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Quand bien même les lois physiques décrivant l'interaction gravitationnelle entre 2 objets sont connues depuis 400 ans, elles participent aux découvertes astrophysiques les plus récentes, telle la mesure de la masse du trou noir qui prospère au centre de notre Galaxie. Ce sous-chapitre revisite les lois de Kepler, de Newton, avec également quelques incursions, pas nécessairement chronologiques, auprès de leurs collègues précurseurs.

Reconstitution de l'orbite de l'objet S2 autour du centre galactique... où règne un objet de quelques millions de masse solaire.

Crédit : ESO

Les 3 lois énoncées par Johannes Kepler il y a 4 siècles ont apporté une alternative au paradigme alors en vigueur, les épicycles de Ptolémée, pour décrire le mouvement des planètes.

Elles ont substitué à une version idéalisée du monde des lois physiques basées sur une idée fertile, l'héliocentrisme, développée par Nicolas Copernic, et un concept novateur, la primauté de l'observation (Tycho Brahe).

Un rappel du formalisme mathématique et physique des trajectoires rencontrées dans le problème à 2-corps est donné en fin de sous-chapitre.

Dans le système de Copernic, le Soleil occupe la place centrale précédemment dévolue à la Terre.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Avant Copernic : le système de Ptolémée

Ptolémée (100-170) au deuxième siècle après J.-C., mettait la Terre au centre du système solaire (et donc au centre de l'Univers, à cette époque), et reproduisait le mouvement des planètes par une succession de mouvements circulaires emboîtés. Il contribua à faire admettre pendant plus de quatorze siècles l'idée que la Terre est immobile au centre de l'Univers.

La Terre au centre. Une évidence après tout...

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Les travaux astronomiques de Ptolémée sont regroupés dans un ouvrage majeur, la grande syntaxe mathématique, plus connu sous le nom arabe de l'Almageste. L'Almageste reprend dans ses grandes lignes la vision aristotélicienne du monde physique, avec les mêmes dogmes et principes : dichotomie Terre/Univers, immobilité de la Terre, etc.

Ptolémée rejeta le modèle des sphères emboîtées et perfectionna grandement les modèles grecs en introduisant la notion de point équant, un point fictif symétrique de la Terre par rapport au centre excentrique de l'orbite d'une planète. Le système résultant est extrêmement complexe, mais d'une précision mathématique remarquable (le modèle de Ptolémée permet ainsi de prédire des éclipses de Soleil). La perfection de ce modèle fera qu'il ne sera globalement pas remis en cause avant le XVIème siècle.

Le système de Copernic

Copernic (1473-1543), frappé par la complexité du système de Ptolémée, va bâtir une nouvelle représentation du monde, dans laquelle le Soleil est fixe au centre du système solaire. Cette révolution de pensée ne s'imposera qu'après les observations de Galilée.

Dans le système de Copernic, le Soleil remplace la Terre comme centre du monde.

Le Soleil au centre du monde, à la place de la Terre.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Nicolas Copernic a publié son ouvrage De Revolutionibus orbium caelestium l'année de sa mort. Tous les mouvements planétaires sont centrés sur le Soleil, et la Terre n'est ni immobile, ni au centre du monde.

Elle est en effet animée de 2 mouvements : l'un sur elle-même en 24 h (qui remplace le mouvement de la sphère des fixes des Grecs anciens) et l'autre autour du Soleil en un an, faisant de la Terre une planète comme les autres.

Contrairement à ce que l'on croit parfois, Copernic ne va pas démontrer l'héliocentrisme, car il faudra attendre plus de 150 ans pour avoir une preuve du mouvement de la Terre. L'argument de Copernic est que son modèle est plus simple, plus logique et plus "harmonieux" que celui de Ptolémée (même si dans le détail le fonctionnement mathématique du système copernicien est assez complexe). Le De Revolutionibus, malgré son côté fondamentalement révolutionnaire, fut reçu avec relativement d'indifférence par les savants de l'époque. Les travaux de Copernic connurent dans un premier temps la célébrité grâce aux éphémérides des planètes qui en furent déduites.

Repère chronologiques

Divers éléments d'histoire sont proposés au fil des pages, tel que le présente le tableau suivant.

Ptolémée : géocentrisme et combinaisons de mouvements circulaires
Copernic : un pas vers l'héliocentrisme
Tycho Brahe : des observations de qualité inédite
Kepler : des lois performantes
Galilée : le principe fondamental de la dynamique
Newton : la gravitation universelle

Un grand observateur

Tycho Brahe à Uraniborg

Tycho Brahe observant dans son observatoire d'Uraniborg. Pas d'instrument optique, mais des instruments de visée précise, tel le quart de cercle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

L'observatoire d'Uraniborg

L'observatoire d'Uraniborg.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Tycho Brahe a introduit une composante essentielle dans l'histoire de l'astronomie : des observations de qualité hors pair, menées pourtant sans l'aide d'aucun instrument optique.

Dans sa démarche, Tycho Brahe fut grandement aidé par le roi du Danemark, qui subventionna largement l'observatoire d'Uraniborg.

La vie de Kepler

Jean Kepler est né en Allemagne en 1571. Elève brillant, il devient professeur de mathématiques en 1594 ; il a pour maître en astronomie l'astronome Michel Maestlin, qui l'initie au système de Copernic.

En dessinant une figure au tableau noir en juillet 1595, Kepler eut la révélation d'une idée à laquelle il attacha une importance considérable : pourquoi le système solaire comporte-t-il six planètes, et quel lien existe entre les dimensions de leurs orbes ? Euclide ayant montré qu'il existait cinq polyèdres réguliers, chacun inscriptible dans une sphère et circonscriptible à une autre sphère de même centre, les cinq intervalles qui existent entre les six planètes ne peuvent pas, aux yeux de Kepler, être le fruit du hasard : le Créateur a agi en géomètre et l'homme est en mesure de découvrir le plan et la perfection du monde créé.

Kepler publia ses théories en 1596, ce qui lui valu une certaine notoriété, notamment celle d'être appelé auprès du plus grand astronome-observateur de l'époque, Tycho Brahe. Lorsque Kepler arrive à Prague en février 1600, il se voit confier par Tycho Brahe l'étude de l'orbite de Mars. Cette planète présentait depuis l'Antiquité des anomalies dans son mouvement, alors impossibles à expliquer.

Pour Tycho Brahe, les orbites des planètes du système solaire se situent au niveau des sphères circonscrites dans les solides platoniciens (polyèdres convexes réguliers, dont les faces sont des polygones convexes réguliers : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre réguliers).

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La succession de sphères et de solides emboîtés a permis à Kepler l'élaboration d'une cosmogonie originale... mais moins performante que ses 3 futures lois !

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La primauté aux données observationnelles

A partir des observations accumulées par Tycho Brahe, Kepler se rend compte qu'il faut rejeter la théorie des mouvements circulaires uniformes. Pour résoudre le problème de l'orbite de Mars, Kepler choisit quatre positions de la planète et, après de laborieux calculs entachés d'erreurs qui, par chance, se compensent, parvient à obtenir une orbite circulaire où le Soleil occupe le point équant. Ce point équant, inventé au IIe siècle de notre ère par l'astronome Ptolémée, est un point symétrique du Soleil par rapport au centre de l'orbite. Pourtant, si d'autres positions de Mars s'insèrent parfaitement dans la nouvelle orbite ainsi définie, deux observations s'écartent de près de 8' de la position théorique : cette différence est supérieure à la précision des mesures. Au lieu de les rejeter, Kepler renonce à son hypothèse : l'orbite ne peut pas être un cercle.

Avant de se replonger dans la quête du mouvement de Mars, Kepler décide de revoir dans le détail le mouvement de la Terre autour du Soleil. En effet, pour passer d'une position géocentrique à une position héliocentrique de Mars, il est nécessaire de traiter correctement le mouvement orbital de la Terre : si celui-ci est entaché d'erreurs, elles se répercuteront sur le mouvement de Mars.

Le rôle central du Soleil

La vision géocentrique est nécessaire - c'est ce que l'on voit - mais pas suffisante : elle ne permet pas une approche totalement raisonnée. Mettre le soleil au centre, comme l'a fait Copernic, permet non seulement de simplifier la forme de l'orbite, mais de plus a conduit Kepler à mesurer précisément la trajectoire de Mars.

En effet, si l'on observe Mars à des dates différentes, mais espacées d'un multiple de la période de révolution sidérale de Mars, alors la position de Mars par rapport au Soleil et aux étoiles est fixe. Il n'en est rien pour la Terre, qui en une durée non reliée à sa propre période de révolution a parcouru une portion de son orbite.

Cette situation permet d'observer Mars dans la même position par rapport au Soleil et aux étoiles, mais sous un angle différent. On peut alors mesurer la distance à Mars par triangulation.

Mesure de l'orbite de Mars

Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.

Crédit : ASM

La quête du mouvement de Mars, où comment rendre compte d'observations

Kepler imagine une méthode pour obtenir l'excentricité de l'orbite de Mars à partir de trois observations de Mars faites à 687 jours d'intervalle (période de révolution sidérale de Mars). Il sait en outre que plus les planètes sont proches du Soleil, plus elles se déplacent vite, tandis que plus elles s'en éloignent, plus leur mouvement ralentit. Kepler en déduit que l'action du Soleil doit varier en fonction de la distance de la planète au Soleil ; il la suppose inversement proportionnelle à la distance. Première erreur.

