre sélectionne ici 2 raies (les raies modélisées du doublet du sodium). La variable spectrale est donnée en nombre d'onde ${\,\mathrm{cm}}^{-1}$ .

Crédit : ASM

Au fil de l'interférogramme

Un interférogramme présente une modulation, de période égale à la longueur d'onde moyenne sélectionnée par le filtre.

Interférogramme du spectre synthétique du sodium. Le domaine spectral étant large, le contraste décroît avec la longueur d'onde. Les oscillations ont pour période moyenne 589.3 nm.

Crédit : ASM

L'interférogramme présente à plus grande différence de marche des motifs liés à la nature du signal. A très grande différence de marche, il perd tout contraste.

Interférogramme du spectre synthétique du sodium. Les motifs sont dus au doublet du sodium. Leur effacement à grande différence de marche provient de la non-cohérence du signal spectral : les raies du sodium présentent une certaine largeur, càd une longueur de cohérence limitée. A l'échelle de cet interférogramme, la modulation présente lorsque l'on zoome sur une portion de l'interférogramme n'est plus visible ; on visualise ici essentiellement l'enveloppe du signal, qui représente les variations du contraste.

Crédit : ASM

Interférogramme du spectre synthétique du sodium. Les franges perdent leur contraste à grande différence de marche.

Crédit : ASM

Objectifs

Introduire la notion de contraste, qui rend compte d'une modulation amoindrie dans l'interférogramme d'une raie réelle, qui n'est pas strictement monochromatique.

Le contraste représente globalement l'allure de l'interférogramme, avec des trains de franges plus ou moins contrastés (chaque frange n'étant localement qu'essentiellement un bout de sinusoïde de période égale à la longueur d'onde moyenne sélectionnée par le filtre d'entrée.

Monochromaticité

Un laser présente une bonne réalisation pratique d'une raie monochromatique. Sa longueur de cohérence peut être tellement grande que la réalisation de son interférogramme conduit effectivement à un signal également modulé à toute différence de marche :

$I(\delta) \ = \ I_0 \ (1+\cos 2\pi \sigma \delta)$

Mais une source réelle ne présente pas un telle cohérence (autrement dit, elle est moins monochromatique), et cela modifie les propriétés de l'interférogramme, qui apparaît moins contrasté.

Définition du contraste

Définition

Le contraste $\mathcal{C}$ des franges est le rapport entre l'amplitude de modulation de la frange à l'énergie totale I_0 collectée dans le filtre.

Le contraste se mesure localement dans l'interférogramme par :

${ \mathcal{C}} \ = \ {I _{\mathrm{max}} - I _{\mathrm{min}}\over I _{\mathrm{max}} + I _{\mathrm{min}}}$

Dans l'interférogramme d'une source avec une seule raie plus ou moins large, il intervient comme :

$I (\delta) \ = \ I_0 \ \left[ 1 + { \mathcal{C}} (\delta) \cos(2\pi\sigma\delta)\right]$

Visibilité des franges d'interférence

La visibilité des franges, ou leur contraste, dépend de la largeur des raies du spectre. Une approche simple est proposée en exercice.

Des animations montrent comment la visibilité évolue avec la largeur des raies, mais aussi avec la largeur du filtre.

Visibilité

La visibilité des franges dépend de la largeur spectrale des raies étudiées. Plus les raies sont larges, moins les franges sont visibles à grande différence de marche.

Simulation d'une raie en émission, et interférogramme associé. Lorsque la raie s'élargit, les motifs interférométriques à différence de marche élevée disparaissent.

Crédit : ASM

Visibilité des franges

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

On alimente un spectromètre par TF par un spectre avec une seule raie, non monochromatique, de largeur $\Delta\sigma$ . On note $I_\sigma$ l'intensité spectrale, et $I_0 = \int _{\mathrm{raie}} I_\sigma {\mathrm{d}} \sigma$ l'intensité dans la raie. Pour simplifier les calculs, on ne s'intéresse pas à un profil réaliste, mais à un profil de raie en émission idéalisé par :

$\begin{eqnarray*} I_\sigma (\sigma) =& \displaystyle{I_0\over \Delta \sigma} \mathrm{ \ si\ } |\sigma-\sigma_0| \le \Delta\sigma/2\\ I_\sigma (\sigma) =& 0 \mathrm{ \ si\ } |\sigma-\sigma_0| > \Delta\sigma/2 \end{eqnarray*}$

Question 1)

Justifier le fait que l'intensité totale $I(\delta)$ enregistrée à la différence de marche $\delta$ est la somme de toutes les intensités spectrales reçues.

