Avant Copernic : le système de Ptolémée

Ptolémée (100-170) au deuxième siècle après J.-C., mettait la Terre au centre du système solaire (et donc au centre de l'Univers, à cette époque), et reproduisait le mouvement des planètes par une succession de mouvements circulaires emboîtés. Il contribua à faire admettre pendant plus de quatorze siècles l'idée que la Terre est immobile au centre de l'Univers.

La Terre au centre. Une évidence après tout...

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Les travaux astronomiques de Ptolémée sont regroupés dans un ouvrage majeur, la grande syntaxe mathématique, plus connu sous le nom arabe de l'Almageste. L'Almageste reprend dans ses grandes lignes la vision aristotélicienne du monde physique, avec les mêmes dogmes et principes : dichotomie Terre/Univers, immobilité de la Terre, etc.

Ptolémée rejeta le modèle des sphères emboîtées et perfectionna grandement les modèles grecs en introduisant la notion de point équant, un point fictif symétrique de la Terre par rapport au centre excentrique de l'orbite d'une planète. Le système résultant est extrêmement complexe, mais d'une précision mathématique remarquable (le modèle de Ptolémée permet ainsi de prédire des éclipses de Soleil). La perfection de ce modèle fera qu'il ne sera globalement pas remis en cause avant le XVIème siècle.

Le système de Copernic

Copernic (1473-1543), frappé par la complexité du système de Ptolémée, va bâtir une nouvelle représentation du monde, dans laquelle le Soleil est fixe au centre du système solaire. Cette révolution de pensée ne s'imposera qu'après les observations de Galilée.

Dans le système de Copernic, le Soleil remplace la Terre comme centre du monde.

Le Soleil au centre du monde, à la place de la Terre.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Nicolas Copernic a publié son ouvrage De Revolutionibus orbium caelestium l'année de sa mort. Tous les mouvements planétaires sont centrés sur le Soleil, et la Terre n'est ni immobile, ni au centre du monde.

Elle est en effet animée de 2 mouvements : l'un sur elle-même en 24 h (qui remplace le mouvement de la sphère des fixes des Grecs anciens) et l'autre autour du Soleil en un an, faisant de la Terre une planète comme les autres.

Contrairement à ce que l'on croit parfois, Copernic ne va pas démontrer l'héliocentrisme, car il faudra attendre plus de 150 ans pour avoir une preuve du mouvement de la Terre. L'argument de Copernic est que son modèle est plus simple, plus logique et plus "harmonieux" que celui de Ptolémée (même si dans le détail le fonctionnement mathématique du système copernicien est assez complexe). Le De Revolutionibus, malgré son côté fondamentalement révolutionnaire, fut reçu avec relativement d'indifférence par les savants de l'époque. Les travaux de Copernic connurent dans un premier temps la célébrité grâce aux éphémérides des planètes qui en furent déduites.

Repère chronologiques

Divers éléments d'histoire sont proposés au fil des pages, tel que le présente le tableau suivant.

• Ptolémée : géocentrisme et combinaisons de mouvements circulaires
• Copernic : un pas vers l'héliocentrisme
• Tycho Brahe : des observations de qualité inédite
• Kepler : des lois performantes
• Galilée : le principe fondamental de la dynamique
• Newton : la gravitation universelle

Un grand observateur

Tycho Brahe à Uraniborg

Tycho Brahe observant dans son observatoire d'Uraniborg. Pas d'instrument optique, mais des instruments de visée précise, tel le quart de cercle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

L'observatoire d'Uraniborg

L'observatoire d'Uraniborg.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Tycho Brahe a introduit une composante essentielle dans l'histoire de l'astronomie : des observations de qualité hors pair, menées pourtant sans l'aide d'aucun instrument optique.

Dans sa démarche, Tycho Brahe fut grandement aidé par le roi du Danemark, qui subventionna largement l'observatoire d'Uraniborg.

La vie de Kepler

Jean Kepler est né en Allemagne en 1571. Elève brillant, il devient professeur de mathématiques en 1594 ; il a pour maître en astronomie l'astronome Michel Maestlin, qui l'initie au système de Copernic.

En dessinant une figure au tableau noir en juillet 1595, Kepler eut la révélation d'une idée à laquelle il attacha une importance considérable : pourquoi le système solaire comporte-t-il six planètes, et quel lien existe entre les dimensions de leurs orbes ? Euclide ayant montré qu'il existait cinq polyèdres réguliers, chacun inscriptible dans une sphère et circonscriptible à une autre sphère de même centre, les cinq intervalles qui existent entre les six planètes ne peuvent pas, aux yeux de Kepler, être le fruit du hasard : le Créateur a agi en géomètre et l'homme est en mesure de découvrir le plan et la perfection du monde créé.

Kepler publia ses théories en 1596, ce qui lui valu une certaine notoriété, notamment celle d'être appelé auprès du plus grand astronome-observateur de l'époque, Tycho Brahe. Lorsque Kepler arrive à Prague en février 1600, il se voit confier par Tycho Brahe l'étude de l'orbite de Mars. Cette planète présentait depuis l'Antiquité des anomalies dans son mouvement, alors impossibles à expliquer.

Pour Tycho Brahe, les orbites des planètes du système solaire se situent au niveau des sphères circonscrites dans les solides platoniciens (polyèdres convexes réguliers, dont les faces sont des polygones convexes réguliers : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre réguliers).

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La succession de sphères et de solides emboîtés a permis à Kepler l'élaboration d'une cosmogonie originale... mais moins performante que ses 3 futures lois !

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La primauté aux données observationnelles

A partir des observations accumulées par Tycho Brahe, Kepler se rend compte qu'il faut rejeter la théorie des mouvements circulaires uniformes. Pour résoudre le problème de l'orbite de Mars, Kepler choisit quatre positions de la planète et, après de laborieux calculs entachés d'erreurs qui, par chance, se compensent, parvient à obtenir une orbite circulaire où le Soleil occupe le point équant. Ce point équant, inventé au IIe siècle de notre ère par l'astronome Ptolémée, est un point symétrique du Soleil par rapport au centre de l'orbite. Pourtant, si d'autres positions de Mars s'insèrent parfaitement dans la nouvelle orbite ainsi définie, deux observations s'écartent de près de 8' de la position théorique : cette différence est supérieure à la précision des mesures. Au lieu de les rejeter, Kepler renonce à son hypothèse : l'orbite ne peut pas être un cercle.

Avant de se replonger dans la quête du mouvement de Mars, Kepler décide de revoir dans le détail le mouvement de la Terre autour du Soleil. En effet, pour passer d'une position géocentrique à une position héliocentrique de Mars, il est nécessaire de traiter correctement le mouvement orbital de la Terre : si celui-ci est entaché d'erreurs, elles se répercuteront sur le mouvement de Mars.

Le rôle central du Soleil

La vision géocentrique est nécessaire - c'est ce que l'on voit - mais pas suffisante : elle ne permet pas une approche totalement raisonnée. Mettre le soleil au centre, comme l'a fait Copernic, permet non seulement de simplifier la forme de l'orbite, mais de plus a conduit Kepler à mesurer précisément la trajectoire de Mars.

En effet, si l'on observe Mars à des dates différentes, mais espacées d'un multiple de la période de révolution sidérale de Mars, alors la position de Mars par rapport au Soleil et aux étoiles est fixe. Il n'en est rien pour la Terre, qui en une durée non reliée à sa propre période de révolution a parcouru une portion de son orbite.

Cette situation permet d'observer Mars dans la même position par rapport au Soleil et aux étoiles, mais sous un angle différent. On peut alors mesurer la distance à Mars par triangulation.

Mesure de l'orbite de Mars

Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.

Crédit : ASM

La quête du mouvement de Mars, où comment rendre compte d'observations

Kepler imagine une méthode pour obtenir l'excentricité de l'orbite de Mars à partir de trois observations de Mars faites à 687 jours d'intervalle (période de révolution sidérale de Mars). Il sait en outre que plus les planètes sont proches du Soleil, plus elles se déplacent vite, tandis que plus elles s'en éloignent, plus leur mouvement ralentit. Kepler en déduit que l'action du Soleil doit varier en fonction de la distance de la planète au Soleil ; il la suppose inversement proportionnelle à la distance. Première erreur.

Kepler cherche ensuite à calculer la durée que met la Terre pour passer d'une position à une autre. Il décompose pour cela une portion de l'orbite en petits segments et s'aperçoit que la durée passée par la Terre sur de petits arcs est approximativement proportionnelle à la distance de ces arcs au Soleil. Il assimile donc une surface à une somme de lignes. Deuxième erreur.

Mais il transforme ces deux déductions en une loi correcte, la loi des aires : le rayon vecteur qui joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des intervalles de temps égaux. Historiquement, Kepler découvrit donc en premier la loi que nous appelons la deuxième loi.

L'orbite martienne

L'observation de Mars à quatre dates différentes, mais correspondant toutes à une même position sidérale de la planète. Mars occupe alors la même position par rapport aux étoiles, les dates étant séparées par des intervalles de temps multiples de la période sidérale de révolution. Ceci a permis à Kepler la reconstruction de l'orbite de Mars.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Kepler reprend alors son étude de l'orbite de Mars. En calculant avec son hypothèse des aires un grand nombre de positions, il obtient un ovale, qu'il assimile à une ellipse. Il constate alors que les positions de Mars sont correctement représentées. La trajectoire elliptique, appelée aujourd'hui la première loi, est découverte : les planètes décrivent autour du Soleil des ellipses dont ce dernier occupe l'un des foyers. Kepler publie ses découvertes en 1609 dans un ouvrage difficile, l'Astronomia nova ("l'Astronomie nouvelle").

L'abandon d'une théorie inadaptée

Si la chance a favorisé Kepler dans ses recherches (forte excentricité de l'orbite de Mars, erreurs de principe qui se compensent), on doit reconnaître en lui un travailleur acharné et inspiré. On lui doit surtout l'abandon du mouvement circulaire uniforme -- principe remontant à l'Antiquité auquel Tycho Brahe accordait encore une valeur absolue -- et un souci constant de vérifier que les hypothèses s'accordent avec les observations (ce qui n'était pas le cas de Copernic), en quoi il mêle intimement faits et théories, deux composantes fondamentales de la démarche scientifique.

Toujours attaché à trouver des harmonies dans les orbites planétaires, Kepler essaye d'associer les intervalles musicaux aux diamètres des orbites planétaires. Cette idée qui nous semble aujourd'hui un peu étrange le conduit à la troisième loi en 1618 : les cubes des demi-grands axes sont proportionnels aux carrés des périodes de révolution. La troisième loi de Kepler contribuera à stimuler les découvertes ultérieures de Newton sur la gravitation universelle et le mouvement des deux corps.

Reconstruire l'orbite de Mars

Kepler a reconstruit l'orbite de Mars en analysant son orbite sous une double approche : le mouvement de Mars autour du Soleil est à considérer dans un référentiel héliocentrique ; l'observation de ce mouvement est réalisée depuis la Terre, et apporte un point de vue différent à chaque période sidérale de Mars.

L'appliquette ci-jointe explicite ce point de vue :

Reconstruire l'orbite de Mars

La 1ère loi de Kepler

La première loi de Kepler énonce que la trajectoire des planètes est plane. C'est ce que dévoile la trace d'une orbite planétaire, lors d'une révolution sidérale.

Trace de l'orbite de Mars au cours d'une année sidérale (points rouge). L'allure de la courbe correspond à l'un des éléments introduits par la 1ère loi de Kepler : l'orbite des planètes est plane. La trace bleue représente ce que l'on observerait si les plans orbitaux de la Terre et de Mars coïncidaient, ce qui n'est pas exactement le cas.

Crédit : ASM

Enoncé des lois de Kepler

Les 3 lois de Kepler expriment les conclusions que Kepler a tirées des observations de Tycho Brahe. Leur caractère empirique -- elles décrivent le mouvement d'une planète autour du soleil, mais ne l'expliquent pas -- n'obère en rien leur portée. Elles ont permis la formalisation par Newton de la loi de gravitation universelle.

Généralisation des lois de Kepler

Ces lois, obtenues dans le cas particulier du système solaire, se généralisent à tout système analogue, correspondant à un potentiel central. L'objet considéré, dans ce potentiel, ayant une masse très inférieure à la masse du potentiel central, et n'étant pas perturbé par d'autres satellites de , présente alors les propriétés suivantes :

1. Sa trajectoire autour de est plane, elliptique, avec à l'un des foyers.
2. La loi des aires fournit l'évolution horaire du mouvement
3. Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour tous les satellites de .

La 2ème loi de Kepler

La 2ème loi de Kepler, ou loi des aires, illustrée dans plusieurs cas.

• Mars : orbite d'excentricité
• Orbite de transfert géostationnaire correspondant à un périgée à basse altitude et à une apogée à l'altitude d'une orbite géostationnaire ;
• La comète de Halley : orbite d'excentricité

Les différentes "aires balayées" par le rayon vecteur en des durées égales sont égales. Le secteur angulaire correspondant est donc bien plus grand au voisinage du périhélie que de l'aphélie, et cet effet est d'autant plus marqué que l'excentricité de la trajectoire est proche de 1.

