Température : Page pour l'impression

Après l'étude des positions et distances des objets, puis de leur masse, ce chapitre traite de phénomènes qui peu ou prou ont à voir avec un paramètre plus intime des objets, leur température. Il aborde, entre autres questions :

La définition de la température effective stellaire.
Le lien entre cette température et le spectre de l'étoile, puis le lien entre ce spectre stellaire et les autres propriétés de l'étoile.
Les propriétés des étoiles, ordonnées selon un diagramme température-luminosité.

La question de l'évolution stellaire - comment les étoiles naissent, vivent et meurent - est alors abordée.

Le spectre du Soleil

Crédit : NOAO

Le sous-chapitre outils introduit des notions de spectroscopie, des outils physiques tels le rayonnement du corps noir ou l'effet Doppler, et des outils propres à l'astrophysique telle la Magnitude.

Le sous-chapitre diagramme HR propose de mettre de l'ordre dans le bestiaire stellaire, grâce à une représentation selon 2 paramètres : la température et la luminosité.

Le sous-chapitre évolution stellaire plonge dans l'intimité du milieu interstellaire, y déniche les étoiles en formation et les interroge sur leur évolution.

Le but de ce sous-chapitre consiste à introduire les outils qui permettront de comprendre la figure ci-dessous.

Que représente la température effective d'une étoile ?
Comment mesure-t-on sa luminosité ?
D'où provient l'information sur les rayons stellaires ?
Que peut signifier le codage des couleurs ?
...

Diagramme HR. Les grandeurs $T _{\mathrm{O}}$ , $L _{\mathrm{0}}$ et $R _{\mathrm{0}}$ sont respectivement les température, luminosité et rayon solaires.

Crédit : PNG

Les rappels sur le corps noir définissent les paramètres importants de ce modèle : lorsque l'on parle sans plus de précision de la température d'une étoile, c'est que l'on s'appuie sur le corps noir.

La notion de magnitude est incontournable en astrophysique : cette grandeur énergétique propre à l'astrophysique est très couramment utilisée pour mesurer un éclat lumineux. Elle se décline sous de nombreuses identités : magnitude absolue, apparente, monochromatique...

Les compléments sont à lire en 2ème lecture.

L'analyse de la lumière émise ou absorbée par les atomes d'un gaz nous renseigne sur la composition, la température et la densité de ce gaz. Cette analyse de la lumière en ses différentes longueurs d'ondes constitue ce qu'on appelle la spectroscopie.

Spectres stellaires, pour des étoiles de température effective de 4000 à 7000 K.

Crédit : ASM

Spectre continu

Lorsque l'on décompose la lumière blanche du Soleil à l'aide d'un prisme on observe un évantail de couleurs. On dit que la lumière blanche possède un spectre continu, car on passe d'une couleur à une autre sans interruption dans la succession des couleurs.

Crédit : Observatoire de Paris

Expérimentalement on constate que tout corps (gazeux ou solide) sous haute pression et à haute température, donne naissance à un spectre continu de lumière.

Spectre de raies d'émission

Si on analyse la lumière émise par une lampe à vapeur de sodium (gaz peu dense et chaud) à l'aide d'un prisme, on constate que le spectre de la lumière émise est constitué de deux raies fines très intenses dans la partie jaune du spectre, se détachant sur fond noir. Le spectre obtenu est discontinu et il est constitué d'un nombre limité de radiations.

Un gaz, à basse pression et à température élevée, émet une lumière constituée d'un nombre restreint de radiations : on obtient un spectre de raies d'émission.

Crédit : Observatoire de Paris

Les couleurs et les positions des raies dans le spectre sont caractéristiques des atomes du gaz qui émettent ces radiations, autrement dit chaque élément chimique à l'état gazeux possède son propre spectre de raies.

Spectre d'absorption

Les atomes peuvent non seulement émettre de la lumière mais également en absorber. On peut constater ceci en faisant passer de la lumière blanche à travers un gaz froid avant de la disperser par un prisme. Lorsqu'un gaz à basse pression et à basse température est traversé par de la lumière blanche, le spectre de la lumière transmise est constitué de raies noires se détachant sur le fond coloré du spectre de la lumière blanche : c'est un spectre de raies d'absorption. La propriété importante de ce spectre de raies d'absorption est que ses raies se produisent au même endroit que les raies d'émission : le gaz absorbe les radiations qu'il serait capable d'émettre s'il était chaud.

Remarque

La lumière peut être également dispersée par un réseau.

Les lois de Kirchoff

Les conditions de formation des différents spectres sont regroupées sous forme de lois, que l'on appelle les lois de Kirchoff.

Un gaz, un solide ou un liquide à pression élevée, s'ils sont chauffés, émettent un rayonnement continu qui contient toutes les couleurs.
Un gaz chaud, à basse pression, émet un rayonnement uniquement pour certaines couleurs bien spécifiques : le spectre de ce gaz présente des raies d'émission.
Un gaz froid, à basse pression, situé après une source de rayonnement continu, en absorbe certaines couleurs, produisant ainsi dans le spectre des raies d'absorption.

Présence de raies sombres dans le spectre du Soleil. Kirchoff mesura la position de plusieurs milliers de raies du spectre solaire et montra qu'elles coïncidaient avec celles émises par divers éléments chimiques.

Crédit : ASM

Applications

Ces lois sont fondamentales pour la spectroscopie et nous permettent ainsi de comprendre les spectres des astres. En effet, le Soleil et les étoiles émettent un spectre continu : on en déduit alors que les étoiles sont formées d'un gaz sous pression, à température élevée. Ils rayonnent comme les corps noirs.

Le spectre du Soleil présente des raies d'absorption, qui caractérisent les éléments chimiques constituant son atmosphère. En effet sa température varie de plusieurs millions de degrés, au centre, à quelques 5800 K en surface. Ainsi le rayonnement continu émis par le gaz chaud subit une absorption par le gaz qui constitue son atmosphère et qui est plus froid. On a ainsi accès la composition de son atmosphère car l'absorption est sélective, elle est caractéristique des éléments chimiques contenus dans celle-ci. On peut en conclure que l'atmosphère du Soleil est constituée d'un gaz sous basse pression.

Dans une grande variété de corps célestes, telles les comètes et certaines étoiles, on peut également observer des spectres d'émission. On en déduit que ces objets sont composés de gaz chaud à basse pression.

Crédit : ASM

QCM

1) Parmi les spectres suivants, lequel est un spectre de raies d'absorption ?
1
2
3

2) Le spectre de la lumière blanche est un spectre :
continu
de raies d'émission
de raies d'absorption

Spectre d'une lampe à vapeur de sodium

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Le spectre de la lumière émise par une lampe à vapeur de sodium présente deux raies très rapprochées. On les appelle doublet du sodium. Elles ont pour longueur d'onde 589,0 nm et 589,6 nm.

Question 1)

Quelle est la couleur de la lumière émise par cette lampe ?

Question 2)

Comment peut-on réaliser le spectre d'émission de cette vapeur et le spectre d'absorption de cette vapeur ?

Question 3)

Décrire l'aspect de ces deux spectres

Présentation du modèle de Bohr

Dans le modèle de Bohr semi-classique, l'électron tourne autour du noyau dans une orbite circulaire, comme une planète autour du Soleil. Un électron en orbite autour du noyau devrait rayonner et, perdant son énergie par rayonnement, tomber sur le noyau. Or ceci ne se produit pas, puisque les atomes sont stables. Bohr supposa alors qu'il existe certaines orbites où l'électron n'émet pas de rayonnement. Ceci arrive chaque fois que le moment de la quantité de mouvement de l'électron est un multiple entier de h/2π (où h est la constante de Planck h=unité(6,62*10^(-34);J*s) ): on numérote par 1, 2, ...., n les orbites successives ainsi permises.

Application à l'atome d'hydrogène

Considérons l'atome d'hydrogène. Son électron ne peut se trouver que sur l'une de ces orbites. Chaque orbite correspond à un niveau d'énergie donné de l'atome: le niveau d'énergie le plus bas, dit niveau fondamental, correspond à l'orbite la plus proche du noyau, qui porte le numéro n=1. Plus n est grand et plus l'orbite a un grand rayon, ce qui veut dire que l'énergie de l'atome est plus élevée. La valeur de n infinie correspond à une orbite de rayon infini, c'est-à-dire à l'ionisation de l'atome. L'énergie correspondante est de 13,6eV.

Représentation des niveaux d'énergie dans le modèle de Bohr : le noyau est symbolisé en vert au centre ; l'électron ne peut occuper qu'un nombre quantifié d'orbites.

Crédit : ASM

L'atome d'hydrogène ne peut absorbe ou émettre qu'un photon d'énergie bien définie.

Lorsque l'électron retombe d'un niveau excité dans un niveau de plus basse énergie, il y a émission d'un rayonnement qui transporte exactement l'énergie correspondant à la différence d'énergie entre les deux niveaux. Pour qu'il y ait émission il faut que l'énergie du niveau initial soit supérieur à l'énergie du niveau final c'est-à-dire que E_n > E_m, n étant le niveau initial et m le niveau final. Or la mécanique quantique montre que pour l'atome d'hydrogène, l'énergie des différents niveaux est définie par l'expression : E_n = - E_0/n^2

où n est un entier (il s'agit des différents niveaux), et E₀ l'énergie nécessaire pour ioniser l'atome d'hydrogène à partir de son niveau fondamental, (valeur est égale à 13,6 eV).

Le photon ainsi émis a une énergie égale à la différence d'énergie entre les deux orbites soit E_m-E_n. Cette énergie correspond, par l'équation de Planck (E=hν), à une onde électromagnétique de fréquence ν bien définie. Le saut d'énergie se manifeste donc par une raie d'émission dans le spectre de l'atome. On en déduit alors :

images/spectro06.gif

ou encore

1/lambda_(mn) = R_H *(1/n^2 -1/m^2)

avec la constante de Rydberg : R_H = E_0/(h*c)

L'atome d'hydrogène peut aussi absorber de l'énergie, ceci lui permettant de passer d'un niveau inférieur à un niveau supérieur, par exemple en absorbant un photon. Mais ceci n'est possible que si le photon possède exactement l'énergie nécessaire, c'est-à-dire la différence d'énergie entre le niveau d'arrivée et le niveau de départ.

Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène

Difficulté : ☆ Temps : 10 minutes

Question 1)

Calculer les énergies (en eV) des quatre premiers niveaux de l'atome d'hydrogène et donner le diagramme des niveaux d'énergie.

Constante de Rydberg

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 minutes

Question 1)

Connaissant l'énergie d'ionisation E₀=13,6eV, calculer la valeur de R_H dans l'expression :

1/lambda_(mn) = R_H *(1/n^2 -1/m^2)

Lampe à vapeur de mercure

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Dans la lumière d'une lampe à vapeur de mercure on trouve les trois radiations monochromatiques caractérisées par leur longueur d'onde λ₁=578 nm ; λ₂=546 nm; λ₃=436 nm

Question 1)

A quel domaine spectral appartiennent-elles ?

Question 2)

Calculer la fréquence de ces trois radiations.

Les raies de Balmer

Les premières raies spectrales de l'hydrogène qui furent étudiées sont situées dans le domaine visible du spectre, bien qu'elles aillent en se resserrant vers une limite située dans le proche ultraviolet. Cette série de raies s'appelle la série de Balmer. Les premières raies sont numérotées au moyen de l'alphabet grec. La première raie, Hα a une longueur d'onde 656,2 nm, elle est donc rouge; la seconde, Hβ, est bleue à 486,1 nm, la troisième, Hγ, est violette à 434,0 nm, et ainsi de suite, jusqu'à 364,6 nm. Cette dernière est la longueur d'onde limite de la série de Balmer.

Raies de Balmer

Les raies de Balmer observées en laboratoire.

Crédit : tbd

Objectifs

L'hydrogène, constituant majoritaire, présente des signatures spectrales bien précises.

Le cas de l'hydrogène

L'atome le plus simple est celui de l'hydrogène, et c'est également celui qui possède le spectre le plus simple. On va décrire le spectre de cet élément, qui est par ailleurs l'élément le plus répandu dans l'univers.

Raies de l'hydrogène

Spectre de raies de l'atome d'hydrogène.

Crédit : ASM

Les séries de Balmer, Paschen...

Les premières raies spectrales de l'hydrogène qui furent étudiées sont situées dans le domaine visible du spectre, bien qu'elles aillent en se resserrant vers une limite située dans le proche ultraviolet. Cette série de raies s'appelle la série de Balmer. Les premières raies sont numérotées au moyen de l'alphabet grec. La première raie, Hα a une longueur d'onde 656,2 nm, elle est donc rouge; la seconde, Hβ, est bleue à 486,1 nm, la troisième, Hγ, est violette à 434,0 nm, et ainsi de suite, jusqu'à 364,6 nm. Cette dernière est la longueur d'onde limite de la série de Balmer.

Quand le niveau inférieur est le niveau fondamental, la série de raies porte le nom de série de Lyman. Cette série de raies est située dans l'ultraviolet. La série de raies correspondant à un niveau inférieur de rang n=2 est située dans le visible et porte le nom de série de Balmer. La série de raies correspondant à un niveau inférieur de rang n=3 est située dans l'infrarouge : on l'appelle la série de Paschen.

Raies de l'hydrogène

Familles spectrales de l'hydrogène, définies par le niveau d'énergie inférieur.

Crédit : ASM

Calcul de longueurs d'ondes

Difficulté : ☆ Temps : 15 minutes

Question 1)

Calculer la longueur d'onde des premières et dernières raies de Lyman, Balmer et Paschen de l'hydrogène et indiquer dans quel domaine du spectre électromagnétique ces ondes se situent.

QCM

1) Dans quelle partie du spectre sont situées les raies de la série de Balmer ?
visible
UV
Infrarouge

La notion de corps noir est simultanément simple et complexe.

Simple, car la situation du corps noir représente une situation d'équilibre thermodynamique entre la matière et son rayonnement. Et l'Univers comme les étoiles sont de bons corps noirs. Complexe, par les pièges du langage - rien de moins noir qu'un corps noir - et par les multiples accrocs à l'équilibre précédemment cité : l'étude d'un spectre stellaire est justement intéressante par ses écarts au corps noir.

Spectres de corps noirs.

Crédit : ASM

Le corps noir est ... noir

D'où vient le terme corps noir? L'étude de quelques documents permet de comprendre cette dénomination. Notons tout d'abord que l'examen du spectre visible, qui ne comporte aucune partie noire et brillante, rappelle que le noir est, plutôt qu'une couleur, une absence de couleur.

Les raies en absorption de ce spectre apparaissent noires.

Crédit : ASM

Un corps absorbant apparaît noir.

Exemples

La photo d'une façade montre des murs violemment éclairés, et des fenêtres très sombres dès lors que les vitres sont ouvertes. Il apparaît que les photons solaires sont bien réfléchis dans un cas, mais dans l'autre ont singulièrement disparu. Diffusés dans la pièce derrière la vitre, bien peu de ces photons sont ressortis, et ceci explique le contraste de luminosité entre la façade et les fenêtres ouvertes.

Façade éclairée

Les fenêtres ouvertes de cette façade ne laissent rien voir de la pièce qu'elles pourraient découvrir. Contrairement aux murs ou aux vitres des fenêtres fermées, qui réfléchissent la lumière incidente, elles renvoient très peu de lumière visible, ce qui explique leur aspect noir.

Crédit : ASM

Les différents détecteurs, qui ont pour fonction de capter la lumière visible, apparaissent noirs : ils ne réfléchissent guère la lumière !

Détecteurs optiques

Assemblage de mosaïques CCD pour l'imagerie grand champ. Un détecteur se doit d'être absorbant, donc le plus noir possible.

Crédit : CFHT

La pupille protégeant la rétine apparaît noire. Les petites taches brillantes sont des réflexions parasites, qui indiquent que la transmission de la lumière vers les capteurs n'est pas de 100%.

Crédit : ASM

Les détecteurs optiques ont pour mission de rendre compte de l'information lumineuse. Cette opération nécessite l'absorption des photons. La figure de quelques détecteurs, dont la pupille de l'oeil humain, montre qu'effectivement ils apparaissent noirs.

Un corps noir peut être coloré

Une étoile, le Soleil par exemple, est présenté comme un corps noir. A basse résolution spectrale, le spectre du soleil se superpose à celui d'un corps noir de température 5777 K. Et pourtant rien n'est moins noir que le soleil. Il apparaît donc nécessaire de donner une définition précise de ce qu'est un corps noir... qui peut être coloré.

Le spectre du soleil à basse résolution

Observé à basse résolution, le spectre du soleil ressemble à celui d'un corps noir de température d'équilibre 5777 K. Mais pour déterminer cette température au degré près, il est nécessaire d'analyser finement les écarts à la loi du corps noir.

Crédit : ASM

Prérequis

Thermodynamique : équilibre et notion de température

Objectifs

Comprendre ce qui caractérise un corps noir

Le corps noir

On trouve comme définitions usuelles du corps noir :

Définition

Un corps noir est un corps idéal totalement absorbant à toute radiation électromagnétique.
Un exemple de corps noir consiste en une enceinte isotherme munie d'une toute petite ouverture

Ces définitions n'aident pas directement à comprendre pourquoi un corps tel une étoile est un corps noir. Le lien peut déjà apparaître, si l'on compare comme dans le chapitre structure interne le rapport de 2 durées : celle prise par un photon pour traverser directement un rayon stellaire, et celle mesurant qu'effectivement l'énergie produite au sein du soleil est évacuée en surface.

Un exemple : le soleil

La traversée directe du rayon solaire à la vitesse de la lumière prend à peine plus de 2 secondes, alors qu'il faut près d'un million d'années pour que l'énergie soit extraite du soleil. Cette durée est incomparablement plus longue, car le trajet de l'énergie est une marche au hasard entrecoupée d'incessantes absorptions et réémissions de photons.

Illustration de la marche des photons au sein du soleil

Le processus d'absorption-réémission permet de transporter l'énergie du centre du soleil jusque vers l'extérieur, tout en assurant un équilibre énergétique, qui va conduire au rayonnement de corps noir du soleil.

Crédit : ASM

En ce sens on comprend que le soleil est très absorbant pour ses propres photons. Son spectre a l'allure de celui d'un corps noir. Il est vrai que s'y superposent des raies d'absorption :

L'allure de corps noir rend compte de l'équilibre thermique global
Les raies du spectre rendent compte de la nature de la matière solaire dans les couches superficielles d'où s'échappent les photons.

Il en résulte qu'un corps noir est défini par l'équilibre intime entre sa matière et son rayonnement. Sa température d'équilibre explicite à elle seule la distribution spectrale de son rayonnement.

Qu'est-ce qu'un corps "pas noir" ?

Plusieurs phénomènes sont irréductibles au corps noirs :

Un miroir est par définition très réfléchissant, et ne peut donc pas être absorbant. Il n'y aucun équilibre entre un miroir et le flux lumineux qu'il réfléchit.
Le rayonnement émis par une lampe à vapeur spectrale obéit à des règles de quantification énergétique fixées par la nature du gaz qui émet le rayonnement. La position des raies d'émission dépend de la nature de l'élément, et pas de la température.

QCM

1) Les taches solaires apparaissent noires par rapport à l'atmosphère environnante :
car elles sont plus chaudes
car elles sont plus froides
ça n'a rien à voir avec leur température

2) Un corps noir est sombre par définition
Vrai
Faux

Spectres de corps noirs

L'observation de spectres stellaires, à basse résolution spectrale montre que l'allure de ces spectres suit effectivement celle d'un corps noir.

Spectres de corps noirs

Spectres de corps noirs à différentes températures

Crédit : ASM

Spectres stellaires

Cela n'est vrai que pour l'allure du spectre : à plus haute résolution, il apparaît clairement que se superposent à l'enveloppe du corps noir des raies en absorption. Si le spectre de corps noir ne dépend que de la température d'équilibre du corps, les raies signent la présence des éléments constitutifs de l'atmosphère stellaire.

Le spectre des étoiles chaudes s'écarte significativement de la courbe du corps noir, en raison de l'ionisation de l'hydrogène par des photons de longueur d'onde inférieure à 360 nm.

Spectre stellaire

Spectre stellaire (type G2) à basse résolution. Il se superpose approximativement à un spectre de corps noir de température 5700 K, sauf dans le domaine UV.

Crédit : ASM

Spectre stellaire

Spectre d'une étoile chaude (type G1) à basse résolution. L'absorption intense en deçà de 360 nm, due à l'ionisation de l'hydrogène, ecarte le spectre de l'enveloppe du corps noir.

Crédit : ASM

Objectifs

Définir le rayonnement du corps noir
Le corps est finalement une entité physique idéale, dont le rayonnement ne se caractérise plus que par sa température d'équilibre
Les définitions des grandeurs énergétiques utiles sont rappelées à la page de photométrie énergétique.

La loi de Planck

La loi de Planck décrit l'émission d'un corps noir de température :

${{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) \ =\ {2 h c^{2} \lambda^{-5} \over \exp\displaystyle{hc\over \lambda\ k _{\mathrm{B}}T} -1}$

Interviennent dans cette relation la constante de Planck $h = 6.626\ 10^{-34} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{s}}$ , la constante de Boltzmann $k _{\mathrm{B}} = 1.381\ 10^{-23} {\,\mathrm{J}} { {\,\mathrm{K}}}^{-1}$ , et la célérité de la lumière dans le vide. Ceci indique que la loi de Planck est à l'intersection, respectivement, de la physique quantique, statistique et relativiste.

Dans le système d'unités international, ${{ \mathcal{B}}}$ s'exprime en ${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-3}{ {\,\mathrm{sr}}}^{-1}$ , ou en unité dérivée ${\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1} {\,\mathrm{sr}}^{-1}$ ; $\mathcal{B}$ est une luminance spectrale, càd une puissance rayonnée par unités d'angle solide, de surface et spectrale.

Courbes de lumière de corps noirs

Luminance monochromatique du corps noir, pour des températures correspondant à divers types stellaires

Crédit : ASM

Le dénominateur de la loi de Planck est caractéristique d'une loi statistique de Bose-Einstein, à laquelle obéit un gaz de photons. Comme tout vecteur d'interaction fondamentale (l'interaction électromagnétique), le photon est un boson, une particule de spin entier.

La fonction ${ \mathcal{B}}_\lambda (T)$ dépend de la température comme de la longueur d'onde. Elle est notée ainsi, et non ${ \mathcal{B}} (\lambda, T)$ , pour mettre en évidence la variable spectrale, ici la longueur d'onde. Cette dépendance spectrale peut également s'exprimer en fonction non de la longueur d'onde, mais de la fréquence. La loi de Planck se réécrit alors dans ce cas (justification donnée en exercice).

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2} \nu^{3}\over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

L'unité de ${{ \mathcal{B}}}_\nu (T)$ est alors : ${\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mathrm{Hz}}^{-1} {\,\mathrm{sr}}^{-1}$ .

Courbe de rayonnement

A l'aide de l'appliquette ci-dessous, vous pouvez tracer un spectre de corps noir en fonction de sa température.

Luminances spectrales

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

On considère la luminance du corps noir, dans un domaine spectral de largeur $\delta \lambda$ autour de la longueur d'onde $\lambda$ . Exprimer les fréquence et intervalle de fréquence correspondant.

Question 2)

Exprimer la luminance du corps noir de 2 manières différentes, en fonction de ce qui précède.

La loi de déplacement de Wien

La représentation de la superposition de plusieurs spectres de corps noir permet de faire le lien entre la température du corps noir et la longueur d'onde où a lieu l'émission maximale. On peut vérifier que les maxima sont simplement alignés, dans un diagramme en échelle logarithmique.

On en déduit la relation reliant $\lambda _{\mathrm{max}}$ , abscisse du maximum, et la température , en tenant compte de l'échelle logarithmique de la figure : $\log\lambda _{\mathrm{max}}$ en relation affine avec $\log T$ implique que ces 2 termes sont fonction monomiales l'un de l'autre, en fait inverse l'un de l'autre.

Courbes de lumière de corps noirs stellaires

La couleur de chacun des luminances spectrales représentées rappelle la température de couleur de l'objet. Les maxima s'alignent sur une droite.

Crédit : ASM

Objectifs

Relier la température du corps et maximum de sa luminance spectrale

La loi de déplacement de Wien

Le calcul du maximum d'intensité de la courbe de luminance spectrale du corps noir passe par une dérivation de cette fonction. Sans calcul, la présence au dénominateur, sous l'exponentielle, du produit $\lambda T$ , qui seul introduit la température, implique que la condition d'extremum va être une fonction de ce produit $\lambda T$ .

En notant $\lambda _{\mathrm{max}}$ la longueur d'onde du maximum de luminance spectrale, il apparaît donc :

$\lambda _{\mathrm{max}}\ T\ = \ \mathrm{cste}$

Le calcul de cette constante donne :

$\lambda _{\mathrm{max}}\ T \ =\ 2.89\ 10^{-3} {\,\mathrm{K}} {\,\mathrm{m}}$

Température et couleur

Cette relation fait le lien entre une température et une longueur d'onde, et crée un lien entre une température et une couleur, ce qui permet de définir la température liée à la couleur de l'objet.

Température et maximum d'émission
objet ( $\equiv$ corps noir)	température (K)	$\lambda_M$	domaine spectral
étoile type O	50 000	60 nm	UV
soleil	6 000	0.5 ${\,\mu\mathrm{m}}$	visible
Terre	300	10 ${\,\mu\mathrm{m}}$	IR
nuage moléculaire $\mathrm{H}_2$	20	0.15 mm	submm
fond cosmologique	3	1 mm	mm

QCM

1) Un objet rayonnant comme un corps noir, donc la courbe de luminance spectrale présente un maximum à $30 {\,\mu\mathrm{m}}$ a une température de :
30 K
100 K
300 K

2) Un objet rayonnant comme un corps noir de température 10000 K présente un maximum de luminance spectrale à :
3 nm
30 nm
300 nm

3) Le spectre ci-contre correspond à une température de :
100 K
1000 K
indécidable

Crédit : ASM

Température et couleur

La relation entre température et longueur d'onde du maximum d'émission, permet de définir une relation entre température et couleur, via la correspondance entre longueur d'onde et couleur.

On dispose ainsi d'un thermomètre : une étoile bleue est plus chaude qu'une étoile rouge.

Lien entre température de corps noir et couleur

Crédit : ASM

Couleur des étoiles

La couleur apparente d'une étoile ne va pas exactement correspondre à la température de son maximum d'émission. En effet, la couleur perçue par le détecteur va intégrer une bonne part de l'énergie rayonnée, et pas seulement celle au maximum d'émission.

Il ne faut pas oublier que la perception des couleurs dépend intimement de la détection : derrière un filtre rose, on voit la vie en rose ! Les couleurs restituées par une image en couleur, obtenue par composition de 3 images dans 3 filtres différents, vont le plus souvent être très vives (pour des raisons esthétiques) que celles vues à l'oeil nu.

On peut néanmoins dégager quelques impressions générales :

Une étoile de température effective 10000 K, qui rayonne essentiellement dans le proche UV, apparaîtra blanche, à l'oeil nu, cette impression résultant de la superposition de toutes les couleurs du spectre.
Il faut vraiment qu'une étoile soit très froide pour apparaître rougeâtre. Une étoile froide apparaît plutôt orange.
IL faut de même qu'une étoile soit très chaude pour apparaître bleutée.
Une étoile apparaît rarement de couleur tirant sur le vert, ou alors uniquement par contraste avec un objet voisin très rouge (ou bien lorsque le rayonnement n'est pas de type corps noir, mais monochromatique dans une raie d'émission telle celle de l'oxygène, suite à un processus d'excitation qui n'a rien à voir avec le corps noir)

Couleurs

Couleurs dans l'amas NGC6093

Crédit : HST

Couleurs

Couleurs dans Orion. Les étoiles bleues sont bien plus chaudes que les rouges. Attention, toute couleur ne se traduit pas en température : la nébuleuse d'Orion, M42, doit sa couleur rose à une raie de l'hydrogène.

Crédit : CFHT

Couleur des étoiles

La couleur des étoiles perçue par l'oeil ne correspond pas à ce que détermine leur température via la loi de Wien : l'oeil intègre à sa façon toutes les couleurs présentes dans le spectre visible. La perception des couleurs est très variable d'un individu à l'autre, et souvent subjective.

Crédit : ASM

Objectifs

Définir la température pour un corps assimilable à un corps noir

Température et couleur

La loi de Wien associe, via la relation précédente, une couleur à une température, par la relation entre la longueur d'onde $\lambda _{\mathrm{max}}$ et une couleur.

Température et maximum d'émission
objet ( $\equiv$ corps noir)	température (K)	$\lambda_M$	couleur de température
étoile type O	50 000	60 nm	UV
soleil	6 000	0.5 ${\,\mu\mathrm{m}}$	visible
Terre	300	10 ${\,\mu\mathrm{m}}$	IR thermique

Attention, ceci n'a de sens que pour un corps dont le rayonnement est de type corps noir. La mer, même bleue, n'est pas à 8000 K !

QCM

1) Une étoile rouge est plus chaude qu'une étoile bleue
Vrai
Faux
Ça dépend

2) Une étoile rouge rayonne plus qu'une étoile bleue
Vrai
Faux
Ça dépend

3) Une étoile rouge ne rayonne pas dans le bleu
Vrai
Faux
Ça dépend

Corps noir ou pas ?

Difficulté : ☆☆ Temps : 5 min

Question 1)

Le pull de votre voisin est jaune, quelle est sa température ?

[1 points]

Question 2)

La question précédente est-elle bien posée ?

[1 points]

Question 3)

Tracer l'allure du spectre de ce pull, à très basse résolution spectrale. Ne pas oublier que votre voisin en bonne santé a une température corporelle de 37º C.

[2 points]

Puissance totale rayonnée

Objectifs

Etablir le bilan de la puissance rayonnée par un corps noir stellaire.

Quelle puissance rayonne une étoile de température d'équilibre , assimilable à un corps noir de température , supposée sphérique de rayon ? La réponse nécessite d'intégrer la luminance spectrale du corps noir sur toute sa surface, dans toutes les directions, à toute longueur d'onde.

Le calcul aboutit à la puissance :

$\mathcal{P} \ = \ 4\pi R^{2} \ \sigma T^4$

avec la constante de Stefan : $\sigma = 5.669\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{K}}^{-4}$ .

Puissance totale rayonnée

On peut justifier rapidement la présence des termes $R^{2}$ et T^4 dans cette puissance totale rayonnée. En effet, l'intégration de la luminance spectrale, spatiale, angulaire et spectrale :

$\mathcal{P} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {{ \mathcal{B}}_\nu (T) } \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {2 h \over c^{2}} {\nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1} \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu$

implique, pour la dépendance en fonction du rayon, un terme proportionnel à la surface stellaire, variant donc comme $R^{2}$ , et pour le terme de température, un terme proportionnel à T^4 , mis en évidence par le changement de variable $x = h\nu / kT$ , qui conduit à :

${\cal P} \propto \ \left({kT\over h}\right)^4 \ \int_0^\infty\!\! {x^{3} \over \exp\displaystyle{x} -1} \ {\mathrm{d}} x$

Les termes non explicités dans cette équation ne dépendent pas de la température, pas plus que l'intégrale sur la variable , qui n'est plus qu'un simple nombre $(\pi^4 / 15)$ .

La loi en T^4 entraîne une grande diversité dans la vie des étoiles. Deux étoiles de rayons analogues mais avec des températures variant du simple au quintuple (4000 - 20000 K p.ex.) vont avoir des luminosités dans un rapport de 625, donc déjà des couleurs et luminosités très différents. Mais il s'ensuit également des conséquences très fortes sur leurévolution.

Rayon stellaire

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45min

La puissance rayonnée par une étoile, assimilée à un corps noir de rayon et température , varie comme :

${L\over L_\odot} \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^\alpha \ \left({T\over T_\odot}\right)^\beta$

avec $R_\odot$ , $T_\odot$ et $L_\odot$ respectivement les rayon, température effective et luminosité du soleil.