[3 points]

Question 2)

Mener le calcul de l'interférogramme.

[3 points]

Question 3)

Montrer la relation :

$I( \delta) \ = \ I_0\ \left(1 + { \mathcal{V}} \cos 2\pi\sigma_0 \delta \right)$

et exprimer la fonction de visibilité des franges $\mathcal{V}$ en fonction de $\delta$ et $\Delta\sigma$ .

[1 points]

Question 4)

Représenter schématiquement la fonction ${ \mathcal{V}} ( \delta )$ . Déterminer la première valeur $\delta_{\Delta\sigma}$ qui annule la fonction de visibilité.

[2 points]

Objectifs

Décortiquer le fonctionnement d'un spectromètre par transformée de Fourier, en s'appuyant sur les propriétés d'une TF en lien avec les caractéristiques souhaitées du spectre.

Simulations

Une observation par spectrométrie de Fourier nécessite le choix de paramètres de Fourier efficaces pour l'enregistrement rapide de l'interférogramme. La comparaison entre le spectre initial et le spectre calculé à partir d'un interférogramme simulé permet de jauger la pertinence des choix effectués.

Principe... et propriétés de la TF discrète.

L'interférogramme, obtenu par pas de différences de marche équidistants de , admet une fréquence de coupure $\sigma _{\mathrm{c}}=1/2d$ . La valeur de cette fréquence, donc la valeur de , ne peuvent pas être prises au hasard.

Le spectre étant recalculé à partir de l'interférogramme par transformée de Fourier rapide (fft), la validité du principe suppose que les bornes de l'intervalle spectral libre, multiples entiers consécutifs de $\sigma _{\mathrm{c}}$ , encadrent entièrement le domaine spectral défini par le filtre d'entrée.

L'intervalle spectral libre contient entièrement le domaine spectral : il est suffisamment large, et les 2 bornes du signal sont comprises dans le même segment multiple de l'intervalle spectral.

Crédit : ASM

L'intervalle spectral libre ne contient pas entièrement le domaine spectral. Le principe de la spectrométrie par TF est alors inopérant.

Crédit : ASM

Avec 163 points, l'interférogramme est convenablement échantillonné, et l'intervalle spectral libre inclut toutes les données. Ce n'est pas le cas avec 162 ou 164 points : le nombre de points inadapté conduit à un mauvais repliement du spectre.

Crédit : ASM

Intervalle spectral libre

Quand bien même la largeur de l'intervalle spectral libre est suffisante, mais avec un spectre distribué sur 2 intervalles, le résultat ne sera pas correct, par suite du repliement des fréquences lors de la fft. Le nombre de points de l'interférogramme doit être optimisé. S'il diffère légèrement de la valeur optimale, le mauvais échantillonnage du signal conduit à retrouver un spectre à l'aspect tordu, par suite du repliement indu de fréquences mal séparées.

Le spectre initial est mieux reproduit lorsque l'interférogramme est obtenu avec une grande différence de marche maximale. Sur cet exemple, la résolution du spectre initial est reproduite avec un balayage de l'interférogramme jusqu'à 4 cm (R = 68000), alors que 0.1 ou 1.0 cm restent insuffisants (respectivement R = 1700 et 17000).

Crédit : ASM

Résolution spectrale

La résolution spectrale varie en fonction de la différence de marche maximale explorée. Elle s'exprime simplement :

$\delta\sigma = {1\over D}$

Exemple : pour une raie à $20\,000 {\,\mathrm{cm}}^{-1}$ et $D = 2 {\,\mathrm{cm}}$ , $\delta\sigma = 0.5 {\,\mathrm{cm}}^{-1}$ et le pouvoir de résolution vaut donc $R = \sigma / \delta\sigma = 40\,000$ .