Kepler cherche ensuite à calculer la durée que met la Terre pour passer d'une position à une autre. Il décompose pour cela une portion de l'orbite en petits segments et s'aperçoit que la durée passée par la Terre sur de petits arcs est approximativement proportionnelle à la distance de ces arcs au Soleil. Il assimile donc une surface à une somme de lignes. Deuxième erreur.

Mais il transforme ces deux déductions en une loi correcte, la loi des aires : le rayon vecteur qui joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des intervalles de temps égaux. Historiquement, Kepler découvrit donc en premier la loi que nous appelons la deuxième loi.

L'orbite martienne

L'observation de Mars à quatre dates différentes, mais correspondant toutes à une même position sidérale de la planète. Mars occupe alors la même position par rapport aux étoiles, les dates étant séparées par des intervalles de temps multiples de la période sidérale de révolution. Ceci a permis à Kepler la reconstruction de l'orbite de Mars.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Kepler reprend alors son étude de l'orbite de Mars. En calculant avec son hypothèse des aires un grand nombre de positions, il obtient un ovale, qu'il assimile à une ellipse. Il constate alors que les positions de Mars sont correctement représentées. La trajectoire elliptique, appelée aujourd'hui la première loi, est découverte : les planètes décrivent autour du Soleil des ellipses dont ce dernier occupe l'un des foyers. Kepler publie ses découvertes en 1609 dans un ouvrage difficile, l'Astronomia nova ("l'Astronomie nouvelle").

L'abandon d'une théorie inadaptée

Si la chance a favorisé Kepler dans ses recherches (forte excentricité de l'orbite de Mars, erreurs de principe qui se compensent), on doit reconnaître en lui un travailleur acharné et inspiré. On lui doit surtout l'abandon du mouvement circulaire uniforme -- principe remontant à l'Antiquité auquel Tycho Brahe accordait encore une valeur absolue -- et un souci constant de vérifier que les hypothèses s'accordent avec les observations (ce qui n'était pas le cas de Copernic), en quoi il mêle intimement faits et théories, deux composantes fondamentales de la démarche scientifique.

Toujours attaché à trouver des harmonies dans les orbites planétaires, Kepler essaye d'associer les intervalles musicaux aux diamètres des orbites planétaires. Cette idée qui nous semble aujourd'hui un peu étrange le conduit à la troisième loi en 1618 : les cubes des demi-grands axes sont proportionnels aux carrés des périodes de révolution. La troisième loi de Kepler contribuera à stimuler les découvertes ultérieures de Newton sur la gravitation universelle et le mouvement des deux corps.

Reconstruire l'orbite de Mars

Kepler a reconstruit l'orbite de Mars en analysant son orbite sous une double approche : le mouvement de Mars autour du Soleil est à considérer dans un référentiel héliocentrique ; l'observation de ce mouvement est réalisée depuis la Terre, et apporte un point de vue différent à chaque période sidérale de Mars.

L'appliquette ci-jointe explicite ce point de vue :

Reconstruire l'orbite de Mars

La 1ère loi de Kepler

La première loi de Kepler énonce que la trajectoire des planètes est plane. C'est ce que dévoile la trace d'une orbite planétaire, lors d'une révolution sidérale.

Trace de l'orbite de Mars au cours d'une année sidérale (points rouge). L'allure de la courbe correspond à l'un des éléments introduits par la 1ère loi de Kepler : l'orbite des planètes est plane. La trace bleue représente ce que l'on observerait si les plans orbitaux de la Terre et de Mars coïncidaient, ce qui n'est pas exactement le cas.

Crédit : ASM

Prérequis

Référentiels - Notion sur les coniques

Enoncé des lois de Kepler

Les 3 lois de Kepler expriment les conclusions que Kepler a tirées des observations de Tycho Brahe. Leur caractère empirique -- elles décrivent le mouvement d'une planète autour du soleil, mais ne l'expliquent pas -- n'obère en rien leur portée. Elles ont permis la formalisation par Newton de la loi de gravitation universelle.

Définition

1ère loi : Les planètes parcourent des orbites planes, elliptiques. Le Soleil occupe l'un des foyers de l'ellipse.
2ème loi : En des durées égales, une planète balaye des aires égales.
3ème loi : Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour toutes les planètes du système solaire.

Généralisation des lois de Kepler

Ces lois, obtenues dans le cas particulier du système solaire, se généralisent à tout système analogue, correspondant à un potentiel central. L'objet considéré, dans ce potentiel, ayant une masse très inférieure à la masse du potentiel central, et n'étant pas perturbé par d'autres satellites de , présente alors les propriétés suivantes :

Sa trajectoire autour de est plane, elliptique, avec à l'un des foyers.
La loi des aires fournit l'évolution horaire du mouvement
Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour tous les satellites de .

La 2ème loi de Kepler

La 2ème loi de Kepler, ou loi des aires, illustrée dans plusieurs cas.

Mars : orbite d'excentricité
Orbite de transfert géostationnaire correspondant à un périgée à basse altitude et à une apogée à l'altitude d'une orbite géostationnaire ;
La comète de Halley : orbite d'excentricité

Les différentes "aires balayées" par le rayon vecteur en des durées égales sont égales. Le secteur angulaire correspondant est donc bien plus grand au voisinage du périhélie que de l'aphélie, et cet effet est d'autant plus marqué que l'excentricité de la trajectoire est proche de 1.

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires

Illustration de la 2ème loi de Kepler : cas de Mars. L'excentricité de 0.09 suffit pour s'écarter sensiblement d'une rotation à vitesse angulaire uniforme.

Crédit : ASM

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires

Illustration de la 2ème loi de Kepler : orbite de transfert (entre une orbite basse, accessible avec un lanceur tel Ariane, et une orbite géostationnaire).

Crédit : ASM

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires

Illustration de la 2ème loi de Kepler : comète de Halley. La comète passe bien plus de temps au voisinage de l'aphélie qu'à celui du périhélie.

Crédit : ASM

La 2ème loi de Kepler permet la détermination de l'équation horaire du mouvement le long de la trajectoire de l'objet.

Les positions des objets (comète de Halley, satellite sur orbite de transfert géostationnaire) sont ici représentées à des dates équiréparties le long d'une période orbitale. Le mouvement est d'autant moins uniforme que l'excentricité de l'orbite est proche de 1 ; la vitesse orbitale est plus rapide au périastre qu'à l'apoastre.

La 2e loi de Kepler, loi horaire

L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périgée, lent à l'apogée.

Crédit : ASM

La 2e loi de Kepler, loi horaire

L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périhélie, lent à l'aphélie.

Crédit : ASM

La 3e loi de Kepler

Cette simulation suppose les 4 planètes internes du système solaire en phase à un instant donné. Cette hypothèse est irréaliste, mais elle permet de montrer les avancées angulaires de Vénus, de la Terre et de Mars, Mercure ayant accompli une révolution entière.

Crédit : ASM

La 3ème loi de Kepler

La 3ème loi de Kepler entraîne une période d'autant plus rapide que la planète est proche de l'étoile. L'animation ci-jointe, supposant de manière uniquement illustrative qu'à une date donnée les planètes telluriques pourraient être en phase, montre leur avancée respective au bout d'une durée égale à la période de révolution de Mercure.

La loi de Kepler dans le système solaire

Vérifier à l'aide de l'appliquette la 3ème loi de Kepler pour les planètes du système solaire.

Sélectionner la première case de la dernière colonne.
Afficher : =c1^2/b1^3
Pourquoi, dans le système d'unité proposé (distance en UA, période en années), le résultat est-il quasiment égal à 1 ?

On remarque que la validité est moins bonne pour les planètes au-delà de Jupiter, qui ressentent en fait un champ de force moyen de masse totale la masse du Soleil complétée par celle de Jupiter.

QCM

1) La 3ème loi de Kepler s'énonce T^2/a^3 = ...

${\mathcal{G}} M / 4\pi^2$
$\sqrt{ {\mathcal{G}} M / 4\pi^2}$
$4\pi^2 / {\mathcal{G}} M$
$\sqrt{4\pi^2 / {\mathcal{G}} M}$

2) La 3ème loi de Kepler énonce $T^2/a^3 = \mathrm{cste}$ . Et cette constante dépend en fait
de la masse du Soleil
de la masse de la planète
est universelle

Les lois de Kepler par J. Kepler

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Cet exercice vous propose une lecture commentée de l'histoire de l'obtention des lois de Kepler. Il se réfère au texte présentant les aspects historiques de l'oeuvre de J. Kepler.

Question 1)

Pourquoi 6 planètes seulement sont-elles citées ? Les identifier.

Question 2)

Que signifie "traduire correctement le mouvement orbital de la Terre" à l'époque de Kepler?

Question 3)

Que représentent 8' (8 minutes d'angle) dans le ciel ? Traduire cette distance angulaire en : fraction du diamètre lunaire, diamètre martien maximal, longueur rapportée sur l'orbite martienne, durée de parcours sur l'orbite martienne. On donne :

diamètre martien : 6800 km
demi-grand axe de l'orbite martienne : 1.5 UA
révolution sidérale : 687 j

Le cadre des lois de Kepler

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

Préciser les conditions dans lesquelles les lois de Kepler s'appliquent.

[1 points]

Question 2)

Que représente et signifie le terme "constante", dans l'équation

${T^{2}\over a^{3}} = \mathrm{constante}$

qui traduit la 3ème loi de Kepler.