Question 1)

Rappeler les valeurs de $\alpha$ et $\beta$

Question 2)

Une naine blanche présente une luminosité 100 fois inférieure à celle du Soleil, pour une température $T _{\mathrm{NB}}$ . Estimer son rayon $R _{\mathrm{NB}}$ , en fonction des données solaires et de $T _{\mathrm{NB}}$ .

Question 3)

Calculer $R _{\mathrm{NB}}$ pour = 30000 K, $R_\odot = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}$ et $T_\odot = 5800 {\,\mathrm{K}}$ .

Question 4)

Représenter sur le diagramme ci-joint les lignes iso-rayon, pour les étoiles de respectivement 0.1, 1 et $10~R_\odot$ .

Diagramme HR

Diagramme HR : température en abscisse, luminosité (par rapport à la luminosité solaire) en ordonnée, avec en pointillé les lignes iso-luminosité et iso-température (pour les températures $T_\odot$ et $10\ T_\odot$ )

Crédit : ASM

Question 5)

Situer sur ce diagramme une supergéante rouge de rayon $10^{2}\ R_\odot$ et une naine blanche de rayon $10^{-2}\ R_\odot$ , de température respective 4000 et 30 000 K.

Mesure de la température effective

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La loi de Stefan permet de calculer la température d'un corps noir à partir de sa luminosité et de sa taille. La difficulté est que ces deux termes dépendent de la distance de l'objet. L'exercice se propose de voir comment pallier cette difficulté, dès lors que l'on peut connaître, par interférométrie, le rayon angulaire de l'étoile. Par la suite, on note $\ell=L/d^2$ le flux relatif de l'étoile et $\theta$ le rayon angulaire de l'étoile.

Question 1)

Comment $\theta$ s'exprime-t-il en fonction du rayon et de la distance ?

[1 points]

Question 2)

Réécrire la relation de luminosité du corps noir en fonction des observables $\ell$ et $\theta$ . En déduire que l'on peut relier la température de corps noir à des grandeurs directement mesurables.

[2 points]

Objectifs

Le corps correspond à un équilibre entre un corps de température et un rayonnement de corps noir à cette même température.

Thermalisation

L'exemple du soleil permet de définir la température effective d'un corps noir, ou température d'équilibre, ou température de brillance.

Le parcours de l'énergie au sein du soleil est, jusqu'aux couches supérieures, une succession ininterrompue d'absorption et de réémission des photons initialement produits par les réactions nucléaires au centre de l'étoile, dans le domaine $\gamma$ , jusqu'aux photons finalement émis, majoritairement dans les domaines UV, visible et IR.

Arrivés dans la photosphère, les photons peuvent quitter le soleil, avec une distribution énergétique qui est celle du corps noir, de température donnée, que l'on appelle température effective.

Equilibre

En raison de l'équilibre entre le rayonnement de corps noir et la matière du corps noir, il y a concordance entre cette température et celle du milieu émetteur. D'après le second principe de la thermodynamique, les couches atmosphériques plus profondes qui ont fourni l'énergie ne peuvent être qu'à une température plus élevée. Il s'ensuit un certain nombre de conséquences :

La température effective correspond à la température minimale rencontrée dans la partie supérieure de l'atmosphère stellaire
Le niveau de l'atmosphère que l'on voit, par définition celui dont sont issus les photons, est de température très voisine à la température effective.
Les niveaux inférieurs sont opaques, vu que le processus de thermalisation entre matière et rayonnement y est à l'oeuvre

Equilibre thermique d'une planète

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

On s'intéresse au bilan radiatif d'une planète en orbite circulaire de rayon autour de son étoile. On suppose l'espace interplanétaire vide, ce qui entraîne la conservation du flux stellaire intégrée sur toute surface entourant l'étoile. La rotation propre de la planète est suffisamment rapide pour que l'on puisse considérer sa température $T _{\mathrm{P}}$ comme uniforme sur toute la surface. On néglige toute autre source d'énergie que stellaire.

La planète réfléchit une fraction du rayonnement solaire, et en absorbe une fraction (1-A) , où est l'albédo. On peut, en première approximation à basse résolution spectrale, considérer ce spectre comme la superposition du spectre de 2 corps noirs, dont on cherche à déterminer les températures. On note $\ell _{\mathrm{r}}$ la composante énergétique directement réfléchie, et $\ell _{\mathrm{a}}$ la composante absorbée puis rerayonnée.

Question 1)

Montrer que la puissance interceptée par la planète vaut :

$\ell _{\mathrm{P}} = L\ {R^{2}\over 4 \ a^{2}}$

où représente le rayon planétaire.

Question 2)

Calculer le rapport $\ell _{\mathrm{P}} / L$ dans le cas de Jupiter et de la Terre.

Objet	(UA)	(km)
Jupiter	5.2	71000
Terre	1	6400

Pour mémoire $\L_\odot = 4\ 10^{26} {\,\mathrm{W}}$ .

Question 3)

La planète étant à l'équilibre thermodynamique, exprimer $\ell _{\mathrm{r}}$ et $\ell _{\mathrm{a}}$ en fonction de la luminosité totale $\ell _{\mathrm{P}}$ et de l'albédo .

Question 4)

Quelle est la température $T _{\mathrm{r}}$ associée au rayonnement réfléchi $\ell _{\mathrm{r}}$ , assimilé à un rayonnement de corps noir ?

Question 5)

Montrer que la température associée à la composante $\ell _{\mathrm{a}}$ , voisine de la température d'équilibre de la planète, est alors:

$T _{\mathrm{P}}\ =\ (1-A)^{1/4} \left({ R_\star \over 2 a }\right)^{1/2} T_\star$

Question 6)

Faire l'application numérique pour une exoplanète avec une albédo ${A}\simeq 0.5$ et un demi-grand axe $a=0.05 {\,\mathrm{UA}}$ . Pour l'étoile, on prendra : $T_\star = 5500 {\,\mathrm{K}}$ et $R_\star = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}$ .

Question 7)

En déduire la longueur d'onde $\lambda _{\mathrm{P}}$ correspondant au maximum de l'émission planétaire. A quel domaine spectral cette température correspond-elle?

Raie de Balmer de l'hydrogène superposées au spectre stellaire visible d'une étoile chaude de type A.

Crédit : ASM

Spectres stellaires

Un spectre stellaire présente, superposées à un spectre continu de type corps noir, des raies en absorption. Leur présence conduit à répartir l'énergie différemment du spectre du corps noir, dont on retrouve néanmoins la trace dans l'allure générale du spectre à basse résolution.

Le spectre du corps noir est insuffisant pour rendre compte de l'aspect de Jupiter à ces différentes longueurs d'onde, mais fournit une explication pour les variations de la magnitude moyenne. C'est à 3.40 micromètres, minimum de luminosité entre le spectre solaire réfléchi et le spectre du corps noir jovien, que Jupiter apparaît le plus sombre.

Crédit : NASA

Raies et continu

La plupart des spectres des objets astrophysiques résultent de la somme des contributions spectrales superposées au corps noir. Sur la mosaïque d'images infrarouges de Jupiter ci-jointe, contributions spectrales et de corps noir s'entremêlent.

À 1.60 micromètres, le rayonnement de corps noir (le spectre solaire réfléchi) domine. À 3.41 micromètres, minimum entre les corps noirs jovien et solaire réfléchi, la contribution prépondérante provient de l'émission stratosphérique de l'ion $\mathrm{H}_3^{+}$ . À plus haute longueur d'onde, le spectre de corps noir de Jupiter prend de l'importance, et révèle les inhomogénéités de la troposphère jovienne.

Spectres stellaires

Un spectre stellaire présente, superposé à un spectre continu de type corps noir, des raies en absorption.

La température d'équilibre correspond à la température de la photosphère, d'où s'échappent les photons, qui correspond à un minimum local de température.

La température d'équilibre correspond à la température de la photosphère, d'où s'échappent les photons.

Crédit : ASM

Spectres planétaires

Un spectre planétaire présente, superposé à un spectre continu de type corps noir, des raies en absorption ou en émission. Contrairement à un spectre stellaire, le spectre planétaire voit 2 sources chaudes : son étoile et sa structure interne.

Le minimum de température correspond à la tropopause.

Les raies en absorption signalent un déficit énergétique par rapport au corps noir, et signent la présence d'un absorbant dans la troposphère : région où la température décroît avec l'altitude. Cet élément a ponctionné une partie de l'énergie dans la raie considérée. Dans cette région plus profonde que la tropopause, l'énergie est redistribuée à toute longueur d'onde, suite aux multiples interaction matière-rayonnement.

Les raies en émission signalent un surcroît énergétique par rapport au corps noir, et signent la présence d'un absorbant dans la stratosphère : région où la température croît avec l'altitude. Cet élément a ponctionné une partie de l'énergie solaire incidente dans la raie considérée, et la réémet.

Les raies en absorption proviennent de la troposphère.

Crédit : ASM

Les raies en émission proviennent de la stratosphère.

Crédit : ASM

Fond cosmologique

L'observation spectroscopique du rayonnement du fond cosmologique met en évidence un rayonnement de corps noir, le corps noir cosmologique. Sa température d'équilibre est de l'ordre de 3 K (2.728 K pour être très précis).

La loi de déplacement de Wien associe cette température à un maximum d'émission dans les longueurs d'onde millimétrique.

Le corps noir cosmologique

Le spectre du rayonnement du fond cosmologique est de type corps noir. Mesure de l'instrument FIRAS du satellite CoBE (Cosmic Background Explorer) de la NASA. L'échelle spectrale est donnée en fréquence (unité = $10^{11} {\,\mathrm{Hz}}$ ).

Crédit : NASA

Spectre planétaire

L'allure d'un spectre planétaire montre une courbe "à 2 bosses". Les 2 maximas locaux piquent à 0.5 et $10 {\,\mu\mathrm{m}}$ , soit à des températures effectives de 6000 et 300 K approximativement.

Les 2 contributions du spectre ont clairement 2 origines distinctes :

La composante visible correspond à la réflexion du spectre stellaire réfléchi par la planète
La composante infrarouge rend compte du spectre de corps noir planétaire. La planète est à l'équilibre thermique entre 2 sources : l'apport énergétique de l'étoile (source chaude), et le rayonnement vers le ciel (source froide).

Spectre planétaire, à basse résolution

Deux composantes de type corps noir constituent le rayonnement des spectres planétaires à basse résolution spectrale : le spectre solaire réfléchi, et le spectre thermique.

Crédit : ASM

Fond cosmologique

Dans le cadre de la théorie du big-bang, l'Univers est en expansion et se refroidit. Il est passé dans le passé par des phases plus chaudes, et a connu diverses étapes, correspondant à des ruptures d'équilibre.

Pour des température de plus 3000 K, la matière et le rayonnement était à l'équilibre, suite à l'interaction entre les électrons, libres, et les photons. Aux températures plus faibles, la recombinaison des électrons avec les protons pour former l'hydrogène atomique a occasionné le découplage de la matière et du rayonnement.

Ce dernier garde une distribution énergétique de corps noir, mais s'est refroidi suite à l'expansion de l'univers. Il présente aujourd'hui une température, très homogène, de 2.728 K.

Spectres planétaires

En première approximation, on peut distinguer 2 composantes dans un spectre planétaire :

Le spectre solaire directement réfléchi
Le spectre infrarouge, rayonnée par la planète en fonction de sa température d'équilibre

Stricto sensu, le rayonnement n'est plus un rayonnement de corps noir. En fait, les 2 composantes sont proches de 2 corps noirs, l'un à la température du rayonnement stellaire, l'autre à la température d'équilibre planétaire.

Spectre planétaire, à basse résolution

Deux composantes de type corps noir constituent le rayonnement d'un spectre planétaire observé à basse résolution spectrale.

Crédit : ASM

Température d'antenne

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Il a été vu que la luminance spectrale du corps noir s'exprime, en fonction de la fréquence par :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2} \nu^{3}\over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

Dans cet exercice, on se propose de montrer comment cela conduit les radio-astronomes à exprimer une luminosité radio comme une température, et donc à l'exprimer en Kelvin.

Les conditions d'observation de l'image, définies par la diffraction, énoncent que le faisceau élémentaire observable a une étendue $S \Omega$ égale à $\lambda^{2}$ , et que la mesure ne peut donner accès qu'à une seule direction de polarisation. L'intégration sur et sur $\Omega$ permet de passer de la luminance spectrale à la puissance spectrale.

La surface représente ici la surface collectrice, et $\Omega$ l'angle solide sous lequel est vue la source élémentaire.

Question 1)

Montrer que, dans le domaine des radiofréquences, la fréquence d'observation $\nu$ , typiquement de l'ordre du GHz, vérifie pour les températures, même froides, rencontrées dans l'Univers :

$h\nu \ll k_B T$

On donne $h = 6\ 10^{-34}\ \mathrm{SI}$ , et $k_B= 1.3\ 10^{-23} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{K}}^{-1}$ . On considère comme objet un nuage moléculaire à 10 K, et un rayonnement aux longueurs d'onde supérieures à 1 cm.

Question 2)

En déduire l'approximation de la loi de rayonnement dans le domaine radio :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ 2 c^{-2}\ \nu^{2}\ k_BT$

Question 3)

Montrer que l'intégration de la luminance spectrale ${ \mathcal{B}}_\nu$ , vis à vis des variables angulaires et de surface, conduit à une densité spectrale de puissance égale à 2 k T

Question 4)

Déterminer alors la puissance reçue dans l'intervalle de fréquence $\Delta \nu$ .

Spectre d'une exoplanète

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Spectre exoplanétaire simulé à basse résolution spectrale.

Crédit : ASM

Question 1)

Interpréter la figure ci-jointe, simulant un spectre exoplanétaire.

[1 points]

Question 2)

Estimer les températures effectives associées à ce spectre.

[2 points]

Question 3)

Cette planète est supposée de type tellurique, de rayon égal à celui de la Terre et située à 1 UA de son étoile, laquelle est de type à peu près solaire. Comparer sa température d'équilibre à celle de la Terre. Subit-elle un effet de serre important ?

[1 points]

L'application des lois concernant le corps (loi du rayonnement, loi de Wien, loi de Planck) est très souvent féconde... mais il faut tout d'abord retenir de ces pages les conditions physiques dans lesquelles peut s'appliquer le modèle du corps noir : le rayonnement doit traduire l'équilibre thermique de l'objet considéré. Sans cette hypothèse, l'application des lois précédentes reste vaine, et peut conduire à de gros contresens (que l'on retrouve souvent dans la littérature, lorsque la notion de température de couleur est utilisée tellement loin de son domaine de validité qu'elle en perd tout son sens).

En première approximation, les étoiles rayonnent comme des corps noirs... mais les nombreuses raies d'absorption peuvent conduire à un profil de rayonnement bien déformé. Le rayonnement du fond cosmologique est quant à lui un excellent corps noir.

Corps noir volatile certes, mais corps noir physique ?

Crédit : ASM

Mesurer une grandeur énergétique n'est pas des plus simples. En fonction des besoins de l'astronomie et de l'astrophysique s'est développée la notion de magnitude.

Les pages qui suivent définissent cette échelle énergétique, et justifient son emploi en fonction des mesures effectuées.

La constellation de la Grande Ourse. La taille des points code la magnitude stellaire, la couleur le type spectral.

Crédit : BSC/ASM

Grandeur des étoiles

Il n'y a pas de lien univoque entre la luminosité d'une étoile et sa taille. Dans le langage commun, une "grosse" étoile est une étoile lumineuse, et une "petite" une étoile moins lumineuse.

Historiquement est apparue la notion de grandeur, ici rendue par la représentation d'un champ stellaire.

Figure historique

Croquis d'un champ stellaire dans la Nébuleuse d'Orion (1771). Le cartouche définit le codage de la grandeur, ou luminosité, des étoiles

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Magnitude

Pour coder les magnitudes, souvent les cartes reprennent cette image (voir le cours corps noir pour la relation entre rayon et flux stellaires).

Magnitudes

La constellation d'Orion, avec représentation des magnitudes stellaires. Par convention, la magnitude d'une étoile est souvent représentée par un disque d'autant plus gros que la magnitude est faible (càd que l'objet est lumineux).

Crédit : ASM

Prérequis

Corps noir ; Energétique

Objectifs

La magnitude exprime une mesure photométrique dans un système d'unités approprié à l'usage astrophysique. On peut ainsi comparer les étoiles les unes par rapport aux autres d'un point de vue énergétique.

Historique

Le père de la magnitude est Hipparque (2e siècle avant J-C) : les étoiles les plus brillantes étaient classées dans la catégorie "étoiles de première grandeur", les autres se répartissaient ensuite sur 5 échelons, jusqu'aux "étoiles de sixième grandeur" qui étaient les plus faibles visibles à l'œil nu.

L'utilisation d'instruments capables de mesurer les intensités lumineuses plus précisément qu'à l'oeil nu permit de préciser et de développer la notion de magnitude : la définition historique de la magnitude a été traduite en une échelle logarithmique, car l'oeil est un récepteur logarithmique. La limite de détection à l'oeil nu, correspond à des étoiles de magnitude 6.

Magnitude apparente

Etoile double du Bouvier

L'étoile centrale a une magnitude de 4,5, la seconde étoile a une magnitude de 7,2 et les étoiles du fond de ciel une magnitude comprise entre 15 et 18.

Crédit : CDS

La magnitude apparente mesure l'"éclat" apparent d'une étoile, c'est à dire la façon dont on la voit de la Terre.

Quelques magnitudes apparentes
Objet	Magnitude apparente
Soleil	-26,7
Lune	-12,7
Vénus	-4,4
Sirus	-1,4
Véga	0
Antarès	1
Etoile polaire	2
Limite de perception à l'oeil nu	6
Limite de perception aux jumelles	10
Limite de perception au sol	27
Limite de perception du télescope spatial Hubble	30

Plus un objet est brillant, plus sa magnitude est petite. Une différence de magnitude de 2.5 unités correspond à un contraste de luminosité de 10.

Magnitude apparente

Définition

La magnitude est une grandeur qui permet de mesurer la luminosité des astres.

La magnitude apparente d'une étoile est définie conventionnellement à partir de son flux par la relation :

$m\ =\ -2.5\ \log_{10} {E\over E _{\mathrm{0}}}$

où $E _{\mathrm{0}}$ représente le flux d'une étoile de référence de magnitude nulle.

Le facteur 2.5 et la base logarithmique décimale ont été choisis afin de respecter la définition historique.

La définition du flux ici introduit n'est pas primordiale, vu que la définition se contente d'introduire un rapport de cette grandeur. On peut se référer à un tableau récapitulatif des grandeurs photométriques utilisées.

La différence de magnitude de deux étoiles, et , s'exprime par :

$m _{\mathrm{A}}-m _{\mathrm{B}}\ =\ -2.5\ \log {E _{\mathrm{A}}\over E _{\mathrm{B}}}$

Elle est égale à 2.5 en valeur absolue si le rapport de leurs flux est 10.

D'autres échelles de magnitude

La magnitude apparente ne nous renseigne en rien sur la luminosité réelle de l'astre et ne donne aucune indication sur sa nature, car la définition de la magnitude apparente :

ne dépend pas a priori du récepteur utilisé,
ne dépend que de l'éclat apparent de l'objet et donc mélange une information propre à l'étoile (son flux) à la distance Terre-étoile,
ne tient pas compte de la couleur de l'étoile,
ne nécessite pas une définition précise de la grandeur photométrique mesurée, vu que seul le rapport de deux telles grandeurs entre en jeu.

Des définitions plus circonstanciées permettent de préciser la notion de magnitude. On introduit la magnitude absolue , qui indique la luminosité d'un objet rapporté à une distance de 10 parsec.

De même, la définition précédente néglige toute information sur la couleur de l'objet. Pour cela, on introduit la magnitude monochromatique et les indices de couleur.

Décompte en fonction de la magnitude

Plus un détecteur est sensible, plus il va pouvoir observer d'objets, pour 2 raisons :

Accès aux objets intrinsèquement peu brillants, et qui passent inaperçus quand bien même ils ne sont guère éloignés
Observation des objets moins lumineux, car éloignés

Décompte d'étoiles en fonction de lamagnitude

Le tableau ci-joint dénombre les objets stellaires en fonction de leur magnitude apparente. Plus précisément, en fonction de la magnitude , décompte du nombre dN/dm d'étoiles de magnitude comprise dans l'intervalle [m-0.5, m+0.5] , et total cumulé N(m) jusqu'à la magnitude .

Traitement

On cherche à estimer la relation N(m) , et à montrer qu'elle est du type :

$N(m) \propto 10^{\beta \, m}$

Tracer le graphe donnant le nombre d'étoiles observables jusqu'à une magnitude apparente donnée , puis $\log_{10} N/ {\mathrm{d}} m$ en fonction de (mode d'emploi si nécessaire)
Montrer que la relation proposée est vérifiée
Déterminer $\beta$ graphiquement, et montrer que $\beta$ est voisin de 0.6
Voir la solution

Décompte des cibles stellaires jusqu'à la magnitude 12. La loi en $10^{-0.6}$ n'est plus vérifiée à grande distance, l'absorption interstellaire et la taille finie de l'épaisseur du bras galactique conduisant à un déficit de magnitudes faibles.

Crédit : ASM

QCM

1) Le posemètre d'un instrument compte 216000 coups/s pour un cible de magnitude 6. Combien de coups/s sont attendus pour une cible de magnitude 11.
216000
21600
2160
216

2) Le posemètre a compté 340000 coups/s. Quelle est la magnitude la cible ?
4.5
5.0
5.5

Luminosité et éclairement

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

La luminosité correspond à la puissance totale rayonnée par l'étoile. Lorsque cette puissance est considérée par unité de surface, on parle de puissance surfacique. On définit l'éclairement d'une étoile comme la puissance reçue d'une étoile par unité de surface, au sommet de l'atmosphère terrestre.

Question 1)

La luminosité intrinsèque d'une étoile de type solaire étant $L _{\mathrm{\odot}}$ , en déduire l'éclairement de cette étoile située à une distance de la Terre.

Question 2)

Calculer la puissance surfacique reçue sur Terre d'une étoile de type solaire située à la distance de Proxima de Centaure, de parallaxe annuelle $\alpha$ = 0.76". On donne $L _{\mathrm{\odot}} = 3.86\ 10^{26} {\,\mathrm{W}}$ .

Question 3)

De même, calculer la puissance surfacique $E _{\mathrm{S}}$ du Soleil reçu sur Terre.

Magnitude apparente

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Question 1)

Rappeler la définition de la magnitude apparente d'une étoile.

Question 2)

Deux étoiles ont des éclairements apparents $E _{\mathrm{A}}$ et $E _{\mathrm{B}}$ . Exprimer leur différence de magnitude.

Question 3)

Comparer les flux d'objets de magnitudes -26.7 (soleil), -2.55 (Jupiter), +6 (étoiles juste visibles à l'oeil nu), +27 (magnitude limite accessible au sol).

Performance de détection liée à la taille du récepteur

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

En vision nocturne, le diamètre de notre pupille vaut de l'ordre de 6 mm, et la magnitude limite visible à l'oeil nu est m=6 .

On rappelle l'expression de , la magnitude apparente d'un objet :

$m = -2.5\log E/ E _{\mathrm{0}}$

avec $E _{\mathrm{0}} = 2.87\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2}$ pour le domaine visible.

Question 1)

Exprimer , le flux (puissance par unité de surface) rayonné traversant la pupille, en fonction de et , respectivement la puissance totale reçue et le diamètre de la pupille.

Question 2)

Calculer et pour une étoile de magnitude 6.

Question 3)

Montrer qu'avec un collecteur de diamètre , l'oeil a accès aux magnitudes jusqu'à :

$m(D) = m_0 + 5 \log {D}$

avec exprimé en m. Identifier m_0

Question 4)

Calculer , pour $D = 6 {\,\mathrm{cm}},\ D = 60 {\,\mathrm{cm}},\ D = 6 {\,\mathrm{m}}.$

Question 5)

Comment procède-t-on pour observer les objets de magnitude supérieure?

Compter les étoiles

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le but de cet exercice est de compter les étoiles en fonction de leur magnitude. Pour se faire, on pose deux hypothèses :

toutes les étoiles présentent la même magnitude absolue, .
la répartition des étoiles autour du soleil est uniforme, .

Question 1)

Déterminer la magnitude apparente d'une étoile à la distance .

Question 2)

Dénombrer le nombre d'étoiles N(d) dans une sphère de rayon autour du soleil.

Question 3)

A partir des deux relations précédemment établies, montrer que le nombre d'étoiles jusqu'à la magnitude évolue comme :

$N(m) = \alpha\ 10^{\beta m}$

Identifier le coefficient $\beta$ de l'exposant

Question 4)

Estimer $\alpha$ , sachant que l'on peut dénombrer environ 6000 étoiles à l'oeil nu, càd de magnitude inférieure à 6.

Question 5)

Ce résultat apparaît-il en accord avec le nombre d'étoiles plus brillantes que la magnitude 0

Différence de magnitude

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Deux étoiles d'un système double présentent une différence de magnitude $\Delta m = m_2-m_1$ . Exprimer le rapport de leurs luminosités L_1 et L_2

[2 points]

Question 2)

Faire l'application numérique pour $\Delta m$ = 1, $\Delta m$ = 10

[1 points]

Le projet OWL

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le projet OWL (overwhelmingly large telescope) de l'ESO s'est attaché à étudier le concept d'un télescope avec un collecteur de diamètre $a= 100 {\,\mathrm{m}}$ . Devant l'accumulation de points durs techniques, le concept a été remplacé en 2006 par un projet moins démesuré, avec un collecteur de diamètre 42 m.

Question 1)

Estimer le gain attendu en magnitude limite observable avec un télescope de 100 m, par rapport à un télescope de 10 m.

[1 points]

Question 2)

Ce télescope étant muni d'une optique adaptative, il donnera accès à une résolution angulaire proche de la limite de diffraction $(1.22\ \lambda / a)$ . Calculer cette limite pour le visible.

[1 points]

Couleur

Les étoiles présentent des couleurs différentes, ce qu'il va falloir retranscrire sur leur magnitude.

Constellation d'Orion

La constellation d'Orion, avec reproduction des couleurs par superposition de 3 clichés enregistrés dans des bandes spectrales différentes.

Crédit : CFHT

Magnitude monochromatique et indice de couleur

Les étoiles rayonnent pratiquement comme des corps noirs. Elles ont un maximum d'intensité lumineuse qui varie avec la température de leur couche externe. L'échelle de magnitude UBVRI (UV, Bleu, Visible, Rouge, Infrarouge), correspond aux magnitudes d'une étoile dans une gamme de longueur d'onde de l'UV à l'IR.

Filtres BVRI

La mesure précise des magnitudes monochromatiques nécessite l'emploi de filtres dans un système bien prédéfini.

Crédit : ESO/Cyril Cavadore

Imager dans différents domaines spectraux permet de distinguer des objets avec une couleur particulière.

Quatre images du ciel profond dans 4 couleurs différentes, du proche UV au rouge. Un des objets du champ - en fait une galaxie très lointaine - n'est visible que dans le rouge : sa magnitude dans l'UV et le bleu est trop grande.

Crédit : HST

Indice de couleur

Les variations de luminosité d'un objet permettent de remonter à la couleur de cet objet... à moins que le milieu interstellaire ne soit pas transparent.

La nébuleuse d'Orion, vue en visible en proche infrarouge. Les différences d'aspect sont ici essentiellement dues à des effets d'absorption par la matière interstellaire.

Crédit : HST

Indice de couleur

Comme on peut le voir sur l'image de la constellation d'Orion, les étoiles ne sont pas de la même couleur. Il est nécessaire de tenir compte de la dépendance en fonction de la couleur.

On définit l'éclairement monochromatique, comme étant le rapport de l'éclairement dans un domaine spectral précis à la largeur de ce domaine, l'intervalle spectral $\delta E$ étant divisé selon la longueur d'onde $\lambda$ .

On obtient ainsi :

$\mathcal{E} = { {\mathrm{d}} E\over {\mathrm{d}}\lambda}$

si l'intervalle spectral est décrit par la longueur d'onde.

On définit la magnitude monochromatique $m _{\mathrm{X}}$ en comparant la densité spectrale de flux $\mathcal{E}$ à une référence $\mathcal{E} _{\mathrm{X}}$ :

$m _{\mathrm{X}} = -2.5\log { \mathcal{E}\over \mathcal{E} _{\mathrm{X}}}$

$\mathcal{E}$ et $\mathcal{E} _{\mathrm{X}}$ sont exprimés en ${\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1}$ .

Photométrie standard
domaine spectral	indice de couleur	$\lambda\ ( {\,\mu\mathrm{m}})$	$\Delta\lambda ( {\,\mu\mathrm{m}})$	Référence $( {\,\mathrm{W}} {\,\mathrm{m}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1})$
UV	U	0.36	0.068	$4.35\ 10^{-8}$
bleu	B	0.44	0.098	$7.20\ 10^{-8}$
visible	V	0.55	0.089	$3.92\ 10^{-8}$
rouge	R	0.70	0.22	$1.76\ 10^{-8}$
proche IR	I	0.90	0.24	$8.3\ 10^{-9}$
proche IR	J	1.25	0.30	$3.4\ 10^{-9}$
IR	H	1.65	0.35	$7.0\ 10^{-10}$
IR	K	2.20	0.40	$3.9\ 10^{-10}$
IR	L	3.40	0.55	$8.1\ 10^{-11}$
IR	M	5.0	0.3	$2.2\ 10^{-11}$

L'indice de couleur X-Y est la différence des magnitudes monochromatiques et . On codifie la couleur selon le standard UBVRI, correspondant aux intervalles spectraux définis ci-dessus.

Indices de couleur
Objet	$m _{\mathrm{v}}$	B-V
soleil	-26.7	0.65
Sirius	-1.45	0.00
Véga	0.00	0.00
Antarès	1.00	1.80
Mimosa	1.26	-0.24
Adhara	1.50	-0.22

La magnitude et l'indice de couleur de Véga sont nuls, non pas par hasard, mais par choix : Véga a été choisi comme standard de référence.

Les étoiles chaudes (bleues) ont un indice de couleur B-V négatif, alors que les étoiles plus froides (rouges) ont un indice positif élevé.

Analyse multispectrale

Le centre galactique dans diverses couleurs

L'analyse multispectrale est indispensable pour caractériser complètement un objet : ce qui apparaît en émission dans un domaine spectral peut être absorbant dans un autre.

Température et indice de couleur

L'indice de couleur, corrigé de toute absorption, permet de remonter à la température de l'objet.

Magnitude et indice de couleur

A l'aide du tableau, identifier les températures d'un lot d'étoiles.

Magnitude visible... à l'oeil

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

La magnitude apparente en fonction de l'indice de couleur , notée $m _{\mathrm{X}}$ , est reliée à la densité spectrale de flux $\mathcal{E}$ , reçue dans la gamme de couleur centrée sur la longueur d'onde $\lambda$ et de largeur $\Delta\lambda$ , par :

$m _{\mathrm{X}} = -2.5\log { \mathcal{E}\over \mathcal{E} _{\mathrm{X}}}$

avec les constantes données dans la partie de cours. On assimile l'oeil à un récepteur de diamètre $D=6 {\,\mathrm{mm}}$ . La magnitude $m _{\mathrm{v}}$ maximum détectable à l'oeil est $m _{\mathrm{v}} = 6$

Question 1)

A quel domaine de longueur d'onde l'oeil humain est-il sensible ? A quelle puissance $\mathcal{P}$ minimale l'oeil est-il sensible ?

Question 2)

À combien de photons l'oeil réagit-il, sachant qu'une image se forme en $\tau = 1/20$ de seconde?

Magnitude et temps de pose

Difficulté : ☆ Temps : 45 min

Détecter une source lumineuse, quelqu'elle soit, nécessite la collecte d'un nombre suffisant de photons, ce qui requiert un temps de pose adapté à la magnitude. On se place dans des conditions d'observation en bande V (largeur spectrale $\Delta\lambda$ ), avec une chaîne de rendement total $\eta$ . Ce rendement tient compte de la collecte des photons jusqu'à leur transformation en photo-électrons. On note le diamètre collecteur.