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires

Illustration de la 2ème loi de Kepler : cas de Mars. L'excentricité de 0.09 suffit pour s'écarter sensiblement d'une rotation à vitesse angulaire uniforme.

Crédit : ASM

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires

Illustration de la 2ème loi de Kepler : orbite de transfert (entre une orbite basse, accessible avec un lanceur tel Ariane, et une orbite géostationnaire).

Crédit : ASM

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires

Illustration de la 2ème loi de Kepler : comète de Halley. La comète passe bien plus de temps au voisinage de l'aphélie qu'à celui du périhélie.

Crédit : ASM

La 2ème loi de Kepler permet la détermination de l'équation horaire du mouvement le long de la trajectoire de l'objet.

Les positions des objets (comète de Halley, satellite sur orbite de transfert géostationnaire) sont ici représentées à des dates équiréparties le long d'une période orbitale. Le mouvement est d'autant moins uniforme que l'excentricité de l'orbite est proche de 1 ; la vitesse orbitale est plus rapide au périastre qu'à l'apoastre.

La 2e loi de Kepler, loi horaire

L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périgée, lent à l'apogée.

Crédit : ASM

La 2e loi de Kepler, loi horaire

L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périhélie, lent à l'aphélie.

Crédit : ASM

La 3ème loi de Kepler

La 3ème loi de Kepler entraîne une période d'autant plus rapide que la planète est proche de l'étoile. L'animation ci-jointe, supposant de manière uniquement illustrative qu'à une date donnée les planètes telluriques pourraient être en phase, montre leur avancée respective au bout d'une durée égale à la période de révolution de Mercure.

La loi de Kepler dans le système solaire

Vérifier à l'aide de l'appliquette la 3ème loi de Kepler pour les planètes du système solaire.

• Sélectionner la première case de la dernière colonne.
• Afficher : =c1^2/b1^3
• Pourquoi, dans le système d'unité proposé (distance en UA, période en années), le résultat est-il quasiment égal à 1 ?

On remarque que la validité est moins bonne pour les planètes au-delà de Jupiter, qui ressentent en fait un champ de force moyen de masse totale la masse du Soleil complétée par celle de Jupiter.

Quel point de vue adopter ?

Comme le montrent les observations de Kepler, le mouvement de Mars, vu de la Terre et décrit dans un référentiel géocentrique, n'est pas des plus simples à comprendre. Ce qui ne va pas ? Le référentiel !

Mouvement de Mars vu de la Terre

L'orbite de Mars vue dans le référentiel géocentrique. Schémas de Kepler de 1580 à 1596. La Terre est au centre, le soleil orbite sur le cercle en pointillés. Au cours de l'année martienne, la distance Terre-Mars peut varier dans des proportions de 1 à 6.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Mouvement de Mars vu de la Terre et du Soleil

L'orbite de Mars au voisinage de l'opposition planétaire, vue de la Terre ou dans le référentiel héliocentrique

Crédit : ASM

Vue de la Terre, l'orbite apparente de Mars dessine une boucle. Cette vision géocentrique complique la perception du phénomène. Vue du Soleil, à la conjonction planétaire, la Terre se contente de doubler Mars.

Problème : comment avoir, lorsque l'on est observateur terrestre, autre chose qu'une vision géocentrique ?

Point de vue héliocentrique

Les astronomes Copernic et Kepler ont résolu ce problème, en conceptualisant ces mouvements, Copernic, en mettant le soleil au centre du système solaire, Kepler en décrivant les mouvements planétaires par ses 3 lois.

Ce qu'induit la première loi

La 1ère loi de Kepler donne un rôle particulier au soleil, qui peut être doublement interprété.

Du point de vue dynamique, le rôle central du soleil est clairement énoncé. Si aujourd'hui la prépondérance du soleil au sein du système solaire est un fait avéré et reconnu, il n'en était rien au XVIIe siècle. Le Soleil est centre de force, et ce d'autant plus que toute masse dans le système solaire est négligeable devant la masse du soleil.

En terme de référentiel d'étude, la 1ère loi introduit clairement le référentiel héliocentrique, qui est le "bon" référentiel d'étude, car bien mieux galiléen que le référentiel géocentrique. La première loi identifie donc clairement un centre de force supposé immobile, ainsi que le bon référentiel associé.

Ce qu'induit la deuxième loi

La 2ème loi de Kepler énonce la loi des aires, càd la conservation du moment cinétique du système. Ceci est spécifique des forces centrales. Des 1ère et 2ème lois ressort donc l'idée que le soleil est centre de force. Cette force peut s'écrire , le vecteur étant un vecteur unitaire radial défini par rapport au centre de force.

Ce qu'induit la troisième loi

Le lien entre la période et le demi-grand axe donné par la 3ème loi de Kepler est spécifique à une dépendance particulière du module de la force vis à vis de la variable radiale. Cette loi n'apparaît que pour une force variant en .

L'ensemble des lois de Kepler conduit finalement à une force s'écrivant de la forme :

Les lois de Kepler n'en disent pas plus sur ce paramètre . Ce sont les lois de la gravitation, dues à Isaac Newton, qui permettent d'expliciter sa forme.

Des lois de Kepler à une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance

Hypothèses

L'examen des masses des principaux objets du système solaire dévoile un poids lourd, le soleil, entouré d'un cortèges de petits objets, les planètes. Ceci définit le cadre des approximations usuellement faites pour décrire le mouvement d'une planète : on la considère de masse négligeable par rapport à la masse du soleil, et l'on néglige les interactions interplanétaires.

Le problème à 2 corps

Le problème se résume à l'interaction entre 2 corps, le soleil de masse et la planète de masse . Le référentiel d'étude est héliocentrique, de centre . On y repère la planète par le rayon vecteur . La planète subit de la part du soleil une force , exprimée par :

L'étude complète du mouvement est un peu technique. La résolution par les formules de Binet ne sera pas menée dans ce cours ; un autre mode de résolution, introduisant le vecteur excentricité, est proposé en exercice.

Les lois de Kepler

La relation fondamentale de la dynamique permet de retrouver que la trajectoire est plane. Si l'on note et les position et vitesse de la planète à un instant donné, et le plan défini par ces 2 vecteurs, la relation annonce que l'accélération , colinéaire à , est également dans ce plan. Aucun terme d'accélération ne conduisant hors de ce plan, toute la trajectoire s'y inscrit nécessairement.

Comme il suffit que la force soit centrale pour que le moment cinétique du système soit conservé, la dérivation de la 2ème loi de Kepler est immédiate.

On retrouve enfin facilement la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un trajectoire circulaire. La démonstration en proposée en exercice.

Systèmes doubles

L'astéroide Eugénie et son satellite

Superposition d'images obtenues par optique adaptative au télescope CFH (Merline, 1998). La détermination des paramètres orbitaux du satellite -- période de rotation et demi-grand axe -- permet de mesurer la masse de l'astéroïde (exercice). La période est 4.7 jours, le demi-grand axe 1190 km.

Crédit : CFHT

Le mouvement d'Eugénie

Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative : film obtenu avec 5 poses à 5 dates différentes

Crédit : CFHT

Sirius A et B

Animation des orbites de Sirius A et B (respectivement les points blanc et rouge), sur fond d'étoiles fixes. Au mouvement apparent du système se superpose la rotation du système.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

L'observation des systèmes doubles est cruciale en astronomie, car elle donne accès à la mesure de la masse du système. On en voit deux exemples, à des échelles différentes :

• L'astéroïde Eugénie, autour duquel a été détecté un petit satellite par optique adaptative.
• Le système double de Sirius .

Déterminer la masse du centre de force

Peser est à prendre ici non dans son sens physique (mesurer le poids), mais dans son sens de la vie courante : mesurer la masse. La mécanique newtonienne permet de préciser la constante intervenant dans la 3ème loi de Kepler appliquée à un système ressemblant au système solaire : un ou des objets peu massifs tournant dans le potentiel central d'un corps plus massif.

Cette loi implique 3 paramètres physiques : la période de révolution et le demi-grand axe de l'orbite, et la masse du corps central.

La mesure de 2 parmi ces 3 paramètres permet d'en déduire le 3ème : ceci est mis à profit pour déterminer la masse du centre de force à partir des paramètres orbitaux et . Ces 2 termes sont en effet observables, alors que la masse ne l'est pas.

La mesure de la période nécessite de repérer le mouvement le long de la trajectoire.

La mesure du demi-grand axe de l'orbite découle de la mesure de sa taille angulaire, et nécessite de connaître la distance du système. On voit une fois encore l'importance de la mesure des distances en astronomie.

Différents systèmes d'unités

Lorsque l'on choisit le système d'unités où les temps se comptent en année, les distances en unité astronomique, et les masses en masse solaire, la 3ème loi de Kepler se réécrit, pour le système solaire.

Sans mener aucun calcul, il suffit pour s'en convaince d'examiner le cas de l'orbite terrestre, pour lequel = 1 UA, = 1 an, qui valide le cas de tout autre planète.

Pour un autre système caractérisé par un centre de force de masse , la 3ème loi devient, toujours dans le système d'unités (UA, an, ) :

Une application de cette loi sur différents exemples illustre comment une loi physique peut étendre sa validité sur une très large gamme de valeurs.

Le système de Ptolémée

Les epicycles de Ptolémée permettent de rendre compte de l'allure générale des mouvements planétaires vus depuis la Terre. Sans l'énoncer explicitement, l'introduction de ces epicycles permet rendre compte de 2 effets :

• la non circularité des orbites autour du soleil
• le mouvement relatif de la Terre autour du Soleil

Le système de Copernic

Par rapport à une vision géocentrique, dans le système héliocentrique la Terre cède sa position centrale au Soleil. Les orbites planétaires sont alors simplifiées, par rapport à une vue géocentrique : elles apparaissent à peu près circulaires, avec le Soleil au centre du système.

La combinaison des mouvements de la Terre et de Mars autour du Soleil introduit le phénomène de rétrogradation, lorsqu'à l'opposition la Terre "double" Mars, dans une vue géocentrique.

Reconsidérer l'orbite martienne dans le référentiel héliocentrique permet une description bien plus simple de la trajectoire. Cette "simplicité", synonyme d'un formalisme efficace et prédiction, a conduit au succès du système construit sur une vision héliocentrique, un cadre galiléen, une explication newtonienne de la gravitation.

La rétrogradation de Mars

Le mouvement de Mars, au voisinage de l'opposition, vu de la Terre ou vu du Soleil.

Crédit : ASM

De Ptolémée à Copernic

On peut résumer le passage de Ptolémée à Copernic par un changement de référentiel.

• Ptolémée a formalisé une théorie efficace, quoique très inexacte, avec la Terre au centre de l'Univers, et un système complexe basé sur des successions de mouvements plans et circulaire pour interpréter le mouvement des planètes. Ce système était nécessaire pour construire, à partir d'observations menées sur Terre (!), une théorie géocentrée.
• Copernic a introduit le cadre : une vision héliocentrique est plus appropriée qu'une vision géocentrique. Les orbites des planètes autour du Soleil, du coup, restent quasi circulaires. L'effort théorique est considérable, et le gain scientifique inestimable.

Mouvements épicycloidaux

Un mouvement épicycloïdal est décrit par une succession de mouvement circulaires imbriqués. Différents cas sont possibles : roulement d'un cercle sur un autre, entraînement d'un cercle autour d'un autre.

Ptolémée versus Copernic

La comparaison du mouvement de Jupiter vu par Ptolémée ou Copernic montre le gain qualitatif de l'approche copernicienne. Les épicycles décrivant l'orbite jovienne dans un référentiel géocentré ne sont jamais que la combinaison de 2 mouvements circulaires successifs.

Le role central du Soleil

La vision héliocentrique de Copernic a permis à Kepler de déterminer précisément l'orbite de Mars.

Mesure de l'orbite de Mars

Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris et ASM

Un autre centre

Galilée, ayant acquis une lunette précise (pour l'époque), l'a tournée vers le ciel. Il a remarqué combien le voisinage de Jupiter était changeant, avec le ballet des 4 satellites... galiléens.

Ballet autour de Jupiter ?

Notes de Galilée, avec l'aspect de Jupiter et de son voisinage à différentes dates

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Ballet autour de Jupiter !

Les observations de Jupiter par Galilée, ordonnées en une sorte de film, montrent sans équivoque le mouvement des satellites autour de la planète.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

De Copernic à Newton

• Copernic a introduit le cadre : une vision héliocentrique est plus appropriée qu'une vision géocentrique. Les orbites des planètes autour du Soleil restent circulaires.
• Tycho Brahe a apporté des observations d'une précision inégalée.
• A partir du système de Copernic et des observations de Tycho Brahe, Kepler a énoncé ses 3 lois, qui décrivent le juste mouvement des planètes du système solaire.
• Galilée a développé les équations du mouvement, qui relient, dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un système à la résultante de forces auxquelles il est soumis.
• Newton a précisé alors la notion d'interaction gravitationnelle, et énoncé le formalisme définissant la gravitation... newtonienne.