[1 points]

Question 3)

A quelle(s) condition(s) pourrait-on appliquer les lois de Kepler à une étoile au sein d'un amas stellaire ?

[1 points]

Quel point de vue adopter ?

Comme le montrent les observations de Kepler, le mouvement de Mars, vu de la Terre et décrit dans un référentiel géocentrique, n'est pas des plus simples à comprendre. Ce qui ne va pas ? Le référentiel !

Mouvement de Mars vu de la Terre

L'orbite de Mars vue dans le référentiel géocentrique. Schémas de Kepler de 1580 à 1596. La Terre est au centre, le soleil orbite sur le cercle en pointillés. Au cours de l'année martienne, la distance Terre-Mars peut varier dans des proportions de 1 à 6.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Mouvement de Mars vu de la Terre et du Soleil

L'orbite de Mars au voisinage de l'opposition planétaire, vue de la Terre ou dans le référentiel héliocentrique

Crédit : ASM

Vue de la Terre, l'orbite apparente de Mars dessine une boucle. Cette vision géocentrique complique la perception du phénomène. Vue du Soleil, à la conjonction planétaire, la Terre se contente de doubler Mars.

Problème : comment avoir, lorsque l'on est observateur terrestre, autre chose qu'une vision géocentrique ?

Point de vue héliocentrique

Les astronomes Copernic et Kepler ont résolu ce problème, en conceptualisant ces mouvements, Copernic, en mettant le soleil au centre du système solaire, Kepler en décrivant les mouvements planétaires par ses 3 lois.

Objectifs

La page "Des lois de Newton aux lois de Kepler" montre comment l'on dérive aujourd'hui les lois de Kepler des lois de la gravitation et du formalisme de mécanique classique. Mais historiquement, les 3 lois de Kepler sont antérieures au formalisme newtonien, comme le plus souvent le fait observationnel précède la formalisation théorique. Il est important de voir comment les lois de Kepler portent en elles les germes de la loi de gravitation.

Ce qu'induit la première loi

La 1ère loi de Kepler donne un rôle particulier au soleil, qui peut être doublement interprété.

Du point de vue dynamique, le rôle central du soleil est clairement énoncé. Si aujourd'hui la prépondérance du soleil au sein du système solaire est un fait avéré et reconnu, il n'en était rien au XVIIe siècle. Le Soleil est centre de force, et ce d'autant plus que toute masse dans le système solaire est négligeable devant la masse du soleil.

En terme de référentiel d'étude, la 1ère loi introduit clairement le référentiel héliocentrique, qui est le "bon" référentiel d'étude, car bien mieux galiléen que le référentiel géocentrique. La première loi identifie donc clairement un centre de force supposé immobile, ainsi que le bon référentiel associé.

Définition des coordonnées et vecteurs unitaires polaires

La base polaire plane est bien adaptée au problème képlérien : la 1ère loi de Kepler énonce en effet que la trajectoire s'inscrit dans un plan, et la 2ème loi que la force est centrale.

Crédit : ASM

Ce qu'induit la deuxième loi

La 2ème loi de Kepler énonce la loi des aires, càd la conservation du moment cinétique du système. Ceci est spécifique des forces centrales. Des 1ère et 2ème lois ressort donc l'idée que le soleil est centre de force. Cette force peut s'écrire $\mathbf{F} = \alpha\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ , le vecteur $\mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ étant un vecteur unitaire radial défini par rapport au centre de force.

Ce qu'induit la troisième loi

Le lien entre la période et le demi-grand axe donné par la 3ème loi de Kepler est spécifique à une dépendance particulière du module de la force vis à vis de la variable radiale. Cette loi n'apparaît que pour une force variant en $1/r^{2}$ .

L'ensemble des lois de Kepler conduit finalement à une force s'écrivant de la forme :

$\mathbf{F} = {\beta\over r^{2}}\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$

Les lois de Kepler n'en disent pas plus sur ce paramètre $\beta$ . Ce sont les lois de la gravitation, dues à Isaac Newton, qui permettent d'expliciter sa forme.

Des lois de Kepler à une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance

Démonstration

En coordonnées polaires planes, définies dans le plan de l'orbite par rapport au foyer décrit par la 1ère loi de Kepler, on exprime les rayon vecteur, vitesse et accélération de l'objet par :

$\begin{eqnarray*} \mathbf{r} &=& r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}\\ \mathbf{v} &=& \dot r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}} + r{\dot \theta}\ \mathbf{u}_\theta\\ \mathbf{a} &=& (\ddot r - r {\dot\theta^{2}})\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}} + (2\dot r {\dot \theta}+r\ddot\theta)\ \mathbf{u}_\theta\\ \end{eqnarray*}$

La composante orthoradiale de l'accélération s'identifie, à une constante près, à la dérivée temporelle du moment cinétique (perpendiculaire au plan de la trajectoire) :

$\begin{eqnarray*} \sigma \mathbf{u} _{\mathrm{z}} &=& m\ \mathbf{r} \wedge \mathbf{v} = mr^{2} {\dot\theta}\ \mathbf{u} _{\mathrm{z}}\\ \displaystyle{ {\mathrm{d}} {\sigma} \over {\mathrm{d}} t}&=& m r\ (2\dot r {\dot \theta} + r\ddot \theta) = mr a_\theta\\ & = & 0\\ \end{eqnarray*}$

La nullité de la composante orthoradiale de l'accélération est bien la signature d'une force centrale.

La démonstration de la 3ème loi de Kepler, dans le cas d'un mouvement circulaire, dérive du jeu d'écriture suivant, avec le rayon de l'orbite, la période et la vitesse de l'objet :

$\begin{eqnarray*} T^{2} \propto R^{3} &\Longleftrightarrow& T\propto R^{3/2}\\ &\Longrightarrow& v = 2\pi R / T \propto R^{-1/2}\\ &\Longrightarrow& a = v^{2} /R \propto 1/R^{2}\\ &\Longrightarrow& F \propto 1/R^{2} \end{eqnarray*}$

Objectifs

Si, historiquement, les lois de Newton ont été dérivées des lois de Kepler, on retrouve aujourd'hui les lois de Kepler comme application des lois de Newton.

Hypothèses

L'examen des masses des principaux objets du système solaire dévoile un poids lourd, le soleil, entouré d'un cortèges de petits objets, les planètes. Ceci définit le cadre des approximations usuellement faites pour décrire le mouvement d'une planète : on la considère de masse négligeable par rapport à la masse du soleil, et l'on néglige les interactions interplanétaires.

Force gravitationnelle.

Crédit : ASM

Le problème à 2 corps

Le problème se résume à l'interaction entre 2 corps, le soleil de masse et la planète de masse $m \ll M$ . Le référentiel d'étude est héliocentrique, de centre . On y repère la planète par le rayon vecteur $\mathbf{r} = r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ . La planète subit de la part du soleil une force $\mathbf{F}$ , exprimée par :

$\mathbf{F} = -{ {\mathcal{G}} Mm\over r^{2}}\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$

L'étude complète du mouvement est un peu technique. La résolution par les formules de Binet ne sera pas menée dans ce cours ; un autre mode de résolution, introduisant le vecteur excentricité, est proposé en exercice.

Les lois de Kepler

La relation fondamentale de la dynamique permet de retrouver que la trajectoire est plane. Si l'on note ${ \mathbf{r}}_0$ et ${ \mathbf{v}}_0$ les position et vitesse de la planète à un instant donné, et P_0 le plan défini par ces 2 vecteurs, la relation annonce que l'accélération ${ \mathbf{a}}_0$ , colinéaire à ${ \mathbf{r}}_0$ , est également dans ce plan. Aucun terme d'accélération ne conduisant hors de ce plan, toute la trajectoire s'y inscrit nécessairement.

Comme il suffit que la force soit centrale pour que le moment cinétique du système soit conservé, la dérivation de la 2ème loi de Kepler est immédiate.

On retrouve enfin facilement la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un trajectoire circulaire. La démonstration en proposée en exercice.

Le vecteur excentricité

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 40 min

Une façon très performante de faire de la physique consiste à associer à une loi physique un invariant.

Pour une particule dans un champ de force gravitationnel, le champ de force étant à circulation conservative (voir la signification de ces termes dans le cours de physique), l'énergie mécanique se conserve ; la force étant centrale, le moment cinétique se conserve.

Le but de cet exercice est de montrer quel invariant est associé au fait que le module de la force gravitationnel varie comme l'inverse du carré de la distance. Il permet par ailleurs de retrouver l'équation de la trajectoire elliptique d'un satellite dans un champ de force central, moyennant un peu de gymnastique calculatoire. On considère un satellite, de masse , dans le champ de force central d'un corps de masse . On repère sa position par le vecteur radial $\mathbf{r} = r \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ . On note $\mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ le vecteur orthonormé normal au plan de la trajectoire, et portant le moment cinétique du satellite, tel que le trièdre $( \mathbf{u} _{\mathrm{r}},\ \mathbf{u}_\theta,\ \mathbf{u} _{\mathrm{z}})$ forme un trièdre orthonomé direct.

Question 1)

Exprimer les vecteurs accélération $\mathbf{a}$ et moment cinétique ${\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ dans la base ( $\mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ , $\mathbf{u}_\theta$ , $\mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ ).

Question 2)

On construit le produit vectoriel $\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ . Donner son expression en fonction du vecteur $\mathbf{u}_\theta$ .