Question 1)

Rappeler l'expression qui relie l'éclairement monochromatique à la magnitude de la source. Quelles grandeurs de la chaîne de collecte interviennent pour traduire cet éclairement monochromatique en puissance ?

[1 points]

Question 2)

Montrer que le nombre de photons à collecter s'exprime, en fonction des données et du temps de pose $\Delta t$ .

$N = \eta \ E _{\mathrm{V}} \Delta \lambda\, \pi \left({a\over 2}\right)^2\, \Delta t \, {\lambda \over h c} \ 10^{-0.4\, m}$

[2 points]

Question 3)

Faire l'application numérique avec les données concernant la bande V, pour une source de magnitude 10, un télescope de la classe 8 m, une pose de 1 s, un rendement de 10%.

[1 points]

Question 4)

Que devient le temps de pose pour une source de magnitude 20 ? Quel temps de pose faut-il viser pour collecter 1000 photons sur une source de magnitude 25 ? Et pour collecter 100 photons/pixel sur une source (supposée uniforme) de magnitude 25 étendue sur 100 pixels ?

[2 points]

De l'intérêt d'un paramètre absolu

La magnitude apparente, comme son nom l'indique, n'est qu'apparente pour un observateur donnée. Elle dépend de la source et de son identité, mais aussi de l'observateur : ce point est gênant si l'on s'intéresse à l'objet pour ses seules propriétés. Pour faire de la physique et ainsi s'affranchir de l'effet de distance, on utilise la notion de magnitude absolue.

Ce diagramme HR mesure, sur l'axe des ordonnées, la luminosité stellaire en magnitude absolue.

Crédit : ASM

Magnitude absolue

La magnitude absolue est la magnitude conventionnelle qu'aurait l'étoile si sa distance était ramenée, par définition à 10 pc.

Il faut lier l'éclairement apparent de l'étoile à sa distance à la Terre, ce que l'on fait avec la luminosité de l'étoile, mesurant la puissance totale rayonnée par l'étoile :

$E\ =\ {L\over 4\pi d^{2}}$

Le flux d'une étoile varie comme l'inverse du carré de la distance, donc dans un système de magnitude donné, la relation entre magnitudes absolue et apparente s'écrit :

$m-M = 5\log d-5$

Magnitudes apparente et absolue
Objet			(pc)
soleil	-26.7	4.9
Sirius	-1.45	1.4	2.7
Véga	0.00	0.5	8.1
Antarès	1.00	-4.8	130
Mimosa	1.26	-4.7	150
Adhara	1.50	-5.0	200

Module de distance

La quantité m-M porte le nom de module de distance. En reliant la distance à une différence de magnitude, ce module indique la distance en échelle logarithmique.

Module de distance
Objet	module de distance	distance au Soleil (pc)
référence	0	10
L'amas des Hyades	3.3	48
Les Nuages de Magellan	18.5	50 000
La galaxie d'Andromède	24.1	890 000

Le module de distance est nul, par définition, pour une distance de 10 pc ; il vaut 5 pour une distance de 100 pc, 10 pour une distance de 1000 pc.

Correction de l'absorption

Pour passer de la magnitude apparente à la magnitude absolue, on est amené à corriger, en plus de la distance, les effets dus à une éventuelle absorption interstellaire. Cette absorption est provoquée par divers éléments (poussières, gaz) présent sur la ligne de visée. Alors, la magnitude absolue s'exprime en fonction de la magnitude apparente par :

$M = m - 5\log d + 5 - A$

Le terme d'absorption ne peut être que positif ; ne pas en tenir compte conduit à surestimer la magnitude absolue, càd à sous-estimer la luminosité de l'objet.

Magnitude bolométrique

A l'opposé de la magnitude monochromatique, la magnitude bolométrique mesure l'énergie rayonnée sur l'ensemble du spectre électromagnétique. Mesurer une telle magnitude n'est pas chose aisée, et s'obtient le plus souvent par extrapolation à partir de la magnitude absolue mesurée dans quelques bandes spectrales.

Détermination de la magnitude absolue

Etoiles proches et brillantes

On cherche à estimer les magnitudes absolues des étoiles les plus brillantes du ciel, leur distance étant mesurée par ailleurs.

Rappeler le lien entre les magnitudes apparente, absolue et la distance
Calculer à l'aide du TabloGraphe (mode d'emploi si nécessaire) la magnitude absolue .
Tracer le diagramme HR de ce lot d'étoiles : appartiennent-elles majoritairement à la séquence principale ?

Magnitude absolue ; magnitude/distance

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Rappeler la définition de la magnitude absolue d'un objet. Quelle relation lie la magnitude relative à la magnitude absolue et à la distance de l'étoile, exprimée en parsec?

Question 2)

La magnitude apparente visible du soleil est de -26.7. Que vaut sa magnitude absolue?

Question 3)

Que vaudrait la magnitude apparente du Soleil à la distance de Proxima du Centaure (1.33 pc)? A la distance du centre galactique (8 kpc)?

Question 4)

L'oeil humain peut distinguer les magnitudes inférieures à 6. Jusqu'à quelle distance une étoile de type solaire reste-t-elle visible à l'oeil nu?

Magnitude absolue et absorption

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

Question 1)

Rappeler la relation définissant la magnitude absolue, tenant compte de l'absorption .

[1 points]

Question 2)

Ne pas tenir compte de l'absorption revient-il à surestimer ou sous-estimer la magnitude absolue d'un objet?

[1 points]

Question 3)

Ne pas tenir compte de l'absorption revient-il à surestimer ou sous-estimer la distance d'un objet?

[1 points]

Question 4)

Sans tenir compte de l'absorption, on déduit pour une Céphéïde, d'après la relation magnitude absolue-période, une distance au soleil = 20 kpc. Comment est corrigée cette distance si l'on tient compte d'un coefficient d'absorption de 0.2 magnitude ? Conclure.

[1 points]

Bilan

La magnitude apparente, qui mesure l'éclat apparent de l'étoile, est le paramètre observable ; mais elle ne renseigne pas sur le paramètre intrinsèque de celle-ci, qui est sa luminosité. Cette grandeur est retranscrite par la magnitude absolue.

Une étoile de magnitude absolue donnée apparaît à une magnitude apparente d'autant plus grande (= moins lumineuse) qu'elle est plus éloignée.

Enfin, s'il est possible d'attribuer une magnitude absolue à une étoile, à partir de critères d'observation, on peut déterminer sa distance en mesurant sa magnitude apparente et en la comparant à la magnitude absolue.

Remarque

La luminosité et l'éclat apparente des objets tels que les planètes, les satellites et autres petits corps peuvent aussi être exprimées via la notion de magnitude. Comme la luminosité visible provient en grande partie de la réflexion du flux solaire, la magnitude de tels objets est très complexe, car elle dépend des distances objet-Soleil et objet-Terre, de la surface du corps, de la présence ou non d'une atmosphère, etc...

Avertissement !

Plusieurs échelles énergétiques cohabitent en astrophysique, certaine classiques (eV et multiples...), d'autres spécifiques (Jansky, magnitude, K ...). Si d'une part les termes en usage en astronomie ne correspondent pas nécessairement aux définitions radiométriques, rien ne garantit dans un document donné l'adéquation exacte entre le sens local et la définition plus générale !

Pour s'y retrouver, il faut le plus souvent veiller à la cohérence d'un terme par rapport à sa définition donnée, et s'appuyer sur son unité.

Définitions

Définitions, à propos du rayonnement d'une étoile :

La luminosité correspond à la puissance totale rayonnée. Comme toute puissance, elle se mesure en watts (SI).
Lorsque cette puissance est considérée par unité de surface, on parle d'éclairement, ou de flux.
Si la dépendance en fonction de la couleur apparaît, on définit la densité spectrale d'éclairement ou éclairement monochromatique, mais il faut préciser si l'intervalle spectral est divisé selon la longueur d'onde du photon, ou bien selon sa fréquence... ou selon toute autre unité spectrale.
La notion de luminance ou d'intensité rend compte de l'émission par unité d'angle solide. C'est elle qui intervient dans la loi de rayonnement du corps noir.

Définitions de grandeurs photométriques
Grandeur	(terme en radiométrie)	Définition	Unité $^\star$
Puissance, luminosité	(flux)	Puissance	W
Radiance	(émittance)	Puissance émise par unité de surface normale à la propagation	${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-2}$
Eclairement, flux	(irradiance)	Puissance reçue par unité de surface normale à la propagation	${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-2}$
Luminance, brillance	(radiance)	Puissance par unité de surface normale à la propagation, et par unité d'angle solide	${\,\mathrm{W}}{ {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{sr}}^{-1}$
Eclairement monochromatique		Puissance par unité de surface et par unité spectrale	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1}$
Intensité, luminance monochromatique		Puissance transportée par unité spectrale, par unité d'angle solide, et par unité d'élément de surface	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{sr}}^{-1} {\,\mu\mathrm{m}}^{-1}$

$^\star$ avec comme unité spectrale la longueur d'onde exprimée en micromètre.

Conversions

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Reprendre les unités du tableau définissant les grandeurs photométriques, et les redéfinir dans le cas où l'unité spectrale choisie pour le rayonnement est la fréquence, en Hertz, et non le micromètre.

Magnitude apparente, monochromatique... toutes ces définitions prennent leur importance pour rendre compte des observations et donner accès à des mesure telle la magnitude absolue, corrigée de la distance d'observation, et propriété intrinsèque de l'objet.

Quasar de magnitude 24.5 (amplifié gravitationnellement), avec un décalage spectral z = 4.0, observé à un âge correspondant aux premiers 10% de l'âge de l'Univers.

Crédit : ESO

L'effet Doppler-Fizeau est une conséquence directe de la relativité restreinte : la perception d'un signal dépend de la vitesse relative entre la source et le récepteur. En pratique, l'effet Doppler est mis à profit pour mesurer les vitesses radiales de multiples objets, à toutes les échelles dans l'Univers.

Le ciel profond vu par le télescope spatial. Remarquer la corrélation entre la couleur et la luminosité des objets : la lumière des galaxies est décalée vers le rouge suite à l'expansion de l'Univers, et ce d'autant plus qu'elles sont plus lointaines, et donc moins lumineuses.

Crédit : HST

Décalage spectral

L'effet Doppler module les positions des raies spectrales. En cela, il constitue un traceur de vitesse.

Décalage spectral entre différentes galaxies d'un amas.

Crédit : ESO

Objectifs

L'effet Doppler-Fizeau est un effet relativiste, au sens qu'il ne s'explique que dans le cadre de la relativité restreinte. La perception d'un phénomène électromagnétique dépend de la vitesse relative entre la source et le récepteur.

L'effet Doppler

La composante radiale de la vitesse relative entre l'émetteur et l'observateur étant notée , comptée positivement pour un éloignement de la source au récepteur, l'effet Doppler relie la longueur d'onde reçue $\lambda$ à la longueur d'onde émise $\lambda_0$ par :

$\displaystyle{ {\lambda\over\lambda_0 }\ =\ {1+\beta \over \sqrt{1-\beta^2}}}$

avec la notation relativiste usuelle du terme $\beta\ =\ \displaystyle{v\over c}$ .

Le terme $\beta$ au numérateur correspond à la translation relative entre l'émetteur et l'observateur ; le dénominateur introduit la correction relativiste. Pour des vitesses non relativistes (typiquement inférieures à c/10), les termes d'ordre supérieur à $\beta$ sont négligeables et l'on a simplement :

$\displaystyle{\lambda\over\lambda_0 }\ \simeq \ 1 + \beta$

soit le décalage :

$\Delta\lambda\ =\ \lambda - \lambda_0\ =\ \lambda_0 \ {v\over c}$

Un éloignement rougit la longueur d'onde perçue, un rapprochement la bleuit.

Effet Doppler : principe

Selon la direction de visée, l'observateur verra ou non la modulation Doppler du rayonnement de la source en mouvement.

Crédit : ASM

Effet radial

A faible vitesse, l'effet Doppler est du 1er ordre dans sa composante radiale, mais du 2e ordre en vitesse transversale.

QCM

1) Une source se rapproche de l'observateur à 90 km/s. A quelle longueur d'onde est observée sa raie de Balmer $\mathrm{H}\alpha$ , au repos à 656.3 nm.
656.1 nm
656.5 nm

2) La raie de l'hydrogène à 21 cm (1420.4 MHz) est observée pour une source donnée à 1390.0 MHz. Cette source s'éloigne-t-elle de l'observateur ?
oui
non

3) Estimer la vitesse de cet objet par rapport à l'observateur (en km/s).
6.42
6.56
6420
6560

Effet Doppler sismique

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Question 1)

Pourquoi l'animation du champ de vitesse Doppler montre-t-elle un gradient de vitesse dans la photosphère ?

Abondance de l'hydrogène atomique neutre dans la galaxie NGC 253 ; et tracé du champ de vitesse galactique via les modulations de la position de la raie étudiée

Crédit : IRAM

Champ de vitesse galactique

L'abondance en hydrogène atomique dans une galaxie peut être mesurée par l'observation de raies de l'hydrogène . Ces raies étant modulées par la vitesse relative entre la source et l'observateur, la mesure de la modulation donne accès au champ de vitesse de l'hydrogène dans la galaxie.

Décalage vers le rouge de raies de galaxies lointaines entraînées par l'expansion de l'Univers. Principe, et observation historique par l'astronome américain Humason.

Crédit : ASM et Hale Observatories

Distance et décalage spectral.

Crédit : ASM

Relevé des décalages spectraux de 46420 quasars observés par le grand relevé SDSS, sondant des quasars avec des décalages spectraux jusqu'à 5. On note le très grand déplacement des diverses raies identifiées.

Crédit : SDSSIII

Expansion de l'Univers

Historiquement, la vitesse de fuite des objets lointains, due à l'expansion de l'Univers, a été mise en évidence par le décalage vers le rouge de leurs raies spectrales. Ce décalage augmente avec la distance, selon la loi de Hubble.

C'est ainsi que l'on peut aujourd'hui sonder l'Univers à grande échelle avec les quasars.

Objectifs

Les champs d'application pratiques de l'effet Doppler en astrophysique sont nombreux : forts décalages spectraux (ex : loi de Hubble) ; modulation d'un champ de vitesse, temporelle (ex : astérosismologie) ou spatiale (ex : champ de rotation galactique).

L'effet Doppler : traceur de vitesses

L'effet Doppler permet de mesurer des vitesses radiales, càd alignées sur la ligne de visée. Si l'on dispose d'une observable spectrale adéquate, on bénéfie par l'effet Doppler d'un traceur de vitesse, l'effet Doppler reliant la longueur d'onde reçue $\lambda$ à la longueur d'onde émise $\lambda_0$ par :

$\displaystyle{ {\lambda\over\lambda_0 }\ =\ {1+\beta \over \sqrt{1-\beta^2}} \ =\ \sqrt{1+\beta \over 1-\beta} }$

avec la définition usuelle : $\beta\ =\ \displaystyle{v/ c}$ .

Déplacement de quelques raies en fonction du décalage spectral.

Crédit : ASM

Image et zoom sur l'objet IOK-1 présentant un décalage spectral z de 6.96. Le traitement des couleurs le fait apparaître extrêmement rougi.

Crédit : Télescope SUBARU

Décalage spectral

On note le décalage vers le rouge des objets lointains ("redshift"). Sa définition est relié à la translation en longueur d'onde :

$z \ = \ {\Delta\lambda\over \lambda_0} \ =\ {\lambda - \lambda_0\over \lambda_0}$

Ceci conduit par exemple au déplacement vers le visible de la raie $\mathrm{Lyman}\, \alpha$ d'objets très lointains.

Fin 2008, le plus grand décalage spectral mesuré approche la valeur 7. En 2009, l'observation d'une éruption gamma par le satellite Swift de la NASA fut suivie par l'observation à l'ESO du spectre infrarouge de l'objet en cause, qui a mis en évidence un décalage spectral de 8.2. Ce décalage correspondrait à un objet observé dans l'Univers âgé de seulement 600 millions d'années.

Effet Doppler et mesure de vitesse radiale

Voir la page dédiée aux exoplanètes.

Effet Doppler et sismologie

L'astérosismologie étudie la propagation d'ondes mécaniques (ondes sonores, ondes de gravité) dans l'intérieur d'une étoile. Le champ de vitesse sismique dans la photosphère stellaire module les raies spectrales, comme le montre l'animation ci-contre.

Remarquer que vitesse d'oscillation et amplitude sont en quadrature. Les amplitudes et les couleurs codant la modulation par effet Doppler sont très exagérées.

Effet Doppler et sismologie

Amplitude (courbe et image en jaune) et vitesse d'oscillation. Une raie du spectre stellaire est modulée par effet Doppler. Le code des couleurs signale par un rougissement un éloignement, et par un bleuissement un rapprochement.

Crédit : ASM

Saturne et ses anneaux

A l'aide de l'appliquette, estimer la vitesse de rotation de Saturne, ainsi que la vitesse moyenne des anneaux. Le spectre a été obtenu en lumière solaire réfléchi, avec un fente sélectionnant la région équatoriale de Saturne et les anneaux de part et d'autre. Les raies d'émission en bordure du spectre correspondent à une lampe spectrale de référence.

Raie Lyman-alpha d'un quasar

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La raie $\mathrm{Ly}-\alpha$ du quasar PKS 2000-330 est observée à la longueur d'onde $\lambda = 578 {\,\mathrm{nm}}$ , et non à la longueur d'onde au repos $\lambda_0 = 121.6 {\,\mathrm{nm}}$ .

Question 1)

Déterminer le module de ce quasar, ainsi que son facteur relativiste $\beta=v/c$ .

Question 2)

En déduire sa distance , en appliquant la relation de Hubble $v \ =\ H_0\ d$ . avec $H_0 = 70 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1} {\,\mathrm{Mpc}}^{-1}$ .

Chaud devant !

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

Le fond cosmologique présente actuellement une température de l'ordre de 3 K, alors qu'elle était de 3000 K à l'époque de la recombinaison. A cette époque, les électrons et les protons se sont recombinés pour former les atomes neutres d'hydrogène. Avant, l'agitation thermique liée à des températures plus élevées interdisait cette recombinaison et l'Univers était un plasma principalement composé de protons et d'électrons.

Question 1)

Déterminer le décalage spectral à l'époque de la recombinaison.

Question 2)

Déterminer le facteur $\beta$ correspondant.

Dispersion de vitesse

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

Le spectre ci-joint montre les raies de 7 galaxies différentiellement dispersées.

Spectres de galaxies

Question 1)

Etalonner le spectre, en pm/pixel, en sachant que les 3 raies principales sont identifiées à 580.0, 582.1 et 585.5 nm.

Question 2)

En déduire l'échelle en ${\,\mathrm{km\,s}}^{-1}$ par pixel.

Question 3)

En déduire les dispersion en vitesse radiale de chacune des galaxies, par rapport au groupe des 3 galaxies homocinétiques.

Raie à 21 cm

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

Le spectre ci-joint montre la raie à 21 cm de l'hydrogène d'une galaxie lointaine s'éloignant du Soleil. L'axe des abscisses suppose, ici, qu'une vitesse négative correspond à un éloignement.

Raie à 21 cm

Les 2 composantes de la raies correspondent aux ailes de la galaxie, en rotation, se rapprochant et s'éloignant de l'observateur.

Crédit : ASM

Question 1)

Estimer la vitesse d'éloignement global de cette galaxie, puis sa distance (avec $H_0 = 70 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1} {\,\mathrm{Mpc}}^{-1}$ ).

[2 points]

Question 2)

A quelle position a été mesurée pour cette galaxie la raie $H_\beta$ (au repos : 486 nm) ?

[1 points]

Question 3)

Estimer la vitesse de rotation moyenne de la galaxie (en précisant le critère de mesure).

[1 points]

Quasar lointain

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Le spectre ci-joint montre la raie Lyman alpha d'un quasar très lointain (longueur d'onde au repos : 121.6 nm). Abscisse : longueur d'onde en nm ; ordonnée : flux en unité arbitraire.

Question 1)

Estimer le décalage spectral de ce quasar.

[1 points]

Question 2)

Traduire le décalage spectral en vitesse d'éloignement.

[1 points]

Forêt Lyman-alpha

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Les quasars sont des sources extrêmement lumineuses et éloignées ( $z\approx4$ ), de diamètre apparent non-mesurable. Elles émettent un spectre continu, avec peu de raies d'émission. Les nuages de gaz intergalactique froid se trouvant sur la ligne de visée signent leur présence par un spectre de raies d'absorption.

Le constituant principal de ce gaz intergalactique étant l'hydrogène, dont le spectre est parfaitement connu (raies $\mathrm{Lyman}\ \alpha,\ \beta$ , ...) rend possible l'identification pour chaque nuage, de son décalage spectral et sa profondeur optique. Il faut évidemment pour cela un spectromètre à haute résolution.

Le quasar HE 2217-2818 présente une forêt de raies en absorption (voir l'appliquette basée sur des données de l'instrument UVES du VLT, avec en abscisse la longueur d'onde en nm et en ordonnée le flux en unité arbitraire), correspondant aux nuages d'hydrogène rencontrés sur la ligne de visée.

Question 1)

Déterminer les principales raies d'absorption, et en déduire les décalages spectraux de ces nuages, en supposant que la raie au repos est la raie $\mathrm{Ly}-\alpha$ de longueur d'onde au repos $\lambda_0 = 121.6 {\,\mathrm{nm}}$ . En déduire les vitesses de fuite.

[3 points]

Question 2)

Quelle information apporte la profondeur optique du nuage (retranscrite par la profondeur de la raie), et que peut-on en tirer ?

[2 points]

Elargissement rotationnel

La rotation de l'étoile mélange, sauf à résoudre spatialement ou spectralement l'objet, les diverses régions qui toutes contribuent au flux stellaire. Il s'ensuit un élargissement des raies.

La rotation de l'étoile, en codage Doppler : une couleur rouge signe un éloignement radial ; le bleu un rapprochement. Un axe de rotation quasi perpendiculaire au plan du ciel entraîne une très faible signature, car la projection géométrique amoindrit la composante radiale de la vitesse de rotation.

Crédit : ASM

Elargissement rotationnel (vitesse équatoriale de 1, 2, 5, 10, 20 ou 40 km/s. La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

Crédit : ASM

Elargissement en température et rotationnel

L'élargissement des raies due à la rotation de l'étoile modifie drastiquement l'allure d'un spectre, comme le montre les simulations d'observation à faible ou grande résolution spectrale.

Elargissement rotationnel ( $v\sin i$ de 5, 20, 80 ou 200 km/s). Spectre d'une étoile F9 à grande résolution spectrale (R=120000)

Crédit : ASM

Elargissement rotationnel ( $v\sin i$ de 10, 80 ou 200 km/s. Spectre d'une étoile F9 à faible résolution spectrale (R=8000)

Crédit : ASM

Objectifs

La largeur des raies stellaires est liée aux champs de vitesse Doppler.

Agitation thermique

Dans le cadre de la théorie cinétique du gaz parfait, la distribution de vitesse est donnée par :

$n(v) \ \propto\ v^2 \ \exp\left( - {1\over 2} {mv^2\over kT} \right)$

avec la masse atomique moyenne et la constante de Boltzmann.

La largeur à mi-hauteur de cette distribution est de l'ordre de $\sqrt{2kT/m}$ , du même ordre de grandeur que les vitesses moyenne ou la plus probable.

Avec une température stellaire entre typiquement 4000 et 40000 K, les vitesses d'agitation thermique sont de l'ordre de 8 à 25 km/s : elles concourent à un sensible élargissement des raies.

Distribution de vitesse de Boltzman. La vitesse la plus probable (bleu clair) est voisine de la vitesse moyenne (vert), et elles sont toutes deux du même ordre de grandeur que la dispersion caractéristique en vitesse (rouge).

Crédit : ASM

Rotation stellaire

La rotation stellaire participe également à l'élargissement des raies stellaires. Le paramètre important pour mesurer cet effet est donné par la projection du vecteur vitesse de rotation équatorial sur la ligne de visée : $v \sin i$ . Les valeurs typiques de rotation varient de quelques km/s (rotateurs lents, tels le Soleil) à plusieurs centaines de km/s. Dans ce dernier cas, les signatures spectrales deviennent très peu marquées.

En effet, une raie fine à vitesse rotationnelle non nulle s'élargit par effet Doppler. Par application de la conservation de l'énergie, le manque de photons dans la raie est conservé, et donc l'élargissement de la raie s'accompagne d'une moindre profondeur.

Élargissement des raies stellaires selon la vitesse de rotation stellaire

La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

Crédit : ASM

Elargissement des raies stellaires selon la direction de l'inclinaison

L'animation montre comme varie l'élargissement rotationnel des raies stellaires avec l'angle d'inclinaison . Lorsque l'axe de rotation de l'étoile se confond avec la ligne de visée, il n'y a pas d'élargissement rotationnel.

L'élargissement rotationnel (codé ici en couleur d'autant plus rouge/bleue que la vitesse d'éloignement/rapprochement est grande) dépend du facteur $v\sin i$ , et varie ici avec l'inclinaison

sur l'axe de visée.

Crédit : ASM

Mesure de rotation par sondage radar

Les sondages radar permettent de mesurer la rotation d'un corps, comme le montre l'animation ci-jointe. L'onde plane incidente parcourt l'objet du point subterrestre jusqu'au limbe, en une durée R/c ( est le rayon de l'objet, la célérité de la lumière) et donc scanne le champ de vitesse rotationnel.

Sondage d'un objet, supposé sphérique, par une onde plane radar. L'animation suppose un pas de temps équidistant. Les premières mesures, en projection sur le plan du ciel, parcourent rapidement l'objet, plus lentement ensuite pour les régions proches du limbe, mais alors l'excursion en vitesse Doppler devient maximale

Crédit : ASM

Disque en rotation.

Crédit : ASM

Disque en expansion

Crédit : ASM

QCM

1) Le disque en rotation est observé sans aucune résolution spatiale (on ne voit qu'un point lumineux). Par rapport à un disque sans rotation, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

2) Le disque en expansion est observé sans aucune résolution spatiale. Par rapport à un disque sans expansion, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

3) Peut-on, sans imagerie, et avec la seule indication de l'élargissement des raies, décider s'il s'agit d'un disque en rotation ou en expansion ?
non
oui

Mesure de la période de rotation de Mercure

Difficulté : ☆☆ Temps : 1.5 heure

Le but de l'exercice est d'interpréter les observations radio de la planète Mercure, menées au radio-télescope d'Arecibo en 1965 (Dyce et al. 1965, Astronomical Journal 72, 351-359). Il s'agissait alors de mesurer la période de rotation propre de Mercure, et de déterminer si elle était égale ou non à la période de rotation orbitale.

demi-grand axe		0.39 UA
révolution sidérale		88 j
rayon		2420 km
diamètre du radiotél.		305 m
fréquence émise	$\nu_0$	430 MHz

Question 1)

Propagation : L'écho d'un signal radio émis par le télescope d'Arecibo et réfléchi par Mercure est réceptionné 616.125 s après son émission. En déduire la distance Terre-Mercure lors de l'observation, et représenter la position relative de ces 2 planètes et du Soleil. Les observations effectuées pourraient-elles être menées en lumière visible ?

Question 2)

Le champ de vitesse : On repère un point de la surface visible de Mercure par ses coordonnées cartésiennes dans le repère Oxyz , où est le barycentre de la planète, pointe vers la Terre et est parallèle à l'axe de rotation de la planète. On note le rayon de la planète Mercure, T_0 sa période de révolution sidérale, et sa période de rotation propre.

Donner les coordonnées du point sub-terrestre [i.e. le point de Mercure qui voit la Terre au zénith].

Montrer que la composante radiale (colinéaire à l'axe Terre-Mercure) de la vitesse d'entraînement de rotation ne dépend que de l'une des composantes de la position de .

Question 3)

L'analyse temps-fréquence de l'écho radar : Quelles régions de la surface contribuent au début ( $\Delta t =0$ ) et à la fin ( $\Delta t_0$ ) du signal d'écho. Déterminer la durée totale théorique $\Delta t_0$ de l'écho ? Représenter l'allure des lignes d'iso-retard $\Delta t$ sur la carte de Mercure [ 0yz ].

On note $\Delta \nu _{\mathrm{orb}}$ le décalage Doppler du signal réfléchi au point subterrestre. Quelles régions contribuent à l'élargissement Doppler extrêmal $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}±\Delta\nu_0$ du signal ? Représenter sur la carte de Mercure l'allure des lignes d'iso-fréquence $\Delta \nu$ (à $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}$ près).

Calculer, pour un point de Mercure de coordonnées $(x=\sqrt{R^{2}-y^{2}},y,z=0)$ , le retard $\Delta t$ de l'écho et son décalage spectral $\Delta\nu$ . Montrer que l'on a :

$\left( {\Delta t\over \Delta t_0} - 1\right)^{2} +\left( {\Delta \nu\over \Delta \nu_0}\right)^{2} \ = \ 1$

Question 4)

L'écho : Le document ci-joint (Dyce et al. 1965) montre l'étalement en fréquence de l'écho en fonction du retard à la réception. Comparer le retard maximal théorique à celui enregistré, et interpréter le désaccord. En déduire, que la relation entre $\Delta t$ et $\Delta\nu$ se réduit, pour les mesures effectuées, à $\Delta\nu /\Delta\nu_0 = \sqrt{2 \Delta t / \Delta t_0}$ Comment interpréter les variations temporelles d'intensité du signal ?

Estimer , la période de rotation propre de Mercure.

On pose $T_0 = \alpha \ T$ . Quelle signification donner à $\alpha$ ? De quelle fraction simple $\alpha$ est-il proche ? Est-ce un hasard ?

Pourquoi les données présentant un plus fort retard ne sont-elles pas facilement exploitables ?

Question 5)

La puissance de l'écho : Quelle fraction du signal Mercure intercepte-t-il ? [on se contentera d'un ordre de grandeur grossier, en supposant que le flux radar est homogène dans un champ d'angle solide égal au lobe principal de diffraction ; un calcul précis est hors de portée de la modélisation proposé].

Estimer, à l'aide d'un modèle simple, le nombre de photons incidents nécessaires pour réceptionner 1 photon en retour après réflexion au point subterrestre.

Une puissance d'émission de 2 MW vous étonne-t-elle ? [l'impulsion radar incidente est très brève : $100\, \mu\mathrm{s}$ ; on se contentera également d'un ordre de grandeur grossier]

Spectres observé et théorique

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

La figure ci-jointe donne une portions des spectres observé et théorique d'une étoile de type F2, classe V.

Spectres théorique (bleu) et observé (orange)

Crédit : ESO/ASM

Question 1)

Expliquer les différences entre les 2 spectres

[1 points]

Question 2)

Donner un ordre de grandeur de 2 vitesses caractéristiques du spectre observé.

[2 points]

Retenir de cette section les multiples domaines où l'effet Doppler-Fizeau influence très sensiblement la signature spectrale des objets. Comme à l'accoutumée, les astrophysiciens en ont tiré parti pour avoir accès à des observables inaccessibles par ailleurs.

La relation $\delta \lambda / \lambda = v/c$ (à faible vitesse) est tellement prégnante que l'on peut très bien, en l'appliquant, définir une grandeur spectrale en vitesse et non en longueur d'onde.

L'utilisation de l'effet Doppler pour avoir accès à la cinématique des objets a motivé le développement de différentes catégories de spectromètres (voir la section dédiée à l'instrumentation).

Quelques compléments ...

Le site du Mauna Kea sur la grande île d'Hawaï.

Crédit : CFHT

Le ciel est-il bleu ou noir ?