Galilée

Galilée (1564-1642) était un physicien. Il étudia la mécanique et la dynamique des corps en mouvement, démontra l'invariance du module du champ de pesanteur terrestre à la surface du globe, et établit la loi de l'inertie : tout corps isolé, non soumis à une force extérieure, est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Durant l'hiver 1609/1610, Galilée pointa le ciel avec une lunette construite par ses soins. Ses nombreuses découvertes vont bouleverser la vision de l'univers de l'époque : il observa des taches sur le Soleil, des cratères sur la Lune, les phases de Vénus, une multitude d'étoiles dans la Voie lactée et des satellites autour de Jupiter. Cette dernière découverte donnait le coup de grâce au géocentrisme.

Newton

Isaac Newton (1643-1727) réussit à unifier les diverses théories de ses prédécesseurs. En 1687, il publia l'ensemble de ses travaux reliant la mécanique et l'astronomie dans son oeuvre majeure, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, désignée par "Les Principes".

Il montra le caractère universel de la loi de la gravitation, expliquant aussi bien la chute d'un corps sur Terre, l'oscillation du pendule que les mouvements de la Lune et des planètes. Il fut également l'inventeur du premier télescope à miroir exempt des aberrations des lunettes réfractrices utilisées jusqu'alors.

Ballet

Le ballet des satellites galiléens (observations (sans interruption diurne !) et reconstruction du mouvement horaire) a montré à Galilée que décidément le Soleil n'était pas le seul centre de force.

Le ballet des satellites galiléens

Comme les orbitaux des satellites sont confondus avec le plan équatorial de Jupiter, lui même très voisin du plan orbital jovien, quasiment confondu avec l'écliptique, les traces des satellites apparaissent souvent quasi rectilignes (représentées ici d'après les éphémérides fournies par l'IMCCE pour le mois de janvier 2003). Les diamètres de Jupiter (immobile) et des 4 satellites (Io en orange, Europe en vert, Ganymède en bleu clair et Callisto en bleu foncé) ne sont pas à l'échelle.

Crédit : ASM

Voir la légende de l'animation précédente. Les traits horizontaux représentent un intervalle de temps d'un jour.

Crédit : ASM

Un nouveau centre de force

En 1610, Galileo Galilei utilise, pour la première fois, une lunette pour l'observation du ciel. Il découvre un étrange ballet autour de Jupiter, qui évolue au fil des nuits. Cette découverte conforte les idées coperniciennes : il existe visiblement d'autres centres de force que le Soleil ou la Terre.

Cahier d'observation

Comme le montrent les différents croquis établis au fil des nuits, l'environnement de Jupiter présente un décor changeant. Alors que le déplacement apparent de la planète par rapport aux étoiles entraîne un renouvellement permanent du "décor de fond", quatre objets (les principaux satellites de Jupiter, dit galiléens) évoluent autour de Jupiter. Leurs périodes de révolution (de 1.7 j pour Io à 16 j pour Callisto) assurent une nouvelle configuration de nuit en nuit.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

A deux c'est mieux !

L'approximation du système à 2 corps consiste à supposer le système isolé du reste de l'univers, càd à négliger toute autre interaction. Cette approximation est souvent vérifiée, au moins en première approximation, à ne nombreuse échelles.

Cette prégnance du système à 2 corps est ici illustrée à diverses échelles :

• Planétaire : le système Terre-Lune
• Stellaire : plus de 2/3 des étoiles vivent en couple. Ici le couple Sirius A et B
• Galactique : la galaxie Messier 51 et son satellite

Le système Terre-Lune

Le système Terre-Lune. La dynamique du système relève essentiellement du problème à 2 corps, perturbé par le caractère non ponctuel des objets ( effet de marée), et les autres potentiels gravitationnels du système solaire.

Crédit : NASA

Etoile double

Le couple Sirius A - Sirius B : Sirius A est une étoile de type A1V, Sirius B une naine blanche. Leur séparation est de l'ordre de 20 AU, pour une période orbitale de 50 ans. L'image en X obtenue par le satellite Chandra (NASA) permet de visualiser les 2 composantes, qui dans le visible présentent un contraste de 10 magnitudes.

Crédit : NASA

Etoile double

La dynamique de ce système stellaire Sirius A et B relève du problème à 2-corps. La révolution orbitale (période de 50.1 ans, excentricité 0.59) se superpose au mouvement apparent du système.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

La galaxie M51 et son satellite

L'étude du mouvement relatif des 2 galaxies (M51 et son satellite) relève en première approximation du problème à 2 corps, contrairement à la compréhension fine des trajectoires stellaires individuelles.

Crédit : CFHT

Le système à 2 corps : une approximation féconde

• Le problème à 2 corps peut être traité dans le référentiel barycentrique du système. Comme le système est supposé isolé, ce référentiel barycentrique est bien galiléen.
• La rotation des 2 corps l'un autour de l'autre, ou autour du barycentre, peut être décrite analytiquement
• Si un corps est de masse négligeable, on confond souvent le barycentre du système avec le corps massif. Mais ça ne marche pas toujours. La détection des exoplanètes en est un contrexemple flagrant.
• Le problème à 2 corps, c'est le paradis des lois de Kepler

Le problème à 2 corps : caractéristiques

• Le problème à 2 corps dénie toute structure aux 2 objets : ils doivent être considérés comme de simples points matériels. L' effet de marée ne se comprend qu'en introduisant la structure interne du corps qui subit la marée, càd un champ gravitationnel non uniforme.
• Le problème à 2 corps n'est qu'une approximation : sa validité peut être exemplaire à court terme, mais inopérante à long terme. Par exemple, l'avenir du système Terre-Lune ne peut être précisément déterminé qu'en tenant compte des perturbations extérieures dues aux objets massifs du système solaire.

Dynamique à N-corps

L'hypothèse 2-corps est bien commode... mais s'avère la plupart du temps trop restrictive, à toute échelle : systèmes planétaires, stellaires, galactiques...

Amas d'étoiles

La dynamique des étoiles de cet amas globulaire (NGC 6093) ne peut s'étudier qu'en considérant l'ensemble des composantes.

Crédit : HST

Exemple : les anneaux planétaires

La dynamique des anneaux planétaires nécessite un cadre formel plus complexe que le problème à 2 corps. Souvent, les satellites présentent des orbites résonantes, tels Prométhée et Pandore, gardiens de l'anneau F, avec une résonance 121:118 (Prométhée accomplit 121 révolutions quand Pandore n'en fait que 118).

Prométhée, Pandore, gardiens de l'anneau F

L'anneau F de Saturne est confiné par ses gardiens Prométhée et Pandore. L'action répétée du balayage des satellites conduit à repousser la matière qui aurait tendance à s'étaler radialement.

Crédit : NASA

Perturbations

Les perturbations du problème à 2-corps, typiquement lorsqu'un 3e s'en mêle, ont conduit à de beaux résultats, comme par exemple la découverte de Neptune.

L'orbite d'Uranus apparaissant perturbée par rapport au mouvement attendu (képlérien autour du Soleil, déjà perturbé par les géantes Jupiter et Saturne), le calcul a permis de localiser le perturbateur, en l'occurrence Neptune ainsi dévoilé.

Positions prédite et observée pour Neptune, perturbateur d'Uranus.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

L'écart entre les positions angulaires observée et prédite de Neptune résultait essentiellement de l'indétermination sur le demi-grand axe de sa trajectoire.

Calculs d'orbite de Neptune, et orbite réelle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le problème à 3 corps

On devine que le problème à 3 corps, c'est le problème à 2 corps avec un 3ème que l'on n'arrive pas à négliger.

P.ex., l'évolution à long terme du système Terre-Lune doit tenir compte du Soleil.

L'interaction entre 2 satellites autour d'une planète s'inscrit dans ce cadre également.

Le problème à N-corps

Le problème à N-corps va recouvrir tous les autres cas, où l'approximation 2 ou 3 corps ne marche pas.

On note par exemple :

• La dynamique stellaire dans un amas d'étoiles
• La dynamique stellaire dans une galaxie elliptique
• La dynamique dans un amas de galaxies

Modélisations numériques et méthodes statistiques permettent une approche du problème à N-corps.

Universel ?

Que signifie universel dans l'expression gravitation universelle ? Que la loi semble s'appliquer à toute échelle dans l'Univers, de la pomme de Newton à la Lune et aux systèmes les plus lointains.

Aujourd'hui, on ne dirait plus universelle, mais unifiée.

Avant que la gravitation soit universelle.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La force d'interaction gravitationnelle

Le potentiel gravitationnel

Un objet sphérique de masse , rayon , crée un potentiel gravitationnel :

Cette expression suppose implicitement un potentiel nul à l'infini. Cette convention, arbitraire comme toute convention, peut se justifier par divers arguments :

• Le modèle suppose l'absence de toute masse perturbatrice à proximité.
• L'histoire des corps condensés de l'Univers débute dans un état de matière très dilué, tellement plus dilué que l'état condensé final que l'on peut considérer les constituants initialement à l'infini, càd très éloignés les uns des autres.
• Argument a posteriori : on peut ainsi distinguer un système gravitationnellement lié par son énergie mécanique totale négative. Séparer le système nécessite de lui apporter une énergie qui contrebalance cette énergie de liaison

Invariants

Il est commode de traduire les spécificités d'un problème physique en termes de grandeurs invariantes.

• Champ de force : L'interaction gravitationnelle correspond, comme toute interaction fondamentale, à un champ de force. A ce champ de force est associé un potentiel. La conservation de l'énergie mécanique en découle.
• Force centrale : Le moment d'une force centrale est nul au centre de force. La conservation du moment cinétique en découle.
• Champ de force central variant comme l'inverse du carré de la distance : Cette forme spécifique du champ de force introduit un 3e invariant, le vecteur excentricité, qui définit la trajectoire. Un exercice explicite ceci.

On peut ajouter un autre invariant, pour un système supposé isolé, la conservation de la quantité de mouvement totale du système.

Les trajectoires du système à 2 corps

Exemples de trajectoires dans le système à 2 corps.

• orbite faiblement elliptique : satellite de l'astéroïde Eugénie.
• orbite fortement elliptique : orbite de la comète Ikeya Zhang.

Lois de conservation

Dans un potentiel gravitationnel de masse , un objet de masse garde une énergie mécanique constante, somme des énergies cinétique et potentielle, égale à :

En coordonnées polaires, le carré de la vitesse s'écrit : .

Par ailleurs, la conservation du moment cinétique s'énonce :

Et la vitesse angulaire s'exprime donc en fonction de l'invariant et de la variable radiale par :

Le potentiel effectif

En éliminant la variable angulaire de l'équation de conservation de l'énergie, on aboutit à une équation reliant l'énergie cinétique radiale à un potentiel uniquement radial :

On décide alors d'étudier le mouvement radial du système muni de l'énergie potentielle effective :

On identifie la somme de 2 contributions :

• terme gravitationnel en
• terme rotationnel en

Le mouvement radial s'étudie alors à l'aide de la courbe de potentiel effectif. Les différentes excursions radiales dépendent de l'énergie du système.

Vitesse orbitale

On considère un objet de masse négligeable, placé dans un potentiel central de masse , sur une orbite circulaire de rayon parcourue à la vitesse .

Le principe fondamental de la dynamique donne directement le lien entre la vitesse et le rayon , en évaluant l'accélération centrale :

D'où la relation entre la vitesse et le rayon orbital :

Applications

La relation donnant la vitesse orbitale en fonction du rayon d'une orbite circulaire permet, comme la 3e loi de Kepler, de "peser" la masse du centre de force. Rien d'étonnant à cela, il s'agit de la même loi réécrite sous une autre forme (voir exercice). La mesure des 2 observables et permet de déterminer la masse du centre de force, qui doit rendre compte de la relation:

Quitter la Terre

De manière très pratique, la notion de vitesse de libération se pose dès lors que l'on veut quitter la Terre.

Aller à l'infini !

La détermination de la vitesse de libération est aisée via la conservation de l'énergie mécanique de l'objet.

Le bilan énergétique au sol s'écrit :

avec et les masse et rayon du corps à quitter, la masse de la particule test, et l'origine des potentiels ayant été choisie nulle à l'infini.

Le bilan énergétique à l'infini s'écrit :

On demande juste au corps de pouvoir aller à l'infini, càd accepter une énergie potentielle nulle, et une énergie cinétique nulle également.

La conservation de l'énergie cinétique conduit alors à :

Seuls apparaissent dans cette expression de la vitesse de libération de l'objet ses masse et rayon. On voit que cette vitesse est égale à la vitesse de rotation à altitude nulle, multipliée par .

Applications

La vitesse de libération est une notion essentielle pour la dynamique dès lors qu'il s'agit d'extraire un objet (une sonde, un caillou martien) d'un champ de gravitation.