Question 3)

Intégrer l'équation précédemment obtenue pour $\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ .

Question 4)

On multiplie scalairement l'équation précédemment obtenue par le vecteur position $\mathbf{r}$ . Montrer que ceci permet de retrouver l'équation de la trajectoire

$r = {p\over 1+e\cos\theta}$

en choisissant pour origine de la variable angulaire $\theta$ la direction et le sens du vecteur excentricité $\mathbf{e}$

Question 5)

Faire un schéma, représentant le vecteur excentricité $\mathbf{e}$ et la trajectoire.

Systèmes doubles

L'astéroide Eugénie et son satellite

Superposition d'images obtenues par optique adaptative au télescope CFH (Merline, 1998). La détermination des paramètres orbitaux du satellite -- période de rotation et demi-grand axe -- permet de mesurer la masse de l'astéroïde (exercice). La période est 4.7 jours, le demi-grand axe 1190 km.

Crédit : CFHT

Le mouvement d'Eugénie

Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative : film obtenu avec 5 poses à 5 dates différentes

Crédit : CFHT

Sirius A et B

Animation des orbites de Sirius A et B (respectivement les points blanc et rouge), sur fond d'étoiles fixes. Au mouvement apparent du système se superpose la rotation du système.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

L'observation des systèmes doubles est cruciale en astronomie, car elle donne accès à la mesure de la masse du système. On en voit deux exemples, à des échelles différentes :

L'astéroïde Eugénie, autour duquel a été détecté un petit satellite par optique adaptative.
Le système double de Sirius .

Objectifs

La 3ème loi de Kepler porte en elle, comme toute loi physique, une potentialité énorme : généraliser le particulier, pour mieux comprendre comment fonctionne l'univers.

Il se trouve que sur ce point de vue, elle fonctionne extraordinairement bien. Elle permet de "peser" tout objet de l'Univers, à la seule condition qu'un objet moins massif tourne autour de lui.

Prérequis

Trajectoires elliptiques

Déterminer la masse du centre de force

Peser est à prendre ici non dans son sens physique (mesurer le poids), mais dans son sens de la vie courante : mesurer la masse. La mécanique newtonienne permet de préciser la constante intervenant dans la 3ème loi de Kepler appliquée à un système ressemblant au système solaire : un ou des objets peu massifs tournant dans le potentiel central d'un corps plus massif.

${T^{2}\over a^{3}} = {4\pi^{2} \over {\mathcal{G}} M}$

Cette loi implique 3 paramètres physiques : la période de révolution et le demi-grand axe de l'orbite, et la masse du corps central.

La mesure de 2 parmi ces 3 paramètres permet d'en déduire le 3ème : ceci est mis à profit pour déterminer la masse du centre de force à partir des paramètres orbitaux et . Ces 2 termes sont en effet observables, alors que la masse ne l'est pas.

La mesure de la période nécessite de repérer le mouvement le long de la trajectoire.

La mesure du demi-grand axe de l'orbite découle de la mesure de sa taille angulaire, et nécessite de connaître la distance du système. On voit une fois encore l'importance de la mesure des distances en astronomie.

La 3ème loi de Kepler appliquée au système solaire
Planète		$T _{\mathrm{sid}}$			$\ T^{2}/a^{3}$
	UA	an	deg		$\mathrm{an}^{2}/ \mathrm{UA}^{3}$
Mercure	0.3871	0.2408	7.0	0.206	0.9996
Vénus	0.7233	0.6152	3.4	0.007	1.0002
Terre	1.0000	1.0000	--	0.017	1
Mars	1.5237	1.8808	1.8	0.093	1.0000
Jupiter	5.2026	11.862	1.3	0.048	0.9992
Saturne	9.5547	29.457	2.5	0.056	0.9948
Uranus	19.218	84.020	0.8	0.046	0.9946
Neptune	30.109	164.77	1.8	0.009	0.9946

Indépendamment de l'inclinaison sur l'écliptique et de l'excentricité de l'orbite de chacune des 8 planètes, la relation $T^{2} / a^{3} = 1$ est vérifiée, avec la période de révolution sidérale. Les désaccords proviennent des écarts aux hypothèses de Kepler. Remarque : dans le système solaire, les masses des planètes et de la plupart de leurs satellites sont connues avec une précision relative de l'ordre de $10^{-5}$ . Il s'agit de la précision à laquelle est mesurée la constante gravitationnelle ${\mathcal{G}}$ . Le produit ${\mathcal{G}} M$ est souvent déterminé avec une précision bien meilleure.

Lignes isomasses de la masse (en unité de masse solaire) du centre force dérivée de la mesure des paramètres orbitaux de différents systèmes. La limite en rouge est relativiste : la vitesse orbitale ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière. Les différents systèmes représentés illustrent la diversité de la gamme d'application des lois de la gravitation.

Crédit : ASM

Différents systèmes d'unités

Lorsque l'on choisit le système d'unités où les temps se comptent en année, les distances en unité astronomique, et les masses en masse solaire, la 3ème loi de Kepler se réécrit, pour le système solaire.

${T^{2} \over a^{3}} = 1$

Sans mener aucun calcul, il suffit pour s'en convaince d'examiner le cas de l'orbite terrestre, pour lequel = 1 UA, = 1 an, qui valide le cas de tout autre planète.

Pour un autre système caractérisé par un centre de force de masse $\mathcal{M}$ , la 3ème loi devient, toujours dans le système d'unités (UA, an, $M_\odot$ ) :

${T^{2} \over a^{3}} = {1\over \mathcal{M}}$

Une application de cette loi sur différents exemples illustre comment une loi physique peut étendre sa validité sur une très large gamme de valeurs.

Peser un astéroide

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Une équipe dirigée par W. Merline a observé en 1998 l'astéroïde (45)Eugénie avec l'optique adaptative du télescope CFH. Les observations ont mis en évidence la présence d'un petit satellite.

Paramètres orbitaux
Période	4.7 j
Demi-grand axe	1190 km
Diamètre de Eugénie	215 km
Diamètre du satellite	13 km

Question 1)

Déterminer la masse de (45)Eugénie

Question 2)

En déduire la masse volumique moyenne de Eugénie. Estimer sa composition.

Question 3)

Peut-on estimer la masse du petit satellite ?

Peser la Voie Lactée

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Notre galaxie, la Voie Lactée, a la forme d'une galette d'environ 30000 pc de diamètre et 2000 pc d'épaisseur. La région centrale est formée d'un bulbe d'allure sphérique de 2 700 pc de rayon, qui contient l'essentiel de la masse galactique. Le Soleil orbite à 8000 pc du centre galactique. D'après les mesures Doppler effectuées sur la raie à 21 cm de l'hydrogène, l'orbite du Soleil est approximativement circulaire, et la vitesse orbitale du Soleil est d'environ $220 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1}$ .

Question 1)

Déterminer la période du mouvement du soleil autour du centre galactique. L'exprimer en années.

Question 2)

Estimer la masse du bulbe galactique, en unité de masse solaire $M_{\odot}$ .

La 3ème loi de Kepler pour une orbite circulaire

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Retrouver l'expression de la 3ème loi de Kepler d'après le cas particulier d'une orbite circulaire, lorsque l'on suppose que les masses des 2 objets vérifient $M\gg m$ .

[1 points]

Comète de Halley

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

La comète de Halley a une période sidérale de 76 années. En déduire le demi-grand axe de son orbite.

[1 points]

Question 2)

L'excentricité de son orbite vaut e=0.967 , Déterminer son aphélie $r _{\mathrm{a}}$ , son périhélie $r _{\mathrm{p}}$ . Situer ces distances par rapport aux autres planètes.

[1 points]

Suite aux idées de Copernic, aux observations de Tycho Brahe, aux lois empiriques de Kepler et aux lois du mouvement de Galilée, Newton expose sa théorie de la gravitation. Incontournable, à plus d'un titre, pour comprendre les mouvements en astrophysique.

Les différents aspects des anneaux de Saturne au cours d'une révolution de la planète.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris.

Un rappel du formalisme mathématique et physique des trajectoires rencontrées dans le problème à 2-corps est donné en fin de sous-chapitre.

Le système de Ptolémée

Les epicycles de Ptolémée permettent de rendre compte de l'allure générale des mouvements planétaires vus depuis la Terre. Sans l'énoncer explicitement, l'introduction de ces epicycles permet rendre compte de 2 effets :

la non circularité des orbites autour du soleil
le mouvement relatif de la Terre autour du Soleil

Epicycles de Ptolémée

Les epicycles de Ptolémée ont pour but d'introduire dans la description du mouvement des planètes une contribution due à la rotation de la Terre autour du Soleil. On compte 12 festons sur la "marche" de Jupiter, 29 sur celle de Saturne, ces planètes ayant pour périodes respectives de l'ordre de 12 et 29 ans. En première approximation, les courbes se referment, ce qui suppose des périodes de valeurs exactement multiples de l'année... ce qui n'est pas le cas.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le système héliocentrique de Copernic

Le système de Copernic laisse au Soleil sa position ; en conséquence, les orbites planétaires apparaissent quasiment circulaires.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le système de Copernic

Par rapport à une vision géocentrique, dans le système héliocentrique la Terre cède sa position centrale au Soleil. Les orbites planétaires sont alors simplifiées, par rapport à une vue géocentrique : elles apparaissent à peu près circulaires, avec le Soleil au centre du système.