Le site du Mauna Kea (Hawaï), culminant à 4200 m, avec les télescopes, de gauche à droite : Gemini Nord, Keck 1 & 2, IRTF, CFHT, Subaru... sur un fond de ciel d'autant plus bleu que l'on est en altitude, dans l'un des meilleurs sites d'observation astronomique

Crédit : CFHT

Le ciel lunaire est noir, celui de la Terre apparaît bleu (entre les nuages)

Crédit : NASA

La comparaison du ciel terrestre et du ciel lunaire montre dans un cas une couleur bleutée, dans l'autre un ciel noir. Il s'agit du même ciel... vu dans des conditions différentes.

Sur Terre l'atmosphère diffuse la lumière solaire, préférentiellement dans les courtes longueurs d'onde. S'il fait beau : le ciel est bleu. En revanche sur la Lune, sans atmosphère, le ciel apparaît noir.

Pour les amoureux

Plus le soleil est bas sur l'horizon, plus il apparaît rouge (c'est valable pour la Lune aussi). Par projection, plus le chemin optique est long, plus la diffusion Rayleigh retire du rayonnement incident les composantes bleues, plus par complémentarité le soleil apparaît rouge.

Coucher de soleil sur l'Océan Pacifique, à Hawaï

Crédit : CFHT

Et les nuages

Les nuages, ou toute autre condensation, apparaissent le plus souvent blancheâtres. Les particules liquides en suspension écrantent toutes les longueurs d'onde visible, sans distinction de couleur.

Alto cumulus dans les Pyrénées.

Crédit : Météo France

La diffusion Rayleigh

Toute charge accélérée rayonne de l'énergie. Un électron, élastiquement lié à son noyau, va réagir au champ électrique d'un rayonnement incident, et rayonner en conséquence.

Le moment électrique associé à l'électron va réagir au champ électrique, de pulsation $\omega$ . On montre que le champ électrique induit varie comme $\ddot p$ , et donc comme $\omega^2$ . La puissance rayonnée varie elle comme le carré du champ électrique, et donc comme $\omega^4$ .

Les limites du modèle

Ce qui précède n'est valable que pour les particules diffusantes très petites devant la longueur d'onde. De plus grosses particules bloquent uniformément toutes les couleurs, et donnent un aspect blanchâtre au milieu : tel un nuage dans l'atmosphère terrestre (d'apparence grise si vraiment beaucoup de lumière est interceptée).

Extinction atmosphérique moyenne au niveau de la mer et au télescope CFH (4200 m d'altitude), et diffusion Rayleigh évoluant comme l'inverse de la puissance quatrième de la longueur d'onde. La part d'absorption des poussières, de taille non négligeable devant la longueur d'onde, explique le surcroît d'absorption aux grandes longueurs d'onde visibles.

Crédit : ASM

Pourquoi le ciel est bleu

La diffusion Rayleigh varie donc comme $\lambda^{-4}$ . Elle est bien plus forte dans le bleu, à 400 nm, que dans le rouge à 650 nm. Ceci explique pourquoi le ciel est bleu, et le soleil rouge au couchant : les molécules de l'atmosphère éclairée en lumière blanche diffusent préférentiellement la lumière bleue ; cette composante, ôtée du rayonnement solaire incident, le rougit d'autant plus que l'épaisseur d'atmosphère traversée est importante.

Le bestiaire stellaire est vaste, de l'étoile géante à peine née et déjà presque supernova, à la naine rouge qui va briller modestement des dizaines de milliards d'années, en passant par le Soleil.

Le but de ce sous-chapitre est de présenter différents outils qui permettent d'ordonner et comprendre cette classe d'objets et, avec Corneille, appréhender cette obscure clarté qui tombe des étoiles.

Les étoiles du catalogue Hipparcos.

Crédit : ASM

Un spectre stellaire porte la signature des éléments constituant la photosphère de l'étoile.

Différents spectres stellaires.

Crédit : ASM

Spectroscopie

La spectroscopie, ou l'art de regarder les photons selon leur couleur, fut introduite à la fin du XIXe siècle, profitant de l'essor de la photographie.

Spectre de l'étoile $\beta$ du Cocher, observé à l'Observatoire de Paris en 1892 (pose de 1h20 !). Remarquer la juxtaposition d'un spectre de référence en émission.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Spectre du soleil à haute résolution

Le spectre du soleil observé à très haute résolution spectrale présente de très nombreuses raies d'absorption. On remarque entre autres que la densité de raies spectrales est plus élevée dans le bleu que dans le rouge ; des raies telluriques dues à l'absorption dans l'atmosphère terrestre, se superposent aux raies stellaires, mais restent minoritaires.

Le spectre solaire à haute résolution spectrale.

Crédit : NOAO

Le dioxygène tellurique présente une belle signature spectrale dans le rouge, caractéristique d'un spectre moléculaire de molécule diatomique symétrique, qui se superpose au spectre observé.

Crédit : ASM

Signatures spectrales et abondances

La modélisation d'un spectre nécessite la compréhension des conditions thermodynamique (température), mécanique (pression, en réponse au champ gravitationnel) et chimique (abondances) dans la photosphère stellaire, d'où sont issus les photons.

Toute la puissance de la spectrométrie réside dans cette finesse d'analyse, p.ex. pour aller dénicher à haute résolution spectrale de fines raies, et en sachant les interpréter.

Spectre de Saturne dans l'infrarouge moyen, et interprétation proposée.

Crédit : ESA/ISO

Découverte d'un motif spectral dû à l'uranium, à 385.957 nm, dans un spectre stellaire (étoile géante CS 31082-001) très peu métallique. L'ajustement du profil de raie permet de mesurer l'abondance relative d'uranium, comparée à celle de l'hydrogène atomique.

Crédit : UVES/VLT, Observatoire de Paris

Prospective

Un exemple illustre la puissance de l'information spectroscopique : une preuve de vie exoplanétaire serait apportée via l'étude spectrale IR, sensible à la présence d'ozone. L'ozone est liée à la présence d'oxygène, et donc à une chimie particulière qui est, au-moins dans un cas connu, propice à la vie.

Une signature spectrale attendue : celle de l'ozone dans un spectre exoplanétaire, signant la présence de vie.

Crédit : ASM

Objectifs

Un cours complet de transfert de rayonnement, nécessaire pour comprendre les tenants et aboutissants du bon usage des données spectrométriques, est ici hors de propos, car trop complexe. Contentons-nous de récapituler quelques-uns des ingrédients qui permettent de comprendre un spectre.

Signatures

Contexte thermodynamique : Les propriétés du gaz dépendent de la température et de la pression. Cette dernière va s'adapter au champ gravitationnel local.
Contexte mécanique : La gravité et la température déterminent l'équilibre hydrostatique des couches atmosphérique.
Contexte chimique : La signature spectrale d'un élément sera d'autant plus marquée que cet élément est abondant.

On en déduit que l'interprétation d'un spectre apporte des informations sur les grandeurs qui précèdent : température, gravité, abondance des éléments.

Superposition des profils de raies : la largeur naturelle est très fine devant les élargissements possibles dus à la température (agitation thermique, élargissement Doppler) ou aux chocs (élargissement par pression). Cette dernière cause d'élargissement conduit à des ailes de raies très marquées.

Crédit : ASM

Largeur des raies

Dans l'atmosphère stellaire, deux phénomènes contribuent essentiellement à élargir les raies, conduisant à des largeurs bien supérieures à la largeur naturelle.

L'agitation thermique dans une atmosphère stellaire de température élevée conduit à l'élargissement des raies spectrales par effet Doppler. La distribution des vitesses des atomes en mouvement conduit à un profil de raie typiquement gaussien.
La pression au sein du milieu peut conduire à une fréquence de chocs plus rapide que la désexcitation naturelle des raies. Le profil de raie dû aux atomes qui interagissent par choc est alors typiquement lorentzien. Ceci conduit à des raies un peu plus larges et de forme différente.

Si l'étoile est en rotation rapide, le profil de vitesse rotationnel est source d'un nouvel élargissement des raies, encore par effet Doppler .

Élargissement des raies spectrales

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

Déterminer la durée moyenne $\tau$ entre deux collisions, en fonction du libre parcours moyen $\ell$ (la distance moyenne entre 2 collisions) et de la vitesse moyenne des atome $\bar v$ .

[1 points]

Question 2)

Déterminer le libre parcours moyen $\ell$ d'un atome en fonction de la section efficace de collision $\sigma$ et de la densité particulaire . En déduire que le libre parcours moyen varie comme l'inverse de la masse volumique dans l'atmosphère de l'étoile.

[3 points]

Question 3)

On suppose que l'élargissement de la raie par pression $\Delta v _{\mathrm{p}}$ varie comme $1/\tau$ , inverse de la durée moyenne entre 2 collisions. En déduire la dépendance de $\Delta v _{\mathrm{p}}$ en fonction de la température et de la masse volumique :

[2 points]

Question 4)

Montrer que, si l'élargissement des raies par pression est sensible, il permet, à type spectral donné, de distinguer les différentes classes stellaires.

[1 points]

L'hydrogène interstellaire

L'hydrogène neutre est omniprésent dans l'Univers. Dans le milieu interstellaire, sa signature apparaît à diverses fréquence (visible, submillimétriques, radio...). La signature radio correspond à l'inversion du spin de l'électron : sa fréquence au repos vaut 1420 MHz, pour une longueur d'onde de 21 cm.

Le ciel vu par la raie à 21 cm de l'hydrogène atomique. La signature de la Voie Lactée domine.

Crédit : NRAO

Raie H beta

L'hydrogène stellaire

L'hydrogène est le constituant majoritaire des étoiles. La dépendance en température d'une raie de l'hydrogène apparaît clairement, pour des étoiles de type spectral chaud, beaucoup moins pour des températures d'équilibre plus basses. L'appliquette montre l'intervalle spectral correspondant à la raie H beta de l'hydrogène dans des étoiles de type A6 à K7 (température effective : 8000 à 4000 K). Le flux est normalisé à 1 dans le continu.

Spectre du quasar GB1759+7539. La double échelle donne les longueurs d'onde observée ainsi qu'au repos. La raie Lyman alpha observée à 492.5 nm correspond à l'émission du quasar. La forêt Lyman alpha est visible entre 121.6 nm (longueur d'onde au repos) et 492.5 nm.

Crédit : Keck/HIRES

Raies en absorption

Des centaines de raies sont visibles dans le spectre d'un quasar éloigné, ce qui signe la présence sur la ligne de visée de matériel absorbant.

Position et élargissement des raies alpha et beta de l'hydrogène et du deutérium dans la nébuleuse d'Orion. Leurs positions spectrales sont ramenées à une valeur de référence, leur position au repos, ce qui permet de les superposer ; leur décalage est directement compté en vitesse .

Crédit : CFHT

Hydrogène et deutérium

Les raies de Balmer du deutérium apparaissent au voisinage de celles de l'hydrogène. Le décalage entre les raies de H et D est dû à un effet isotopique : l'électron n'a pas la même masse réduite autour du noyau de H (1 proton) et celui de D (de masse double, avec 1 proton et 1 neutron). [Rappel : la masse réduite $\mu$ est définie par $\mu = m _{\mathrm{e}}m _{\mathrm{noy}}/(m _{\mathrm{e}}+m _{\mathrm{noy}})$ , et s'approxime par $m _{\mathrm{e}}\ (1-m _{\mathrm{e}}/m _{\mathrm{noy}})$ ].

L'hydrogène : omniprésent dans l'Univers

Comme l'hydrogène représente presque 9 atomes sur 10 dans l'Univers, sa signature spectrale est omniprésente en absorption, en émission, dans diverses gammes du domaine spectral (raies de Balmer, raie à 21 cm...).

L'hydrogène interstellaire

L'hydrogène du milieu interstellaire, sous forme moléculaire ou atomique froide, est à une température variant de 10 à 1000 K. L'hydrogène atomique neutre émet dans une fréquence radio particulière correspondant à la longueur d'onde 21 cm. L'intensité de la raie d'émission dépend de la densité totale d'hydrogène atomique neutre le long de la ligne de visée. La mesure de cette intensité de la raie observée permet donc de connaître la répartition bi-dimensionnelle des nuages d'hydrogène atomique.

Et l'hélium ?

Après l'hydrogène, l'hélium est le deuxième constituant le plus abondant dans l'Univers (environ 25%, par masse, soit 10% en concentration).

Mais la signature spectrale de l'hélium, gaz rare, est fort discrète. Comme l'hélium est difficilement ionisable, il faut une température élevée pour mettre en évidence les raies de l'hélium correspondant au spectre d'ionisation. En l'absence de moment dipolaire, l'atome He ne présente pas de spectre de vibration ni rotation.

La classification des spectres stellaires s'appuie sur l'étude morphologique du spectre visible. Elle rend compte essentiellement de la température effective et du champ gravitationnel stellaire.

Divers spectres stellaires. Les raies indiquée par H sont des raies du spectre de l'hydrogène atomique ; la raie CaII est due au spectre du calcium une fois ionisé.

Crédit : ESO/ASM

Différents spectres stellaires observés par l'astronome italien Secchi au XIXe siècles.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Les spectres de Secchi

Les progrès instrumentaux à la fin du XIXe siècle permettent de mesurer les spectres des étoiles les plus brillantes. L'astronome Secchi met alors en évidence différents types, se distinguant par leur caractéristiques spectrales.

Spectres de Secchi

Spectres d'étoiles observés visuellement par le Père Angelo Secchi et dessinés en couleur. Quatre types spectraux sont identifiés par Secchi ; le type 2 (et non ? comme indiqué par erreur par l'éditeur) correspond au Soleil, 1 à Sirius, 3 à $\alpha$ Orion et $\alpha$ Hercule.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

De l'enregistrement...

En effet, les spectres de différentes étoiles diffèrent sensiblement, tant pour la répartition des raies d'absorption que pour leur morphologie.

Spectres stellaires

Un ensemble de spectres d'étoiles de différents types spectraux. Les raies en absorption apparaissent plus ou moins sombres en fonction de leur intensité. La position en longueur d'onde de quelques raies est indiquée, pour un domaine spectral de 360 à 500 nm.

Crédit : CNRS/OHP

Les spectres stellaires ne sont aujourd'hui plus enregistrées sur film, mais sur caméra CCD. L'étalonnage en longueur d'onde est fourni par une lampe spectrale de référence.

Spectre stellaire

Image d'un spectre-échelle à haute résolution spectrale obtenu avec une caméra CCD. Le spectre de l'étoile apparaît ici sous l'aspect de bandes sombres. L'étalonnage en longueur d'onde est apporté par les raies en émission d'une lampe spectrale (Thorium Argon), dont le spectre est intercalé avec celui de l'étoile, et enregistré simultanément.

Crédit : ASM

...au spectre

L'intensité spectrale, après étalonnage en longueur d'onde, découle des enregistrements, pour prendre la forme d'un graphe.

Spectre de l'étoile HD 102878. L'étalonnage en longueur d'onde, en abscisse, a été obtenue grâce aux raies de la lampe d'étalonnage. L'identification de quelques raies est proposée. On remarque les largeurs et les profondeurs différentes des raies spectrales.

Crédit : ESO/ASM

Largeurs des raies

Des spectres d'étoiles avec des positions de raies similaires peuvent montrer des largeurs de raies très différentes. Notez les largeurs des raies de la série de Balmer .

Largeur de raies

Les largeurs des raies, dont celles de l'hydrogène, diffèrent sensiblement, pour des étoiles qui présentent par ailleurs des caractéristiques voisines.

Crédit : ASM

Eléments pour une classification

La classification spectrale est une analyse qualitative des spectres stellaires. Cette analyse repose sur le fait qu'une simple inspection visuelle d'un grand nombre de spectres montre qu'ils peuvent être regroupés en quelques familles : c'est la classification spectrale, qui ne considère que l'aspect du spectre dans le domaine visible et qui est fondée sur la morphologie du spectre de raies d'absorption, sans référence explicite aux causes physiques de cette apparence.

Spectre de Secchi

Spectre de Bételgeuse observé visuellement par le Père Angelo Secchi.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Spectre de Secchi

Spectre d'Antarès observé visuellement par le Père Angelo Secchi.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Classes

Les premières classifications spectrales, par exemple celle d'Angelo Secchi établie en 1863, ne comprenait que quatre classes. Secchi avait néanmoins remarqué que cette classification ne résultait pas du hasard, mais avait un sens physique, chaque classe regroupant des étoiles ayant des températures effectives voisines.

Les bases de la classification spectrale telle que nous l'utilisons aujourd'hui, furent ainsi définies en 1901 à l'Observatoire de Harvard.

Définition

A partir des travaux antérieurs, sept classes principales furent définies représentée par les lettres O, B, A, F, G, K, M. Cette classification correspond à une séquence de température effective décroissante.

C'est, paraît-il, l'astrophysicien Henry Norris Russell qui inventa le moyen mnémotechnique "O Be A Fine Girl Kiss Me" pour retenir l'ordre des classes.

Crédit : ASM

Type spectral

Au sein de chaque classe, une subdivision décimale a été introduite afin de rendre compte de différences d'aspects entre les spectres d'une même famille. Ainsi le type spectral d'une étoile est-il représenté par un chiffre de 0 à 9 :

... A8, A9, F0, F1, F2 ... F8, F9, G0, G1...

où un spectre de type F9 présentera des caractères plus proches de ceux de type G0 que de ceux du type F0.

Quelques types spectraux

Typé

Utiliser l'appliquette ci-jointe pour identifier les principaux groupes de raies spectrales.

Vers une classification des types spectraux

Utiliser l'appliquette ci-jointe pour identifier les principaux groupes de raies spectrales.

Principales caractéristiques des différents types spectraux

Les caractéristiques des spectres stellaires varient continûment lorsque l'on balaye les différents types spectraux. Les différents types spectraux seront dominés par différentes raies de différents éléments.

Photographies de spectres stellaires.

Crédit : CNRS/OHP

Importance relative des différentes raies de différents éléments en fonction de l'indice de couleur d'un spectre stellaire (traduit également en type spectral et en température). La notation El I note une raie de l'élément El neutre ; El II indique une raie de El ionisé 1 fois ; El III correspond à El ionisé 2 fois...

Crédit : ASM

Les raies de Balmer de l'hydrogène s'étendent du rouge au proche UV.

Crédit : ASM

La série de Balmer, bien visible pour une étoile B.

Crédit : ASM

Raie H beta

Raies de Balmer et types spectraux

Les raies de Balmer sont plus ou moins marquées dans un spectre, selon le type spectral. La dépendance en température d'une raie de l'hydrogène apparaît clairement, pour des étoiles les plus chaudes, beaucoup moins pour celles de températures effectives plus faibles, comme le montrent les spectres synthétiques de différents types spectraux (de A6 à K7, le flux est normalisé à 1 dans le continu).

Objectifs

Le type spectral rend compte de la température effective d'une étoile.

Crédit : ASM

Crédit : ASM

Principaux caractères spectroscopiques des classes spectrales

Le type spectral d'une étoile dépend essentiellement de la température effective, et correspond à des caractéristiques génériques telles l'importance de raies spectrales données.

Les principales classes, de O à M, couvrent les températures effectives de 50 000 à 3000 K. En 2000 deux nouvelles classes spectrales, L et T, ont été introduites. Elles décrivent les spectres des étoiles les plus froides (température effective entre 1000 et 2000 K) ne comportant quasiment que des raies moléculaires.

Les raies de l'hydrogène

Les caractères du spectre stellaire utilisés pour établir la classification spectrale sont la présence ou l'absence des raies de certains éléments, présence ou absence qui n'est pas due à des différences de composition chimique entre les atmosphères des étoiles, mais qui reflètent seulement les différences en température de ces atmosphères.

Ainsi, l'hydrogène, qui est l'élément le plus abondant dans l'univers, et dont l'abondance est à peu près la même dans toutes étoiles, présente un spectre de raies prédominant pour les étoiles dont la température effective avoisine les 10 000 K, par suite des conditions d'excitation de l'atome d'hydrogène à cette température, qui favorise au maximum la formation des raies dans le domaine visible.

Etoiles chaudes

Les étoiles de type O, les plus chaudes, présentent dans leur spectre des raies d'hélium ionisé, mais pas de raies de l'hydrogène. En allant du type B0 au type A0, l'intensité des raies de l'hélium décroît car les conditions de température ne sont plus favorables à leur formation alors que celle des raies de l'hydrogène augmente progressivement pour atteindre un maximum vers le type A0. L'intensité des raies de l'hydrogène va ensuite décroître alors que celle des raies dues aux métaux va augmenter pour les types spectraux correspondant à des températures effectives moins élevées.

Etoiles froides

Dans le spectre des étoiles froides - de type K par exemple - les atomes d'hydrogène sont dans l'état neutre, presque tous dans le niveau fondamental. Le spectre produit appartient surtout au domaine de l'ultraviolet et les raies de l'hydrogène sont très faibles dans le visible.

Pour les étoiles les plus froides, les raies des métaux neutres deviennent de plus en plus intenses alors que les bandes caractéristiques des molécules apparaissent.

Raies de Balmer et du calcium

La première appliquette de cette page permet d'identifier les raies marquantes de l'intervalle spectral [365 - 415 nm], qui sont à la base de la classification spectrale.

Raies de Balmer d'une étoile de type B6V

Spectre de 365 à 415 nm, étoile B6V

Spectre de 395 à 399 nm, étoile B6V

Mesurer à l'aide des 2 appliquettes de ce paragraphe les largeurs des raies de Balmer de l'hydrogène. Vérifier qu'elles sont de l'ordre du nanomètre).
Montrer que ces valeurs ne sont pas compatibles avec une largeur de raie due à la seule agitation thermique, liée à la vitesse $\sqrt{3kT/m}$ , avec la constante de Boltzmann et la masse atomique de l'hydrogène. Pour une étoile d'un tel type spectral, la largeur Doppler thermique est de l'ordre de la vingtaine de km/s, soit environ quelques centièmes de nanomètre, alors que la largeur effectivement mesurée vaut environ 1 nm.

Raies métalliques d'une étoile de type F6V

Spectre de 365 à 415 nm, étoile F6V

Spectre de 395 à 399 nm, étoile F6V

Mêmes questions pour une étoile plus froide, de type F6V.
Vérifier que l'accord pour ces raies métalliques est qualitativement bien meilleur. La largeur en vitesse due à l'agitation thermique est ici de l'ordre de 13 km/s, correspondant à une largeur dans le spectre d'environ 0.017 nm à la longueur d'onde 400 nm (le spectre n'est en fait pas tout à fait assez résolu pour atteindre ce niveau de détail).

QCM

1) Les raies de Balmer de l'hydrogène ne dominent pas le spectre des étoiles froides, à partir du type F8, car :
Il y a moins d'hydrogène dans ces étoiles
Le champ gravitationnel est trop faible
La température est trop faible

2) Les raies H et K du calcium ionisé , vers 395 nm, sont fortes dans les étoiles froides car :
L'élément calcium est essentiellement sous la forme CaII, qui présent une très grande section efficace d'absorption
Le calcium est surabondant dans les étoiles froides
Le mélange avec la raie de Balmer H epsilon conduit à une sur-absorption

Classification spectrale

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

Classer les spectres par température décroissante.

Tous ces spectres sont ceux d'étoiles naines.

Crédit : ASM

[2 points]

Question 2)

Classer la série des spectres digitalisés par température croissante.

Spectres à classer.

Crédit : ASM

Pourquoi dans l'atmosphère des étoiles les plus chaudes (type O) les raies d'hydrogène sont-elles aussi peu intenses ?

[2 points]

Classes et luminosité

Il est rapidement apparu qu'il existe une variation de l'intensité des raies au cours d'une même séquence spectrale d'étoiles. On note dans une même classe spectrale des étoiles aux spectres sensiblement différents : ainsi Rigel ( $\beta$ Orionis) et Régulus ( $\alpha$ Léonis) sont de type spectral B8 mais Rigel présente des raies fines et Régulus des raies larges.

Largeur des raies : étoiles de type A

Largeur des raies de Balmer de l'hydrogène en fonction de la classe de luminosité.

Crédit : ASM

Pour tenir compte de cette différence, il est nécessaire d'introduire un second paramètre dans la classification spectrale.

Cinq classes

Spectre UVES (ESO) d'étoiles de type A2, de classes I à V.

Objectifs

Les classes de luminosité rendent compte de la taille d'une étoile.

Classes et luminosité

Dès 1913, les travaux de Hertzsprung et Russell permirent de montrer que les différentes largeurs de raies au sein d'une même classe spectrale correspondent à des différences de luminosité pour des étoiles de même température effective, et reflètent donc une différence de rayon.

Une lettre en préfixe : d ou g, initiale des mots anglais "dwarf" (naine) et "giant" (géante) fut ajoutée à la classification spectrale de Harvard. La luminosité d'une étoile de rayon et température effective est donnée par la relation :

$L \ = \ 4\pi\ R^2~\ \ \sigma T _{\mathrm{eff}}^4$

Si deux étoiles ont le même type spectral, elles ont même température effective ; leur différence de luminosité provient donc des valeurs différentes de leurs rayons, d'où la terminologie.

Indépendamment de l'intensité des raies et de leur largeur, on note dans le spectre des étoiles dites "géantes" la présence de raies d'éléments ionisés, raies absentes dans le spectre d'une étoile naine de même type spectral.

Degré d'ionisation

Ces propriétés spectrales sont la conséquence des conditions physiques régnant dans l'atmosphère de l'étoile. Bien que la température soit le facteur prépondérant dans la détermination des caractères d'un spectre, d'autres paramètres ont une influence non négligeable, telle la masse volumique. Ainsi l'état d'ionisation d'un atome, fonction de la température, dépend aussi de la masse volumique du gaz : si elle est élevée, les particules sont proches les unes des autres, les recombinaisons entre ions et électrons sont facilitées et, à un instant donné, le nombre d'atomes ionisés est plus petit que dans un milieu de même température, mais de densité plus faible.

L'influence du rayon, via le champ gravitationnel

La masse volumique du gaz est proportionnelle à la pression, et celle-ci résulte du poids de l'atmosphère, c'est-à-dire du champ gravitationnel dans l'atmosphère stellaire. Or la gravité est proportionnelle à la masse de l'étoile, mais inversement proportionnelle au carré du rayon de l'étoile. Les rayons stellaires varient dans un domaine beaucoup plus étendu que celui des masses, et c'est ce qui fait toute la différence.

Une densité élevée dans l'atmosphère a donc pour effet de modifier la largeur des niveaux d'énergie des atomes et de modifier l'intervalle de longueur d'onde des photons correspondant à une transition entre deux niveaux. Les niveaux étant plus serrés pour une densité plus faible, il s'ensuit dans ce cas des raies plus fines.

Ainsi pour un même type spectral, une étoile de grand rayon, et donc plus faible densité dans la photosphère, présente des raies plus fines et donc plus intenses pour les éléments ionisés.

Classes de luminosité

Cinq classes de luminosité ont été définies correspondant, pour un type spectral donné, essentiellement à la largeur des raies. Ces classes sont notées I, II, III IV et V.

La classe V correspond aux étoiles naines, c'est-à-dire aux étoiles sur la série principale. Pour un type spectral donné les spectres de classe V ont les raies les plus larges.
La classe I correspond aux étoiles supergéantes ; elle est subdivisée en une classe Ia , qui regroupe les étoiles les plus lumineuses, et en des sous-classes Ib, Iab un peu moins lumineuses. Les spectres de la classe I ont des raies très fines.
Les classes II à IV s'étagent entre les classes I et V, et correspondent à différents stades de l'évolution d'une étoile. La classe III correspond aux étoiles dites géantes.

Classes I, III, V

A l'aide de l'appliquette, il vous est proposé de :

Mesurer les largeurs à mi-hauteur des raies de Balmer de l'hydrogène.
Comparer leurs valeurs pour différentes classes.

Classe I :

Classe III :

Classe V :

QCM

1) Les raies des géantes sont fines car :
Le champ gravitationnel est plus important que pour les naines
Le champ gravitationnel est plus faible
Elles sont plus froides

Géant

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Question 1)

Classer les spectres stellaires par... classe.

Spectre stellaires, types A.

Crédit : ASM

Question 2)

Identifier sur la figure les raies des éléments ionisés caractéristiques d'une étoile supergéante.

Les sections Magnitude et Distance ont montré comment mesurer la luminosité intrinsèque d'une étoile. La section Classification Spectrale a défini le type spectral d'une étoile, fonction essentiellement de la température d'une étoile. A partir de la température et de la luminosité, le diagramme Hertzsprung-Russell montre comment s'organise la physique stellaire.

Diagramme HR synthétique, avec les différentes classes stellaires. Les axes d'un diagramme HR rendent compte en abscisse d'une dépendance avec la température, en ordonnée avec la luminosité de l'étoile.

Crédit : ASM

Diagramme type spectral/magnitude absolue

En 1911, l'ingénieur et astronome amateur danois Ejnar Hertzsprung traçait un diagramme type spectral-magnitude absolue pour des étoiles appartenant à un même amas stellaire. Il remarqua que les points ne se répartissaient pas de manière aléatoire dans ce diagramme.

Deux ans plus tard, l'astronome américain Henry Norris Russell construisait, indépendamment, un diagramme similaire en utilisant un échantillon d'étoiles dont il connaissait la magnitude absolue grâce à leur parallaxe.

Diagramme de Russell

Diagramme de H.N. Russell, paru dans la revue Nature en 1914, montrant une relation empirique entre le type spectral et la magnitude absolue.

Crédit : ASM

Diagramme HR

Le diagramme qui représente pour un groupe d'étoiles le type spectral et la magnitude absolue est appelé diagramme de Hertzsprung-Russell, ou en abrégé diagramme HR (se prononce : diagramme hache-ère).

Les deux astronomes mettaient en évidence une relation très importante entre la luminosité intrinsèque et la température de surface des étoiles. Le diagramme de Hertzsprung-Russell devint rapidement un élément incontournable de l'étude de l'évolution et de la physique stellaire.

Les étoiles adultes

Le diagramme HR historique montrait déjà que la majorité des étoiles se retrouvent sur une bande précise, plus tard appelée séquence principale.

Diagramme de Russell

Diagramme de H.N. Russell, paru dans la revue Nature en 1914, montrant une relation empirique entre le type spectral et la magnitude absolue.

Crédit : ASM

La statistique évoluant, cet état de fait subsiste, comme le montrent les données Hipparcos.

Etoiles du catalogue Hipparcos, dessinant la séquence principale. Les étoiles les plus brillantes (comme les géantes rouges p.ex.) sont surreprésentées par rapport aux naines les plus froides de la séquence principale.

Crédit : ASM

Objectifs

Définir la séquence principale : elle regroupe les étoiles de classe V, à l'état "adulte".

Séquence principale

La plupart des étoiles se retrouvent sur une séquence donnée du diagramme HR.

Définition

La séquence principale représente les étoiles du diagramme HR en train de brûler leur hydrogène en hélium.

Age zéro

Les étoiles évoluent sur la séquence principale, leur coeur s'appauvrissant en hydrogène et s'enrichissant en hélium. Les étoiles justes formées sont situées sur l'extrémité inférieure de la séquence.

Les étoiles dans le diagramme HR

Comme l'ont montré Hertzsprung et Russell, la physique stellaire conduit à une répartition non aléatoire des étoiles dans un diagramme température-magnitude absolue.

Les étoiles recensées par le satellite d'astrométrie Hipparcos.

Crédit : ESA

Les axes du diagramme HR

Différents paramètres peuvent permettre de construire un diagramme HR, pourvu qu'ils rendent compte de la température en abscisse et de la magnitude absolue en ordonnée.

Les différents axes pour construire un diagramme HR, et les classes de luminosité dans le diagramme couleur-magnitude.

Crédit : ASM

Objectifs

Le diagramme Herztsprung-Russell classe les étoiles par température et luminosité.

Les étoiles dans le diagramme Herztsprung-Russell

Dans le diagramme HR, avec la température en abscisse et la luminosité en ordonnée, les étoiles ne se répartissent pas au hasard, mais peuplent au contraire des zones bien définies. Ainsi, on distingue la région de la séquence principale, une longue bande diagonale s'étirant des étoiles lumineuses et chaudes (bleues) vers les étoiles peu brillantes et froides (rouges); au-dessus, les branches des géantes et des supergéantes ; et en-dessous une région peuplées d'étoiles chaudes mais très peu lumineuses, les naines blanches.