Le problème considéré à l'envers - venir de loin et arriver à la surface d'un astre -- permet d'estimer la vitesse de chute libre sur un corps.

Enfin, cette notion permet d'introduire tout naturellement ce qu'est un trou noir.

Hypothèse ; le trou noir central de la Galaxie

L'environnement du centre de la Galaxie dévoile de nombreux objets en rotation képlérienne très rapide.

L'observation de l'étoile S2 autour du centre galactique, menée sur une dizaine d'années, permet de mesurer, via la 3e loi de Kepler, la masse concentrée autour de ce dernier (calculée en exercice). La concentration de masse, alliée à l'absence de rayonnement visible et infrarouge, laisse suspecter la présence d'un trou noir supermassif.

Un objet défini par son horizon

Il a été établi, pour tout corps de masse et rayon , une vitesse de libération . Plus un corps est massif et petit, plus sa vitesse de libération va être élevée. Or toute vitesse est physiquement limitée à la célérité de la lumière.

Quelques propriétés

C'est peu dire que ce genre d'objet fait couler beaucoup d'encre. Que peut-on en dire, qui reste physique, juste et simple ?

• Un trou noir n'a pas plus tendance à "avaler" la matière qu'un objet de masse identique. A masse identique, leurs champs gravitationnels sont identiques. Pour s'en convaincre : revoir le théorème de Gauss.
• La physique ne peut pas décrire ce qui est de l'autre côté du trou noir : le trou noir est une singularité de l'espace temps. On suppose qu'un trou noir est caractérisé par des grandeurs qui se conservent : masse ; charge électrique ; moment cinétique
• La physique aux abords du trou noir est, par définition, relativiste. Un photon émis sur l'horizon n'arrivera pas à s'extraire du trou noir. Proche de l'horizon, il peut y parvenir, mais y laisse une grande énergie.
• Bien comprendre ce genre d'objets nécessite le cadre et le formalisme de la relativité générale.
• Bien des régions du ciel sont candidates pour abriter des trous noirs : soit parce qu'elles sont le siège de phénomènes très énergétiques ultrarelativistes, soit parce que l'on y suspecte une très grande concentration de masse, d'après la dynamique d'objets gravitant dans l'environnement (comme observé au centre de notre Galaxie).

Reconstruction d'orbite

Les mesures astrométriques dans la direction du centre de notre Galaxie ont mis en évidence des objets présentant de très rapides mouvements.

Coniques

Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.

Projection d'une orbite elliptique

Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.

Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

• L'excentricité définit la nature de la conique.
• Le paramètre est une longueur reliée au demi-grand axe et à l'excentricité .

Eléments de la trajectoire

• Le rayon vecteur est défini par rapport au foyer de l'ellipse définissant le centre de force, et non par rapport au centre .
• Le point le plus proche du foyer est le périastre ; le point le plus éloigné l'apoastre.
• Le demi-grand axe vérifie , avec et les rayons des péri- et apoastres
• 
• 
• Le paramètre de l'ellipse vérifie
• La distance du centre au foyer vaut

Exemples

• Dans le système solaire, plus un objet est massif, plus sa trajectoire tend à être circulaire ; les astéroïdes ont des trajectoires généralement plus elliptiques que la plupart des planètes.
• Les comètes de longue période ont des trajectoires très elliptiques.
• Les comètes de très longue période ont des trajectoires souvent indéterminées, en fait très sensibles aux perturbations gravitationnelles.

De l'excentricité

Les animations ci-jointes permettent de visualiser l'évolution d'une conique en fonction de son excentricité

• à demi-grand axe fixé
• à paramètre de la conique fixé

Famille d'ellipses de demi-grand axe fixé, d'excentricité variable

Crédit : ASM

Famille de coniques de paramètre fixé, d'excentricité variable de 0 (cercle) à 2.

Crédit : ASM

Exemples de systèmes multiples

Les étoiles binaires ou multiples sont majoritaires.

L'étoile double sigma de la constellation d'Orion, entourée de 4 autres compagnons orbitant à plus grande distance.

Crédit : CDS

Proxima Centauri

L'étoile la plus proche du Soleil, Proxima Centauri, à 1.3 pc, est une étoile triple. Les deux composantes les plus brillantes A et B ont une séparation maximale de 35", correspondant à un demi-grand axe de 23.5 UA et une période de révolution de 80 ans. Ce sont deux étoiles de la séquence principale de types spectraux respectifs G2 et K1. Le mouvement de la troisième composante (C) n'est pas connu avec une précision suffisante pour conclure définitivement, mais l'on pense qu'elle est physiquement associée aux deux autres, car elle partage les mêmes parallaxe et mouvement propre. Elle est située à 2.2 deg des deux autres, avec une période orbitale d'au moins 250 000 ans...

Systèmes binaires ou multiples

De nombreux systèmes multiples, avec deux, trois étoiles ou plus, forment un système gravitationnellement lié. De tels systèmes ont tendance à former une paire centrale, les autres composantes jouant un rôle de perturbateur par rapport au mouvement orbital de celle-ci.

Sur 3 étoiles, 2 sont dans un système multiple.

Formation stellaire et binarité

Les étoiles se forment suite à l'effondrement d'un nuage de matière interstellaire. Celui-ci, de masse très supérieure à la masse stellaire moyenne, conduit à une formation d'un groupe d'étoiles. Ce processus favorise la binarité.

Classification

La classification des étoiles doubles est essentiellement liée aux moyens observationnels qui ont servi à leur découverte.

On parle ainsi de binaires visuelles ou astrométriques, de binaires à éclipse et de binaires spectroscopiques, selon qu'elles ont été découvertes ou étudiées à partir de leur mouvement apparent sur le ciel, des variations de leur éclat ou des caractéristiques de leur spectre.

De l'intérêt de l'étude

L'étude des étoiles doubles apporte un grand nombre d'informations importantes sur les étoiles, en particulier en termes de masse, de rotation, de rayon, de densité, de luminosité et de température superficielle. Ces informations, elles sont souvent les seules à pouvoir nous les donner, et leur étude est par là même indispensable pour comprendre la formation et l'évolution stellaire.

La reconstitution des orbites

Dans le cas des étoiles binaires visuelles, si la parallaxe du système est connue, la reconstitution de l'orbite de l'une des deux étoiles et de son demi-grand axe permet de calculer la somme des masses des deux composantes.

Si, par ailleurs, on est capable de repérer le mouvement de chacune des deux composantes par rapport au centre de masse du système, on est alors en mesure de calculer la masse de chaque étoile.

La courbe de lumière et la variation du spectre

L'analyse de la forme des courbes de lumière des étoiles binaires à éclipse permet de connaître certains paramètres physiques de l'atmosphère des étoiles du système. Lors d'une éclipse totale, on peut déterminer le rapport des températures effectives des deux composantes, sous couvert d'une modélisation réaliste du profil de brillance pour chacun des disques stellaires.

Si l'orbite est circulaire, on peut accéder au rapport des rayons des étoiles, ou aux rayons eux-mêmes si l'on connaît également, grâce à l'analyse de leur spectre, la courbe de variation des vitesses radiales. Ce type de situation est très rare puisqu'il faut que l'étoile soit à la fois binaire à éclipse et binaire spectroscopique. Les rayons n'ont ainsi pu être mesurés en valeur absolue que pour un très petit nombre d'étoiles, et cette mesure est fondamentale car c'est, avec l'interférométrie, le seul moyen de mesurer directement des rayons stellaires.

Des analyses plus fines

Certains systèmes particuliers permettent une analyse plus fine de l'atmosphère d'une des composantes. C'est le cas par exemple de l'étoile zeta Aurigae qui est un système formé d'une étoile géante de type K (245 fois la taille du Soleil) et d'une étoile naine de type B appartenant à la séquence principale. L'étoile de type B, la plus lumineuse, est périodiquement éclipsée par l'étoile géante dont l'atmosphère est très étendue et très diffuse, en particulier dans ses régions les plus externes. L'analyse spectroscopique de l'étoile B, vue par transparence au travers de l'atmosphère de l'étoile K permet une analyse fine des différentes couches de cette dernière. L'analyse détaillée de la courbe de lumière peut parfois donner la vitesse de rotation de l'étoile éclipsée.

Vous voyez double ?

Hasard des alignements, ou système double ? Une image seule ne suffit pas à répondre.

Signatures

Deux figures de diffraction signent également la présence de deux objects non résolus... mais ça ne suffit pas pour conclure sur la binarité. Une bonne signature, en plus de la proximité angulaire, est fournie par des parallaxes communes.

Définition

On appelle binaire visuelle un couple d'étoiles qui peut être résolu en deux composantes au moyen d'un télescope, qui montrent des paramètres communs (parallaxe, ou mouvement propre typiquement). Typiquement, ce sont des étoiles relativement éloignées l'une de l'autre, dont la période orbitale varie entre un an et plusieurs milliers d'années.

Ici, et dans la plupart du chapitre, on parle uniquement d’étoiles, mais la majorité des reflexions s’appliquent également aux exoplanètes.

Binaires astrométriques

Un cas particulier de binaire visuelle est celui des binaires astrométriques. Il s'agit d'étoiles doubles dont on ne voit qu'une des deux composantes : c'est le mouvement apparent périodique de l'étoile visible qui permet de détecter indirectement l'existence d'un compagnon. Celui-ci est très peu lumineux et en général de faible masse. Ce type d'étude très fine du mouvement apparent est un terrain propice pour la découverte de nouveaux systèmes planétaires.

Ballets

Mouvement de Sirius B autour de Sirius A. La date est indiquée en bleu, en année décimale.

Crédit : ASM

Le mouvement orbital du couple Sirius A et B, composé au mouvement propre, conduit à de jolis festons.

Spectre du système 57 Cyg

Les raies du spectre de 57 Cyg présentent un dédoublement périodique. Ceci est interprété comme la signature d'un système double.

Dédoublement des raies H alpha (656.3 nm) et HeI (667.8 nm) dans le spectre de 57 Cygni. Observations menées par le Cercle Astronomique pour l'Accès à la Spectroscopie

Crédit : Christian Buil

Déplacement des raies

Si le rapport des luminosités est important, seule l'une des composantes est visible. Ses raies apparaissent modulées au cours de la période orbitale. Cette modulation n'est pas à confondre avec celle liée au mouvement annuel de la Terre autour du Soleil.

Déplacement au cours du temps des raies d'une étoile appartenant à un système binaire spectroscopique.

Crédit : U. Texas

Définition

Les étoiles binaires spectroscopiques forment des couples en général très serrés, constituant une image unique au foyer d'un télescope. Elles sont détectées grâce à l'analyse de leur spectre, où l'on observe un déplacement périodique des raies.

Binaires de type 1 ou 2

Deux composantes suffisamment brillantes ou de type spectral semblable constituent un système à doubles raies, mais il arrive souvent que l'on n'observe qu'une seule des deux composantes. Comme dans le cas des binaires astrométriques, ceci permet de deviner indirectement la présence du compagnon. Les binaires spectroscopiques ont typiquement des périodes orbitales de quelques heures à quelques mois.

Dédoublement de raies

Si les 2 composantes sont de type spectral identique, le dédoublement de la binaire spectroscopique apparaît très symétrique. Mais ce n'est pas nécessairement le cas : deux étoiles de type spectral ou magnitude différentes vont montrer un dédoublement non symétrique, voire pas de dédoublement mais une simple modulation si seulement la composante la plus brillante est visible.

Eclipses

Un système double peut être dévoilé par analyse de sa courbe de lumière, par la présence d'éclipses.

Définition

Un système binaire à éclipse est un système où les deux composantes s'éclipsent mutuellement et périodiquement au cours de leur mouvement orbital. Ce que l'on observe est alors une courbe de lumière correspondant à la variation périodique de la magnitude apparente du système. On qualifie aussi ces étoiles de binaires photométriques.

S'il y a occultation, l'observateur se trouve forcément au voisinage du plan de l'orbite.

Le phénomène est le même que les transits de planètes ou d'exoplanètes.

Courbe de lumière

La forme de la courbe de lumière dépend :

• de l'inclinaison du système : la condition d'éclipse impose une très faible inclinaison ;
• de la distance entre les 2 composantes ;
• du rapport des flux et rayons.

L'appliquette ci-jointe permet de faire varier ces paramètres. Examiner dans différents cas (binaire composée d'une géante rouge et naine bleue, ou composée de naines rouge et bleue) les phénomènes suivants concernant l'allure conjointe du mouvement et de la courbe de lumière (lancer la visualisation avec la commande Figure+Graphe) :

• Influence de l'inclinaison du système
• Influence de la température de la primaire
• Influence de la température de la secondaire
• Influence de la distance

Vous devez ensuite pouvoir répondre aux questions :

• Que se passe-t-il si les 2 composantes ont des températures identiques ?
• Comment les extinctions des deux eclipses se comparent-elle selon les températures des 2 composantes ?
• Que se passe-t-il si la distance entre les 2 composantes est décuplée ?

Type Algol ou W Ursae

Les binaires de type Algol sont nettement séparées, alors que celles de type W Ursae sont très proches.