La combinaison des mouvements de la Terre et de Mars autour du Soleil introduit le phénomène de rétrogradation, lorsqu'à l'opposition la Terre "double" Mars, dans une vue géocentrique.

Reconsidérer l'orbite martienne dans le référentiel héliocentrique permet une description bien plus simple de la trajectoire. Cette "simplicité", synonyme d'un formalisme efficace et prédiction, a conduit au succès du système construit sur une vision héliocentrique, un cadre galiléen, une explication newtonienne de la gravitation.

La rétrogradation de Mars

Le mouvement de Mars, au voisinage de l'opposition, vu de la Terre ou vu du Soleil.

Crédit : ASM

Objectifs

Passer de Ptolémée à Newton représente un changement de paradigme. La vision du monde est changée. Le désir de comprendre le monde supplante une vision systématique du monde. L'observation prime sur l'idée préconçue, le formalisme suit les observations.

De Ptolémée à Copernic

On peut résumer le passage de Ptolémée à Copernic par un changement de référentiel.

Ptolémée a formalisé une théorie efficace, quoique très inexacte, avec la Terre au centre de l'Univers, et un système complexe basé sur des successions de mouvements plans et circulaire pour interpréter le mouvement des planètes. Ce système était nécessaire pour construire, à partir d'observations menées sur Terre (!), une théorie géocentrée.
Copernic a introduit le cadre : une vision héliocentrique est plus appropriée qu'une vision géocentrique. Les orbites des planètes autour du Soleil, du coup, restent quasi circulaires. L'effort théorique est considérable, et le gain scientifique inestimable.

Epicycle engendré par la rotation, sans glissement, d'une roue sur une autre.

Crédit : ASM

Epicycle engendré par deux mouvements circulaires emboîtés, le centre de l'un parcourant la circonférence de l'autre.

Crédit : ASM

Mouvements épicycloidaux

Un mouvement épicycloïdal est décrit par une succession de mouvement circulaires imbriqués. Différents cas sont possibles : roulement d'un cercle sur un autre, entraînement d'un cercle autour d'un autre.

Géo- versus hélio-centrique

Deux façons de voir le mouvement d'une planète... L'objet reste le même (Jupiter vu depuis la Terre), mais le référentiel change. Remarquer, dans le système de Ptolémée, comment le mouvement apparent du Soleil entraîne celui de Jupiter.

Crédit : ASM

Ptolémée versus Copernic

La comparaison du mouvement de Jupiter vu par Ptolémée ou Copernic montre le gain qualitatif de l'approche copernicienne. Les épicycles décrivant l'orbite jovienne dans un référentiel géocentré ne sont jamais que la combinaison de 2 mouvements circulaires successifs.

Le role central du Soleil

La vision héliocentrique de Copernic a permis à Kepler de déterminer précisément l'orbite de Mars.

Mesure de l'orbite de Mars

Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris et ASM

Un autre centre

Galilée, ayant acquis une lunette précise (pour l'époque), l'a tournée vers le ciel. Il a remarqué combien le voisinage de Jupiter était changeant, avec le ballet des 4 satellites... galiléens.

Ballet autour de Jupiter ?

Notes de Galilée, avec l'aspect de Jupiter et de son voisinage à différentes dates

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Ballet autour de Jupiter !

Les observations de Jupiter par Galilée, ordonnées en une sorte de film, montrent sans équivoque le mouvement des satellites autour de la planète.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Objectifs

Un bon cadre théorique, de bonnes observations, et beaucoup de patience... les ingrédients qui ont permis d'identifier une loi physique universelle.

De Copernic à Newton

Copernic a introduit le cadre : une vision héliocentrique est plus appropriée qu'une vision géocentrique. Les orbites des planètes autour du Soleil restent circulaires.
Tycho Brahe a apporté des observations d'une précision inégalée.
A partir du système de Copernic et des observations de Tycho Brahe, Kepler a énoncé ses 3 lois, qui décrivent le juste mouvement des planètes du système solaire.
Galilée a développé les équations du mouvement, qui relient, dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un système à la résultante de forces auxquelles il est soumis.
Newton a précisé alors la notion d'interaction gravitationnelle, et énoncé le formalisme définissant la gravitation... newtonienne.

Galilée

Galilée (1564-1642) était un physicien. Il étudia la mécanique et la dynamique des corps en mouvement, démontra l'invariance du module du champ de pesanteur terrestre à la surface du globe, et établit la loi de l'inertie : tout corps isolé, non soumis à une force extérieure, est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Durant l'hiver 1609/1610, Galilée pointa le ciel avec une lunette construite par ses soins. Ses nombreuses découvertes vont bouleverser la vision de l'univers de l'époque : il observa des taches sur le Soleil, des cratères sur la Lune, les phases de Vénus, une multitude d'étoiles dans la Voie lactée et des satellites autour de Jupiter. Cette dernière découverte donnait le coup de grâce au géocentrisme.

Newton

Isaac Newton (1643-1727) réussit à unifier les diverses théories de ses prédécesseurs. En 1687, il publia l'ensemble de ses travaux reliant la mécanique et l'astronomie dans son oeuvre majeure, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, désignée par "Les Principes".

Il montra le caractère universel de la loi de la gravitation, expliquant aussi bien la chute d'un corps sur Terre, l'oscillation du pendule que les mouvements de la Lune et des planètes. Il fut également l'inventeur du premier télescope à miroir exempt des aberrations des lunettes réfractrices utilisées jusqu'alors.

Ballet

Le ballet des satellites galiléens (observations (sans interruption diurne !) et reconstruction du mouvement horaire) a montré à Galilée que décidément le Soleil n'était pas le seul centre de force.

Le ballet des satellites galiléens

Comme les orbitaux des satellites sont confondus avec le plan équatorial de Jupiter, lui même très voisin du plan orbital jovien, quasiment confondu avec l'écliptique, les traces des satellites apparaissent souvent quasi rectilignes (représentées ici d'après les éphémérides fournies par l'IMCCE pour le mois de janvier 2003). Les diamètres de Jupiter (immobile) et des 4 satellites (Io en orange, Europe en vert, Ganymède en bleu clair et Callisto en bleu foncé) ne sont pas à l'échelle.

Crédit : ASM

Voir la légende de l'animation précédente. Les traits horizontaux représentent un intervalle de temps d'un jour.

Crédit : ASM

Un nouveau centre de force

En 1610, Galileo Galilei utilise, pour la première fois, une lunette pour l'observation du ciel. Il découvre un étrange ballet autour de Jupiter, qui évolue au fil des nuits. Cette découverte conforte les idées coperniciennes : il existe visiblement d'autres centres de force que le Soleil ou la Terre.

Cahier d'observation

Comme le montrent les différents croquis établis au fil des nuits, l'environnement de Jupiter présente un décor changeant. Alors que le déplacement apparent de la planète par rapport aux étoiles entraîne un renouvellement permanent du "décor de fond", quatre objets (les principaux satellites de Jupiter, dit galiléens) évoluent autour de Jupiter. Leurs périodes de révolution (de 1.7 j pour Io à 16 j pour Callisto) assurent une nouvelle configuration de nuit en nuit.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

A deux c'est mieux !

L'approximation du système à 2 corps consiste à supposer le système isolé du reste de l'univers, càd à négliger toute autre interaction. Cette approximation est souvent vérifiée, au moins en première approximation, à ne nombreuse échelles.

Cette prégnance du système à 2 corps est ici illustrée à diverses échelles :

Planétaire : le système Terre-Lune
Stellaire : plus de 2/3 des étoiles vivent en couple. Ici le couple Sirius A et B
Galactique : la galaxie Messier 51 et son satellite

Le système Terre-Lune

Le système Terre-Lune. La dynamique du système relève essentiellement du problème à 2 corps, perturbé par le caractère non ponctuel des objets ( effet de marée), et les autres potentiels gravitationnels du système solaire.

Crédit : NASA

Etoile double

Le couple Sirius A - Sirius B : Sirius A est une étoile de type A1V, Sirius B une naine blanche. Leur séparation est de l'ordre de 20 AU, pour une période orbitale de 50 ans. L'image en X obtenue par le satellite Chandra (NASA) permet de visualiser les 2 composantes, qui dans le visible présentent un contraste de 10 magnitudes.

Crédit : NASA

Etoile double

La dynamique de ce système stellaire Sirius A et B relève du problème à 2-corps. La révolution orbitale (période de 50.1 ans, excentricité 0.59) se superpose au mouvement apparent du système.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

La galaxie M51 et son satellite

L'étude du mouvement relatif des 2 galaxies (M51 et son satellite) relève en première approximation du problème à 2 corps, contrairement à la compréhension fine des trajectoires stellaires individuelles.

Crédit : CFHT

Prérequis

Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle

Objectifs

Le but de cette page n'est pas de reprendre le formalisme du système à 2 corps (se référer à un cours de physique), mais de voir en quoi il est fécond, et cerner son domaine de validité.