Les classes de luminosité dans le diagramme couleur-magnitude.

Crédit : ASM

Les classes de luminosité

Les différentes classes de luminosité se retrouvent dans le diagramme HR. Les lignes qui dessinent les différentes classes de luminosité correspondent à des valeurs moyennes de la magnitude absolue pour un ensemble d'étoiles ayant même classe de luminosité. La classe I des supergéantes est subdivisée en deux classes, Ia et Ib, de luminosités distinctes.

Les axes du diagramme HR

Les grandeurs physiques définissant les axes du diagramme HR peuvent être mesurées par différents paramètres, donnant ainsi lieu à différentes formes du diagramme HR.

Le type spectral d'une étoile est une mesure qualitative de sa température effective aussi, ce paramètre est-il utilisé en abscisse. Plus directement issu de l'observation, l'indice de couleur rend simplement compte de la température. Le diagramme résultant est alors appelé diagramme couleur-magnitude.

En ordonnée, magnitude absolue et luminosité jouent un rôle équivalent.

Les paramètres du diagramme HR
Abscisse	Température effective - Indice de couleur - Type spectral...
Ordonnée	Luminosité (en W ou en luminosité solaire) - Magnitude absolue ...

Les différents paramètres en abscisse et ordonnée d'un diagramme HR

De l'intérêt du diagramme HR

La représentation en diagramme HR présente de multiples intérêts :

Traiter un grand nombre d'étoiles
Présenter synthétiquement divers résultats
Bien distinguer les objets stellaires, et mettre en avant la physique idoine.

Courbes isorayons

Le diagramme HR met en avant la luminosité et la température d'une étoile. Par ailleurs, la loi de rayonnement du corps noir relie la luminosité d'une étoile à sa température et à son rayon.

On en déduit que la répartition des rayons stellaires dans le diagramme HR ne relève pas du hasard. La relation :

$L \ \propto\ R^2 \ T^4$

implique que, dans un diagramme HR en coordonnées $\log T, \log L$ les lignes d'isorayon stellaire sont des droites de pente 4 (qui apparaissent avec une pente négative si l'on oublie de tenir compte que l'axe des températures croît vers la gauche dans un diagramme HR).

Courbe isorayon dans le diagramme HR.

Crédit : ASM

Différents diamètres stellaires, à l'échelle.

Crédit : ASM

Des naines aux géantes

Ce qui précède est bien en accord avec les classes de luminosités. On remarque que la séquence principale correspond à des étoiles naines, toutefois de rayon un peu plus important pour les étoiles chaudes.

Rayon, température...

Voir les exercices de la page corps noir.

Diagramme HR d'un amas

La représentation dans le diagramme HR d'un amas d'étoiles peut se faire directement en magnitude apparente. Comme la dimension de l'amas est petite devant sa distance, les étoiles sont toutes quasiment à même distance, et ce dernier paramètre devient transparent pour l'intercomparaison des étoiles de l'amas.

Evolution dans le diagramme HR

L'évolution stellaire montre que les étoiles les plus massives évoluent très rapidement. Les étoiles de l'amas s'étant formées quasiment simultanément, on ne peut pas trouver des étoiles jeunes dans un amas contenant des étoiles vieilles.

Les diagrammes pour l'amas des Pléiades, et l'amas M67, dont les étoiles sont respectivement jeunes et vieilles, présentent donc des aspects fort différents.

Diagramme magnitude apparente - indice de couleur de l'amas des Pléiades. L'amas, jeune, comprend des étoiles jeunes.

Crédit : ASM

Diagramme magnitude apparente - indice de couleur de l'amas M67. Les étoiles sont âgées, et donc les types spectraux correspondant aux étoiles massives en sont absents.

Crédit : ASM

Bande d'instabilité

Une région du diagramme HR réunit la plupart des étoiles variables. On l'appelle bande d'instabilité. Dans cette bande, les conditions thermodynamiques de l'enveloppe stellaire sont telles qu'un mouvement de relaxation conduit à une pulsation, le plus souvent radiale, des couches stellaires externes. Cette pulsation se traduit par une variation de luminosité périodique.

La bande d'instabilité dans le diagramme HR.

Crédit : ASM

Biais

Une représentation dans le diagramme HR peut être trompeuse, si les données sont biaisées. Les diagrammes HR des étoiles les plus proches ou de celles les plus brillantes ne sont pas représentatifs. Dans un cas, on sélectionne les étoiles les plus fréquentes, dans l'autre, uniquement les plus brillantes.

Diagramme HR des étoiles les plus proches (parallaxe supérieure à 0.11").

Crédit : ASM

Diagramme HR des étoiles les plus brillantes (magnitude apparente inférieure à 3).

Crédit : ASM

Diagramme HR des étoiles les plus lumineuses

Diagramme HR des étoiles les plus brillantes

L'appliquette ci-dessus propose divers paramètres des étoiles les plus brillantes du ciel.

Déterminer leur distance, en parsec. sélection case E1, puis commande : = 1000./C1
Déterminer la magnitude absolue sélection case F1, puis commande : = 5-5*log(E1)+B1
A l'aide de l'appliquette, représenter le diagramme HR de ces étoiles (dérouler la fenêtre pour accéder aux boutons de commande).
Retrouve-t-on la signature de toute la séquence principale ?

Diagramme HR des étoiles les plus proches

L'appliquette ci-dessus propose divers paramètres des étoiles les plus proches du ciel.

A l'aide de l'appliquette, représenter le diagramme HR de ces étoiles.
Retrouve-t-on la signature de toute la séquence principale ?

Les pages qui précèdent illustrent l'intérêt très large de la représentation des objets stellaires dans le diagramme HR. Connaître une étoile nécessite la donnée des paramètres primaires, au premier rang desquels figurent la luminosité et la température effective. Ensuite, on peut s'intéresser à la métallicité, la masse, le rayon, la structure interne....

A ce titre, le diagramme HR est un outil et un mode de représentation très courant en astrophysique. Des diagrammes HR ou portions de diagramme HR apparaissent dans nombre de publications. La figure ci-dessous illustre par exemple le gain de précision apportée par des obervations (astérosismologiques en l'occurrence) permettant de définir la position dans le diagramme HR d'une vieille étoile du disque galactique. Les incertitudes de mesure sur la luminosité et la température définissent une boîte d'erreur, d'autant plus petite que les mesures gagnent en précision.

Localisation de l'étoile HD 203608 dans le diagramme HR avant (trait tireté bleu) et après (domaine rose à rouge) l'observation des oscillations de cette étoile. La boîte d'erreur est considérablement réduite grâce à la précision des mesures astérosismiques.

Crédit : ASM

Le but de ce sous-chapitre est de présenter différents outils qui permettent de comprendre les bases de l'évolution des étoiles, avec de la physique simple et juste. Simplicité et justesse n'impliquent malheureusement pas la précision nécessaire pour rendre compte des phénomènes observées. Elles donnent néanmoins des idées qualitativement correctes, quantitativement raisonnables, que l'on sera amener à préciser en tenant compte des résultats obtenus par des moyens autrement plus précis... mais impossibles à présenter dans ce cours.

La première section introduit des notions physiques utiles pour la suite, dont une est essentielle : la compression gravitationnelle.

En 3 étapes sont ensuite abordées la naissance, la vie et la mort des étoiles, essentiellement sous l'angle des processus physiques à l'oeuvre. La dernière section introduit les résultats de physique stellaire induits par les processus précédemment décrits, pour décrire l'évolution stellaire à partir de modélisations plus précises.

Isochrones stellaires. L'axe vertical est le logarithme de l'âge en milliard d'années.

Crédit : ASM

Différents éléments physiques sont introduits, qui vont conduire à comprendre dans quelles conditions fonctionne une étoile, et à montrer le rôle crucial de la gravitation.

C'est la masse de l'étoile qui pilote son évolution, mais il n'y a pas incohérence avec le plan total du cours ; on entre dans un domaine où la masse, si elle conditionne l'essentiel, n'explique pas tout. On est bien... dans le chapitre Température.

La nébuleuse de la Tête de Cheval, dans la constellation d'Orion à 1500 AL du Soleil, regroupe les différents ingrédients intervenant lors de la genèse stellaire : région dense de gaz et de poussières, région d'hydrogène ionisé HII, étoiles en cours de formation.

Crédit : ESO

Prérequis

Éléments de théorie cinétique du gaz parfait.

Gaz parfait

Rappel : un gaz est dit parfait si les interactions entre particules se réduisent à des chocs élastiques.

Pour un gaz parfait usuel, non dégénéré (c'est à dire non soumis à des effets quantique) et classique (c'est à dire non relativiste), l'équation d'état s'écrit :

$P \ = \ {\rho k _{\mathrm{B}} T \over m}$

avec $\rho$ la masse volumique, et la masse d'une particule élémentaire du gaz.

Un gaz parfait est dit chaud s'il est dominé par l'agitation thermique. Les effets quantiques sont dans ce cas négligeables.

Un gaz parfait est dit froid lorsque les effets thermiques ne jouent plus aucun rôle. Son incompressibilité provient du tassement de la matière : les cortèges électroniques se repoussent en raison de la nature quantique (fermionique) des électrons.

Température

Pour que la température d'un système soit définie, il faut que ce système soit à l'équilibre, et que ses composantes échangent assez d'informations, via des collisions, pour se thermaliser.

Dans un milieu non collisionnel, il y a peu de chances que l'on puisse définir une température qui vaille... mais on ne s'intéresse pas la suite qu'à des milieux à l'équilibre thermodynamique local, où localement la température est bien définie.

Densité particulaire

La densité particulaire est une grandeur couramment utilisée pour mesurer l'abondance de matériau disponible dans un milieu. Elle est comptée en particules (souvent des électrons, ou des atomes ou molécules d'hydrogène) par unité de volume. Par exemple : $n = 100 \,\mathrm{m}^{-3}$ .

Énergie cinétique d'une particule

L'énergie d'une particule vaut $1/2 k _{\mathrm{B}} T$ par degré de liberté. L'énergie cinétique de translation vaut $3/2 k _{\mathrm{B}} T$ . Pour une collection de particules, l'énergie cinétique totale se monte tout simplement à $3/2 N k _{\mathrm{B}} T$ .

Pression

Selon la théorie cinétique du gaz parfait, la pression, qui dimensionnellement est une densité d'énergie, correspond un flux de quantité de mouvement. En effet, l'énergie cinétique, fonction de la température, peut s'écrire en tenant compte de l'équation d'état du gaz parfait : $1/2\ mv^2 = 3/2\ k_{\mathrm{B}} T= 3/2\ mp / \rho = 3/2\ p/ n$ . avec la masse d'une particule et la densité particulaire. On en déduit : $p = 1/3\ nmv^2 = nmv_x^2 = n m v_x v_x$ avec v_x la composante de la vitesse selon un seul axe (le milieu étant supposé homogène et isotrope : $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 3 \ v_x^2$ . On retrouve bien le flux de quantité de mouvement n m v_x .

Autogravitation et forme sphérique

Une étoile présente une forme sphérique, pas évidente à voir vu la petitesse du rayon stellaire devant la distance entre elle et le Soleil. Le disque stellaire d'une étoile ne peut être imagé que si cette étoile est une géante du proche voisinage solaire.

Un noyau de comète, tel celui de la comète de Halley, n'est pas assez massif pour être façonné par sa propre gravitation. Sa forme n'est pas sphérique.

Atmosphère de Bételgeuse

Atmosphère de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse. Cette géante rouge, de diamètre 800 fois celui du Soleil, est suffisamment proche (130 pc) pour que son disque puisse être imagé.

Crédit : HST

Noyau de la comète de Halley

Noyau de la comète de Halley, vue en 1986 par la sonde européenne Giotto, lors d'un survol à 600 km (mais avec une vitesse relative de 70 km/s. Ce noyau cométaire n'est pas assez massif pour acquérir une forme sphérique.

Crédit : ESA

Objectifs

Exprimer sous forme d'une pression (la pression centrale) l'autogravitation d'une étoile.

Autogravitation

On qualifie d'autogravitant un objet soumis à sa propre gravitation et façonné par elle. Le Soleil, la Terre sont des objets autogravitants. Toi, lecteur, tu n'es pas un objet auto-gravitant (tout au plus sujet à un peu d'embonpoint).

Rien n'interdit à un objet autogravitant de graviter autour d'un autre astre, comme la Terre autour du Soleil ou la Lune autour de la Terre. Un objet autogravitant est de forme sphérique si sa rotation propre n'est pas trop importante, ou ovoïde aplatie dans le cas contraire.

Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle fournit un ordre de grandeur de la pression interne à supporter au sein d'objet autogravitant et à symétrie sphérique de masse et rayon . Elle vaut :

$P _{\mathrm{grav}} \ \propto \ {\cal G} {M^{2} \over R^4}$

La démonstration est immédiate, ${\cal G} {M^{2} / R^2}$ étant homogène à une force.

Une valeur plus précise nécessite de modéliser l'allure du profil de masse volumique. Si l'on suppose p.ex. que la masse volumique est uniforme, on trouve un facteur de proportionnalité de $3/8\pi$ ; comme vérifié en exercice.

Mais l'hypothèse d'uniformité n'est pas satisfaisante pour un corps de type stellaire, fortement condensé en son centre. On garde l'ordre de grandeur précédent, acceptable comme le montre le tableau suivant, qui compare l'estimation de la pression centrale et la valeur communément admise (précisément mesurée pour le Soleil et la Terre, via l'étude sismique de ces objets).

Compression gravitationnelle
objet	(kg)	(km)	$P _{\mathrm{grav}}$ (Pa)	Pression réelle (Pa)
Soleil	$2\ 10^{30}$	$7\ 10^5$	$10^{15}$	$2.5\ 10^{16}$
Jupiter	$2\ 10^{27}$	$7\ 10^4$	$10^{13}$	$\simeq 10^{13}$
Terre	$6\ 10^{24}$	$6\ 10^3$	$10^{12}$	$7\ 10^{11}$

Équilibre

Comme cette pression rend compte de l'interaction gravitationnelle, attractive, on l'appellera par la suite compression. Il va falloir lui trouver, au sein d'un astre, une contrepartie répulsive pour assurer l'équilibre d'une étoile.

Rotation et aplatissement

La rotation de Saturne est suffisamment rapide pour conduire à un aplatissement sensible.

Le mesurer à l'aide de l'appliquette ci-contre, en déterminant le rapport $(r _{\mathrm{eqt}}-r _{\mathrm{pol}}) / r _{\mathrm{eqt}}$ .

Montrer que l'inclinaison sous laquelle on voit la planète, estimée à partir des anneaux, ne perturbe pas significativement la mesure précédente.

Saturne

Compression gravitationnelle

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

Le but de l'exercice est d'estimer la constante de proportionnalité de la compression gravitationnelle. Pour dépasser l'approximation d'une masse volumique uniforme, et rendre compte d'une distribution de masse volumique plus piquée vers le centre, tout en gardant des calculs acceptablement légers, on suppose le modèle suivant : $\rho(r) = \beta \ r^\alpha$ .

On s'intéresse à des exposants légèrement négatifs, conduisant à une singularité au centre, qui ne prête pas à conséquence.

Question 1)

Déterminer la relation entre la masse totale et le rayon extérieur . En déduire l'expression du coefficient $\beta$ en fonction de ces grandeurs.

[2 points]

Question 2)

En déduire la masse m(r) et le champ gravitationnel en un point de rayon . Quelle condition sur l'exposant $\alpha$ garantit que le champ ne diverge pas ?

[2 points]

Question 3)

L'équilibre hydrostatique donne le gradient de pression :

${ {\mathrm{d}} P \over {\mathrm{d}} r} = - \rho g$

En déduire la pression centrale.

[2 points]

Question 4)

Discuter de la forme du résultat précédent. Que se passe-t-il pour une distribution uniforme ?

[1 points]

Ainsi fond, fond, fond...

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Limbe lunaire : la hauteur des plus hauts reliefs reste petite devant le rayon.

Relief sur le limbe lunaire.

Crédit : ASM

Le but de cet exercice est de modéliser la hauteur limite d'une montagne sur une planète de masse et rayon , pour en déduire la transition entre un objet sphérique et un autre ressemblant plutôt, comme les noyaux cométaires, à une grosse cacahuète.

On suppose très hardiment la montagne de forme cylindrique, section et hauteur , dans le champ gravitationnel uniforme de la planète.

Question 1)

Rappeler l'expression du champ gravitationnel . Déterminer l'énergie supplémentaire pour rajouter au sommet une masse $\Delta m$ , en fonction de et .

[2 points]

Question 2)

En déduire la valeur limite de la hauteur , pour laquelle la couche rajoutée au sommet va conduire à faire fondre une couche équivalente à la base de la montagne. L'exprimer en fonction de la chaleur latente de fusion des roches $L _{\mathrm{f}}$ . Faire l'application numérique pour la Terre, avec $L _{\mathrm{f}} = 250\ \mathrm{kJ} {\,\mathrm{kg}}^{-1}$ .

[2 points]

Question 3)

Les plus hautes montagnes atteignent 8.8 km sur Terre (l'Everest) et 27 sur Mars (le Mont Olympe). A l'aide des données du calcotron, vérifier si l'estimation précédente est correcte.

[1 points]

Question 4)

En supposant toujours valable le résultat précédent, et en notant $\rho$ la masse volumique uniforme de la planète, en déduire le rayon minimum d'une planète sphérique, défini pour des montagnes de hauteur égale au rayon de la planète. Faire l'application numérique avec une masse volumique crustale (de la croûte terrestre) de $3\ 10^3 {\,\mathrm{kg}} {\,\mathrm{m}}^{-3}$ .

[2 points]

Prérequis

Notion de gaz parfait.

Objectifs

Une étoile peut exister sous réserve d'être dans un état d'équilibre. La compression d'origine gravitationnelle, qui tend à condenser l'étoile, doit être balancée par une autre source de pression : pression cinétique (ou thermique), pression de dégénérescence (ou quantique), pression de rayonnement.

Pression cinétique

Aussi appelée pression thermique, cette pression est celle du gaz parfait chaud. Dans le cas classique, non relativiste, cette pression s'exprime pour un gaz de masse volumique $\rho$ à la température , composé de particules de masse :

$P _{\mathrm{K}} = \rho k _{\mathrm{B}} T / m$

En fonction de la densité particulaire , la définition devient :

$P _{\mathrm{K}} = n k _{\mathrm{B}} T$

Pression de dégénérescence, ou pression de Fermi, ou pression quantique

La pression de dégénérescence est la pression dans un gaz parfait dit froid. Dans un milieu froid ou dense, les termes cinétiques peuvent devenir négligeables et les interactions entre nuages électroniques des atomes présents prépondérantes. La pression est alors dominée par la pression de dégénérescence $P _{\mathrm{deg}}$ des électrons (s'il y a des électrons). Ce terme de pression révèle la nature quantique de la matière : les électrons sont des fermions. Quand ces effets quantiques apparaissent, c'est que la densité de matière devient suffisamment importante pour négliger dans un premier temps l'agitation cinétique.

La pression de dégénérescence s'écrit alors (dans le cas non relativiste) :

$P _{\mathrm{deg}} = \alpha _{\mathrm{deg}}\ {\hbar^{2}\over m _{\mathrm{e}} }\ \left({Z\over A} \ {\rho\over m _{\mathrm{p}}} \right)^{5/3}$

avec $\rho$ la masse volumique, et et respectivement la charge et le nombre de masse des atomes en présence. La constante $\alpha$ est un nombre : le calcul précis donne $\alpha = (3\pi)^{2/3} / 5$ .

Dans certains cas, tel l'intérieur d'une étoile à neutrons, il peut ne plus y avoir d'électrons pour assurer la pression. On trouve alors des neutrons, qui sont toujours des fermions, et la pression de dégénérescence des neutrons s'écrit :

${ P _{\mathrm{deg}}}{} _{\mathrm{, n}} = 2\ {\hbar^{2}\over m _{\mathrm{n}} }\ \left({\rho\over m _{\mathrm{n}}} \right)^{5/3}$

Pression de radiation

La pression de radiation $P _{\mathrm{rad}}$ du gaz de photons à la température s'exprime par :

$P _{\mathrm{rad}} = {4\over 3} \ {\sigma\over c} \ T^4 = {1\over 3}\ aT^4$

où $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann : $\sigma = 5,67.10^{-8} {\,\mathrm{W}} {m}^{-2} {\,\mathrm{K}}^{-4}$ . La grandeur s'écrit : $a={4\sigma / c} = {8\pi^5 k _{\mathrm{B}}^4 / 15c^{3} h^{3}}$ . En unité SI, vaut $7.5 \ 10^{-16}$ . La dépendance de cette pression avec la puissance quatrième de la température est bien sûr reliée au spectre du corps noir.

Quel terme de pression domine en fonction de la température ?

La nature est complexe, si bien que ce qui suit n'est pas toujours vrai, mais en général :

Dans un milieu dense et froid, c'est la pression de dégénérescence qui domine. Ex : au centre de la Terre d'une planète, ou d'une étoile de masse inférieure à 1 masse solaire.
Dans un milieu plus chaud, la pression cinétique mène la danse. Par exemple : au centre d'une étoile telle le Soleil ou plus massive. La pression de dégénérescence intervient dans les stades ultimes de l'évolution stellaire.
Ce n'est qu'aux températures extrêmes atteinte au centre des étoiles les plus massives que la pression de radiation l'emporte.

Supporter la gravitation

Dans tous les cas, l'un des 3 termes de pression, ou l'association de 2 d'entre eux, doit permettre d'équilibrer la compression gravitationnelle. Si, on le verra plus loin, la source énergétique essentielle pour l'étoile adulte, dans la séquence principale, est l'énergie nucléaire, c'est la gravitation qui pilote l'évolution stellaire via la masse de l'objet.

Ne poussez pas !

Les simulations suivantes donnent, pour une étoile de masse, rayon et température de corps fixés, les valeurs de la température T_c centrale (en million de Kelvin) et de la masse volumique rho_c centrale (en unité $10^3 {\,\mathrm{kg}} {\,\mathrm{m}}^{-3}$ ). Le but de la simulation est d'estimer le terme de pression dominant au centre de l'étoile, en fonction de sa masse. On mènera les calculs avec des pressions exprimées en unité 1 Gbar (1 milliard de fois la pression atmosphérique, soit $10^{14}\,\mathrm{Pa}$ ).

Estimer tout d'abord la compression gravitationnelle. [ =(M^2/R^4)*8.4 ] pour avoir la bonne unité

Estimer les termes de pression (avec les constantes numériques pour rattraper la bonne unité de pression ci-dessus définie) :

cinétique [ ]
de dégénérescence [ ]
radiative [ ]

Déterminer l'importance relative des 3 termes de pression. Dans quels cas la pression radiative est-elle négligeable ? Même question pour la pression de dégénérescence.

Montrer que les réservoirs de pression sont suffisants pour contrer la compression gravitationnelle.

Pression de Fermi

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 60 min

Cet exercice a pour but d'expliciter l'expression de la pression de Fermi, qui s'exerce lorsque la nature fermionique des composants est mise en évidence. Comme il s'agit de physique complexe, ce sont seulement les ordres de grandeur qui sont importants.

Question 1)

Rappeler la relation d'incertitude de Heisenberg entre la position d'une particule sur un axe et sa quantité de mouvement p_x .

[1 points]

Question 2)

Relier l'incertitude de position $\Delta x$ à la densité particulaire .

[1 points]

Question 3)

Montrer que, pour un gaz avec une distribution de vitesse typique, maxwellienne, la distribution de vitesse donne une valeur moyenne et une largeur de distribution du même ordre de grandeur.

[1 points]

Question 4)

On rappelle que la pression est un flux de quantité de mouvement

P = n v_x p_x

De ce qui précède (en admettant aussi que $\Delta x \simeq x$ ), montrer que pour un gaz classique la pression de dégénérescence s'écrit :

$P _{\mathrm{deg}} \simeq {\hbar^2 \over m} n^{5/3}$

[2 points]

Question 5)

Montrer que la pression électronique domine par rapport à la pression des protons.

[1 points]

Question 6)

En déduire l'expression de la pression de dégénérescence donnée dans le cours.

[1 points]

Amas Messier 35 et NGC2158. Tous deux sont des amas ouverts, mais l'un, âgé de 100 millions d'années, présente beaucoup d'étoiles jeunes, lorsque, 6 fois plus distant et 10 fois plus âgé, ne peut plus contenir d'étoiles jeunes.

Crédit : CFHT

Système lié

L'observation de groupes stellaires formant apparemment un système lié semble indiquer une origine commune. L'estimation des énergies cinétique et potentielle permet d'estimer l'énergie mécanique totale. Si les termes cinétiques dominent, l'amas est ouvert.

Objectifs

Mesurer l'énergie que représente l'accrétion d'un corps dense.

Analyse dimensionnelle

On s'intéresse à un corps autogravitant de masse et rayon . Quelle énergie peut-on lui associer de par sa gravitation ?

L'analyse dimensionnelle apporte une première réponse à cette question. Avec les caractéristiques de l'objet et la constante gravitationnelle ${\cal G}$ :

$\Omega \propto { {\cal G} M^2 \over R}$

Pour s'en convaincre, il suffit de revenir à la définition de l'interaction gravitationnelle.

Énergie potentielle d'interaction gravitationnelle

Avec un peu de physique, on peut se convaincre d'un supplément d'information :

$\Omega \propto - { {\cal G} M^2 \over R}$

L'interaction en jeu étant attractive, nécessairement l'énergie associée à un corps dense est négative : en effet, pour défaire ce corps, il faudrait lui fournir un travail positif, pour éparpiller très loin chacune de ses particules.

L'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle d'un objet est d'autant plus négative qu'il est massif et/ou condensé. Le calcul complet de cette énergie potentielle est proposé en exercice.

Calcul de l'énergie potentielle

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Cet exercice un peu technique s'adresse surtout aux étudiants en licence ou maîtrise scientifique ; sinon, se contenter de suivre l'approche qualitative.

L'exercice s'attelle à la construction d'un objet stellaire. On part de rien. On y met un chouïa de matière, puis un peu plus, puis encore plus, jusqu'à constituer un corps de rayon et masse . Dans cette modélisation, on suppose qu'à tout moment la masse volumique $\rho$ est uniforme.

Question 1)

On imagine être à une étape intermédiaire caractérisée par un rayon et une masse m(r) . Déterminer cette masse, ainsi que son champ gravitationnel.

[2 points]

Question 2)

Déterminer le travail d'un opérateur qui amènerait un surcroît de masse $\Delta m$ depuis l'infini jusqu'à la surface de cet objet. On définit ce travail par une étape élémentaire (déplacement ${\mathrm{d}} r'$ ):

$\delta W = - g(r') \Delta m \ {\mathrm{d}} r'$

[2 points]

Question 3)

Cette masse $\Delta m$ sert à construire l'objet. L'exprimer en fonction de l'accroissement de rayon $\Delta r$ . Pour simplifier, on suppose ces 2 grandeurs petites, et l'on utilise en conséquence la notation différentielle $( {\mathrm{d}} m, \ {\mathrm{d}} r)$ . Exprimer alors et ${\mathrm{d}} m$ en fonction de la masse totale finale , des rayons et , et l'accroissement ${\mathrm{d}} r$ .

[2 points]

Question 4)

En déduire le travail total pour créer le corps, somme de toutes les contributions.

[2 points]

IC1396 en infrarouge

Nuage interstellaire (dans la nébuleuse IC1396), d'apparence bien développée dans le proche infrarouge, hébergeant de nombreuses étoiles en formation. L'aspect filamentaire provient des effets d'érosion du vent stellaire d'une étoile massive (hors champ, sur la gauche du cliché).

Crédit : NASA/Spitzer

IC1396 en lumière visible

Même région qu'à la figure précédente, mais en lumière visible et non infrarouge. On y distingue les résidus du nuage interstellaire ayant conduit à une genèse stellaire. En effet, en lumière visible, les régions les plus denses du nuage apparaissent totalement obscures, ou réfléchissant le rayonnement intense des étoiles jeunes nouvellement formées.

Crédit : NASA/Spitzer

Contraste

Le milieu interstellaire montre des régions de matière très froide (typiquement 10 K) et très peu dense (quelques particules $\,\mathrm{m}^{-3}$ ), qui contrastent singulièrement avec les étoiles, objets chauds (typiquement $10^4 {\,\mathrm{K}}$ en surface, et plusieurs millions de degrés à l'intérieur) et dense (densité particulaire de typiquement $10^{27} \,\mathrm{m}^{-3}$ ).

Comble du contraste : les étoiles jeunes se situent au sein de ces régions, ou ce qu'il en reste dès lors que le rayonnement de l'étoile parvient à percer.

Objectifs

Un modèle simple permet d'expliquer qu'avec un peu de matière et sans énergie, on peut construire un objet dense et chaud.

Montrer que la contraction d'une masse de gaz conduisant à un corps condensé de rayon donne une température centrale variant comme M/R , d'autant plus élevée que le corps est massif et dense.

Etat initial

On suppose le nuage initialement très peu dense et très froid. Il ne possède ni énergie cinétique (il est trop froid), ni énergie potentielle d'interaction (la matière est beaucoup trop diluée). On résume la situation par une énergie mécanique totale quasi nulle (plus précisément : ces énergies sont initialement totalement négligeables par rapport aux énergies cinétiques et potentielles à venir) :

$E _{\mathrm{i}} = E _{\mathrm{c}} + \Omega = 0 + 0 = 0$

Etat final

Dans un état condensé, l'énergie cinétique qui relate l'agitation thermique n'est plus négligeable. Si atomes d'hydrogène sont concernés, l'énergie cinétique (thermique) vaut, à compter de $3/2 k _{\mathrm{B}} T$ par nucléon :

$E _{\mathrm{c}} = {3\over 2} N k _{\mathrm{B}} T \mathrm{\ avec\ } N = {M\over m _{\mathrm{H}}}$

L'énergie potentielle rend compte de la très énergique interaction gravitationnelle des atomes rassemblés. Cette énergie est négative, car l'interaction gravitationnelle est attractive. On se contente d'un ordre de grandeur, donné par l'analyse dimensionnelle, avec toujours la masse concernée, et le rayon final de l'objet condensé.

$\Omega \simeq -{ {\cal G} M^2 \over R}$

L'énergie totale s'exprime alors :

$E _{\mathrm{f}} \simeq {3\over 2} {M\over m _{\mathrm{H}}} k _{\mathrm{B}} T -{ {\cal G} M^2 \over R}$

Effondrement et échauffement

Lorsque le nuage se contracte, il se réchauffe.

Crédit : ASM

Bilan

Si l'énergie reste sous forme mécanique, le bilan d'énergie donne, entre les états initial et final :

$E _{\mathrm{i}} = E _{\mathrm{f}} = 0$

On en déduit l'ordre de grandeur de la température finale du corps formé par accrétion, ici écrite via l'énergie thermique.

$k _{\mathrm{B}} T \simeq { {\cal G} M m _{\mathrm{H}} \over R}$

Chaque atome d'hydrogène tombé dans le puits de potentiel stellaire a gagné en énergie thermique ce qu'il a perdu en énergie potentielle.

Le tableau qui suit dont l'ordre de grandeur de la température centrale pour différents objets, et compare l'estimation de cette température et la valeur communément admise suite à une modélisation plus poussée.

Température d'accrétion
objet	M (kg)	R (km)	T estimée	T réelle (K)
Soleil	$2\ 10^{30}$	$7\ 10^5$	$23\ 10^6$	$15\ 10^6$
Jupiter	$2\ 10^{27}$	$7\ 10^4$	$228\ 10^3$	$20\ 10^3$
Terre	$6\ 10^{24}$	$6\ 10^3$	$7.7\ 10^3$	$7.7\ 10^3$

On s'aperçoit qu'à partir d'une énergie totale nulle s'est construit un objet condensé, avec donc une énergie d'interaction potentielle gravitationnelle `très négative' (il faudrait dépenser beaucoup d'énergie pour redisperser cet objet), et une énergie cinétique `très positive'.