Séparation

L'observation des étoiles binaires visuelles est limitée par la qualité d'image des observations au sol. La plus petite séparation angulaire détectable depuis le sol est d'environ 1 seconde d'arc. Cette limite imposée par la turbulence atmosphérique est améliorée grâce à l'optique adaptative. L'interférométrie sur les VLT permet d'atteindre une séparation de quelques millièmes de seconde d'arc.

Sélection

L'effet de sélection dans l'observation de ces couples est très important. Deux catégories d'objets sont en particulier très difficile à observer : les binaires à longue période d'une part, et d'autre part les étoiles qui forment au contraire un système très serré.

La séparation caractéristique de tels couples varie d'une fraction d'unité astronomique à quelques centaines d'unités astronomiques, quand leurs périodes s'échelonnent de quelques années à plus d'un siècle. Les périodes plus longues (quelques siècles) ou les orbites plus grandes sont très difficiles à mettre en évidence, essentiellement pour des raisons de recul dans le temps.

Le mouvement des deux corps

Un grand intérêt de l'observation des étoiles binaires visuelles est que la mesure des paramètres apparents de l'orbite permet de calculer la masse des deux composantes du système, via la 3e loi de Kepler :

La définition du barycentre du système conduit à :

où représente le demi-grand axe de l'orbite relative du corps de masse par rapport au corps de masse et et sont les demi-grands axes des orbites absolues de chacun des corps par rapport au barycentre du système.

La mesure de , et de la position du barycentre du système (c'est-à-dire des demi-grands axes et ) permet alors de déterminer et .

Mouvements

Dans le cas des binaires visuelles, on observe à chaque instant la séparation angulaire apparente entre les deux composantes et l'angle de position de la composante la plus faible par rapport à une direction de référence (celle de la direction du pôle céleste Nord) passant par l'étoile la plus brillante et repérée par rapport aux autres étoiles.

Trajectoire apparente

Trajectoire apparente de Sirius B autour de Sirius A, et animation correspondante.

Projection

Ce que voit en général l'observateur, ce n'est pas l'orbite elle-même mais sa projection sur un plan perpendiculaire à la ligne de visée. Dans cette projection, les orbites sont toujours des ellipses et la loi des aires est conservée. Par contre, le foyer de l'ellipse projetée (ou orbite apparente) n'est pas la projection du foyer de l'orbite vraie et le demi-grand axe apparent n'est pas non plus la projection du demi-grand axe vrai. Pour remonter aux paramètres de l'orbite réelle, il est donc nécessaire de reconstituer cette orbite à partir de l'ellipse observée.

Demi-grand axe

L'observation donne une série de positions relatives des deux étoiles sur le ciel. En choisissant l'étoile la plus brillante (E2) comme origine des coordonnées, les positions de l'étoile la plus faible (E1) s'agencent sur une ellipse, mais il apparaît que E2 n'est pas au foyer de l'orbite projetée.

Excentricité

L'excentricité n'est pas plus conservée par la projection que le demi-grand axe, mais la détermination de l'excentricité de l'orbite réelle découle directement des paramètres de l'orbite projetée. Cette excentricité est en effet définie par la distance du foyer (E2) au centre (O), rapportée au demi-grand axe (0A). Ce rapport se mesure directement par OE2/OA, qui est conservé par la projection (par application du théorème de Thalès).

Inclinaison

On retrouve l'inclinaison de l'orbite vraie avec le plan du ciel en reconstituant la projection du cercle principal de l'ellipse vraie : ce cercle se projette suivant une ellipse dont le rapport d'axes est égal à .

On utilise pour cela une propriété de l'ellipse et de son cercle principal : la direction parallèle au diamètre conjugué du grand axe passant par un point de l'ellipse coupe le cercle principal en un point et le grand axe en un point , tels que . Cette propriété se conservant par projection on peut donc reconstituer l'ellipse projection du cercle principal point par point à partir de la trajectoire observée et de la direction conjuguée, i.e. la direction de la tangente à l'ellipse observée aux points et .

Le demi-grand axe de l'orbite vraie est donc finalement égal à .

Effet de projection

La projection du plan de l'orbite sur le plan du ciel modifie les paramètres de l'orbite apparente. Si le centre de l'ellipse est conservé par projection (la projection du centre de l'ellipse est égale au centre de l'ellipse projeté), le foyer ne l'est point : le demi-grand axe apparent se distingue (sauf dans certains cas très particuliers) de la projection du demi-grand axe.

L'animation met ce phénomène en évidence : elle montre l'apparence de la projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique, pour différentes inclinaisons. Étonnamment, l'effet est moins marqué dans le cas d'une excentricité plus grande.

L'orbite

L'appliquette donne la position de Sirius B par rapport à Sirius A.

1. Tracer la trajectoire.
2. Peut-on estimer directement les paramètres de la trajectoire ?

La courbe de lumière d'Algol

Algol, dont le nom vient de l'arabe Al Guhl esprit changeant est l'étoile de la constellation de Persée ( Persei). Son comportement est connu depuis plusieurs siècles car ses variations d'éclat sont spectaculaires et particulièrement visibles à l'oeil nu.

Sa luminosité totale diminue en effet en quelques heures jusqu'au tiers de sa valeur habituelle, puis remonte pour rester quasiment stable pendant deux jours et demi. Puis le cycle recommence... Algol est un couple de binaires à éclipse, dont la plus brillante est de type spectral B (blanc bleuté), et la plus faible est de type K (jaune orangé).

Binaires à éclipse de type Algol

Les observations de la courbe de lumière donne la magnitude totale du système en fonction du temps. La périodicité de la série temporelle est analysée, pour conduire à la courbe de lumière en fonction de la phase.

Binaires à éclipse serrées

classes de binaires correspondent à des couples très serrées, présentant alors des périodes très courtes, bien plus rapides que le type Algol, telles les variables de type Beta Lyrae ou W Ursae Majoris. Ces dernières, moins massives, sont le plus souvent tellement proches l'une de l'autre qu'elles remplissent leur lobe de Roche, et échangent de la matière.

Assombrissement centre bord

Le profil des courbes de lumière, arrondi, dévoile que les étoiles ne sont pas des disques de brillance uniforme. En effet, comme pour le Soleil, les régions visibles proches du limbe sont sondées à des altitudes plus élevées, où la température est plus froide.

Courbe de lumière

Les variations de la magnitude en fonction du temps donnent la courbe de lumière. L'étude de la forme de cette courbe permet en principe de reconstituer les paramètres de l'orbite. On notera cependant que ces couples d'étoiles étant serrés, la courbe de lumière peut parfois être déformée par les interactions entre les deux composantes : par exemple des effets de réflexion de lumière entre les deux étoiles ou des déformations des étoiles elles-mêmes qui, sous l'effet des forces de marées, ne sont plus sphériques.

Occultation

L'occultation sera partielle ou totale selon les diamètres relatifs des étoiles et l'inclinaison du plan de l'orbite par rapport à la ligne de visée : il y a en effet éclipse (partielle ou totale) lorsque la distance entre les étoiles est telle que

où et sont les rayons de chaque étoile.

Dans le cas où , les deux éclipses sont centrales, l'une étant totale (quand la plus grosse passe devant la plus petite), l'autre étant annulaire. On remarquera par ailleurs que lorsqu'il y a éclipse totale les minima de la courbe de lumière montrent un plateau, qui correspond à la durée effective de totalité de l'éclipse ou de l'occultation.

Orbite circulaire

On reconnaît que l'orbite est circulaire quand les deux éclipses se produisent exactement toutes les demi-périodes. Dans ce cas, il est alors possible de déterminer l'inclinaison et les rayons relatifs des étoiles .

De la série temporelle à la phase

L'animation ci-jointe montre l'évolution de la série temporelle à la phase orbitale, par balayage de la période. La période adéquate est celle qui assure une moindre dispersion des valeurs.

Courbe de lumière

Les binaires de type Algol sont nettement séparées, alors que celles de type W Ursae Majoris sont très proches. Les membres d'un couple W Ursae Majoris présentent un profil déformé par le champ gravitationnel du compagnon ; la courbe de lumière présente des formes très arrondies.

Maxima

En supposant la brillance de chaque disque uniforme, dans les cas où l'éclipse est totale, la comparaison du maximum principal et du maximum secondaire de la courbe de lumière permet de déterminer le rapport des températures des deux étoiles.

Mesure des températures

Si est le rayon de la plus petite étoile, les deux minima se produisent lorsque la même aire est occultée. Lorsque l'aire occultée appartient à l'étoile la plus chaude, de température , la courbe de lumière passe par son minimum principal. De même, lorsque la surface occultée appartient à l'étoile la plus froide, de température , la courbe de lumière passe par son minimum secondaire. Ainsi, si est l'éclat apparent correspondant à la phase où les deux étoiles sont visibles simultanément et sans occultation, l'éclat du minimum principal et celui du minimum secondaire, on a :

d'où :

On mesure ainsi le rapport .

Courbe de lumière

Lorsque le contraste en température est marqué, les minima des deux éclipses diffèrent sensiblement ; la baisse de flux est plus forte lorsque la composante chaude est occultée.

Forme des minima, températures rayons stellaires

L'allure des minima apporte des renseignements comparatifs sur les 2 composantes. La première appliquette explicite les arguments permettant de comparer les tailles : lorsque la plus petite étoile du couple disparaît, le flux est uniformément bas.

La deuxième appliquette explicite les arguments permettant de comparer les températures : lorsque c'est l'étoile la plus chaude du couple qui disparaît, le minimum est plus profond.

Exemple

La courbe de vitesse radiale de l'étoile double 55Uma, est construite à partir de la série temporelle des vitesses Doppler issues de mesures spectrométriques.

Mouvement orbital

Le mouvement orbital, dans le cas où l'inclinaison de l'orbite sur le ciel n'est pas nulle, produit des variations périodiques de la vitesse radiale (vitesse projetée le long de la ligne de visée) des deux étoiles par rapport à l'observateur. L'effet Doppler-Fizeau induit des oscillations de la même période pour la longueur d'onde observée des raies émises à par le couple d'étoiles.

où est la vitesse radiale d'une des composantes et est la vitesse de la lumière.

Paramètres du mouvement

On peut ainsi représenter la variation de la vitesse des deux composantes (ou d'une seule, si une seule est détectable) en fonction du temps. Selon la forme de l'orbite et son orientation dans l'espace, les caractéristiques de la courbe de vitesse radiale observée seront différentes. L'analyse de cette courbe permet de remonter aux paramètres du mouvement et aux masses des composantes.

Période et phase

L'appliquette ci-joint permet de retrouver la période du système double 57 Cyg.

Cas circulaire

La situation la plus simple est celle où l'orbite est circulaire et vue par la tranche, soit (le plan de l'orbite contient la ligne de visée). Les deux courbes de vitesse radiale sont alors des sinusoïdes qui oscillent en opposition de phase, autour de la vitesse de leur barycentre, avec une même période .

Chacune des étoiles A et B étant animée d'un mouvement circulaire et uniforme, de période autour de G, les vitesses et sont liées aux distances et par les relations :

Masses

Par définition du centre de masse : . On obtient alors le rapport des masses :

qui est donné par le rapport des amplitudes des deux courbes. D'autre part, d'après la troisième loi de Kepler, on a :

On obtient :

Si l'inclinaison est différente de , l'amplitude de la courbe de vitesse radiale est diminuée d'un facteur .

Dans les équations précédentes, est donc remplacé par (respectivement ).

Orbite elliptique

Si l'orbite n'est pas circulaire mais elliptique avec une excentricité non nulle, les courbes de vitesse radiale ne sont pas sinusoïdales, bien que toujours en opposition de phase et avec un rapport d'amplitude égal au rapport des masses.

Les premières tentatives

Les tentatives de détection de compagnons planétaires ont été nombreuses... dès le début du XXe siècle, par astrométrie, et non moins nombreuses furent les tentatives infructueuses. Une planète est par essence très peu massive par rapport à son étoile, et excessivement moins lumineuse...

Diverses détections ont été annoncées en 1988 puis démenties. Certaines ont été confirmées depuis (autour de Ceph, Eri)... En 1989, Latham et ses collègues identifièrent un compagnon d'environ dix fois la masse de Jupiter, autour de HD 114762. Mais ces auteurs évoquèrent alors la détection d'une naine brune et non d'une planète.

En 1992, trois planètes furent détectées sans ambiguïté par Wolszczan & Frail, autour du pulsar PSR 1257+12. Mais l'environnement d'un pulsar ne laisse guère espérer que des planètes brûlées par l'évolution de leur étoile.

Autour de 51 Peg

En 1995, on retient la découverte de la première planète extrasolaire autour d'une étoile semblable à notre Soleil, par Michel Mayor et Didier Queloz, de l'Observatoire de Genève. Elle fut détectée à l'Observatoire de Haute-Provence, et immédiatement confirmée par Geoff Marcy et Paul Butler, des Universités de San Francisco et Berkeley, qui eux l'avaient observée à l'Observatoire Lick en Californie.