Le système à 2 corps : une approximation féconde

Le problème à 2 corps peut être traité dans le référentiel barycentrique du système. Comme le système est supposé isolé, ce référentiel barycentrique est bien galiléen.
La rotation des 2 corps l'un autour de l'autre, ou autour du barycentre, peut être décrite analytiquement
Si un corps est de masse négligeable, on confond souvent le barycentre du système avec le corps massif. Mais ça ne marche pas toujours. La détection des exoplanètes en est un contrexemple flagrant.
Le problème à 2 corps, c'est le paradis des lois de Kepler

Le problème à 2 corps : caractéristiques

Le problème à 2 corps dénie toute structure aux 2 objets : ils doivent être considérés comme de simples points matériels. L' effet de marée ne se comprend qu'en introduisant la structure interne du corps qui subit la marée, càd un champ gravitationnel non uniforme.
Le problème à 2 corps n'est qu'une approximation : sa validité peut être exemplaire à court terme, mais inopérante à long terme. Par exemple, l'avenir du système Terre-Lune ne peut être précisément déterminé qu'en tenant compte des perturbations extérieures dues aux objets massifs du système solaire.

La trajectoire de la Lune

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales de la Lune et de la Terre, ainsi que

objet	masse	distance	distance
	(kg)	au soleil (km)	à la Terre (km)
Soleil	$M_S = 2.0\ 10^{30}$
Terre	$M_T = 6.0\ 10^{24}$	$150\ 10^6$
Lune	$M_L = 7.3\ 10^{22}$	$150\ 10^6$	$380\ 10^3$

Question 1)

Déterminer l'énergie potentielle et la force d'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Lune, puis entre la Terre et la Lune. Les calculer et les comparer.

Question 2)

Autour de quel corps la Lune tourne-t-elle ?

Dynamique à N-corps

L'hypothèse 2-corps est bien commode... mais s'avère la plupart du temps trop restrictive, à toute échelle : systèmes planétaires, stellaires, galactiques...

Amas d'étoiles

La dynamique des étoiles de cet amas globulaire (NGC 6093) ne peut s'étudier qu'en considérant l'ensemble des composantes.

Crédit : HST

Exemple : les anneaux planétaires

La dynamique des anneaux planétaires nécessite un cadre formel plus complexe que le problème à 2 corps. Souvent, les satellites présentent des orbites résonantes, tels Prométhée et Pandore, gardiens de l'anneau F, avec une résonance 121:118 (Prométhée accomplit 121 révolutions quand Pandore n'en fait que 118).

Prométhée, Pandore, gardiens de l'anneau F

L'anneau F de Saturne est confiné par ses gardiens Prométhée et Pandore. L'action répétée du balayage des satellites conduit à repousser la matière qui aurait tendance à s'étaler radialement.

Crédit : NASA

Perturbations

Les perturbations du problème à 2-corps, typiquement lorsqu'un 3e s'en mêle, ont conduit à de beaux résultats, comme par exemple la découverte de Neptune.

L'orbite d'Uranus apparaissant perturbée par rapport au mouvement attendu (képlérien autour du Soleil, déjà perturbé par les géantes Jupiter et Saturne), le calcul a permis de localiser le perturbateur, en l'occurrence Neptune ainsi dévoilé.

Positions prédite et observée pour Neptune, perturbateur d'Uranus.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

L'écart entre les positions angulaires observée et prédite de Neptune résultait essentiellement de l'indétermination sur le demi-grand axe de sa trajectoire.

Calculs d'orbite de Neptune, et orbite réelle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Prérequis

Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle

Objectifs

Contrairement au problème à 2 corps, les problèmes à 3 corps et N-corps ne sont pas analytiquement solubles. Ils sont ici très simplement présentés.

Le problème à 3 corps

On devine que le problème à 3 corps, c'est le problème à 2 corps avec un 3ème que l'on n'arrive pas à négliger.

P.ex., l'évolution à long terme du système Terre-Lune doit tenir compte du Soleil.

L'interaction entre 2 satellites autour d'une planète s'inscrit dans ce cadre également.

Le problème à N-corps

Le problème à N-corps va recouvrir tous les autres cas, où l'approximation 2 ou 3 corps ne marche pas.

On note par exemple :

La dynamique stellaire dans un amas d'étoiles
La dynamique stellaire dans une galaxie elliptique
La dynamique dans un amas de galaxies

Modélisations numériques et méthodes statistiques permettent une approche du problème à N-corps.

Résonances

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La dynamique des satellites et anneaux planétaires présente de nombreux cas de résonance, lorsque les périodes orbitales des différents objets sont dans des rapports simples, souvent du type n:n+1 .

L'orbite du satellite Galatea de Neptune a un demi-grand axe de 61953 km. Les arcs d'anneaux de la planète Neptune occupent une orbite plus éloignée de 984 km.

Question 1)

Montrer que, si le rapport des demi-grands axes des anneaux et de Galatea s'écrit sous la forme 1+x , avec petit, alors le rapport des périodes vaut 1+3x/2 .

[1 points]

Question 2)

Déterminer la résonance en cause, en identifiant l'entier naturel tel que le rapport des périodes soit égal à (n+1)/n . Montrer au préalable que n = 2/3x .

[1 points]

Question 3)

Faire l'application numérique et identifier l'entier .

[1 points]

Universel ?

Que signifie universel dans l'expression gravitation universelle ? Que la loi semble s'appliquer à toute échelle dans l'Univers, de la pomme de Newton à la Lune et aux systèmes les plus lointains.

Aujourd'hui, on ne dirait plus universelle, mais unifiée.

Avant que la gravitation soit universelle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Prérequis

Relation fondamentale de la dynamique ; notion de référentiel galiléen

La force d'interaction gravitationnelle

Définition

L'interaction gravitationnelle entre deux corps et de masse M_A et M_B , séparés par la distance $r_{AB}$ :

est colinéaire à la direction AB
est attractive
se traduit par une force, de A sur B, opposée à celle de B sur A, égale algébriquement à :

$F\ =\ - { {\mathcal{G}}}\ {M_A M_B \over r_{AB}^{2}}$

Le potentiel gravitationnel

Un objet sphérique de masse , rayon , crée un potentiel gravitationnel :

$U(r)\ =\ - { {\mathcal{G}} M\over r}$

Cette expression suppose implicitement un potentiel nul à l'infini. Cette convention, arbitraire comme toute convention, peut se justifier par divers arguments :

Le modèle suppose l'absence de toute masse perturbatrice à proximité.
L'histoire des corps condensés de l'Univers débute dans un état de matière très dilué, tellement plus dilué que l'état condensé final que l'on peut considérer les constituants initialement à l'infini, càd très éloignés les uns des autres.
Argument a posteriori : on peut ainsi distinguer un système gravitationnellement lié par son énergie mécanique totale négative. Séparer le système nécessite de lui apporter une énergie qui contrebalance cette énergie de liaison $E _{\mathrm{p}}(r) \ =\ - { {\mathcal{G}} Mm/ r}$

Invariants

Il est commode de traduire les spécificités d'un problème physique en termes de grandeurs invariantes.

Champ de force : L'interaction gravitationnelle correspond, comme toute interaction fondamentale, à un champ de force. A ce champ de force est associé un potentiel. La conservation de l'énergie mécanique en découle.
Force centrale : Le moment d'une force centrale est nul au centre de force. La conservation du moment cinétique en découle.
Champ de force central variant comme l'inverse du carré de la distance : Cette forme spécifique du champ de force introduit un 3e invariant, le vecteur excentricité, qui définit la trajectoire. Un exercice explicite ceci.

On peut ajouter un autre invariant, pour un système supposé isolé, la conservation de la quantité de mouvement totale du système.

Potentiel, énergie, force, champ

Quatre termes rendent compte de la même réalité, avec quatre dimensions différentes. L'énergie potentielle gravitationnelle est bien évidemment une énergie, et la force gravitationnelle une force.

Le champ gravitationnel dérive du potentiel gravitationnel via $g = - \nabla\, U = - \mathrm{grad} \, U$ , où l'opérateur gradient désigné la dérivation par rapport à l'ensemble des coordonées spatiales. En coordonnées sphérique, dans un problème à symétrie sphérique, $g(r) \ \mathbf{u}_r = - \mathrm{d}\, U / \mathrm{d}\, r \ \mathbf{u}_r$
L'énergie gravitationnelle $E _{\mathrm{p}}$ d'un corps de masse dans un potentiel gravitationnel vaut $E _{\mathrm{p}} = m U$
La force gravitationnelle subie par un corps de masse dans un champl gravitationnel vaut

Le mouvement d'Eugénie

Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative, à 5 dates différentes.

Crédit : CFHT

Reconstruction d'une trajectoire cométaire

Reconstruction de l'orbite de la comète Ikeya-Zhang

Crédit : Planétarium de Saint-Etienne

Les trajectoires du système à 2 corps

Exemples de trajectoires dans le système à 2 corps.

orbite faiblement elliptique : satellite de l'astéroïde Eugénie.
orbite fortement elliptique : orbite de la comète Ikeya Zhang.

Objectifs

Retrouver rapidement les différentes trajectoires possibles dans un potentiel gravitationnel, en analysant le mouvement radial d'une particule test.

L'écriture explicite de la trajectoire est établie en exercice.

Lois de conservation

Dans un potentiel gravitationnel de masse , un objet de masse garde une énergie mécanique $E _{\mathrm{m\acute ec}}$ constante, somme des énergies cinétique et potentielle, égale à :

${1\over 2} mv^2 - { {\mathcal{G}} M m\over r} \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}$

En coordonnées polaires, le carré de la vitesse s'écrit : $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ .

Par ailleurs, la conservation du moment cinétique s'énonce :

$mr^2 \dot\theta \ = \ \sigma_0$

Et la vitesse angulaire $\dot\theta$ s'exprime donc en fonction de l'invariant $\sigma_0$ et de la variable radiale par :

$\dot\theta \ = \ {\sigma_0 \over mr^2 }$

Le potentiel effectif

Le potentiel effectif est la somme du terme gravitationnel, attractif en -1/r

, et du terme rotationnel, répulsif en +1/r^2

. Dès lors que le moment cinétique est non nul, la barrière de moment cinétique empêche d'approcher du centre de force.

Crédit : ASM

Excursion radiale

Les seules positions radiales accessibles sont celles pour lesquelles $E _{\mathrm{c}} \ge 0$ , càd $E _{\mathrm{m\acute ec}} \ge E _{\mathrm{eff}}$ .

Crédit : ASM

Différentes orbites possibles

Selon la valeur de l'énergie mécanique

, la trajectoire peut être liée (cercle ou ellipse) ou libre (parabole ou hyperbole).

Crédit : ASM

Le potentiel effectif

En éliminant la variable angulaire de l'équation de conservation de l'énergie, on aboutit à une équation reliant l'énergie cinétique radiale $1/2 \ m\dot r^2$ à un potentiel uniquement radial :

${1\over 2} m\dot r^2 + \left[{ -{ {\mathcal{G}} M m\over r} + {\sigma_0^2\over 2m r^2} }\right] \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}$

On décide alors d'étudier le mouvement radial du système muni de l'énergie potentielle effective :

$E _{\mathrm{eff}} (r)\ = \ {\sigma_0^2\over 2m r^2}- { {\mathcal{G}} Mm \over r}$

On identifie la somme de 2 contributions :

terme gravitationnel en
terme rotationnel en

Le mouvement radial s'étudie alors à l'aide de la courbe de potentiel effectif. Les différentes excursions radiales dépendent de l'énergie $E _{\mathrm{m\acute ec}}$ du système.

Objectifs

Les exemples de trajectoires quasi-circulaires autour d'un centre de force sont légions, et méritent d'être étudiés de près. D'autant plus que l'observation de paramètres liés au mouvement circulaire autour d'un centre de force est un des nombreux moyens de peser les objets de l'univers.

Vitesse orbitale

On considère un objet de masse négligeable, placé dans un potentiel central de masse , sur une orbite circulaire de rayon parcourue à la vitesse .

Le principe fondamental de la dynamique donne directement le lien entre la vitesse et le rayon , en évaluant l'accélération centrale :

${ {\mathcal{G}} M\over r^{2}} = {v^{2}\over r}$

D'où la relation entre la vitesse et le rayon orbital :

$v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}$

Applications

La relation donnant la vitesse orbitale en fonction du rayon d'une orbite circulaire permet, comme la 3e loi de Kepler, de "peser" la masse du centre de force. Rien d'étonnant à cela, il s'agit de la même loi réécrite sous une autre forme (voir exercice). La mesure des 2 observables et permet de déterminer la masse du centre de force, qui doit rendre compte de la relation:

$v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}$

QCM

1) La vitesse orbitale d'un satellite de masse

, dans le potentiel d'un corps sphérique de masse

dépend de

est proportionnelle à $\sqrt{M}$
est proportionnelle à

2) La vitesse orbitale dans le potentiel d'un corps sphérique de masse

s'exprime ainsi:
$v _{\mathrm{orb}} = \sqrt{2 GM/r}$
$v _{\mathrm{orb}} = \sqrt{GM/r}$
$v _{\mathrm{orb}} = GM/r^{2}$
$v _{\mathrm{orb}} = GM/r$

Phobos et Deimos

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales des 2 satellites de Mars, Phobos et Deimos.

Satellites martiens
Phobos	$a_p = 2.76\ R_M$
Deimos	$a_d = 6.91\ R_M$
Mars	${\mathcal{G}} M = 4.2\ 10^{13}\, \mathrm{SI}$
	$R_M = 3400 {\,\mathrm{km}}$

Question 1)

Calculer les vitesses orbitales des 2 satellites.

Question 2)

En déduire leurs périodes orbitales. Comparer à la journée martienne (24.5 h) et conclure.

Survol d'un satellite

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On cherche à évaluer la durée de transit d'un satellite artificiel en orbite basse. On suppose l'horizon totalement dégagé, et le satellite visible dès lors qu'il surmonte l'horizon. On donne :

Données
rayon terrestre	$R=6400 {\,\mathrm{km}}$
masse de la Terre	$M = 6\ 10^{24} {\,\mathrm{kg}}$
altitude du satellite	$h = 200 {\,\mathrm{km}}$

Question 1)

Estimer la vitesse et la période orbitale du satellite.

Question 2)

Faire un schéma montrant quelle portion de la trajectoire du satellite est visible.

Question 3)

Estimer la taille angulaire de cet arc de trajectoire. En déduire la durée de visibilité du satellite.

Vitesse circulaire / 3e loi de Kepler

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

Reprendre les expressions de la 3e loi de Kepler et de la vitesse d'un objet en orbite circulaire autour d'un centre de force de masse , et montrer, comme il s'agit de la même physique, que l'on peut les déduire l'une de l'autre.

[2 points]

Objets de Kuiper

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

La recherche des objets lointains du système solaire, p.ex. les objets de Kuiper, est basée sur la détection de leur mouvement par rapport aux étoiles.

Mouvement apparent d'un objet de Kuiper sur 5 heures.

Crédit : CFHT

Question 1)

Déterminer les vitesses orbitales, linéaire puis angulaire, d'un objet de Kuiper sur une orbite circulaire à 40 UA. Donner sa période de révolution sidérale.

[2 points]

Question 2)

Cette question s'intéresse au mouvement orbital autour du Soleil. Déterminer la vitesse angulaire relative de l'objet par rapport à la Terre. Quel terme domine dans ce mouvement apparent ?

[3 points]

Question 3)

Déterminer le déplacement angulaire apparent sur fond de ciel de cet objet de Kuiper en 2 heures. Quel est l'intérêt d'observer à l'opposition ?

[3 points]

Rotation dans une galaxie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Un grand nombre de galaxies présentent un profil de luminosité qui varie en loi de puissance en fonction de la distance au centre galactique :

$L(r)\ =\ L_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Cette donnée observationnelle permet d'écrire le profil de masse volumique de la galaxie sous la forme:

$\rho(r) \ = \rho_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Question 1)

Déduire du profil de masse volumique la masse m(r) de la sphère galactique de rayon . Montrer d'une part que la constante $\alpha$ doit vérifier $\alpha < 3$ , d'autre part que le profil de masse volumique doit nécessairement être tronqué au delà d'un certain rayon.

[3 points]

Question 2)

Déduire de m(r) le champ gravitationnel G(r) , ainsi que la vitesse de rotation circulaire au sein de la galaxie s'écrit :

$v^2(r) \ = \ {4\pi {\mathcal{G}} \rho_0 r_0^\alpha \over 3 - \alpha}\ r^{2-\alpha}$

[2 points]

Question 3)

La plupart des galaxies montrent, pour large intervalle en rayon, un profil de vitesse plat. Quelle valeur de l'exposant $\alpha$ cette donnée observationnelle privilégie-t-elle ? Quelle conséquence pour le champ gravitationnel et la masse au rayon ?

[2 points]

Question 4)

Dans le voisinage solaire, à 8.5 kpc du centre galactique, la vitesse de rotation est de l'ordre de 220 km.s $^{-1}$ . En déduire la valeur de la masse galactique comprise dans la sphère de rayon 8.5 kpc. La traduire en masse solaire. Cette valeur vous semble-t-elle plausible ?

[3 points]

Quitter la Terre

De manière très pratique, la notion de vitesse de libération se pose dès lors que l'on veut quitter la Terre.

Le lancement d'une sonde interplanétaire

Il faut communiquer à une sonde spatiale une vitesse suffisante pour l'extraire du puits de potentiel où la maintient la Terre.

Crédit : NASA

Objectifs

Qu'il s'agisse de lancer une sonde interplanétaire, de faire revenir cette sonde de Mars, d'estimer la vitesse d'entrée dans la haute atmosphère terrestre d'une "étoile filante", ....une notion importe : la vitesse de libération d'un corps.

Aller à l'infini !

Définition

La vitesse de libération d'un objet correspond à la vitesse à communiquer à un corps initialement à la surface de l'objet pour l'éloigner à l'infini.

La détermination de la vitesse de libération $v _{\mathrm{lib}}$ est aisée via la conservation de l'énergie mécanique de l'objet.

Le bilan énergétique au sol s'écrit :

$E _{\mathrm{c}}+ E _{\mathrm{p}} = {1\over 2} m v _{\mathrm{lib}}^{2} - { {\mathcal{G}} M m\over R}$

avec et les masse et rayon du corps à quitter, la masse de la particule test, et l'origine des potentiels ayant été choisie nulle à l'infini.

Le bilan énergétique à l'infini s'écrit :

$E _{\mathrm{c}} + E _{\mathrm{p}} = 0$

On demande juste au corps de pouvoir aller à l'infini, càd accepter une énergie potentielle nulle, et une énergie cinétique nulle également.

La conservation de l'énergie cinétique conduit alors à :

$v _{\mathrm{lib}} = \sqrt{2 {\mathcal{G}} M\over R}$

Seuls apparaissent dans cette expression de la vitesse de libération de l'objet ses masse et rayon. On voit que cette vitesse est égale à la vitesse de rotation à altitude nulle, multipliée par $\sqrt{2}$ .