Remarque : dans ce qui précède, on a négligé toute forme d'énergie autre que mécanique... et cette hypothèse n'est pas tenable. Le corps s'échauffant, il est amené à rayonner. Le théorème du viriel met ceci en musique. Il ne remet pas en cause l'ordre de grandeur établi, mais précise juste les conditions de conservation de l'énergie.

Et la rotation ?

La conservation du moment cinétique et les collisions entre particules conduit à aplatir le système. En effet, par suite des collisions, les composantes de vitesse parallèles au moment cinétique vont peu à peu s'annuler, en gardant une valeur moyenne nulle, quand les vitesses perpendiculaires se thermalisent. Ceci est traité plus en détail à la page consacrée aux disques d'accrétion.

Disque protoplanétaire dans la constellation d'Orion. Au centre du nuage, l'élévation de température conduit à un objet brillant qui commence à rayonner.

Crédit : HST

Fiat lux

La contraction du nuage l'échauffe en son centre, et donc la proto-étoile se met à rayonner. De l'énergie, initialement sous forme uniquement mécanique, a été convertie en énergie lumineuse.

Objectifs

Par rapport au modèle d'effondrement purement mécanique, il faut tenir compte du rayonnement de la proto-étoile qui s'effondre et s'échauffe. Le théorème du viriel montre que la moitié seulement de l'énergie gagnée par l'effondrement est convertie en énergie thermique, l'autre moitié est directement rayonnée par l'objet condensé qui se réchauffe.

Conservation de l'énergie

Le modèle étudié précédemment suppose, à juste titre, la conservation de l'énergie, mais à tort que toute cette énergie est sous forme mécanique. Le milieu qui se densifie s'échauffe, et rayonne de l'énergie.

Energie rayonnée

Le théorème du viriel, ici accepté, énonce que l'énergie interne thermique ne représente que la moitié de l'énergie interne gravitationnelle : un bilan énergétique de l'évolution vers un état à l'équilibre hydrostatique implique que la moitié de l'énergie interne est évacuée par radiation.

Lors de la formation d'une étoile, il y a échauffement et obligatoirement perte d'énergie par radiation, à parts égales : $E _{\mathrm{K}} = E _{\mathrm{rad}}$ .

Conséquence du théorème du viriel

On peut donc réécrire la loi de conservation de l'énergie :

$E = \Omega + E _{\mathrm{K}} + E _{\mathrm{rad}} = 0$

Avec l'égalité entre les énergies rayonnée et cinétique :

$E = \Omega + 2 E _{\mathrm{K}} = \Omega + 2 E _{\mathrm{rad}} = 0$

Ceci conduit à une estimation de la température interne de moitié moindre à celle obtenue en omettant l'énergie rayonnée.

Puissance rayonnée

La luminosité de l'étoile est reliée au taux de variation de l'énergie rayonnée :

$L \ \stackrel{\mathrm{d\acute ef}}{=}\ { {\mathrm{d}} E _{\mathrm{rad}} \over {\mathrm{d}} t} = -{1\over 2} { {\mathrm{d}} \Omega \over {\mathrm{d}} t}$

Il s'ensuite que :

Une proto-étoile brille déjà, avant même d'avoir allumé ses réactions nucléaires.
Entre 2 états à l'équilibre hydrostatique, une contraction du rayon implique une perte d'énergie par radiation.

Remarques

De manière plus générale, à tout champ de force correspond une forme particulière du viriel. Pour un champ linéaire (de type ressort), énergies potentielle et cinétique moyennes sont égales. Pour un champ newtonien, elles sont respectivement dans un rapport -2.

Démonstration du théorème du viriel, dans un cas simplement modélisé

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

Cet exercice a pour but d'établir le théorème du viriel, dans un cas simple. On suppose qu'à tout instant, l'astre, sous forme déjà condensée de rayon , obéit à l'équation d'état du gaz parfait classique. On suppose également qu'il possède la symétrie sphérique. La pression est à l'équilibre hydrostatique.

Question 1)

Dans le cadre du modèle, avec les notations du cours, on écrit l'énergie cinétique comme une intégrale : $E _{\mathrm{K}} = \int_0^R n \cdot {3/ 2} k _{\mathrm{B}} T \cdot 4\pi r^{2} {\mathrm{d}} r$ . Réécrire cette intégrale en fonction de la pression.

[1 points]

Question 2)

L'équilibre hydrostatique énonce que le gradient de la pression évolue comme :

${ {\mathrm{d}} P\over {\mathrm{d}} r} = -\rho\ { {\cal G} m(r)\over r^{2}}$

Montrer, à l'aide de cette égalité, que l'énergie gravitationnelle $\Omega$ peut s'écrire sous la forme d'une intégrale du gradient de la pression.

[3 points]

Question 3)

Estimer le lien entre ${\mathrm{d}} P/ {\mathrm{d}} r$ et en procédant à l'intégration par parties du terme :

$\int_0^R { {\mathrm{d}} P\over {\mathrm{d}} r} \ 4\pi r^{3} {\mathrm{d}} r$

[2 points]

Question 4)

En déduire l'égalité vérifiée entre $\Omega$ et $E _{\mathrm{c}}$ .

[2 points]

Energie d'accrétion

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le but de cet exercice est d'estimer le rayonnement d'une planète géante encore en train de se contracter. On supposera, dans le cas d'un objet de masse volumique uniforme. L'énergie potentielle est :

$\Omega = -{3\over 5}{ {\cal G} M^2\over R}$

Question 1)

Relier la luminosité de l'objet à sa vitesse de contraction.

[2 points]

Question 2)

Quelle puissance rayonne une planète comme Jupiter qui se contracterait de 1 mm/an ? On donne : $M= 2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}$ et $R= 7 \ 10^{4} {\,\mathrm{km}}$ . Comparer le résultat à la puissance lumineuse reçue du Soleil par Jupiter, de l'ordre de $6 \ 10^{17} {\,\mathrm{W}}$ .

[1 points]

N'est-il pas émouvant de se pencher sur le berceau de jeunes êtres débutant sur la scène de la vie ?

Cette section s'intéresse aux mécanismes qui expliquent la formation des étoiles. Le critère de Jeans fournit la condition d'effondrement d'un nuage. L'estimation du temps de Kelvin-Helmholtz mesure la durée cette phase, pendant laquelle une étoile se forme et commence à rayonner.

Bien des points sont laissés de côté par cette étude, tels la distribution de masse des étoiles juste formées, la formation de systèmes binaires ou multiples (2 étoiles sur 3 sont dans un système multiple), qui insistent sur les mécanismes physiques de base pour expliquer les grandes étapes de la formation stellaire.

Nébuleuse d'Orion

Une pépinière d'étoiles dans la nébuleuse d'Orion.

Crédit : HST

La galaxie dite du sombrero (M104) présente un important disque de poussières. Comme le milieu est fortement collisionnel, sa distribution est essentiellement plane. Seules les étoiles du bulbe, dans un régime non collisionnel, dessinent une distribution sphérique. Les anneaux de poussières abritent de nombreuses étoiles jeunes et brillantes.

Crédit : ESO

La galaxie dite du sombrero (M104) vu par le télescope Spitzer. Image composite à partir d'observations à 3.6 (traduit en bleu), 4.5 (vert), 5.8 (orange), and 8.0 (rouge) micromètres. La contribution stellaire des étoiles les plus rouges a été retranchée des images pour mettre en évidence la poussière.

Crédit : NASA/Spitzer

Le milieu interstellaire

Le milieu interstellaire, bien visible sur un image de galaxie, contient des poussières et du gaz concentrés dans un disque étroit marquant le plan moyen de la galaxie. La composante gazeuse est principalement constituée d'hydrogène, l'élément le plus abondant de l'Univers ; ce dernier existe sous forme atomique ou moléculaire. Le gaz interstellaire contient aussi quelques traces d'éléments plus lourds, également sous la forme d'atomes ou de molécules.

La poussière interstellaire, fortement absorbante, correspond à des régions sombres en lumière visible, ou bien brillantes en infrarouge. Elle se présente sous la forme de grains extrêmement petits, d'une taille typique de l'ordre d'une fraction de micron. La composition chimique de ces grains est variée : graphite, silicates, carbonates.

Région de formation stellaire NGC 6914. Les régions les plus obscurcies correspondent aux parties les plus denses et froides du nuage, qui bloquent le rayonnement visible. La lumière bleutée de certaines régions provient de la diffusion du flux des étoiles chaudes nouvellement formées. La lumière rouge correspond à la raie atomique H alpha excitée par ionisation sous le rayonnement UV également dû aux objets jeunes.

Crédit : CFHT

Régions froides

Les nuages moléculaires ont une masse qui peut se chiffrer en millions de masse solaire. De ce fait, ils contiennent une grande partie de la masse du milieu interstellaire. Leur taille, qui peut dépasser 50 pc (150 années de lumière), s'accompagne d'une densité de l'ordre de la centaine de molécules par centimètre cube, pour une température interne de seulement de 10 K environ.

Principalement constitués de gaz et de poussières, ces nuages moléculaires peuvent héberger des étoiles en formation ou bien juste formées.

Globules de Bok

Globules de Bok dans IC2944.

Crédit : HST

Globule de Bok

Les étoiles en formation se retrouvent cachées au sein de leur nuage. Les régions de gaz denses qui hébergent ces nouvelles étoiles apparaissent sombres. On les appelle globules de Bok, du nom de l'astronome qui a imaginé leur rôle. Un globule de Bok représente typiquement une dizaine de masses solaires, concentrée en environ 1 AL.

Zoom sur la nébuleuse M20. Le nuage non condensé est sculpté par le rayonnement ultraviolet d'étoiles jeunes et massives du voisinage. Les globules de Bok, plus denses, bloquent ce rayonnement, et leur `ombre' protège alors de fines régions du nuage.

Crédit : HST

Régions ionisées

Le fort rayonnement ultraviolet des étoiles jeunes et chaudes conduit à ioniser le gaz environnant. L'émission est dominée par la raie H $\alpha$ de l'hydrogène, à 656.3 nm. Il en découle la couleur rougeâtre caractéristique de ces régions.

Evolution stellaire

Les différents stades d'évolution stellaire se côtoient couramment. Des globules de Bok avoisinent des régions HII, le tout balayé par le rayonnement des étoiles déjà formées.

Objectifs

Distinguer les principales composantes du milieu interstellaire (MIS).

Gaz et poussière

Le milieu interstellaire (MIS), composé essentiellement de gaz (99%) et de poussières (1%), se caractérise, loin des sources stellaires, par des températures plutôt froides par rapport aux étoiles et des densités particulaires très faibles. Mais le MIS est intimement associé aux étoiles, soit qu'il en constitue le cocon au sein de laquelle elles se forment et évoluent, soit qu'il corresponde à de la matière éjectée par une étoile en fin de vie.

La principale source de poussières sont les étoiles géantes rouges, sur la branche asympotique. À ce stade d'évolution, ces étoiles synthétisent des éléments lourds, les expulsent par des vents violents, où ces éléments lourds s'agrègent en poussières.

Les nuages protostellaires et les enveloppes circumstellaires peuvent présenter des différences notables. Le but de cette page n'est pas d'en décrire les géographies complexes, mais au-moins de mettre un peu d'ordre. Les composantes sont présentées par densité croissante.

Régions HI

Cette composante du MIS correspond à des régions froides et peu denses essentiellement composés d'hydrogène atomique (forme neutre HI).

Nuages moléculaires

La matière froide et dense y est présente sous forme moléculaire. On y décèle la molécule CO et des poussières, jouant un rôle important dans l'équilibre thermique du nuage.

Régions HII

Aux alentours des étoiles en formation, le gaz est chauffé sous l'action du rayonnement stellaire, et ionisé (forme ionisée HII de l'hydrogène). Les régions HII ne sont pas confinées sous leur propre gravitation, mais en expansion.

Différentes régions
hydrogène		densité particulaire $( {\,\mathrm{m}}^{-3})$	température (K)
atomique	HI froid		100
	HI tiède		8000
moléculaire		$\ge 10^9$	$\le 100$
ionisé	HII	$10^6 \to 10^{10}$	10000
	diffus		10000
	chaud		500 000

Ordre de grandeur de la température et de la densité particulaire.

Différentes régions

Les appliquettes ci-jointes décrivent différentes régions du milieu interstellaire.

Le nuage Barnard 68 à diverses longueurs d'onde (en bande B, V, I, J, H et K). Les propriétés de l'interaction rayonnement-matière font que ce nuage apparaît d'autant plus absorbant que la longueur d'onde d'observation est courte.

Crédit : ESO

De l'influence de la longueur d'onde

L'allure d'un nuage dépend de la longueur d'onde d'observation.

QCM

1) Un nuage de 10 pc et de densité particulaire 1 million d'atomes d'hydrogène par ${\,\mathrm{m}}^3$ présente une masse de l'ordre de (en unité de masse solaire)
2
20
200

2) Un nuage de masse 1000 fois la masse solaire et de 100 pc contient une densité particulaire moyenne (en particules par ${\,\mathrm{m}}^3$ )
$5\ 10^4$
$5\ 10^5$
$5\ 10^6$

Cet amas sombre, Barnard 68, à 130 pc du Soleil, se détache très distinctement du fond stellaire en lumière visible. A la limite de la perte d'équilibre, il est soumis aux perturbation de vents stellaires et du rayonnement UV de jeunes étoiles. Sa température est estimée à 16 K, sa masse à 2 masses solaires, pour un diamètre de 12500 UA.

Crédit : ESO

Hors équilibre

L'estimation des masse, taille et densité d'un nuage peut dévoiler qu'il n'est pas à l'équilibre. Sa contraction va conduire à une genèse stellaire.

Région de formation stellaire dans le Grand Nuage de Magellan.

Crédit : ESO

Naissance multiple

La formation des étoiles est un phénomène de groupe. Un nuage de matière interstellaire donne naissance à de multiples étoiles. La contraction de ce nuage est un phénomène complexe, dans un milieu hétérogène, turbulent...

Objectifs

À quelles conditions un nuage se condense-t-il ? Le critère de Jeans donne une réponse liant la masse ou le rayon limite du nuage à sa densité particulaire et sa température.

Perturbation

Un nuage s'effondre si, perturbé, son énergie mécanique devient négative :

$E _{\mathrm{K}} + \Omega \le 0$

On en déduit une relation sur la masse limite du nuage, fonction de la température (pour l'agitation cinétique) et de la densité (pour la tendance à la contraction). Une masse supérieure à cette masse limite va conduire à la contraction du nuage.

On suppose le milieu homogène et uniforme, et donc le lien entre masse et rayon est simplement $M = 4/3\ \pi \rho R^3$ . On en déduit, quand il y a effondrement, l'inégalité sur les énergies cinétique et potentielle :

${3\over 2} {M\over m _{\mathrm{H}}} k _{\mathrm{B}} T \ \le \ { {\cal G} M^2 \over R}$

On poursuit le calcul en ne s'intéressant qu'à la dépendance en fonction des variables (ceci permet d'alléger les calculs, et de s'affranchir des constantes numériques qui ne sont de toutes façons pas correctement estimées dans une approche simplifiée). En substituant $(M/\rho)^{1/3}$ à , le cas limite de l'égalité précédente donne une dépendance :

$T \ \propto \ M^{2/3}\ \rho^{1/3}$

Masse de Jeans, en masse solaire, en fonction de la densité particulaire, pour 3 températures moyennes de nuage.

Crédit : ASM

Masse de Jeans

On en déduit la masse limite du nuage, appelée masse de Jeans, qui dépend de la température et de la densité du nuage, au-delà de laquelle un nuage est amené à s'effondrer :

$M _{\mathrm{Jeans}} \propto T^{3/2} n^{-1/2}$

Plus le nuage est chaud, plus il peut être massif avant de s'effondrer : la pression cinétique l'aide à se maintenir. A contrario, plus il est dense, plus la masse de Jeans baisse, en raison d'un potentiel gravitationnel, attractif, croissant avec la masse.

En unité de masse solaire, la masse de Jeans devient :

$M _{\mathrm{Jeans}} \ (/ M_\odot) \simeq 6 \ 10^4\ {T^{1.5}\over n^{0.5}}$

Rayon de Jeans en fonction de la densité particulaire, en parsec.

Crédit : ASM

Rayon de Jeans

La limite d'effondrement peut également s'exprimer via le rayon du nuage, toujours en fonction de la température du nuage et de sa densité.

$R _{\mathrm{Jeans}} \ (/ {\,\mathrm{pc}}) \simeq 9 \ 10^3 \ {T^{0.5}\over n^{0.5}}$

L'amas Barnard 68 n'est plus opaque dans l'infrarouge.

Crédit : ESO

Rayon de Jeans

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Exprimer le rayon de Jeans en fonction de la masse de Jeans et de la masse volumique d'un nuage.

[2 points]

Question 2)

En déduire comment le rayon de Jeans varie en fonction de la température et de la densité particulaire.

[2 points]

Barnard 68

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

On s'intéresse au nuage Barnard 68, ici vu en infrarouge. Sa température est estimée à 16 K, sa masse à 2 fois la masse du Soleil, pour un diamètre de 12500 UA.

Question 1)

Déterminer la densité particulaire moyenne du nuage (nombre d'atome H par unité de volume).

[2 points]

Question 2)

En déduire que ce nuage est à la limite de stabilité.

[2 points]

Objectifs

On s'intéresse à différents temps caractéristiques d'un nuage de matière protostellaire. Le temps de chute libre mesure la durée caractéristique de l'accrétion d'un nuage ; le temps de Kelvin-Helmholtz mesure la durée maximale pendant laquelle un objet peut rayonner par simple contraction gravitationnelle.

Temps de chute libre, fonction de la densité particulaire d'un nuage.

Crédit : ASM

Temps de chute libre

En supposant que le nuage s'effondre sans rencontrer de résistance, le temps de chute libre correspond à la durée d'effondrement sous l'effet de l'autogravitation du nuage. Le nuage parcourt son rayon sous son propre champ gravitationnel en une durée vérifiant :

$R = {1\over 2 }\ g t^2 \mathrm{\ avec\ } g = { {\cal G} M\over R^2}$

Pour un corps autogravitant de masse et rayon , l'analyse dimensionnelle impose :

$t _{\mathrm{d}} = \sqrt{R^{3}\over {\cal G} M} = \sqrt{1\over {\cal G} \bar\rho}$

où $\bar\rho$ est la masse volumique moyenne du corps. Comme l'on considère seulement l'interaction gravitationnelle, en négligeant toute résistance, la température du nuage ne joue aucun rôle. En fonction de la densité particulaire, le temps de chute libre s'exprime :

$t _{\mathrm{d}} \propto n^{-1/2}$

Temps de Kelvin-Helmholtz

La contraction d'un nuage s'accompagne, d'après le théorème du viriel d'une puissance rayonnée correspondant au taux de variation de l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle :

$L = { {\mathrm{d}} \Omega \over {\mathrm{d}} t} \propto -{ {\cal G} M^2\over R^2}\ \dot R$

La phase de luminosité uniquement due à la contraction gravitationnelle peut se poursuivre sur une durée, appelée temps de Kelvin-Helmholtz, définie par le rapport :

$t _{\mathrm{KH}} = \left| {R \over \dot R} \right|$

En fonction de ce qui précède, on en déduit que cette constante de temps caractéristique s'exprime :

$t _{\mathrm{KH}} \simeq { {\cal G} M^2\over L R }$

Elle augmente avec la masse (le réservoir d'énergie) et diminue avec la puissance rayonnée (la perte d'énergie).

Pour le Soleil (avec une puissance rayonnée $L \simeq 4 \ 10^{26} {\,\mathrm{W}}$ et les masse et rayon actuels) la constante de temps est de l'ordre de 30 millions d'années. Ceci signifie que, par simple contraction gravitationnelle, le Soleil peut rayonner pendant cette durée, sans autre source d'énergie.

Constante de temps de Kelvin-Helmholtz

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Question 1)

Que mesure la constante de temps de Kelvin-Helmholtz ? De quel phénomène important rend-elle compte

[1 points]

Galaxie spirale NGC 4565. Ainsi vue par la tranche, elle présente une distribution de matière essentiellement plane.

Crédit : CFHT

Galaxie elliptique Messier 87 (à 20 Mpc, dans l'amas de la Vierge). Elle présente une distribution de matière tridimensionnelle.

Crédit : CFHT

Disque protoplanétaire dans Orion, vu par la tranche.

Crédit : HST

Disque d'accrétion de l'étoile $\beta\, \mathrm{Pic}$ .

Crédit : HST

Distribution plane ou sphérique

A toute échelle dans l'Univers, on observe des objets présentant une morphologie plutôt bidimensionnelle ou bien plutôt sous forme de tridimensionnelle. Cette morphologie dévoile l'histoire du système, avec un rôle important ou non des collisions.

Disques d'accrétion

Le processus d'effondrement d'un nuage et de formation stellaire n'échappe pas à cette règle. Le nuage s'aplatit et forme un disque d'accrétion, qui entoure la jeune étoile.

Disque et jet de l'étoile HH30 (HH = Herbig Haro).

Crédit : HST

Jets

Le plus souvent, le phénomène d'accrétion s'accompagne de l'émission de jets, émis depuis la région centrale et perpendiculairement au plan du disque.

Présentation schématique de notre système solaire. Les objets les plus massifs, résultant d'un phénomène d'accrétion soutenu, se retrouvent dans le plan de l'écliptique.

Crédit : HST

Et dans notre système solaire ?

On observe que la distribution des principaux objets du système solaire est plane. Ce plan coïncide avec le plan équatorial du Soleil : il a été défini lors de sa phase d'accrétion. Seuls les objets ayant peu interagi par collisions avec les autres - les comètes - présentent une distribution sphérique.

Objectifs

Expliquer simplement la tendance des systèmes à s'aplatir dans la phase d'accrétion.

Le moment cinétique, en bleu, marque la rotation d'ensemble du système. Les collisions ont lieu de façon privilégiée entre objets ayant des composantes de vitesse opposées selon la direction du moment cinétique. Cette composante de vitesse est alors réduite après le choc, contrairement à la composante de vitesse orthogonale. Par collisions, la rotation d'ensemble est préservée, mais le système va s'aplatir.

Crédit : ASM

Aplatissement en régime collisionnel

Le mécanisme à l'oeuvre résulte de la conservation du moment cinétique.

Disque protostellaire

Suite aux nombreuses collisions, le nuage s'aplatit dans sa dimension parallèle au moment cinétique, pour former un disque perpendiculaire au moment cinétique initial.

Disque protoplanétaire

Ce n'est finalement pas un hasard si les principaux composants d'un système planétaire se retrouve dans une distribution relativement plane. Seuls les membres ayant le moins participé à l'accrétion, les plus petits, les comètes, gardent une distribution sphérique uniforme.

Ejection de vent

Une autre conséquence de la conservation du moment cinétique conduit à la créations de jets, collimatés parallèlement perpendiculairement au disque, et donc parallèlement au moment cinétique.

Régime collisionnel ou non

L'aplatissement d'un système suppose l'interaction et l'accrétion de ces composants. Un système qui ne collisionne pas et n'a jamais été en régime collisionnel reste essentiellement sphérique. C'est le cas des amas globulaires, des galaxies elliptiques.

M15

Avant et après une collision (en bleu : le vecteur du moment cinétique représente la rotation d'ensemble du système).

Crédit : ASM

Collisions

Les collisions conduisent à l'aplatissement du système, par annulation des composantes de vitesse parallèles au moment cinétique.

M80

Amas globulaire NGC 6093 (M80) dans la constellation du Scorpion, relativement compact. Les étoiles de l'amas ont une magnitude moyenne de l'ordre de 14.

Crédit : HST

M15

Amas d'étoiles M15, l'un des plus denses recensés. Sa masse atteint 360 000 fois celle du Soleil, dans un volume sphérique de diamètre 120 AL (la magnitude visuelle globale de 6.2 rend M15 facilement observable avec un petit télescope, dans la constellation de Pégase).

Crédit : HST

Amas fermé (ou amas globulaire)

L'observation d'une concentration d'étoiles bien regroupées laisse à penser que les objets sont gravitationnellement liées. Nées ensemble d'un même nuage interstellaire, elles évoluent ensemble. Il s'agit d'un amas fermé, regroupant un grand nombre d'étoiles avec une symétrie sphérique et une forte densité stellaire piquée au centre de l'amas.

Double amas de Persée

Double amas ouvert dans la constellation de Persée. Situés à plus de 2 kpc, ces deux amas sont très jeunes (environ 10 millions d'années). Ils hébergent des étoiles très chaudes et bleues qui n'ont pas encore évolué en supernovæ.

Crédit : NOAO

Amas ouvert

Les étoiles d'un amas ouvert ne présentent pas cette forte densité stellaire. Les étoiles ne sont plus liées et s'éloignent peu à peu les unes des autres.

Le nuage moléculaire BHR 71. Le jet serait dû à la formation d'une étoile double à l'intérieur du nuage.

Crédit : ESO

Influence d'un couple sur un groupe

La formation d'un système double dans un amas peut changer son identité : le système double pouvant phagocyter l'essentiel de l'énergie de liaison gravitationnelle, libérant ainsi les autres membres du groupes.

Objectifs

Les étoiles naissent en groupe. Elles évoluent ensuite chacune selon leur masse. Dans un amas fermé, elles restent proches les unes des autres.

Prérequis

Potentiel gravitationnel, énergie mécanique.

Des nuages aux étoiles et aux amas d'étoiles

Un nuage donne naissance à plusieurs étoiles : en effet, en raison de la turbulence et des inhomogénéités du nuage initial, des sous-régions plus denses sont apparues. Les conditions très variées de masse, température et densité du nuage initial conduisent à des étoiles aux masses très différentes, et aux amas de tailles très variées également.

Amas fermé (ou amas globulaire)

Les amas fermés présentent une énergie mécanique totale négative : leurs étoiles, gravitationnellement liées comme l'était le nuage initial, sont amenées à subir un avenir commun. Le fait d'observer une distribution sphérique indique que, malgré la forte densité d'étoiles, les collisions sont très improbables. En effet, un régime collisionnel conduirait à l'aplatissement du disque.

La dénomination 'amas fermé' a une explication physique. La dénomination 'amas globulaire' provient simplement de leur aspect.

Amas ouvert

Un amas ouvert possède une énergie mécanique totale positive. Cela peut paraître surprenant, vu qu'il est issu d'un nuage qui, pour exister, devait être gravitationnellement lié, donc avec une énergie mécanique totale initiale négative.

En fait, un amas peut devenir ouvert lorsque une part importante de son énergie d'interaction gravitationnelle, négative, est accaparée lors de la formation d'une binaire très serrée. Le reste de l'énergie à distribuer pour le reste de l'amas est alors positif.

En distinguant a priori les 2 étoiles qui vont évoluer en système binaire :

$E _{\mathrm{nuage, avant}} = E _{\mathrm{binaire}} + E _{\mathrm{autres\ objets}} < 0$

Si le système binaire est serré :

$E _{\mathrm{binaire}} \ll 0 \mathrm{ \ et donc \ } E _{\mathrm{autres\ objets}} > 0$

Les composantes de l'amas vont alors peu à peu se quitter. Le mécanisme est complexe, car lié à la dynamique d'un système à N corps. On comprend que, pour former une binaire serrée, les 2 composantes ont besoin d'interagir avec le groupe. Sinon, dans le cadre du système à 2 corps décrit par la mécanique képlérienne, l'orbite des 2 étoiles n'a aucune raison d'évoluer.

Amas des Hyades, à 151 AL du Soleil (ce qui est très proche), âgé d'environ 600 millions d'années. Il s'étend sur toute la constellation du Taureau.

Crédit : CDS

Intérêt de l'étude des amas

Les raisons motivant l'étude des amas stellaires sont très nombreuses :

Les étoiles d'un amas sont nées à la même date, à la durée du processus de formation près, mais qui s'avère très courte devant la durée de vie des étoiles. Elles ont donc le même âge.
Elles sont toutes à la même distance du Soleil, la dimension de l'amas étant petite devant leur distance moyenne (sauf pour l'amas le plus proche, les Hyades). Elles ont donc le même module de distance.
Elles présentent des compositions chimiques initiales très voisines, vu qu'elles proviennent du même nuage géniteur.

Jeune et ouvert ; vieux et fermé

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Question 1)

Pourquoi les amas ouverts sont-ils en moyenne plus jeunes que les amas fermés ?

La phase de formation ne représente qu'une courte étape dans la vie de la plupart des étoiles. Ensuite, l'étoile doit trouver une autre source d'énergie.

Avec une masse stellaire suffisante, de l'ordre du douzième de la masse du Soleil, la fusion de l'hydrogène peut s'amorcer, et l'étoile entre sur la séquence principale.

Cet objet du catalogue Herbig-Haro est une étoile de type T-Tauri. Sur le point d'atteindre la séquence principale, elle éjecte encore une fraction importante de sa masse sous forme de vent stellaire.

Crédit : HST

Image en rayon X du Soleil. Quelle source d'énergie interne explique la luminosité du Soleil ?

Crédit : NASA

Energie interne

Le Soleil présente un âge bien plus avancé que le temps de Kelvin-Helmholtz. Il possède une source d'énergie interne qui explique son rayonnement.

Réaction détaillée de la fusion de 4 H en 1 He.

Crédit : ASM

Bilan de la fusion de 4 H en 1 He.

Crédit : ASM

Chaine proton-proton

Différentes étapes conduisent à la fusion de 4 protons en un noyau d'hélium, ne faisant intervenir que des paires de réactifs à chaque étape élémentaire.

L'étape limitante de la réaction consiste en la fusion de 2 protons vers un noyau de deutérium, avec émission d'un positron, donc un bilan réduit $\mathrm{p}^{+} \to \mathrm{n} + \mathrm{e}^{+}$ . L'interaction faible mise en jeu induit un très faible taux de réaction.

Cycle CNO.

Crédit : ASM

Cycle CNO

A plus haute température (car les noyaux impliquées sont plus lourds, donc plus chargés), le cycle CNO peut s'avérer plus rapide que la chaîne proton-proton. Il est à l'oeuvre dans les étoiles massives. Les noyaux C, N et O participent au cycle, mais n'apparaissent pas dans le bilan final, qui reste la transformation de 4 protons en 1 noyau d'hélium.

Objectifs

Définir dans quelles conditions microphysiques la fusion de l'hydrogène va s'amorcer.

Montrer que la fusion nécessite une température élevée, de l'ordre de $10^7 {\,\mathrm{K}}$ .

Après la phase de contraction

L'examen des constantes de temps dynamiques et de Kelvin Helmholtz a montré que l'effondrement d'un nuage est relativement bref, et que la puissance rayonnée ne va pas durer éternellement.

Seules les régions internes les plus chaudes peuvent être le siège de la fusion de l'hydrogène. Leur volume est limité.

Crédit : ASM

Energie disponible

La réaction qui de 4 protons conduit à un noyau d'hélium présente un bilan de perte de masse de $0.007 m _{\mathrm{p}}$ par proton. L'énergie nucléaire disponible, par fusion de l'hydrogène, est donc de $0.007 m _{\mathrm{p}} c^2$ , soit 7 MeV, par nucléon, et a priori de 0.007 M c^2 pour toute l'étoile.

En fait, seule la région centrale de l'étoile, la plus chaude, permet la fusion. Dans le cas d'une étoile comme le Soleil, seule une masse $\simeq M/10$ est concernée.

Constante de temps nucléaire

La durée de vie à ce régime, pour une étoile comme le Soleil, est alors :

$t _{\mathrm{nucl}} = {E\over L}$

L'application numérique, avec la luminosité solaire mesurée aujourd'hui $(\simeq 3.8\ 10^{26} {\,\mathrm{W}})$ , le taux de conversion par nucléon et la masse concernée donne :

$t _{\mathrm{nucl}} \simeq 0.007\ {M/10\ c^2\over L} \simeq 10^{10} {\,\mathrm{ans}}$

Une réaction chimique, dégageant typiquement 1 eV par nucléon, soit 1 million de fois moins que la fusion de l'hydrogène, conduirait à une durée de vie de $10^4 {\,\mathrm{ans}}$ seulement.