Suréchantillonner ne sert à rien. Il n'y a pas plus d'information dans l'interférogramme à 1630 points que dans celui à 163.

Crédit : ASM

Echantillonnage

Rien ne sert de suréchantillonner l'interférogramme dès lors que le nombre de points a été optimisé au sens des propriétés de la transformée de Fourier rapide.

Objectifs

Montrer comment les paramètres d'un interférogramme doivent être choisis pour une optimisation de son acquisition respectant la résolution spectrale désirée.

Les paramètres du spectre

Le but de l'interférométrie consiste à obtenir une information spectrale avec les éléments désirés. Les paramètre de l'interférogramme doivent donc obéir à cette contrainte.

Le spectre est essentiellement caractérisé par :

L'intervalle spectral $\Delta\sigma$ : il correspond au filtre d'entrée, à choisir en pratique parmi un lot de filtres proposés.
La résolution spectrale $\delta\sigma = 1/D$ : à ajuster par l'une des propriétés de l'interférogramme.

Les paramètres de l'interférogramme

Deux paramètres construisent l'interférogramme :

La différence de marche maximale
Le nombre de points entre la différence de marche nulle et la différence de marche maximale , équidistants de .

Le lien entre les paramètres du spectre et de l'interférogramme dérivent des relations suivantes :

La résolution spectrale est liée à la différence de marche maximale $\delta\sigma = 1/D$
La largeur de l'intervalle spectral libre est liée au pas de l'interférogramme $\Delta\sigma = 1/2d$

Critère de choix des paramètres de l'interférogramme

Le principe même de la spectrométrie par transformée de Fourier nécessite de sélectionner une région spectrale pas trop large, par un filtre adéquat, autour des raies à étudier. Ceci peut se comprendre de diverses manières : d'un point de vue expérimental, un filtre large va conduire à une teinte plate très rapidement, de laquelle plus aucune information ne sera extractible ; du point de vue de Fourier, il s'agit de pouvoir travailler dans une région limitée du spectre afin qu'un échantillonnage limité, conduisant à un intervalle spectral libre limité, suffise à recouvrer toute l'information spectrale.

Intervalle spectral libre

On note $\sigma_{1,2}$ respectivement les bornes inférieure et supérieure de la bande passante utile. La largeur de la bande passante $\Delta\sigma_{1-2} = \sigma_2 - \sigma_1$ détermine le domaine des nombres d'onde dans lequel il ne doit pas y avoir confusion spectrale.

En d'autres termes, l'échantillonnage doit assurer une fréquence de coupure spatiale $\sigma _{\mathrm{c}} = 1/2d$ telle que la largeur spectrale $[\sigma_1, \ \sigma_2]$ du filtre soit comprise dans l'intervalle spectral libre $[n \sigma _{\mathrm{c}}, \ (n+1) \sigma _{\mathrm{c}}]$ :

$n\ \sigma _{\mathrm{c}} \ \le \ \sigma_1 \ \mathrm{ et } \ \sigma_2 \ \le \ (n+1)\ \sigma _{\mathrm{c}}$

avec un entier naturel.

Choix en pratique des paramètres de l'interférogramme

Il apparaît immédiatement la condition : $\sigma _{\mathrm{c}} \ \ge \ \sigma_2 - \sigma_1$ . Si l'on suppose la différence de marche maximale fixée, et donc la résolution fixée, on peut préciser le choix du nombre de points optimal , résultant des 2 conditions ci-dessus.

En omettant tout d'abord que et doivent être entiers, leurs solutions réelles doivent vérifier :

$n_\star \ \simeq\ {\sigma_1\over \sigma_2-\sigma_1}\ =\ {\sigma_1\over \sigma _{\mathrm{c}}} \ \mathrm{ et } \ \ N_\star \ \simeq \ 2 (\sigma_2 - \sigma_1) D \ = \ 2 \sigma _{\mathrm{c}} D$

Comme ces 2 solutions ne sont pas nécessairement entières, il s'agit de déterminer les entiers et assurant de façon optimale :

$N \ \ge \ N_\star\ \mathrm{ et } \ n\ \le \ n_\star \ \le\ n+1$

C'est à dire :

N>2*sigma_c*D et simultanément $\ n\ \le \ {\sigma_1\over \sigma _{\mathrm{c}}} < {\sigma_2\over \sigma _{\mathrm{c}}}\ \le\ n+1$

Les 2 inégalités concernant les entiers successifs et n+1 assurent la validité de l'intervalle spectral $\sigma _{\mathrm{c}}$ défini par .