Applications

La vitesse de libération est une notion essentielle pour la dynamique dès lors qu'il s'agit d'extraire un objet (une sonde, un caillou martien) d'un champ de gravitation.

Le problème considéré à l'envers - venir de loin et arriver à la surface d'un astre -- permet d'estimer la vitesse de chute libre sur un corps.

Enfin, cette notion permet d'introduire tout naturellement ce qu'est un trou noir.

La collision de la comète SL9 sur Jupiter

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont brûlé dans l'atmosphère de Jupiter entre les 16 et 20 juillet 1994. Ils provenaient du noyau d'une comète capturée par la planète géante, fragmenté par effet de marée lors d'un premier passage à bas périjove (périastre, lorsque l'astre est Jupiter) en 1992. Pour la suite, on considère l'orbite très elliptique de la comète analogue, énergétiquement parlant, à une orbite parabolique.

Les fragments de la comète SL9 observés en mars 1994, 4 mois avant la collision, et 20 mois après le passage de la comète qui a conduit à sa fragmentation par effet de marée dû à Jupiter.

Crédit : HST

Explosion du 1er fragment de SL9. L'enveloppe de l'explosion est apparue derrière le limbe, puis est retombée.

Crédit : HST

Question 1)

Traduire la description de l'orbite en termes énergétiques.

Question 2)

Calculer la vitesse de collision.

Question 3)

Que vaut la vitesse de libération de Jupiter ?

Environnement du centre galactique

Environnement du centre de la Galaxie, et mise en évidence de trajectoires képlériennes.

Crédit : ESO

Mouvement autour du centre galactique

La trajectoire de l'étoile S2 autour du centre galactique. Les observations dans la fenêtre entourée de rouge ont été effectuées grâce à l'optique adaptative.

Crédit : ESO

Hypothèse ; le trou noir central de la Galaxie

L'environnement du centre de la Galaxie dévoile de nombreux objets en rotation képlérienne très rapide.

L'observation de l'étoile S2 autour du centre galactique, menée sur une dizaine d'années, permet de mesurer, via la 3e loi de Kepler, la masse concentrée autour de ce dernier (calculée en exercice). La concentration de masse, alliée à l'absence de rayonnement visible et infrarouge, laisse suspecter la présence d'un trou noir supermassif.

Un objet défini par son horizon

Il a été établi, pour tout corps de masse et rayon , une vitesse de libération $v _{\mathrm{lib}} = \sqrt{2 {\mathcal{G}} M / R}$ . Plus un corps est massif et petit, plus sa vitesse de libération va être élevée. Or toute vitesse est physiquement limitée à la célérité de la lumière.

Définition

On définit un trou noir comme un objet dont la vitesse de libération vaut , la vitesse de la lumière.

Le trou noir de masse est limité par un horizon de rayon $R _{\mathrm{TN}}$ :

$R _{\mathrm{TN}} = {2 {\mathcal{G}} M \over c^{2}}$

Quelques propriétés

C'est peu dire que ce genre d'objet fait couler beaucoup d'encre. Que peut-on en dire, qui reste physique, juste et simple ?

Un trou noir n'a pas plus tendance à "avaler" la matière qu'un objet de masse identique. A masse identique, leurs champs gravitationnels sont identiques. Pour s'en convaincre : revoir le théorème de Gauss.
La physique ne peut pas décrire ce qui est de l'autre côté du trou noir : le trou noir est une singularité de l'espace temps. On suppose qu'un trou noir est caractérisé par des grandeurs qui se conservent : masse ; charge électrique ; moment cinétique
La physique aux abords du trou noir est, par définition, relativiste. Un photon émis sur l'horizon n'arrivera pas à s'extraire du trou noir. Proche de l'horizon, il peut y parvenir, mais y laisse une grande énergie.
Bien comprendre ce genre d'objets nécessite le cadre et le formalisme de la relativité générale.
Bien des régions du ciel sont candidates pour abriter des trous noirs : soit parce qu'elles sont le siège de phénomènes très énergétiques ultrarelativistes, soit parce que l'on y suspecte une très grande concentration de masse, d'après la dynamique d'objets gravitant dans l'environnement (comme observé au centre de notre Galaxie).

Reconstruction d'orbite

Les mesures astrométriques dans la direction du centre de notre Galaxie ont mis en évidence des objets présentant de très rapides mouvements.

Les observations menées depuis 1992, et extrapolées jusqu'en 2006, permettent de reconstruire l'orbite et le mouvement de l'étoile S2 autour du centre galactique.

Crédit : ESO

Le centre galactique

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

L'observation du mouvement de l'étoile S2 autour du centre galactique permet de dégager les propriétés orbitales suivantes.

Il s'agit d'une ellipse de demi-grand axe 0.119", parcourue en une période de 15.2 ans, avec une excentricité de 0.87.

Question 1)

Pourquoi l'approximation du système à 2 corps semble-t-elle convenable ?

Question 2)

Le Soleil se situant à 8000 pc du centre galactique, estimer le demi-grand axe de l'orbite en UA

Question 3)

En déduire la masse $\mathcal{M}$ du centre galactique, en masse solaire.

Question 4)

Estimer la valeur du péricentre $r _{\mathrm{p}}$ , en UA

Question 5)

L'orbite de S2 apparaissant rigoureusement elliptique, comme le prévoit la mécanique képlerienne, on peut supposer que la taille caractéristique du corps central permet l'application de la mécanique du point. En d'autres termes, ce centre de force s'inscrit dans un rayon bien moindre que le péricentre... et serait un trou noir. Estimer alors l'horizon de ce trou noir de masse $\mathcal{M}$ .

Question 6)

Estimer la vitesse de S2 au péricentre (le rayon de courbure $\mathcal{R} _{\mathrm{p}}$ de la trajectoire au péricentre est égal au paramètre de l'ellipse, soit $r _{\mathrm{p}} (1+e)$ ).

Trou noir

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente la masse et le rayon de différents objets.

Apprenti trou noir
Objet	Masse (kg)	Rayon (m)
Soleil	$2\ 10^{30}$	$7\ 10^8$
Vous	$\simeq 70\pm 20\ ?$	$\simeq 1$
Bulbe galactique	$2\ 10^{41}$	$10^{3} {\,\mathrm{pc}}$

Question 1)

Calculer leur vitesse de libération

[2 points]

Question 2)

Déterminer leur horizon s'ils étaient candidats trous noirs.

[2 points]

Diverses coniques, selon l'excentricité

: du cercle e=0

, à l'ellipse 0<e<1

, la parabole e=1

et l'hyperbole e>1

.

Crédit : ASM

Coniques

Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.

Une ellipse vue dans son plan, et projetée sur le plan du ciel, avec les axes principaux (en orange) et le foyer (croix). La projection du vrai demi-grand axe ne coïncide clairement pas avec le demi-grand axe de l'ellipse projetée. 0 correspond au centre (position conservée par projection), F au foyer occupé par la composante principale (non conservée), et P le périastre.

Crédit : ASM

Projection d'une orbite elliptique

Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.

Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan

Objectifs

Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.

Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
trajectoire	mouvement	énergie mécanique
cercle	lié	minimale et
ellipse	lié
parabole	libre
hyperbole	libre

Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2 corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

$r = {p\over 1+e \cos \theta}$

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

L'excentricité définit la nature de la conique.
Le paramètre est une longueur reliée au demi-grand axe et à l'excentricité $p = a(1-e^{2})$ .

Eléments d'une ellipse : centre

, foyer

, grand axe

, péri- et apoastre.

Crédit : ASM

Péri et apoastre : vocabulaire
astre	périastre	apoastre
Soleil	périhélie	aphélie
Terre	périgée	apogée

Eléments de la trajectoire

Le rayon vecteur $\mathbf{r}$ est défini par rapport au foyer de l'ellipse définissant le centre de force, et non par rapport au centre .
Le point le plus proche du foyer est le périastre ; le point le plus éloigné l'apoastre.
Le demi-grand axe vérifie , avec et les rayons des péri- et apoastres
Le paramètre de l'ellipse vérifie $p = a\ (1-e^{2})$
La distance du centre au foyer vaut $OF = e\ a$

Exemples

Dans le système solaire, plus un objet est massif, plus sa trajectoire tend à être circulaire ; les astéroïdes ont des trajectoires généralement plus elliptiques que la plupart des planètes.
Les comètes de longue période ont des trajectoires très elliptiques.
Les comètes de très longue période ont des trajectoires souvent indéterminées, en fait très sensibles aux perturbations gravitationnelles.

De l'excentricité

Les animations ci-jointes permettent de visualiser l'évolution d'une conique en fonction de son excentricité

Famille d'ellipses de demi-grand axe fixé, d'excentricité variable

Crédit : ASM

Famille de coniques de paramètre

fixé, d'excentricité variable de 0 (cercle) à 2.

Crédit : ASM

Ellipse reconstruite dans le plan orbital.

Crédit : ASM

Ellipse observée dans le plan du ciel, distinct du plan orbital

Crédit : ASM

À retenir absolument de ces pages :

Les lois de Kepler bien sûr, et leurs applications.
Vitesse orbitale et vitesse de libération.
Comment déterminer une masse dans le cadre du système à 2 corps.

Différentes étoiles doubles mesurées par le satellite Hipparcos. La ligne en trait plein fixe le segment foyer-périastre (P), celle en trait mixte la ligne des donnée. Les cercles, de rayon 0.1", donnent l'échelle.

Crédit : ESA