L'estimation de 10 milliards d'année pour le Soleil est très proche de ce que donne une modélisation plus poussée. Actuellement, avec un âge de 4.56 milliards d'années, le Soleil est à mi-parcours sur la séquence principale.

L'effet tunnel permet à un couple de protons de se rencontrer et d'interagir via l'interaction nucléaire forte, en outrepassant la barrière électrostatique.

Crédit : ASM

Distribution maxwellienne de vitesse, valable pour un gaz parfait. Valeur la plus probable, valeur moyenne et largeur de la distribution se valent, pour une énergie cinétique égale à 3/2 kT.

Crédit : ASM

Interagir

Au sein d'une étoile, l'hydrogène est totalement ionisé : la matière se présente sous la forme d'un gaz de protons et d'électrons essentiellement. La réaction entre 2 protons nécessite leur rencontre à très courte distance, car l'interaction nucléaire forte n'a qu'une très courte portée, de l'ordre du femtomètre. Ceci nécessite de vaincre la répulsion électrostatique.

La barrière de potentiel pour une distance de 1 fm entre les 2 protons, peut se traduire en température : de l'ordre de $10^9 {\,\mathrm{K}}$ . Traduite en masse stellaire, ceci nécessiterait un minimum de 30 fois la masse du Soleil.

Deux phénomènes se conjuguent pour faciliter la fusion :

L'effet tunnel conduit à tromper les électrons sur la distance exacte qui les sépare. Il exprime l'incertitude de Heisenberg : les 2 protons fonçant l'un sur l'autre ne peuvent pas avoir une position très précisément définie.
La distribution de vitesse des protons est maxwellienne, donnée par la théorie cinétique du gaz parfait : si l'énergie cinétique moyenne est $3/2 k _{\mathrm{B}} T$ , une proportion non négligeable de protons est sensiblement plus rapide.

Ces points sont quantifiés en exercice.

Fusion de l'hydrogène

En pratique, la température limite de fusion de l'hydrogène est de l'ordre de 10 millions de Kelvin. Pour des températures plus faibles, seule la fusion du deutérium peut s'amorcer.

$T _{\mathrm{fusion,\ H}} \ \simeq \ 10^7 {\,\mathrm{K}}$

La fusion par le cycle pp domine lorsque la température n'excède pas $10^7 {\,\mathrm{K}}$ . Au delà de $2 \ 10^7 {\,\mathrm{K}}$ , le cycle CNO est prépondérant.

Fusion de noyaux lourds

Plus les noyaux sont lourds, plus leur fusion nécessite une température élevée. En fonction du nombre de charge de l'élément considéré :

$T _{\mathrm{fusion,\ Z}} \ \simeq \ Z^2\ T _{\mathrm{fusion,\ H}}$

Energie potentielle d'interaction proton-proton.

Crédit : ASM

Température de fusion

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Cet exercice a pour but de quantifier, dans un cadre classique, la température minimale qui doit régner au centre d'une étoile pour que s'amorcent les réactions nucléaires. Il se base sur la figure donnant le potentiel d'interaction entre 2 protons.

Question 1)

Mener un bilan d'énergie, pour déterminer l'énergie cinétique minimale conduisant à la fusion.

[1 points]

Question 2)

En déduire l'expression de la température minimale pour que la fusion puisse avoir lieu.

[2 points]

Question 3)

Faire l'application numérique. On donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI, et $r _{\mathrm{min}} = 1 {\,\mathrm{fm}} = 10^{-15} {\,\mathrm{m}}$ . Qu'en pensez-vous ?

[2 points]

Question 4)

Comment s'écrit cette température s'il s'agit de faire fusionner non pas 2 protons, mais 2 noyaux d'une élément de charge .

En déduire que la température de fusion des éléments lourds nécessite une température bien plus élevée que celle pour l'hydrogène.

[1 points]

Du rôle de l'effet tunnel et de la distribution des vitesses

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 60 min

Sans effet tunnel, la fusion de l'hydrogène nécessiterait des températures très élevées (et p.ex. non atteintes dans l'intérieur du Soleil). Cet exercice a pour but de décrire le rôle de l'effet tunnel dans le cadre d'un modèle très simplifié. On note la position d'un proton par rapport à un autre et la quantité de mouvement du proton incident. L'effet tunnel relie les incertitudes sur la position et la quantité de mouvement d'une particule par la relation :

$\Delta r \Delta p \sim \hbar$

Question 1)

Relier la distance minimale d'approche des 2 protons à la quantité de mouvement incidente, puis à la température du milieu.

[1 points]

Question 2)

Faire l'application numérique dans le cas d'une distance d'approche de 1 fm, nécessaire pour arriver à une interaction forte entre les protons.

[1 points]

Question 3)

Dans le problème étudié, la loi de distribution des vitesses permet de confondre et avec leurs incertitudes. On se place dans ce cadre là pour traiter cette question.

On suppose que le proton incident ne sait pas localiser l'autre proton, avec une incertitude dépendant de sa quantité de mouvement incidente précédemment calculée (notée simplement ).

Déterminer alors cette incertitude de position.

[3 points]

Question 4)

Faire l'application numérique (on donne $1/4\pi\varepsilon_0 = 9 \ 10^{9}$ en unité SI). En déduire que la température du milieu peut être plus basse pour aboutir à la fusion.

[2 points]

Question 5)

La distribution des quantités de mouvement assure qu'il existe une population avec des protons 3 fois plus rapide que la valeur moyenne. En déduire la température minimale pour la fusion.

[1 points]

Objectifs

Définir dans quelles conditions la fusion de l'hydrogène va s'amorcer.

Prérequis

Pression au centre de l'étoile.

La compression gravitationnelle peut être équilibrée par 3 termes de pression :

$P _{\mathrm{c}} = P _{\mathrm{K}} + P _{\mathrm{deg}} + P _{\mathrm{rad}}$

respectivement pression du gaz de matière chaud, pression de Fermi et présence du gaz de photons.

Phase de contraction

La compression gravitationnelle au centre de l'objet varie en fonction de sa masse et de son rayon comme :

$P _{\mathrm{c}} \ = \ \alpha _{\mathrm{c}}\ M^2\ R^{-4} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{c}} \ \simeq \ {\cal G}$

Lors de la contraction de l'objet, la température centrale varie en fonction du rayon comme :

$T(R) \simeq { {\cal G} M m _{\mathrm{p}} \over k _{\mathrm{B}} R}$

(avec $m _{\mathrm{p}}$ la masse du proton). Lorsque décroît, la température augmente, et la pression aussi. La température limite d'enclenchement des réactions nucléaires peut-elle être atteinte ?

Rôle des différents termes de pression

La pression cinétique présente la même dépendance en masse et rayon que la compression gravitationnelle :

$P _{\mathrm{K}} \ =\ \alpha _{\mathrm{K}}\ M^2 \ R^{-4} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{K}} \ \simeq\ {\cal G}$

Avec ces variables, la pression de dégénérescence varie elle comme :

$P _{\mathrm{deg}} \ =\ \alpha _{\mathrm{deg}}\ M^{5/3} \ R^{-5} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{deg}} \ \simeq \ {2\hbar^2 \over m _{\mathrm{e}} }\left({3 \over 4\pi} {Z\over A m _{\mathrm{p}}}\right)^{5/3}$

Lorsque l'objet se contracte, cette pression augmente plus vite que la compression gravitationnelle. Elle peut donc bloquer la compression, en atteignant un équilibre caractérisé par :

$M^{1/3} \ =\ \alpha _{\mathrm{deg}} \alpha _{\mathrm{c}}^{-1} \ R^{-1}$

Température centrale

Dans ces conditions, la température atteinte au centre vaut (en éliminant la variable rayon des équations qui précèdent) :

$T _{\mathrm{c}} = { {\cal G}^2 M^{4/3} m _{\mathrm{p}} \over k _{\mathrm{B}} \alpha _{\mathrm{deg}}}$

Si la température centrale atteint 10 millions de Kelvin, une étoile est née. Sinon, il s'agit d'un astre dégénéré sans amorçage des réactions nucléaires.

Masse minimale

Il est nécessaire d'avoir une masse initiale suffisante pour atteindre une température permettant d'initier la fusion de l'hydrogène. Un modèle précis donne la masse minimale pour la combustion de l'hydrogène :

$M _{\mathrm{* min}} = 0.08 \ M_\odot \simeq 80\ M _{\mathrm{Jupiter}}$

Entre 13 et 80 $M _{\mathrm{Jup}}$ , l'objet ne peut brûler que son deutérium : il s'agit alors d'une naine brune.

Masse maximale

La pression de radiation varie comme T^4 , donc :

$P _{\mathrm{rad}} \ =\ \alpha _{\mathrm{rad}}\ M^4 \ R^{-4} \mathrm{ \ avec \ } \alpha _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {4\sigma \over 3c}\left({ {\cal G} m _{\mathrm{p}}\over 10 k _{\mathrm{B}}}\right)^4$

à comparer à la compression gravitationnelle $P _{\mathrm{c}} \propto M^2\ R^{-4}$ .

Si la masse est trop importante, la pression de radiation va conduire à souffler l'étoile. La limite d'équilibre $( P _{\mathrm{rad}} = P _{\mathrm{c}})$ est atteinte lorsque :

$M _{\mathrm{max}} = \sqrt{\alpha _{\mathrm{c}} \over \alpha _{\mathrm{rad}}}$

Une modélisation précise donne la valeur numérique :

$M _{\mathrm{max}} \simeq 100 \ M_\odot$

Définition des fréquences caractéristiques $\Delta\nu$ et $\nu _{\mathrm{max}}$ d'un spectre d'oscillation stellaire.

Crédit : ASM

Masse et rayon sismiques

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

L'astérosismologie, l'étude de la vibration des étoiles, est une branche récente de la physique stellaire qui apporte de nouvelles observables. La description globale d'un spectre d'oscillation introduit deux fréquences caractéristiques $\Delta\nu$ et $\nu _{\mathrm{max}}$ , respectivement appelées grande séparation et fréquence du maximum de signal sismique. Elles dépendent de la masse , du rayon et de la température effective de l'étoile via les définitions :

$\Delta\nu\ =\ \Delta\nu_\odot \ \left({M \over M_\odot}\right)^{1/2} \ \left({R \over R_\odot}\right)^{-3/2}$

$\nu _{\mathrm{max}}\ =\ \nu _{\mathrm{max}}{}_{,}{}_\odot \ \left({M \over M_\odot}\right) \ \left({R \over R_\odot}\right)^{-2} \ \left({T \over T_\odot}\right)^{-1/2}$

avec les valeurs solaires $R_\odot \simeq 7\ 10^8$ m, $M_\odot \simeq 2\ 10^{30}$ kg, $\Delta\nu_\odot\simeq 135\,\mu$ Hz, $\nu _{\mathrm{max}}{}_{,}{}_\odot\simeq 3050\,\mu$ Hz, et $T_\odot \simeq 5\,777\,$ K.

Question 1)

Ordonner les valeurs de $\nu _{\mathrm{max}}$ pour deux étoiles de même type spectral mais présentant un champ gravitationnel très différent.

[2 points]

Question 2)

Quelle mesure intéressante apporte $\nu _{\mathrm{max}}$ , grandeur mesurée à une précision de l'ordre de quelques pourcents ?

[1 points]

Question 3)

Ordonner les valeurs de la grande séparation $\Delta\nu$ pour deux étoiles présentant une masse volumique moyenne très différente.

[1 points]

Question 4)

Calculer $\Delta\nu$ et $\nu _{\mathrm{max}}$ pour une géante rouge, de masse égale à la masse du Soleil, de rayon égal à $10\ R_\odot$ et de température effective 4 800 K.

[1 points]

Question 5)

Montrer que l'on peut déduire de la mesure de $\Delta\nu$ , $\nu _{\mathrm{max}}$ et une estimation des masse et rayon stellaires. Donner ces expressions ; les exprimer en fonction des valeurs solaires.

[2 points]

Question 6)

Énoncer un des intérêts de l'astérosismologie ?

[1 points]

De nouvelles classes spectrales ?

Difficulté : ☆☆ Temps : 5 min

Question 1)

Pourquoi peut-on penser qu'il n'y aura pas de découvertes de nouvelles classes spectrales même si l'on met en service de nouveaux télescopes de sensibilité encore plus grande ?

Objectifs

Estimer quelques dimensionnements des objets sur la séquence principale à partir de la relation masse-luminosité sur séquence principale ( $L \propto M^3$ ).

Relation masse-luminosité. Les étoiles les moins lumineuses sont intrinsèquement plus de 1000 fois moins lumineuses que le Soleil, quand les plus lumineuses atteignent 1 millions de fois la valeur solaire.

Crédit : ASM

Relation masse luminosité

En faisant de la physique avec les mains, on démontre rapidement que la luminosité d'une étoile est reliée à sa masse par la relation :

$L \ \propto\ M^3$

La démonstration complète est hors de portée de ce cours, car elle introduit des éléments de transfert radiatif, qui aboutissent à la relation entre masse et rayon stellaires. Notons les étapes principales.

Constante de temps radiative

La luminosité d'une étoile, commensurable à une puissance, est égale au quotient de l'énergie interne du gaz de photons à la constante de temps radiative :

$L\ \propto\ {u\over t _{\mathrm{rad}}}$

L'énergie interne du gaz de photons est proportionnelle au volume stellaire R^3 , ainsi qu'à T^4 selon la loi de rayonnement du corps noir). La constante de temps radiative mesure le durée d'échappement des photons, qui résulte d'un phénomène stochastique.

On suppose que le libre parcours moyen $\lambda$ d'un photon est uniforme dans tout l'intérieur stellaire. Le processus de marche au hasard demande alors, pour parcourir une distance par étapes de longueur élémentaire $\lambda$ , un nombre d'étapes variant comme $R^2 / \lambda$ . On en déduit la constante de temps radiative :

$t _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {R^2\over \lambda}$

Comme le libre parcours $\lambda$ est en fait inversement proportionnel à l'encombrement, donc à la masse volumique, on a :

$t _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {M\over R}$

et

$L\ \propto\ {T^4 \ R^3\over t _{\mathrm{rad}}} \ \propto\ {T^4 \ R^4\over M}$

Relation masse-rayon-température-luminosité

Dans les pages précédentes, des éléments de physique simples ont permis de calibrer les masse volumique et pression internes :

$\rho\ \propto\ M/R^3 \ \mathrm{ et } \ P _{\mathrm{c}}\ \propto\ M^2/R^4$

ainsi que la relation donnant la température centrale :

$T\ \propto\ M/R$

La luminosité du corps noir stellaire vérifie donc :

$L\ \propto\ {T^4 \ R^4\over M}\ \propto\ M^3$

Observationnellement, l'exposant s'avère être 3.3 :

$L \ \propto\ M^{3.3}$

Durée de vie sur la séquence principale

Cette relation, avec un exposant élevé, signifie qu'une étoile massive va être très lumineuse. Son réservoir de matière étant limité, elle évoluera et mourra beaucoup plus vite qu'une étoile moins massive. Les étoiles les plus massives évoluent en une dizaine de millions d'années. En revanche, une étoile très peu massive a une espérance de vie très longue, se chiffrant en dizaines de milliards d'années.

Avec le réservoir d'énergie donnée par la masse, et la luminosité variant comme M^3 , la durée de vie stellaire varie comme :

$t _{\mathrm{vie}} \simeq {E _{\mathrm{nucl}} \over L} \propto {M\over M^3} = {1\over M^2}$

Durée de vie
étoile	$M/M_\odot$	$t _{\mathrm{vie}}$ (ans)
naine de type M	0.08	$1.5 \ 10^{12}$	100 fois l'âge de l'Univers
Soleil	1	$10^{10}$	le Soleil est à mi-vie
naine de type O	40	$6\ 10^6$	très court !

Ordre de grandeur de la durée de vie d'une étoile en fonction de sa masse.

Le long de la séquence principale

Différents modèles stellaires ont été synthétisés. La masse, le rayon et la luminosité sont données en unités solaires, la température de corps noir en Kelvin (on remarquera que le modèle correspondant à 1 masse solaire n'a pas un rayon solaire : la série a été déterminée pour des conditions d'âge et de composition différentes de celles de notre Soleil).

A l'aide de l'appliquette, calculer la luminosité de corps noir Lcn, et vérifier qu'elle correspond à la luminosité modélisée.

Calculer ensuite les luminosités, masses et rayons en échelle logarithmique, et vérifier les exposants des relations de proportionnalité entre la luminosité et la masse d'une part, la luminosité et le rayon d'autre part.

Amplitude des oscillations

Difficulté : ☆☆ Temps : min

L'amplitude des oscillations de type solaire dépendent du rapport a = L/M , la luminosité donnant la mesure de l'énergie transportée par convection, et la masse mesurant l'inertie de la réponse. Ces deux grandeurs ne peuvent être mesurées qu'indirectement : la mesure de la luminosité dépend de la distance, et la mesure de la masse nécessite un modèle de structure interne.

Question 1)

Montrer que l'amplitude croît avec le type spectral.

[1 points]

Question 2)

Déterminer la dépendance a (T, g) , avec la température effective (déduit du spectre) et le champ gravitationnel (déduit des profils de raies).

[1 points]

Le long de la séquence principale

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Diagramme HR.

Crédit : ASM

Le long de la séquence principale, la luminosité d'une étoile varie approximativement comme la puissance 6 de la température, comme le rappelle le diagramme HR ci joint.

Question 1)

Montrer que l'on peut en déduire une relation masse-rayon le long de la séquence principale du type:

$M \propto R^2$

[2 points]

Question 2)

Que peut-on en déduire pour le champ gravitationnel d'une étoile de la séquence principale ?

[1 points]

Champ d'étoiles dans le Grand Nuage de Magellan (galaxie satellite de la Voie Lactée) vu par le télescope Hubble.

Crédit : HST

Naine brune 2M1207, et son compagnon exoplanétaire, détectée par optique adaptative au VLT.

Crédit : ESO

Naine brunes identifiées dans l'amas ouvert des Pléiades.

Crédit : UKIDSS and Palomar Observatory Sky Survey

Modélisation de planètes géantes et naines brunes.

Crédit : CNRS

Champ d'étoiles

Quels objets d'un champ stellaire sont effectivement des étoiles, et pour quelles raisons ?

Naines brunes

Dans les années 1990, des objets présentant une très faible luminosité et un indice de couleur très rouge ont été clairement identifiés comme naines brunes : objet de masse insuffisante pour amorcer la fusion de l'hydrogène mais de masse suffisante pour la fusion de deuterium. Les moyens observationnels actuels permettent de les détecter en grand nombre, par exemple dans un amas. Les modèles de structure interne montrent qu'ils présentent un rayon de l'ordre de celui de Jupiter, pour une température effective de 1000 à 1500 K pour les plus chauds.

La nature du Soleil et des étoiles

La nature du Soleil et des étoiles a été un sujet continu de questionnement au cours de l'histoire :

Pour Anaxagore, au Ve siècle avant JC, le Soleil est un rocher incandescent.
Pour Aristote, au IVe siècle avant JC, les corps célestes sont constitués d'une autre matière que les 4 éléments terrestres. L'Univers est éternel.
Jean Philopon, philosophe chrétien au VIe siècle, réfute un Univers sans création. Les étoiles sont des soleils.
Pour Giordano Bruno, fin XVe siècle, les étoiles sont des soleils entourés de planètes.
Au XIXe siècle, l'émergence de la spectroscopie permet d'analyser la photosphère solaire.

La question énergétique

La question énergétique se pose dès le XVIIIe siècle. Comment le Soleil compense-t-il la perte d'énergie par rayonnement (Herschel, 1795) ? Pour une Terre de 6000 ans (création du monde selon la tradition biblique, ou de quelques millions d'années (Buffon), le mécanisme de Kelvin-Helmholtz convient ; mais lorsque la géologie, par datation des roches terrestres, conduit à un âge supérieur au milliard d'années, les choses se compliquent.

En 1804, Helmholtz suppose que le Soleil tire son énergie de sa contraction gravitationnelle.
En 1919, Eddington suppose une origine nucléaire, par fusion de l'hydrogène.
En 1939, le premier mécanisme de fusion de l'hydrogène est proposé par le physicien Hans Bethe.

Objectifs

Établir les éléments de définition d'une étoile.

Brûler de l'hydrogène

Définition

Une étoile passe par une phase adulte, sur la séquence principale, où elle tire son énergie de la fusion de l'hydrogène.

La masse de l'étoile étant apparue comme le paramètre crucial gouvernant sa formation puis son devenir, on récapitule ici comment varient la nature et le rayon d'un objet en fonction de sa masse.

Diagramme masse-rayon

Relation masse rayon (en unités solaires), de la Terre à une étoile $\eta$ Carinae, de masse de l'ordre de 100 fois la masse du Soleil.

Crédit : ASM

Faibles masses

Aux faibles masses (comme celle de la Terre), la matière solide est très peu compressible. La relation masse-rayon d'un simple empilement de masse volumique uniforme donne :

$M \propto R^3$

Le rayon croît avec la masse (cas d'une planète de masse inférieure à celle de Jupiter).

Pression de dégénérescence

Avec l'augmentation de la masse au-dela d’une masse critique proche de la masse de Jupiter, la pression de dégénérescence variant comme $R^{-5}$ l'emporte. L'équilibre de la compression gravitationnelle $( P _{\mathrm{c}} \propto M^2 / R^4)$ par la pression de dégénérescence $( P _{\mathrm{deg}} \propto M^{5/3} / R^5)$ conduit à la relation masse-rayon :

$R \propto M^{-1/3}$

Le rayon de l'objet décroît avec la masse. Ceci n'est bien sûr pas intuitivement évident, mais c'est bien ce que l'on modélise pour les (exo)planètes géantes plus massives que Jupiter.

Relation masse rayon

Pour les étoile de la séquence principale, on a vu :

$M\propto R^2$

Evolution en fonction de la masse

L'étude à suivre montre l'avenir des étoiles une fois achevée leur vie sur la séquence principale.

Une étoile de masse initiale inférieure à la masse de Chandrasekhar $(1.44 \ M_\odot)$ évolue vers le stade de naine blanche.
Pour une masse supérieure, elle finit comme étoile à neutrons.
Voire comme trou noir pour une masse supérieure à 3 fois celle du Soleil.

Populations stellaires

Temps : 30 min

Les observations photométriques menées par le satellite CoRoT ont conduit à identifier des populations d'étoiles peu brillantes pour lesquelles peu d'informations sont disponibles. Ici, on travaille avec une estimation de leurs températures effectives et gravités obtenues par suivi spectroscopique au sol. Ces estimations sont compilées dans un graphe $T_{\hbox{eff }} - \log g$ (les logarithmes sont calculés pour des gravités exprimées en cm.s^-2). Le graphe montre deux populations, que l'on souhaite caractériser.

Champ CoRoT

Relevé des températures effectives et gravité du champ initial observé par CoRoT.

Crédit : CNES/ASM

Question 1)

Déterminer l'expression du champ de gravité de surface d'une étoile de masse et rayon .

Question 2)

Faire l'application numérique pour une étoile comme le Soleil et pour une géante rouge de masse identique, mais rayon $10\ R_\odot$ . Exprimer les résultats par la valeur $\log g$ .

Question 3)

Positionner les deux types d'objets dans le graphe et en déduire la nature des étoiles observées.

La température effective du Soleil vaut 5777 K. Compter 4800 K pour une géante de 10*R_sun

Question 4)

Identifier les deux populations.

Question 5)

Estimer l'ordre de grandeur des plus grandes géantes observées dans l'échantillon.

La mort des étoiles survient lorsque le carburant nucléaire principal, l'hydrogène, fait défaut au centre.

Nébuleuse de l'oeuf. Phase rapide de la mort d'une étoile de la classe du Soleil, entre les stades de géante rouge puis de nébuleuse planétaire, avec une importante éjection de matière.

Crédit : HST

Image infrarouge à 90 micromètres de l'étoile géante rouge U Hydrae, entourée d'un imposant nuage de poussière. Ce nuage s'étend jusqu'à 0.3 année de lumière de l'étoile. Il a dû apparaître lors de poussées de vents violents ayant débuté il y a environ 10 000 ans.

Crédit : JAXA

Géante rouge

Le stade de géante rouge est atteint par une étoile telle le Soleil en fin de vie. La contraction du noyau, à la recherche d'une source d'énergie autre que la fusion de l'hydrogène, s'accompagne de l'extension de l'enveloppe externe, et de vents stellaires importants, conduisant à l'apparition d'un nuage de poussières circumstellaires.

Nébuleuse de la Lyre

Nébuleuse planétaire de la Lyre. Le diamètre de l'enveloppe représente 1.3 AL. L'étoile centrale, à peine visible ici, atteint une température effective de 100 000 K. La composante rouge du rayonnement est due à l'hydrogène, les autres composantes colorées à des raies de l'oxygène et de l'azote.

Crédit : HST

Nébuleuse planétaire

Une nébuleuse planétaire n'a rien à voir avec une planète, sinon qu'historiquement ce nom a été donnée par confusion observationnelle due à un manque de résolution angulaire.

Une étoile de masse inférieure à 1.5 masse solaire ayant fini de consommer tout son hydrogène, puis son hélium, voit son cœur s'effondrer et se transforme en naine blanche. Les couches externes, expulsées par la pression de radiation, s'étendent autour de l'étoile à une vitesse d'expansion de plusieurs dizaines de kilomètres par seconde. Cette région est ionisée sous l'action des photons ultraviolets émis par l'étoile devenue très chaude ( $> 30\,000 {\,\mathrm{K}}$ ).

Atmosphère de Bételgeuse

Atmosphère de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse. Le diamètre stellaire vaut 800 fois celui du Soleil, portant la luminosité à 10000 fois la luminosité solaire.

Crédit : HST

Supergéante rouge

Les étoiles les plus massives atteignent le stade de supergéante rouge, telle Bételgeuse. Leur atmosphère, réagissant à la fusion des éléments de plus en plus lourds, atteint des tailles considérables, d'où leur dénomination.

Objectifs

Décrire l'évolution d'une étoile de faible masse (comme le Soleil).

L'hydrogène est épuisé

En fin de séquence principale, la plupart des enveloppes stellaires autour du noyau ne sont pas convectives, mais radiatives : l'énergie est évacuée par les photons, sans transport de matière, donc sans mélange. Dès lors, il est inéluctable que, l'hydrogène central arrive à épuisement. L'étoile quitte la séquence principale.

Les sous-géantes

Localisation des sous-géantes dans le diagramme HR.

Crédit : ASM

En fait durant cette phase, comme la suivante, l'hydrogène continue à brûler, mais en une fine couche autour du noyau d'hélium.

L'étoile se déplace dans le diagramme HR vers les faibles températures. La baisse de température et l'augmentation du rayon se compensent approximativement : l'évolution a lieu à luminosité quasi constante. C'est la phase de sous-géante.

La rupture de production d'énergie conduit à un déséquilibre de structure, et le noyau d'hélium se contracte pour tenter de retrouver un équilibre. En se contractant, il se réchauffe, et par réaction l'enveloppe extérieure s'étend, et bien sûr la détente s'accompagne d'un refroidissement.

Les branche des géantes rouges

Les étoiles de masse comparable à celle du Soleil voient leur atmosphère se dilater de plusieurs ordres de grandeur (en réponse au cœur d'hélium inerte qui se contracte, et toujours avec une couche d'hydrogène en fusion entre le cœur et l'enveloppe). La luminosité s'accroît considérablement : l'étoile parcourt la branche des géantes rouges.

Durant cette phase, l'étoile redevient entièrement convective, ce qui extrait les éléments lourds produits dans les couches internes vers les couches extérieures. C'est aussi une phase d'instabilité atmosphérique, s'accompagnant au sommet de la branche des géantes d'un fort taux d'éjection de masse, qui peut atteindre $10^{-5}\,M_\odot$ par an avec des vitesses d'éjection de l'ordre de 5 à $20 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1}$ . Cette perte de masse apparaît quand la gravité de surface de l'étoile est devenue très faible : les couches périphériques de l'enveloppe stellaire ne sont plus que très (trop) faiblement liées à l'étoile. L'étoile résiduelle a d'autant plus maigri qu'elle était peu massive au départ, ce qui conduit à des géantes rouges aussi peu massive 0.6 masse solaire après la perte de masse.

Au sommet de la branche des étoiles, les étoiles ont un rayon typiquement entre 100 et 200 fois le rayon solaire, un cœur d'hélium de plus en plus dense et chaud, et une masse allégée.

Branche des géantes rouges (avant la fusion de l'hélium du cœur) et branche asymptotique des géantes rouges (après). Le bas de la branche des géantes rouges est uniquement peuplé d'étoiles peu massives ( $< 2 M_\odot$ ) . Les étoiles plus massives la rejoignent à plus grand luminosité.

Crédit : ASM

La fusion de l'hélium

La contraction du noyau d'hélium conduit à son fort réchauffement. Dès $10^8 {\,\mathrm{K}}$ , la fusion de l'hélium peut conduire au carbone, par la réaction bilan : $3 \mathrm{\ He\ } \longrightarrow\ \mathrm{C}$ . L'étoile, retrouvant une source d'énergie, retrouve donc une situation d'équilibre. L'apport d'énergie de fusion de l'hélium provoque la dilatation du cœur et l'effondrement de l'enveloppe.

La fusion de l'hélium démarre dans des conditions différentes selon la masse de l'étoile. Une étoile peu massive présente un cœur dégénéré. Cette dégénérescence bloque la fusion de l'hélium, qui ne peut démarrer que dans des conditions brutales, le flash de l'hélium, dès lors qu'une température critique est atteinte. Les étoiles plus massives (de l'ordre de 2 fois la masse du Soleil) ont un cœur plus chaud, non dégénéré, et peuvent commencer la fusion de l'hélium graduellement.

Les étoiles qui brûlent leur hélium central s'accumulent sur le clump, l'extrémité la plus froide de la branche horizontale des géantes. Leur rayon vaut typiquement $12\ R_\odot$ .

La branche asymptotique des géantes rouges

Lorsque l'hélium est épuisé dans le cœur, l'équilibre de l'étoile est perturbé. Sans source d'énergie interne, le cœur se contracte, et donc l'enveloppe recommence à s'étendre. Le mécanisme qui associe le contraction (dilatation) du cœur et la dilatation (contraction) conjointe de l'enveloppe est identique à celui à l'œuvre sur la branche des géantes.

Ce mécanisme de miroir comporte trois ingrédients : un cœur qui produit peu ou pas de l'énergie, une enveloppe essentiellement convective, et à l'interface une couche d'hydrogène en fusion. Si le cœur se contracte, la couche d'hydrogène voit sa température augmenter, et ceci provoque la dilation de l'enveloppe, et réciproquement.

Dans le diagramme HR, la branche asymptotique est parallèle à la branches des géantes rouges, un peu plus chaude. L'avenir de l'étoile dépend de sa masse. La perte de masse est aussi cruciale pour cette phase d'évolution.

La perte de masse pouvant durer jusqu'à un million d'années, ces étoiles de la branche asymptotique s'entourent progressivement d'une enveloppe qui peut atteindre plusieurs masses solaires, et des dimensions importantes, de l'ordre d'une année de lumière, contribuant ainsi à l'enrichissement du milieu interstellaire, avec des éléments plus lourds que l'hydrogène et l'hélium.

Fusion des éléments lourds

Si la masse de l'étoile (plus précisément, de ce qu'il en reste, car la perte de masse est importante au sommet de la branche asymptotique) est assez importante, le cœur pourra se contracter, à l'épuisement des éléments les plus légers, pour démarrer la fusion des éléments plus lourds.

La fusion du carbone ensuite conduit au néon, à l'oxygène. Tous les éléments jusqu'au fer peuvent ainsi être produits par fusion dans les étoiles les plus massives : une étoile massive est une usine à éléments lourds.