Ces mesures ont vraiment lancé l'un des grands sujets de l'astrophysique actuelle : la quête des exoplanètes. Depuis, plusieurs milliers de planètes ont été recensées. Ce nombre est en constante augmentation, les projets de recherche se multipliant, si bien que tenir un décompte précis est impossible.

La découverte de ces planètes apporte aux astrophysiciens des données permettant de mieux comprendre la formation des systèmes planétaires, avec d'autres exemples que notre système solaire.

Que voit-on ?

Plusieurs dizaines de planètes ont été vues directement, mais la plupart des découvertes sont basées sur des détections indirectes, soit la détection de l'influence gravitationnelle de la planète sur l'étoile soit la baisse de luminosité de l'étoile due au passage de la planète sur sa ligne de visée.

Méthodes de détection

A ce jour (2018), cinq méthodes ont permis de découvrir ou redécouvrir l'essentiel des exoplanètes :

• Vitesse radiale de l'étoile hôte perturbée par la planète
• Transit de la planète devant son étoile
• Transit secondaire de la planète derrière son étoile
• Variation de l'instant de transit
• Effet de microlentille
• Chronométrage (autour d'un pulsar)
• Imagerie

Les méthodes de vitesse radiale et transit, les plus productives, sont décrites plus loin, ainsi que la méthode par astrométrie.

Masse

L'histogramme des masses montre que la très grande majorité des planètes découvertes sont des planètes géantes. Cela n'est pas dû au caractère unique de la présence de planètes telluriques dans notre système solaire, mais au fait que les méthodes de détection favorisent les fortes masses planétaires.

La limite à 13 fois la masse de Jupiter est une limite physique : au-delà, l'objet commence à brûler son deutérium, c'est alors une naine brune.

Stricto sensu, les masses ici considérées sont affectées d'un facteur de projection inconnu, égal au sinus de l'angle entre la normale au plan orbital et l'axe de visée. On parle non de masse , mais de .

Demi-grand axe et période de l'orbite

L'histogramme des demi-grands axes montre qu'ont préférentiellement été découvertes des planètes orbitant très près de leur étoile, bien plus près que Mercure dans le cas du système solaire. Là encore, ce sont les méthodes de détection et la 3ème loi de Kepler qui favorisent cette situation. Une nouvelle classe d'objets a été mise en évidence : les planètes géantes chaudes.

L'histogramme des périodes orbitales aboutit à la même analyse.

Excentricité de l'orbite

L'histogramme des excentricités orbitales dévoile une très grande variabilité de ce paramètre. Contrairement au cas du système solaire, où les planètes présentent des excentricités quasi nulles, les exoplanètes peuvent suivre des orbites très excentrées. Et contrairement aux effets précédents, ceci est un phénomène réel et non un biais observationnel, qui dénote une grande variété dans la formation et l'évolution des systèmes planétaires.

Métallicité de l'étoile hôte

L'histogramme de la métallicité de l'étoile hôte montre qu'une metallicité solaire favorise la présence d'une planète autour d'une étoile.

Systèmes planétaires

À ce jour, un grand nombre de systèmes planétaires ont été identifiés, présentant des caractéristiques différentes de notre système solaire. Les planètes les moins massives sont détectées par les perturbations qu'elles exercent sur les plus massives.

Méthode des vitesses radiales

Considérons un système binaire constitué d'une étoile et d'une planète. Chacun des objets décrit une orbite elliptique dont le foyer est le centre de masse du système.

Effet Doppler dû à l'oscillation de l'étoile

Dans son mouvement, l'étoile tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne de l'observateur. Une raie spectrale est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur (direction indiquée par une flèche violette).

Crédit : ASM

Les raies spectrales stellaires qui nous parviennent (à travers un spectromètre) sont en conséquence tantôt décalées vers le bleu (longueur d'onde plus courte), tantôt vers le rouge (longueur d'onde plus grande), par effet Doppler.

Observables

Pour toute la suite :

• On se limite au cas des orbites circulaires, de rayon .
• On note la masse de la planète, et celle de l'étoile.

On suppose que, d'après les modèles stellaires, la mesure du spectre de l'étoile permet d'estimer sa masse . Mais une variable reste inconnue : l'inclinaison sous laquelle on voit le système orbital. Les principales caractéristiques de l'orbite de la planète peuvent être déduites de la mesure de décalage Doppler.

L'analyse du spectre de l'étoile modulé par effet Doppler fournit le graphe de la vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps, . Ce type d'observation spectrométrique fournit deux observables :

• La composante de vitesse de l'étoile , parallèle à l'axe de visée (car l'effet Doppler est sensible à la seule composante ).
• La période de rotation du système.

Ces observables sont des caractéristiques liées à l'orbite du système. On ne sait toujours rien sur la planète elle-même. La loi de Kepler appliquée au couple planète-étoile relie le rayon de l'orbite à la période de rotation :

En utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement (le système est isolé), on peut accéder à la masse de la planète :

où est la masse de la planète affectée du facteur géométrique , inconnu. Le calcul complet est proposé en exercice.

Inclinaison

Statistiquement, la probabilité d'avoir une inclinaison dépend de l'ouverture du cône de demi-angle au sommet : elle vaut . La probabilité de voir un système de face (i=0) est bien moindre que celle de le voir par la tranche (i=π/2). En effet, il y a une seule direction qui pointe de l'étoile vers la Terre, donc confondue avec l'axe de visée, mais une infinité qui lui sont perpendiculaires.

En moyenne, le paramètre vaut ; ce calcul est proposé en exercice.

Vitesse radiale

Animation des mouvements orbitaux planétaires et stellaires, et signature spectrale due à la vitesse radiale de l'étoile.

Effet Doppler dû au mouvement de l'étoile

Dans son mouvement (séquence animée), l'étoile en rotation autour du barycentre (croix rouge, fixe) tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne (courbe verte) de l'observateur (direction indiquée par la flèche bleu foncé), avec une vitesse donnée par la courbe du milieu (couleur modifiée selon une convention de type effet Doppler . Une raie spectrale (courbe du bas) est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur.

Crédit : ASM

Série temporelle

La mesure de ce décalage spectral est traduite en une vitesse. Ce décalage, apparaissant comme un phénomène périodique et d'amplitude bien inférieure à ce que l'on attendrait d'une perturbation due à un compagnon stellaire, s'interprète comme la signature d'une perturbation due à la présence de la planète autour de l'étoile.

Vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps

Le décalage Doppler du spectre est mesuré puis traduit en vitesse radiale . On obtient une série temporelle de vitesse radiale, qui semble présenter des variations répétitives.

Crédit : Butler &Marcy

Sur une période

Vitesse radiale rapportée sur une période

Une longue série temporelle, plus longue qu'une période, donne accès à la période de rotation du système, ici visualisée par repliement : la variable temporelle est la phase, et non plus la date d'observation.

Crédit : Butler & Marcy

Lorsque l'orbite de la planète est quasi-circulaire, le graphe de la vitesse a la forme d'une sinusoïde. L'excentricité de l'orbite a pour effet de déformer cette sinusoïde.

Graphe de vitesse de HD 108147

L'excentricité de l'orbite, voisine de 0.5, et la géométrie de l'observation conduisent à une telle courbe de vitesse radiale. Le schéma du dessous représente les résidus entre les valeur observées et la courbe de vitesse modélisée.

Crédit : Observatoire de Genève

Système multiple

Lorsque l'étoile réagit à plusieurs compagnons planétaires, la complexité de la courbe de vitesse radiale s'accroît.

Dans certain cas, comme pour le système observé autour de HD 82943, on observe une résonance, avec pour ce système des périodes orbitales planétaires dans un rapport 1:2.

Graphe de vitesse de HD 168443

La courbe de vitesse radiale de l'étoile HD 168443présente 2 composantes, dues à 2 compagnons planétaires. Les orbites des deux planètes détectées autour de HD 168443 ont des périodes d'ordres de grandeur bien distincts et une excentricité élevée (0.53 et 0.23)

Crédit : Butler & Marcy

Graphe de vitesse de HD 82943

Les 2 périodes (respectivement 222 et 444 j) sont multiples l'une de l'autre, dans un rapport 2.

Crédit : Observatoire de Genève

Systèmes pouvant être détectés par cette méthode

La méthode des vitesses radiales ne permet d'obtenir qu'une limite inférieure de la masse des planètes, , car l'angle sous lequel le système est observé, , reste en général inconnu. Cela a bien sûr été un obstacle à l'interprétation du premier cas qui annonçait la découverte d'une d'exoplanète. Cependant, une centaine d'objets avec une masse les rangeant dans la catégorie des planètes ont été détectés, et, statistiquement, la masse réelle de la plupart d'entre eux est bien une masse planétaire. Cette méthode est biaisée, car elle favorise la détection des planètes massives et relativement proches de leur étoile. En effet :

• Plus la planète est massive, plus l'étoile est perturbée, car .
• Plus la planète est proche, plus la période est courte et important, car .

Il est commode de réécrire sous la forme :

où et sont, respectivement, les masses de Jupiter et du Soleil.

On rappelle, qu'avec les mêmes unités :

où est exprimé en unité astronomique.

Limite de détection

La limite de détection des instruments utilisés actuellement est de l'ordre de . Cela ne signifie qu'une planète similaire à la Terre autour d'une étoile de type solaire induisant une modulation de vitesse reste largement indétectable.

Néanmoins, il ne suffit pas que la vitesse réflexe de l'étoile soit supérieure à cette limite pour détecter une planète. En effet, une planète de masse égale à la masse de Jupiter va induire un effet Doppler de cet ordre pour une distance étoile-planète de UA. Cependant, la période de révolution d'une telle planète est de 1000 ans, et il est donc exclu de l'observer ! Notons que la même planète située à la distance de Jupiter entraîne , ce qui est largement observable.

Les mesures de vitesses radiales pour la recherche de planètes extrasolaires sont menées systématiquement depuis 1995. Ceci limite la détection aux planètes de période orbitale inférieure à 15 ans en 2010, 30 ans en 2025...

Jusqu'à ce jour, la plupart des planètes extrasolaires détectées l'ont été par cette méthode. Un exercice traite de cette limite de détection.

Transit

Le passage répété d'une planète devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l'étoile. La forme de la figure de transit dépend du diamètre relatif de la planète par rapport à celui de l'étoile, de l'inclinaison du système par rapport à la ligne de visée, de l'épaisseur et de la composition de l'éventuelle atmosphère de la planète.

Mesures orbitales

On retire des observations : la période orbitale, le demi-grand axe, et surtout l'inclinaison de l'orbite (voisine de 90°). Cette dernière n'est pas mesurable par la méthode des vitesses radiales.

L'atmosphère planétaire

Potentiellement, la comparaison des mesures spectroscopiques de l'étoile avant et pendant le transit peut donner accès à la composition de l'atmosphère planétaire.

Le transit de l'étoile HD 209458 a conduit à la détection d'une atmosphère planétaire étendue, qui explique l'allure de la courbe d'occultation dans la raie Lyman alpha de l'hydrogène.

Baisse de flux

Le passage récurrent d'une planète devant son étoile parente provoque une diminution périodique du flux reçu de l'étoile si le système est observé sous un angle adéquat, i.e. si la planète traverse la ligne de visée de l'observateur.

La diminution relative du flux émis par l'étoile dans la direction de l'observateur lors du transit de la planète est :

où est le rayon de la planète et celui de l'étoile. On suppose ici que le flux était uniforme à la surface de l'étoile (le détail du calcul est traité en exercice).

Ordres de grandeurs

Les systèmes les plus facilement détectables, avec une planète de type Jupiter chaud, ont un rayon de l'ordre de 10 à 20% du rayon stellaire d'une étoile froide de la séquence principale. Ils induisent des baisses de flux de l'ordre de quelques pourcents.

La variation relative de flux pour un système de type Soleil-Jupiter est de 1%, et de pour un système tel que Soleil-Terre.

Possibilité de mesure de la masse de la planète

L'intérêt d'observer le transit d'une planète déjà détectée par la méthode des vitesses radiales est qu'on peut ainsi déterminer sa masse réelle. En effet, un transit ne se produit que si la ligne de visée de l'observateur est à peu près dans le plan orbital du système, i.e. pour . La masse est donc dans ce cas égale à la masse réelle . Le transit permet également de déterminer le rayon de la planète, le rayon de l'étoile étant estimé par une autre méthode.

Sondage atmosphérique

Une information essentielle pourra également être apportée par cette méthode : la présence ou non d'une atmosphère autour de la planète, reliée à la pente de l'extinction du flux, progressive en présence d'une atmosphère. Cette détection est extrêmement importante, car on peut connaître la composition de cette atmosphère en comparant les mesures spectroscopiques de l'étoile avant et pendant le transit. Il est en principe possible de rechercher des signes d'activités exobiologiques en détectant des composants gazeux dont l'abondance est un indice de la présence d'organismes vivants... mais hors de portée des moyens actuels.