Paramètres
paramètres	symbole	unité
borne min.	$\sigma_1$	${\,\mathrm{cm}}^{-1}$
borne max.	$\sigma_2$	${\,\mathrm{cm}}^{-1}$
largeur du filtre	$\Delta\sigma$	${\,\mathrm{cm}}^{-1}$	$\Delta\sigma =\sigma_2- \sigma_1$
ddm maximale		cm
pas en ddm		cm
nombre de ddm
résolution	$\delta\sigma$	${\,\mathrm{cm}}^{-1}$
largeur interv. spectr. libre	$\sigma _{\mathrm{c}}$	${\,\mathrm{cm}}^{-1}$

Simulation

Reproduire le spectre nécessite le choix d'une résolution spectrale suffisante, ainsi que le choix en accord d'un nombre de points suffisant.

Pour la simulation il s'agit :

De fixer les bornes de l'intervalle spectral (paramètres $\sigma_{1,2}$ = bornes min et max du filtre)
De choisir d'une résolution spectrale (paramètre = ddm maximale)
De choisir un nombre de points d'échantillonnage (paramètre = nbre de points dans l'interférogramme)

La simulation propose la valeur de adaptée à l'intervalle spectral $\sigma_2-\sigma_1$ et à la résolution proposée.

Vérifier alors :

Comment la résolution varie avec .
Qu'il est dangereux de choisir voisin mais différent de la valeur proposée.
Qu'il ne sert à rien de prendre très grand.
Que travailler avec un grand intervalle spectral nécessite des valeurs de élevées.
Que viser une résolution spectrale élevée nécessite des valeurs de élevées.

Haute résolution spectrale

Sur une source brillante, la spectrométrie par transformée de Fourier permet d'atteindre des résolutions inégalées. Ceci peut s'avérer nécessaire pour des objectifs scientifiques tels la reconnaissance d'isotopes, ou l'identification complète d'un spectre de roto-vibration

Spectre de l'eau dans l'atmosphère martienne, enregistré avec le spectromètre FTS du CFHT. L'identification de la molécule $\mathrm{H}_2{}^{18}\mathrm{O}$ permet la mesure de l'abondance de l'isotope ${}^{18}\mathrm{O}$ de l'oxygène.

Crédit : CFHT

Spectre d'une bande du dioxyde de carbone de l'atmosphère martienne, enregistré avec le spectromètre FTS du CFHT.

Crédit : CFHT

Spectro imagerie

L'étendue de faisceau admissible par un interféromètre de Fourier permet de réaliser un spectre sur un champ étendu. L'avantage de ce principe est de pouvoir analyser toute une région spatiale dans une raie donnée, ou d'observer un point du champ à diverses longueurs d'onde, en ayant un grand choix possible de résolutions spectrales. Ce genre d'observation a été réalisé avec le FTS du télescope CFH, sur différents objets : les poles de Jupiter montrant des aurores, des enveloppes d'hydrogène circumstellaires, des environnements stellaires.

Aurore polaire sur Jupiter, observée dans une raie de l'hydrogène moléculaire.

Crédit : CFHT

Observations de l'environnement de la nébuleuse planétaire NGC 7027, dans la raie 1-0 S(1) de l'hydrogène moléculaire. La spectroimagerie permet ici de visualiser des régions d'isovitesse Doppler autour de NGC 7027. Les trous sont la signature de jets à haute vitesse.

Crédit : CFHT

YSO (jeunes objets stellaires) dans un nuage résiduel d'hydrogène moléculaire entourant l'étoile massive S-106 IR (plus de 15 fois la masse du soleil).

Crédit : CFHT