Nébuleuse planétaire

Position des étoiles centrales de nébuleuses planétaires dans le diagramme HR, issues de géantes rouges.

Crédit : ASM

Si la masse de l'étoile n'est pas trop importante, arrive un moment où la température centrale limitée ne permet plus de trouver de nouvelle source d'énergie. Seule subsiste la pression de dégénérescence des électrons pour soutenir l'étoile. Ses régions internes se contractent jusqu'à former une naine blanche, tandis que les couches externes expulsées par la pression de radiation donnent naissance à une nébuleuse planétaire.

Diagramme masse-rayon d'étoiles géantes rouges observées par le satellite Kepler de la NASA. En bleu : membres de la première branche des géantes rouge, qui brûlent l'hydrogène en couche ; en rouge : membres du clump, qui brûlent l'hélium du cœur ; en gris : statut évolutif indéterminé.

Crédit : Kepler/ASM

Perte de masse

La perte de masse des étoiles géantes rouges est perceptible dans un diagramme rayon-masse obtenu par les données astérosismiques, d'après lesquelles on peut distinguer les étoiles montant la première branche des géantes rouges de celles qui, passées par le sommet de la branche des géantes et l'épisode correspondant de perte de masse, se retrouvent sur le clump et brûlent l'hélium. Alors que les étoiles qui montent la branche ont des masses de 1 à 2 fois la masse du Soleil, celles du clump peuvent avoir des masses plus petites. C'est la signature de la perte de masse.

Evolution d'une supergéante

Evolution des supergéantes

L'énergie gravitationnelle des étoiles les plus massives leur permet d'aborder la fusion des éléments les plus lourds.

Naines blanches

Naines blanches dans l'amas M4. Privées de source d'énergie, elles sont très peu lumineuses, et s'éteignent peu à peu.

Crédit : HST

Sirius A et B

Sirius A et B (le petit point lumineux sous l'aigrette inférieure gauche de diffraction de Sirius A). Sirius A est une étoile de la séquence principale, accompagnée d'une naine blanche 10 magnitudes moins brillante. La taille de Sirius B est comparable à celle de la Terre, sa masse étant approximativement solaire.

Crédit : HST

Petites et chaudes

L'examen d'un champ stellaire peut mettre en évidence des objets de très petit rayon mais très chauds, des naines blanches. Le contraste de luminosité avec une étoile de la séquence principale est très marqué.

Objectifs

Caractériser les naines blanches dans l'évolution stellaire : l'état de naine blanche constitue l'étape ultime de l'évolution des étoiles peu massives.

Position des naines blanches dans le diagramme HR.

Crédit : ASM

La fin de la fusion de l'hydrogène

En l'absence de carburant nucléaire, l'hydrogène étant épuisé au centre de l'étoile, le noyau se contracte, pour atteindre une température centrale plus élevée par le processus de Kelvin-Helmholtz. L'étoile atteint le stage de naine blanche : blanche, car très chaude, et naine car réduite par rapport au rayon qu'elle avait sur la séquence principale.

Rayon d'une naine blanche

Le rayon d'une naine blanche provient de l'équilibre entre la compression gravitationnelle et la pression de dégénérescence électronique, qui s'écrit :

${M^2\over R^4} \propto {M^{5/3} \over R^5}$

Le rayon d'une naine blanche devient :

$R _{\mathrm{NB}} = \alpha _{\mathrm{deg}} \alpha _{\mathrm{c}}^{-1} M^{-1/3}$

Ce rayon décroît avec la masse ! Pour une étoile de masse solaire, en s'appuyant sur un modèle précis, on trouve que le rayon est de l'ordre de 7000 km (soit environ 1/100 du rayon initial et de l'ordre de grandeur du rayon terrestre).

Masse volumique

Dans ces conditions, la masse volumique d'une naine blanche de masse solaire atteint $10^9 {\,\mathrm{kg}} {\,\mathrm{m}}^{-3}$ , ce qui représente environ 1 million de fois la masse volumique initiale.

Nova

Dans un système double, l'accrétion de la matière du compagnon par une naine blanche donne le phénomène de nova.

Champ gravitationnel et vitesse de libération

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Question 1)

Déterminer le champ gravitationnel d'une naine blanche de masse $M= M_\odot$ et de rayon $R = 7000 {\,\mathrm{km}}$ .

[2 points]

Question 2)

Déterminer sa vitesse de libération.

[2 points]

Objectifs

Lorsque la masse du noyau de l'étoile dépasse $1.44 \ M_\odot$ , il arrive un stade de l'évolution où la pression de Fermi des électrons ne parvient plus à soutenir l'étoile.

Pression de dégénérescence relativiste

Lorsque la masse d'une naine blanche croît, et donc avec un rayon de plus en plus petit, sa masse volumique et sa température croissent également. Il faut alors considérer les électrons comme relativistes. Leur pression, toujours définie comme flux de quantité de mouvement, devient dans ce cas (avec $v \simeq c$ ) :

$P _{\mathrm{deg}} \simeq n c p_x$

Pression de dégénérescence relativiste

On en déduit l'expression de la pression de dégénérescence relativiste.

$P _{\mathrm{deg}}{} _{\mathrm{,rel}} = 2\ {\hbar c\over 3}\ \left({Z\over A} \ {\rho\over m _{\mathrm{p}}} \right)^{4/3}$

où $Z\rho$ représente la charge volumique, et le nombre de masse des atomes en présence.

Effondrement

L'équilibre de l'objet doit être réalisé entre la pression de dégénérescence relativiste et la compression gravitationnelle :

$P _{\mathrm{deg}} \propto M^{4/3} R^{-4} \mathrm{ \ et \ } P _{\mathrm{c}} \propto M^{2} R^{-4}$

Ces 2 termes présentent la même dépendance en fonction du rayon : contrairement au cas classique, une diminution de rayon ne permet plus à la pression de Fermi de soutenir l'étoile. En revanche, la dépendance en fonction de la masse est en défaveur de la pression de Fermi : si la masse de l'objet devient trop importante, cette pression ne fait plus l'affaire pour soutenir l'étoile.

Masse de Chandrasekhar

L'application numérique montre qu'au-delà de $1.8\ M_\odot$ , l'étoile n'est plus soutenue. Un calcul plus précise donne pour cette masse limite, dite masse de Chandrasekhar, au-delà de laquelle l'étoile va s'effondrer faute du soutien de la pression de dégénérescence des électrons, la valeur :

$M _{\mathrm{Chandra}} \simeq 1.44\ M_\odot$

Une étoile dont la masse du noyau central est supérieure à cette valeur s'effondre vers une étoile à neutrons.

Etoiles à neutrons

Etoile à neutrons RX J185635-3754. Elle a été découverte d'abord par son émission X, puis identifiée par le télescope Hubble. Sa magnitude apparente visible est de 25. Estimation du diamètre : 28 km ; de la température : 600 000 K.

Crédit : HST

Etoile à neutrons

Un objet simultanément très chaud (plusieurs centaines de milliers de Kelvin, soit bien plus qu'une étoile de la séquence principale) et très peu lumineux ne peut être, d'après la loi de rayonnement du corps noir, qu'extrêmement petit. C'est ainsi qu'ont été identifiées les étoiles à neutrons, rayonnant l'essentiel de leur énergie dans les domaines X et gamma.

Pulsar

Pulsar du Crabe, résidu de la supernova de 1054.

Crédit : HST

Pulsars

Un pulsar (de l'anglais pulsating radio source) correspond à une étoile à neutrons dont on observe le rayonnement électromagnétique modulé par la rotation rapide. La rapidité de la période de rotation observée provient du très petit rayon de l'étoile à neutrons.

Le faisceau du pulsar correspond au rayonnement synchrotron des électrons accélérés le long des lignes de champ magnétique. C'est ce phénomène de pulsar qui a conduit à la découverte des premières étoiles à neutrons.

Objectifs

Décrire simplement cet objet hors du commun qu'est une étoile à neutrons.

Neutron et étoiles à neutron

L'existence des étoiles à neutrons a été supposée dès l'identification du neutron, comme résidus de supernova.

Bousculade

Au delà de la masse de Chandrasekhar, la pression de Fermi des électrons ne peut plus soutenir l'étoile. La contraction conduit les électrons à flirter intensément avec les protons. L'interaction nucléaire faible est alors sollicitée : elle transforme un proton et un électron en un neutron.

Neutronisation

Néanmoins, la réaction de neutronisation :

$p + e^- \longrightarrow n + \nu _{\mathrm{e}}$

est impossible au repos, car le bilan de masse ne lui est pas favorable. En effet, l'énergie de masse de l'électron (0.5 MeV) apparaît bien inférieure à la différence d'énergie de masse entre proton et neutron (1.3 MeV).

Néanmoins, lorsque les électrons deviennent relativistes, leur énergie totale peut dépasser ce niveau nécessaire de 1.3 MeV (atteint pour une vitesse de 0.92 c). La réaction de neutronisation devient alors possible. C'est cette condition sur la vitesse des électrons qui se traduit par le seuil de masse correspondant à la masse de Chandrasekhar.

Effondrement d'une naine blanche vers une étoile à neutrons, lorsqu'a lieu la réaction de neutronisation.

Crédit : ASM

Conséquences

Les neutrons, qui sont aussi des fermions, prennent la relève pour assurer l'équilibre de l'étoile. En effet, comme ils sont beaucoup plus massifs, ils ne sont pas relativistes, et leur pression de Fermi s'exprime comme :

${ P _{\mathrm{deg}}}{} _{\mathrm{, n}} = 2\ {\hbar^{2}\over m _{\mathrm{n}} }\ \left({\rho\over m _{\mathrm{n}}} \right)^{5/3}$

Elle varie donc en fonction du rayon comme $R^{-5}$ . On assiste alors à un nouvel équilibre, atteint pour un rayon bien plus petit que pour une naine blanche, en raison du facteur $m _{\mathrm{e}} / m _{\mathrm{n}} \simeq 1/2000$ .

Ce nouvel équilibre se caractérise par un rayon, estimé en km :

$R\ \simeq\ 15\ \left({M_\odot \over M}\right)^{1/3}$

Masse volumique

Dans ces conditions, la masse volumique atteint des valeurs gigantesques :

${\rho_\star} _{\mathrm{neutron}} \simeq 10^{18} {\,\mathrm{kg}} {\,\mathrm{m}}^{-3}$

On retrouve en fait la masse volumique de la matière nucléaire. L'étoile à neutrons est analogue à une noyau surdimensionné de nombre de masse $A \simeq 2\ 10^{57}$ .

Supernova SN 1994 D (de type I), observée dans la galaxie NGC 4526. Sa magnitude apparente (en visible) de 11.8 donne, en tenant compte du module de distance de 30.4, une magnitude absolue de -18.6.

Crédit : NASA

Une débauche d'énergie

De temps à autre, un point extrêmement brillant apparaît dans une galaxie lointaine. Un noyau stellaire s'effondre.

La boucle du Cygne, résidu de supernova, observée par le satellite X ROSAT.

Crédit : NASA

Un essaimage

Chaque supernova sème dans le milieu interstellaire l'essentiel de son enveloppe stellaire.

Objectifs

Le passage d'une naine blanche à une étoile à neutrons s'accompagne d'une débauche d'énergie : une supernova de type II.

Neutronisation

La réaction de neutronisation s'accompagne d'un effondrement de l'étoile :

En l'absence d'électrons, plus de pression de Fermi de leur part.
Les neutrinos emportent toute l'énergie produite.
Les réactions de fusion au-delà du fer deviennent endothermiques.

La chute libre de l'objet qui se retrouve hors équilibre se déroule en une durée très brève,

$t _{\mathrm{dyn}} \simeq {1\over \sqrt{ {\cal G} \rho}}$

de l'ordre de quelques secondes.

Effondrement d'une naine blanche vers une étoile à neutrons : le rayon stellaire diminue brutalement d'un facteur de l'ordre de 500.

Crédit : ASM

Energie libérée

L'énergie mise en jeu lors de l'effondrement est gigantesque ; le rapport des rayons est tellement disproportionné que l'on peut écrire :

$\Delta E \simeq -{ {\cal G} M^2\over {R_\star} _{\mathrm{neutron}}}$

Soit une débauche de l'ordre de $10^{47} {\,\mathrm{J}}$ :

99% part avec les neutrinos.
1% en énergie cinétique de l'enveloppe.
0.1% en lumière (magnitude absolue $\simeq -18.5$ )

L'essentiel du pic lumineux est émis en un mois. Il s'ensuit qu'une supernova de type II rayonne durant ce laps de temps quasiment autant qu'une galaxie entière.

Abondance des éléments, en parties par millions (ppm). Le pic du fer signe le fait que la fusion jusqu'au fer est exothermique, puis endothermique.

Crédit : ASM

Supernova de type I

Une supernova de type I correspond à un autre événement violent, au sein d'une binaire évoluée où l'un des membres (la primaire) a déjà atteint le stade de naine blanche. Lorsque l'étoile secondaire atteint le stade de géante rouge, un violent transfert de masse peut se créer vers la primaire. Si le taux d'accrétion est suffisamment grand, la primaire atteint la masse limite de Chandrasekhar et finit par exploser en fusionnant carbone et oxygène jusqu'à former les éléments du pic du fer. Contrairement à une supernova de type II, aucun débris ne subsiste : la totalité des éléments produits va enrichir le milieu interstellaire.

Supernovae type I ou II
Supernova	Type I	Type II
Cause	accrétion	effondrement du cœur
Magnitude absolue	-19.5	-18.5
Spectre	métaux	hydrogène et continu
Régions	systèmes stellaires âgés	régions de formation d'étoiles
Précurseur	naine blanche dans un système binaire	étoile très massive
Déclenchement	transfert de masse du compagnon	effondrement du cœur stellaire
Mécanisme	explosion thermonucléaire du cœur carbone/oxygène qui fusionne pour former du fer	onde de choc de rebond de la surface de l'étoile à neutrons
Résidu	rien	étoile à neutrons ou trou noir
Débris expulsés	principalement du fer	tous les éléments lourds et beaucoup d'hydrogène

Distinction entre supernova de type I ou II

Un candidat trou noir observé par le satellite Exosat de l'ESA, en rayon X.

Crédit : ESA

Candidats

Les trous noirs stellaires se cachent mieux que les trous noirs au centre d'une galaxie. De nombreux candidats trous noirs stellaire sont recensés. Leur observation reste difficile, associée en fait à des régions d'émissions très énergétiques, mais cachées car de très petit volume.

Le premier candidat, Cygnus X-1, fut découvert par le satellite Uhuru en lumière X.

Objectifs

Une étoile de masse centrale supérieure à environ 3 fois la masse du Soleil évolue vers le stade trou noir.

Rayon de Schwarzschild

Le rayon d'une étoile à neutrons diminuant avec la masse

$R\ \mathrm{(en km)}\simeq 15 \left({M_\odot \over M}\right)^{1/3}$

il s'ensuit une masse volumique et une vitesse de libération énormes. La limite $v _{\mathrm{lib}} = c$ correspond au rayon dit de Schwarzschild

$R _{\mathrm{Schwarzschild}} = 2\ { {\cal G} M \over c^2}$ .

Le stade de trou noir est atteint : le rayonnement est piégé par le champ gravitationnel. Un trou noir se signale alors par le formidable gradient de champ gravitationnel qu'il induit dans son entourage.

Masse d'un trou noir

Pour arriver au stage de trou noir stellaire, une étoile doit au-moins posséder un noyau de masse centrale supérieure à 3 masses solaires. Ceci correspond à une masse progénitrice initialement bien plus élevée ( $\ge 8 \ M_\odot$ ), mais diminuée des pertes par vent stellaire.

L'étoile $\eta$ de la Carène, est tellement massive (de l'ordre de 100 fois la masse du Soleil) et lumineuse (5 millions de fois le Soleil), qu'elle sera bientôt en fin de vie, quand bien même elle réside encore dans la nébuleuse qui l'a formée.

Crédit : ESO/VLT

Etoiles super-massives

Les étoiles les plus massives quittent la séquence principale alors même qu'elles ne sont pas sorties du nuage de matière interstellaire qui les a créées.

Échantillon du spectre solaire dans l'UV, entre 260 et 295 nm, avec identification des raies.

Crédit : NASA

Matière éjectée autour de V838, supergéante rouge à 6 kpc du Soleil. La séquence ne montre pas l'expansion de la matière, mais son illumination par une bouffée de photons émis lors d'un sursaut stellaire de l'étoile centrale, qui éclaire séquentiellement l'environnement stellaire.

Crédit : HST

Eléments chimiques

Un spectre stellaire montre une abondance de raies, avec la signature chimique de tous les éléments de la classification périodique. Ces éléments ont été pour l'essentiel créés lors de l'évolution des étoiles les plus massives, qui les essaiment sous l'influence d'un fort vent stellaire accéléré par la pression de radiation.

Wolf-Rayet 124. L'enveloppe d'hydrogène est expulsée par le vent stellaire.

Crédit : HST

Spectre de l'étoile Wolf-Rayet WR137, avec des raies intenses en émission.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

Position des étoiles Wolf-Rayet dans le diagramme HR.

Crédit : ASM

Wolf-Rayet

Un exemple d'étoiles avec fort vent stellaire est la classe des étoiles de Wolf-Rayet, de type spectral O, très chaudes. L'intense pression radiative souffle leur enveloppe d'hydrogène et génère une perte de masse importante. L'enveloppe très chaude d'une Wolf-Rayet produit un spectre en émission. La diversité des vitesses des couches sondées donne des raies très élargies par effet Doppler-Fizeau.

Objectifs

Aperçu sur les réactions nucléaires à l'oeuvre dans une étoile très massive.

Synthèse triple alpha : 3 hélium donnent 1 carbone.

Crédit : ASM

Synthèse des éléments lourds

Les hautes températures rencontrées durant les phases énergétiques de la fin de vie des étoiles les plus massives permettent la fusion des éléments jusqu'au fer. Ainsi, la synthèse triple $\alpha$ conduit, à partir de 3 noyaux d'hélium, à un noyau de carbone.

La température d'ignition augmente avec le nombre de charge des réactifs de la fusion. En revanche, les réactions sont de moins en moins exothermiques, jusqu'au fer.

Etapes
Etape	Température (K)	Masse volumique (kg/m3)	Durée
Fusion H	$4\ 10^{7}$	5000	$7\ 10^{6}$ ans
Fusion He	$2\ 10^{8}$	$7\ 10^{5}$	$5\ 10^{5}$ ans
Fusion C	$6\ 10^{8}$	$2\ 10^{8}$	600 ans
Fusion O	$1.5\ 10^{9}$	$10^{10}$	6 mois
Fusion Si	$2.7\ 10^{9}$	$3\ 10^{10}$	1 jour
Effondrement du cœur	$5.4\ 10^{9}$	$3\ 10^{12}$	1/4 s

Les étapes de fusion sont de plus en plus courtes, et à forte température.

La limite du fer

Au delà du fer (Z=26, A =56), le bilan des énergies de liaison entre nucléons est défavorable : d'exothermique, la fusion devient endothermique. La forte stabilité du noyau du fer conduit à son pic d'abondance.

Les éléments plus lourds que le fer résultent de phénomène d'addition de neutrons, transmuant des noyaux déjà massifs en éléments encore plus massifs (plomb, or, jusqu'à l'uranium). La lenteur du processus, et les conditions thermodynamiques défavorables, expliquent la faible abondance relative de ces éléments plus lourds que le fer.

Abondance des différents éléments créés lors du big-bang (H et He essentiellement) puis par nucléosynthèse stellaire.

Crédit : ASM

Poussières d'étoiles

La pression de radiation générée par les températures élevées conduit à un fort vent stellaire, qui souffle l'enveloppe extérieur (comme pour les étoiles Wolf-Rayet par exemple), et donc conduit à essaimer les matériaux lourds synthétisés dans la forge stellaire. Peu à peu, l'Univers s'enrichit en éléments plus lourds que l'hydrogène et l'hélium créés lors du big-bang.

Les sections précédentes ont décrit les processus physiques à l'oeuvre au sein des étoiles au cours de leur évolution. Celle-ci présente des résultats issus de modélisations numériques détaillées, et s'intéresse à l'évolution des étoiles de différentes masses dans le diagramme HR.

Isochrones d'évolution stellaire.

Crédit : ASM

Les âges dans le diagramme HR

Lorsqu'une étoile naît à partir de l'effondrement gravitationnel d'un nuage de gaz et que les premières réactions nucléaires démarrent en son coeur et fournissent son processus de rayonnement, elle se retrouve très rapidement sur la séquence principale.

On décrit alors l'étoile comme un système en équilibre entre la gravitation (force d'attraction en direction du centre de l'étoile) et la pression du gaz et du rayonnement (qui pousse vers l'extérieur). Plus l'étoile est massive, plus elle est chaude et lumineuse (en haut à gauche du diagramme), et plus elle est petite, plus elle se trouve au contraire dans la partie basse, sur la droite du diagramme.

Tracé d'évolution dans le diagramme HR, fonction de la masse stellaire.

Crédit : ASM

Evolution des étoiles de très faible masse

Pour des étoiles de masse inférieure à la moitié de la masse du Soleil, également appelées naines froides, il n'y a pas de fusion d'éléments plus lourds après la fusion de l'hydrogène. La durée de vie de ces étoiles sur la séquence principale est supérieure à l'âge actuel de l'Univers (environ 14 milliards d'années). Les modèles d'évolution stellaire prévoient que ces étoiles finissent en naines blanches d'hélium... mais il est encore trop tôt pour en observer.

Evolution des étoiles de masse intermédiaire

Entre 0,5 et 7 masses solaires, seuls l'hydrogène puis l'hélium vont pouvoir fusionner dans l'étoile. Sur la séquence principale, il y aura d'abord fusion de l'hydrogène dans le coeur. Puis l'hydrogène va fusionner dans une couche autour du coeur d'hélium. L'enveloppe de l'étoile se dilate et refroidit : l'étoile devient une géante rouge. La diminution de la température est suffisamment compensée par l'augmentation simultanée du rayon pour faire croître la luminosité. L'étoile monte dans le diagramme HR.

La fusion de l'hélium du coeur peut alors démarrer. L'étoile se recontracte. La fusion de l'hélium va alors produire du carbone et de l'oxygène d'abord dans le coeur. L'étoile redescend dans le diagramme HR. La fusion du carbone nécessite une température centrale d'environ $10^9 {\,\mathrm{K}}$ , non atteinte pour ces masses intermédiaires.

L'étoile finit en nébuleuse planétaire avec formation au centre d'une naine blanche de carbone et d'oxygène.

Evolution des étoiles les plus massives

À partir de la séquence principale, les éléments de plus en plus massifs fusionnent au coeur de l'étoile. Les éléments moins massifs continuent de fusionner en couches, enrichissant les couches plus profondes en produits de fusion. De forts vents stellaires sont observés.

Lorsque le noyau de fer dépasse la masse limite de Chandrasekhar, il s'effondre. Le vide créé aspire la matière de l'étoile qui rebondit et crée une onde de choc qui expulse violemment toutes les couches externes : c'est une supernova de type II. Le résidu du coeur de fer effondré forme une étoile à neutrons ou un trou noir selon sa masse.

Durée de l'évolution

La rapidité de l'évolution et des différentes phases de fusion nucléaire dépend essentiellement de sa masse et de sa composition chimique initiale. Ainsi une étoile de 1 masse solaire passera environ 10 milliards d'années sur la séquence principale, contre 20 à 30 milliards d'années pour une étoile d'un dixième de masse solaire, et seulement quelques millions d'années pour une étoile très massive de 50 masses solaires.

Masse initiale (en unité de masse solaire)	Fusion	Evolution	Stade final
	D	Naine brune, et non étoile	Naine brune
0.08 - 0.5	H	Evolution très lente, sur une durée de vie supérieure à l'âge de l'Univers	Naine blanche d'hélium (?)
0.5 - 7	H, puis He	Fin en nébuleuse planétaire	Naine blanche C, O
8 - 25	H, puis He, puis C et O	Fusion de H sur la séquence principale puis fusion He, C, O... lors de la phase de supergéante rouge. Structure en couche avec un coeur de fer entouré d'éléments de plus en plus légers en train de fusionner	Supernova de type II, puis étoile à neutrons
25+	idem	idem	Supernova de type II, puis trou noir

Récapitulatif de l'évolution stellaire.

Tracé d'évolution

L'appliquette ci-jointe décrit les étapes de l'évolution d'une étoile en fonction de sa masse : séquence principale de l'âge 0 à la contraction du noyau d'hélium, stade géante rouge...

Le film de l'évolution

Le trajet d'évolution d'une étoile dans le diagramme HR dépend intimement de sa masse. Plusieurs cas sont représentés, pour diverses masses (unité = masse solaire) : 0.8, 1.5, 2, 4, 7, 25 $M_\odot$ .

L'échelle de temps, adaptée à chaque cas en fonction de la rapidité de l'évolution, n'est pas linéaire. Les étoiles, sauf les plus massives, vont longtemps stationner sur la séquence principale, puis plus rapidement évoluer vers les stades ultimes lorsque la réserve d'énergie s'épuise.

Evolution d'une étoile de 0.8 masse solaire dans le diagramme HR. Son évolution est très lente, et elle quitte à peine la séquence principale... à un âge supérieur à celui de l'Univers.

Crédit : ASM

Evolution d'une étoile de 1.5 masse solaire dans le diagramme HR, qui évolue vers le stade de géante rouge (puis nébuleuse planétaire, non représentée sur l'animation)

Crédit : ASM

Evolution d'une étoile de 2 masses solaires dans le diagramme HR. L'évolution est rapide (durée de vie sur la séquence principale de l'ordre du milliard d'années). En fin de vie, l'étoile brûle de l'hélium.

Crédit : ASM

Evolution d'une étoile de 4 masses solaires dans le diagramme HR. L'évolution est très rapide (durée de vie sur la séquence principale de l'ordre de 150 millions d'années). En fin de vie, l'étoile brûle de l'hélium.

Crédit : ASM

Evolution d'une étoile de 7 masses solaires dans le diagramme HR. Evolution très rapide, et fin de vie comme supergéante brûlant de l'hélium.

Crédit : ASM

Evolution d'une étoile de 25 masses solaires dans le diagramme HR. Evolution extrêmement rapide. L'étoile en fin de vie, supergéante rouge, fusionne tous les éléments jusqu'au fer.

Crédit : ASM

Population stellaire

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Histogrammes des températures effectives et du champ de gravité de surface (traduit par la valeur $\log g$ (avec

en g cm $^{-2}$ ) d'étoiles observées par CoRoT.

Crédit : CoRoT/CNES

Le satellite CoRoT observe différents champs stellaires. Une modélisation des cibles conduit aux histogrammes de leur température effective et de leur champ de gravité de surface (traduit par la valeur $\log g$ (avec en cm s $^{-2}$ ).

Question 1)

Rappeler comment sont déterminées observationnellement les paramètres considérés.

[2 points]

Question 2)

Identifier les 2 populations stellaires qui dominent les observations.

[2 points]

Question 3)

On s'intéresse au pic principal de la distribution. Expliquer les raisons de la décroissance aux plus faibles et plus fortes températures.

[2 points]

Isochrones

Diagramme HR représentatif d'un amas d'étoiles, en fonction de son âge (donné via le logarithme de l'âge exprimé en années).

Crédit : ASM

M67

Amas ouvert M67, d'âge avancé.

Crédit : Catalogue NGC

NGC2363

Amas ouvert NGC 2362, entourant l'étoile tau de la constellation du Grand Chien.

Crédit : Catalogue NGC

Evolution de différents amas. M67, âgé, ne comprend plus aucune étoile bleue ; NGC2363 est en revanche un amas très jeune, avec de nombreuses étoiles massives et brillantes.

Crédit : Université de Lyon

Evolution

Les étoiles d'un amas, nées simultanément, évoluent différentiellement selon leur masse. Les courbes isochrones (de même âge) le montrent clairement : les plus massives atteignent très rapidement leur stade ultime, et donc quittent rapidement la séquence principale, quand les moins massives y restent sur une durée plus longue que l'âge actuel de l'Univers. Un amas âgé ne contiendra donc pas d'étoiles jeunes, contrairement à un amas jeune.

Amas plus ou moins jeunes

L'allure du diagramme HR d'un amas renseigne donc sur son âge. L'absence d'étoiles bleues et chaudes signe un âge avancé.

Objectifs

Les étoiles d'un amas ayant le même âge. Par ailleurs elles évoluent en fonction de leur masse. L'étude de la population des amas permet la détermination de leur âge.

Evolution

Au cours de leur évolution, les amas se dépeuplent des étoiles les plus massives. Il s'ensuit que le diagramme HR d'un amas âgé montre une séquence principale uniquement peuplée d'étoiles froides, et de géantes rouges : plus un amas est âgé, plus il est dépeuplé en étoiles chaudes.

Evolution

Les étoiles d'un amas, nées simultanément, évoluent différentiellement selon leur masse. Les plus massives atteignent très rapidement leur stade ultime, quand les moins massives ne quittent pas la séquence principale.

Diagramme HR représentatif d'un amas, en fonction de son âge (donné via le logarithme de l'âge exprimée en années).

Crédit : ASM

Mesure de l'âge d'un amas par ajustement de séquence principal

Voir les simulations proposées à la page.

Objet A	Objet B	Rapport des éclairements apparents ( $E _{\mathrm{A}}/E _{\mathrm{B}}$ )
Soleil	Jupiter	$4.57\ 10^9$
	étoile $m _{\mathrm{v}}$ = 6	$1.2\ 10^{13}$
	limite de détection	$3\ 10^{21}$
Jupiter	étoile $m _{\mathrm{v}}$ = 6	$10^{3}$
étoile $m _{\mathrm{v}}$ = 6	Limite de détection	$2.5\ 10^{8}$

Grandeur	Définition	Unité	Remarque
Puissance, luminosité	Puissance	W	pas de changement !
Eclairement, flux	Puissance par unité de surface normale à la propagation	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2}$	Non plus
Eclairement monochromatique	Puissance par unité de surface et par unité spectrale	${\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{Hz}}^{-1}$
Intensité, luminance monochromatique	Puissance transportée par unité spectrale, par unité d'angle solide, et par unité d'élément de surface	${\,\mathrm{W}} {m}^{-2} {\,\mathrm{sr}}^{-1} {\,\mathrm{Hz}}^{-1}$

	$m _{\mathrm{lim}}$
6 cm	11
60 cm	16
6 m	21

Température

Introduction

Rayonnement : Outils

Introduction

Spectroscopie

Introduction

Les différents types de spectre

Observer

Spectre continu

Spectre de raies d'émission

Spectre d'absorption

Remarque

Apprendre

Les lois de Kirchoff

Applications

S'exercer

QCM

S'évaluer

Spectre d'une lampe à vapeur de sodium

Le modèle de Bohr

Apprendre

Présentation du modèle de Bohr

Application à l'atome d'hydrogène

S'exercer

Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène

Constante de Rydberg

S'évaluer

Lampe à vapeur de mercure

Les familles de raies de l'hydrogène

Observer

Les raies de Balmer

Apprendre

Objectifs

Le cas de l'hydrogène

Les séries de Balmer, Paschen...

S'exercer

Calcul de longueurs d'ondes

QCM

Corps noir

Introduction

Le corps noir : définition

Observer

Le corps noir est ... noir

Exemples

Un corps noir peut être coloré

Apprendre

Prérequis

Objectifs

Le corps noir

Définition

Un exemple : le soleil

Qu'est-ce qu'un corps "pas noir" ?

S'exercer

QCM

Spectre du corps noir

Observer

Spectres de corps noirs

Spectres stellaires

Apprendre

Objectifs

La loi de Planck

Simuler

Courbe de rayonnement

S'exercer

Luminances spectrales

Loi de Wien

Observer

La loi de déplacement de Wien

Apprendre

Objectifs

La loi de déplacement de Wien

Température et couleur

S'exercer

QCM

Température et couleur

Observer

Température et couleur

Couleur des étoiles

Apprendre

Objectifs