Occultations

Animation reliant la courbe de lumière à l'évolution temporelle de la géométrie du système. L'inclinaison du plan orbital planétaire est un paramètre crucial. La signature photométrique diffère selon que l'inclinaison est très proche ou voisine de 90 degrés, ou trop éloignée.

Transit planétaire, avec une inclinaison proche de 90 degrés. La signature photométrique reste ténue. Le rapport des luminosités stellaire et planétaire est tel que l'occultation de la planète par l'étoile reste n'est pas observable.

Crédit : ASM

Transit planétaire. L'inclinaison, voisine de 90 deg, ne conduit qu'à une occultation partielle, et donc une très faible signature photométrique.

Crédit : ASM

Pas de transit planétaire, l'inclinaison différant trop de 90 deg. Aucune occultation, et donc aucune signature photométrique.

Crédit : ASM

Observer beaucoup d'étoiles

La probabilité de détection d'une planète étant faible, un programme de détection par transits doit nécessairement suivre simultanément un grand nombre de cibles, ce que permet la photométrie.

Observer longtemps

Un transit seul n'apporte pas d'information, et peut être confondu avec un événement non planétaire. Les séquences d'observation de CoRoT durent 5 mois, et la répétition de trois événements est attendue.

Observer précisément

Distinguer un transit planétaire des multiples autres sources possibles de variation du flux stellaire n'est pas toujours simple. Les planètes les moins massives détectées, par transit et donc sans l'ambiguïté du facteur de projection , ont été observées par le satellite CoRoT puis Kepler.

Probabilité de transit

La méthode de détection par transit n'est opérante que s'il y a ... transit. Pour qu'un transit ait lieu, il faut que la planète traverse la ligne de visée de l'observateur. La probabilité d'un tel événement vaut , étant le rayon stellaire, et le demi-grand axe de l'orbite planétaire. Ce résultat est démontré par un calcul complet en exercice ; un schéma permet de retrouver rapidement le résultat.

Si le rayon stellaire est égal au rayon solaire, alors la probabilité de détecter un transit vaut pour , c'est-à-dire pour les planètes détectées à ce jour qui sont sur les orbites les plus serrées. Cette probabilité décroît avec l'augmentation du demi-grand axe.

Précision photométrique

Le deuxième facteur limitant est photométrique. En effet, depuis le sol il est difficile d'obtenir une précision photométrique meilleure que 1 % (c'est-à-dire ) en raison de l'agitation atmosphérique. Les observations depuis l'espace, en revanche, permettent d'atteindre une précision aussi bonne que , et donc de détecter des planètes de type tellurique.

Observation de transits

Il s'ensuit que, pour être efficace, les projets de détection d'exoplanètes par transit doivent observer un très grand nombre de cibles, avec la meilleure précision photométrique possible. De plus, pour éviter tout effet stroboscopique, il faut observer continûment. L'espace est l'endroit idéal pour ceci, comme l’ont démontré les mission CoRoT et Kepler.

Confirmation des observations

Plusieurs artefacts observationnels peuvent imiter la signature d'un transit planétaire. Les plus courants sont l'observation d'un système stellaire double, ou d'une binaire à éclipses présente dans le champ d'observation de l'étoile principale. Dans ces deux cas, la baisse de flux peut être faible et confondue avec celle d'une hypothétique planète. Une vérification a posteriori s'impose pour déterminer les éventuels faux positifs, menée le plus souvent en vélocimétrie Doppler, et parfois par imagerie en optique adaptative.

Astrométrie

Il est possible de détecter le mouvement de l'étoile perpendiculairement à la ligne de visée, c'est-à-dire sur la sphère céleste, et d'en déduire les caractéristiques de la planète et de son orbite.

Déplacement astrométrique du Soleil dû à Jupiter

Déplacement du Soleil sous l'effet des mouvements planétaires (Jupiter et Saturne principalement), vu à une distance de 10 pc. L'amplitude de ce déplacement est de 500 microsecondes d'arc (). Le déplacement dû à la Terre présenterait une amplitude de à la même distance.

Crédit : NASA

Astrométrie

Il est possible de détecter le mouvement de l'étoile perpendiculairement à la ligne de visée, c'est-à-dire sur la sphère céleste, et d'en déduire les caractéristiques de la planète et de son orbite.

On se limite au cas d'une orbite circulaire, mais bien sûr cette méthode s'applique aussi à la détection de planètes sur des orbites elliptiques. Le mouvement de l'étoile projeté sur le plan du ciel, c'est-à-dire sur le plan perpendiculaire à la ligne de visée, est une ellipse de demi-grand axe . Comme la distance à l'étoile est grande devant , la déviation angulaire correspondante est , ou encore :

avec exprimé seconde d'arc, le rayon de l'orbite de la planète (en UA) et la distance Soleil-étoile. La masse de l'étoile et sa distance à la Terre étant connues par ailleurs, on peut déduire de la périodicité du mouvement, et donc la masse de la planète de la mesure de .

En pratique, la variation de la position d'un astre sur la sphère céleste n'est pas mesurée de façon absolue, mais différentiellement par rapport à un objet du champ, angulairement proche mais très lointain en distance, dont la position reste fixe.

Systèmes pouvant être détectés par cette méthode

Les mesures faites à l'heure actuelle depuis le sol ont une précision d'une milliseconde d'arc (mas), et devraient atteindre 10 dans le futur proche sur des champs d'observation réduits. Il ne sera donc pas possible de détecter des planètes semblables à la Terre, orbitant dans des zones habitables (i.e. UA), puisque les étoiles observées sont à une distance d'au moins quelque parsecs de la Terre. L'astrométrie est plus adaptée à la détection de planètes géantes et de rayon orbital grand.

Une exoplanète attrapée au vol

Alors que les méthodes de détection par transit et vélocimétrie Doppler donnent de plus en plus de résultats, plusieurs objets ont été détectés en imagerie directe. Cette population comprend des planètes flottantes ou des naines brunes sans qu'il soit facile/possible de faire la différence.

Un des premier objets décourts est GQ Lupi b qui orbite autour de l'étoile QG Lupi A. A une distance d'environ 100 UA, 270 fois moins brillant que GQ Lupi A, GQ Lupi b a une masse entre une et 30 fois la masse du Jupiter. Ni les observations, ni leur modélisation ne permettent de conclure à l'heure actuelle sur la nature exacte de cet objet.

Observables

L'examen des différentes méthodes de détection montre qu'elles ne donnent pas accès aux mêmes observables, et qu'elles ne subissent pas les mêmes biais observationnels. Ces différentes méthodes (et il y en a d'autres) sont donc complémentaires : le sujet astrophysique est d'ailleurs suffisamment important pour motiver de nombreux projets observationnels, au sol ou spatiaux.

Performance de détection

La méthode des vitesses radiales favorise la détection des planètes massives et proches de l'étoile, alors que l'astrométrie favorise les planètes massives et de grands rayons orbitaux. Là encore, les méthodes apparaissent complémentaires.

Planètes détectables

Les triangles rouges marquent les exoplanètes déjà détectées. Les limites en violet concernent la détection par transit, en vert par mesure Doppler, en bleu par astrométrie.

Crédit : ASM

Détections

L'existence de spectromètres performants et stables a favorisé jusqu'à ce jour la détection par vitesse radiale. L'accroissement du nombre de projets de recherche par transit fait augmenter le nombre de telles détections.

Lunaisons et marées

L'examen des horaires de marée montre une nette corrélation entre l'orbite de la Lune et la marée. Ceci apparaît sur la figure ci-jointe, qui montre comment évoluent les horaires des marées hautes et basses, en fonction des levers et couchers de la Lune. Le phasage précis des marées avec la Lune est complexe, comme le montre la suite.

Grandes marées et phases de la Lune

Le coefficient de marée, qui sur une échelle relative de 20 à 120, mesure l'amplitude de la marée, apparaît également corrélé à la Lune, à ses phases en fait.

Approche statique

Dans l'approche statique, développée plus loin, on ne s'intéresse pas à la dynamique de l'écoulement des eaux océaniques, mais seulement au champ de force qui crée la marée.

L'approche statique met en évidence le rôle joué par la Lune sur le champ de marée, et explique la périodicité des marées (de l'ordre de 12h25min).

Approche dynamique

Si l'approche statique permet de comprendre le phénomène des marées, elle est notoirement insuffisante pour calculer la hauteur de marée en un lieu donné. Un tel calcul nécessite :

• Une approche dynamique.
• Une modélisation précise de la topographie locale.

Les coefficients de marée

On définit usuellement des coefficients de marée, sur une échelle de 20 (marée minimale, dite de morte-eau, d'amplitude 1.22 m à Brest) à 120 (marée maximale, dite de vive-eau, d'amplitude 7.32 m à Brest). L'approche statique permet de comprendre que :

• Les maxima ont lieu aux nouvelle et pleine lunes
• Les minima ont lieu aux quartiers

En revanche, le phasage entre les courbes de marée et la course lunaire n'est pas direct. Ce n'est pas étonnant : la mise en mouvement des masses océaniques n'est pas immédiate, et ces dernières ne peuvent pas suivre instantanément, c'est à dire sans déphasage, la phase de l'excitation. On peut aussi noter qu'à la résonance, un système excité n'est pas en phase avec l'excitateur, mais en quadrature.

Les grandes marées

Les plus fortes marées sont observées aux équinoxes. Deux raisons à cela :

• C'est aux équinoxes que le forçage des marées est le plus régulier, car la Lune comme le Soleil sont respectivement levés et couchés 12 h.
• Aux équinoxes, la Lune et le Soleil passent par le plan équatorial terrestre.

Lune et marée

Les phénomènes de marée ont été étudiés depuis l'Antiquité (en particulier par les Grecs et les Romains). Dès 350 avant notre ère, Aristote attribuait les marées à la Lune et au Soleil, ceux-ci attirant l'eau des mers. Pline l'Ancien énonce au 1er siècle dans son Histoire Naturelle : "Sur la nature des eaux, enfin, beaucoup a déjà été dit; mais cette avance et le retrait des flots sont les plus extraordinaires; cependant si ce phénomène offre beaucoup de variété, sa cause réside dans le Soleil et dans la Lune". Il observe les deux marées par jour : "Entre deux levers de la Lune, la mer monte deux fois et redescend deux fois dans chaque intervalle de 24 heures" puis il remarque que "Jamais les marées ne se reproduisent au même moment que le jour précédent, comme si elles haletaient par la faute de l'astre avide qui attire à lui les mers pour s'abreuver".

Il décrit également fort bien le décalage de temps entre les pleines mers et le passage au méridien de la Lune "les phénomènes célestes faisant toujours sentir leurs effets à la Terre avec du retard sur la vue, comme l'éclair, le tonnerre ou la foudre", il décrit la corrélation entre les marées de vives-eaux et les syzygies et entre les marées de mortes-eaux et les quadratures "Au moment de la conjonction, elles égalent les marées de pleine Lune".

Diverses théories

Si les faits observationnels semblaient clairs, le mécanisme moteur des marée a dû attendre Newton pour commencer à être dévoilé. Auparavant, c'est plutôt le principe de sympathie qui prévaut : l'eau de la Lune (!) attire l'eau de la Terre.

Galilée propose un modèle en analogie avec un pendule. Descartes (1596 - 1650) apporte une explication cohérente, qui relie les astres par de la matière et les fait se déplacer par des tourbillons. La Lune comprime la matière du ciel, qui écrase l'eau.

Marée et gravitation universelle

La gravitation universelle de Newton permet d'obtenir les bases de la théorie des marées terrestres : les marées sont dues à la différence d'attraction du champ gravitationnel de la Lune entre deux points du globe terrestre.

Effet de marée, exemple sur Terre

En ayant remarqué qu'une flaque d'eau ne subit pas de marée, serait-elle aussi grande que le Lac Léman, on s'intéressera à la marée à l'échelle planétaire, en allant jusqu'à supposer la présence d'un océan global couvrant uniformément toute la Terre. Une description plus précise des marées en un lieu donné du globe nécessite un cadre plus précis. Selon le lieu, les phénomènes de marée peuvent présenter des aspects fort différents, non abordés dans ce cours : la topographie des lieux, associée au phénomène de résonance, permet de comprendre les grandes marées rencontrées p.ex. dans la baie du Mont-Saint-Michel.

Dans le référentiel barycentrique de la Terre

Dans le référentiel terrestre, le centre de la Terre est au repos, les bourrelets de marée sont fixes, en permanence pointés vers la Lune. Sous ces bourrelets fixes, la Terre défile. Elle tourne en 24h50, soit la période synodique de la Lune. Autrement dit, dans le référentiel terrestre, on voit passer 2 marées hautes par 24h50.

Le champ de marée

Le champ de marée en un point du globe évolue en fonction de la phase de la Lune et de la rotation terrestre.

Le champ de marée lunaire provoque 2 bourrelets de l'océan. Dans le cadre d'un modèle statique, ces bourrelets suivent rigoureusement la Lune. La rotation de la Terre est modélisée par un rayon vecteur tournant rouge (modèle statique).

Crédit : ASM

Dans un modèle dynamique, plus réaliste, il y a un décalage entre la position de la Lune et la marée.

Bourrelets (é)mouvants

Les animations, dans le cadre d'une théorie statique de la marée et du modèle de l'océan global, montrent comment les bourrelets de la marée suivent la course de la Lune autour de la Terre.

L'approche statique en défaut

L'approche statique suppose que les masses océaniques réagissent instantanément au champ de marée, ce qui n'est pas vrai, comme cela apparaît sur les prévisions. Les conditions géographiques locales entraînent un horaire des marées également local.

Les forces de marée sont des forces différentielles

La Terre n'est pas un point, mais a une dimension finie. Or l'intensité du champ gravitationnel de la Lune varie comme l'inverse du carré de la distance à la Lune. Il en résulte une attraction différentielle qui déforme la Terre. On peut estimer la valeur du champ de marée dans le cadre du modèle de l'océan global. On démontre que le module de est de l'ordre de

Démonstration

Calcul du champ de marée. On estime la marée créée par la Lune en un point courant du globe terrestre, que l'on repère par rapport au centre de la Terre. On note la distance , et le rayon terrestre. La composante du champ de marée en représente la différence du champ lunaire entre les points et . Les calculs sont menés au 1er ordre par rapport au petit terme (car ) :

On estime alors le terme de l'équation précédente, en injectant la relation de Chasles , et toujours au premier ordre en :

On trouve alors pour le champ de marée , en introduisant les vecteurs unitaires et tels que et :

Le champ de marée

Champ de marée (modèle statique).

Crédit : ASM

On peut comparer les modules des champs de marée et gravitationnel :

Il ressort de cette analyse que l'effet de marée :

• varie en raison inverse du cube de la distance au corps provoquant la marée.
• est proportionnel à la taille de l'objet affecté.
• occasionne 2 marées hautes par 24h50.

Marées de vive-eau et de morte-eau

Le Soleil, la Terre et la Lune sont en quadrature quand les axes Lune-Terre et Terre-Soleil sont perpendiculaires. Les effets conjugués de la Lune et du Soleil s'opposent.

Le Soleil, la Terre et la Lune, en conjonction, sont alignés. Les champs de marée de la Lune et du Soleil s'ajoutent.

Dans les 2 cas, la marée due à la Lune reste plus forte que celle due au Soleil (voir exercice ci-dessous).

Il faut aussi garder en tête le décalage entre la position de la Lune et la marée dû aux forces de frottement dans la planète et les océans en particulier.

La contribution du Soleil dans les marées

On a pu remarquer que les champs de marée sont proportionnelles à la masse de l'astre perturbateur d'une part, et inversement proportionnelles au cube de la distance avec l'astre perturbateur.

Il s'ensuit que la Terre est soumise principalement au champ gravitationnel de la Lune. Bien que plus massif, le Soleil a une influence moindre sur les eaux de nos océans!

Toutefois, le Soleil n'a pas une influence nulle sur les marées. Pour certaines configurations, les champs de marée du Soleil et de la Lune s'ajoutent (marées de vive-eau), et pour d'autres, se retranchent (marées de morte-eau).

Le champ de marée : Lune et Soleil

Le champ de marée en un point du globe évolue en fonction de la phase de la Lune et de la rotation terrestre.

Evolution du champ de marée, dans le cadre de l'approche statique et du modèle de l'océan global, en fonction de la phase de la Lune (modèle statique).

Crédit : ASM

Le volcanisme sur Io

Io, satellite de Jupiter, possède pratiquement les mêmes masse, diamètre et rayon orbital que la Lune. Sa surface est couverte de volcans (actifs et inactifs) et de lacs de lave. L'activité volcanique est telle que les dépôts volcaniques s'accumulent au rythme d'environ 1 mm d'épaisseur par année sur toute la surface d'Io. De tous les objets du système solaire, Io est celui dont la surface se renouvelle le plus rapidement.

D'où vient l'énergie dissipée par le volcanisme ?

Les volcans d'Io expulsent du gaz à plus de 1 km/s, 20 fois plus vite que ne le fait un volcan terrestre. Ce volcanisme d'Io puise sa source dans l'effet de marée. A cause de la proximité de Io et de la masse de la planète, Jupiter étant 318 fois plus massif que la Terre, les renflements de marée que subit le satellite ont une amplitude de plusieurs kilomètres.

Si, comme la Lune, Io a ses périodes de rotation et de révolution synchronisées, son mouvement est de plus fortement perturbé par 2 autres lunes de Jupiter, Europe et Ganymède, avec lesquels son orbite est résonante.

Sous l'effet de l'attraction des autres satellites, Io est tantôt en avance, tantôt en retard par rapport à sa révolution moyenne, ce qui a pour effet de déplacer le bourrelet de marée, et conduit à une forte dissipation d'énergie : la variabilité et le déplacement des renflements de marée dégradent par friction suffisamment d'énergie pour faire fondre partiellement l'intérieur du satellite et engendrer ainsi une activité volcanique.

Forces de marée de la Terre sur la Lune

La Terre étant 81 fois plus massive que la Lune, l'effet de marée de la Terre sur la Lune est important : cette marée a synchronisé la rotation propre de la lune et sa révolution autour de la Terre. C'est pour cette raison que nous voyons toujours la même face de la Lune.

Sous l'action du champ de marée terrestre, la Lune a été déformée et le bourrelet de déformation est en moyenne aligné dans l'axe Terre-Lune.

Rotation synchrone

Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre de façon à présenter toujours la même face, ce bourrelet se déplacerait et créerait des frottements. La période de rotation propre de la Lune a diminué, et s'est ajustée à celle de révolution autour de la Terre, de telle façon que la Lune présente toujours la même face à la Terre. Ces frottements sont nuls lorsque le bourrelet ne se déplace plus.

A l'instar de la Lune, tous les gros satellites du système solaire présentent une rotation synchrone avec celle de leur planète.

Rotation synchrone

Animation montrant la rotation synchrone. La lune présente ainsi toujours la même face à la Terre

Libration et nutation

Animation montrant comment la libration modifie légèrement la rotation synchrone. La libration mesure l'oscillation de la Lune autour de sa position moyenne.

Anneaux et satellites

Toutes les planètes géantes ont à la fois des anneaux et des satellites. Les anneaux orbitent à proximité de la planète, accompagnés de tout petits satellites. Loin de la planète, il n'y a que des satellites (et des anneaux de poussière instables). La limite de Roche sépare ces 2 régions.

Le champ de marée brise les satellites qui s'aventurent à l'intérieur de cette limite. Elles empêchent aussi les anneaux de s'accréter en satellites.

La comète Shoemaker-Levy 9

En Juillet 1994, les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont percuté Jupiter. Lors du précédent périjove, la comète SL9 s'était fragmentée sous l'effet du champ de marée.

Forces de marée sur la comète SL9

Lorsque la comète arrive à une certaine distance de la planète, le champ de marée est suffisamment important pour écarteler la comète en plusieurs morceaux.

Crédit : Sekanina, Chodas & Yeomans

La limite de Roche

La limite de Roche marque la distance minimale à la planète d'existence de gros satellites. Au delà, un satellite peut subsister ; en deçà, il est fragmenté en anneaux. Un exercice permet le calcul de cette limite dans une modélisation simple, illustrée par les schémas suivants :

• Un satellite est décrit comme la juxtaposition de 2 parties distinctes
• Le gradient de champ gravitationnel apparaît intense à proche distance de la planète
• Dans le référentiel du centre de masse du satellite, la cohésion du satellite dépend de l'équilibre entre les résidus du champ gravitationnel et le champ d'autogravitation.

Le potentiel gravitationnel sur l'axe

Dans le référentiel tournant avec les 2 corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement.

Deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent en fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant.

Equipotentielles

Dans le plan orbital, les équipotentielles du champ montrent 5 point d'équilibre.

Trois de ces points (L1, L2 et L3) sont des selles. L4 et L5 sont des maxima.

Les points de Lagrange

Détermination du champ gravitationnel au voisinage des points de Lagrange, pour le système Soleil-Terre.

3 corps, mais 1 de masse nulle

Le problème à 3-corps est insoluble analytiquement dans le cas général. L'astronome mathématicien Joseph-Louis Lagrange en a proposé une solution dans un cas particulier, où l'un des corps est de masse négligeable devant les 2 autres, et subit leurs champs gravitationnels.

Le potentiel gravitationnel

Les 2 corps massifs sont supposés en orbite circulaire ; on note la vitesse angulaire de rotation. Le potentiel gravitationnel créé par ces 2 corps est étudié dans le référentiel tournant avec les 2 corps, supposés en orbite circulaire. Les notations sont définis ci-joint.

Le corps de masse négligeable subit le potentiel :

avec les masses respectives des 2 corps massifs, les distances du système aux 2 corps, la distance à leur barycentre, et la vitesse angulaire de rotation des 2 corps. Le dernier terme est introduit par le référentiel tournant.

En posant le rapport des masses , et en notant la plus forte des masses, on obtient :

en ayant introduit la 3e loi de Kepler pour les 2 corps massifs : .

Les points de Lagrange

Le gradient de potentiel s'annule en des points particuliers : les points de Lagrange. Leur étude peut être menée analytiquement, mais l'on se contente ici de constater les résultats.

Ces points se situent dans le plan orbital des 2 corps. Les points L1, L2 et L3 sont alignés avec les 2 corps, et L4 et L5 forment avec eux 2 triangles équilatéraux.

Equilibre aux points de Lagrange

Il faut noter que les positions d'équilibre trouvées ne sont pas statiquement stables : ils correspondent en effet à des maximum de potentiel, ou des selles. C'est dynamiquement, avec l'appoint de la force de Coriolis (le référentiel est tournant !) que les points L4 et L5 deviennent stables... et sont occupés par des satellites naturels ou artificiels.

Le potentiel dans le référentiel tournant

Les animations proposées parcourent les équipotentielles du potentiel dans le référentiel tournant associé au problème de Lagrange, pour différents rapports de masse : 1, 3, 10.

Le balayage des équipotentielles remonte des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants. L'animation met en évidence les points de Lagrange, à la jonction de différentes nappes équipotentielles.

• Le point de Lagrange L1 est à la jonction des nappes équipotentielles autour de chaque objet
• Les points de Lagrange L2 et L3 sont à la jonction des nappes équipotentielles autour de chaque objet avec l'équipotentielle dominée par la rotation.
• Les points de Lagrange L4 et L5 sont les extrêma du potentiel résultant de la superposition du potentiel gravitationnel principal et du potentiel tournant.

Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse unité.

Crédit : ASM

Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 3.

Crédit : ASM

Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 1/20.

Crédit : ASM

Stabilité

L'étude de la stabilité des points de Lagrange n'est pas simple. Il est bienvenu d'exprimer le lagrangien du système, et de faire une analyse par perturbation... ce qui est hors de la portée de ce cours.

Les figures ci-jointes, réalisées par des étudiants du Master professionnel Outils et Systèmes de l'Astronomie et de l'Espace lors d'un projet d'analyse numérique, dévoilent la complexité de l'analyse.

• Trajectoire autour de L4.
• Stabilité en fonction du rapport de masse.

Les astéroides troyens

Les astéroïdes troyens sont sur la même orbite que Jupiter, soit en avance de sur Jupiter (point L4), soit en retard de (point L5).

La sonde solaire SOHO

Pour observer continûment le Soleil, le point L1 est idéal. Il tourne autour du Soleil avec la Terre, avec le Soleil en permanence d'un côté et la Terre au côté opposé. C'est donc en L1 qu'a été logiquement installée la sonde SOHO, dédiée à l'observation du Soleil.

La sonde Planck

En revanche, s'il s'agit d'observer l'Univers froid, mission du satellite Planck, c'est le point L2 qui est idéal. Il tourne avec la Terre, avec le Soleil et la Terre en permanence opposés à la direction de visée. C'est donc en L2 qu'est installé Planck, et que sera le télescope spatial JWST, successeur de Hubble.

Stabilité dynamique

L'étude de la stabilité dynamique autour de L4 ou L5 relève d'une approche numérique. Cette dernière montre que le rapport des deux masses doit être assez élevé (contraste plus grand que ) pour permettre la stabilité.

C'est la force de Coriolis, qui apparaît dans le référentiel tournant, qui stabilise les objets autour de L4 ou L5. Elle correspond à une accélération :

avec la vitesse angulaire de rotation, perpendiculaire au plan orbital des deux corps massifs, et la vitesse relative dans le référentiel tournant. Ce rôle stabilisateur est très brièvement illustré en exercice.

En L4 et L5

Comme L4 et L5 sont dynamiquement stables, on y trouve de nombreux objets.

• Plusieurs milliers d'astéroïdes, les Troyens, arpentent les abords des points L4 et L5 du système Soleil-Jupiter.
• Le système Saturne-Tethys héberge Telesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dione accueille Hélène au point L4.
• De la poussière s'accumule aux points L4 et L5 de la Terre autour du Soleil.